MECANIQUE 1. Cinématique La cinématique est la desciption géométique du mouvement mais ne taite pas de ses causes. La cinématique à une dimension pemet de taite tous les poblèmes dans lesquels le mouvement a lieu selon une ligne doite, qu'il s'agisse, pa exemple, de voitues qui 'feinent ' ou de voitues qui 'accélèent'. Afin de pouvoi décie également le mouvement des caousels ou des satellites en obite autou des astes, on abodea la cinématique du mouvement ciculaie. Les notions qui doivent ête maîtisées au cous de ce chapite, sont les suivantes: - osition d'un mobile en fonction du temps - Vitesse d'un mobile en fonction du temps - Accéléation d'un mobile en fonction du temps On emaquea qu'il s'agit de gandeu caactéisées pa une nome et une diection (gandeus vectoielles). 1.1 Cinématique à une dimension A. osition d'un objet ou epée la position d'un objet, on choisit une oigine et on mesue la distance x de l'objet à cette oigine x en fonction du temps t. osition d'un objet: x(t) Unités: x se mesue en mètes [m]. B. Vitesse d'un objet La vitesse est définie comme étant la distance pacouue, divisée pa le temps de pacous: vitesse = distan ce temps soit v = Δx Δt Unité: [m/s] Vitesse d'un objet: v(t) Unités m/s Exemple: une voitue oule de Neuchâtel à Lausanne et effectue le pacous (80 km) en une heue. La vitesse moyenne est donc de 80 km/h. a conte, la vitesse instantanée de la voitue peut ête de 120 km/h à la hauteu d'yvedon et de 40 km/h à l'entée de l'autooute. La vitesse instantanée est obtenue en considéant une intevalle de temps Δt tès petit et donc une distance Δx petite également.
Remaques: Convesion d'unité: 1 km h = 1000 m 3600 s = 1 m 3,6 s ou 1 m/s = 3,6 km/h La vitesse d'un mobile ne peut jamais dépasse la vitesse de la lumièe, c=3.10 8 m/s La vitesse est caactéisée non seulement pa sa nome (20m/s; 90 km/h) mais aussi pa sa diection. Mathématiquement, la vitesse est donc une gandeu vectoielle. Losqu'une vitesse change, elle peut change en nome (une voitue oule de plus en plus vite su une oute doite; un autobus feine su un bout ectiligne et s'aête) mais elle peut aussi change en diection. Exemple: le passage d'un caousel peut se déplace constamment à 40 km/h, cependant sa diection change continuellement. On dia que la vitesse du passage change. En physique, losqu'on dit "la vitesse d'un mobile est constante" on sous-entend que la vitesse est constante en nome et en diection. inon, il faut donne des indications supplémentaies. Losque la tajectoie est ectiligne, il est évident que la diection de la vitesse est constante. Un 'changement' de vitesse est alos équivalent à un changement de la nome de la vitesse. La vitesse est un vecteu tangent à la tajectoie C. Accéléation ou décie et calcule une vaiation de vitesse, il faut intoduie la notion d'accéléation. Ainsi, on distingue la voitue A qui passe de 0 à 100 km/h en 15 s, de la voitue B qui passe de 0 à 100 km/h en 8 s, en disant que l'accéléation de B est plus gande que l'accéléation de A. Accéléation = vaiation de vitesse intevalle de temps soit a = Δv Δt Unités: m / s s = m s s = m s 2 = m s 2 Exemple: l'accéléation de la pesanteu vaut g=9,81 m/s 2. Cela signifie que, los d'une chute libe, la vitesse de la balle qui tombe augmente de 9,81 m/s à chaque seconde. i on lâche la balle avec une vitesse initiale nulle, la vitesse est de 9,81 m/s apès 1 s; de 19,62 m/s apès 2 s; de 29,43m/s apès 3 s, etc. Odes de gandeu : Feinage su oute sèche: 4-5 m/s 2 ; Feinage su oute mouillée: 3-4 m/s 2 Accéléation subie pa un pilote d'essai: 10-12. g, pendant des temps tès couts 2
1.2 Mouvements paticulies à une dimension 1.2.1. Mouvement ectiligne unifome: MRU C'est un mouvement en ligne doite, à vitesse constante v 0. osition, vitesse et accéléation sont donnés pa : osition : x(t) = v 0 t + x 0 Vitesse : v(t) = v 0 Accéléation : a = 0 1.2.2. Mouvement ectiligne unifomément accéléé: MRUA Dans ce cas, l'accéléation est constante, on la note a. osition, vitesse et accéléation sont donnés pa : osition : x(t) = 1 2 a t 2 + v 0 t + x 0 Vitesse : v(t) = a t + v 0 Accéléation : a 0 Exemples : 1) Un cycliste qui pacout 25 km en 80 minutes, se déplace à : v = 25 103 = 5,21 m/s 80 60 2) MRU : une voitue se déplace à 75 km/h. Elle pacout donc 6,25 km en 5 minutes. 3) La distance pacouue pa la lumièe en 1 année est de 9,45.10 15 m. 4) Le temps que met la lumièe pou nous poveni du oleil est de 8,33 min. 5) Une voitue dont la vitesse initiale est de 60 km/h a une accéléation de 2 m/s 2 pendant 12 s. La distance que la voitue pacout duant ce temps est de : x = 1 2 2 122 + (60/3,6) 12 = 344 m et sa vitesse finale vaut : v = 2 12 + (60/3,6) = 40,67 m/s =146 km/h 6) On laisse tombe un caillou dans un puits. Le temps de chute est de 1,23 s. On en déduit que la pofondeu du puits est de : x = 1 2 9,81 1,232 = 7,42 m et que la vitesse avec laquelle le caillou aive au fond est de : v = 9,81 1,23 =12,1 m/s 7) Une voitue oulant à 50 km/h doit feine et s'aête su 240 m. On aimeait connaîte la décéléation du véhicule et le temps qu'il lui a fallu pou s'aête. On a les deux équations 240 = 1 2 a t 2 + (50/3,6) t ainsi que 0 = a t + (50/3,6). De la deuxième équation on tie a = 13,9 que l'on intoduit dans la pemièe t 240 = 1 2 ( 13,9 ) t 2 +13,9 t = 6,95 t. D'où : t = 34,6 s et a = 0,402 m/s 2 t 3
1.3 Mouvement ciculaie unifome (MCU) C'est le mouvement d'un cops qui se déplace su une tajectoie ciculaie de ayon à une vitesse v de nome constante. La position du mobile peut ête maquée su le cecle en notant que la longueu d'ac pacouu est la même pou des intevalles de temps égaux. La péiode de évolution du mobile est le temps T mis pou effectue un tou complet. Le vecteu vitesse en difféents points de la tajectoie ciculaie est un vecteu tangent au cecle. L'accéléation peut ête déteminée intuitivement si l'on emaque que les effets essentis dans un viage sont fonction du ayon de coubue de celui-ci et de la vitesse de la voitue. Des considéations d'unités pemettent ensuite d'écie: Accéléation centipète: Exemples: a c = v 2 Unités: m/s 2 1) Une voitue oulant à 60 km/h et penant un viage de ayon de coubue 300 m est (60 /3,6)2 soumise à une accéléation de a c = = 0,926 m/s 2 300 2) On fait toune un caillou au bout d'une ficelle longue de 60 cm dans un plan hoizontal, à aison de 15 tous en 10 s. La distance pacouue pa le caillou duant ce temps est de d =15 2π =15 2π 0,6 = 56,6 m. La péiode du caillou vaut : T =10/15 = 0,667 s et sa vitesse est de v = d t = 56,6 10 = 5,66 m/s. Quant à l'accéléation centipète, elle est donnée pa : a c = 5,662 0,6 = 54,4 m/s2 4
2. Dynamique La dynamique taite de la cause du mouvement. On constate que l'état de mouvement d'un objet ne change que si des foces agissent su ce denie. Dans ce qui suit, il ne sea question que de la mécanique du point matéiel (qu'il s'agisse d'un éléphant, d'une locomotive, d'un escagot ou d'un caillou). La seule caactéistique du point matéiel est sa masse (quantité de matièe en kg), à ne pas confonde avec le poids (foce due à l'attaction teeste, en N) 2.1 Notion de foce Une foce peut poduie une défomation ou ête à l'oigine de la vaiation de l'état de mouvement d'un cops. Une foce est caactéisée pa sa nome et pa sa diection. C'est donc une gandeu vectoielle. Notation: F i Unité: Newton [N] Exemples de foces: oids F Gavitation F gav opulsion ou taction Foce électique F fott F T Fottement F él etc oussée d'achimède F Achi i plusieus foces agissent su un cops, c'est la ésultante vectoielle des foces, F, qu'il faut considée: F = i Fi L'addition vectoielle peut s'effectue gaphiquement comme suit: F 1 F 1 F 2 F 1 F 2 F 2 Cops de masse m Il est essentiel de pécise le cops su lequel les foces agissent ("cops jaune"). i la ésultante des foces, F, est paallèle à la vitesse v et de même sens, l'effet de la foce ésultante sea d'augmente la nome de la vitesse (MRUA) i F est opposé à v, la nome de la vitesse diminue (MRUA). i F est pependiculaie à v, c'est la diection de la vitesse qui sea modifiée(mcu). 5
2.2 Lois de Newton 1. incipe d'inetie: si aucune foce ésultante n'agit su un cops, ce denie conseve son état de mouvement: F = 0 v = const 2. Loi fondamentale de la dynamique: l'accéléation d'un cops de masse m est popotionnelle à la ésultante des foces agissant su lui et invesement popotionnelle à sa masse: F a = m ou plus familièement: F = m a Remaques: 1) Le pincipe d'inetie n'est qu'un cas paticulie de la loi fondamentale de la dynamique. 2) L'accéléation est une gandeu vectoielle qui est toujous paallèle au vecteu "foce ésultante" 3) La foce est esponsable de l'accéléation et non de la vitesse d'un cops. Exemples : 1) Un cycliste de 80 kg oule à la vitesse constante de 12 km/h su une oute hoizontale alos qu'il est soumis à des foces de fottements de 600 N. Avec quelle foce pédale-til? Réponse: puisqu'il oule à vitesse constante et que la somme des foces vaut alos zéo, il pédale avec une foce de 600 N. Faie le dessin. 2) Ce même cycliste fait ensuite un effot supplémentaie et développe une foce de 690 N pendant 5 secondes. Que se passe-t-il? Réponse: la foce ésultante agissant su le cycliste est de 90 N. on accéléation vaut alos a = F m = 90 80 =1,13. La vitesse du m/s2 cycliste va donc augmente et passe à v =1,13 5 + (12 /3,6) = 8,98 m/s = 32,3 km/h. Il aua pacouu 30,8 m duant ce laps de temps. Dessin. 3) Une voitue de 1200 kg passe de 60 à 90 km/h en 25 s. Les foces de fottements valent 1,5kN. Quelle doit ête la foce du moteu, la oute étant hoizontale? Réponse: l'accéléation du véhicule est de a = 0,333 m /s 2. La ésultante des foces agissant su la voitue doit donc valoi F = m a = 1200 0, 333 = 400 N. Foce de fottement et foce du moteu étant opposées, la foce du moteu vaut donc : F mot = F + F fott = 400 +1500 =1900 N. Dessin. 4) La même voitue que ci-dessus descend une pente de 9. Quelle doit ête la foce du moteu? Réponse: l'accéléation est la même que pécédemment, mais tois foces agissent maintenant su la voitue : la composante de la foce pesante selon le plan incliné, la foce du moteu dans le même sens que la pécédente, la foce de fottement opposée aux deux pécédentes. Dessin indispensable. Ecivons cependant la ésultante (qui est paallèle au plan incliné): F = mg sinα + F mot F fott donc F mot = F mg sinα + F fott = 400 1200 9,81 sin(9) +1500 = 58,5 N 6
Dans les exemples qui suivent, on demande de savoi esquisse les vecteus-foces, sans effectue de calculs, mais en espectant les longueus elatives des vecteus. 5) Quelle est la valeu de la foce execée pa le câble d'une gue su une masse M, dans les conditions suivantes (on néglige les foces de fottement; en gis: vecteu vitesse): NB. Ici on note le poids = F (a) la masse M est immobile: câble (b) la gue monte la masse à vitesse constante: câble (c) la gue descend la masse à vitesse constante: câble F câble F câble F câble M M M (d1) la gue monte la masse avec une accéléation a: câble (d2) la gue monte la masse avec une décéléation a: câble (e1) la gue descend la masse avec une accéléation a: câble (e2) la gue descend la masse avec une décéléation a: câble F F câble F câble F câble F F câble 7
6) Camion de masse M dans difféentes conditions: plan su l'objet. est la foce de soutien execée pa le Camion oulant à vitesse constante (avec foces de fottement): F fott F moteu Camion oulant de plus en plus lentement (avec foces de fottement): F fott F F moteu Camion oulant de plus en plus vite (avec foces de fottement): F fott F moteu F 7) kieu de masse M descendant une pente: ente infiniment glissante F ente avec fottement impotant F fott F ente avec fottement faible F fott F 8
8) Cops en équilibe su un plan hoizontal : est la foce de soutien execée pa le sol; est le poids. Equilibe : F i = 0 = + 9) Cops en équilibe su un plan d'inclinaison α : v F 3 α est la foce de soutien execée pa le sol; v est le poids F 3 est la foce qu'il faut pou eteni le cops. Equilibe : F i = 0 = + + F 3 On peut monte que F 3 = sinα (voi cidessous) 10) Cops glissant sans fottement le long d'un plan incliné: est la foce de soutien execée pa le sol; est le poids alos que F est la ésultante de et de. La nome de cette foce est calculée en F emaquant qu'elle est le côté opposé à l'angle α du tiangle ectangle d'hypoténuse. Elle vaut donc F 3 = sinα. L'accéléation du cops est donnée pa α a = F m = sinα = g sinα m L'accéléation est nulle si le plan est hoizontal (α=0 ) et égale à g si le plan est vetical (α=90 ) 9
3. Action=Réaction: si le cops 1 agit su le cops 2, alos le cops 2 éagit su le cops 1 avec une foce égale en nome mais opposée en diection: F 12 = F21 Exemples: 1) Discute de la foce avec laquelle la Tee agit su vous et de la foce que vous execez su la Tee 2) Explique le pincipe de fonctionnement d'un avion à éaction 2.3 Théoème tavail-énegie Définition: Le tavail A d'une foce quelconque f est défini comme: A 1,2 ( f ) = f d 1,2 où f est la foce agissant su un cops de masse m qui se déplace du point (1) au point (2). Unités: la foce s'expime en N, la distance en m. Le tavail est alos en Joule [J] Théoème: Le théoème tavail-énegie se démonte en calculant le tavail de la ésultante des foces. Considéons, pou simplifie, un chemin ectiligne de longueu d su lequel un mobile accélèe égulièement en passant du point 1 au point 2, ca soumis à une foce ésultante F. La vitesse en 2 sea donc plus élevée que la vitesse en 1. On peut alos calcule: Vitesse moyenne ente les points (1) et (2): v moyenne = (v 1 + v 2 ) /2 = d /t Accéléation ente ces points: a = (v 2 v 1 ) /t 10
Tavail de la ésultante: A 12 ( F ) = F d A 12 ( F ) = F d = F d = (ma) d = m a v moyenne t En emplaçant la vitesse moyenne et l'accéléation pa les expessions données ci-dessus, on touve: F d = (m a) d = (m v v 2 1) v moyenne t = m (v v ) 2 1 (v 2 + v 1 ) t t t 2 En effectuant on touve finalement: A 12 ( F ) = 1 2 mv 2 2 1 2 mv 2 1 = E cin 2 E cin 1 où l'on a défini l'énegie cinétique comme: E cin = 1 2 mv 2 Donc en utilisant les définitions: Tavail de la ésultante: A( F ) = F d et Enegie cinétique: E cin = 1 2 mv 2 on a établit le Théoème Tavail-Enegie: c'est-à-die, le tavail de la ésultante agissant su un cops de masse m est égale à la vaiation de l'énegie cinétique de cette masse. Notons que le tavail, selon la diection de la foce ésultante, peut ête positif, négatif ou nul. Cette loi est utile et plus facile à mette en oeuve si on ne s'intéesse pas aux diections des vitesses. inon il faut ésoude l'équation de Newton, qui est une équation vectoielle. Exemples : A 1,2 ( F ) = ΔE cin 1) On pousse un véhicule de 200 kg de su 55 m avec une foce de 300 N. Les foces de fottements valent 275 N. Le véhicule étant initialement immobile, quelle sea sa vitesse finale? Réponse : la ésultante de foce vaut 25 N. On agissant su 55 m le tavail effectué su le véhicule est de A = 25 55 = 1,38 kj. La vitesse initiale étant nulle, la vitesse finale s'obtient comme : A = 1 2 m v 2 0, soit v = 2A /m = 2 1380/200 = 3,71 m/s. Dessin. 2) Une balle de masse m tombe d'une hauteu h. Le tavail effectué su la balle vaut A 1,2 = m g h. Dessin. 3) Un skieu de 90 kg dévale une pente longue de 1500 m et dont le dénivelé est de 120 m. Les foces de fottements, constantes, valent 60 N. Quelle est la vitesse du skieu au bas de la pente s'il est initialement immobile? Réponse pa le théoème TE : A 1,2 (F ) + A(F fott ) = 1 2 m v 2 0. O A 1,2 (F ) = 90 9,81 120 =106 kj et A 1,2 (F fott ) = 60 1500 = 90 kj. Le tavail total vaut donc 15'950 J. On en déduit la vitesse du skieu : A 1,2 =15'950 = 1 2 90 v 2 d'où v =18,8 m/s = 67,8 km/h. 11
2.4 Gavitation L'extaodinaie idée unificatice de Newton a été de constate que la foce esponsable de la chute des pommes su la Tee, est la même foce que celle qui maintient la Lune en obite autou de la Tee! Question: pouquoi la Lune ne nous tombe-t-elle pas su la tête? La foce de gavitation univeselle - foce attactive esponsable de la cohésion des galaxies, de celle de note système solaie, du fait que nous estons à la suface de note planète et que nous y avons un poids - s'exece ente tous les cops pouvus de masse m. oient m 1 et m 2, deux cops massifs sépaés pa la distance. m 2 F 2/1 F1/2 m 2 m 1 m 1 L'expession de la nome de la foce est alos donnée pa: F gav = G m 1 m 2 2 Où les masses sont en kg, la distance en m, la foce en N. G=6,67. 10-11 N/kg 2. m 2 est une constante univeselle. Exemples. 1) Foce d'attaction gavitationnelle s'exeçant ente deux élèves de 55 kg assis su les bancs 55 55 c'école, à 30 cm l'un de l'aute? Réponse : F gav = G = 2,24 10 6 N. C'est la foce qu'il 0,3 2 faudait pou pote une masse de 0,2 µg! 2) Foce gavitationnelle execée su l'un des élèves pa la Tee? Réponse : la distance qui sépae l'élève et la Tee est égale au ayon teeste. Donc : 55 5,97 1024 F gav = G = 540 N (6,37 10 6 ) 2 3) Foce d'attaction gavitationnelle execée pa la Tee su la Lune. Que vaut l'accéléation de la Lune? Réponse : F gav = G 7,35 1022 5,97 10 24 (3,84 10 8 ) 2 =199 10 18 N; accéléation de la Lune : a L = F gav = 2,70 10 3 m/s 2 M Lune 4) Foce d'attaction gavitationnelle execée pa la Lune su la Tee. Que vaut l'accéléation de la Tee? Réponse : en vetu de la 3ème loi de Newton, la foce execée pa la Lune su la Tee est la même que la foce execée pa la Tee su la Lune. a conte, l'accéléation de la Tee (due à l'action de la Lune) vaut : a L = F gav = 33,3 10 6 m/s 2. On compend M Tee pouquoi c'est la Lune qui toune autou de la tee et non l'invese! 12
Le poids. Jusqu'ici on a vu que le poids valait: F =mg. Il est dû en fait à l'attaction gavitationnelle execée pa la Tee su un objet de masse m. a conséquent, on doit etouve la même expession en utilisant la loi de gavitation univeselle, avec m 1 =m et m 2 =M, masse de la Tee. La distance sépaant le cente des deux cops en inteaction est ici égale au ayon teeste R: On peut alos écie: F = m g = F gav = G m M R 2 Décidons alos d'appele "poids", la foce de gavitation s'exeçant su un cops losque celuici est tès 'poche' de la suface teeste. Remaques: L'accéléation de la pesanteu, g, dépend de la masse de la planète et de son ayon et vaut: g = G M R 2 L'expession de g suggèe une méthode pou la mesue de la masse de la Tee! En effet, la mesue de g est facile à éalise en pincipe. G est une constante univeselle publiée dans les Tables Numéiques. Elle a été mesuée pou la pemièe fois pa Cavendish, 50 ans envion apès la mot de Newton. Le ayon teeste est connu depuis l'antiquité puisqu' Eatosthène, savant gec et lecteu assidu de la bibliothèque d Alexandie, a poposé sa mesue en 250 av. note èe. Le pincipe de mesue est le suivant: Alexandie Rayons solaies ituation au solstice d été à midi: α yène = Assouan i l'on connaît la distance Alexandie-yène, il suffit de mesue l'angle α pou en déduie le ayon teeste R. La masse se déduit alos simplement des mesues pécédentes... 13
Mouvement d'un satellite autou d'un aste. La Lune ne se déplace pas en ligne doite puisqu'elle est soumise à l'attaction teeste. La foce s'exeçant pependiculaiement à la diection de la vitesse, on voit d'apès ce qui a été dit dans les paagaphes pécédents, que la nome de la vitesse este constante mais que la vitesse change constamment de diection: on a affaie à un MCU. enons le cas Tee-Lune : i l'on suppose connu la masse des cops célestes et la distance qui les sépae,, on peut calcule (a) la vitesse à laquelle la Lune se déplace autou de la Tee (b) l'accéléation de la Lune et sutout (c) la péiode de évolution de la Lune. Ces ésultats sont bien sû également valables pou d'autes couples aste-satellite. On notea: m, masse de la Lune; M masse de la Tee. Il suffit d'utilise le fait que F gav = G m M 2, ainsi que la loi fondamentale de la dynamique F=ma. 'agissant d'un mouvement ciculaie unifome, l'accéléation est donnée pa: a = v2. On touve ainsi (éfléchi à ce que epésentent les masses dans les elations ci-dessus): 14
(a) Vitesse : v = GM (b) Accéléation : a = GM 2 (c)la péiode de évolution T, définie comme le temps mis pa la Lune pou effectue un tou complet: T = 2π, peut se calcule en emplaçant la vitesse pa son expession. On touve : v T 2 = 4π2 G M 3. Ce denie ésultat, établi gâce à la loi univeselle de la gavitation, est fondamental. Il confime et explique la popotionnalité ente T 2 et 3 qui avait été touvée pa Keple au début du XVIIème à pati des mesues de Tycho Bahé. Remaques: L'expession ci-dessus ne dépend pas de la masse du satellite en obite. a conte, elle dépend de la masse de l'aste. i l'on pavient à mesue la distance à laquelle obite un satellite ainsi que sa péiode, on peut en déduie la masse de l'aste. C'est une meveilleuse méthode pou mesue la masse d'un aste dont on ne poua jamais foule le sol pou y laisse tombe un cayon et mesue ainsi g! Exemples: 1) Que vaudait la péiode de otation de la Lune si elle était 2 x plus poche de la Tee? 2 x plus éloignée? 2 4π Réponse : la péiode de la Lune est donnée pa 2 T Lune = 3. i la Lune était deux G M Tee fois plus loin, on auait 2 4π 2 T' Lune = (2) 3 et donc G M Tee 2) A quelle distance devait se touve la Lune pou que sa péiode de évolution soit de G M une semaine? Réponse : 3 = (1 semaine) 2 Tee d'où l'on tie =155 10 6 m 4π 2 T'= 2 3 T = 2,83 T 3) Que vaut la masse du oleil, connaissant le temps de évolution de la Tee autou de celui-ci ainsi que la distance Tee-oleil (150 mio km)? Réponse : M oleil = 4π 2 3 d 2 Tee oleil = 2,01 10 30 kg G T Tee 15
Remaque généale: L'application de la loi de Newton est techniquement impossible pou nous dans le cas gavitationnelle sauf si l'on a affaie à un MCU comme vu ci-dessus. En ce qui concene les autes types de mouvement, on emaque que puisque la foce n'est pas constante, on n'aua jamais de MRUA. Dans le cas où des météoites entent en collision fontale avec une planète, la tajectoie est bien ectiligne mais l'accéléation n'est pas constante. On peut néanmoins tavaille avec le théoème tavail-énegie en admettant que le tavail de la foce de gavitation est donné pa : A 1,2 (F gav ) = G M m( 1 2 1 1 ) où M est la masse de l'aste, m celle de l'objet soumis à son influence, 1 et 2 les distances initiale, esp. finale, de l'objet à l'aste. Exemples : 1) Le tavail pou alle de la suface d'un aste à tois fois son ayon vaut : A 1,2 (F gav ) = G M m( 1 3R 1 R ) = 2 GMm 3 R 2) ou échappe à l'attaction d'un aste, il faut que note vitesse à l'infini soit au moins égale à zéo! A quelle vitesse faut-il lance veticalement ves le haut un objet situé à la suface de l'aste? Le théoème TE pemet d'écie: A 1,2 (F gav ) = G M m( 1 1 R ) = 0 1 2 m v 2 lib. On touve pou la vitesse de libéation v lib = 2GM /R Bef histoique de l'astonomie: Les questions qui se posaient aux savants-philosophes de l'antiquité (laton, Aistote), potaient su la natue des astes qu'ils voyaient se déplace dans le ciel et su l'oigine de leu mouvement. Comme il était alos inconcevable d'imagine un mécanisme susceptible de mouvoi un objet aussi massif que la Tee (le pincipe d'inetie est du à l'imagination céatice de Galilée, aux envions de 1600), la Tee a été placée, immobile, au cente du monde. Le oleil, les étoiles, les planètes ont acquis, eux, le statut d'objets célestes constitués d'une essence paticulièe, divine (quintessence), ne nécessitant pas de foce pou este en mouvement obital autou de la Tee. La paticulaité de ces objets était également eflétée dans le fait que leus obites devaient, elles aussi, pote la maque de la pefection: seule la figue géométique du cecle (figue symétique, femée, pafaite) pouvait satisfaie à une telle exigence. Les tajectoies ciculaies endaient compte de manièe satisfaisante de la position du oleil et des étoiles. a conte les planètes, qui semblaient ee su la voûte céleste, nécessitaient pou la desciption de leus tajectoies, des figues géométiques plus complexes mais qui, une fois de plus, ne pouvaient ête que des combinaisons de cecles (épicycles). Cette cosmologie a été potée à son point culminant dans l'ouvage de tolémée (envion 100 de note èe), taduit ultéieuement en aabe et connu sous le tite "L'Almageste". endant les 15 siècles qui vont suive et qui ne veont que peu de nouvelles mesues, c'est la vision géocentique qui pévaut. Elle semble en pafait accod avec l'obsevation: c'est le 16
oleil qui se meut autou de la Tee tout comme les autes astes, les étoiles sont fixées su la voûte céleste et l'immobilité de la Tee (qui semble s impose avec une pafaite évidence à l obsevation quotidienne puisque l on ne sent pas son mouvement) est confimée pa l'absence de paallaxe. En ésumé, cette cosmologie, en hamonie avec la vision anthopocentique de la eligion, a le méite de popose une 'explication' de l'ode du monde: les astes sont pafaits et de natue divine ; pa conséquent il peuvent se déplace sans intevention extéieue et leus tajectoies sont des cecles pafaits. En 1543 paaît "De Revolutionibus Obium Coelestium". Copenic met le oleil, souce de lumièe et de chaleu, au cente du monde: la cosmologie devient héliocentique. La epésentation du système solaie en est gandement simplifiée et le mouvement eatique des planètes y touve une explication évidente. Mais les tajectoies, quant à elles, estent encoe et toujous des cecles pafaits! De plus, pou que les pédictions de son modèle soient confomes aux obsevations, Copenic ne peut évite d'ajoute des dizaines d'épicycles dans ses calculs. Finalement, sa théoie ne épond pas aux objections concenant l'absence de paallaxe et le fait que l'on ne sente pas le mouvement de la Tee. Et d'ailleus, comment ce mouvement est-il même possible? Tycho Bahé, astonome danois, est le pemie à effectue une séie d'obsevations astonomiques d'extaodinaie qualité. Losqu il est nommé astonome de l'empeeu Rudolf II (ague), Keple le ejoint et lui demande à pouvoi consulte, utilise et analyse ses mesues et à leu touve une explication. Apès des années de tavail achané, et l'abandon, finalement, du dogme des tajectoies ciculaies, Keple popose un modèle cohéent du système solaie: le oleil est au cente, une sote de 'foce' maintient les planètes en obite autou de lui. Les tajectoies sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyes et la elation ente le temps de évolution T des planètes et leu distance au oleil, est donné pa la elation: T 2 popotionnel à 3. Keple se débaasse ainsi définitivement des épicycles. Quant au poblème de l'absence de paallaxe des étoiles, il est tout simplement la conséquence de la distance phénoménale à laquelle elles se touvent. Contempoain de Keple, Galilée découve, gâce à la puissance de son imagination, le pincipe d'inetie. Dès los, l'énomité de la masse des planètes n'est plus un obstacle à leu mobilité. De plus, pointant un télescope su le oleil, il constate que sa suface n'est pas pafaite. Il obseve en oute que, tout comme le oleil, Jupite possède ses popes satellites. La pefection 'divine' s'effite peu à peu. Il écit en 1610, dans un langage clai et élégant, "Le Message Astal". L'ouvage devient apidement populaie et la science potentiellement accessible à tous... Newton, qui naît l'année de la mot de Galilée (1642), publiea en 1687 les "incipia Mathematica", l'ouvage monumental, l'ouvage-clé de toute la physique classique. Les lois de la dynamique y sont établies, de même que la loi univeselle de la gavitation. Il invente même le calcul intégal et difféentiel, outil indispensable pou ses calculs. Jusqu'à Einstein, 220 ans plus tad, la epésentation du monde mécanique semblait pouvoi ête décite dans les seuls temes de Newton. Avec la contibution magistale de Maxwell qui éalise au milieu du XIXème siècle la synthèse de l électomagnétisme, le monde natuel semblait entièement explicable. eu apès, d ailleus, JJ. Thomson affime: "Tous les phénomènes natuels peuvent ête expliqués pa la science. Il n'y a que deux petits nuages sombes à l'hoizon: le ésultat négatif de l'expéience de Michelson-Moley et la catastophe ultaviolette de Rayleigh-Jeans" Du pemie nuage sotia la mécanique elativiste, du second la mécanique quantique... 17
3. tatique des fluides 3.1 Fluides On egoupe sous le nom de fluide les liquides et les gaz. Les difféences physiques ente solides, liquides et gaz s'expliquent pa les foces qui lient les molécules ente elles dans ces tois états. Les fluides pouvant s'écoule, ils possèdent quelques popiétés paticulièes que n'ont pas les solides. Rappelons que les foces de cohésion dans les liquides sont suffisantes pou qu'ils aient un volume pope, bien que ne possédant pas de fome pope. Les gaz n'ont ni volume, ni fome popes. 3.2 ession La pession est définie pa p = F nomal A où F est la foce qui s'exece nomalement à la suface et A l'aie de cette suface. Dans un fluide incompessible (liquide), la pession est immédiatement tansmise, inchangée, en tous points du fluide. N Unités: la pession se mesue en ou ascal [a]. 2 m Autes unités: 1 to = 1 mmhg=0,133 ka ; 1 atm=760 mmhg=1,013. 10 5 a ; 1 ba=10 5 a 3.3 incipe de ascal D'apès le pincipe de ascal, en tout point d'un fluide en équilibe il existe une pession. Celle-ci est indépendante de la diection et est la même en tout point, à condition que l'on puisse néglige la gavitation. Exemple: la pesse hydaulique est une illustation du pincipe de ascal et de la signification de la définition de la pession. En effet, on a pou une pesse hydaulique, p 1 = p 2, soit = F 2. A 1 A 2 Une petite foce appliquée su un petite suface poduit autant d'effet qu'une gande foce appliquée su une gande suface. Remaques: La pession est indépendante de l'oientation de la suface (pensez au tympan d'un plongeu) A même altitude, la pession en tous les points du fluide est la même Dans un fluide ce n'est pas la foce qui est tansmise, mais la pession. F 1 18
Exemples : 1. Quelle est la pession execée pa une masse de 100 g posée su une suface de 1 m 2? Rép. 1 a 2. Une masse M est tenue au bout du doigt, dont la suface est de 1 cm 2. Que vaut la pession execée su le doigt? Rép. 10 5 a 3. Que vaut la foce execée pa la pession atmosphéique su un disque de diamète 15 cm? Rép. 1790 kg 4. Une machine hydaulique est utilisée pou souleve une voitue. a masse est de 1200 kg et elle est posée su un piston de 1,5 m 2. Avec quelle foce faut-il agi su le piston de plus faible section pou souleve la voitue? La section du piston moteu est de 400 cm 2. Rép. 320 N 3.4 Loi de vaiation de la pession A. Cas des fluides incompessibles (liquides): La pession execée au bas d'une colonne de liquide de hauteu h due à son poids pope vaut: p = oids Aie = mg A = ρ h A g = ρ g h A La pession ne dépend ni de la fome, ni de la quantité de liquide, mais uniquement de sa hauteu. Cette popiété explique les caactéistiques des vases communicants: En A et E la pession est égale à la pession atmosphéique. En B, C, D les pessions sont égales en vetu du pincipe de ascal et valent p B = p atm + ρgh Le pincipe du manomète (dispositif pou mesue la pession d'un gaz contenu dans une enceinte) est également basé su les popiétés que nous venons de voi: Au niveau désigné pa la flèche, la pession dans le liquide est la même à gauche et à doite du tube. A gauche, la pession en ce point, p G est égale à la pession p dans le gaz; à doite la pession p D est égale à la pession atmosphéique plus la pession execée pa le poids de la colonne de liquide audessus du point fléché: p G = p D, soit: p = p atm + ρgh Exemple: une colonne de mecue de 760 mm exece une pession compaable à celle d'une colonne d'eau de 10,3 m ou une colonne de sang de 9,8 m. B. Cas des fluides compessibles (gaz): Dans le cas des gaz, la elation ente pession et hauteu de colonne de gaz n'est plus si simple, puisque le poids pope du gaz peut le compime. Dans le cas de l'atmosphèe, la elation pession-altitude n'est pas linéaie (voi Tables Numéiques p. 179 et 201). Les gaz n'ayant pas de volume pope, il existe une elation ente la pession du gaz et le volume qu'il occupe. 19
Exemples : 1. Quelle est la pession à 30 m sous la suface de la me (densité: 1,026)? Quelle est la foce s'exeçant su le tympan (suface 1 cm 2 )? u la suface d'un hublot? Rép. 30,2 N 2. (a) Quelle est la pession à La Chaux-de-Fonds, si la pession à Neuchâtel est de 950 ha? (b) Calcule la pession au sommet du Mont-Blanc. Compae avec la valeu des tables et discute du ésultat. Rép. 943,5 ha 3.5 oussée d'achimède Un objet plongé dans un gaz ou dans un liquide subit une pession du fluide en chaque point de sa suface. La foce coespondante agit pependiculaiement à l'aie considéée et la pession est plus gande su les points plus éloignés de la suface du fluide. Cylinde plongé dans l'eau : les foces execées su chaque unité de suface se compensent hoizontalement. Il este les foces veticales. La foce qui s'exece su la face inféieue est diigée ves le haut et est supéieu à la foce qui s'exece su la face supéieue et est diigée ves le bas. La foce nette due à la pession de l'eau est donc diigée ves le haut. On peut monte que sa nome est égale au poids du volume de fluide déplacé pa l'objet. C'est la poussée d'achimède. oussée d'achimède: F A = ρ fluide g V immegé F A Le cops peut ête complètement ou patiellement immegé. elon que la poussée est plus gande, plus petite ou égale au poids, l'objet monte, descend ou est en équilibe dans le fluide. F A Volume immegé Exemples : 1. Que vaut la poussée d'achimède s'exeçant dans la me su un nageu de 70 kg entièement immegé? Immegé aux 3/4? Rép. 700 N; 525 N 2. Que vaut la foce nette s'exeçant su une sphèe de bois de ayon R = 5 cm entièement immegée dans l'eau? Que vaut l'accéléation de la sphèe? Que va-t-il se passe? Rép. (densité épicéa 460) 0,283 N ; 1,17 m/s 2 ; monte de plus en plus vite 3. Mêmes questions, mais pou une sphèe d'aluminium. Rép. 0,890 N ; 0,629 m/s 2 ; descend de plus en plus vite 4. Une plaque de liège flotte su de l'eau. Elle a une épaisseu de 1 cm et une aie de base de 100 cm 2. La masse volumique du liège est de 250 kg/m 3. Un objet de 60 g epose su cette plaque de liège, la laissant hoizontale. Calcule la hauteu immegée. Rép. 0,85 cm 20