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1 Aée Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les exercices 1,, 3 et 4. Les élèves suivat l eseigemet de spécialité traiterot les exercices 1,, 3 et 5. EXERCICE 1 (4 poits) Commu à tous les cadidats. Résoudre les équatios et iéquatios suivates : ( ) x x 4 e = e e e e = 1 x ( x 4)( x 1) e = e = e x+ 3x 5 3x+ e e < 0 e < 1 EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats. Partie A O cosidère la foctio f défiie sur [ 1,5 ; 10] par : ( ) ( ) f x = 4x + 5 e x + 3 O ote (C) la courbe représetative de la foctio f das u repère orthogoal. O ote f la foctio dérivée de la foctio f sur l itervalle [ 1,5 ; 10]. / 1. a. Démotrer que pour tout réel x de [ 1,5 ; 10], o a : ( ) = ( 4 8 5) b. Étudier le sige de la foctio f sur l itervalle [ 1,5 ; 10].. Dresser le tableau de variatio de la foctio f. f x x x e x 3. Justifier que l équatio f (x) = 3 admet deux solutiosα et β das l itervalle [ 1,5 ; 10]. Doer ue valeur approchée de α et β à 10 près. 4. Proposer u réglage de la feêtre graphique de votre calculatrice permettat de visualiser de la foctio f ; c'est-à-dire défiir Xmi; Xmax; Ymi et Y max. 1-6

2 Partie B Ue etreprise produit de la peiture qu elle ved esuite. Toute la productio est vedue. Le coût moye uitaire de cette productio peut être modélisé par la foctio f de la partie A : pour x hectolitres de peiture fabriqués (avec x [0,5 ; 8]), le ombre f (x) désige le coût moye uitaire de productio par hectolitre de peiture, exprimé e cetaies d euros (o rappelle qu u hectolitre est égal à 100 litres). Das la suite de l exercice, o utilise ce modèle. O pourra utiliser les résultats de la partie A. Chaque répose sera justifiée. 1. Détermier le coût moye uitaire de productio e euros, arrodi à l euro près, pour ue productio de 500 litres de peiture.. a. Combie de litres de peiture l etreprise doit-elle produire pour miimiser le coût moye uitaire de productio? Quel est alors ce coût, arrodi à l euro près? b. Le prix de vete d u hectolitre de peiture est fixé à 100euros. À l aide de la questio précédete, détermier si l etreprise peut réaliser des bééfices. 3. Le prix de vete d u hectolitre de peiture est fixé à 300 euros. O appelle seuil de retabilité la quatité à partir de laquelle la productio est retable, c est-à-dire qu elle permet à l etreprise de réaliser u bééfice. Quel est le seuil de retabilité pour cette etreprise? - 6

3 EXERCICE 3 (5 poits) Commu à tous les cadidats. À l occasio d u festival culturel, ue agece de voyages propose trois types de trasport pour permettre à chaque cliet de se redre das la ville orgaisatrice afi d assister à la cérémoie d ouverture. Les trois moyes de trasport proposés sot l avio, le trai ou le car. À chacu des cliets qui achètet u billet de trasport, l agece propose de souscrire ue assurace multirisque qui permet, sous certaies coditios, ue idemisatio e cas de retard ou de vol de bagages. Ue equête motre que 55 % des cliets choisisset l avio, que 40% choisisset le trai et que les autres choisisset le car. De plus, parmi les cliets ayat choisi l avio, 0% ot souscrit l assurace multirisque ; ils sot 8% à choisir cette assurace parmi ceux qui ot choisi le voyage e trai et seulemet 4% parmi ceux qui ot choisi le car. O pred au hasard le dossier d u cliet qui se redra à la cérémoie d ouverture du festival, chaque dossier ayat la même probabilité d être choisi. O ote : A l évèemet : «Le cliet a acheté u billet d avio» ; T l évèemet : «Le cliet a acheté u billet de trai» ; C l évèemet : «Le cliet a acheté u billet de car» ; S l évèemet : «Le cliet a souscrit ue assurace multirisque»et S so évèemet cotraire. 1. Costruire u arbre podéré décrivat la situatio.. Calculer la probabilité que le dossier choisi soit celui d u cliet qui voyagera e trai et qui a souscrit ue assurace multirisque. O doera la valeur exacte de cette probabilité. 3. Motrer que la probabilité de l évèemet S est égale à 0, O pred u dossier au hasard parmi les cliets ayat pas souscrit ue assurace multirisque. Calculer la probabilité que ce dossier soit celui d u cliet voyageat e trai. Le résultat sera doé arrodi au millième. 5. Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. O choisit trois dossiers au hasard, idépedammet les us des autres. Calculer la probabilité, arrodie au millième, qu au mois deux des dossiers coceret u cliet ayat souscrit l assurace multirisque. 3-6

4 EXERCICE 4 (5 poits) Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité uiquemet. U cetre aéré, ouvert tous les mercredis après-midi à partir du 1er septembre, propose aux efats de s iscrire chaque semaie à ue activité. L ue de ces activités est la atatio. Ue étude effectuée sur l aée scolaire 009/010 motre que d ue semaie sur l autre 5% des efats e se réiscrivet pas à la atatio, alors que das le même temps 10 ouveaux efats s y iscrivet. Le directeur se base sur les résultats de l aée scolaire 009/010 pour prévoir l évolutio des iscriptios pour l aée scolaire 010/011. La première semaie de l aée scolaire 010/011, 80 efats se sot iscrits à la atatio. O ote u 0 le ombre iitial d efats iscrits à la atatio, aisi u 0 = 80. Pour tout etier aturel, o ote u le ombre d efats iscrits à la atatio au bout de semaies. 1. Motrer que u 1 = 86.. Pour tout etier aturel, exprimer u + 1 e foctio de u. 3. Pour tout etier aturel, o pose a u 00 a est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme. Pour tout etier aturel, exprimer a e foctio de. E déduire que, pour tout etier aturel, o a u ,95 =. =.Motrer que la suite ( ) Les questios suivates peuvet être traitées idépedammet les ues des autres. 4. Motrer que pour tout etier aturel, o a u 1 6 0,95 + u =. E déduire que le ombre d iscriptios à la atatio augmete toutes les semaies. 5. Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. Après combie de semaies, le cotexte restat le même, le ombre d efats iscrits à la piscie dépassera-t-il 150? 4-6

5 EXERCICE 5 (5 poits) Spécialité uiquemet Les parties A et B sot idépedates. Partie A 1. O doe les matrices : A a b b = et 3a 4 B= 4 a a+ b Détermier a et b de telle sorte que l o ait A = B.. O doe les matrices : a+ b C = 3 3+ b et 1 D = a+ b 5a Détermier a et b de telle sorte que les matrices C et D soiet iverses l ue de l autre. 3. C est la retrée! Adèle, Bejami, Clothilde et Victor vot s acheter esemble quelques fouritures scolaires. Adèle achète 4 cahiers, classeurs et 5 stylos. Bejami achète 6 cahiers et stylos. Clothilde achète 1 cahier et 4 stylos. Victor achète 1 classeur et 5 stylos. Les cahiers, classeurs et stylos sot vedus aux prix uitaires hors taxes de, respectivemet, 1,5,,3 et 1,7. Le taux de TVA applicable sur ces produits est de 7%. E précisat clairemet les matrices utilisées, doer u calcul matriciel permettat de détermier le motat total TTC dépesé pour l achat de l esemble de ces fouritures. 5-6

6 Partie B O cosidère le graphe G ci-dessous. A B C E F D 1. a. Détermier l ordre du graphe G. b. Doer la défiitio d u graphe complet puis détermier u sous-graphe complet d ordre 3. G. Doer la matrice d adjacece M associée au graphe G (les sommets serot pris das l ordre alphabétique). 3. a. O doe deux matrices N et T N = T = ue des deux matrices N ou T est la matrice M. Sas calculs, idiquer quelle est matrice 3 M e justifiat votre répose. b. Combie de chaies de logueur 3 y a-t-il etre les sommets B et D? c. Détermier ces chaies. 6-6