Chapitr 4 : Dérivés, intégrals t primitivs Dérivation d un fonction. Définitions t règls d dérivation On not dans la suit I t J ds intrvalls ouvrts d R. Définitions. Soint f I R t a I.. On dit qu f st dérivabl n a si l application I / {a} R....... On dit qu f st dérivabl sur un intrvall ouvrt J I si........................................... On appll domain d dérivabilité d f l nsmbl Ĩ =........................................... On not la fonction dérivé d f par f Ĩ R f (). Rmarqu L domain d dérivabilité d un fonction st toujours inclus dans son domain d définition t s détrmin toujours avant d calculr la dérivé d la fonction. Empls Détrminr l domain d définition t d dérivabilité ds applications suivants : f ln( ), g + t h p(sin( )).
Proposition Soint I un intrvall ouvrt, 0 I t f I R un fonction. Si f st dérivabl n 0 alors... Si f st dérivabl sur I alors... Propriétés (Règls d dérivation) Soint f, g I R du fonctions dérivabls sur I. Alors pour tout I. (f + g) () =.... (λf) () =.... (f g) () =.... ( f ) () = f ()..., si f()... f ().... ( f g ) () = f ()g() f()g ()..., si g()... g () Proposition (Dérivation d composé d fonctions) Soint f I R t g J R du fonctions dérivabls sur ds intrvalls ouvrts I t J t tlls qu I (f) = f(i) J. Alors pour tout I, g st dérivabl n f() t g f I R st dérivabl t on a pour tout I (g f) () =... Empls Si g () = ++ = f () alors g () =................................................... Si g () = sin( + ) = sin(f ()) alors g () =....................................................... Si g () = ( + ln()) = (f ()) alors g () =..................................................... Si g 4 () = ln( + cos()) = ln(f 4 ()) alors g 4 () =..................................................... Corollair (Dérivation d l application réciproqu) Soint f I J un fonction dérivabl t bijctiv t f J I sa bijction réciproqu................ (f ) (y) =...
Empls f() =, f () =..., f (y) =... donc (f ) (y) = + kjfhhhk = + hhhjzf. g() = ln(), g () =..., g (y) =... donc (g ) (y) = + kjfkjzf = + kjfkjzf =... h() = tan(), h () =..., h (y) =... donc (h ) (y) =..................... Définition (Tangnt n un point) Soit f I R dérivabl n un point a I. Un équation d la tangnt à la courb C f au point (a, f(a)) st donné par y = f(a) + f (a)( a).. Étud ds variations d un fonction Proposition (Sns d variation d un fonction) Soint a, b R t f [a, b] R un fonction continu sur [a, b] t dérivabl sur ]a, b[.. ]a, b[ f () 0.... ]a, b[ f () 0.... ]a, b[ f () = 0... 4. ]a, b[ f () > 0... 5. ]a, b[ f () < 0... Rmarqu.........................................................................................
. Convité t concavité Graphiqumnt, un fonction f défini sur un intrvall st conv si t sulmnt si, pour tous points A t B appartnant au graph d f, l graph d f ntr A t B st n dssous du sgmnt [A, B]. Pour un fonction concav, c st l contrair : l graph st au dssus du sgmnt [A, B]. C f C g f st... Définitions. Soint I un intrvall d R t f I R un fonction.. f st conv sur I si ll vérifi g st.... f st concav sur I si....................................................................... Proposition (Critèr d convité) Soit f I R un fonction dérivabl tll qu f st dérivabl sur un l intrvall ouvrt I, on not f sa dérivé.. Si f 0 sur I alors.... Si f 0 sur I alors... Proposition Soit f un fonction dérivabl sur un intrvall ouvrt I d R.. Si f st conv sur I alors.... Si f st concav sur I alors... Rmarqu Ctt proposition nous dit qu si f st dérivabl t conv, l graph d f st au dssus d chacun d ss tangnts alors qu si ll st concav, l graph st au dssous d chacun d ss tangnts. Empls Montrr qu ls fonctions ponntill t l logartihm vérifint ls propriétés suivants : R, + t R +, ln()............................................................. 4
Intégrals t primitivs. Qulqus mots sur l intégral On considèr un fonction f [a, b] R +. On chrch à calculr l air A situé n dssous du graph d f noté C f t ntr ls droits d équations = a, = b t l a ds abscisss O. Pour c fair, on put approchr ctt air par ds somms d airs d rctangls situés au dssous d la courb n découpant l intrvall [a, b] n sous intrvalls [a n, b n ] t on not An l air obtnu. D la mêm façon, on put approchr ctt air par ds somms d airs d rctangls situés au dssus d la courb t on not A n + l air obtnu. Si la limit ds airs n dssous st égal à la limit ds airs au dssus lorsqu l pas d subdivision d l intrvall tnd vrs 0 (càd lim A n + n = lim A + n + n ), on appll ctt limit commun l intégral d f sur l intrvall [a, b] t on la not A = a b f()d. On dit alors qu f st intégrabl sur [a, b]. Rmarqus a) Si f prnd ds valurs positivs t négativs, son intégral sur [a, b] st égal à la somm ds airs qu form son graph avc l a ds abscisss O slon la règl suivant : si la form géométriqu st situé au dssus d l a ds abscisss, son air st compté positivmnt alors qu si ll st au dssous, l air st compté négativmnt. b) Si f st un fonction constant égal à m R sur [a, b],alors a b f(t)dt =... Propriétés Soint f t g du fonctions intégrabls sur [a, b].. La fonction f + g st intégrabl t on a. Pour tout nombr rél λ, la fonction λf st intégrabl t on a. Si f g alors 4. Pour tout c ]a, b[, f st intégrabl sur [a, c] t [c, b] t on a Rmarqus Du fonctions qui diffèrnt n un nombr fini d points ont la mêm intégral. 5
Attntion : a b f(t) g(t)dt............................................................. Pour tout fonction f t tout rél a on pos par convntion Si f st intégrabl sur [a, b], on pos a b a a f(t)dt =... f(t)dt =... Grâc à cs du convntions, on obtint la formul d addition, dit rlation d Chasls :, y, z [a, b], z f(t)dt =... Nous utilisrons dans la suit l critèr d intégrabilité suivant : Théorèm Si f [a, b] R st...................................................................... Rmarqu (Autr critèr) Si f [a, b] R st....................................................... Primitivs : définitions t notations Définition Soint I un intrvall d R t f I R un fonction.. Si I st un intrvall ouvrt, un primitiv d f st............................................ Si I = [a, b[, ]a, b] ou [a, b], un primitiv d f st............................................. Rmarqu Si F st un primitiv d la fonction f I R, tout primitiv G d f sur I st d la form : G I R F () + c, où c st un rél qulconqu. Autrmnt dit, du primitivs d un mêm fonction sont égals à un constant près. Théorèm Soint I un intrvall d R t f I R un fonction continu............................ Rmarqu C théorèm nous dit qu tout fonction continu sur I possèd ds primitivs. D plus, pour tout a I, la fonction F a f(t)dt st l uniqu primitiv d f qui s annul n a. 6
. Outils t tchniqus d calcul.. Primitivs évidnts Lorsqu l on chrch la primitiv d un fonction, on commnc par rgardr si cll-ci n s écrit pas sous la form u () f(u()), avc f(u()) égal à l un ds prssions suivants (α R) : u α (), u(), u(), u(), cos(u()), sin(u()), + tan (u()), cos (u()), + u (), u (), puis on s réfèr au tablau ds primitivs usulls. Empls Donnr un primitiv ds fonctions suivants :. f () = ( + ) 4 = u () (u()) 4 avc u() =..., a pour primitiv F () =.... f () = (4 + ) =... 4(4 + ) =... avc u() =..., a pour primitiv F () =.... f () = + = + + +u () avc u() =..., a pour primitiv F () =... 4. f 4 () = + =... 4 + =... avc u() =..., a pour primitiv F 4 () =... 5. f 5 () = (6 + ) + =... avc u() =..., a pour primitiv F 5 () =... 6. f 6 () = 5 =... 0 5 =... avc u() =..., a pour primitiv F 6 () =... 7. f 7 () = 4 cos( + ) =... cos( + ) =... avc u() =..., a pour primitiv F 7 () =... 8. f 8 () = ( ) sin( +) =... avc u() =..., a pour primitiv F 8 () =... 7
+ 9. f 9 () = cos ( + + ) =... cos ( + + =... avc u() =..., ) a pour primitiv F 9 () =... 0. f 0 () = + 4 =... + (...) =... =... avc u() =..., a pour + (...) primitiv F 0 () =.... f () = 6 + 8 + 9 + 4 + 9 =. f () = + 6 + 4 =... + + 4 primitiv avc u() =..., a pour primitiv F () =... =... + 4 + 4 =... F () =... avc u() =..., a pour. f () = 5 = 5 =... 9 (...) (...) =... avc u() =..., a pour primitiv F () =... 4. f 4 () = + 6 8 = + 6 9 +... = + 6 9... = ( )... = avc u() =..., a pour primitiv 5. f 5 () = 5 44 + 0 4 = F 4 () =... 5 5 44 + 0... = 5 ( 5)... =...... ( 5)... =... avc u() =..., a pour primitiv 6. f 6 () = F 5 () =... 7 9 + + 5 = 7 + 9 + + 4... = 7 + ( + )... =...... + ( + )... =... avc u() =..., a pour primitiv F 6 () =... 8
7. f 7 () = 5 4 + 6 + 0 = 5 + 4 + 6 + 9... = 5 + ( + )... =...... + ( + )... =... avc u() =..., a pour primitiv F 7 () =... 8. f 8 () = + 4 + 6 + 0 =... 4 + 4 + 6 + 0 =... avc u() =..., a pour primitiv F 8 () =... 9. f 9 () = 5 9 4 + 5 = 5 + 9 4 + 4... = 5 + ( )... =... + 9 4 + 4.. =... avc u() =..., a pour primitiv F 9 () =..... Intégration par partis On considèr u t v du fonctions dérivabls sur un mêm intrvall [a, b] t tlls qu u t v soint continus sur [a, b]. On sait qu (uv) = u v + uv, n intégrant sur [a, b], on obtint [u()v()] b a = a b (uv) ()d = a b u ()v()d + On n déduit alors la formul dit «d intégration par partis» : ou, pour un intégral indéfini : a b a b u()v ()d. u()v ()d =... u()v ()d =... Empls. Calculr d. On pos u() = t v () =, d ctt façon, u () =... t v() =... 0 Ls fonctions u t v ainsi définis sont dérivabls sur [0, ], u t v sont continus t la formul d intégration par partis donn alors 0 d =................................................................................... 9
. Calculr ln()d. On pos u() = ln() t v () =, alors u () =... t v() =... Ls fonctions u t v ainsi définis sont dérivabls sur [, ], u t v sont continus t la formul d intégration par partis donn alors ln()d =... u()v ()d =...[u()v()] =...[ ln()] =... [ 4 ] =... +. 4 v()u ()d d. Calculr arcsin()d. On pos u() = arcsin() t v () =, alors u () = t v() =... Ls fonctions u t v ainsi définis sont dérivabls sur ], [, u t v sont continus t la formul d intégration par partis donn alors arcsin()d =...[u()v()] =...[u()v()] =...[u()v()] =...[u()v()] =...[u()v()] v()u ()d v()u ()d d d d 4. Donnr un primitiv d f sur R. On pos u() =... t v () =..., d ctt façon, u () =... t v() =... On a d =...[u()v()] v()u ()d L astuc pour calculr ctt intégral qui contint un ponntill consist à rfair un intégration par partis pour calculr d où d =...[u()v()] =...[u()v()] v()u ()d v()u ()d d =...[u()v()] v( Un primitiv d f sur R st donc F... 0
.. Changmnt d variabl Théorèm Soint f un fonction... défini sur un intrvall I t ϕ J I un...... tll qu ϕ soit... Pour tout a, b I, on a n posant...... Autrmnt dit, si F st un primitiv d f, alors..................................................... Rmarqu......................................................................................... Empls. Calculr + d n posant t = 4. L application st un bijction continu d... vrs... t sa dérivé... st continu sur..., c changmnt d variabl st donc admissibl. On procèd par étaps :. Ls borns d l intégral : si =, alors t =... t si = alors t =.... La variabl d intégration : comm t =, par dérivation, dt =.... L intégral : + d =... 4 d =...................................................... + (...)............................................................................................ Calculr 0 + d n posant t =. L application st un bijction continu d... vrs... t sa dérivé... st continu sur..., c changmnt d variabl st donc admissibl.. Ls borns d l intégral : si = 0, alors t =... t si = alors t =.... La variabl d intégration : comm t =, par dérivation, dt =.... L intégral : on a 0 + d = 0 ( + ) d = =... 0... (...) + =...... f...... =... 8. Calculr + d n posant t = +. L application + st un bijction continu d... vrs... t sa dérivé... st continu sur..., c changmnt d variabl st donc admissibl.. Ls borns d l intégral : si =, alors t =... t si = 8 alors t =.... La variabl d intégration : comm t = +, par dérivation, dt =... + d. Comm t = +, on a =...
. L intégral : on a 8 + d =... 8 + d =... Pour calculr ctt intégral, on va décomposr a, b R tls qu (t )(t + ) = a t + Finalmnt (t )(t + ) dt =......... t + =...... (t )(t + )(t + ). (t )(t + ) b a(t + ) + b(t ) + T + = = t + (t )(t + ) c qui amèn à { a + b =... a b =......(t ) dt...(t + ) dt n élémnts simpls : on chrch t(a + b) + (a b) + T +, (t )(t + ) { a =... b =... =... =... 4. Calculr π/4 π/4 =... cos() d n posant t = sin(). L application sin() st un bijction conti- cos () nu d... vrs... t sa dérivé... st continu sur..., c changmnt d variabl st donc admissibl.. Ls borns d l intégral : si = π/4, alors t =... t si = π/4 alors t =.... La variabl d intégration : comm t = sin(), on a dt =.... L intégral : on a f() = t donc π/4 π/4 cos() cos () d = cos() cos () = cos() + sin ()... = cos() + sin ()..., π/4 π/4 cos() + sin ()... d = + t... =.............................................................................................. 5. Calculr 0 / ( ) / d n posant t =. L application st un bijction continu d... vrs... t sa dérivé... st continu sur..., c changmnt d variabl st donc admissibl.. Ls borns d l intégral : si = 0, alors t =... t si = / alors t =.... La variabl d intégration : comm t =, on a dt =.... L intégral : on a 0 / ( ) d =... / 0 / ( ) d =...... / dt =...... (t) /..............................................................................................
..4 Intégration d fonctions trigonométriqus On s intérss ici au intégrals d la form sin p () cos q ()d avc p, q Z. On différnci qulqus cas slon la parité t l sign d p t q. a) q impair : On prnd pour variabl t =... donc dt =... t on utilis la formul cos () =........................................................................................ b) p impair : Mêm princip qu n a) n posant t =... c) p, q 0 t pairs : On abaiss l dgré n utilisant ls formuls : sin () = cos() t cos () = + cos(), puis si nécssair on rcommnc avc sin () t cos (), ou on chang d variabls. d) p t q pairs, l un au moins étant négatif : On prnd pour variabl t =..., ctt méthod st aussi applicabl lorsqu p t q sont impairs.
Empls Calculr. cos() sin ()d =............................................................................................................................... sin () cos ()d =................................................................................................................ cos () sin 4 () d = sin ()... sin 4 ()...d = t... t 4... dt = sin () + + C, C R. sin() On a posé t =... 4. sin 5 () cos ()d = sin6 () 6 sin8 () 8..5 Intégration d fractions rationnlls + C, C R, n posant t = sin(). Définition Un fraction rationnll à cofficints dans R st un prssion d la form P, où P t Q Q sont ds polynôms à cofficints dans R avc Q 0. Théorèm (Décomposition n élémnts simpls sur R) Soit P Q un fraction rationnll avc pgcd(p, Q) =................................................... Alors P Q s décompos d manièr uniqu comm somm............................................................................................ 4
........................................................................................................................................................................................ où A, B, C R, i, j N avc i α t j β. Rmarqu......................................................................................... Proposition (Décomposition dans l cas où dg(p ) < dg(q)) Soit P Q un fraction rationnll avc pgcd(p, Q)= t dg(p) < dg(q). On suppos qu il ist a, b, c R t α, β N tls qu Q s factoris d la façon irréductibl suivant : Q() = ( a) α ( + b + c) β, avc b 4c < 0. Alors il ist A,..., A α R, B,..., B β R t C,..., C β R tls qu R {a} P () Q() =... Empls Décomposr n élémnts simpls ls fractions rationnlls suivants :. R () = P () Q () = + +............................................................... +. R () = P () Q () = + 6 + 8 ( + )( + )...................................................... 5
. R () = P () Q () = + ( )( + + ).......................................................... a) Intégration d un élémnt simpl d èr spèc d Il s agit d calculr F () = ( a), α α N. Du cas s présntnt : d. Si α = : F () = ( a) =.... Si α : F () = d ( a) = α ( a)... ( a)... d = (...) +C =... +C, C R. (α )() α 6
B + C b) Intégration d un élémnt simpl d nd spèc + b + c B + C Il s agit d calculr F () = + b + c d, B, C, b, c R, b 4c < 0. C calcul put s ffctur n trois étaps qu l on va détaillr sur l mpl suivant : Calculr F () = + 4 + 4 + 6 d. Étudions l dénominatur : on a =... Étap : On fait apparaîtr au numératur + 4 la dérivé du polynôm du scond dgré du dénominatur + 4 + 6 : on a ( + 4 + 6) =... t donc Ainsi, + 4 =... + 4 + 4 + 6 d =... + 4 + 6 d +... = H() + G(). + 4 + 6 d On a H() =... d =............................................................... donc H() =................................................................................... Il rst alors à calculr G(). Étap : On écrit l polynôm au dénominatur + 4 + 6 sous la form «c(t + )» avc c R un constant pour fair apparaitr la dérivé d la fonction arctangnt : + 4 + 6 =... =... =... Ainsi G() =... d =... + 4 + 6 =... =... Étap : On conclut F () = H() + G() =... 7
En résumé : intégration d un élémnt simpl d nd spèc On considèr P un polynôm d dgré dont l discriminant < 0 (donc pas d racin rélls). Un trm du typ A + B avc A 0 t B R aura pour primitiv C ln(p ()) avc C R un P () constant ou bin C ln(p ())+un arctangnt, avc C R un constant. B Un trm du typ avc B R aura pour primitiv un arctangnt. P () c) Plan d étud d un fraction rationnll On s intérss à ds fonctions qui s écrivnt sous la form P Q avc P t Q du polynôms. Voici ls étaps à suivr pour détrminr un primitiv d P Q :. On détrmin l domain d définition d P Q n chrchant ls racins du polynôm Q.. On rgard s il ist λ R tl qu P () s écriv sous la form λ Q (), auqul cas P () Q() d = λ Q () d = λ ln( Q() ) + C, C R. Q(). S il n ist pas d λ R tl qu P () = λ Q () on amin ls dgrés d P t Q : (a) Si dg(p ) dg(q), on ffctu la division d P () par Q(). En notant Q () l quotint obtnu t R () l rst on a P () Q() = Q()Q () + R () = Q () + R () Q() Q() avc dg(r )<dg(q) t on pass à l étap.(b) avc R t Q. (b) Si dg(p )<dg(q), on factoris au maimum P () t Q(), t on simplifi évntullmnt P () s il ist ds racins communs. Q() 4. On décompos P n élémnts simpls à partir d sa form factorisé détrminé à l étap.(b). Q (a) Si on a ds élémnts simpls d èr spèc : par mpl a pour primitiv ln( ). (b) Si on a ds élémnts simpls d nd spèc : par mpl + + avc + + qui n s annul jamais ( < 0). Dans un prmir tmps, on fait apparaitr la dérivé d + + au numératur n écrivant = ( + ). Ainsi, + + = + + + + + = u () u() + +, avc u() = + +. Dans un scond tmps, on écrit l scond trm sous la form α v () + + + v () avc α R un constant t v un polynôm à détrminr. Pour cla, on écrit + + sous la form + (...). On a + + = ( + ) 4 + = ( + ) + 4 = 4 ( + ( + ) ) = + 4 4 8 + 4 = 4 + ( + ).
En posant v() = + qui a pour dérivé v () =, on obtint donc + + = = 4 + ( + ( ) ) + ( + ) = 4 4 + ( + ) = v () + v (). Finalmnt, admt pour primitiv + + = u () u() v () + v () ln( u() ) arctan(v()) = + ln( + + ) arctan ( ). B + C d) Intégration d un élémnt simpl d nd spèc ( + b + c), avc β β B + C Il s agit d calculr F () = ( + b + c) d, B, C, b, c R, β b 4c < 0, β N t β. C calcul put s ffctur n quatr étaps qu l on va détaillr sur l mpl suivant : Calculr F () = + ( + ) d. Étap : On fait apparaîtr au numératur + la dérivé du polynôm du scond dgré du dénominatur + : on a ( + ) =... t donc + =... Ainsi + ( + ) d =... ( + ) d +... = H() + G(). ( + ) d H() st d la form... u () d =..., avc u() =... u () u() donc H() =. Il rst alors à calculr G()....( + ) Étap : On décompos l polynôm au dénominatur + n somm d un carré t d un rst : + =... n posant t =..., on a + =... dt =... donc G() =... ( + ) d dvint... dt (...) = φ(t). Étap : Calcul d φ(t) : l idé st d écrir (t + ) sous la form «c ( t c + ),» où c R st un constant. φ(t) = dt (t + ) = dt (( t + )) = dt...(... + ) = dt...(( t ) + ). 9
On pos alors tan(θ) =... donc t =..., dt =... Il n résult : =... (( t ) + )... dθ φ(t) = dt (( t ) + )... = (( t ) + )... dθ =......dθ (( t ) + )... =... (( t ) + )... dθ =... Étap 4 : On rtourn à la variabl d départ pour l calcul d G() t on rgroup avc la parti d F () déjà calculé. On a posé t = tan(θ) c qui donn tan(θ) =... t θ =... sin(θ) = sin(θ) cos(θ) = sin(θ) cos (θ) cos(θ) = tan(θ) + tan (θ) = ( )... +... = ( ).. +.. = ( ).. +... donc φ(t) =............................................................................................ On obtint finalmnt comm on a posé t = G() =........................................................................................... t donc F () =................................................................................... 0
Ann A - Dérivés ds fonctions usulls Fonction Domain Imag Fonction dérivé Domain d définition d dérivabilité n, n N R R n n R, n n n N R R n+ n, n = k, k N R + R + n /n R + n, n = k +, k N R R n /n α, α R Z t α n, n N R + R + α α R + R R R+ R + R + R R + R ln() R + R sin() R [, ] cos() R cos() R [, ] sin() R R + tan() π + kπ, k Z R + tan () = arcsin() [, ] [ π, π ] arccos() [, ] [0, π] cos () π + kπ, k Z ], [ ], [ arctan() R ] π, π [ + R sh() = ch() = + th() = + R ], [ R R ch() R R [, + [ sh() R ch () = th () R argsh() = ln( + + ) R R argch() = ln( + ) [, + [ [0, + [ + R ], + [ argth() = ln ( + ) ], [ R ], [
On considèr un fonction u I R continu t dérivabl sur un intrvall ouvrt I d R. Fonction Domain d définition Fonction dérivé Domain d dérivabilité u n, n N I nu u n I u n, n N { I u() 0} nu u n+ { I u() 0} u { I u() 0} u u { I u() 0} u { I u() 0} u u { I u() > 0} u I u u I ln(u) { I u() > 0} u u { I u() > 0} cos(u) I u sin(u) I sin(u) I u cos(u) I tan(u) { I u() π + kπ, k Z} u ( + tan (u)) = arcsin(u) { I u() [, ]} u u u cos (u) { I u() π + kπ, k Z} { I u() ], [} arccos(u) { I u() [, ]} u u { I u() ], [} arctan(u) I u + u I
Ann B - Primitivs usulls Fonction Primitiv Domain d validité a (rél donné) a R Fonction u u α, α R Primitiv u α+ α + n, n N n+ n + R u u u n, n N { } (n ) n R u u ln( u ), R + u u u α, α R Z α+ α + ln( ) R + R R cos() sin() R sin() cos() R u cos(u) u sin(u) u cos (u) = u ( + tan (u)) sin(u) cos(u) tan(u) u + u arctan(u) u u arcsin(u) cos () = + tan () tan() π + kπ, k Z + arctan() R arcsin() ], [ arccos() ], [ a, a R + {} a ln(a) R