RG - Hydroloe rbae ours d Hydroloe rbae Pare 5 MODELIATION DE EOLEMENT EN REEA D AAINIEMENT Jea-Luc BERTRAND-KRAJEWKI OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
TABLE DE MATIERE. INTRODTION...5. LE MODELE HYDRODYNAMIE...6. Le sysème de Barré de a-vea...6.. Eablsseme de l équao de coué...6.. Eablsseme de l équao dyamque...7..3 Eablsseme du sysème de Barré de a-vea...9. Modèles smplfés....3 Evoluo des varables,, e e foco du emps peda ue crue....4 L ode dffusae...3.5 L ode cémaque...4 3. REOLTION NMERIE D YTEME DE BARRE DE AINT-VENANT...5 3. Méode des caracérsques...5 3. Méodes par élémes fs...8 3.3 Méodes par dfféreces fes...9 3.3. Iroduco au scémas par dfféreces fes...9 3.3. Résoluo du sysème par u scéma eplce... 3.3.3 Résoluo du sysème par u scéma mplce... 4. REOLTION NMERIE DE L ONDE DIFFANTE...5 4. céma de résoluo VPD...5 4. odos au lmes...5 4.3 odos sur les coeffces d mplcao...6 4.4 odos sur les pas de dscrésao...6 4.5 oluo pseudo-aalyque d Hayam...7 5. REOLTION NMERIE DE L ONDE INEMATIE...8 5. céma classque sem-eplce...8 5.. céma de résoluo...8 5.. odos de sablé...9 5..3 Dffuso umérque...9 5. céma admesoel de Poce e Teurer 98...3 5.3 céma pseudo-aalyque de Kousss 976...3 5.4 odos sur...3 5.5 odos sur...3 6. LE MODELE ONEPTEL...33 6. Méode du me-offse...33 6. Modèle Musksum al...34 6.3 Modèles dérvés o léares...37 7. MODELIATION DE EOLEMENT EN HARGE...39 7. Problèmes lés à la modélsao des mses e care...39 7. Méode du sockae...39 7.3 Méode de la raslao smple...4 7.4 Méode de la fee de Pressma...4 7.5 Méode INA...4 8. TABLEA REAPITLATIF...43 9. BIBLIOGRAPHIE...44 OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
NOTATION a pas de dscrésao des scémas au dfféreces fes A coeffce das les scémas au dfféreces fes A coeffce das les scémas au dfféreces fes A veceurs das les scémas au dfféreces fes b pas de dscrésao des scémas au dfféreces fes B lareur au mror m B coeffce das les scémas au dfféreces fes B coeffce das les scémas au dfféreces fes B veceurs das les scémas au dfféreces fes céléré de l ode m/s c caracérsques des codues f coeffce de froeme m/s coeffce de ézy m//s m valeur moyee de m/s coeffce das les scémas au dfféreces fes coeffce das les scémas au dfféreces fes veceurs das les scémas au dfféreces fes o ombre de oura r ombre de Reyolds local,, 3 coeffces umérques els que 3, - courbes caracérsques D coeffce de dffuso m/s D damère ydraulque m D coeffce das les scémas au dfféreces fes D coeffce das les scémas au dfféreces fes D m valeur moyee de D m/s D dffuso umérque des scémas de résoluo E coeffce das les scémas au dfféreces fes E coeffce das les scémas au dfféreces fes f foco quelcoque f c coeffce de olebrook - f r force de froeme F ombre de Froude accélérao de la pesaeur m/s aueur d eau par rappor au rader ou au fod m z aueur d eau par rappor à ue coe fe m ma aueur d eau mamum m H aueur de mse e care m dce de pas d espace pour les radeurs ydraulques vor par eemple I pee du rader m/m I c pour ou sa I I j dce quelcoque J pere de care m/m k coeffce umérque k m durée de propaao s das le modèle d Hayam k r ruosé m K paramère des modèles ype Muskum s K d débace m3/s OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
3 K ms coeffce de Ma-rckler m/3/s L b loueur du bef ou du roço m Lj loueur parelle de bef m m eposa das les modèles de ype Muskum o léare dce de pas de emps pour les radeurs ydraulques vor par eemple N ombre oal de pas d espace sur u bef ou u roço P am presso amospérque Pa ou me P* presso absolue Pa ou me q déb laéral éveuel era ε ou sora ε m/s déb m3/s c pour ou sa e déb d erée d u bef ou d u roço m3/s ma déb mamum m3/s s déb de sore d u bef ou d u roço m3/s R c rayo de courbure m R rayo ydraulque m seco moullée m emps s T o emps de ras d ue ode me-offse das le modèle de la raslao smple s T P emps de parcours s T r emps de moée de la crue s vesse moyee de l écouleme m/s coeffce das les scémas au dfféreces fes vesse moyee podérée m/s vesse d écouleme au pas d espace e au pas de emps m/s ma vesse mamum m/s V vesse d écouleme sur ue le de coura m/s V coeffce das les scémas au dfféreces fes V s volume socké das u bef m3 W coeffce das les scémas au dfféreces fes abscsse m X coeffce das les scémas au dfféreces fes Y coeffce das les scémas au dfféreces fes z alude du rader ou du fod par rappor à ue coe fe m Z ombre admesoel caracérsa la dffusvé Z coeffce das les scémas au dfféreces fes α coeffce de podérao das les modèles ype Muskum α j coeffces d mplcao das les scémas au dfféreces fes β coeffce umérque χ abscsse m δ coeffce umérque pas d espace m pas de emps s ε coeffce de rasfer de la quaé de mouveme du déb laéral q γ coeffce de Baz m/ r γ veceur accélérao m/s λ coeffce d mplcao pour l ode dffusae μ coeffce d mplcao pour l ode dffusae ν vscosé cémaque m/s θ coeffce de podérao pour l ode cémaque ρ masse volumque du flude k/m3 τ emps s χ abscsse m OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
4 Ω ξ ζ veceurs das les scémas au dfféreces fes coeffce umérque coeffce umérque OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
5. INTRODTION «L éude maémaque des écoulemes à surface lbre e réme rasore es pas ue dscple scefque récee. Elle a débué l y a déjà plus de as lors de l essor de l esemble des éores mécaques, avec les ravau de Laplace e 776 e de Larae vers 78 sur la propaao des odes à la surface des caau. Dès 87, Barré de a-vea a formulé maémaqueme, par u sysème d équaos dfféreelles, le mouveme des eau à surface lbre pouva fare l obje d ue descrpo flare. Depus lors, ces équaos serve de base au modèles maémaques d écouleme à surface lbre» e rvère, e caau e e réseau d assasseme d après Kovacs, 988. Pour modélser la propaao des écoulemes e réseau d assasseme, o dsue classqueme deu rades famlles de modèles : - les modèles ssus de la mécaque des fludes e de l ydraulque, appelés modèles ydrodyamques, dérvés du modèle comple de Barré de a-vea 87 ; - les modèles ssus de la dyamque des sysèmes, appelés souve modèles lobau ou cocepuels, du ype Muskum ou réservor léare par eemple. Deu aspecs mporas dove êre prs e compe pour la modélsao des écoulemes e réseau d assasseme : - la compleé des réseau : colleceurs, ouvraes spécau écessa des modèles spécfques, sularés ydraulques avec applcao de codos au lmes parculères couplées avec l ulsao des modèles de propaao e colleceur ; - la compleé des écoulemes, oamme les flueces aval, les mallaes du réseau, e surou les mses e care qu crée des problèmes rès parculers de compablé ere modèles d écouleme à surface lbre e modèles d écouleme e care. Das cee pare du cours, ous raeros successveme : - les modèles ydrodyamques de propaao des écoulemes à surface lbre e colleceur ; - les modèles cocepuels ; - la prse e compe des mses e care. La modélsao des ouvraes spécau, oamme les déversors d orae, es raée das u docume séparé. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
6. LE MODELE HYDRODYNAMIE. LE YTEME DE BARRE DE AINT-VENANT e capre débue par u rappel des équaos de base permea de décrre le mouveme d u flude das le cas d u écouleme à surface lbre o permae. O éabl d abord les équaos de base ava de poser le sysème de Barré de a-vea e ses smplfcaos possbles... Eablsseme de l équao de coué L équao de coué eprme la coservao de la masse au se du bef, doc des volumes s o cosdère que le flude es compressble, ce qu es le cas pour l eau das les codos applcables e rvère ou e réseau d assasseme. O cosdère le bef de loueur d représeé Fure.. q d d Fure. : Equao de coué O recerce le volume socké au emps d das l espace comprs ere e d. e volume V s d es éal au volume era à l abscsse dura d, plus le volume socké ere e d à l sa, mos le volume sora à l abscsse d dura d, plus éveuelleme le volume eéreur era das le bef ere les abscsses e d dura d. e volume s écr, avec, le déb,, la seco moullée, q le déb laéral eéreur par ué de loueur e, la aueur d eau : d d d d V s d, τ dτ χ, dχ d, τ dτ q τ ddτ D aure par, le volume V s d s eprme auss sous la forme : d V s d χ, d dχ E éala les deu epressos, o obe : d d χ, d χ, dχ, τ d, τ q τ d dτ E cosdéra que les focos, e, so coues, o peu modfer les ermes comme su : d χ, d χ, dχ d a, d a, avec a [, d] d, τ d, τ q τ dτ d, b d, b q b d avec b [, d] OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
7 E reprea l éalé précédee e e subsua, o obe, e dvsa par dd : a, b a,, b a, b q b d d omme d e d so pes e ede vers zéro, les ermes précédes correspode au dérvées parelles des focos e o obe l équao de coué :,, q Noos que s l écouleme es permae, e l rese uqueme d q. d.. Eablsseme de l équao dyamque O s éresse à u pe éléme de volume lqude au se d u écouleme, suffsamme pe pour que les radeurs pysques y soe omoèes. ela reve à cosdérer ue «parcule» de flude au se de l écouleme. A parr de l équlbre des forces auquelles es soumse cee parcule, e e supposa le flude compressble, o obe l équao de Naver-ockes avec les varables d Euler arler, 986 ; Lecasre, 996 ; Graf e Alakar, 993, 996 : r r γ rad P * f ρ avec P* presso k/m/s ρ masse volumque du flude k/m3 r dv r γ veceur accélérao m/s d f r forces de froeme m/s O cosdère u fle lqude représea la rajecore de la parcule suée au po M. o s r la aee e v la ormale à la rajecore au po M Fure.. M s Fure. : Trajecore d'ue "parcule" de flude E projea sur ces deu aes l équao de Naver-ockes, o obe le sysème suva : Vs Vs P sur la aee s : Vs * fs s ρ s sur la ormale : V Vs P * f Rc ρ avec Rc rayo de courbure m. E oue ééralé, la dérvée parelle de la vesse sur la aee par rappor au emps es o ulle e e peu pas êre smplfée : Vs OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
8 o fa l ypoèse que la pee du rader ou du fod es fable e que les fles lqudes so parallèles au fod, alors Rc f V e doc P * M V z Fure.3 : Ecouleme moodmesoel selo u ae O La réparo des pressos es ydrosaque. o assmle s r à l ae r d u écouleme moo-dmesoel Fure.3, le sysème d équaos précéde se smplfe e l rese uqueme, e oa V la vesse de la parcule de flude le lo de l ae O : V V P V * f ρ O développe l epresso de P* pour poursuvre les calculs : P* Pam ρ z avec P am la presso amospérque Pa la aueur d eau au-dessus du fle lqude passa au po M m z l alude du fle lqude par rappor à ue coe fe m accélérao de la pesaeur m/s O a doc P * Pam z ρ ρ o fa l ypoèse que la presso amospérque e vare pas avec P am /, e e oa I -z/ la pee du fod, l ve V V V I f f E oa J la pere de care par froeme due à la ruosé des paros e à la vscosé du flude, o écr faleme : V V V I J O a cosdéré jusqu à prése ue parcule de flude se déplaça à la vesse V. o la vesse moyee d écouleme à ravers la seco moullée ypoèse de Beroull. O peu alors écrre V k, avec k u coeffce appelé coeffce de réparo. L équao précédee peu alors s écrre dreceme avec la vesse moyee e o obe l équao dyamque, e admea que k es ue cosae : OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
9 k k I J E praque, o peu smplfer l équao e adopa k, ypoèse vérfée pour u écouleme urbule vor ow 973 ou Graf e Alakar...3 Eablsseme du sysème de Barré de a-vea O cosdère u flude compressble. E supposa que l écouleme es moodmesoel selo u ae O, la pee du fod es fable α s α α, o peu écrre le sysème d équaos éabl pour la premère fos par Barré de a-vea e 87 : équao de coué ou de coservao de la masse : q équao dyamque ou de coservao de l éere ou de la quaé de mouveme : I J ε q avec aueur d eau m I pee m/m J pere de care m/m ε coeffce de rasfer de la quaé de mouveme du déb laéral q, vara de à q déb laéral éveuel era ou sora par ué de loueur m/s déb m3/s seco moullée m emps s vesse moyee de l écouleme sur la seco m/s abscsse m le déb laéral q es orooal à la dreco O, o pred ε : ce déb laéral appore s l es era empore s l es sora aucue quaé de mouveme à l écouleme prcpal. le déb laéral es parallèle à O, o pred ε. Das les cas ermédares, la valeur de ε es comprse ere e.,, e so des focos coues des deu varables e. Avec la pere de care J, cela codu à u sysème compora 5 coues dès lors que les caracérsques pysques du bef auss appelé roço lorsqu l s a d u réseau d assasseme so défes. Eq. Eq. Pour résoudre le sysème, ros ypoèses complémeares dove êre faes. Hypoèse : les peres de cares e réme rasore so supposées êre calculables de la même maère que pour les écoulemes permaes. O a as ue epresso du ype J f,,,... Eq. 3 Dfférees formules ese das la léraure vor mauels classques d ydraulque à surface lbre, arler, 986 ; Graf e Alakar, 993, 996, ; ow, 973 ; Hederso, 966, par eemple : Formule de ézy : J Eq. 4 R avec coeffce de ézy m//s e R rayo ydraulque m. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
Formule de Ma-rckler : J 4/ 3 4/3 Eq. 5 Kms R Kms R avec K ms coeffce de Ma-rckler m/3/s. Il ese pluseurs possblés pour défr le coeffce de ézy, à parr des caracérsques du maérau cosua la paro des colleceurs : - formule du coeffce de froeme à la paro f : Eq. 6 f - formule de Baz : 87 γ R Eq. 7 avec γ coeffce de Baz m/ qu déped du maérau. - formule de Ma-rckler : / 6 KmsR Eq. 8 E assasseme, cee derère formule es la plus commuéme ulsée. Le coeffce K ms vare ere 5 pour les uyau ruueu brques, maçoeres, ec. e pour les uyau les plus lsses PV. e valeur moyee ypque pour les colleceurs e béo es K ms 65-7 m/3/s. Hypoèse : la dsrbuo des pressos es ydrosaque e l accélérao vercale es éleable. Hypoèse 3 : l fau deu aures relaos pour avor aua d équaos que d coues. O ulse alors les relaos rela la seco moullée à la aueur d eau, e l epresso du déb e foco de la seco moullée e de la vesse moyee : f Eq. 9 Eq. O obe alors le sysème comple de 5 équaos à résoudre : f Eq. 9 Eq. J f,,,... Eq. 3 q I J ε q Eq. Eq. Il fau éaleme défr des codos au lmes amo e aval du bef e des codos ales pour. e modèle es le plus comple e le plus ééral. Il es applcable sur u bef réuler, c es à dre u roço de caracérsques omoèes. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
Le sysème e possède pas de soluo aalyque. Il fau doc le résoudre umérqueme. Pour cela, pluseurs famlles de méodes umérques so ulsables : - résoluo par la méode des caracérsques rès rareme ulsée e ydroloe urbae ; - résoluo par élémes ou volumes fs ; - résoluo par des scémas de dfféreces fes la plus ulsée acuelleme e ydroloe urbae. es dfférees méodes de résoluo du sysème de Barré de a-vea fo l obje du capre 3.. MODELE IMPLIFIE Ava d aborder les méodes de résoluo, ous allos éuder les smplfcaos possbles des équaos du sysème de Barré de a-vea. Das la sue, af d alléer les écrures, ous cosdéreros qu l y a pas d appor laéral, c es à dre q. L équao de coué Eq. 'es pas smplfable e deve : L équao dyamque Eq. compred pluseurs ermes, uméroés c de à 5 : 3 I J 4 5 Eq. Eq. Ils correspode respecveme à : Premer erme d ere éere due à l accélérao das la dreco O Deuème erme d ere accélérao covecve 3 Terme de presso, lé à la pee de la surface lbre 4 Terme de ravé 5 Terme de froeme, lé au peres de care. elo les ordres de radeur relafs des dfféres ermes, des smplfcaos de l Eq. so possbles. E effe, l es rare que ous les ermes ae le même ordre de radeur, e foco des caracérsques éomérques e des codos au lmes. Dfférees éudes éorques e epérmeales pora sur la propaao d ue crue o perms de morer Pressma 97, Kovacs, 988 que le erme d ere es lé au emps, doc à la vesse de moée de la crue e que le erme d accélérao covecve es lé à la éomére des codues. Par eemple, pour les crues e rvères, o a observé que e éae éleables deva les aures ermes de l équao. Les ermes 4 e 5 de pee e de froeme so e ééral du même ordre de radeur. Il es possble de procéder alors à des smplfcaos, selo les ordres de radeur respecfs des dfféres ermes. Modèles à ere prépodérae e froemes éleables : les ermes 4 e 5 so élés, d où : Eq. 3 Le modèle doé par l Eq. 3 es appelé modèle de l ode dyamque. E praque, l correspod à des odes de aue fréquece mpulsos brèves e rapprocées qu e so pas des suaos fréquees e ydroloe urbae où ce modèle es rès peu employé. Modèles à froemes prépodéras e ere éleable : les ermes e so élés. Das ce cas, o obe le modèle de l ode dffusae : I J Eq. 4 OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
de plus le erme 3 es élé, o obe le modèle de l ode cémaque : I J I J Eq. 5 es deu modèles doe des résulas sasfasas pour smuler le focoeme des réseau d assasseme. Le modèle de l ode dyamque, ééré par les ermes d ere, e le modèle de l ode dffusae e correspode pas écessareme à u déplaceme de maère, comme das le cas de la oule par eemple. A l verse, le modèle de l ode cémaque correspod à u déplaceme réel de maère. O dsue as le déplaceme réel du flude à la vesse e le déplaceme de l ode de déb à la céléré. es deu radeurs permee de défr le ombre de Froude F par la relao : F Eq. 6 F <, l écouleme es d fluval ou fracrque, les odes se déplace plus ve que le flude. Elles peuve se propaer vers l amo ou vers l aval. Il fau doc, pour résoudre les équaos, poser des codos au lmes amo e aval. F >, l écouleme es d orreel ou supercrque, les odes se déplace mos ve que le flude e se propae oujours vers l aval. Pour résoudre les équaos, ue codo à la lme amo es suffsae. F, l écouleme es d crque. e éa es sable e apparaî ormaleme que de maère rasore. La résoluo umérque des modèles smplfés de l ode dffusae e de l ode cémaque sera préseée au capres 4 e 5..3 EVOLTION DE VARIABLE,, ET EN FONTION D TEMP PENDANT NE RE Au cours d ue crue, e ue seco doée, les varaos relaves des varables,, e e foco du emps so représeées Fure.4 e Fure.5. Das cee seco, o observe successveme Fure.4 : la vesse mamum ma ; le déb mamum ma ; la aueur mamum ma. La lareur de la boucle dque l mporace des ermes d ere e de presso das l équao de l ode dyamque Fure.5. Pour ue aueur doée, l ese deu débs e dfféres selo que l o se sue dura la crue ou dura la décrue.,, ma ma ma ma ma ma Fure.4 : Evoluo des varables,, e e foco du emps au cours d ue crue OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
3 ma décrue ode cémaque crue ode dyamque ma Fure.5 : Evoluo des varables e e ue seco doée au cours d ue crue.4 L ONDE DIFFANTE Le sysème al de Barré de a-vea se ramèe au cas suva : I J Eq. Eq. 7 o dérve l Eq. par rappor à à cosa e l Eq. 7 par rappor à à cosa vor demosrao par eemple das Kovacs 988, o peu élmer l ue des deu varables ou. o cos d élmer, ce qu perme souve de smplfer l epresso des codos au lmes, l rese ue équao uque e qu s écr : D avec céléré de l ode, correspoda au déplaceme de l ode de crue m/s D coeffce de dffuso, correspoda à l aéuao de l ode de crue m/s. Les varables e D so doées par les relaos suvaes : Eq. 8 d D B B J Eq. 9 d B y D Eq. BJ BI avec B la lareur au mror m, e e admea pour D que J es vos de I. B es ue foco de la aueur d eau : B Eq. Les codos au lmes amo e aval so du ype. La résoluo de l Eq. 8 demade de calculer e D. Pour cela, dfférees méodes de calcul ese, que ous verros uléreureme capre 4. o cosdère, comme cela es souve fa, que e D so dépedas du emps, l ese alors ue soluo aalyque à l équao de l ode dffusae : c es le modèle d Hayam. ue 969 a moré que l ode de crue dffusae es aaloue à ue résoluo parculère du modèle Muskum vor capre 6. E effe, avec u scéma parculer de dfféreces fes, le modèle Muskum OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
4 peu êre cosdéré comme ue appromao à l ordre du modèle de l ode dffusae. ee démosrao es rès éressae car elle perme de reler l approce ydrodyamque mécase e l approce cocepuelle..5 L ONDE INEMATIE L équao de l ode cémaque correspod à u écouleme où : l éere due à la crue es éleable deva les forces de pesaeur ; l aval a aucue fluece sur l amo ; l ese ue relao drece f appelée courbe de jaueae ou courbe de arae ou courbe d éaloae. Il ese pluseurs epressos possbles de ce ype de relao, par eemple : - relao de ézy RI Eq. - relao de Ma rckler K / msi R Eq. 3 b - aures relaos a. a e b coeffces umérques Eq. 4 Le sysème d équaos à résoudre deve alors : Eq. I J Eq. 5 L Eq. 5 correspod au fa que la le d eau es supposée parallèle au fod du roço d écouleme. I J, doc car e déped alors que de la seco, d d d O pose e o peu écrre e subsua das l'équao de coué : d Le sysème d équaos peu doc se rédure à ue seule équao : Eq. 5 avec la céléré de l ode. e déped pas du déb doc du emps, o rerouve l équao de la raslao smple e sas déformao de l ode de crue : s T e Eq. 6 avec s e T le déb de sore du bef m3/s le déb d erée du bef m3/s le emps de raslao me-offse de l ode le lo du bef s déped du déb, l y a déformao de l ode de crue. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
5 3. REOLTION NMERIE D YTEME DE BARRE DE AINT-VENANT 3. METHODE DE ARATERITIE O se place das le pla, e o cerce les courbes caracérsques, c es à dre les courbes où l ese ue relao ere le emps e l espace. ee relao es ulsée pour remplacer les équaos au dérvées parelles par u sysème d équaos dfféreelles oales. La méode es applcable facleme que sous ceraes codos, oamme le fa que la seco d écouleme so recaulare. De plus, le scéma de résoluo es pas écessareme coservaf car o es codu à assmler les courbes caracérsques à des droes. ee méode des caracérsques, s elle es ue des premères à avor éé mse e œuvre sorqueme pour le calcul oamme de la propaao des crues e rvère où la valeur élevée du rappor B/ perme d assmler facleme la seco d écouleme à ue seco recaulare, es rès peu ulsée e praque pour les calculs e ydroloe urbae. Elle es préseée c à re d formao. Das le cas d u caal recaulare, le sysème sas appor laéral s écr ; I J E ulsa das la premère équao Eq., l ve : I J Or, pour ue seco recaulare, B, e doc Eq. Eq. Eq. 7 Eq. B, B e B Eq. 8 D où le ouveau sysème qu e coe plus que les varables e : B B B Eq. 9 I J D aure par, les dfféreelles oales s écrve : Eq. d d d Eq. 3 d d d Eq. 3 Les quare équaos Eq. 9, Eq., Eq. 3 e Eq. 3 c-dessus compore quare coues :,, e. O applque alors la méode de oker Graf e Alakar, 996, qu propose de calculer la céléré de l ode par la relao : OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo 6 Eq. 3 Das le cas d u caal recaulare, pusque B, o obe smpleme / ou ou Eq. 33 o dfférece cee epresso, o obe ue relao smple ere e : e Eq. 34 O rasforme alors le sysème d équaos pour l eprmer uqueme avec les varables e : Eq. 35 J I Eq. 36 D où : Eq. 37 J I Eq. 38 O calcule à prése la somme e la dfférece des deu équaos du sysème précéde, c es à dre Eq. 37 Eq. 38 e Eq. 37 - Eq. 38. Il ve : J I Eq. 39 J I Eq. 4 D où, après réarraeme : J I Eq. 4 J I Eq. 4 Les arumes de auce peuve représeer des dfféreelles oales. E effe, o a d d d Eq. 43 E doc : d d d d Eq. 44 E subsua das l Eq. 4 e das l Eq. 4, o obe respecveme : d d J I d d avec Eq. 45 e
7 d I J d avec d d Eq. 46 d La céléré de l ode par rappor au sol ou au rader du caal vau doc ±. o a, la d propaao de l ode a leu vers l aval ; s o a -, la propaao de l ode a leu vers l amo. d o se place sur les courbes ±, les équaos se smplfe e devee, e fasa l ypoèse d que les froemes so éleables, c es à dre e cosdéra I J : e sur ue courbe défe par d, d d e sur ue courbe - défe par. d Il es possble de représeer la propaao de l ode das u espace à ros dmesos,, comme dqué Fure 3.. Les courbes e -, appelées courbes caracérsques, peuve êre racées das le pla,, comme dqué Fure 3.. P P d d Fure 3. : Représeao das l'espace,, de la propaao d'ue ode e de la courbe correspodae - P L R 3 4 Fure 3. : Propaao d'ue ode das le pla, OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
8 ur la Fure 3., au pos oés L e R, o coaî les vesses de l écouleme oées respecveme L e R, e les aueurs L e R. O résou les équaos pour e au po P e parcoura le pla,. Pour cela, o résou e remplaça les dfféreelles oales par des dfféreces fes qu cosue des appromaos d ordre lorsque l o assmle les courbes ou - à des semes de droes. O peu alors écrre sur la courbe : P L P L P L I J L Eq. 47 L P L L L P L Eq. 48 e sur la courbe - : P R P R P R I J R Eq. 49 R P R R R P R Eq. 5 O a as 4 équaos e 4 coues : P, P, P e L. La résoluo du sysème codu dreceme à : L R R R R L L L P Eq. 5 R L L R P L L L P L Eq. 5 e so les coordoées du po P das le pla,. D aure par, o déerme : L R L R P L I J L P R I J R P Eq. 53 L R P L P L P L I J L Eq. 54 L O a doc ue epresso eplce de P e P e ou po du pla,. Il fau défr des codos au lmes amo e aval e e e e L b loueur du bef e ue codo ale e pour. Il fau par alleurs vérfer la codos de oura-fredrc-levy : Eq. 55 E praque, lorsque l o dscrése le pla, avec des pas e, o comme ue erreur car les pos de calcul L e R e so pas écessareme sués au ersecos du mallae. ela codu à fare des appromaos supplémeares par rappor à celle fae e prea des dfféreces fes à l ordre. Les erreurs de calcul par rappor à la soluo eace aumee lorsque aumee. Il fau doc cosr suffsamme pe, mas cela codu souve à predre auss pe e doc à ue quaé de calculs mporae Dauber e al., 967. De plus, pour des secos o recaulares, les calculs devee beaucoup plus complees e des sablés umérques apparasse, ce qu corbue au désérê acuel pour cee méode de résoluo. 3. METHODE PAR ELEMENT FINI ET VOLME FINI Les méodes de résoluo par élémes fs ou volumes fs so ecore rareme ulsées e ydroloe urbae e e sero pas préseées das ce docume. O peu ouefos meoer les arcles de ooley e Mo 976 e Taylor e al. 974. e préseao éérale de ces méodes es doée par eemple das rossley 999. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
9 3.3 METHODE PAR DIFFERENE FINIE 3.3. Iroduco au scémas par dfféreces fes Les méodes de résoluo par dfféreces fes so acuelleme les plus ulsées e ydroloe urbae. Il ese dfférees méodes de résoluo e foco des scémas umérques ms e œuvre. La méode de résoluo par dfféreces fes cosse à remplacer les opéraeurs dfféreels par des opéraeurs alébrques éabls à parr de développemes e sére de Taylor. Nous e feros c qu u bref rappel des oos dspesables relaves au dfféreces fes e ous revoyos au cours e ouvraes d aalyse umérque pour ue formao complèe sur ces méodes de résoluo par Rappaz e Pcasso, 998 ; Euvrard ; 988. O cosdère ue foco f de deu varables : ue varable d espace e ue varable de emps : f f,. Les dérvées parelles par rappor à s eprme de la maère suvae. O pose, avec a pe : a f a f af ' f a f a f af ' f '' θ a '' θ a E élea les ermes d ordre supéreur à, la dérvée es calculée par la relao suvae scéma ceré avec appromao d ordre : f a f a f ' Eq. 56 a O peu éaleme ulser les relaos élea les ermes d ordre supéreur à seuleme, ce qu codu so à u scéma proressf ou avacé avec appromao d ordre : f a f f ' Eq. 57 a so à u scéma réressf ou reardé avec appromao d ordre : f f a f ' Eq. 58 a o remplace a par u pas d espace, l ve : f ou f ou f f f f f f f Eq. 59 elo le pas de emps auquel so calculées les dérvées parelles par rappor à, o ulse so des scémas eplces lorsque oues les valeurs de f so calculées au pas de emps, so des scémas mplces lorsque les valeurs de f so calculées au pas de emps. Il es éaleme possble d ulser u scéma mplce comba les deu ypes de scémas précédes, appelé scéma me. Pour smplfer les écrures, ous oeros l dce relaf au pas d espace e l dce relaf au pas de emps. Das ces codos, o peu écrre f, f Das le cas le plus ééral, o peu doc écrre ue dérvée parelle par rappor à sous la forme : OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
f α α3 f f f f f f α α α f f α 3 Eq. 6 elo les dfférees podéraos effecuées, o obe les dfféres scémas possbles dqués Tableau 3.. Il ese as de rès ombreuses possblés de co de scémas au dfféreces fes pour les dérvées parelles par rappor à. α 3 scéma eplce, e dépeda que du pas de emps α 3.5 scéma mplce ceré das le emps, dépeda des pas de emps e α 3 scéma mplce, e dépeda que du pas de emps α α scéma proressf α.5 α.5 scéma ceré α α scéma réressf α α scéma me déceré Tableau 3. : coeffces de podérao des scémas au dfféreces fes D aure par, la dérvée parelle de f par rappor au emps es calculée selo le même prcpe, avec ue podérao possble selo que les valeurs de f so calculées au pas d espace ou : f f α4 f f f α4 Eq. 6 e fos les dscrésaos coses, o subsue leurs epressos das le sysème d équaos à résoudre. L équao dfféreelle ale es as remplacée par u sysème de N équaos coea N coues, à résoudre pour caque pas de emps. Das le cas des scémas eplces, les dérvées parelles par rappor à so calculées au pas de emps e seules les dérvées parelles par rappor à coee des ermes calculés au pas de emps. O peu as calculer eplceme les valeurs f à parr des valeurs f. Das le cas des scémas mplces, o e peu calculer les valeurs de f au pas de emps qu e résolva le sysème formé des N équaos léares alébrques du scéma. 3.3. Résoluo du sysème par u scéma eplce O ulse u scéma eplce ceré avec ue appromao d ordre par rappor à l espace, e d ordre proressf par rappor au emps Fure 3.3. O pose - Fure 3.3 : céma de résoluo eplce OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo Eq. 6 Eq. 63 O subsue ces opéraeurs das l équao dyamque Eq. : J I J I Eq. 64 D où : J I J I e faleme J I Eq. 65 avec J calculé par la formule de Ma-rckler. O subsue das l équao de coué Eq. : Or f sur u bef doé. Doc Pour ue seco recaulare, o a B, d où B B e. O peu doc écrre B B B Eq. 66 Pour résoudre complèeme le sysème, l fau fer des codos au lmes amo e aval, c es-à-dre e à l amo e Lb e Lb à l aval, e les codos ales e. De plus, le scéma do vérfer la codo de oura-fredrc-levy eprmée sous la forme : ± avec ' das le cas de la seco recaulare.
OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo o fe, alors es mposé. Das le cas d ue seco o recaulare, les calculs so plus complees car l fau coserver les epressos complèes de e. e qu codu au epressos suvaes pour la dérvée parelle de : e D où, après subsuo das l équao dyamque, les calculs suvas : qu coduse faleme à Eq. 67 3.3.3 Résoluo du sysème par u scéma mplce Pour éver la corae sur les pas d espace e de emps lée à la codo de oura-fredrc-levy c es-àdre des pas de emps cours, doc des emps de calculs los, o ulse des scémas mplces. Il e ese de rès ombreu. Nous préseeros c celu de Pressma qu es u des plus ulsés e ydroloe urbae. O pose les opéraeurs éérau suvas Fure 3.4 : f f f f f α α Eq. 68 f f f f f α α Eq. 69 avec α e α comprs ere e. Pour α.5, o obe le scéma classque de Pressma. O a alors pluseurs co possbles pour la valeur de α : s α le scéma es eplce ; s α.5 le scéma es mplce ceré ; s α le scéma es mplce.
OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo 3 α f f f α f α -α Fure 3.4 : céma de résoluo mplce de Pressma Pour arar la sablé du scéma umérque, des cosdéraos éorques more qu l fau cosr α /3. Avec α.5, les dérvées parelles s écrve Eq. 7 Eq. 7 α α Eq. 7 α α Eq. 73 O modfe l écrure du sysème al de Barré de a-vea de la maère suvae, e ravalla avec les deu varables e. O oe B, d où B. Le sysème s écr alors, e subsua par / : B Eq. 74 K d Eq. 75 avec K d la débace défe par la relao K d I e z la coe vercale par rappor à ue référece fe e o par rappor au rader. O subsue esue les opéraeurs alébrques des dfféreces fes das le sysème précéde e o obe : pour l équao de coué : B B B B α α α α Eq. 76
OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo 4 pour l équao de la quaé de mouveme : α α α α α α α α α α d d d d K K K K Eq. 77 O oe, pour smplfer les écrures, f f f, e o pose dreceme, pusqu aucu aure dce es écessare, f f f. Tous calculs fas, e après reroupeme des ermes e e, o obe pour l équao de coué : E D B A Eq. 78 e pour l équao dyamque : ' ' ' ' ' E D B A Eq. 79 O do esue résoudre ces sysèmes de à L b pour ober les valeurs de e au pas de emps. O réère la résoluo pour les pas de emps suvas, avec, à caque fos, l applcao des codos au lmes amo e aval. Les coeffces A, B, E, A, B, E peuve êre calculés à u pas de emps doé représea les codos ales s les valeurs de,, e so coues à ce même pas de emps. O adope as la ecque de de double balayae : à caque pas de emps, o calcule les valeurs des varables pour ous les pos de l espace, e o proresse esue de pas de emps e pas de emps.
OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo 5 4. REOLTION NMERIE DE L ONDE DIFFANTE 4. HEMA DE REOLTION VPD omme pour la résoluo du sysème comple de Barré de a-vea, de ombreu scémas de résoluo so possbles. des plus classques es celu proposé par Prce pour les crues de rvères, appelé scéma VPD Varable Parameer Dffuso. Il s a d u scéma mplce. O pose, ce qu reve à avor pour coue du sysème la varao de ere les pas de emps successfs e, e o plus la valeur de au pas de emps. Avec cee oao, o écr : Eq. 8 λ λ Eq. 8 μ μ Eq. 8 avec λ e μ coeffces d mplcao comprs ere e. E repora les epressos calculées das l équao de l ode dffusae, o obe u sysème de N équaos ue pour caque pas d espace, à résoudre successveme pour caque pas de emps, sous la forme : W' V' ' Z' Y' ' X Eq. 83 Les coeffces X, Y, Z,, V, W so calculés e foco des paramères, D, λ, μ, e. E passa sous forme marcelle, o obe : 3 N N N B N N A N B N A B A B A B N N Ω Ω Ω Ω Ω M M M M L L L L L L L L L M M M M M L M M M M M L L L L L L L L L Eq. 84 avec les veceurs A, B, e Ω eprmés e foco des coeffces X, Y, Z,, V, W e des débs calculés au pas de emps précéde e,. e sysème peu s écrre sous la forme marcelle compace suvae : PM Ω. Après verso de la marce PM, o obe Ω PM, c es à dre : Eq. 85 éa la marce des débs à caque pas d espace pour le pas de emps. 4. ONDITION AX LIMITE La premère équao du sysème léare à résoudre Ω A B Eq. 86
6 ulse la codo à la lme amo, La derère équao du sysème N B N N N Ω N. ulse la codo à la lme aval L b, avec L b N. Eq. 87 Or, a pror, o e coaî pas la codo à la lme aval car c es ééraleme le déb que l o cerce à calculer. Il ese pluseurs possblés pour résoudre cee dffculé. La premère cosse à fare l ypoèse que le déb au pas d espace N- es éal au déb au pas d espace N. ela reve à supposer so que es pe e que les varaos de déb so fables ere deu pas d espace à l aval du bef, so qu o a ae u réme d écouleme uforme à l aval du bef. La deuème cosse à fare l ypoèse que le déb aval N, es le déb qu se rouva au pas de emps précéde à la dsace à l amo, avec la céléré de l ode. D où l epresso de la codo lme aval N, N,, la valeur de N - éa calculée par erpolao. éa varable au cours du emps, le calcul do êre éraf. 4.3 ONDITION R LE OEFFIIENT D IMPLIITATION Avec les oaos ulsées das ce pararape, ous avos les scémas possbles suvas e foco des valeurs des coeffces d mplcao : s λ le scéma es eplce ; s λ.5 le scéma es mplce ceré das le emps ; s λ le scéma es oaleme mplce. Par alleurs, o observe que s λ.5 le scéma es sable ; s.5 λ le scéma es sable. La sablé du scéma umérque déped éaleme des paramères µ, e. Il fau doc éuder la dffuso des ermes umérques d ordre, c es à dre calculer l écar ere la soluo eace e la soluo approcée. e aalyse déallé Kovacs, 988 more qu l fau cosr λ supéreur à.5 pour arar la sablé umérque, mas e même emps λ proce de.5 pour lmer la dffuso umérque. 4.4 ONDITION R LE PA DE DIRETIATION Il es judceu de cosr les pas de dscrésao e de elle sore que so rès vos de. ee codo es pas oujours asée à respecer, surou pour des pees de rader supéreures à % car es alors rès varable. O rappelle que es calculée par la relao : d D B B J Eq. 9 d B y OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
7 4.5 OLTION PEDO-ANALYTIE D HAYAMI E fasa l ypoèse que e D so dépedas du emps, Hayam a éabl ue soluo aalyque pour l équao de l ode dffusae. O ulse le produ de covoluo suva :,, τ Φ, τ dτ Eq. 88 avec τ Φ, τ ep m πd τ 3/ 4D τ m m Eq. 89 où m e D m so les valeurs moyees de e D. E foco des codos ales e e passa sous ue forme admesoelle, la soluo proposée par Hayam doe, sous la forme :,,, τ, Φ, τ dτ Eq. 9 avec k τ Φ τ mz k m, ep Z 3 πτ Eq. 9 km τ où m Z es u ombre admesoel caracérsa la dffusvé de l écouleme 4Dm e k m a la dmeso d u emps e correspod à la durée de propaao d ue ode de raslao m smple. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
8 5. REOLTION NMERIE DE L ONDE INEMATIE omme pour l ode dyamque ou l ode dffusae, l ese de rès ombreuses méodes de résoluo Wema e Laureso, 979. Nous e préseeros quelques-ues parm les plus couraes das ce capre. 5. HEMA LAIE EMI-EXPLIITE 5.. céma de résoluo O pose le scéma de dscrésao das le pla, préseé Fure 5., avec les oaos suvaes : I, I,,, I ½ I θ -θ Fure 5. : céma de dscrésao classque de résoluo de l'ode cémaque O cos les opéraeurs suvas pour les dérvées parelles : I I θ θ Eq. 9 I I Eq. 93 O repore esue ces opéraeurs das l équao de l ode cémaque, avec I J e sas appor laéral : Eq. 5 O obe θ I I θ I I d où I I 3 Eq. 94 OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
9 avec θ θ θ θ θ 3 θ 3 Eq. 95 Il suff d avor ue codo lme amo pour pouvor résoudre eèreme le sysème. O fe doc la premère valeur de I pour. La codo lme aval es sas érê car l ode cémaque se propae oujours de l amo vers l aval : aucue formao e peu remoer de l aval vers l amo. o oe K /, les coeffces devee : Kθ K θ Kθ K θ K θ 3 K θ 3 Eq. 96 e K correspod au emps de parcours Wema e Laureso, 979. O obe les mêmes résulas que pour l ue des formes de résoluo du modèle Muskum vor pararape 6.. 5.. odos de sablé Le scéma umérque es sable s l vérfe la codo. De plus, s θ. 5 le scéma es sable ; s.5 θ le scéma es sable. E praque, o observe que le scéma rese sable s.5 θ.5 Eq. 97 5..3 Dffuso umérque θ. 5 l y a pas de dffuso umérque e même amplfcao de l ode ce qu es rréalse ; s θ. 5 l ese ue dffuso umérque D doée par la relao : θ.5 D Eq. 98 s θ. 5 l y a raslao smple de l ydroramme e u sockae dsrbué sur le bef ; s θ o rerouve u comporeme du ype réservor léare avec ue répose saaée. E éore, l ode cémaque e compore pas de dffuso. E praque, ue ode pysque réelle présee oujours ue cerae dffuso. Auss es-l éressa de cosr judceuseme la valeur de θ de elle sore que la dffuso umérque D du scéma de résoluo so auss proce que possble de la dffuso pysque réelle D. D après ue 969, e para de l Eq. 98, l cove de poser θ D Eq. 99 OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
3 Il fau vérfer ouefos que θ vérfe be la relao d éalé de l Eq. 97. o fa l ypoèse que es ue cosae ypoèse courae, alors, e 3 so auss des cosaes e o cos doc auss la valeur de θ cosae. Das le cas corare, o déerme ue valeur de «saaée» e foco de I, I, e, avec le déb la valeur doée par la relao I I Eq. 4 Or la valeur de es a pror coue pusque c es celle que l o cerce à calculer. O déerme doc so par u calcul éraf, so de maère approcée à parr des ros valeurs de I, I e. Il es éaleme possble de déermer θ par la relao θ BI Eq. 5. HEMA ADIMENIONNEL DE PONE ET THERER 98 e scéma repose sur les mêmes prcpes que le précéde, mas l fa erver deu ombres admesoels das les calculs : le ombre de oura o : o Eq. le ombre de Reyolds local r : D r Eq. 3 BI Après calculs e e cosssa θ de elle sore que D so éale à D, o obe : θ r Eq. 4 D où o dédu esue r o r o r o r o r o 3 r o 3 Eq. 5 Le prcpal érê de cee approce résde das le fa que les codos que dove vérfer e so eprmées facleme au moye de o e r Poce e Teurer, 98. 5.3 HEMA PEDO-ANALYTIE DE KOI 976 e scéma de résoluo es ue varae du scéma classque al, das lequel seules les dérvées parelles par rappor à l espace so dscrésées, les dérvées par rappor au emps éa coservées sous la forme coue e résolues de maère aalyque, d où le erme de soluo pseudo-aalyque. O adope les oaos suvaes :,, Ic c E adopa la même approce que pour le scéma classque, o obe l opéraeur suva : OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
3 di d θ c θ c d d E repora das l équao de l ode cémaque l ve di θ c d θ c I c c d d Eq. 6 Eq. 5 dc I di c c θ c Eq. 7 d θ θ θ d o dscrése e prea dc dic I I e d d o rerouve ue soluo eèreme umérque : I I 3I3 Eq. 94 avec θ θ θ θ θ 3 θ 3 Eq. 8 Mas l Eq. 7 peu auss êre résolue comme ue équao dfféreelle ordare, avec calcul d ue érale umérque, ce qu codu à ue soluo éorqueme plus précse Wema e Laureso, 979. Das ce cas, o obe : 3 3 3 3 ep θ 3 Eq. 9 Il y a oujours ue dffuso umérque D. o veu qu elle so éale à la dffuso pysque réelle D, l fau calculer θ par la relao o θ avec θ.5 o r L o r avec o le ombre de oura e r le ombre de Reyolds local els que défs au pararape 5.. Eq. De ombreuses aures méodes de résoluo de l Eq. 7 o éé proposées, mas souve au dérme de la correspodace ere la dffuso umérque e la dffuso pysque. e aspec es e effe parculèreme éressa : l perme de ravaller avec l équao smple de l ode cémaque e d ober, par u co judceu des paramères, des résulas équvales à ceu obeus avec l équao plus complee de l ode dffusae. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
3 5.4 ONDITION R Pour les cas où θ, l se produ des débs éafs e sore de bef au débu de la crue. ec es dû au scémas de résoluo umérque ulsés. E praque, e de maère emprque, ces valeurs éaves so suffsamme pees e se produse sur ue durée suffsamme coure pour êre éleables s o cos el que T r Eq. avec T r le emps de moée de la crue à l erée du bef. ee valeur cosue la lme supéreure pour lorsque θ. Laureso Wema e Laureso, 979 a moré que L b deva êre dvsée e N pas, e o observe que θ dmue avec. omme θ, ormaleme, e peu pas avor ue valeur éave, o fe as, epérmealeme, ue lme féreure à. 5.5 ONDITION R La lme supéreure éorque de es doée par la codo c Eq. E praque, o observe que peu êre lareme supéreur à cee valeur sas que des problèmes de sablé des calculs ae éé observés Wema e Laureso, 979. o pred << /, cela mplque que les varables sur u pas d espace doé so calculées ava que la perurbao c es à dre l ode de crue vea du pas d espace précéde a eu le emps de parcourr la dsace. Lorsque θ, cela peu codure à des résulas aberras els que des débs éafs ou e varao bruale. Il es doc recommadé de predre coforme à l Eq.. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
33 6. LE MODELE ONEPTEL Face à la lourdeur e à la compleé des modèles mécases dérvés de l ydrodyamque, de ombreu aueurs o développé des modèles plus smples ééraleme dérvés de ou raacés à la dyamque des sysèmes e adapés au péomèes cocera l ydroloe urbae. Das ce ype de modèles, l e s a plus de décrre le déal des péomèes pysques e jeu, mas la rasformao d u ydroramme d erée par u sysème, e l occurrece u roço de colleceur, e u ydroramme de sore Fure 6.. Hydroramme d erée Modèle cocepuel Hydroramme de sore Fure 6. : Prcpe de focoeme d u modèle cocepuel Nous décrros c les modèles les plus couras, ce ype de modèles aya fa l obje d ue léraure abodae depus les aées 97. 6. METHODE D TIME-OFFET ee méode repose sur l ypoèse suvae : l ydroramme se propae sas déformao à ravers le bef ou le colleceur. Il s a doc d u smple décalae emporel. cee appromao es relaveme rossère, elle a l avaae de permere des smulaos de réseau d assasseme erêmeme rapdes e es ulsée das ceras locels de prédmesoeme de réseau ou de ecques aleraves. ydroramme era à l sa au po d abscsse se rerouve à l deque au po d abscsse à l sa T o, avec T o le décalae emporel appelé e alas me-offse. ee méode codu à suresmer les débs de poe e sore de réseau car l effe de lamae es oaleme oré. Le paramère T o es le seul paramère de ce modèle e l ese pluseurs ecques pour déermer sa valeur : e procéda par ajuseme epérmeal ; e dvsa le pas d espace par ue vesse d écouleme moyee qu peu êre, par eemple : - la vesse correspoda au déb mamum ; - la vesse correspoda à la moyee erquarle des débs ; - la vesse moyee podérée des dfférees vesses d écouleme observées. Les vesses d écouleme so ééraleme calculées e fasa l ypoèse que le réme es permae e e applqua la formule de Ma-rckler. L ydroramme es dscrésé au pas de emps. ur caque pas de emps, o calcule la vesse d écouleme e le déb. La vesse moyee podérée s écr : Eq. 3 Des dffculés umérques peuve se préseer lorsque T o es pas u mulple eer de. O pourra se référer à Breul 987 qu a éudé cee queso pour le modèle TEREA vor raslao smple. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
34 Le modèle RM Wa e Kdd, 975 propose ue varae où seul le déb moye sur la moé cerale de l ydroramme es prs e compe pour déermer T o. 6. MODELE MKINGM INITIAL O rerouve c des modèles préseés pour représeer la rasformao plue-déb e le russelleme. Il s a de modèles ssus du modèle de ype réservor créé aleme par Mc ary e 934 pour smuler les débs de la rvère Muskum das l Oo, A Mc ary, 94. Depus les ravau de Hcks 943 qu o cofrmé ce qu éa au dépar qu ue ypoèse de raval, o sa que le volume socké das u roço es sesbleme proporoel au déb das ce roço vor Fure 6.. Il s a précséme de l ypoèse fae das le modèle Muskum do la lo de sockae s écr, sous sa forme la plus éérale : α α Vs K e s Eq. 4 avec V s le volume socké m3 e le déb era m3/s s le déb sora m3/s K paramère du modèle Muskum s α paramère de podérao - ee premère équao es compléée par l équao de coservao de la masse : dvs e s Eq. 5 d e V s s Fure 6. : Prcpe du modèle Muskum Le paramère K appelé la-me représee le décalae emporel ere les baryceres des ydrorammes d erée e de sore Fure 6.3 : c es auss, éorqueme, le emps de ras d ue ode se propaea à la céléré sur ue dsace : K Eq. 6 e ydroramme d erée s ydroramme de sore K Fure 6.3 : fcao pysque du paramère K du modèle Muskum OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
35 De ombreu aueurs par eemple Reyer 978 ; Kovacs 988 ; emsar 995 propose de calculer ue valeur approcée de la céléré par ue foco de la vesse de l eau e réme uforme, ce qu correspod à ue valeur proce du déb mamum ma. emsar 995 a moré que la relao suvae doa de rès bos résulas, avec la vesse calculée pour 8 % du déb mamum : K Eq. 7. 8. 8 ma Le paramère de podérao α quafe les flueces respecves des débs d erée e de sore sur le volume socké. D u po de vue pysque, o a be évdemme α [,]. Néamos, ceras aueurs propose de predre, pour des rasos umérques, α [.5,.5], ou même α [,.5] rupczewsk e Kudzewcz, 98. Le cas α < a plus de sfcao pysque mas l perme parfos de meu représeer ceras ydrorammes parculers. E praque, la plupar des valeurs ulsées rese comprses ere e.5. Reyer 978 précose α., ce qu semble ue valeur moyee rasoable. O peu morer que s o pred α θ θ éa le coeffce d mplcao das les scémas de résoluo de l ode cémaque, le paramère du modèle Muskum peu êre assmlé à la dffuso ydraulque réelle D das l équao de l ode dffusae Pressma 97, ue 969, Kovacs, 988. O peu doc cosdérer, das ces codos, le modèle Muskum comme ue appromao à l ordre de l ode dffusae. Le paramère α es calculable par les relaos suvaes : relao proposée par ue 969 : α BI r avec α. 5 relao proposée par Kousss 978 : o α o r L o r α, o rerouve le modèle du réservor léare smple. Eq. 8 Eq. 9 Le sysème composé des deu équaos de sockae e de coservao se résou so par érao drece, so par dscrésao. ee deuème ecque es la plus rapde à mere e œuvre. O dérve la lo de sockae par rappor au emps, e o éalse avec les ermes de droe de l équao de coservao : dvs d d Kα e K α s e s d d d O dscrése dreceme cee équao dfféreelle. Pour cela, l ese pluseurs possblés selo les opéraeurs alébrques reeus. Das ous les cas, o obe ue relao du ype : s e e 3 s Eq. avec 3. Les prcpau scémas couras de dscrésao e les coeffces, e 3 correspodas so doées das le Tableau 6.. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
36 Iérao umérque du modèle Muskum α ep α K α dscrésao : f f f e ep α K α df d f f 3 ep K α Kα Kα K α K α K α 3 K α dscrésao : f f e df d f f Kα Kα K α K α K α 3 K α Modèle de Kousss 976 K K 3 3 3 Modèle de ue ayla 98 α 3 α α 3 α 3 ep K α α 3 3 α Tableau 6. : cémas de dscrésao e coeffces j du modèle Muskum es dfféres modèles o fa l obje de rès ombreuses éudes e comparasos. Perumal 989 a moré l deé formelle des coeffces j des modèles dscrésés avec ceu du modèle de Kousss 98 pour l ode dffusae. Il a éaleme ms e évdece les codos écessares pour ober des résulas deques avec les deu modèles. Des aalyses semblables o éaleme éé codues par Kovacs 988. lsé avec prudece, oamme au veau du ploae de la dffuso umérque, le modèle de Muskum doe ééraleme des résulas sasfasas pour la smulao des réseau d assasseme lorsque les sularés ydraulques e les flueces aval so mmes. Af d amélorer les résulas obeus e codue crculare car le modèle al de Muskum a éé développé e valdé pour des ceau prsmaques, Vazquez e al. 999 o proposé ue varae das laquelle o pose : K ma e Eq. L N b d où : L K b N ma Eq. Eq. 3 Le calae, effecué au moye d u réseau de euroes, pore sur les radeurs N e α. N es fé ere e 3, e α es lbre de varer ere e. Les résulas obeus more ue boe reproduco des ydrorammes éorques de référece calculés au moye des équaos de Barré de a-vea, as qu u bo calae pour u ydroramme réel mesuré e réseau d assasseme. OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo
37 6.3 MODELE DERIVE NON LINEAIRE Pluseurs varaes du modèle Muskum o éé proposées par dvers aueurs, oamme des modèles o léares comprea des paramères supplémeares pour meu reprodure ceras ydrorammes sur des secos de mesures où les relaos f présee des o léarés mporaes. Parm ceu-c, les plus cous so les suvas Gll, 978 : α m m V s K e α s Eq. 4 α m V s K e α s Eq. 5 es deu modèles o éé comparés au modèle al léare e carlaos, 987. Parm les prcpales coclusos, o oe que : les résulas e so pas oujours plus précs qu avec le modèle classque ; l Eq. 4 semble fourr des résulas plus précs que l Eq. 5 ; la qualé des résulas déped davaae du paramère K que du paramère α ; le paramère K es plus cosa e l fau predre K K pour meu reprodure la o léaré de la relao sockae-déb. ela codu à revor l ypoèse ale du modèle Muskum cossa à supposer que la vesse d écouleme e erée es éale à la vesse d écouleme e sore e qu elle e vare pas au cours du emps. o suppose que la vesse d écouleme es varable e lée au déb, o rodu ue ouvelle famlle de modèles o léares das lesquels o ulse des relaos du ype K K ou K K. Das le premer cas, l équao de sockae deve α α Vs K e s Eq. 6 o pred α, o obe la relao smple suvae : Vs K s Eq. 7 Epérmealeme Brod e Mos, 98, la foco K es déermée à parr de s selo ue relao du ype K ξ β s Eq. 8 avec ξ e β coeffces umérques. Das ces codos, o rerouve u modèle proce de ceu fours pour l ydraulque des écoulemes permaes qu s eprme ééraleme sous la forme ζv β s s avec ζ e β coeffces umérques, ce qu codu à ober ue formulao fale du ype δ s f Eq. 9 Eq. 3 avec δ coeffce umérque. oca 978 a développé u aure modèle o léare à parr de la dscrésao suvae de l équao de coué : Vs Vs βe β e βs β s avec [, ] β. Eq. 3 La soluo la plus smple cosse à cosr β. ee dscrésao es pas rès précse, mas l appromao peu êre cosdérée comme sasfasae moyea u co judceu du pas de emps. O obe alors OH3 5 MODELIATION DE EOLEMENT - 8//6 J.-L. Berrad-Krajewsk, RG, INA de Lyo