Développement du modèle log-normal nonstationnaire et comparaison avec le modèle GEV non-stationnaire

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1 Hydrological Scieces Joural ISSN: (Prit) (Olie) Joural homepage: Développemet du modèle log-ormal ostatioaire et comparaiso avec le modèle GEV o-statioaire I. AISSAOUI-FQAYEH, S. EL-ADLOUNI, T. B. M. J. OUARDA & A. ST-HILAIRE To cite this article: I. AISSAOUI-FQAYEH, S. EL-ADLOUNI, T. B. M. J. OUARDA & A. ST-HILAIRE (009) Développemet du modèle log-ormal o-statioaire et comparaiso avec le modèle GEV o-statioaire, Hydrological Scieces Joural, 54:6, , DOI: / hysj To lik to this article: Published olie: 19 Ja 010. Submit your article to this joural Article views: 406 View related articles Citig articles: 5 View citig articles Full Terms & Coditios of access ad use ca be foud at Dowload by: [ ] Date: 1 November 015, At: 15:05

2 Hydrological Scieces Joural des Scieces Hydrologiques, 54(6) Décembre Développemet du modèle log-ormal o-statioaire et comparaiso avec le modèle GEV o-statioaire I. AISSAOUI-FQAYEH 1, S. EL-ADLOUNI, T. B. M. J. OUARDA 1 & A. ST-HILAIRE 1 1 Chaire e hydrologie statistique (Hydro-Québec / CRSNG), Chaire du Caada e estimatio des variables hydrologiques, INRS-ETE, Uiversite du Québec, 490 rue de la Couroe, Québec G1K 9A9, Caada Istitut Natioal de Statistique et d Écoomie Appliquée, INSEA, Aveue Allal El Fassi, Madiat Al Irfae, BP Rabat Istituts, Maroc el_adloui@yahoo.com Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Résumé Das le préset travail o présete le modèle log-ormal (LN) o-statioaire pour l ajustemet des séries dot les paramètres sot foctios de covariables. Les modèles o-statioaires, d ue maière géérale, permettet de teir compte des tedaces ou de la variabilité temporelle observée das u échatillo. Ils permettet égalemet de cosidérer l effet d ue covariable sur ue variable doée. Le modèle LN o-statioaire est comparé au modèle GEV o-statioaire par simulatio de Mote Carlo. Les résultats motret que même das le cas de séries géérées à partir d u modèle GEV o-statioaire, le modèle LN o-statioaire coduit à ue estimatio des quatiles plus adéquate que celle qui est obteue par le modèle GEV o-statioaire. L utilité de ces modèles est illustrée par l étude de l effet d u idice climatique (Idice d Oscillatio Australe, SOI) sur des doées hydro-climatiques de la Califorie, USA. L effet de l idice SOI sur les précipitatios maximales auelles, eregistrées à la statio Tehachapi de la Califorie, est étudié. Mots clefs distributio log-ormale; estimateur du maximum de vraisemblace; modèles o-statioaires; quatiles; précipitatios maximales auelles No-statioary logormal model developmet ad compariso with the o-statioary GEV model Abstract Classical flood frequecy aalysis (FFA) requires statioarity of the observed data set. This hypothesis is ot always verified for observed data. This restrictio ca be lifted if classical distributios used i FFA itegrate o-statioarity by cosiderig time depedet parameters. It is also possible to cosider other covariates istead of the time. The coditioal distributio ca the be obtaied with respect to give values of the covariates. I the preset study the o-statioary logormal (LN) model with liear ad quadratic depedece is preseted, ad correspodig maximum likelihood equatios are developed. These models are compared to the o-statioary geeralized extreme value (GEV) models by Mote Carlo simulatio. The o-statioary LN model is also applied to a case study to illustrate its potetial. The case study deals with the aalysis of the aual maximum precipitatio at the Tehachapi Statio i Califoria, USA, with the Souther Oscillatio Idex (SOI) as a covariate. Key words logormal model; maximum likelihood estimator; o-statioary model; quatiles; aual maximum precipitatio 1 INTRODUCTION L étude des processus et évéemets hydrologiques extrêmes aux échelles locale et régioale passe par la mesure et l aalyse de différetes variables hydro-climatiques (précipitatios, températures, débits, etc.). Cela écessite des outils statistiques adaptés qui tieet compte de l iteractio etre les différetes variables. Les approches classiques d aalyse fréquetielle supposet la statioarité des séries d observatios, aisi que l idépedace et l homogééité. Autremet dit, les observatios doivet être idépedates et idetiquemet distribuées (iid). E hydrologie, la loi de probabilité des crues peut chager avec le temps (existece de ostatioarité) comme coséquece des activités humaies ou à cause des chagemets climatiques (Zhag et al., 001; El Adloui et al., 007). Il est doc écessaire de développer des approches d aalyse fréquetielle qui tieet compte de la o-statioarité des séries des doées hydroclimatiques. Ce gere de modèles permet d iclure l effet de différetes covariables sur la variabilité et l évolutio de la série observée. La discussio cocerat cet article est ouverte jusqu au 1er Jui 010 Copyright 009 IAHS Press

3 114 I. Aissaoui-Fqayeh et al. Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Avat de procéder à ue aalyse fréquetielle, il faut vérifier les hypothèses d homogééité et de statioarité des séries observées. Plusieurs tests permettet de vérifier ces hypothèses. Das ce travail o s itéresse au problème de o-statioarité. Pour tester cette derière o utilise les tests de Ma, Kruskal-Wallis (Faucher et al., 1997) et Ma-Kedall (Ööz & Bayazit, 003). Récemmet de ouveaux tests ot été développés tels que le test de segmetatio (Che & Rao, 00) et le test de Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shi (le test KPSS) (Hobij, 004). E aalyse fréquetielle, plusieurs méthodes ot été développées pour l estimatio des paramètres des distributios d itérêt. La méthode des momets de probabilités podérées (PWM) et la méthode des L-momets (LM) (Hoskig, 1990) sot parmi les méthodes les plus utilisées, e raiso de leur simplicité pour la majorité des distributios. Das le cas o-statioaire (existece d ue o-statioarité temporelle ou de dépedace de covariables) les estimateurs des L-momets sot compliqués à implémeter d ue maière explicite. Das ce cas, o cosidère souvet l estimatio par la méthode du maximum de vraisemblace (ML) qui permet, par le biais de la résolutio umérique du système d équatios, d estimer les paramètres même das des cas très complexes (Coles, 001). El Adloui et al. (007) ot doé ue extesio de la méthode du maximum de vraisemblace gééralisée (GML) itroduite par Marti & Stediger (000), au cas de la présece de covariables pour le modèle GEV o-statioaire. La méthode GML permet d itégrer ue loi a priori sur le paramètre de forme de la loi GEV et de réduire l espace des solutios de la méthode du ML à des valeurs admissibles das le cas des séries hydrométéorologiques. La majorité des travaux sur les modèles o-statioaires est liée au modèle gééralisé des valeurs extrêmes (GEV) (Coles, 001; Clarke, 00a,b). Katz et al. (00) ot utilisé ce modèle pour traiter le cadre local aisi que le cadre régioal. E effet, la loi GEV est très utilisée e hydrologie et a été jugée das plusieurs études comme adéquate pour l ajustemet des séries des maximums (Faucher et al., 1997). Cepedat das certaies régios, d autres distributios ot été suggérées pour l étude des séries hydrométéorologiques: log-ormale (LN) e Chie, log-pearso Type III (LPIII) aux États-Uis d Amérique (USWRC, 198), ou log-ormale à deux paramètres (LN) au Québec (Kouider et al., 00). Notos que la loi LN a u comportemet au iveau des extrêmes qui est très semblable à celui des distributios à queues lourdes (Ouarda et al., 1994). E cosidérat ce résultat et les deriers travaux de la théorie des valeurs extrêmes, El Adloui et al. (008) ot préseté ue classificatio des distributios les plus utilisées e aalyse fréquetielle par rapport à leur queue droite. O remarque à partir de cette classificatio que la loi log-ormale a ue queue plus lourde que celles des lois sub-expoetielles (exemple: Gumbel, gamma, Halphe Type A) et plus légère que celles des distributios à variatios régulières (Fréchet, log-pearso, iverse gamma). Il est souvet très difficile de discrimier etre la loi LN et les distributios à variatios régulières, ou coues aussi sous le om de distributios de type puissace. Das cette étude, o présete le modèle log-ormal o-statioaire à deux paramètres. Ce modèle, comme il a été déjà metioé, s ajuste bie à plusieurs séries de doées hydrologiques et respecte le pricipe de parcimoie. E effet, le ombre de paramètres augmete avec le ombre de covariables d où l avatage de cosidérer ue distributio avec le mois de paramètres possible, surtout e hydrologie où la taille des séries d observatios est souvet faible. Le deuxième objectif est de comparer, sur la base de simulatios de Mote Carlo, les propriétés des estimateurs de quatiles par la méthode du maximum de vraisemblace obteus pour les modèles LN o-statioaire et GEV o-statioaire. Après avoir rappelé certaies propriétés statistiques de la loi log-ormale, o présete le modèle log-ormal o-statioaire et certais des cas particuliers avec la méthode du maximum de vraisemblace pour l estimatio des paramètres. Nous présetos esuite das la Sectio 3 ue comparaiso par simulatio de Mote Carlo etre le modèle LN o-statioaire et le modèle GEV o-statioaire. Ue applicatio qui illustre la flexibilité et l efficacité du modèle proposé est présetée das la Sectio 4. Les coclusios et la discussio géérale sot présetées das la Sectio 5. Copyright 009 IAHS Press

4 Développemet du modèle log-ormal o-statioaire 1143 MODELE LOG-NORMAL NON-STATIONNAIRE.1 Caractéristiques statistiques.1.1 Distributio log-ormale O présete ci-dessous quelques propriétés statistiques de la loi log-ormale (Leuret, 1998). Ue variable X est distribuée suivat ue loi log-ormale si so logarithme suit ue loi ormale. Soiet μ et σ la moyee et l écart-type de la trasformée logarithmique, log(x). La variable Z = [log(x) μ]/σ est distribuée suivat ue loi ormale cetrée réduite. Soit Φ la foctio de répartitio de la loi ormale cetrée réduite et F celle de la loi logormale, o a alors les égalités suivates: ( X x ) = Pr( Z z ) = Φ( z ) = Φ[ ( l( x ) μ )/ ] p F ( x0 ) = Pr σ = (1) Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November F ( p) = exp( μ + σ Φ ( p) ) () La foctio de répartitio peut être écrite sous la forme: x0 1 1 log( x) μ F( x0 ) = exp dx 0 σx π σ La foctio de desité de probabilité f(x) est doée par: 1 1 log( x) μ f ( x) = exp (4) σx π σ où x > 0, σ > 0 et μ Ρ. Les momets d ordre 1 et d ordre sot doés par: [ X ] = exp( μ + σ / ) E (5) E [ X ] = exp(μ + σ ) = ( E[ X ]) exp( σ ) La variace s écrit doc de la faço suivate: ( μ + σ )( exp( σ ) 1) = E[ X ] ( exp( ) 1 var( X ) = exp σ ) (7) Le coefficiet de variatio (Cv) et le coefficiet d asymétrie (Cs) sot doés par: Cv = ( ) 1 ( ) 1 σ e 1 σ et CS e 1 σ = ( e + ). Après ue trasformatio logarithmique, o obtiet des variables aléatoires ormalemet distribuées de moyee μ et de variace σ doées par les formules: 1 var[ X ] = ( ) = + var[ X ] μ log E[ X ] log 1, σ log 1 + (8) ( E[ X ]) ( E[ X ]) (3) (6).1. Modèle log-ormal o-statioaire Les modèles fréquetiels classiques peuvet être gééralisés pour itégrer la otio de o-statioarité das le processus de modélisatio e itégrat le temps ou d autres covariables au iveau des paramètres. De telles covariables pourraiet icorporer des tedaces, des cycles, ou des idices climatiques tels que les idices d oscillatios climatiques de basse fréquece (Coles 001; Katz et al., 00). Par coséquet ces modèles peuvet être appliqués pour étudier l effet des chagemets climatiques, aisi que l effet de la variabilité climatique sur la fréquece et l amplitude des évéemets extrêmes. Le modèle log-ormal o-statioaire correspod au processus X t, tel que les paramètres sot foctios du temps ou d autres covariables. Aisi, pour des valeurs fixes du temps ou/et de Copyright 009 IAHS Press

5 1144 I. Aissaoui-Fqayeh et al. Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 covariables, X t est distribué selo ue loi log-ormale. Différets types de dépedace peuvet être cosidérés e représetat des paramètres comme foctios des covariables. Cepedat, quad deux modèles doet u bo ajustemet, le modèle avec le ombre de paramètres le plus faible sera préféré. L itroductio des covariables peut être effectuée au iveau de importe quel paramètre, ou même à deux ou trois paramètres à la fois. Sakarasubramaia & Lall (003) ot comparé trois méthodes pour l estimatio des quatiles coditioels. La première méthode est paramétrique et est basée sur ue trasformatio d ue loi ormale dot les paramètres dépedet de covariables. Les deux autres méthodes correspodet à ue approche o paramétrique (régressio des quatiles; Koekar & Bassett, 1978) et ue approche semi-paramétrique (modèle de vraisemblace locale; Daviso & Ramesh, 000). L itroductio de covariables au iveau des paramètres implique des chagemets des caractéristiques statistiques de la distributio ajustée. Plusieurs scietifiques suggèret d associer u chagemet das la variace à celui de la moyee pour que le coefficiet de variatio (Cv) reste costat. Cepedat, das le cas d ue variable distribuée suivat ue loi log-ormale, le coefficiet Cv est foctio seulemet du paramètre σ. Aisi, garder le coefficiet Cv costat implique que le paramètre σ est costat. Par coséquet, das le préset travail, seul le paramètre μ est foctio des covariables. Pour étudier les propriétés des estimateurs des paramètres, trois modèles sot cosidérés das le préset travail: LN (0) (μ, σ) qui est u modèle classique où tous les paramètres sot costats μ t = μ, σ t = σ. LN (1) (μ t = β 1 + β Y t, σ): le paramètre μ est foctio liéaire d ue covariable Y t. LN () (μ t = β 1 + β Y t + β 3 Y t, σ): le paramètre μ est ue foctio quadratique d ue covariable temporelle Y t et l autre paramètre est costat. Notos que pour la distributio log-ormale, le chagemet du paramètre μ mèe à u chagemet de la moyee et de la variace de la variable, ce qui correspod souvet aux chagemets observés das des séries hydrométéorologiques.. Estimatio des paramètres par la méthode du maximum de vraisemblace Les paramètres du modèle log-ormal o-statioaire peuvet être estimés par la méthode du maximum de vraisemblace, par maximisatio du logarithme de la foctio de vraisemblace. La foctio de vraisemblace s écrit: L ( x μ, σ ) = f( x; μ, σ ) t t t t t t= log xt μ t = exp t= 1 σ txt π σ t 1 1 log xt μ t = exp / t= 1 σ t σ x ( π) t t= 1 t= 1 t où est la taille de la série à ajuster. Posos σ t = σ, puisque la o-statioarité cosidérée das le préset travail est liée seulemet au paramètre μ. Das ce cas, la foctio de log-vraisemblace l est doée par: 1 log xt μt l( x; μt, σ) = ( log( σ) log( xt) log( π)) + t= t= 1 σ (10) Par défiitio, les estimateurs du maximum de vraisemblace sot les solutios du système d équatios des dérivées partielles de l par rapport à chacu des paramètres. (9) Copyright 009 IAHS Press

6 Développemet du modèle log-ormal o-statioaire 1145 Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Pour le modèle LN (1), où (μ t = β 1 + β Y t ) et Y t est le vecteur des covariables, les estimateurs du maximum de vraisemblace des paramètres β 1, β et σ sot solutios du système d équatios suivat: 1 σ 1 ( xt β1 βyt) t= 1 log = 0 ( β1 β ) y log x y = 0 t t t σ t= 1 ( log xt β1 βyt) 3 + = 0 σ t= 1 σ Ce système peut être résolu par ue méthode umérique comme par exemple l algorithme de Newto-Raphso. D ue maière aalogue o obtiet u système équivalet au système précédet pour le modèle LN (), avec ue quatrième équatio pour le paramètre β 3..3 Estimatio des quatiles Le quatile de probabilité au o-dépassemet p coditioellemet à ue valeur observée y 0 de la covariable Y est obteu à partir d ue loi log-ormale de paramètres (μ y0, σ). Ce quatile peut être préseté sous forme explicite: py0 0 1 ( μy σ ( p) ) x, = exp + Φ (1) où μ y0 est le premier paramètre du modèle log-ormal o-statioaire coditioellemet à la valeur particulière y 0 de la covariable. Ce paramètre chage selo les différets modèles: pour le modèle LN (0), μ y0 = μ; pour le modèle LN (1) il est foctio liéaire de la covariable, μ y0 = β 1 + β y 0 ; et pour le modèle LN () il s écrit sous la forme μ y0 = β 1 + β y 0 + β 3 y 0. E remplaçat ces paramètres par leurs estimateurs das l équatio (1), o obtiet les estimateurs des quatiles. 3 COMPARAISON DES MODELES LN ET GEV NON-STATIONNAIRES L objectif de cette sectio est de comparer le modèle LN o-statioaire au modèle GEV ostatioaire. Les modèles GEV o-statioaires cosidérés das ce travail ot été décrits e détail par El Adloui et al. (007) et sot présetés das l Aexe A. Pour étudier la différece etre les deux modèles, ous avos cosidéré la même méthode d estimatio: la méthode du maximum de vraisemblace. Nous avos cosidéré plusieurs types de o-statioarité qui peuvet être observés das des séries hydrométéorologiques. Pour tous les cas, la covariable est distribuée suivat ue loi ormale cetrée réduite. (11) 3.1 Pla de simulatio Das cette partie o compare par simulatios les modèles LN et GEV o-statioaires (Aexe) pour l estimatio des extrêmes coditioellemet aux valeurs de covariables. Le choix des paramètres des modèles simulés est effectué sur la base de la moyee et du coefficiet de variatio de 40 séries de débit maximum auel du Québec, étudiées par Kouider et al. (00). Les résultats obteus à partir de cette étude ous ot permis de détermier les itervalles de variatio des deux paramètres de la loi LN. Les coefficiets de variatio les plus observés pour ces 40 séries appartieet à l itervalle [0.15, 0.35]. Nous avos cosidéré pour cette étude deux coefficiets de variatio: Cv = 0. et Cv = 0.3. La moyee a été fixée E[x] = 00. Les valeurs de l asymétrie, pour ue variable distribuée suivat ue loi LN, peuvet être déduites de celles du coefficiet de Copyright 009 IAHS Press

7 1146 I. Aissaoui-Fqayeh et al. Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 variatio à partir de la formule suivate: Cs = Cv (Cv + 3) (13) Les coefficiets d asymétrie correspodat aux deux coefficiets de variatio Cv = 0. et Cv = 0.3 sot Cs = 0.6 et Cs = 0.9, respectivemet. Comme coséquece au choix de ces deux cas, les valeurs du paramètre σ pour la loi LN et du paramètre de forme κ pour la loi GEV sot fixées pour chaque asymétrie (Tableau 1). Comme ous l avos déjà metioé, le modèle LN (1) peut représeter: (a) le cas où la moyee déped d ue covariable, et (b) la moyee et la variace sot foctios de la covariable. Nous avos cosidéré les trois cas suivats: Cas 1: o compare M1 = LN (1) et M = GEV (10) (le paramètre de positio est foctio liéaire de la covariable). Cas : o compare M1 = LN (1) et M = GEV (11) (les paramètres de positio et d échelle sot foctios liéaires de la covariable). Cas 3: comparaiso des modèles M1 = LN () et M = GEV (1) (le paramètre de positio est ue foctio quadratique et le paramètre d échelle est foctio liéaire de la covariable). Pour les trois cas, la covariable Y t est distribuée selo ue loi ormale cetrée réduite (de moyee 0 et de variace 1). Les paramètres de dépedace de la covariable, pour les deux modèles, ot été choisis coveablemet pour que les échatillos géérés à partir des deux modèles aiet les mêmes caractéristiques de dépedace des covariables. Nous avos cosidéré des dépedaces semblables à celles observées e pratique. Les paramètres de la loi GEV ot été fixés à l avace et ceux du modèle log-ormal ot été calculés par estimatio sur la base d u échatillo de taille simulé à partir du modèle GEV avec covariable. Le Tableau 1 présete les paramètres des modèles pour les trois cas cosidérés et pour les deux coefficiets de variatio. Pour comparer ces modèles (deux à deux), o géère N = 5000 échatillos de taille = 50 à partir du modèle Mi (i = 1, ) et o estime les quatiles de probabilité au o-dépassemet 50, 90 et 99% à partir des deux modèles M1 et M. Les quatiles sot estimés coditioellemet à des valeurs particulières de la covariable les valeurs: miimale (mi), moyee (moy) et maximale (max). O calcule esuite le biais relatif (BR) et la racie de l erreur quadratique moyee relative (REQMR). Le BR et la REQMR sot doés par les formules suivates: ˆ, BR = 1 N Qip Qp (14) N Q où i= 1 REQMR = Qˆi, p p 1/ 1 N Qˆ ip, Q p (15) N i= 1 Q p et Q p sot respectivemet les estimateurs des quatiles, pour l itératio i, et les quatiles théoriques de probabilité au o-dépassemet p, et où N est le ombre de simulatios. Tableau 1 Paramètres des lois LN et GEV correspodat aux deux coefficiets de variatio cosidérés. Cv Cv = 0. Cv = 0.3 σ = pour LN κ = 0.01 pour GEV Cas 1 LN (1) (μ t = Y t, σ) GEV (10) (μ t = Y t, 00, κ) Cas LN (1) (μ t = Y t, σ) GEV (11) (μ t = Y t, exp(log(00) 0.Y t ), κ) Cas 3 LN () (μ t = 6. 0.Y t + 0.1Y t, σ) GEV (1) (μ t = Y t + 3Y t, exp(log(00) 0.Y t ), κ) σ = 0.83 pour LN κ = 0.04 pour GEV LN (1) (μ t = Y t, σ) GEV (10) (μ t = Y t, 50, κ) LN (1) (μ t = Y t, σ) GEV (11) (μ t = Y t, exp(log(50) 0.Y t ), κ) LN () (μ t = Y t + 0.1Y t, σ) GEV (1) (μ t = Y t + 3Y t, exp(log(50) 0.Y t ), κ) Copyright 009 IAHS Press

8 Développemet du modèle log-ormal o-statioaire 1147 Cette comparaiso permettra d évaluer: (a) les erreurs reliées à la méthode d estimatio des paramètres pour ue faible taille de l échatillo ( = 50) das le cas où o effectue u bo choix du modèle, aisi que (b) les erreurs reliées au mauvais choix du modèle (choisir u modèle LN au lieu de GEV et vice versa). 3. Résultats Les résultats de la comparaiso etre les modèles LN et GEV avec covariables, pour les six cas cosidérés sot présetés das les Tableaux 7. Pour chaque cas o présete le BR et le REQMR des quatiles coditioellemet aux valeurs miimale, moyee et maximale de la covariable (distribuée suivat ue loi ormale). Notos que la différece etre les deux modèles est relativemet importate das le cas des quatiles extrêmes (probabilité au o-dépassemet 99%) coditioellemet à la valeur miimale ou maximale de la covariable. Tous les résultats sot présetés das les tableaux ci-dessous. Cepedat, l aalyse des résultats va être faite pricipalemet pour le quatile de probabilité au o-dépassemet 99% coditioellemet à la valeur maximale de la covariable. Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November Les modèles LN (1) et GEV (10) Pour le premier cas, o compare les modèles LN (1) et GEV (10) avec ue faible asymétrie (le coefficiet de variatio Cv = 0.). Les résultats sot présetés das le Tableau. O remarque que lorsque l o géère à partir du modèle GEV (10) (bloc de lige correspodat au modèle GEV (10) ), le BR du quatile (de probabilité au o-dépassemet 99% coditioellemet à la valeur maximale de la covariable) estimé à partir du modèle LN (1) est de l ordre de 9% alors qu il est très faible pour GEV (10) ( 0.75%). Cepedat, la différece e termes de la REQMR des quatiles estimés à partir de ces deux modèles est pas aussi importate que celle qui est obteue pour le biais. La REQMR est de l ordre de 1% pour le modèle GEV (10) et de 14% pour le modèle LN (1) (pour le même quatile, 99%, et la même valeur de la covariable qui est le maximum). Das le cas où les échatillos sot géérés à partir d u modèle LN (1), (bloc de lige correspodat au modèle LN (1) ), le BR maximum est de 0.17% pour le modèle LN (1) et 1% pour le modèle GEV (10). O remarque que cette différece est très importate pour le biais et qu elle l est aussi pour l erreur quadratique moyee (REQMR est de l ordre de 10% pour LN (1) et 3% pour GEV (10) ). Le Tableau 3 présete les résultats de la comparaiso de ces deux modèles, LN (1) et GEV (10), pour le coefficiet de variatio Cv = 0.3. Tableau BR et REQMR des quatiles estimés, coditioellemet à la covariable, par le modèle GEV (10) et LN (1) pour Cv = 0.. Distributio à géérer Valeurs de la BR % (GEV (10) ): BR % (LN (1) ): covariable 50% 90% 99% 50% 90% 99% GEV (10) LN (1) GEV (10) LN (1) Mi Moy Max Mi Moy Max REQMR % (GEV (10) ): REQMR % (LN (1) ): Mi Moy Max Mi Moy Max Copyright 009 IAHS Press

9 1148 I. Aissaoui-Fqayeh et al. Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Tableau 3 BR et REQMR des quatiles estimés, coditioellemet à la covariable, par le modèle GEV (10) et LN (1) pour Cv = 0.3. Distributio à géérer GEV (10) LN (1) GEV (10) LN (1) Valeurs de la BR % (GEV (10) ): BR % (LN (1) ): covariable 50% 90% 99% 50% 90% 99% Mi Moy Max Mi Moy Max REQMR % (GEV (10) ): REQMR % (LN (1) ): Mi Moy Max Mi Moy Max Les mêmes coclusios sot valables pour le deuxième cas (Cv = 0.3), avec des valeurs du BR et de la REQMR relativemet plus élevées que celles qui sot obteues das le cas de faible asymétrie (Tableau 3). Notos que les REQMR des quatiles estimés à partir du modèle LN (1) sot presque les mêmes quelle que soit la populatio mère (géérée à partir du modèle GEV (10) ou LN (1) ); alors que, lorsque l ajustemet est effectué avec le modèle GEV (10), la différece est très grade dépedammet de la populatio mère (1% quad o géère à partir de GEV (10) et 3% das le cas de valeurs simulées à partir de LN (1) ). 3.. Les modèles LN (1) et GEV (11) Pour le deuxième cas, o cosidère des échatillos géérés à partir des modèles LN (1) et GEV (11) pour teir compte de l effet d ue dépedace liéaire du paramètre d échelle de la loi GEV e foctio de la covariable. Les résultats das le cas de Cv = 0. sot présetés das le Tableau 4. O remarque que das ce cas les BR des quatiles estimés à partir du modèle GEV (11), pour des échatillos géérés à partir du modèle LN (1), sot relativemet faibles par rapport aux résultats de comparaiso des modèles GEV (10) et LN (1). Les BR obteus sot du même ordre que Tableau 4 BR et REQMR des quatiles estimés, coditioellemet à la covariable, par le modèle GEV (11) et LN (1) pour Cv = 0.. Distributio à géérer GEV (11) LN (1) GEV (11) LN (1) Valeurs de la BR % (GEV (11) ): BR % (LN (1) ): covariable 50% 90% 99% 50% 90% 99% Mi Moy Max Mi Moy Max REQMR % (GEV (11) ): REQMR % (LN (1) ): Mi Moy Max Mi Moy Max Copyright 009 IAHS Press

10 Développemet du modèle log-ormal o-statioaire 1149 Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Tableau 5 BR et REQMR des quatiles estimés, coditioellemet à la covariable, par le modèle GEV (11) et LN (1) pour Cv = 0.3. Distributio à géérer GEV (11) LN (1) GEV (11) LN (1) Valeurs de la BR % (GEV (11) ): BR % (LN (1) ): covariable 50% 90% 99% 50% 90% 99% Mi Moy Max Mi Moy Max REQMR % (GEV (11) ): REQMR % (LN (1) ): Mi Moy Max Mi Moy Max ceux qui sot obteus avec le modèle LN (1) lorsque les échatillos sot géérés à partir du modèle GEV (11). Notos que ces deux modèles se ressemblet plus que ceux qui sot cosidérés das la première comparaiso GEV (10) et LN (1). O remarque égalemet que: les REQMR des quatiles estimés par le modèle GEV (11) sot les mêmes quelle que soit la populatio à partir de laquelle o géère; et les REQMR des quatiles obteus à partir du modèle LN (1) sot faibles par rapport à celles du modèle GEV (11) quel que soit le modèle à partir duquel o géère. Ceci est dû pricipalemet au ombre de paramètres cosidérés das chaque modèle (trois paramètres pour LN (1) et ciq paramètres pour GEV (11) ). Les résultats correspodats à la comparaiso de ces deux modèles das le cas de Cv = 0.3 sot doés das le Tableau 5. Les coclusios tirées pour le premier cas, faible asymétrie, restet valables pour Cv = 0.3 avec ue légère augmetatio de la REQMR pour les deux modèles (Tableau 5). Cepedat, les REQMR des quatiles sot presque les mêmes si o cosidère le même modèle d ajustemet (c est-à-dire idépedammet du modèle de géératio). Les REQMR des quatiles obteus par le modèle LN (1) restet toujours iférieures à celles du modèle GEV (11) quelle que soit la populatio mère (le modèle cosidéré pour géérer les doées, GEV (11) ou LN (1) ) Les modèles LN () et GEV (1) Pour ce troisième cas o compare les modèles LN () et GEV (1) où les paramètres de positio et d échelle sot, respectivemet, des foctios quadratiques et liéaire de la covariable. Ces modèles permettet de modéliser la dépedace des covariables avec plus de flexibilité. Les résultats de cette comparaiso sot présetés das le Tableau 6 (cas où Cv = 0.) et le Tableau 7 (cas où Cv = 0.3). O remarque que les REQMR des deux modèles restet les mêmes quelle que soit la distributio de la populatio mère. Ceci peut être expliqué par la flexibilité de ces deux modèles pour représeter les deux populatios cosidérées das cette étude (géérées à partir du modèle GEV (1) et du modèle LN () ). Quad o géère à partir du modèle GEV (1), le modèle LN () performe mieux que le modèle GEV (1) e termes de REQMR, pour les deux asymétries. Ceci est dû pricipalemet à la variace élevée causée par le ombre de paramètres qui est égal à 6 das le cas du modèle GEV (1). Alors que pour le biais, le bo choix du modèle mèe automatiquemet à u faible biais. Copyright 009 IAHS Press

11 1150 I. Aissaoui-Fqayeh et al. Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Tableau 6 BR et REQMR des quatiles estimés, coditioellemet à la covariable, par le modèle GEV (1) et LN () pour Cv = 0.. Distributio à géérer GEV (1) LN () GEV (1) LN () Valeurs de la BR % (GEV (1) ): BR % (LN () ): covariable 50% 90% 99% 50% 90% 99% Mi Moy Max Mi Moy Max REQMR % (GEV (1) ): REQMR % (LN () ): Mi Moy Max Mi Moy Max Tableau 7 BR et REQMR des quatiles estimés, coditioellemet à la covariable, par le modèle GEV (1) et LN () pour Cv = 0.3. Distributio à géérer GEV (1) LN () GEV (1) LN () Valeurs de la BR % (GEV (1) ): BR % (LN () ): covariable 50% 90% 99% 50% 90% 99% Mi Moy Max Mi Moy Max REQMR % (GEV (1) ): REQMR % (LN () ): Mi Moy Max Mi Moy Max APPLICATION: PRECIPITATIONS A LA STATION TEHACHAPI Nous avos appliqué les modèles GEV et LN o-statioaires à ue série X = ( x 1,, x ) de précipitatios maximales auelles istataées e mm, eregistrées à la statio Tehachapi de la Califorie (Statio USGS #04886; latitude: 35.13; logitude: ; période et le ombre d aées d eregistremet = 49). La Fig. 1 motre la localisatio géographique de la statio d étude. Située au sud de la Califorie, les précipitatios de cette régio sot fortemet modulées par le phéomèe El Niño. L objectif de cette applicatio est d illustrer la possibilité de teir compte das la distributio des précipitatios maximales auelles, des dépedaces de certais idices climatiques. Pour la présete étude o cosidère l idice SOI (Idice d oscillatio australe). O ajuste le modèle logormal o-statioaire sous ses deux formes LN (1) et LN () pour aalyser la dépedace des paramètres de l idice SOI. Le modèle GEV o-statioaire sera égalemet cosidéré pour motrer la différece etre les deux familles de modèles. Le coefficiet de corrélatio etre la variable X et la covariable SOI est Le coefficiet de corrélatio de Pearso est ue mesure Copyright 009 IAHS Press

12 Développemet du modèle log-ormal o-statioaire N 40.0 N 37.5 N Califoria 35.0 N Tehachapi Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Précipitatio (mm) 3.5 N 15.0 W 1.5 W 10.0 W W W 11.5 W Fig. 1 Situatio géographique de la statio Tehachapi de la Califorie, USA Aée SOI Précipitatio SOI Fig. Précipitatios maximales auelles observées et valeurs de SOI correspodates. de la corrélatio liéaire etre les deux variables. Il est cosidéré à titre idicatif pour vérifier l existece d ue dépedace sigificative. La Fig. illustre la relatio etre ces deux variables. La Fig. 3 motre qu il y a ue corrélatio égative sigificative (coefficiet de corrélatio. ρ = 0.57) etre les précipitatios et l idice climatique SOI. O remarque égalemet que les plus grades valeurs eregistrées pour les précipitatios maximales auelles correspodet aux faibles valeurs de l idice climatique SOI. Tous les modèles, LN et GEV, ot été ajustés à la série des précipitatios maximales auelles e cosidérat comme covariable SOI. O s itéresse pricipalemet à l estimatio de la médiae (quatile correspodat à la probabilité au o-dépassemet 50%) par les trois modèles das le cas de LN (LN (0), LN (1) et LN () ) et quatre modèles das le cas de GEV (GEV (0), GEV (10), GEV (11) et GEV (1) ). Copyright 009 IAHS Press

13 115 I. Aissaoui-Fqayeh et al Précipitatio (mm) Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November SOI Fig. 3 Nuage de poits des précipitatios maximales auelles observées et valeurs de SOI correspodates. Le choix du modèle est fait à l aide de la déviace statistique. Le test basé sur la déviace est simple et très utilisé pour comparer deux modèles comme lorsque l u est u cas particulier de l autre (Coles, 001). Ce test est utilisé, séparémet, pour choisir u modèle parmi les modèles LN o-statioaires et u parmi les modèles GEV o-statioaires. Quad la différece etre les deux modèles est pas évidete, il est préférable d utiliser le modèle le plus simple afi de respecter le pricipe de parcimoie. Pour deux modèles M 1 et M 0 tels que M 0 M 1, la statistique de déviace est défiie par: D = {l * (M 1 ) l * (M 0 )}, où l * (M) est la foctio du log-vraisemblace du modèle M. Ue grade valeur de D idique que le modèle M 1 est le plus adéquat pour ajuster les variatios des doées que le modèle M 0. La statistique D est distribuée selo ue loi de chi-deux (χ v ). Le paramètre v est égal à la différece etre la dimesio (le ombre de paramètres) du modèle M 1 et la dimesio du modèle M 0. Des valeurs de D qui sot plus grades que les quatiles de la loi de χ v pour u iveau de sigificatio particulier α = 5%, sigifie que le modèle M 1 est meilleur que le modèle M 0. Les résultats motret que pour les modèles LN o-statioaires, il y a ue différece sigificative etre les modèles LN (1) et LN (0) puisque D = Cette valeur est plus grade que le quatile (95%) de la loi χ 1 (Pr (χ ) = ). D autre part, pour les modèles LN (1) et LN (), le test statistique motre qu il y a pas de différece sigificative etre ces deux modèles, car D = 1.0 et Pr (χ 1 1.0) = Aisi, pour le iveau de sigificatio α = 5%, le modèle LN (1) est le plus adéquat pour représeter la dépedace etre les précipitatios maximales auelles et la covariable SOI. Les estimatios des paramètres aisi que la valeur de la foctio log-vraisemblace correspodat à chacu des modèles LN, sot doées das le Tableau 8. Le test basé sur la statistique de déviace a égalemet été appliqué pour les modèles GEV o-statioaires. Les résultats motret que le modèle GEV (1) est le plus adéquat pour représeter la dépedace etre les précipitatios maximales auelles et l idice SOI. Le Tableau 9 présete les estimatios des paramètres pour chaque modèle aisi que les valeurs de la foctio de log-vraisemblace cosidérées pour le test de la déviace. Les médiaes sot calculées coditioellemet à plusieurs valeurs de la covariable pour l estimatio de la courbe médiae. Les résultats correspodat à certaies valeurs particulières (la valeur miimale, la moyee et la valeur maximale) sot doés das le Tableau 10. Les estimateurs de la médiae obteus par les deux modèles reteus, GEV (1) et LN (1), sot représetés das la Fig. 4. Les itervalles de cofiace sot calculés e géérat N = 5000 échatillos par bootstrap. O remarque qu il y a ue légère différece etre les médiaes coditioelles obteues à partir des deux modèles, surtout au iveau des valeurs miimale et maximale. Copyright 009 IAHS Press

14 Développemet du modèle log-ormal o-statioaire 1153 Tableau 8 Estimateurs des paramètres et valeurs de la foctio log-vraisemblace des modèles LN ostatioaires. l * μ 1 μ μ 3 σ LN (0) LN (1) LN () Tableau 9 Estimateurs des paramètres et valeurs de la foctio log-vraisemblace des modèles GEV ostatioaires. l * μ 1 μ μ 3 α 1 α κ GEV (0) GEV (10) GEV (11) GEV (1) Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 Tableau 10 Estimateurs des quatiles de probabilité au o-dépassemet 50% coditioellemet aux valeurs miimale, moyee et maximale de SOI. SOI = SOI = SOI =.070 LN (1) GEV (1) precipitatio (mm) Doées Q(0.5) LN (1) CI Q(0.5) LN (1) Q(0.5) GEV (1) CI Q(0.5) GEV (1) SOI Fig. 4 Médiae coditioelle et itervalles de cofiace estimés par les modèles GEV (1) et LN (1). Das le cas statioaire pour les modèles LN (0) et GEV (0), les estimatios de la médiae sot respectivemet égales à 7.1 et Ces valeurs correspodet à la médiae estimée par les modèles o-statioaires coditioellemet à la valeur moyee de la covariable. La différece etre les modèles statioaires et o-statioaires est très grade au iveau des valeurs extrêmes de la covariable (surtout pour la valeur miimale). Quel que soit le modèle o-statioaire choisi, LN ou GEV, l estimatio de la médiae peut passer du simple au double (même plus que le double pour quelques valeurs de la covariable) dépedammet du fait qu o tiee compte de la Copyright 009 IAHS Press

15 1154 I. Aissaoui-Fqayeh et al Doées Q(0.5) LN () CI Q(0.5) LN () Q(0.5) GEV (1) CI Q(0.5) GEV (1) precipitatio (mm) Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November SOI Fig. 5 Médiae coditioelle et itervalles de cofiace estimés par les modèles LN () et GEV (1). dépedace de la covariable ou o. Pour les grades valeurs de la covariable SOI, les estimatios coditioelles de la médiae sot iférieures à celles obteues das le cas statioaire. Notos que le modèle GEV (1) est tel que le paramètre de positio est ue foctio quadratique de la covariable. Le modèle LN o-statioaire qui ressemble le plus au modèle GEV (1) est le modèle LN (). Ce modèle a pas été reteu par le test basé sur la statistique de la déviace, puisque la différece avec le modèle LN (1) est pas sigificative. La Fig. 5 présete les médiaes coditioelles obteues à partir des modèles GEV (1) et LN (). O remarque que ces deux modèles doet des résultats très semblables. 5 CONCLUSIONS L objectif pricipal de cette étude était de préseter le modèle log-ormal o-statioaire pour l ajustemet des séries avec tedaces ou qui dépedet de covariables. Cette dépedace est itroduite au iveau des paramètres pas le biais de foctios usuelles et des hyper-paramètres. Le modèle GEV est le modèle le plus étudié pour représeter ces dépedaces. L itroductio du modèle log-ormal o-statioaire et sa comparaiso avec le modèle GEV o-statioaire ous a permis d étudier la flexibilité du modèle LN pour représeter ces dépedaces et d évaluer les erreurs liées à la méthode d estimatio ou celles qui sot géérées par u mauvais choix du modèle. La loi GEV est ue loi à trois paramètres et est, par coséquet, ue des lois les plus flexibles pour l ajustemet des extrêmes. La loi LN est égalemet très utilisée pour l aalyse des extrêmes vu qu elle possède des propriétés similaires aux distributios des extrêmes (au iveau des queues des distributios). Les résultats de simulatio motret que les modèles LN o-statioaires performet bie même das le cas de séries géérées à partir d u modèle GEV o-statioaire, e termes d erreur moyee quadratique relative. E effet, das tous les cas cosidérés, les REQMR des quatiles estimés par les modèles LN o-statioaires, sot plus petites que celles qui sot obteues à partir des modèles GEV o-statioaires. Le biais est souvet lié au bo choix de la Copyright 009 IAHS Press

16 Développemet du modèle log-ormal o-statioaire 1155 distributio. O e déduit: (a) la flexibilité des modèles LN o-statioaires pour représeter ce type de dépedace, et (b) la écessité de développer de ouveaux critères, autres que la statistique de déviace, pour le choix de l ajustemet le plus adéquat das le cas des modèles ostatioaires. L applicatio des deux familles de modèles à des doées de précipitatios maximales auelles coditioellemet à l idice climatique SOI illustre la flexibilité de ces modèles pour l ajustemet des séries hydrométéorologiques. Le cas étudié motre égalemet l avatage des modèles o-statioaires pour icorporer l iformatio additioelle. E fait, pour les petites valeurs de la covariable SOI, le modèle classique sous-estime la médiae, ce qui peut avoir des coséqueces très dramatiques. L utilisatio des estimatios coditioelles a permis de déduire les valeurs des quatiles correspodat aux évéemets particuliers représetés par la covariable. Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November 015 REFERENCES Che, H. & Rao, A. (00) Testig hydrologic time series for statioarity. J. Hydrol. Egg 7(), Clarke, R. T. (00a) Estimatig time treds i Gumbel-distributed data by meas of geeralized liear models. Water Resour. Res. 38(7), 1111, doi:10.109/001wr Clarke, R. T. (00b) Estimatig treds i data from the Weibull ad a geeralized extreme value distributio. Water Resour. Res. 38(6), 1089, doi:10.109/001wr Coles, G. S. (001) A Itroductio to Statistical Modelig of Extreme Value. Spriger-Verlag, Heidelberg, Germay. Daviso, A. C. & Ramesh, N. I. (000) Local likelihood smoothig of sample extremes. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B, Statistics i Society 6(1), El Adloui, S., Ouarda, T. B. M. J., Zhag, X., Roy, R. & Bobée, B. (007) Geeralized maximum likelihood estimators of the o-statioary GEV model parameters. Water Resour. Res. 43, W03410, doi:10.109/005wr El Adloui, S., Bobée, B. & Ouarda, T. B. M. J. (008) O the tails of extreme evet distributios. J. Hydrol. 355, Faucher, D., Ouarda, T. B. M. J. & Bobée, B. (1997) Revue bibliographique des tests de statioarité. INRS-Eau Rapport de Recherche o. R-499. INRS, Québec, Caada. Hobij, B. (004) Geeralizatios of the KPSS-test for statioarity. Statistica Neerladica 58(4), Hoskig, J. R. M. (1990) L-momets: aalysis ad estimatio of distributios usig liear combiatios of order statistics. J. Roy Statist. Soc. 5, Katz, R. W., Parlage, M. B. & Naveau, P. (00) Statistics of extremes i hydrology. Adv. Water Resour. 5, Kim, K.-D. & Heo, J.-H. (00) Comparative study of flood quatiles estimatio by o parametric models. J. Hydrol. 60, Koekar, R. & Bassett, G. S. (1978) Regressio quatiles. Ecoometrica 46, Kouider, A. Gigras, H., Ouarda, T. B. M. J., Ristic-Rudolf, Z. & Bobée, B. (00) Aalyse fréquetielle locale et régioale et cartographie des crues au Québec. Raport o. R-67-el, INRS-ETE, Ste-Foy, Caada. Leuret, F. (1998) Les valeurs du temps des automobilistes à Marseille e Recherche Trasports Sécurité 60, Marti, E. S. & Stediger, J. R. (000) Geeralized maximum likelihood GEV quatile estimators for hydrologic data. Water Resour. Res. 36(3), Ööz, B. & Bayazit, M. (003) The power of statistical tests for tred detectio. Turkish J. Egg Eviro. Sci. 7, Ouarda, T. B. M. J., Ashkar, F., Besaid, E. & Hourai, I. (1994) Distributios statistiques utilisées e hydrologie: trasformatios et propriétés asymptotiques. Départemet de Mathématique, Uiversité de Mocto, Caada. Sakarasubramaia, A. & Lall, U. (003) Flood quatiles ad chagig climate: seasoal forecasts ad causal relatios. Water Resour. Res. 39(5), USWRC (US Water Resources Coucil) (198) Guidelies for Determiig Flood Flow Frequecy. Bulleti 17B, Hydrology Committee, USWRC, Washigto, DC, USA. Zhag, X., Harvey, K. D., Hogg, W. D. & Yuzyk, T. R. (001) Treds i Caadia streamflow. Water Resour. Res. 37(4), ANNEXE Quelques exemples du modèle GEV o-statioaire 1. GEV (0) (μ, α, κ): correspod au modèle statioaire où les paramètres sot costats: μ t = μ ; α t = α et κ t = κ.. GEV (10) (μ t = μ 1 + μ Y t, α, κ): le paramètre de positio est ue foctio liéaire de la covariable. 3. GEV (10) (μ t = μ 1 + μ Y t, α = exp(α 1 + α Y t ), κ): le paramètre de positio et le logarithme du paramètre d échelle sot des foctios liéaires de la covariable. 4. GEV (10) (μ t = μ 1 + μ Y t + μ 3 Y t, α = exp(α 1 + α Y t ), κ): le paramètre de positio est ue Copyright 009 IAHS Press

17 Dowloaded by [ ] at 15:05 1 November I. Aissaoui-Fqayeh et al. foctio quadratique de la covariable et le logarithme du paramètre d échelle est ue foctio liéaire de la covariable. Reçu le 1 Avril 007; accepté le 30 Mars 009 Copyright 009 IAHS Press