Université en Ligne Mathématiques Annette Decomps Université Pierre et Marie Curie. Intégrales impropres

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1 Universié en Ligne Mhémiques Annee Decomps Universié Pierre e Mrie Curie Inégrles impropres. Définiions e héorèmes généru.. Générliés.2. Eemples.3. Définiions.4. Crière de Cuchy pour les inégrles impropres.5. Convergence bsolue 2. Inégrles impropres des foncions posiives 2.. Crière de convergence 2.2. Théorème de comprison 2.3. Inégrles de Riemnn 3. Inégrles de foncions de signe quelconque 3.. Eemples d inégrles bsolumen convergenes 3.2. Éude d une inégrle semi-convergene 4. Méhodes de clcul des inégrles impropres 4.. Uilision d une primiive 4.2. Inégrion pr pries 4.3. Chngemen de vrible sin 5. Relion enre l convergence des inégrles e des séries 5.. Théorème générl 5.2. Cs des foncions posiives 5.3. Cs des foncions posiives e décroissnes d

2 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres Dns l définiion e l éude de l inégrle de Riemnn, on oujours considéré un inervlle [,b] fermé e borné e une foncion réelle définie sur l inervlle [,b]. Ainsi le symbole b f ()d --il un sens pour cerines fmilles de foncions (foncions coninues, coninues pr morceu, monoones ) définies sur un inervlle [,b] fermé e borné. Le bu de ce chpire es d éendre, dns cerins cs, l noion d inégrle à des foncions définies sur un inervlle qui n es ps un inervlle fermé borné, c es-à-dire un inervlle d un des ypes suivns : ( ), - inervlles bornés, ouvers ou semi-ouvers : [,b[, ],b], ],b[, R, b R, < b - inervlles non bornés : ],b], ],b[, [, [, ],[, ],[, ( R, b R).. Définiions e héorèmes généru.. Générliés On considère un inervlle I de R qui n es ni vide, ni rédui à un poin e qui n es ps un inervlle fermé borné. Il es donc d un des ypes énumérés plus hu. Définiion. Soi f une foncion réelle définie sur I. On di que f es loclemen inégrble sur I si f es inégrble sur ou inervlle fermé borné conenu dns I. Ainsi, - l foncion es loclemen inégrble sur les inervlles ],[ e ],[, - l foncion logrihme es loclemen inégrble sur l inervlle ],[, - l foncion 2 es loclemen inégrble sur les inervlles ] [, ] [, ] [,, e. Éliminons les fu problèmes : cs d une foncion bornée sur un inervlle borné Considérons, pr eemple, l foncion : sin, définie sur l inervlle ],]. L inégrle sin d eise cr l foncion sin, prolongée en pr, es une foncion coninue sur [,] e l inégrle sin d n es ps une inégrle impropre. Plus générlemen, si une foncion, loclemen inégrble sur un inervlle I borné mis non fermé, c es-à-dire d un des ypes [,b[, ],b], ],b[, ( R, b R, < b), es bornée sur I, on peu l prolonger sur ou 2

3 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres l inervlle en lui donnn n impore quelle vleur u bornes. Ainsi le symbole sin d --il un sens (cf. cours sur l inégrle de Riemnn). Donc, dns le cs où l inervlle d inégrion es borné e non fermé, on considérer seulemen le cs où l foncion es non bornée. Mis il y de vris problèmes Dns le cs d inervlles ouvers de l forme : ],b[, ],b[, ],[, ],[, il es bien éviden que les problèmes u deu bornes son indépendns. On frcionner lors l inervlle d inégrion en deu inervlles. Pr eemple, dns le cs d un inervlle ],b[, on considérer un poin c vérifin < c < b, les inervlles ],c] e [c,b [ e les inégrles f ()d e f ()d. c b c Finlemen nore éude se limier à celle de l inégrion - soi de foncions non bornées sur un inervlle borné : [,b[, ( R, b R, < b), - soi de foncions définies sur un inervlle non borné : [,[,( R). Tous les ures cs se rmènen à ceu-ci. On commencer oujours pr vérifier que l foncion es loclemen inégrble sur l inervlle d inégrion. Dns le cs conrire, il fudr se demnder si les difficulés peuven êre résolues pr prolongemen de l foncion ou frcionnemen de l inervlle. Nous énoncerons les héorèmes généru, pour un inervlle d inégrion, que nous désignerons pr le symbole [,[, vec R ou =..2. Eemples. Inégrion d une foncion définie sur un inervlle non borné Soi f une foncion numérique définie sur un inervlle [,[, ( R). On suppose f loclemen inégrble, ce qui signifie que, pour ou >, l inégrle encore que l foncion F : f ()d Qund end vers, rois cs peuven se présener : - l foncion F une limie finie, - l foncion F end vers ou -, - l foncion F n ps de limie, comme on peu le voir sur les eemples suivns. es définie sur l inervlle [,[. f ()d eise, ou 3

4 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres - On considère l foncion e sur l inervlle [,[. On, pour ou >, e d = e, d où lim e d =. - On considère l foncion ln sur l inervlle [,[. On pour ou >, ( ) ln d= ln + = ln +, d où ln dend vers qund end vers. - On considère l foncion cosinus sur l inervlle [,[. On, pour ou >, cosd= sin, donc cosd n ps de limie qund end vers. Remrque. Nous vons précisé limie finie. Pr définiion, l limie, pour les suies comme pour les foncions, es un nombre réel. Mis, dns les cs des suies e des foncions qui enden vers ou, cerins prlen de limie infinie, ce qui s inerprèe fcilemen dns le cdre de l droie chevée R (voir noe* en fin de chpire). Dns ou le chpire qund nous prlerons de limie sns préciser, il s gir de limie finie. b. Inégrion d une foncion non bornée, définie sur un inervlle borné non fermé Soi f une foncion numérique, définie sur un inervlle [,b[, ( < b). On suppose f non bornée u voisinge de b, e loclemen inégrble sur [,b[, ce qui signifie que, pour ou >, l inégrle f ()d eise, ou encore que l foncion F: f () d es définie sur [ [ < b) l inervlle,b, (. Qund end vers b, rois cs peuven se présener : - l foncion F une limie finie, - l foncion F end vers ou, - l foncion F n ps de limie, comme on peu le voir sur les eemples suivns. - On considère l foncion ln( ) sur [,[. On, pour ou [,[, ln( ) d = ( )ln( ), d où li m ln( ) d =. - On considère l foncion 2 sur [,[. On pour ou, <, d = 2 2 ln + = + ln 2, d où - On considère l foncion sin 2 d end vers qund end vers. 2 sur ],]. On, pour ou, <, 4

5 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres sin d cos cos() cos 2 = =, d où 2 end vers. sin d n ps de limie qund.3. Définiions On disinguer le cs où l inervlle I es semi-ouver e le cs où l inervlle I es ouver. A. On considère une foncion f loclemen inégrble sur un inervlle semi-ouver [,[, vec R ou =. Définiion. On di que l inégrle de f sur [,[ es convergene (ou eise) si l foncion F: f () d une limie finie qund end vers. On pose lors : f ()d = lim f ()d. On ppelle cee limie inégrle impropre (ou générlisée) de f sur [,[. Si l foncion F: f () d l inégrle de f sur [,[ es divergene. n ps de limie finie qund end vers Ainsi, dns les eemples éudiés u prgrphe précéden, les inégrles ln d son convergenes e vlen respecivemen e -. Les inégrles ln d, premiers cs, l foncion d, cos d e - 2 F: f () d 2 end vers sin F: f () d n ps de limie qund end vers. Remrques. Soi vérifin < ' <. D près l relion de Chsles on : Ainsi, l foncion foncion f ()d ' f ()d = f ()d + f ()d. ' une limie qund end vers f () d une limie qund end vers. ', on di que e d d son divergenes. Dns les deu, dns les deu derniers, l foncion e, si e seulemen si, l Comme pour les suies e les séries, l nure (c es-à-dire convergence ou divergence) d une inégrle impropre ne dépend que du comporemen de f qund end vers. 5

6 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres b. Si f es une foncion loclemen inégrble sur un inervlle [,[, pour éudier l nure de l inégrle f ()d ou pour clculer s vleur qund elle es convergene, on uilise fréquemmen une primiive de f. C es ce qu on fi dns les eemples du prgrphe précéden. En priculier, on peu fire un chngemen de vrible ou une inégrion pr pries, lorsque les condiions son rélisées sur ou inervlle [, ] ( < < ), e fire endre vers (voir u prgrphe 4). B. On considère une foncion f loclemen inégrble sur un inervlle ouver, 2 R ou =-, e 2 R ou 2 =. ] [ vec Définiion. Soi c un poin quelconque de l inervlle ], 2 [. On di que l inégrle de f sur c 2 ], 2 [ es convergene si chcune des inégrles f ()d e f ()d es convergene. On c pose lors : 2 f ()d = f ()d + f ()d. c c Cee définiion ne dépend ps du choi du poin c cr, si d es un ure poin de ], 2 [, l inégrle c d f()d 2 es une consne, e l relion de Chsles monre églemen que l vleur de l inégrle es indépendne du choi de c. Remrque On doi insiser sur l nécessié de l convergence des deu inégrles En effe, pour une foncion impire, pr eemple loclemen inégrble sur pour ou réel c 2 f ()d e f ()d. c ],[, on f ()d =. Or les deu inégrles ne son ps nécessiremen convergenes. C es le cs pour l inégrle d, on : d= ( 2 2 )= e les 2 inégrles d e dson divergenes. Donc l inégrle En revnche, l inégrle de l foncion impire ( 2 +) 3 2 d es divergene. sur ],[ es convergene. En effe 2 + ( )3 2 Les deu inégrles respecivemen e. d = 2 + ( ) 2 = d e ( 2 +) 3 2, d où lim 2 + d =. 2 + ( ) 3 2 d son convergenes e vlen ( 2 +) 3 2 6

7 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres L inégrle d es donc convergene e vu bien enendu. 2 + ( ) Crière de Cuchy pour les inégrles impropres On considère une foncion f, loclemen inégrble sur un inervlle [,[, vec R ou =. Nous vons vu que le problème de l convergence de l inégrle u problème de l eisence de l limie de l foncion F définie pr F() = f ()d revien f ()d qund end vers. On se rmène à un problème de limie de suies, en uilisn le héorème qui lie l eisence de l limie d une foncion en un poin à l convergence de oues les suies imges des suies convergenes de limie. Cee convergence es monrée pr le crière de Cuchy, d où le nom de crière de Cuchy relif u inégrles impropres, pr lequel on désigne le héorème suivn. Théorème. Soi f une foncion loclemen inégrble sur un inervlle [,[, vec R ou =. Pour que l inégrle f ()d soi convergene, il fu e il suffi que, pour oue suie ( n ) de limie, l suie F n lors : ( ( n ) définie pr F( n ) = f ()d soi convergene. On f ( )d = lim F( n n ). On en dédui le crière de Cuchy pour les inégrles impropres. Théorème. Soi f une foncion réelle, loclemen inégrble sur un inervlle [,[, vec R ou =. Pour que l inégrle f ()d soi convergene, il fu e il suffi que, pour ou ε >, il eise X(ε) el que, quels que soien les réels X e X 2 vérifin les inégliés X()< ε X < X 2 <, on i f ()d < ε. X 2 X Soi encore en lngge formlisé : ε >, X(ε ), X [,[, X 2 [,[, X ε Preuve ()< X < X 2 < f ()d < ε. Idée de l démonsrion : c es pour l démonsrion de l condiion suffisne, qu on uilise le héorème précéden. Il s gi d un crière de Cuchy, c es-à-dire un crière qui uilise l X 2 X 7

8 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres convergence des suies de Cuchy, donc l propriéé de R d êre comple. Pour l condiion nécessire, il s gi d une pplicion direce de l définiion de l limie. Condiion nécessire On suppose l inégrle F() = f ()d f ()d convergene. Cel signifie que l foncion F définie pr une limie que nous noerons L, qund end vers ε >, il eise X(ε) el que les inégliés X( ε) < < enrînen F() L < ε. On donc :. Donc, pour ou ε >, X() ε [,[, X, X 2, X( ε)< X < X 2 < F( X ) L < ε e F( X 2 ) L < ε. On dédui : F( X 2 ) F X Condiion suffisne X ( ) 2 < 2ε e donc f ()d < 2ε. On suppose l condiion rélisée. On considère une suie n X ( ) de poins de, [ [, elle que lim n =. Pour ou ε >, il eise N(ε) el que, pour n > N(ε ), on i n > X(ε ). Les n inégliés p > m > N() ε enrînen lors : L suie ( F( n )) p F( p ) F( n ) = f ()d < ε. n es une suie de Cuchy, elle es donc convergene dns R. D près le héorème précéden, l inégrle f ()d es convergene..5. Convergence bsolue Définiion. Soi f une foncion réelle, loclemen inégrble sur un inervlle [,[, vec R ou =. On di que l inégrle f () d es convergene. Théorème. Une inégrle bsolumen convergene es convergene. Preuve f ()d es bsolumen convergene si l inégrle On uilise deu fois l condiion de Cuchy, une première sous forme de condiion nécessire, une deuième sous forme de condiion suffisne. Soi ε un réel sricemen posiif. L inégrle condiion de Cuchy : f () d én convergene, elle sisfi à l 8

9 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres X 2 X(ε), X, X 2,, X(ε) < X < X 2 < f () d < ε. X On donc : X 2 f ()d f () d < ε. X X 2 X L inégrle f ()d sisfi u crière de Cuchy, elle es convergene. L impornce de ce dernier héorème es rès grnde. Il eise des inégrles qui son convergenes sns êre bsolumen convergenes, mis les ouils permen de les éudier son rres e rès ciblés : l règle d Abel es d un emploi rès limié. Aussi, pour éudier l nure d une inégrle impropre f ()d, on commencer oujours pr éudier l inégrle f () d, d où l impornce de l inégrle des foncions posiives. 2. Inégrles impropres des foncions posiives On considère dns ce prgrphe des foncions loclemen inégrbles sur un inervlle [,[, vec R ou =, à vleurs dns R +. Soi f une elle foncion ; l foncion F : f ()d es croissne sur [,[ e qund end vers, deu cs seulemen son possibles, ou l foncion F une limie finie ou elle end vers. 2.. Crière de convergence Théorème. (Condiion nécessire e suffisne de convergence). Soi f une foncion loclemen inégrble sur un inervlle [,[, vec R ou =, e vérifin f sur ce inervlle. L inégrle que l on i : Preuve f ()d es convergene si, e seulemen si, il eise un réel M el [,[, f ()d M. D près le héorème de l limie monoone, l foncion F én croissne, elle une limie finie qund end vers, si e seulemen si, elle es mjorée u voisinge de. Sinon l foncion F end vers e l inégrle es divergene. Convenion d écriure. Dns le cs des foncions posiives e dns ce cs seulemen, on écri, - dns le cs où l foncion F es mjorée e donc l inégrle convergene f ()d <, 9

10 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres - dns le cs où l foncion F n es ps mjorée, elle end vers e donc l inégrle es divergene f ()d =. Il convien de ne ps buser de ces noions qui son puremen symboliques Théorèmes de comprison Ces héorèmes jouen un rôle fondmenl dns l éude des inégrles impropres. Premier héorème de comprison. Soien f e g deu foncions loclemen inégrbles sur un inervlle [,[, vec R ou =, e vérifin sur ce inervlle f g ; - si l inégrle g()d es convergene, l inégrle f ()d es convergene, - si l inégrle f ()d es divergene, l inégrle g()d es divergene. Preuve Elle repose sur l uilision des inégliés enre inégrles e les héorèmes de comprison sur les limies. On pose :, F () = f ()d e G() = g()d. Pour ou, on f ()d g()d soi F() G(). Les foncions F e G son croissnes. On en dédui : - si l foncion G une limie qund end vers, elle es mjorée, l foncion F es lors mjorée e donc une limie. - si l foncion F end vers qund end vers, elle n es ps mjorée, donc l foncion G n es ps mjorée e end vers qund end vers. Remrque L nure d une inégrle impropre ne dépendn que du comporemen de l foncion qund end vers, il suffi dns l prique de supposer les inégliés vérifiées u voisinge de. Eemples. Éude de l inégrle sin ln d Pour ou vérifin <, l foncion sin ln grde un signe consn négif. On lors : < sin ln ln. Or l inégrle sin ln d es convergene. ln d es convergene, donc l inégrle

11 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres b. Éude de l inégrle e d ln On, pour ssez grnd : < ln < divergene, donc l inégrle d où d es divergene. e ln ln. L inégrle d es e Second héorème de comprison. Soien f e g deu foncions loclemen inégrbles sur un inervlle [,[, vec R ou =, e vérifin f e g. Si, qund end vers, on même nure. Preuve f () g(), les inégrles C es un corollire du héorème précéden. Pr hypohèse, on : f () = ( + ε ())g() vec lim ε() =. f ()d e g()d son de On peu donc rouver X el que les inégliés X < < enrînen ε() < 2, d où 2 g() < f () < 3 g(). On pplique lors le héorème précéden. 2 Eemples. Éude de l inégrle + e d On, pour ou > : > e l foncion à inégrer es donc lors posiive. Qund end + vers on : + e ~ e, l inégrle es donc convergene. b. Éude de l inégrle sin 2 d Pour ou ],], sin. Qund end vers, on : sin 2 2 divergene. ~. L inégrle es donc 2.3. Inégrles de Riemnn L éude des inégrles de Riemnn, inégrles des foncions s (s R), sur [,[ ou sur es fondmenle cr, joine u héorèmes de comprison, elle consiue le principl ouil dns l éude des inégrles impropres des foncions posiives e donc, compe enu de l convergence bsolue, des inégrles impropres en générl. ],]

12 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres Théorème. Soi s un réel ; - l inégrle - l inégrle Preuve d es convergene si s <, divergene si s, s d es convergene si s >, divergene si s. s. Éude de l inégrle Pour s, e >, on : d s d = ( s ) ; s s - si s <, lim s =, l inégrle es convergene, - si s >, l foncion s end vers, l inégrle es divergene. Pour s =, l inégrle divergene. b. Éude de l inégrle Pour s, on d s d d = ( s ) ; s s - si s >, lim s =, l inégrle es convergene, = ln end vers qund end vers, l inégrle es - si s <, l foncion s end vers, l inégrle es divergene. Pour s =, l inégrle divergene. d = ln end vers qund end vers, l inégrle es Applicions à l éude des inégrles r e s d (r R, s R) On pose : f () = r e s e Ir,s ( )= f ()d, Jr,s ( )= f ()d. L foncion f es posiive sur ou l inervlle d inégrion. - Éude de l inégrle I(r, s) On, qund end vers, f ()~ r. L inégrle es convergene si e seulemen si r > -. - Éude de l inégrle J (r, s) Qund end vers, on : - si s >, l foncion r e s end vers qund end vers e J(r, s) es divergene, - si s =, lors f () = r e J(r, s) es convergene si e seulemen si r < -, 2

13 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres - si s <, lors r, lim 2+ r e s = e J(r, s) es convergene. Les inégrles r e s d (r R, s R) son convergenes si e seulemen si s < e r > Inégrles des foncions de signe quelconque Il eise des inégrles qui son convergenes sns êre bsolumen convergenes. C es le cs de l inégrle sin d que l on éudier u prgrphe 3.2. On rès peu de moyens pour éudier les inégrles qui ne son ps bsolumen convergenes. Le seul héorème, le lemme d Abel, ne concerne que des inégrles d un ype rès priculier. 3.. Eemples d inégrles bsolumen convergenes. Éude de l inégrle L foncion vers, on : L inégrle sin d + cos + e sin es loclemen inégrble sur l inervlle [,[. Qund end + cos + e sin, puis ~ e. + cos + e + cos + e + cos + e sin d es bsolumen convergene, donc convergene. + cos + e b. Éude de l inégrle sin 2 d ln + ( ) L foncion f : sin 2 ln( + ) es loclemen inégrble sur l inervlle ouver ],[. On éudier donc séprémen les inégrles sin 2 d e ln( + ) sin 2 d. ln( + ) - Éude de sin 2 d ln( + ) Qund end vers on : f () es bsolumen convergene. ln( + ) e ln( + ) ~. L inégrle sin 2 d ln( + ) 3

14 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres - Éude de sin 2 d ln( + ) Qund end vers, on : < f () sin 2 sin 2 d es convergene. ln + ( ) e sin 2 ~. L inégrle 3 2 Donc l inégrle sin 2 d es bsolumen convergene. ln( + ) 3.2. Éude d une inégrle semi-convergene sin On commence pr remrquer que, qund end vers, on : lim =. L foncion sin convergence en. sin se prolonge en une foncion coninue en. Il n y ps de problème de sin. L inégrle d n es ps bsolumen convergene sin On monre que l inégrle d ne vérifie ps le crière de Cuchy. On, pour n 2 : nπ (n ) π sin nπ d d sin d = 2 nπ. (n )π nπ D où : 2nπ (n )π sin d = 2n k =n kπ (k )π sin d 2 2n π 2 n k π 2n = π. k =n Donc en prenn ε = π, on : 2nπ sin X, n > X, d. (n )π π sin Le crière de Cuchy n es ps vérifié e l inégrle d es divergene. sin b. L inégrle d es convergene sin On considère, pour >, l inégrle d. 4

15 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres On obien, en inégrn pr pries : cos On : lim = e cos 2 2. sin d = cos cos d. Donc, dns l églié précédene, qund end vers, le premier erme une limie e l inégrle cos d églemen une limie. L foncion sin d donc une limie 2 sin qund end vers e l inégrle d es convergene. Signlons (pour l nlogie vec le lemme correspondn pour les séries mis sns démonsrion cr il es hors progrmme e l démonsrion uilise l seconde formule de l moyenne, elle ussi hors progrmme), le lemme d Abel. Lemme d Abel. Soien g e h deu foncions coninues sur un inervlle condiions : 2 [,[ vérifin les (i) il eise un réel M el que, g()d M, (ii) l foncion h es décroissne e vérifie lim h() =. Alors l inégrle g() h() d es convergene. 4. Eemples de clcul d inégrles impropres 4.. Uilision d une primiive Ce procédé éé uilisé u débu du chpire. Ainsi à prir de l églié >, e d = e, on dédui, en fisn endre vers, que l inégrle e d es convergene e vu. De même, si l on considère l inégrle dédui que l foncion d + 2, à prir de l églié d + 2 = rcn, on d, qund end vers, une limie qui vu π On donc, sur ce eemple rès simple, simulnémen monré l convergence de l inégrle e clculé s vleur. De même, considérons l inégrle d = d d

16 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres Pour l première inégrle, on éudie l foncion vers, cee foncion une limie qui vu π 2. d 2 = rcsin. Qund end On monre de même que : d = lim 2 rcsin [ ] = π 2,d où d = π. 2 Comme précédemmen, on simulnémen monré l eisence de l inégrle e clculé s vleur Inégrion pr pries On considère, pour un enier n, l inégrle I n = n e d. On suppose que, pour un enier n, I n eise. On >, n+ e d = n+ e + n + ( ) n e d. [ ] Qund end vers, le premier erme end vers e le second une limie pr hypohèse. L inégrle I n+ eise. L églié monrée plus hu s écri : I n + = ( n +)I n. Compe enu que I =, une récurrence immédie monre que I n + = ( n +)!I = ( n +)!. Comme précédemmen, on simulnémen monré l eisence de l inégrle (qui éi fcile à éblir vec les héorèmes usuels), e clculé s vleur Chngemen de vrible On considère l inégrle rcn d. + 2 Pour ou réel sricemen posiif, on pose dns l inégrle I() = chngemen de vrible u = rcn. rcn On obien lors : I() = udu = u2 2 rcn = ( 2 rcn )2 ). Qund end vers, on donc lim I() = π 2 8. D où : rcn d = π rcn d, le + 2 6

17 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres Les clculs fis nous on monré simulnémen l convergence de l inégrle (qu il éi fcile d obenir direcemen), e nous on fourni s vleur. 5. Inégrles impropres e séries Ce prgrphe es commun à ce chpire e u chpire relif u séries. On l éudier près voir vu les deu chpires. Les nlogies qui eisen enre les propriéés des inégrles impropres de l forme f ()d celles des séries son évidenes : rôle de l bsolue convergence e donc des séries à ermes posiifs ou des inégrles impropres des foncions posiives, séries e inégrles de Riemnn. Les héorèmes suivns von préciser ces nlogies. Noons que le dernier des rois héorèmes démonrés (héorème C), qui concerne les foncions posiives e décroissnes, peu êre éudié indépendmmen des héorèmes A e B. Nous en donnerons deu démonsrions don une direce. On peu donc, dns un premier emps, lisser de côé l démonsrion des deu premiers ou, beucoup mieu, l considérer comme un rès bon eercice héorique. e 5.. Théorème générl L éude repose sur le héorème relif u inégrles impropres de l forme que nous rppelons ici. C es ce héorème qui perme d éblir le crière de Cuchy pour les inégrles impropres. Théorème. Soi f une foncion loclemen inégrble sur un inervlle f ()d [,[. Pour que l inégrle f ()d soi convergene il fu e il suffi que, pour oue suie qui end n vers, l suie ( F ( n ) définie pr F( n ) = f ()d soi convergene. On lors Théorème A. L inégrle f ()d f ()d = lim F( n ). n ( ) es convergene si e seulemen si, pour oue suie qui end vers, l série de erme générl f ()d es convergene. Preuve n+ n n ( n ) On pose v f ()d. D près le héorème rppelé ci-dessus, l inégrle f ()d es n = n+ n convergene si e seulemen si pour oue suie ( n ) qui end vers, l suie ( F ( n ) définie 7

18 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres pr F( n ) = f ()d es convergene, soi encore si e seulemen si l suie F n es de Cuchy. n p Or on, pour p > m : F( p ) F ( m ) = f ()d = v k. L inégrle f ()d m p k =m es convergene si e seulemen si l série Cuchy, soi encore si e seulemen si l série Remrque fondmenle Ce héorème perme de monrer : v n es convergene. ( ( ) v n sisfi u crière de - L divergence d une inégrle : il suffi de rouver une suie priculière, elle que l série sin ssociée soi divergene. On peu rerouver insi le fi que l inégrle d n es ps bsolumen convergene. On en effe si ( n ) = (nπ), v n = (n+)π nπ sin donc le erme générl d une série divergene. (n +)π d sin ( n +)π d = nπ 2 ( n +)π, e v es - L convergence ou l divergence d une série : on peu rerouver insi les résuls concernn l convergence des séries de Riemnn en ssocin à l série, définie sur l inervlle ],[. s l foncion n s n En revnche, on ne monre ps en générl l convergence d une inégrle pr cee méhode : il fudri en effe considérer oues les suies n ( ) qui enden vers. n 5.2. Cs des foncions posiives Encore une fois les foncions posiives monren leur bonne voloné! Il suffi, pour ssurer l convergence de l inégrle f ()d, de l convergence de l série n+ f ()d pour une ( ) suie qui end vers. n Théorème B. Soi f une pplicion de, [ [ dns R +. L inégrle f ()d n es convergene si e seulemen s il eise une suie ( n ) croissne e endn vers, elle que l série n+ n Preuve f ()d soi convergene. 8

19 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres Seule l prie concernn l condiion suffisne es à démonrer. Idée de l démonsrion : elle repose sur les équivlences suivnes - d une pr enre l convergence de l série e l mjorion des sommes prielles, - d ure pr enre l convergence de l inégrle e l mjorion de l foncion F : On pose v f ()d. n = n+ f ()d e n = v k. L convergence de l série enrîne l eisence d un n mjorn M pour l suie. On donc, pour ou enier n : n n k= Soi >. Il eise n el que n >. On lors : () n M. n f ()d = F () f ()d + f ()d M + f ()d M + M, où M es une consne. L inégrle f ()d es donc convergene Cs des foncions posiives e décroissnes Théorème C. Soi f une pplicion décroissne de [,[ dns R +. L inégrle es convergene si e seulemen si l série Preuve f (n) es convergene. f ()d Figure n+ On pose : n >, u n = f (n) e v n = f ()d. L décroissnce de l foncion f enrîne, pour n >, les inégliés : Condiion nécessire n u n + = f (n +) v n f (n) = u n. Si l inégrle f()d es convergene, lors, d près le héorème A, l série es convergene e les inégliés ci-dessus enrînen l convergence de l série u n. Condiion suffisne Si l série u n es convergene, les inégliés précédenes enrînen l convergence de l série v n e, d près le héorème B, l inégrle es convergene. On peu donner une démonsrion direce qui n uilise ps les héorèmes A e B. Preuve direce v n 9

20 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres On suppose, pr eemple enier, e on pose : n + n, u n = f (n) e v n = f ()d. À prir des inégliés : k, f (k +) v k f (k), on obien, en les ddiionnn membre à membre, pour k {, +,..., n} : n+ u k k = + n n+ f ()d u k. Soi, en non des sommes prielles de l série de erme générl u n (n ) : Si l inégrle f ()d convergene e l série Si l série u n n k= n+ n, s n + u f ()d s n. es convergene, lors l suie croissne u n es convergene. es convergene, lors pour de, f ()d F() = f ()d n n + () s n n l suie ( s n ) es mjorée e donc, on, si on désigne pr n l prie enière f ()d s n. Ainsi l foncion F, qui es croissne, es mjorée e donc une limie qund end vers. L inégrle es convergene. Ces héorèmes permeen de rerouver les résuls concernn les séries de Riemnn. Grâce u héorème C on peu éudier les séries de Berrnd Applicions. Éude des séries de Berrnd On considère les séries de erme générl u n = Berrnd. n α ln β n ( n 2, α R, β R) dies séries de On remrque que seuls posen problème les cs α =, vec β >. En effe, d près les héorèmes de comprison ou l règle n s u n : - pour α <, on nu n = n α ln β n e donc nu end vers n u n es divergene ; qund n end vers ; l série - pour α >, il eise γ vérifin < γ < α lors lim n n γ α ln β n = ; l série convergene ; - pour α =, β, lors on, pour n ssez grnd, n ln β n > n e l série u n u n es es divergene. On considère minenn le cs :α =, β >. Les héorèmes généru ne permeen ps, en effe, de l éudier. On ssocie à l série u n l foncion, ln β, définie sur 2

21 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres l inervlle que l inégrle l inégrle ],[. Cee foncion es posiive e décroissne. L série es de même nure ln β d, rnsformée pr le chngemen de vrible bijecif u = ln en 2 du. Cee dernière converge si e seulemen si β >. ln2 u β Conclusion. Les séries de Berrnd, séries de erme générl u n = ( n 2, α R, β R), son convergenes si e seulemen si : α >, ou α = vec β >. n α ln β n, 2

22 Universié en ligne. Mhémiques. Inégrles impropres *Noe : L droie numérique chevée R En inroduisn les nombres réels, on vi remrqué que ce ensemble n éi ps olemen sisfisn. Le hndicp le plus éviden én qu une équion rès simple comme 2 += n ps de rcine dns R. Le corps C des complees es une eension lgébrique de R qui répond à l quesion. Il es lgébriquemen clos, ce qui signifie que oue équion à coefficiens dns C dme u moins une rcine dns C. Une ure eension possible de R es relive cee fois, non plus à l srucure lgébrique mis à l relion d ordre. Elle consise à djoindre à R deu élémens noés e. L ensemble R insi obenu es muni de l relion obenue en prolongen l ordre de R pr les condiions, pour ou réel < <. Les élémens de R seron dis finis pr opposiion u élémens infinis e. L inérê de ce poin de vue pprî pour les suies pr eemple. Prmi les suies divergenes, on disingué des suies qui enden vers, ou (comme l suie () n pr eemple) des suies qui n on ps de limie, comme l suie ( ) n ). Leur comporemen es rès différen e pr cerines propriéés, le comporemen des suies qui enden vers, ou, es plus proche de celui des suies convergenes que des suies qui n on ps de limie. Dns cee opique on peu disinguer dns R : - les suies qui on une limie finie, - les suies qui on une limie infinie, - les suies qui n on ps de limie. Ainsi, dns R, une suie croissne oujours une limie finie ou infinie suivn qu elle es ou non mjorée. Ce poin de vue convien églemen u séries e u inégrles impropres. Il s pplique églemen u limies de foncions en un poin. Aenion, il s gi d un concep à mnipuler vec précuion. L droie chevée R es une consrucion inellecuellemen sisfisne cr elle perme des inerpréions inéressnes. Mis on ne suri oublier que l infini n es ps un réel, e qund on se plce dns R il fu oujours le préciser. 22