Formules de géométrie analytique

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1 Formules de géométrie nlytique Distnce entre un point et une droite Ax + By + C A + B x y + + b Point de prtge d un segment de droite x bx + x, + b y by + y + b x nx + mx n+ m, y ny + my n+ m x x + (x x ), y y + (y y ) b b Distnce entre deux points d ( x x ) + ( y y ) Complément et synthèse I MAT-4-

2 Formules de géométrie Périmètre et ire des figures plnes Périmètre Somme de ts les côtés b h (B + b) h Aire du tringle : A Aire du trpèze : A Aire du prllélogrmme : A b h D d Aire du losnge : A Solides SOLIDE Formule d ire ltérle Formule d ire totle Formule pr le volume CUBE A 4 c A 6 c V c 3 V (ire de l bse) (huteur) PRISME RECTANGULAIRE A h (L + l) A (hl + hl + Ll) V L l h V (ire de l bse) (huteur) CYLINDRE A πrh A π r ( h + r) V π r h V (ire de l bse) (huteur) CÔNE A π r g A π r (g + r) V π r h 3 V (ire de l bse) (huteur) 3 Complément et synthèse I MAT-4-

3 ANNEXE PREMIÈRE PARTIE : ÉNONCÉS EXTRAITS DES COURS ANTÉRIEURS (N os à 35) ANGLES. Des ngles djcents qui ont leurs côtés extérieurs en ligne droite sont supplémentires.. Les ngles opposés pr le sommet sont congrus. 3. Si une sécnte cpe deux droites prllèles, lors : ) les ngles lternes-internes sont congrus; b) les ngles lternes-externes sont congrus; c) les ngles correspondnts sont congrus. 4. Si deux ngles correspondnts ( lternes-internes lternes-externes) sont congrus, lors ils sont formés pr des droites prllèles cpées pr une sécnte. TRIANGLES 5. L somme des mesures des ngles intérieurs d un tringle est de Dns tt tringle, u plus grnd ngle est opposé le plus grnd côté. 7. Dns tt tringle isocèle, les ngles opposés ux côtés congrus sont congrus. 8. Dns tt tringle équiltérl, les ngles mesurent Dns tt tringle isocèle, l méditrice du côté djcent ux ngles congrus est l bissectrice, l médine et l huteur issues de l ngle opposé à ce côté. 0. Dns tt tringle rectngle, les ngles igus sont complémentires.. Dns tt tringle rectngle isocèle, chcun des ngles igus mesure 45.. Dns un tringle rectngle, le crré de l mesure de l hypoténuse égle l somme des crrés des mesures des utres côtés (théorème de Pythgore). 3. Si un tringle est tel que le crré de l mesure d un côté est égl à l somme des crrés des mesures des utres, il est rectngle. 4. Dns un tringle rectngle, l mesure du côté opposé à un ngle de 30 est égle à l moitié de celle de l hypoténuse. 5. Deux tringles qui ont ts leurs côtés homologues congrus sont isométriques. 6. Deux tringles qui ont un ngle congru compris entre des côtés homologues congrus sont isométriques. 7. Deux tringles qui ont un côté congru compris entre des ngles homologues congrus sont isométriques. 8. Deux tringles qui ont deux ngles homologues congrus sont semblbles. Complément et synthèse I MAT-4-3

4 9. Deux tringles dont les mesures des côtés homologues sont proportionnelles sont semblbles. 0. Deux tringles possédnt un ngle congru compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles sont semblbles.. Dns un tringle rectngle, le sinus d un ngle igu est égl u rpport obtenu en divisnt l mesure du côté opposé à cet ngle pr l mesure de l hypoténuse : sin A, dns lequel est l mesure du côté opposé à c l ngle A et c est l mesure de l hypoténuse.. Dns un tringle rectngle, le cosinus d un ngle igu est égl u rpport obtenu en divisnt l mesure du côté djcent à cet ngle pr l mesure de l hypoténuse : cos A b, dns lequel b est l mesure du côté djcent à c l ngle A et c est l mesure de l hypoténuse. 3. Dns un tringle rectngle, l tngente d un ngle igu est égle u rpport obtenu en divisnt l mesure du côté opposé à cet ngle pr l mesure du côté djcent à celui-ci : tn A b, dns lequel est l mesure du côté opposé à l ngle A et b est l mesure du côté djcent à l ngle A. 4. Les mesures des côtés d un tringle quelconque sont proportionnelles ux sinus des ngles opposés à ces côtés (loi des sinus) : sin A sin b B sin c C 5. Le crré de l longueur d un côté d un tringle quelconque est égl à l somme des crrés des longueurs des utres côtés, moins le dble du produit des longueurs des deux utres côtés pr le cosinus de l ngle compris (loi des cosinus) : b + c bc cosa b + c c cosb c + b b cosc QUADRILATÈRES 6. Les ngles opposés d un prllélogrmme sont congrus. 7. Les côtés opposés d un prllélogrmme sont congrus. 8. Les digonles d un prllélogrmme se cpent en leur milieu. 9. Les digonles d un rectngle sont congrues. 30. Les digonles d un losnge sont perpendiculires. Complément et synthèse I MAT-4-4

5 CERCLES ET DISQUES 3. Ts les dimètres d un cercle sont congrus. 3. Dns un cercle, l mesure d un dimètre est égle u dble de celle du ryon. 33. Dns un cercle, les xes de symétrie pssent pr le centre. 34. Dns un cercle, le rpport entre l circonférence et le dimètre est une constnte que l on représente pr π : C πd C πr, dns lequel C est l circonférence, d est le dimètre et r est le ryon. 35. L ire d un disque est égle à π r : A πr, dns lequel A est l ire et r est le ryon. DEUXIÈME PARTIE : ÉNONCÉS PARTICULIERS À CE COURS (N os 36 à 55) ISOMÉTRIES ET FIGURES ISOMÉTRIQUES 36. Une trnsformtion isométrique conserve l colinérité, le prllélisme, l ordre des points, les distnces et les mesures des ngles. Les trnsltions et les rottions conservent en plus l orienttion du pln. 37. Tte trnsltion trnsforme une droite en une droite prllèle. 38. Des figures plnes des solides sont isométriques si et seulement s il existe une isométrie qui ssocie une figure à l utre. 39. Dns les figures plnes solides isométriques, les éléments suivnts ont l même mesure : ) les segments et ngles homologues; b) les périmètres; c) les ires; d) les volumes. 40. Tt point de l méditrice d un segment est situé à égle distnce des deux extrémités de ce segment. 4. Tt point de l bissectrice d un ngle est situé à égle distnce des côtés de cet ngle. 4. Dns tt tringle rectngle, l mesure de l médine reltive à l hypoténuse est égle à l demi-mesure de l hypoténuse *. 43. Dns tt tringle, les trois méditrices concrent en un même point équidistnt des trois sommets. 44. Dns un polygone convexe, les digonles issues d un sommet divisent ce polygone en utnt de tringles qu il y de côtés moins deux. 45. L somme des mesures des ngles intérieurs d un polygone est égle à utnt de fois 80 qu il de côtés moins deux. 46. L somme des mesures des ngles extérieurs d un polygone convexe est égle à 360. * L démonstrtion de cet énoncé fit ussi intervenir un cs de similitude des tringles. Complément et synthèse I MAT-4-5

6 SIMILITUDES ET FIGURES SEMBLABLES 47. Tte trnsformtion homothétique conserve l colinérité, le prllélisme, l ordre des points, l orienttion du pln, les mesures des ngles et le rpport des distnces. 48. Tte homothétie trnsforme une droite en une droite prllèle. 49. Des figures plnes des solides sont semblbles si et seulement s il existe une similitude qui ssocie une figure à l utre. 50. Dns des figures plnes des solides semblbles : ) le rpport entre les mesures de segments homologues est égl u rpport de similitude; b) le rpport entre les mesures d ngles homologues est de ; c) le rpport entre les ires est égl u crré du rpport de similitude; d) le rpport entre les volumes est égl u cube du rpport de similitude. 5. Des figures plnes des solides dont le rpport de similitude est de sont isométriques. 5. Tte droite sécnte à deux côtés d un tringle et prllèle u troisième côté forme un petit tringle semblble u grnd. 53. Des sécntes, cpées pr des prllèles, sont prtgées en segments de longueurs proportionnelles. 54. Le segment de droite qui joint le milieu de deux côtés d un tringle est prllèle u troisième côté et s mesure est l moitié de celle du troisième côté. 55. Dns tt tringle, les trois médines concrent en un même point situé ux deux tiers de chcune à prtir du sommet. Complément et synthèse I MAT-4-6