I Extension de la notion d intégrale

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1 Inégrles générlisées Définiion On ppelle inégrle générlisée ou inégrle impropre une inégrle du ype où =, = + ou lors f n es ps coninue en ou. f()d Lorsque f es coninue sur [;], il n y ucun prolème, f()d eise. I Eension de l noion d inégrle Sur un inervlle du ype [;[ ou ];] Définiion 2 Soi f une foncionconinue pr morceu sur l inervlle [;[. Si l foncion f()ddme une limie finie lorsque end vers, on di que l inégrle de f sur [;[ converge, ou que l inégrle f()d es convergene, ou encore que f es inégrle sur [;[, e on pose : f()d = lim f()d On défini de l même fçon lorsque f es coninue pr morceu sur ];], Eemple : - Quelle es l nure de l inégrle lnd? (i) L foncion ln es coninue sur ];], donc le prolème se pose en. (ii) On pose ];]. On : (iii) Donc lim (iv) En conclusion l inégrle lnd = [ln ] = ln+. lnd = lim ln+ =. - Quel es l nure de l inégrle lnd es convergene e d? lnd =. f()d = lim f()d. (i) L foncion es coninue sur ];], donc le prolème se pose en. (ii) On pose ];]. On d = ln. (iii) Donc lim d = lim ln = +. (iv) Donc l inégrle d ne converge ps, on di qu elle es divergene. Anlyse : Chpire 6 Pge Inégrles générlisées

2 Propriéé Soi f une foncion coninue sur [;[ elle que f dme une limie finie en (f es prolongele pr coninuié en ). Alors l inégrle Eemple 2: Déerminons l nure de l inégrle L foncion f : ln(+) ln(+) remrque que lim f()d converge. ln(+) d. es coninue sur ];]. Le prolème semle donc se poser en. Mis on = donc on peu prolonger l foncion f pr coninuié en posn f() =. Ainsi, il n y en fi ps de prolème e donc l inégrle ln(+) d es en fi convergene. 2 Sur un inervlle du ype [;+ [ ou ] ;] Définiion 3 Soi f : [;+ [ R une foncion coninue pr morceu. On di que l inégrle convergene, ou encore que f es inégrle sur [;+ [, si l foncion limie finie qund end vers +. On pose lors : f()d = lim f()d + f()d es f()d dme une On défini de l même fçon l inégrle, lorsqu elle eise, Eemple 3: - Déerminer l nure de l inégrle e d. f()d. (i) L foncion e es coninue sur [;+ [. Le seul prolème se rouve donc en +. (ii) On pose [;+ [. On (iii) Donc lim (iv) Donc + e d = e + e d = lim + e + =. e d es convergene e - Quel es l nure de l inégrle d? e d =. (i) L foncion es coninue sur [;+ [. Le seul prolème se rouve donc en +. (ii) On pose [;+ [. On d = ln. (iii) Donc lim d = lim ln = (iv) Donc l inégrle d es divergene. Anlyse : Chpire 6 Pge 2 Inégrles générlisées

3 3 Sur un inervlle du ype ];[ vec, R Définiion 4 Soien, R e f une foncion coninue pr morceu sur ];[. Soi c ];[, si les inégrles c f()d e c f() d son convergenes lors on di que l inégrle encore que f es inégrle sur ];[, e on pose : f()d = c f()d+ c f()d f()d es convergene, ou Nous ne merons dns le cours ucune propriéé sur les inégrles que nous venons de définir. Il fudr oujours se rmener à une inégrle sur un segmen pour uiliser les résuls du chpire précéden e ensuie psser à l limie. En priculier il es inerdi de fire un chngemen de vrile ou une inégrion pr pries sur une inégrle impropre. II Crières de convergence Inégrles de Riemnn Les inégrles de Riemnn son des inégrles qui seron considérées comme des références pour l suie. Le résul ci-dessous es un résul de cours qui ser donc uilisé sns voir esoin de le redémonrer. Théorème d converge pour s < e diverge pour s. s d converge pour s > e diverge pour s. s Démonsrion : Pour s =, on déjà vu que d ne converge ps. On considère minenn s. L foncion es coninue sur ];]. On considère s < <. On : [ d = s (s ) s ] = (s ) s s Donc on voi que cee qunié dme une limie finie lorsque ssi s <, c es-à-dire s <. Pour s =, on déjà vu que d ne converge ps. On considère minenn s. L foncion es coninue sur [;+ [. Soi >, s on : [ ] d = = s (s ) s s (s ) s Donc on voi que cee qunié dme une limie finie lorsque + ssi s >, c es-à-dire s >. Anlyse : Chpire 6 Pge 3 Inégrles générlisées

4 Remrque : On en fi, pour ou c >, convergene si e seulemen si s > c d es convergene si e seulemen si s < e s c d es s 2 Foncions posiives Dns oue cee prie, on considère R e R el que si R, <. f e g désignen deu foncions coninues e posiives sur [; [. Tous les résuls énoncés pourron êre dpés à des foncions coninues sur ];] vec R e R. Théorème 2 On suppose que [;[, f() g(). g() d converge lors f()d diverge lors f()d converge. g() d diverge. Eemple 4: Déerminer l nure de l inégrle 2 ++ d. (i) L foncion es coninue sur [;+ [, donc le prolème ne se pose qu en (ii) Pour ou >, on < (iii) Or 2 d es une inégrle de Riemnn qui converge cr 2 > donc d près les crières de convergence sur les inégrles de foncions posiives, l inégrle 2 ++ (iv) De plus es coninue sur [;] donc d es convergene En conclusion, d es une inégrle convergene d converge. Théorème 3 On suppose que u voisinge de, f = o(g). g() d converge lors f()d diverge lors f()d converge. g() d diverge. Théorème 4 On suppose que u voisinge de, f g. Alors les inégrles f()d e g()d son de même nure. Anlyse : Chpire 6 Pge 4 Inégrles générlisées

5 Eemple 5: Déerminer l nure de l inégrle (+)(4 2 +2) d (i) L foncion es coninue sur [;+ [ (dénomineur non nul sur [;+ [), (+)(4 2 +2) donc le prolème ne se pose qu en +. Vu l forme de l foncion à inégrer nous vons l idée de l comprison vec les inégrles de Riemnn. Mis pour les inégrles de Riemnn il nous fu l inégrle de à +. Donc nous découpons nore inégrle en 2 : sur [;] e sur [;+ ] (ii) L foncion es coninue sur [;] (dénomineur non nul sur [;]) donc (+)(4 2 +2) d es convergene. (+)(4 2 +2) (iii) Au voisinge de + : (+)(4 2 +2) + 4 = 2 4 (iv) Or l inégrle 4 d diverge e >, donc d près les crières de convergence sur les inégrles de foncions posiives, d diverge. (+)(4 2 +2) (v) En conclusion d es une inégrle divergene. 3 Foncions de signe quelconque Définiion 5 Soien, R, on di que l inégrle es convergene Théorème 5 Si l inégrle Aenion, si f() d es solumen convergene si l inégrle f() d es solumen convergene lors cee inégrle es convergene. f() d es divergene lors 4 Comprison série-inégrle f() d n es ps nécessiremen divergene. f() d Théorème 6 Soi f une foncion coninue, posiive e décroissne sur [; + [. Alors l série f()d son de même nure. + n= f(n) e l inégrle Anlyse : Chpire 6 Pge 5 Inégrles générlisées

6 On peu lors grâce à ce résul démonrer l convergence des séries de Riemnn : Théorème 7 Soi α un réel. L série converge ssi α >. nα Il suffi d uiliser le héorème précéden e le résul sur les inégrles de Riemnn. Voici minenn l démonsrion du héorème 6. Démonsrion : Comme l foncion f es décroissne sur [;+ [, on : [; +] f( +) f() f() n N, + f( +)d f( +)( + ) n f(+) = n n f() f() = + + f()d n f()d f() n + f()d f()d f()( + ) = n f()d f() = f()d converge, lors l suie convergene es oujours ornée). n Donc, grâce à l première prie de l encdremen on voi que Ainsi l suie f() d es mjorée pr un cerin M (une suie n f() M +f(). n f() es mjorée. De plus cee suie es croissne cr pour ou, = f(). Or croissn + mjorée implique convergen. Donc l série f(n) es convergene. n f(n) es une série convergene, lors l suie f() es ornée pr un cerin L. Grâce à l deuième prie de l encdremen, on lors es donc mjorée. De plus cee suie es croissne cr f es posiive. Donc cee suie es convergene e insi, l inégrle = n = f()d L.Lsuie n f() d es convergene. f()d Anlyse : Chpire 6 Pge 6 Inégrles générlisées