HEC Montréal Afflée à l Unversté de Montréal La Quantfcaton du Rsque Opératonnel des Insttutons Bancares par Hela Dahen Département Fnance Thèse présentée à la Faculté des études supéreures en vue d obtenton de grade de Phlosophae Doctor (Ph.D) en Admnstraton Avrl, 2007 Copyrght, Hela Dahen, 2006
HEC Montréal Unversté de Montréal Cette thèse nttulée : La Quantfcaton du Rsque Opératonnel des Insttutons Bancares Présentée par : Hela Dahen est évaluée par le jury composé des personnes suvantes : Dr. Narjess Boubakr Présdent-rapporteur Dr. Georges Donne Drecteur de recherche Dr. Bruno Rémllard Co-drecteur de recherche Dr. Franços Bellavance Membre du jury Dr. Georges Hübner Examnateur externe
RÉSUMÉ Sute à l accord de Bâle II, les banques sont nvtées à développer leur propre méthode de mesure de captal pour le rsque opératonnel. Nous proposons dans cette thèse une méthode de quantfcaton du rsque opératonnel en ntégrant des données nternes et externes de pertes. Cette thèse est composée de tros partes : La premère parte propose des solutons quant au problème d utlsaton des données externes de pertes opératonnelles dans la mesure du captal avec une méthode avancée. Dans une premère étape, nous mettons en place un modèle explcatf des montants de pertes ncluant la talle de l entreprse, le leu de la perte, les lgnes d affares ans que les types de rsque. Les résultats de l estmaton par la méthode des mondres carrés ordnares (MCO) montrent que ces varables ont un pouvor statstquement sgnfcatf dans l explcaton des montants de pertes. Ces dernères vont être retenues pour le développement d une formule de normalsaton. Nous montrons ans comment l est possble de calculer la perte équvalente à une perte externe, qu pourrat être sube au nveau d une banque. D alleurs nous valdons notre méthode en prenant le cas de la banque Merrll Lynch et nous montrons que les statstques des pertes observées de cette banque sont sensblement proches de celles trouvées après mse à échelle. Dans une seconde étape, nous développons un deuxème modèle pour la mse à l échelle des fréquences des pertes qu pourraent avor leu durant une pérode détermnée à partr des données externes. Nous proposons deux modèles tronqués avec composante de régresson, à savor le Posson et le bnomal négatf. Des varables estmant la talle et la répartton géographque des actvtés des banques ont été ntrodutes comme varables explcatves dans le modèle. Les résultats montrent que la dstrbuton bnomale négatve domne la dstrbuton Posson. Ans, la mse à l échelle se fat en calculant les paramètres de la dstrbuton retenue à partr des coeffcents estmés et des varables propres à une banque donnée. Il est donc possble de générer les fréquences des pertes extrêmes sur un horzon détermné, même lorsque la banque étudée n a pas suffsamment de données.
Dans la seconde parte, nous étudons le degré d ajustement de dfférentes dstrbutons paramétrques aux données de pertes opératonnelles externes mses à l échelle d une banque canadenne. En effet, cette étape est très mportante pour le calcul de la VaR avec la méthode avancée, à savor Loss Dstrbuton Approach (LDA). Nous testons les dstrbutons exponentelle, lognormale, Webull et une famlle de dstrbutons à quatre paramètres : la GB2. Les résultats d estmaton des paramètres rejettent l ajustement de ces dstrbutons aux données. Par alleurs, nous valdons l exstence d une symétre pondérée dans les données que nous combnons avec le modèle GB2. La qualté d ajustement du modèle GB2 fractonné (ans construt) aux données est évaluée grâce à des tests d ajustement avec bootstrap paramétrque. Nous montrons que le modèle GB2 fractonné offre un excellent ajustement et décrt meux le comportement des pertes opératonnelles. Quant à la trosème parte, nous détermnons la valeur à rsque opératonnel (VaR) d une banque canadenne avec la méthode LDA. Nous développons cette méthode de mesure du captal opératonnel en chosssant la melleure dstrbuton de sévérté et de fréquence tout en tenant compte du seul de troncature, pusque les données sont collectées à partr d un certan seul. Nous testons la robustesse de notre modèle en le comparant au modèle standard, qu est construt à partr des dstrbutons fréquemment utlsées à savor la lognormale et la Posson et qu ne tent pas compte des pertes au-dessous du seul de collecte. Les résultats montrent que le modèle standard sous-estme sgnfcatvement la VaR. De plus, nous proposons un algorthme pour la combnason des données nternes et externes mses à l échelle. Ans, la VaR calculée consttue une bonne mesure de l exposton réelle face au rsque opératonnel d une banque. Mots clés : Rsque opératonnel, nsttutons bancares, mse à l échelle, modèles de comptage tronqués avec composante de régresson, approche de la dstrbuton des pertes, symétre pondérée, dstrbuton tronquée, GB2, valeur à rsque opératonnel, bootstrap paramétrque.
ABSTRACT Operatonal rsk has receved an ncreasng emphass n the recent years. The BIS 1, through Basel Accord II, has urged banks to develop ther own advanced captal measurement approach (AMA) to manage operatonal rsk. We propose n ths thess a method to quantfy operatonal rsk by combnng nternal and external loss data. Ths dssertaton s composed of three chapters: In the frst chapter, we propose a severty scalng model that allows us to estmate the equvalent operatonal loss amount that can occur n a bank, from an external data base. We take nto consderaton the sze of the nsttuton, the locaton, the busness lnes and the rsk types. The results demonstrate that these varables have a sgnfcant mpact to explan the observed losses. Consderng a normalzaton formula wth the sgnfcant varables, we show how we determne the equvalent loss amount that could occur n a bank. Secondly, we develop a frequency scalng model to determne the number of extreme losses that a bank could have durng a specfed perod. We suggest two count models: the truncated Posson regresson and the truncated negatve bnomal regresson. The explanatory varables of the regresson are the sze and the geographcal dstrbuton of the bankng actvtes. We show that the second model yelds to more accurate results. Therefore, the frequency scalng conssts on calculatng the parameters of the dstrbuton from the estmated coeffcents and the bank varables. We can, thus, generate a number of extreme losses durng a determned horzon, even f the bank doesn t have suffcent loss data. In the second chapter, we nvestgate the fttng of parametrc dstrbutons to the operatonal loss data. Indeed, the qualty of the fttng s very mportant to obtan accurate results of operatonal rsk captal. We propose four severty dstrbutons: exponental, lognormal, Webull and a four parameters famly dstrbuton, the GB2. We demonstrate that the goodness of ft tests reject the ft of all the estmated 1 Bank for Internatonal Settlements
dstrbutons to scaled external data. Moreover, we test the exstence of a weghted symmetry n the data. Then, we buld up a splt GB2 model by ntroducng the weghted symmetry n the GB2 dstrbuton. We test the goodness of ft of ths model by a Kolmogorov-Smrnov test wth parametrc bootstrap. The results show that the splt GB2 model offers an excellent ft to data and descrbe better the behavour of operatonal losses. The thrd chapter proposes a methodology to determne the operatonal value at rsk (VaR) wth the Loss Dstrbuton Approach (LDA), wth an emprcal study of a Canadan bank. We determne frst the best severty dstrbuton that fts the loss amounts, among the four dstrbutons tested. We take nto consderaton the truncaton ssue, snce the nternal losses are collected above a known threshold. Secondly, we consder two frequency dstrbutons and we select the one that offers the best fttng to the number of losses per day or per week. Moreover, we adjust the estmated parameters to take nto account the frequency of losses under the threshold. Then, we defne a standard model, often used n practce, whch s bult from an aggregaton of the lognormal and the Posson dstrbutons, wthout any consderaton of truncaton. We compare our model to the standard one and we show that the latter underestmates sgnfcantly the VaR comparatvely to our model. So, our model reflects better the bank exposure to operatonal rsk snce the VaR developed s more accurate and more realstc than the standard one. We also propose an algorthm to calculate the VaR by rsk type, by combnng nternal and scaled external loss data and by aggregatng the approprate severty and frequency dstrbutons. Key words : Operatonal rsk, bankng nsttutons, scalng models, truncated count model regresson, Loss Dstrbuton Approach, weghted symmetry, truncated dstrbuton, GB2, Operatonal Value at Rsk, parametrc bootstrap. v
TABLE DES MATIERES LISTE DES TABLEAUX... VIII LISTE DES GRAPHIQUES... IX REMERCIEMENTS... XI INTRODUCTION GÉNÉRALE...1 1. MODÈLES DE MISE À L ÉCHELLE DES MONTANTS ET DES FRÉQUENCES DES DONNÉES DE PERTES OPÉRATIONNELLES EXTERNES...4 1.1. INTRODUCTION...4 1.2. MISE EN CONTEXTE...5 1.2.1. Le cadre réglementare...5 1.2.2. Les sources de données externes et leurs bas potentels...6 1.2.3. Revue de la lttérature...9 1.3. DESCRIPTION DES DONNÉES EXTERNES...14 1.4. HYPOTHÈSES DU MODÈLE...16 1.5. MODÈLE DE MISE À L ÉCHELLE DES MONTANTS DE PERTES EXTERNES...17 1.5.1. Modèle théorque de mse à l échelle...17 1.5.2. Descrpton des varables...19 1.5.3. Régresson lnéare...23 1.5.4. Résultats de la régresson...24 1.5.5. Tests de robustesse sur la varable talle...25 1.5.6. Formule de normalsaton...26 1.5.7. Valdaton du modèle de mse à échelle...28 1.6. MODÈLE DE MISE À L ÉCHELLE DES FRÉQUENCES DES PERTES EXTERNES...30 1.6.1. Descrpton du modèle...31 1.6.2. Descrpton des varables...32 1.6.3. Modèle Posson tronqué avec composante de régresson...33 1.6.4. Modèle bnomal négatf tronqué avec composante de régresson...35 1.6.5. Présentaton et comparason des résultats...37 1.7. CONCLUSION...40 ANNEXE 1...52 v
2. MODÈLE GB2 FRACTIONNÉ POUR UN MEILLEUR AJUSTEMENT DE LA DISTRIBUTION DE SÉVÉRITÉ...54 2.1. INTRODUCTION...54 2.2. REVUE DE LA LITTÉRATURE...55 2.3. DESCRIPTION DES DONNÉES...59 2.4. MODÈLES D AJUSTEMENT...60 2.4.1. Dstrbutons proposées...60 2.4.2. Estmaton des paramètres...63 2.4.3. Tests d ajustement...64 2.4.4. Résultats...66 2.5. UN MODÈLE GB2 FRACTIONNÉ...67 2.5.1. Défnton de la symétre pondérée...68 2.5.2. Estmaton des paramètres de la symétre pondérée...69 2.5.3. Test de la symétre pondérée...69 2.5.4. Modèle GB2 fractonné...71 2.6. CONCLUSION...74 ANNEXE 2...85 3. DÉTERMINATION DE LA VALEUR À RISQUE OPÉRATIONNEL D UNE BANQUE CANADIENNE...87 3.1. INTRODUCTION...87 3.2. REVUE DE LA LITTÉRATURE...88 3.3. LES DONNÉES...93 3.3.1. Descrpton des données...93 3.3.2. Statstques descrptves sur les montants de pertes...94 3.3.3. Statstques descrptves sur les fréquences des pertes...95 3.4. LE MODÈLE LDA...97 3.4.1. Condtons d applcaton du modèle...97 3.4.2. Présentaton du modèle LDA...98 3.5. ESTIMATION DE LA DISTRIBUTION DE SÉVÉRITÉ...99 3.5.1. Dstrbutons testées...100 3.5.2. Modélsaton de l ensemble des données...101 3.5.3. Découpage de la dstrbuton...104 3.5.4. Tests de bon ajustement...110 3.5.5. Résultats de l estmaton des paramètres...110 3.6. ESTIMATION DE LA DISTRIBUTION DE FRÉQUENCE...113 3.6.1. Dstrbutons testées...114 3.6.2. Estmaton des paramètres...114 3.6.3. Correcton des paramètres...115 3.6.4. Tests de bon ajustement...117 3.6.5. Résultat de l estmaton des paramètres...119 v
3.7. CALCUL DE LA VAR OPÉRATIONNEL PAR TYPE DE RISQUE...120 3.7.1. Agrégaton des dstrbutons avec les données nternes...120 3.7.2. Comparason de notre modèle avec le modèle standard...121 3.7.3. Combnason des données nternes et données externes...123 3.7.4. Détermnaton de la VaR...125 3.7.5. Impact de la combnason des données nternes et externes sur les résultats...126 3.8. CONCLUSION...127 CONCLUSION GÉNÉRALE...143 BIBLIOGRAPHIE...147 v
LISTE DES TABLEAUX Tableau 1-1 : Statstques descrptves sur les données de la base externe... 42 Tableau 1-2 : Résultats de l estmaton des paramètres de la régresson lnéare... 44 Tableau 1-3 : Tests de robustesse... 46 Tableau 1-4 : Statstques sur les pertes mses à l échelle... 47 Tableau 1-5 : Impact des varables de mse à l échelle sur les montants des pertes.. 48 Tableau 1-6 : Statstques descrptves sur les varables ntrodutes dans le modèle de fréquence... 49 Tableau 1-7 : Résultats de l estmaton des coeffcents dans le modèle de fréquence... 50 Tableau 1-8 : Résultats de l applcaton de la mse à l échelle des fréquences... 51 Tableau 2-1: Dstrbutons étudées... 61 Tableau 2-2: Statstques descrptves sur les données... 77 Tableau 2-3 : Résultats de l estmaton des paramètres... 82 Tableau 2-4 : Résultats de l estmaton des paramètres du modèle GB2 fractonné.. 84 Tableau 3-1 : Statstques descrptves... 129 Tableau 3-2 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour les types de rsque FI, ATCE, EPSE.... 131 Tableau 3-3: Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque CPPC 132 Tableau 3-4 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque GELP... 133 Tableau 3-5 : Estmaton des dstrbutons de sévérté pour le type de rsque FE... 135 Tableau 3-6 : Estmaton des dstrbutons de fréquences par type de rsque... 137 Tableau 3-7 : Comparason entre notre modèle et le modèle standard.... 139 Tableau 3-8 : La VaR opératonnel par type de rsque... 140 Tableau 3-9 : Comparason entre la VaR opératonnel par type de rsque calculée avec le modèle Posson et celle calculée avec le modèle bnomal négatf... 141 Tableau 3-10 : Impact de l ntégraton des données de pertes externes sur la VaR. 142 v
LISTE DES GRAPHIQUES Graphque 2-1 : La GB2 et ses cas partculers... 76 Graphque 2-2 : Tests graphques de la dstrbuton exponentelle... 78 Graphque 2-3 : Tests graphques de la dstrbuton lognormale.... 79 Graphque 2-4 : Tests graphques de la dstrbuton Webull... 80 Graphque 2-5 : Tests graphques de la dstrbuton GB2... 81 Graphque 2-6 : Tests graphques du modèle GB2 fractonné.... 83 x
À ma famlle, s lontane mas s proche de mon cœur, À Mehd pour son amour et souten ncondtonnel, À ma très chère pette flle Ines, Je vous ame profondément x
REMERCIEMENTS On dt souvent que le trajet est auss mportant que la destnaton. Les cnq années de doctorat m ont perms de ben comprendre la sgnfcaton de cette phrase toute smple. Ce parcours, en effet, ne s est pas réalsé sans défs et sans soulever de nombreuses questons pour lesquelles les réponses nécesstaent de longues heures de traval. Je tens tout d abord à exprmer ma profonde grattude à mon drecteur de recherche, Dr. Georges Donne, pour son encadrement exemplare, pour ses consels préceux et pour sa grande dsponblté J ameras remercer Dr. Bruno Rémllard, mon co-drecteur de recherche, pour ses commentares pertnents et pour tous les apprentssages mathématques et statstques qu l a su me fare transférer. Un grand merc à Dr. Franços Bellavance et Dr. Susan Chrstoffersen pour leur dsponblté et pour leurs commentares judceux. Je remerce également Dr. Georges Hübner, l examnateur externe, pour tous ses commentares et remarques très pertnents vsant à amélorer cette recherche. Un grand merc à Dr. Narjess Boubakr, présdent rapporteur, pour toute sa gentllesse et tous ses encouragements. Je sus hautement reconnassante à tout le personnel du département de geston du rsque opératonnel de la banque étudée. Grâce à l opportunté qu ls m ont offert de travaller à la banque, j a pu réalser la parte emprque de cette thèse. J ameras remercer également le mnstère tunsen de l ensegnement supéreur, l Insttut de Fnance Mathématque (IFM2), le Centre de Recherche en E-Fnance (CREF), et le Fonds Québécos de la Recherche sur la Socété et la Culture (FQRSC) pour leur souten fnancer. x
Un grand merc à mon père qu m a nculqué la valeur du traval séreux. Grâce à ses encouragements, j a pu surmonter les moments dffcles de mon cursus doctoral. J espère que tu seras fer de mo, papa! Mes pensées vont à ma tendre maman qu n a pas arrêté de prer pour mon succès. Toutes les larmes qu elle a versées à cause de la longue séparaton m ont poussée encore à aller de l avant. Je remerce également mon frère et mes deux sœurs pour leurs encouragements et souten ncondtonnel. Je veux témogner ma profonde grattude à mon cher époux pour son amour, son souten et encouragement. C est la personne qu a plus enduré mes frustratons et mes sauts d humeur dans les moments dffcles de mon chemnement doctoral. Merc beaucoup pour ta patence et d être toujours à mes côtés. Merc à mon adorable pette flle Ines, qu malgré son jeune âge, m encourageat à contnuer d étuder. Je voudras remercer également ma belle famlle pour son ade préceuse et pour sa compréhenson. Elle m a beaucoup adé à concler traval, étude et famlle. Un grand merc à mes ams et collègues de la Chare du Canada en geston des rsques, pour leur souten et commentares judceux, notamment, Nada, Olfa, Khemas, Dentsa, Hakm, Oussama et Fatoumata. x
INTRODUCTION GÉNÉRALE Durant ces dernères années, nous remarquons un ntérêt crossant des nsttutons fnancères pour dentfer les pertes assocées au rsque opératonnel, et ce, sute à des consdératons réglementares d une part, et sute à l occurrence de pertes opératonnelles colossales dans le secteur fnancer d autre part. Ctons des exemples de pertes opératonnelles énormes subes dans le secteur fnancer : 2,4 mllards de dollars attrbuables aux poursutes subséquentes à l affare Enron et une perte de 690 mllons de dollars causée par une transacton non autorsée à Alled Irsh Bank. Ajoutons le cas de la plus velle banque du Royaume-Un (233 ans), la Barngs, qu a fat fallte à la sute d actvtés non autorsées ayant occasonné une perte de 1,3 mllard de dollars. Ces exemples montrent l ampleur de ce rsque. Ils consttuent également un sgnal pour alerter les nsttutons fnancères qu dovent mpératvement le défnr, le mesurer et le gérer afn d évter les éventuelles pertes colossales qu peuvent en découler. Outre ces pertes mportantes, le rsque opératonnel touche toutes les actvtés et les opératons des nsttutons fnancères de dfférentes manères. En effet, nous trouvons des événements opératonnels attrbuables aux personnes, aux processus, aux systèmes et aux événements externes. En revanche, les untés ne sont pas touchées de la même façon par le rsque opératonnel. L mpact vare selon la nature des actvtés et les dfférents ntervenants. Le rsque opératonnel prend donc de plus en plus d envergure et sa geston devent une nécessté. Conscentes de ce grand rsque, les autortés réglementares ont lancé le débat sur la défnton, l dentfcaton, la mesure et la geston du rsque opératonnel à partr de jun 1999. Elles ntrodusent ans de la presson sur les banques afn qu elles mettent en place un cadre de geston propre au rsque opératonnel (système de geston de rsque, senor management, suffsamment de ressources dédées à la geston du rsque opératonnel dans les lgnes d affares). Ce cadre permet, entre autres, l dentfcaton des pertes et la mesure d un captal opératonnel. Une façon de couvrr l exposton 1
au rsque opératonnel est de détenr un captal permettant de couvrr les pertes non antcpées, comme c est le cas pour le rsque de marché et de crédt. Pluseurs approches de mesure de captal rsque opératonnel ont été proposées par les autortés règlementares, sauf que les banques sont nvtées à développer leur propre méthode, une méthode de mesure avancée qu reflètera meux le nveau de rsque opératonnel. Le développement d une telle méthode de mesure est au centre de cette thèse. Nous étudons en effet dfférentes facettes de la quantfcaton du rsque opératonnel des nsttutons bancares dans le but de développer une mesure qu tent compte de l exposton réelle d une banque. Ans, l objectf de cette thèse est de proposer une méthode robuste pour le calcul de la valeur à rsque opératonnel qu sera la plus réalste et la plus représentatve du nveau de rsque opératonnel d une banque. Comme les recherches dans ce domane sont encore en phase embryonnare, tous les développements et les outls de quantfcaton que nous proposons dans cette thèse seront ans d une grande utlté pour les nsttutons fnancères à court terme, étant donné qu elles ont des exgences à remplr, mas également pour les autres ndustres qu, à moyen terme, trouveront que l exercce leur est proftable. Cette thèse portant sur la quantfcaton du rsque opératonnel et le développement d une mesure de captal comporte tros partes. La premère parte consste à développer des modèles pour mettre la sévérté et la fréquence des pertes externes de plus d un mllon de dollars à l échelle d une banque donnée. Le recours à des données de pertes opératonnelles externes s avère essentel pour compléter les données nternes et, surtout, pour aller chercher les pertes mportantes très rares qu, généralement, manquent dans les bases nternes des banques. Nous ntrodusons dans notre modèle des varables de leu, de lgne d affares où la perte a eu leu et de type de rsque en plus de la varable talle. Nous montrons ans que notre modèle vent amélorer les modèles exstants dans la lttérature qu se basent unquement sur la talle. D autre part, nous avons ms en place un modèle orgnal pour la mse à l échelle et l ajustement du nombre de pertes 2
externes de plus d un mllon de dollars sur une pérode détermnée. Les paramètres du modèle retenu à savor le bnomal négatf tronqué avec composante de régresson dépendent de la talle de l nsttuton fnancère et de la répartton géographque de ses actvtés. La deuxème parte de la thèse met l accent sur l estmaton de la dstrbuton de sévérté. Le chox de la dstrbuton est en effet d une mportance crucale pour ben décrre le comportement des pertes et estmer correctement la valeur à rsque opératonnel. Nous mettons en place à cet effet un modèle GB2 fractonné en ntrodusant la noton de symétre pondérée dans les données de pertes opératonnelles. Les résultats montrent que ce modèle offre un excellent ajustement à la dstrbuton emprque des pertes mses à l échelle d une banque canadenne. Alors que l ajustement des dstrbutons usuelles ans que celu de la dstrbuton GB2 à quatre paramètres n ont pas été retenues pour modélser ces pertes. Quant à la trosème parte, nous portons notre attenton à la Valeur à rsque opératonnel et nous procédons à toutes les étapes nécessares à son calcul. En effet, nous étudons l ajustement des dstrbutons paramétrques de sévérté et de fréquence tout en consdérant le montant et la fréquence des pertes au-dessous du seul de collecte, et ce, avec les données réelles d une banque canadenne. Ces éléments sont en effet néglgés dans le modèle standard fréquemment utlsé, construt à partr des dstrbuons lognormale et Posson. Une comparason des deux modèles montre que le modèle standard sous estme énormément la Valeur à rsque opératonnel par rapport à celle calculée avec notre modèle. De plus, dans le but d avor une mesure rgoureuse et réalste de la perte opératonnelle non antcpée, nous ntégrons des pertes opératonnelles externes mses à l échelle de la banque à l étude. Cec permet de tenr compte de certanes pertes extrêmes éventuelles n ayant pas encore été subes. En effet, une analyse de l mpact de la combnason des pertes externes et nternes sur le calcul de la VaR a été fate dans cette parte et a révélé que les VaR, à quantles élevés, sont consdérablement sous estmées lorsqu elles sont calculées avec les données de pertes nternes seulement. 3
1. MODÈLES DE MISE À L ÉCHELLE DES MONTANTS ET DES FRÉQUENCES DES DONNÉES DE PERTES OPÉRATIONNELLES EXTERNES 1.1. Introducton L une des approches proposées dans l accord de Bâle II pour la quantfcaton du rsque opératonnel est l approche avancée. Le développement d une telle approche exge une large base de données. Les données peuvent provenr de dfférentes sources. En fat, les données nternes sont d une grande utlté pour refléter le degré d exposton réelle face au rsque opératonnel. Cependant, l hstorque de collecte est court et les pertes opératonnelles observées sont lon d être représentatves des pertes qu une nsttuton bancare pourrat subr. En effet, les données nternes d une banque n ncluent pas suffsamment de pertes rares 2 avec une haute sévérté, d autant plus que le processus de collecte des pertes en est encore à ses débuts. Ans, le recours à des données de pertes opératonnelles externes s avère essentel pour compléter les données nternes et, surtout, pour aller chercher les pertes mportantes très rares qu, généralement, manquent dans les données nternes. Il y a leu donc d nclure ces éventuelles pertes mportantes dans la base nterne d une banque pour rédure l effet «surprse» (le non antcpé) et calculer le captal adéquat. Il est évdent que nous ne pouvons pas prédre les pertes extrêmes exactes lorsque celles-c ne sont pas survenues. Cependant, l nous est possble, à partr des pertes enregstrées dans le secteur bancare, de fare une projecton pour une banque en tenant compte de certans facteurs pour la mse à l échelle. 2 Une perte rare est défne comme étant une perte découlant d un événement à fréquence très fable. 4
Compte tenu de ce contexte et de la nécessté d utlser une base de données externe dans une approche avancée de calcul de captal, l objectf de ce chaptre est de développer une méthode robuste pour prévor, à partr des données externes, la sévérté ans que les fréquences des pertes qu une banque pourrat subr. Pluseurs facteurs seront prs en consdératon pour explquer les montants de pertes ans que leur nombre sur une pérode détermnée. Il s agt donc d une projecton des pertes externes survenues dans l ndustre au nveau d une banque. La méthode développée dans ce chaptre a été testée sur les données d une base externe de pertes opératonnelles de plus de 1 mllon de dollars. Cependant, elle reste applcable à n mporte quelle base de données externe. Une combnason des pertes externes mses à l échelle avec les données nternes d une banque permet de refléter l exposton face au rsque opératonnel. Ce chaptre est présenté comme sut. La deuxème secton décrt les dfférentes approches de mesure de captal, les sources de données, leurs caractérstques, ans qu un bref survol des méthodes de mse à l échelle dans la lttérature. Une descrpton des données de la base externe est présentée dans la trosème secton. La quatrème secton expose les hypothèses du modèle. Ensute, le modèle de mse à l échelle de la sévérté est développé dans la cnquème secton. L avant-dernère secton est consacrée au développement du modèle de mse à l échelle des fréquences. Enfn, une concluson et une dscusson sur les avenues possbles de recherches sont présentées à la fn de ce chaptre. 1.2. Mse en contexte 1.2.1. Le cadre réglementare En 2001, le Comté de Bâle a défn le rsque opératonnel comme étant le rsque de pertes résultant de l nadéquaton ou de la défallance des processus, d ndvdus et de systèmes, ou résultant d événements externes. Le rsque jurdque est auss nclus, mas la défnton ne prend pas en compte le rsque de réputaton n le rsque d affares. 5
Les autortés réglementares ont dentfé tros approches dfférentes pour le calcul du captal du rsque opératonnel. Elles vont de l approche la plus smple à une autre plus complexe, plus sensble au rsque. Nous présentons c l approche avancée relée à notre problématque de recherche. Il s agt d une approche plus sophstquée qu repose sur des méthodes nternes de calcul de captal adoptées par les banques. Les autortés réglementares offrent une grande flexblté quant au chox de la méthode, pourvu qu elle combne adéquatement des crtères qualtatfs et quanttatfs et estme rasonnablement la perte non antcpée en se basant sur la combnason de données nternes, des données externes pertnentes, des analyses par scénaros ans que des facteurs nternes sur l envronnement de contrôle). La méthode retenue dot refléter le nveau d exposton aux rsques de l nsttuton fnancère et dot être approuvée par les régulateurs avant son mplantaton. Tros méthodes sont proposées dans le cadre de l approche avancée, à savor : 1) la méthode nterne de mesure (Internal Measurement Approach, IMA) ; 2) la méthode des dstrbutons des pertes (Loss Dstrbuton Approach, LDA) ; et 3) la méthode par carte de pontage (Scorecard). Nous nous ntéressons dans cette étude à la méthode des dstrbutons des pertes (LDA) qu est la plus populare. En effet, elle s nspre énormément des méthodes actuarelles développées dans le domane de l assurance. Elle repose sur l estmaton de la perte non antcpée à partr de la modélsaton des montants et des fréquences des pertes opératonnelles. La bonne combnason des données des pertes nternes et externes consttue donc une étape mportante à consdérer dans une approche avancée. 1.2.2. Les sources de données externes et leurs bas potentels Nous portons notre attenton sur l utlsaton des données externes. Une mse à l échelle de ces dernères permet de les combner avec les données nternes pour obtenr une base de données représentatve du rsque opératonnel d une banque. Cec 6
fat parte de l objectf de l mplantaton d une méthode avancée. Les sources de données externes sont encore lmtées. Nous ctons : - Des données publques obtenues à partr des rapports médatsés et des magaznes. Il s agt des pertes de plus de 1 mllon de dollars. Il exste deux bases de données externes sur le marché (tel que Ftch). Le problème, avec ce type de données, est que la base ne content que les pertes de haute sévérté survenues dans de grandes nsttutons fnancères. Le recours à cette base ne résout pas le problème de manque de données pour certans types de rsque (perturbaton des affares et défallance des systèmes), mas l permet de compléter la base avec des données extrêmes survenant rarement. Ces pertes formeront les queues des dstrbutons, pusque les données nternes de la plupart des nsttutons fnancères n ont pas un hstorque représentatf des pertes mportantes qu pourraent survenr. Le regroupement des données nternes et externes requert un certan tratement pour corrger le bas lé aux données. - Des données fournes par les courters d assurance (tel que Wlls, Aon et Marsh). Il s agt des pertes opératonnelles réclamées par les nsttutons fnancères. L avantage majeur de cette source est sa fablté. En effet, comme les données sont collectées drectement à partr des nsttutons fnancères, le bas de sélecton est mnme. Cependant, l nconvénent de cette source est la dfférence des seuls de collecte lés aux dfférentes franchses des polces d assurance, pas toujours observables. La deuxème lmte résde dans la spécfcté des types de rsque collectés. En effet, seules les pertes de nature assurable seront comprses dans la base. - Données non publques obtenues à partr d un rassemblement des données nternes des banques. Ces dernères se sont entendues pour partager des nformatons sur leurs données. Elles consttuent donc un consortum tel que ORX (Operatonal Rskdata exchange Assocaton). Cependant, vu la confdentalté des nformatons, les statstques et les analyses sur les pertes 7
ne sont dsponbles qu aux partcpants. L avantage de cette source de données est sa fablté. Le seul de collecte est beaucoup plus bas que celu des sources précédentes. Ans, les montants de pertes sont plus comparables, surtout s les banques membres sont de talle moyenne. Toutefos, l nconvénent majeur de cette source de données est qu l est mpossble d accéder aux pertes événement par événement. Il n est donc pas possble de construre une base avec les données nternes et externes. Les données externes contennent beaucoup de bas, parm lesquels : - Le bas de sélecton : Seules les pertes très mportantes sont publées. Ce bas est lé à la nature des bases dsponbles et l est donc dffcle à corrger. - Le bas de contrôle : Les pertes provennent des banques ayant dfférents envronnements de contrôle. Il n exste malheureusement pas de varables estmant la qualté de contrôle au nveau des banques dans les bases externes. Ans, avec les nformatons dsponbles, l n est pas possble de corrger ce bas. - Le bas de collecte : Lorsque les données provennent de dfférentes sources, des seuls dfférents peuvent entraîner des bas. Frachot et Roncall (2002) et Baud, Frachot et Roncall (2002) décrvent comment des données nternes peuvent être comparées avec des données externes ayant des dstrbutons de sévérté dfférentes. - Le bas d échelle : les pertes provennent de dfférentes banques avec dfférentes talles (actfs, revenus, nombre d employés ) et localsées dans dfférents pays. La correcton de ce bas fat l objet de notre recherche. Ans, nous proposons dans cette étude d amélorer la méthode de mse à échelle exstant dans la lttérature. Il est donc à sgnaler que nous ne vsons pas à corrger le bas de sélecton ou les autres bas éventuels 8
1.2.3. Revue de la lttérature Peu de recherches ont été fates pour trouver une soluton au problème d échelle. Shh, Samad-Khan et Medapa (2000) ont ntrodut la talle de l nsttuton comme prncpal facteur de mse à l échelle. Ils ont montré que la relaton entre les pertes opératonnelles et la talle de la frme est non lnéare. En effet, la relaton entre le logarthme du facteur d échelle et les montants des pertes est plus mportante que celle entre les pertes et la varable d échelle brute. D alleurs, une banque deux fos plus grande qu une autre ne va pas occasonner, en moyenne, des pertes deux fos plus mportantes que les pertes subes par l autre frme. Shh, Samad-Khan et Medapa (2000) supposent effectvement que la relaton est la suvante : L = R α F ( θ) où : L : le montant des pertes; R : le revenu total de la frme où la perte a eu leu; α : un facteur de mse à l échelle; θ : un vecteur représentant tous les facteurs de rsque non explqués par R. F ( θ) est donc un terme résduel multplcatf non explqué par les fluctuatons du revenu. En prenant le logarthme de cette équaton, nous obtenons une relaton lnéare. Il est donc possble d estmer le facteur de la mse à l échelle α et le logarthme de la foncton des autres facteurs F ( θ) qu consttue la constante de la régresson. Le seul facteur de rsque nclus dans le modèle et estmant la talle de la frme est le revenu total. Il est donc probable que la majorté de la varablté des pertes sot causée par d autres facteurs tels que le type de la lgne d affares, la qualté de la geston et l effcacté de l envronnement de contrôle. Dans cette même étude, l a été montré que la talle n explque qu une pette porton (5 % envron) des montants de pertes. 9
Dans la même lgnée, Hartung (2004) a développé une formule de normalsaton qu permet de calculer l équvalent d une perte externe pour une banque donnée. La formule utlsée est la suvante : où : Loss adj Loss adj b ( ) ( ) adj Scal.Param Loss = loss org. 1+ a. 1 Scal.Param Lossorg : le montant de la perte ajustée pour une banque donnée; Loss org : le montant orgnal de la perte pour une banque de référence; Scal.Param( Loss adj ) : un paramètre de mse à l échelle pour une banque donnée; Scal.Param( Loss org ) : un paramètre de mse à l échelle pour une banque de référence; a, b : des facteurs d ajustement tels que a [ 1;1 ], b [ 0;1]. Le paramètre de mse à l échelle a été attrbué selon la cause de l événement. Des exemples de ce paramètre sont les revenus, le nombre d employés ou la qualté de la geston des rsques. Concernant les facteurs d ajustement, des hypothèses ont été émses quant à leur valeur selon le paramètre de mse à l échelle. Les lmtes de ce modèle de mse à l échelle consstent, d une part, dans la non-justfcaton théorque de la formule utlsée, et, d autre part, dans l absence de méthode développée pour estmer les facteurs d ajustement. Par alleurs, le montant de la perte peut être décomposé en une composante commune et une composante dosyncratque, selon l étude de Na (2004). En effet, la composante commune à toutes les banques ou lgnes d affares capte tous les changements dans l envronnement macroéconomque, géopoltque et culturel, alors que la composante dosyncratque comprend tous les facteurs spécfques à la lgne d affares ou propres à l événement de perte. Une relaton de pussance (power relatonshp) a été mse en place entre cette dernère composante et un estmateur de talle. Une formule de normalsaton a été développée pour trouver le montant de 10
perte équvalent d une perte prse comme référence, dans une banque donnée au nveau des lgnes d affares B1 et B2. La formule est la suvante : où : L T,B1 ( R ) ( R ) λ dosyncratque λ = T,B1 dosyncratque L T,B : un montant de perte survenue à la date T, à la banque ou la lgne d affares B; ( R dosyncratque ) T, B sgnfcatf pour explquer la varablté du nombre de pertes. Cependant, la prncpale 11 L : le revenu de la banque ou de la lgne d affares B à la date T, et qu T,B2 T,B2 consttue le seul estmateur de la composante dosyncratque; λ : un facteur d échelle. Ce modèle peut être améloré en ntrodusant d autres facteurs pour la mse à l échelle, autres que la talle de l entreprse. Nous nous basons sur cette étude pour développer un modèle de mse à l échelle de la sévérté des pertes en prenant en consdératon la talle, le leu, la lgne d affares et le type de rsque de perte. Une fos que la mse à l échelle de la sévérté est accomple, l est également mportant de détermner la fréquence des pertes normalsées sur un horzon de temps détermné. Très peu de recherches ont essayé cette mse à l échelle. En effet, certanes études ont développé des modèles de normalsaton de la sévérté mas n ont fat aucune consdératon de mse à l échelle des fréquences (Shh, Samad- Khan et Medapa, 2001; Hartung, 2004). Hartung (2004) regroupe la fréquence des pertes de quatre banques sur un horzon de neuf ans. La banque prse comme référence aura une dstrbuton dentque à la dstrbuton des quatre banques regroupées ensemble. Or, cec n est pas toujours le cas, vu que toutes ces banques ne sont pas nécessarement comparables. Pluseurs facteurs entrent donc en jeu dans la détermnaton de la fréquence des pertes. Par alleurs, Na (2004) a développé un modèle de mse à l échelle des fréquences, équvalent à celu des sévértés. En effet, ce modèle stpule que, comme pour la sévérté, la fréquence des pertes peut être décomposée en composante commune et composante dosyncratque estmée par la talle. Il conclut que la talle est un facteur
lmte du modèle est qu l ne tent pas compte du caractère dscret des données de fréquences comparatvement aux données sur les montants de pertes. Il exste certanes méthodes d ntégraton des données nternes et externes qu ont été développées dans la lttérature telles que : Une estmaton séparée des deux dstrbutons basée sur des données nternes et des données externes. La combnason des deux dstrbuons est fate par des technques bayesennes (Alexander, 2003) Créaton d un échantllon large d observatons contenant des données nternes et des données externes (Frachot et al., 2002) Amélorer la précson de la queue de la dstrbuton basée sur l nformaton contenue dans la base externe (Chapelle et al., 2004) Les deux premères méthodes exgent un seul de collecte non élevé, Ce qu n est pas le cas des bases externes. Dans notre recherche, nous allons nous nsprer de la méthode développée par Chappelle et al. (2004) mas en utlsant les dstrbutons dentfées dans le premer et second chaptre de la thèse, estmant les montants et les fréquences des pertes mses à l échelle. Dans la présente étude, nous développons un modèle pour mettre à l échelle d une banque les fréquences de pertes extrêmes observées dans l ndustre. Nous proposons un modèle de comptage avec composante de régresson. Un tel modèle permet de tenr compte du caractère dscret et non négatf des données. Deux modèles, à savor Posson et bnomal négatf, seront donc testés (Klugman, Panjer et Wllmot, 1998; Cruz, 2001). La composante de régresson contenue dans le modèle permet de tenr compte de certans facteurs pour la mse à échelle. Dans les modèles consdérés dans la lttérature pour décrre les varables dscrètes (Cox et Lews, 1966; El Sayyad, 1973; Frome, Kutner et Beauchamp, 1973; Hausman, Hall et Grlches, 1984; Gouréroux, Monfort et Trognon, 1984), les varables endogènes sont supposées avor une dstrbuton Posson avec composante 12
de régresson. Le paramètre de cette dstrbuton est une foncton des valeurs des varables exogènes. Le chox de ce modèle est justfé lorsque la varable dépendante compte l occurrence d un événement donné durant une pérode détermnée et lorsque les hypothèses usuelles de la dstrbuton Posson sont satsfates. Pluseurs applcatons de ce modèle ont été fates dans la lttérature, telles que la modélsaton du nombre de brevets reçus par une frme (Hausman, Hall et Grlches, 1984), du nombre de consultatons d un médecn (Cameron, Trved, Mlne et Pggott, 1988) ou du nombre d accdents automobles ou aérens (Donne et Vanasse, 1989 et 1992; Donne et al. 1997). L applcaton de Donne et Vanasse (1989) est la premère à ntrodure une composante de régresson dans le domane de l assurance, un domane qu présente beaucoup de smltudes avec le rsque opératonnel. Le nombre d accdents par ndvdu est supposé suvre une dstrbuton Posson dont le paramètre vare d une unté d exposton à une autre. Ce derner dépend effectvement des caractérstques des untés exposées. Les coeffcents de ces varables sont estmés par la méthode du maxmum de vrasemblance telle que dscutée par Maddala (1983) et Cameron et Trved (1986). Le modèle Posson avec composante de régresson suppose l équdsperson (l égalté entre la moyenne et la varance condtonnelles). Cette restrcton peut être non compatble avec les données. Le recours à la dstrbuton bnomale négatve 3 permet de paller à ce problème, pusqu elle permet la surdsperson, caractérstque fréquemment observée dans les données. Les études de Donne et Vanasse (1989 et 1992) et Boyer, Donne et Vanasse (1991) ont montré la supérorté du modèle bnomal négatf avec composante de régresson par rapport au modèle Posson avec composante de régresson pour les accdents automobles. D alleurs, le modèle bnomal négatf avec composante de régresson est mantenant fréquemment utlsé dans la lttérature. Il est possble d estmer les paramètres des dstrbutons par maxmum de vrasemblance lorsque certanes condtons sont vérfées. Dans le cas où la densté 3 C est une dstrbuton Posson dont le paramètre est aléatore suvant une dstrbuton gamma. 13
est mal spécfée, les estmateurs trouvés par maxmum de vrasemblance ne sont pas cohérents. Goureroux, Monfort et Trognon (1984a et 1984b) ont proposé d autres méthodes pour paller à ce problème telles que la pseudo maxmum de vrasemblance (PML), la pseudo maxmum de vrasemblance quas-généralsée (QGPML). Ils ont spécfé les condtons sous lesquelles ces estmateurs PML et QGPML des modèles de famlle exponentelle lnéare sont cohérents, dans le cas de modèles non tronqués. Toutefos, s la densté de la bnomale négatve est correctement spécfée, les estmateurs du maxmum de vrasemblance seront plus effcents que PML et QGPML (Donne et Vanasse, 1992). Nous allons donc applquer ces modèles très utlsés dans la lttérature pour la modélsaton du nombre de pertes opératonnelles. Ces modèles permettront ans d ntrodure des nformatons sur l nsttuton fnancère où la perte a eu leu. Des varables exogènes de leu et de répartton géographque de l entreprse permettront la mse à l échelle. À notre connassance, c est la premère applcaton de ces modèles au rsque opératonnel et, plus précsément, pour la mse à l échelle des fréquences des pertes opératonnelles. Cependant, nous observons que les fréquences sont supéreures à zéro. Nous développons donc des modèles Posson et bnomal négatf tronqués au pont zéro avec composante de régresson. La présentaton des denstés tronquées de ces modèles a été fate par Cameron et Trved (1998) et les tests de surdsperson pour les mêmes modèles ont été développés par Gurmu (1991) et Gurmu et Trved (1992). 1.3. Descrpton des données externes Il s agt de la base de données OpVaR de Ftch, consttuée de pertes opératonnelles de 1 mllon de dollars amércans et plus. La base de données content des pertes de toutes les ndustres. Une premère sélecton a donc été fate pour avor seulement les pertes opératonnelles provenant d nsttutons fnancères, pusque nous cblons seulement les banques. La base de données content les nformatons suvantes : 1. Le type d événement, nveau 1 : l s agt des types de rsque défns par les autortés réglementares. Cette rubrque comprend : 14
- fraudes externes; - fraudes nternes; - clents, produts et pratques commercales; - emplo, pratques et sécurté envronnementale; - geston de l exécuton, de la lvrason et des processus; - actfs tangbles et corporels endommagés; - perturbaton des affares et défallance des systèmes. Nous avons également les types d événements de nveau 2 et 3, qu offrent plus de précson et plus de granularté. Ctons à ttre d exemple : la dscrmnaton et la dversté comme sous-événement du type de rsque emplo, pratques et sécurté envronnementale. Comme événements de type 3 du sous-type de rsque dversté et dscrmnaton, nous ctons, à ttre d exemples la dscrmnaton due à l âge, au sexe, à la race, à l orentaton sexuelle et au harcèlement sexuel. 2. Le nom de la compagne mère et celu de la flale. 3. Une descrpton détallée de l événement de perte. 4. Le montant de la perte en devse locale, en dollars amércans et sa valeur actuelle (en tenant compte de l nflaton). 5. La date d événement. Cependant, nous retenons seulement l année de l événement, pusque nous avons des doutes quant à la date exacte de l événement (jour et mos). 6. L ndustre : l s agt sot des servces fnancers, sot de l admnstraton publque. 7. L unté d affares, nveaux 1, 2 et 3. Le premer nveau dstngue les nsttutons fnancères et non fnancères. Dans notre cas, nous nous ntéressons seulement au secteur fnancer. Le nveau 2 concerne les nsttutons fnancères, fasant la dstncton entre les banques, les assurances, les banques d nvestssement et les autres nsttutons. Quant au nveau 3 des 15
untés d affares, nous retrouvons les lgnes d affares défnes par le comté de Bâle. 8. Le leu, c est-à-dre le pays où la perte a eu leu. 9. Un code d dentfcaton propre à chaque perte. 10. Des nformatons sur l nsttuton où la perte a eu leu comme le total des actfs, le total des fonds propres, le total des dépôts, le total des revenus et le nombre d employés. Il est à mentonner qu l exste des observatons pour lesquelles les nformatons sur la frme manquent. Comme ces nformatons sont très mportantes pour le modèle de mse à l échelle plus lon, nous sommes oblgés de retenr seulement les données de pertes pour lesquelles des nformatons spécfques sur la frme sont dsponbles. De plus, 1,8 % des pertes sont survenues entre 1981 et 1994 et ont une moyenne de 130,31 M$ par événement, alors que les pertes ayant leu après cette date ont une moyenne de 67,15 M$. Nous écartons donc les événements ayant leu avant 1994 de la base externe à cause d un bas de collecte. Ans, 1 056 observatons de pertes de plus d un mllon de dollars amércans sont retenues dans la base de données. 1.4. Hypothèses du modèle Nous applquons un modèle théorque de mse à l échelle pour les sévértés et les fréquences. L applcaton emprque des modèles de mse à l échelle sur les données externes est d une grande utlté pour montrer la smplcté du modèle et pour pouvor dégager des résultats. Il est clar que la base de données utlsée est sujette à pluseurs crtques pour les rasons ctées auparavant. Comme l n exste pas, à présent, de melleures sources de données, nous émettons les hypothèses suvantes pour pouvor mener notre recherche. Force est de constater que la méthodologe reste applcable à d autres bases, à condton qu elles contennent les nformatons requses. Nous supposons que les montants de pertes rapportés dans la base à partr des médas sont précs et factorels. L évaluaton des pertes est ans non basée sur des rumeurs ou des prédctons. 16
Nous supposons que tous les types de pertes ont la même probablté d être rapportés dans la base; l n y a donc pas d effet médatque relé à certans types de rsque. Nous supposons que nous dsposons de toutes les pertes de plus de 1 mllon de dollars dans la base externe pour les nsttutons fnancères exstantes dans la base. Nous supposons qu l n y a pas de corrélaton entre le montant de la perte et la probablté que cette dernère sot rapportée. De plus, les dstrbutons de la sévérté et des fréquences sont donc supposées être ndépendantes. 1.5. Modèle de mse à l échelle des montants de pertes externes 1.5.1. Modèle théorque de mse à l échelle Le mécansme de mse à l échelle repose sur tros hypothèses fondamentales; la premère est la décomposton de la perte monétare en deux composantes communes et dosyncratques ou spécfques; la seconde stpule une relaton non lnéare entre la parte dosyncratque et les dfférents facteurs qu la composent; enfn, la dernère hypothèse énonce qu outre les facteurs que nous contrôlons pour la mse à l échelle, les autres facteurs non observables, telle que la qualté de l envronnement de contrôle, sont supposés être les mêmes entre les banques. Concernant la premère hypothèse, nous pouvons supposer que la perte opératonnelle peut se décomposer en deux composantes (Na, 2004): une composante commune à toutes les banques et une composante dosyncratque spécfque à chaque montant de perte. La composante commune content tous les facteurs ndépendants des actvtés de la banque et peut avor le même mpact sur toutes les banques; c est donc une composante constante pour tous les événements de perte. Elle fat référence à l envronnement macroéconomque, géopoltque, culturel ou à la nature humane en général (Na, 2004 et Na et al., 2006). Nous allons supposer cette composante 17
constante pour toutes les banques comme c est fat dans l étude de Na, (2004). Toutefos, l est toujours possble de consdérer cette commonalté comme une foncton de varables d état dentques pour toutes les banques, mas qu varent dans le temps. La composante dosyncratque, quant à elle, fat référence au rsque spécfque de l nsttuton fnancère ou à la lgne d affares. Certans éléments de cette composante sont observables. Ils pourraent ans être quantfables ou mesurables, comme la talle de la banque, le type de rsque, la lgne d affares ou le leu de l événement de perte. Par contre, l exste des éléments non observables relatfs à l envronnement de contrôle, qu sont donc dffcles à quantfer. Ces éléments ne font pas l objet d étude dans ce traval. Nous pouvons ans dentfer un montant de perte comme une foncton de ces deux composantes : Perte = f ((Comp commune ), (Comp dosyncratque ) ). (1) La deuxème hypothèse stpule que la foncton f est non lnéare. En effet, Na (2004) suppose que la foncton f est le produt d une foncton de la composante commune et d une foncton de la composante dosyncratque. Or, comme la composante commune est constante, nous pouvons la modélser par un paramètre. Perte = Comp commune g(comp dosyncratque ). (2) En ce qu concerne la foncton g, nous nous nsprons de l étude de Shh, Samad- Khan et Medapa (2000), qu suppose une relaton de pussance entre le montant de perte et la talle de la frme. Nous ne nous lmtons cependant pas à la talle, estmée par l actf total, comme facteur détermnant de la sévérté des pertes; nous ajoutons d autres facteurs exprmés dans la foncton h qu sut : g(comp dosyncratque ) = Actfs a h(facteurs). 18