Table des matièes Modélisatio des tasistos biolaies itégés.... 5 Elémets de hysique des semicoducteus... 5 Philie DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Aaud OURNEL.. Les matéiau semicoducteus... 5... Gééalités... 5... Stuctue cistallie... 6... Défiitios... 6... Les systèmes cistallis cc et cfc... 7..3. Réseau écioque.....3.. Vecteus du éseau écioque.....3.. Zoes de illoui.....3.3. Réseau écioque et emièe Z du éseau cfc.....4. Les vibatios du éseau cistalli.....4.. Modes de vibatio d ue chaîe D à atomes a maille 3..4.. Vibatios d u cistal 3D et à atomes a maille... 5..4.3. Eegie associée au modes de vibatio... 6.. Stuctue de bades des semicoducteus... 8... ades d'éegie des électos das u cistal afait... 8... Descitio de la fomatio des bades a LCAO... 8... Schödige, otetiel cistalli et foctios de loch... 3...3. Cistal D Modèle de l'électo esque libe... 3... Dyamique de l'électo... 35... Imulsio, vitesse... 35... Effet d ue foce etéieue, masse effective... 36...3. Classificatio métal/isolat/semicoducteu... 37..3. Notio de tou... 38..4. Cistal 3D - Gééalisatio... 4..5. Stuctue de bade de Si... 4..5.. ade de coductio... 43..5.. ade de valece... 45..6. Desité d'états das les bades emises... 46..6.. Desité d'états das l'esace écioque... 46..6.. Desité d'états e éegie (cistal 3D)... 47
Modélisatio des tasistos biolaies itégés..7. Niveau d'éegie itoduits a les imefectios du cistal.. 48..7.. Doage ou u semicoducteu de la coloe IV... 49..7.. Réductio de la lageu de bade itedite... 5..7.3. Niveau ofods... 5..8. Peulemet des iveau d'éegie à l'équilibe themique... 5..8.. Pobabilité d'occuatio.... 5..8.. Cocetatio des oteus das les bades emises... 54.3. Effet des etubatios : tasot et gééatio-ecombiaiso... 55.3.. Phéomèes de tasot... 55.3... Les mécaismes de elaatio des oteus : les iteactios 57.3... Foctio de distibutio Equatio de oltzma... 58.3..3. Coductio électique e cham faible (E < V.cm - ).. 6.3..4. Diffusio... 63.3..5. Equatio de déive-diffusio... 65.3..6. Cham électo-moteu... 65.3..7. Coductio e cham fot... 66.3.. Céatio de oteus e ecès et ecombiaiso... 68.3... Céatio de oteus e ecès... 68.3... Recombiaiso... 69.3.3. Equatio de cotiuité... 7.4. Tasot das les disositifs... 73.4.. Système à l'équilibe themodyamique... 74.4.. Système hos d'équilibe... 75.4.3. Relatios fodametales de la théoie des disositifs... 77.4.3.. Couats de diffusio et de déive... 77.4.3.. Equatio de cotiuité... 78.4.3.3. Equatios à ésoude ou l'étude des disositifs... 79.5. ibliogahie... 84. De la joctio PN au tasisto biolaie... 59 Sylvie GALDIN-RETAILLEAU, Philie DOLLFUS et Aaud OURNEL.. La joctio PN... 84... Réalisatio : ofils de doage... 84... Joctio PN à l'équilibe themodyamique... 85... Fomatio de la Zoe de Chage d'esace (ZCE)... 86... Etude quatitative... 87..3. Joctio PN olaisée e diect... 9..3.. Descitio héoméologique... 9..3.. Calcul du couat das ue diode éelle... 9..4. Joctio PN olaisée e ivese... 6..4.. Descitio héoméologique... 6
Elémets de hysique des semicoducteus..4.. Calcul du couat ivese... 6..4.3. Claquage de la joctio... 8..5. Schémas équivalets de la joctio PN.....5.. Caacités de tasitio.....5.. Caacités de diffusio... 3..5.3. Coductace... 3..5.4. Schémas équivalets... 4.. Le tasisto biolaie... 5... Effet tasisto (e mode omal diect)... 6... ila des couats et calcul des gais... 7... ila des couats... 7... Calcul des gais... 9..3. Difféets égimes de foctioemet... 9..3.. Régime omal diect.....3.. Régime omal ivesé... 5..3.3. Régime omal satué... 6
Modélisatio des tasistos biolaies itégés
Elémets de hysique des semicoducteus.. Les cistau semicoducteus... Gééalités D u oit de vue macoscoique élémetaie, les semicoducteus se distiguet des autes solides cistallis (métau et isolats) a leus oiétés électiques tès difféetes : métal : ρ -6 Ω.cm, et à 3 électos libes a cm 3, quel que soit le métal, quelles que soiet sa ueté et sa teméatue ; isolat : ρ 8 Ω.cm (eu modulable), avec tès eu de oteus libes ; semicoducteu : ρ -3 à 3 Ω.cm, et 3 à cm -3, selo la ueté et la teméatue du matéiau. Tout l itéêt des semicoducteus viet du fait que l o sait tès bie e cotôle la ésistivité, otammet a le doage. Tous les atomes de la coloe IV (C, Si, Ge) ot ue couche électoique etee icomlète à 4 électos, c est-à-die s e otatio sectoscoique (au lieu de 8 électos ou ue couche comlète s 6 ). Das le cistal fomé d'atomes de cette famille, l aagemet atomique, schématisé su la figue., est tel que chaque atome est etoué de 4 lus oches voisis avec lesquels il échage 4 liaisos de valece. Les 4 électos de valece de chaque atome sot doc egagés das des liaisos comlètes. Il s esuit que das le cistal u à teméatue ulle, il y a as d électo libe (le cistal est isolat). Chaite édigé a Philie DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Aaud OURNEL.
6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Si Si Si Si Si Si Figue.. Schéma de liaisos de valece das u cistal de silicium. Il est égalemet ossible d assemble des atomes difféets de la coloe IV ou fome des alliages semicoducteus (Si - Ge, Si -y C y, Si --y Ge C y ). L'assemblage d'u ombe égal d'élémets de la coloe III et d'élémets de la coloe V eut égalemet coduie à la fomatio d'u semicoducteu (GaAs, IP, ). Das la suite de ce chaite, ous e taiteos essetiellemet que du silicium.... Stuctue cistallie... Défiitios L état cistalli coesod à u aagemet comact et éiodique des atomes du solide. U cistal afait est doc costitué a la éétitio d u motif atomique, aelé base, suivat tois vecteus de taslatio ( a, b, c) qui défiisset u éseau. A ati d'ue oigie O, tous les oits A tels que OA a + b + 3 c voiet le même evioemet atomique que O. L esemble des oits A costitue u éseau de oits aelés œuds du éseau. La doée d ue base et d u éseau caactéise doc etièemet la stuctue cistallie. Les vecteus de taslatio sot dits fodametau ou imitifs si ou tous les oits A qui voiet le même evioemet que O, o eut touve des eties,, 3 tels que OA a + b + 3 c. Le aalléléiède défii a a, b et c est aelé maille. Ue maille emet de emli tout l esace e aliquat les oéatios de taslatio coveables. La maille défiie a les vecteus de taslatio fodametau est dite imitive ou élémetaie. C est e fait ue maille de volume miimal.
Elémets de hysique des semicoducteus 7... Les systèmes cistallis cubique ceté et cubique faces cetées Das u esace tidimesioel (3D) il y a 4 tyes de systèmes cistallis ossibles, et e aticulie 3 systèmes cubiques : cubique simle, cubique ceté (cc) et cubique faces cetées (cfc). Les lus imotats ou les cistau semicoducteus usuels sot les systèmes cc et cfc.... Le système cfc La maille covetioelle cubique et la maille élémetaie homboédique sot eésetées su la figue.. La maille homboédique est costuite su 3 vecteus C A,, de logueus égales et fomat ete eu des agles de 6. Chacu de ces vecteus joit u coi du cube à u cete de face (figue.). La maille covetioelle cubique cotiet 4 œuds du éseau ; elle est bâtie su les tois vecteus othogoau c b a,, défiis à ati de C A,, a les elatios : + + + + C A c C A b C A a et écioquemet ( ) ( ) ( ) + + + / / / b a C c a c b A [.] a b c A C Figue.. Mailles élémetaies cubique et homboédique du éseau cfc. O véifie facilemet que la maille cubique est 4 fois lus volumieuse que la maille homboédique, c est-à-die que ( ) ( ) C A c b a. 4..
8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés... Le système cc La maille covetioelle cubique et les vecteus fodametau C A,, sot eésetés su la figue.3. Ces vecteus fodametau joiget u coi de cube à u cete de cube et fot ete eu u agle de 9 8. La maille imitive qu ils costuiset est ecoe homboédique. Les vecteus de taslatio c b a,, de la maille cubique, qui cotiet œuds, sot défiis à ati de C A,, a : + + + A c C A b C a et écioquemet ( ) ( ) ( ) + + + + / / / c b a C c b a c b a A [.] O véifie facilemet que la maille cubique est fois lus volumieuse que la maille homboédique. A C a b c A C Figue.3. Mailles élémetaies cubique et homboédique du éseau cc....3. Stuctue cistallie «diamat» (Si, C, Ge) Les quate électos de la couche etee de chaque atome sot egagés das des liaisos de valece avec quate atomes voisis (les 4 lus oches voisis). Ces liaisos sot oietées das l esace e ositio tétaédique et fot ete elles u agle α de 9 8 (Figue.4). La éétitio de ce motif avec les boes oietatios emet de costuie le cistal. O obtiet ue stuctue dite diamat, das laquelle les atomes occuet les œuds de éseau cfc décalés l u de l aute d u quat de la diagoale du cube.
Elémets de hysique des semicoducteus 9 a a/ a α a Figue.4. Liaisos tétaédiques et stuctue cistallie des éseau «diamat» et «zic-blede». Les atomes gis costituet u éseau cfc ; les atomes ois costituet ue atie d'u secod éseau cfc décalé d'u quat de la diagoale du cube. Remaquos que la stuctue cistallie de GaAs est idetique au diamat mais avec ue alteace d'u éseau cfc de Ga et d'u éseau cfc d'as. C'est la stuctue dite zic-blede. O obseve que les 4 lus oches voisis d u atome, ceu avec lesquels il a des liaisos covaletes, aatieet à l aute éseau cfc. O ed gééalemet comme maille élémetaie le cube coesodat à éseau cfc. La logueu a de l aête du cube est aelée aamète cistalli. O véifie aisémet que : maille cubique (de volume a 3 ) cotiet 8 atomes (4 de chaque éseau cfc) ; maille imitive homboédique (de volume a 3 /4) cotiet atomes ( de chaque éseau cfc) ; la distace ete lus oches voisis (v) est 3 a 4 ; la desité d atomes das le cistal est 8/a 3. Quelques caactéistiques de Ge et Si sot doées das le tableau.. Ge Si Paamète cistalli [Å] 5,658 5,43 Masse atomique 7,6 8,9 Desité d'atomes [cm -3 ] 4,4 5, Masse volumique [g.cm -3 ] 5,33,33 Distace ete v [Å],45,35 Tableau.. Quelques caactéistiques cistallies de Si et Ge.
Modélisatio des tasistos biolaies itégés..3. Réseau écioque De même que l esace des féqueces est tès utile ou le taitemet de gadeus (comme le couat électique a eemle) éiodiques das le tems, l esace des vecteus d ode (ou esace écioque) est d u gad itéêt ou décie beaucou de héomèes hysiques (e aticulie les héomèes de oagatio) se oduisat das u esace éiodique tel qu u cistal. O cée doc u ouveau éseau à ati du éseau cistalli et qui e coseve les syméties. O le défiit de faço à ce que les œuds du éseau soiet ceu su lesquels les gadeus hysiques ayat la éiodicité du éseau cistalli se décomoset e séie de Fouie...3.. Vecteus du éseau écioque * * * Les vecteus fodametau A,, C du éseau écioque sot costuits à ati des vecteus fodametau A,, C du éseau cistalli. Soit V c A. ( C) le volume de la maille imitive du éseau cistalli, * A π Vc C, π * * C A, C π A Vc Vc [.3] Aisi chaque vecteu imitif du éseau écioque est othogoal à vecteus imitifs du éseau cistalli : * A. A π, * A., * A. C, et emutatios ciculaies [.4] * * * Les vecteus G h A + + l C (h,, l eties) sot aelés vecteus du éseau écioque. O démote facilemet que la séie de Fouie d ue foctio éiodique d u éseau cistalli e cotiet que des temes F G e ( i G. ) où les vecteus G sot des vecteus du éseau écioque. Le volume de la maille élémetaie du éseau écioque est : * V A. * * 3 ( C ) 8π Vc..3.. Zoes de illoui [.5] Ue zoe de illoui (Z) est u sous-esemble de l esace écioque de volume miimal emettat de décie etièemet les foctios éiodiques (a eemle l'éegie des électos) das cet esace.
Elémets de hysique des semicoducteus La emièe zoe de illoui est la Z aticulièe admettat l oigie des vecteus d ode comme cete de symétie. C est e fait la maille de l esace écioque costuite de la faço suivate : joide l oigie à tous les oits du éseau (les lus oches suffiset e atique), uis costuie les las médiateus au segmets obteus. La Z est le lus etit olyède limité a ces las médiateus et ceté su l oigie. Das l eemle de la chaîe liéaie d atomes idetiques de éiode a (figue π a, π a..5), la emièe Z est l itevalle [ ] a éseau cistalli A * π a π a π a èe Z π a π a éseau écioque Figue.5. Costuctio de la èe zoe de illoui d ue chaîe liéaie d atomes idetiques...3.3. Réseau écioque et emièe zoe de illoui du éseau cfc Aliquos la défiitio [.3] des vecteus du éseau écioque au cas du éseau cfc dot les vecteus A,, C qui défiisset la maille imitive (homboédique) sot liés au eèe a, b, c du cube a l'eq. [.]. Le ésultat obteu das le eèe, y, z défii a a a, b a y, et c a z est : othoomé ( ) A 4 a * π 4 a ( + y + z ), ( y + z), C ( + y z ) * π 4 a * π [.6] O ecoaît les vecteus imitifs d u éseau cubique ceté (Eq. [.]) dot l aête du cube élémetaie a ou logueu 4 π a. Le éseau écioque d u éseau cfc est doc u éseau cc (et écioquemet). La costuctio de la emièe zoe de illoui est illustée su la figue.6 :
Modélisatio des tasistos biolaies itégés les lus etits G sot les 8 vecteus G π ( ± ± y ± z) a aallèles à [] qui joiget le cete du cube à coi. Leus las médiateus, situés à 3 π a du cete, fomet u octaède ; les G 4π 4π 4π de taille suéieue sot les 6 vecteus ±, ± y, ± z qui a a a joiget cetes de cube. Leus las médiateus, situés à π a du cete, toquet l octaède. Cet octaède toqué costitue la emièe zoe de illoui d u éseau cfc, et doc de tous les semicoducteus usuels. La figue.6 idique de lus cetais oits aticulies et diectios ivilégiées de la èe Z du éseau cfc : les oits Γ (,,), X (,,) et L (,,), et les diectios [], Σ [], et Λ []. 4π/a L X Λ Γ Σ K X Γ Figue.6. Pemièe zoe de illoui du éseau cfc. Poits aticulies et diectios ivilégiées...4. Les vibatios du éseau cistalli Jusque là, ous avos cosidéé le éseau cistalli que sous l agle de la cistallogahie où l o assige au atomes des ositios fies. O les atomes oscillet autou de leu site cistalli, et ce d autat lus que la teméatue est élevée ; des oscillatios cistallies esistet même à teméatue ulle. Ces vibatios, o icohéetes, ot ue gade imotace ou l étude des oiétés électiques des solides ca elles modifiet le otetiel cistalli das lequel évoluet
Elémets de hysique des semicoducteus 3 les électos, ce qui etube leu mouvemet. C est a l itemédiaie de ces vibatios que les oteus et le éseau cistalli échaget de l éegie. Nous décios ici les modes de vibatio ω ( ) d u cistal et l éegie de ces modes. La hysique classique suffit à mette e évidece les modes de vibatio ; il s agit e fait d u oblème de essots coulés. Il faut e evache faie ael à la mécaique quatique ou e quatifie l éegie. Ces quata d éegie de vibatio sot assimilés à des aticules aelées hoos...4.. Modes de vibatio d ue chaîe liéaie comotat atomes a maille élémetaie Le cas d ue maille élémetaie coteat deu atomes est e fait celui de tous les semicoducteus usuels dot la stuctue cistallie est de tye «diamat» ou «zic-blede». Nous avos vu que das ces stuctues la maille élémetaie homboédique cotiet u atome de chaque éseau cfc. Das le cas «diamat» (Si) les deu atomes sot de même atue, alos que das le cas «zic-blede» (GaAs) ils sot de atue difféete. Nous allos faie les calculs ou ue chaîe et ous gééaliseos les ésultats à u éseau tidimesioel (3D). Cosidéos doc la chaîe eésetée su la figue.7. Sa maille élémetaie, de logueu a, cotiet atomes a ioi de atue difféete et de masse esective M et M. + M M M M M M a a a a Figue.7. Chaîe liéaie à deu atomes a maille élémetaie. O suose qu à l équilibe les atomes de masse M occuet les ositios «aies» d abscisse ()a/, et les atomes de masse M les ositios «imaies» d abscisse (+) a/. Les écats a aot au ositios d'équilibe état de lus suosés faibles, o cosidèe que la foce eecée a u atome su l'u de ses voisis est ootioelle à la vaiatio de distace séaat ces atomes. O ote la costate de ootioalité. Il y a alos deu équatios du mouvemet :
4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés [ ] [ ] + + + + + + u u u dt u d M u u u dt u d M [.7] O cheche des solutios ou u et u + sous la fome d odes ogessives d'amlitudes A et A, coesodat à des modes de ulsatio ω et de vecteu d'ode K. O aboutit à la elatio de disesio echechée : si 4 a K M M M M M M + ± + ω [.8] la bache iféieue comote des modes de basse féquece ; c est ouquoi o l aelle bache acoustique. Pou ces modes de basse féquece (ω, K ) o a A A, c est-à-die que das chaque maille les atomes se délacet de faço idetique das la même diectio. Ils vibet e hase ; il y a taslatio de toute la maille ; la bache suéieue e comote que des modes de féquece élevée. Aisi ou K : + M M ω et M M A A Les atomes de la maille se délacet e ses cotaie (e oositio de hase) de faço ivesemet ootioelle à leu masse. Le cete de gavité de la maille este doc immobile. Si les atomes sot de chages oosées, o eut ecite ue vibatio de ce tye a le cham électique d ue ode lumieuse. C est ou cela que cette bache est aelée bache otique. À chaque valeu de K coesodet modes de vibatio et la coube de disesio comote doc baches eésetées su la figue.8. Les ulsatios caactéistiques sot ω, ω, ω 3 défiies, si M > M a : M ω ; M ω ; + 3 M M ω
Elémets de hysique des semicoducteus 5 ω ω 3 bache otique ω ω bache acoustique K π/a Figue.8. Allue des coubes de disesio des vibatios das u éseau liéaie de atomes a maille imitive...4.. Vibatios d u cistal à 3 dimesios et à atomes a maille élémetaie Ce cas est celui des cistau à cfc, c est-à-die de tous les semicoducteus usuels. Das u cistal 3D l esace écioque deviet égalemet 3D et au modes logitudiau (acoustiques et otiques) que l o a e D s ajoutet das chaque cas modes tasveses olaisés à 9 l u de l aute (figue.9). O mote d ue maièe gééale que si la maille élémetaie cotiet atomes, les coubes de disesio sot costituées de 3 baches, dot 3 baches acoustiques et 3-3 baches otiques. Cela doe bie, ou, 3 baches acoustiques et 3 baches otiques. Les coubes de disesio déedet maiteat de la diectio de oagatio. Ue allue tyique est eésetée su la Figue.9 das la diectio []. E aiso de la symétie cistallie das cette diectio (aisi que das la diectio []), les modes tasvesau sot dégééés. Aussi l'o e voit que quate baches : logitudiale otique (LO), tasvese otique (TO), logitudiale acoustique (LA), et tasvese acoustique (TA).
6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés ω LO TO LA TA K π/a Figue.9. Allue des coubes de disesio das u cistal ou des vibatios se oageat das la diectio []...4.3. Eegie associée au modes de vibatio..4.3.. Quatificatio de l éegie d u mode Phoos Pou calcule l éegie associée au modes de vibatio il faut faie le taitemet quatique du éseau d oscillateus hamoiques coulés que costitue le éseau cistalli. Ce taitemet est fait das tous les ouvages de mécaique quatique (a eemle das [COH 73]) ; ous e l abodeos as das ce chaite. Les valeus oes de l hamiltoie du système sot quatifiées et de la fome : E + hω [.9] où,,,, et ω est la ulsatio du mode cosidéé L éegie de chaque mode de vibatio est doc quatifiée ; le quatum d éegie hω qui séae deu iveau cosécutifs est aelé hoo a aalogie avec le hoto qui désige le quatum d éegie lumieuse. U hoo eut ête assimilé à ue aticule d éegie hω et de vecteu d ode K, c est-à-die le vecteu d ode du mode associé. Isistos su le fait qu'u hoo est as ue «vaie» aticule. E effet, il a as d eistece oe : il eiste que ace que le éseau
Elémets de hysique des semicoducteus 7 eiste et que les atomes vibet. Toutefois, il se comote à l itéieu du cistal comme ue vaie aticule et o le taite comme tel. Les hoos sot des aticules idisceables o soumises au icie d eclusio de Pauli : ce sot des bosos, auquels o alique la statistique de ose-eistei. La foctio d occuatio du iveau hω est doc : f ( h ω ) [.] hω e T où est la costate de oltzma...4.3.. Iteactio électo-éseau (ou électo - hoo) Comme toutes les aticules, les hoos iteagisset avec les autes aticules ésetes das leu voisiage, e l occuece avec les électos. E fait, c est a l itemédiaie des hoos que les électos «libes» du cistal échaget de l éegie avec le éseau d atomes. Ue iteactio électo-éseau se taduit a le gai ou la ete d u quatum d éegie hω. O dit aussi qu u électo émet ou absobe u hoo. Ce ocessus se fait e cosevat l éegie et le vecteu d ode du système. Si l o désige a E et l éegie et le vecteu d ode de l électo avat iteactio, et a K le vecteu d ode du hoo, o a aès iteactio : E E ± hω ± K + G [.] où G est u vecteu du éseau écioque. E effet, de même que l additio d u tel vecteu e fait que chage le vecteu d ode de la zoe de illoui sas modifie le mode de vibatio, ous veos qu elle e modifie as o lus le vecteu d ode d u électo. Cette iteactio a ue gade ifluece su le mouvemet des électos das le cistal.
8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés.. Stuctue de bades des semicoducteus... ades d éegie des électos das u cistal afait Le but de cette atie est de décie les iveau d éegie accessibles à u électo das le cistal. Nous défiios esuite le cocet de «tou», aisi que celui, tès imotat ou la dyamique des oteus das le cistal, de masse effective. Pou aéhede les oiétés des iveau d'éegie des électos das u cistal, o distigue essetiellemet deu aoches : imagie la fomatio du cistal à ati d atomes idividuels que l o aoche, ce qui iduit u coulage ete atomes. C est la méthode de «Combiaiso Liéaie d Obitales Atomiques» (LCAO) utilisée e chimie. Nous la décios bièvemet de faço tès qualitative ; cosidée le solide comme ue boîte d électos vide d ios, et itoduie l attactio des ios comme ue etubatio. C est la méthode des électos esque libes. Elle se ête lus facilemet à des calculs simles. Das le emie cas o at de iveau d éegie discets, et das le secod d u cotiuum. Ces deu aoches coduiset à la fomatio de bades d éegie emises séaées a des bades itedites. Nous veos esuite commet la coaissace des bades d'éegie emises emet de défii la otio de masse effective, d'u gad itéêt atique. E effet, e attibuat à l'électo cette masse vituelle, o eut décie so mouvemet das le cistal comme celui d'ue aticule classique das le vide, e "oubliat" l'oigie hysique de cette masse.... Descitio de la fomatio des bades d éegie a LCAO... Atomes isolés : ael su les obitales atomiques Ue obitale atomique est l état oe de l éegie d u électo das le otetiel cetal céé a le oyau et a la distibutio moyee des Z- autes électos. Chaque obitale est défiie a la doée de tois ombes quatiques : ombe quatique icial ( ) ; l ombe quatique obital ( l -) ; m ombe quatique azimutal (-l m l). L éegie associée à ue obitale Ψ lm e déed que de et l. Aisi le iveau E l est dégééé g (l+) fois. Le facteu viet de l idéedace du otetiel a aot au si de l électo ; le facteu l+ taduit l ivaiace a otatio du otetiel cetal.
Elémets de hysique des semicoducteus 9 Les états coesodat à ue même valeu de fomet ue couche électoique :,, 3, 4, couches K, L, M, N, Les g états coesodats à ue même éegie fomet ue sous-couche : l,,, 3, sous-couches s,, d, f, (otatios sectoscoiques) Il y a doc laces su ue obitale s, 6 laces su ue obitale, laces su ue obitale d, La cofiguatio électoique de l atome est la liste des couches et sous-couches occuées avec le ombe d électos qui s y touvet. O se limite e atique à la deièe couche. Aisi, tous les atomes de la coloe IV (C, Si, Ge, ) ésetet ue couche etee icomlète s de 4 électos au lieu de 8 ou ue couche comlète s 6. Si l o cosidèe N atomes isolés, il y a alos N obitales Ψ qlm (q,, N) coesodat à la même éegie E l dot le iveau de dégééescece est g N.... Atomes iteagissat Si l o aoche suffisammet atomes, le otetiel global vu a u électo est lus cetal et il y a coulage ete les obitales. Le coulage ete obitales doe lieu à ouvelles obitales. L ue est symétique a échage des atomes (obitale liate), alos que l aute est atisymétique (obitale ati-liate). De lus, si V est le otetiel de coulage, l éegie de ces obitales est modifiée de E <Ψ lm V Ψ lm > (figue.). C est u ésultat gééal : le coulage ete N états idetiques lève la dégééescece d ode N. Ψ lm ati-liate E Ψ lm liate Figue.. Levée de dégééescece des obitales coulées (obitales liate et ati-liate). Le décalage d éegie E (eegy slittig), c est-à-die e fait le coulage ete les deu obitales, est d autat lus gad que, d ue at, les atomes sot oches, et que, d aute at, le ombe quatique icial des obitales est élevé. Les couches itees sot e effet eu affectées a le coulage : les électos de ces couches sot tès fotemet liés à leu atome d oigie. E evache, les électos
3 Modélisatio des tasistos biolaies itégés des couches etees e sot lus liés à u atome aticulie mais à la aie d atomes. Su l eemle tyique de la figue., coesodat à des élémets de la coloe IV, les électos issus des obitales etees (s et ) se etouvet su les deu iveau issus des coulages liats ; ces iveau offat 8 laces à eu deu sot etièemet occués, alos que les deu iveau oveat des coulages ati-liats sot etièemet vides. 3N N 3N N bade de coductio (4N laces vides) bade itedite bade de valece (4N laces leies) N N N 4 N gad Figue.. Coulage des obitales s et das le cas d u gad ombe d atomes ; fomatio des bades d'éegie. Le cocet d obitales liates et ati-liates eut ête étedu au cas d u gad ombe d atomes e suosat que les obitales de chaque atome iteagisset avec celles des lus oches voisis. O aive aisi à la fomatio de séies de iveau discets tès aochés que l o eut assimile à des bades (figue.). Les obitales liates offet 4N laces et sot doc etièemet occuées ; elles fomet la bade de valece. Les obitales ati-liates offet égalemet 4N laces qui sot doc etièemet vides ; elles fomet la bade de coductio. ade de coductio et bade de valece sot séaées a ue bade itedite. Das ue telle disositio, les électos de valece e sot lus liés à u atome aticulie mais bie à l esemble du éseau cistalli. D ue maièe gééale, das u solide quelcoque, c est la disositio et le emlissage des bades emises qui détemiet les oiétés électiques du matéiau, et qui emettet de le classe e métal, isolat ou semicoducteu. Cela sea écisé lus loi das ce chaite.
Elémets de hysique des semicoducteus 3... Equatio de Schödige ou u électo Potetiel cistalli et foctios de loch Nous allos maiteat cosidée le cistal semicoducteu comme ue boîte d'électos idéedats. V ( ) est le otetiel moye vu a chaque électo. Il a la éiodicité du éseau cistalli et est aelé otetiel cistalli. L équatio de Schödige décivat l état d u électo est fialemet : + V m ( ) ψ ( ) E ψ ( ) Le théoème de loch éoce que les solutios de l équatio [.], où V ( ) éiodique, sot de la fome de foctios de loch : ( ) e( i ) u ( ) [.] ψ [.3] u que ou tout vecteu T où ( ) a la éiodicité de ( ) V, c est-à-die celle du éseau cistalli, c est-à-die a + b c u + T u., ( ) ( ) + 3 Nous admettos ce théoème dot o eut touve ue démostatio das, a eemle, [KIT 83]. Il e este, ou détemie les états oes de l électo das u cistal, qu à coaîte la fome du otetiel cistalli V ( ) das lequel il évolue, uis à ésoude l équatio de Schödige [.] e utilisat des foctios d ode de loch [.3], seules foctios oes ossibles. Les temes de coulage égligés das le otetiel cistalli (coulages électoélecto, électo-hoo, ) sot cosidéés comme de faibles etubatios qui e modifiet as les solutios de l'hamiltoie icial mais iduiset des tasitios ete les états oes. Nous y eviedos das l'étude su le tasot....3. Cistal D Modèle de l'électo esque libe...3.. Rael : électo libe das u solide Imagios u électo libe de se mouvoi à l itéieu d ue cuvette vide uidimesioelle de logueu L et de hauteu de otetiel U (Figue.). est
3 Modélisatio des tasistos biolaies itégés O s itéesse au états liés de l électo, c est-à-die au cas ε < U. L hamiltoie de l électo de masse m se éduit à : H h m m [.4] V ε U L Figue.. Electo libe das u boîte. Les solutios de l'équatio de Schödige [.] sot des odes laes Ψ de la fome : ψ ( ) e ( i ) [.5] L h avec ε où est le vecteu d ode de l électo. m Aisi toutes les éegies sot a ioi emises et la coube de disesio ε() est ue aabole. O défiit la quatité de mouvemet de l électo mv a : ψ ψ h ψ * ( ) ψ ( ) d h ψ * ( ) ih ψ ( ) La quatité h, qui défiit l état de l électo, est aelée momet cistalli. Elle est doc égale à la quatité de mouvemet ou u électo libe. d
Elémets de hysique des semicoducteus 33...3.. Electo esque libe Au otetiel de la cuvette vide o sueose maiteat u otetiel éiodique V() ayat la éiodicité a du éseau cistalli (Figue.3). V ε U L Figue.3. Electo esque libe das ue boîte. V() état éiodique, o eut le déveloe e séie de Fouie : V ( ) V cos ( ) [.6] où π sot les oits du éseau écioque. a O commece a cosidée le cas le lus simle, celui où seul le emie teme de la séie [.6] est o ul. Aisi : V π V V cos [.7] a Suosos que V soit etit devat les éegies ciétiques de l électo et o cosidèe V comme ue etubatio a aot au cas écédet de l électo libe. O alique doc la théoie des etubatios (voi [SAP 9]). Le otetiel etubateu V e coule sesiblemet que les deu états de bod de zoe de illoui π a et π a et a essetiellemet ou effet de leve la dégééescece ete ces deu états. Ue coectio d'éegie au deuième ode au oits ± π a coduit au ouveau états oes d'éegie ε + et ε coesodat au foctios oes ψ + et ψ :
34 Modélisatio des tasistos biolaies itégés ε + ε + V ε ε V et ψ + ψ π a π a + π a π i a π cos L a π si L a [.8] Remaquos ue ouvelle fois que, comme das le cas des vibatios des atomes du cistal, o obtiet des odes statioaies e bod de zoe de illoui. La Figue.4 mote schématiquemet la défomatio de la coube de disesio e bod de zoe de illoui (tait éais), a aot au cas o etubé (tait fi) de l électo libe. O emaque la fomatio d ue bade d éegie itedite ete ε et ε +. ε ε ''+ ε '' - ε ' + π a π a π a ε '- π a Figue.4. ades d éegie das u cistal D. La zoe gisée eésete la èe zoe de illoui. Cosidéos maiteat le secod teme de la séie [.6], c est-à-die : π V V V cos [.9] a
Elémets de hysique des semicoducteus 35 U calcul similaie au écédet mote que V e coule que les états dégééés π a et π a. La dégééescece ete ces deu états est levée. Le calcul de la coectio d éegie au ème ode coduit au deu iveau ε + et ε : ε + ε + V ε ε V [.] Il y a aisi céatio d ue ouvelle bade d éegie itedite ete ε et ε +, comme cela est schématiquemet eéseté su la Figue.4. O cée doc autat de bades itedites qu il y a de temes das la séie de Fouie [.6] de V. D aès le théoème de loch éocé e..., les foctios d ode solutios de l équatio de Schödige e ésece du otetiel éiodique V() de éiode a sot des foctios de loch, c est-à-die des odes laes modulées a ue foctio éiodique qui a la même éiodicité que celle de V(), e l occuece celle du cistal : ψ ( ) e ( i ) u ( ) avec u ( + a) u ( ) O eut e déduie que les éegies oes ε() sot égalemet éiodiques, de éiode π a. Ce ésultat a deu coséqueces imotates : les otios de bades emises eésetées su la Figue.4 euvet ête ologées de faço à fome des bades cotiues ; o eut ue ouvelle fois, comme das le cas des modes de vibatio des atomes du cistal, esteide l itevalle d étude à la zoe éduite [-π/a, π/a], c està-die à la emièe zoe de illoui. Ces coubes de disesio esteites à la emièe zoe de illoui costituet la eésetatio habituelle du diagamme de bade d u cistal D. Le calcul est bie sû lus comliqué das le cas d u cistal éel 3D, mais les iciales idées hysiques qui emettet de le mee sot effectivemet coteues das l eemle simle que ous avos cosidéé.... Dyamique de l électo... Imulsio, vitesse O se aelle que ou ue ode lae, c est-à-die ou u électo libe, l imulsio mv est égale au momet cistalli h. Ce est lus le cas ou u électo de loch. E effet,
36 Modélisatio des tasistos biolaies itégés soit, ψ *( )( i h) ψ ( ) d h i h u *( ) u ( ) d h [.] Das u cistal, il y a as de elatio simle ete l imulsio de l électo das u état de loch et le momet cistalli qui défiit cet état. E fait, le mouvemet de l électo doit ête décit a u aquet d odes de loch ceté autou de. La vitesse de l électo est alos la vitesse de goue du aquet d odes : dω dε v [.] d h d L ifluece du cistal su le mouvemet de l électo est aisi etièemet coteue das la elatio de disesio ε() qui ed doc, o le voit maiteat, toute so imotace ou l étude du tasot.... Effet d ue foce etéieue, masse effective Suosos que l électo soit soumis à ue foce F. La vaiatio de so éegie edat dt est égale au tavail de la foce : d ε F d F v dt. D où, d aès [.] : d F [.3] dt h Remaquos au assage que si la foce F est ulle, le vecteu d ode est costat. E calculat l accéléatio subie a l électo gâce à [.] et [.3], o obtiet : ε h dv F dt
Elémets de hysique des semicoducteus 37 O etouve doc la elatio fodametale de la dyamique, à coditio d associe à l électo ue masse effective m * défiie a : ε * m h [.4] Ce ésultat est tès imotat. Notos d ailleus que cette masse effective, qui déed de la coubue de la elatio de disesio ε() eut ête aussi bie égative que ositive. Au voisiage d u etemum ε de bade d éegie situé e (o vea que les etema de bade sot les oits cuciau du comotemet des électos das u semicoducteu), o eut déveloe ε() e séie limitée : h ε ε ± ( ) [.5] m* Au voisiage d u etemum de bade d éegie, la otio de masse effective ed doc tout so itéêt : o etouve la elatio de disesio d u électo libe, mais avec ue masse difféete. C est ouquoi l o ale d électo quasi-libe....3 Classificatio métal/isolat/semicoducteu Nous avos maiteat tous les élémets ou comede ce qui difféecie u semicoducteu d u métal ou d u isolat. Commeços a démote le ésultat imotat suivat : ue bade leie e coduit as le couat. E effet le couat tasoté a les électos d ue bade s écit ou u cistal D de logueu L : q I L v q L h ( ) dε d où la somme ote su tous les états "occués". La bade état leie, à tout oit où la vitesse est v() coesod le oit - de vitesse oosée, de telle sote que I. Aisi, (i) ue bade leie e éagit as au cham électique et e aticie as au couat, et (ii) u cistal dot toutes les bades occuées sot leies est u isolat. La figue.5 eésete schématiquemet le emlissage des bades, comte teu du fait que les électos sot des femios, das le cas d u métal et das celui d u isolat. Das u métal, la deièe bade occuée est as comlètemet emlie. Elle eut doc de faço atuelle aticie au couat ; aussi est-elle
38 Modélisatio des tasistos biolaies itégés aelée bade de coductio. Au cotaie, das u isolat, la deièe bade occuée est comlètemet emlie ; c est la bade de valece. Aucue coductio est doc ossible. U semicoducteu est u cistal isolat à teméatue ulle, mais dot la lageu de la bade itedite est suffisammet faible iféieue à evio ev ou que des électos de la bade de valece uisset ête ecités themiquemet ves la bade de coductio. Toute vaiatio de teméatue emet aisi de module le emlissage de la bade de coductio, et doc de module la ésistivité du matéiau. O vea lus avat das ce chaite que l o eut égalemet module la ésistivité d u semicoducteu e y itoduisat des imuetés (doage), de faço à cée des iveau das la bade itedite. Ces iveau sulémetaies modifiet l occuatio des bades et doc les oiétés électiques du matéiau. C C E G V V métal isolat Figues.5. Occuatio des bades das u métal et u isolat...3. Notio de tou Suosos que l o soit à teméatue o ulle et qu u électo soit ecité ves la bade de coductio, ce qui laisse ue lace vide das la bade de valece. Cet électo a doc été détaché d ue liaiso covalete (Figue.6) et il eut tasote u couat, a eemle e ésece d u cham électique, et ce d autat lus facilemet qu il voit beaucou de laces vides d éegie oche autou de lui. L eistece d ue lace vide das la bade de valece sigifie qu il maque u électo das ue liaiso covalete. E ésece d u cham électique cette lace vide eut ête comblée a u électo oveat de la utue d ue aute liaiso
Elémets de hysique des semicoducteus 39 covalete. Aisi, la lace vide se délace das le ses du cham électique, comme ue aticule de chage ositive que l o aelle tou. Nous veos que l o eut attibue au tou toutes les caactéistiques d ue vaie aticule que l o taitea effectivemet comme telle. + Figue.6. Illustatio de l'eistece d'u tou. Suosos que l o a etait u électo de vecteu d ode e de la bade de valece (Figue.7). Le vecteu d ode total de la bade de valece est alos - e, que l o attibue au tou : h - e [.6] C ε e h V Figue.7. Vecteu d ode du tou. Si ε tot est l éegie totale de la bade de valece leie, ε tot -ε e ( e ) est l éegie totale de la bade de valece à laquelle il maque u électo d éegie ε e ( e ). O
4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés eut doc défii l éegie du tou a ε h ( h ) -ε e ( e ) + costate, où la costate déed du choi de l oigie. E atique, o ed comme oigie des éegies d ue bade l etemum de cette bade. Avec ce choi la costate est ulle et l'éegie du tou est ε h, comme cela est eéseté su la Figue.8 : ε h ( h ) -ε e ( e ) [.7] C ε ε h ( h ) ε e ( e ) V Figue.8. Eegie du tou. Pou e détemie la vitesse o alique au tou la elatio [.] et o utilise [.6] et [.7] : c est-à-die: ε d h h vh h dh ( ) d( ε ( )) dε ( ) h e e de h e e de v h v e [.8] O défiit sa masse e aliquat la elatio [.4] au tou : mh h d ε h h dh ( ) d ε ( ) h e e de me c est-à-die: m h -m e [.9]
Elémets de hysique des semicoducteus 4 Soit F q h E la foce électostatique essetie a le tou e ésece du cham électique E. O alique au tou la elatio [.3] ou détemie sa chage électique q h : d h h dt F qh E c est-à-die d aès (.6) : d e h dt qh E qe E qe et a coséquet : q h -q e q [.3]..4. Cistal 3D Gééalisatio Tous les ésultats obteus ou u cistal à dimesio se gééaliset aisémet à u cistal à 3 dimesios. Il suffit, das les eessios écédetes, de emlace a (, y, z), a (, y, z ), a, L eessio [.] de la vitesse deviet : ( ) v h ε [.3] L eessio [.3] décivat l effet d ue foce su le vecteu d ode deviet : d F [.3] dt h Calculos la comosate suivat de l accéléatio γ subie a l électo : d v d dε d ε d ε d ε γ + + F Fy Fz dt h dt d h d ddy ddz
4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Pou idetifie cette elatio à la elatio fodametale il faut itoduie le teseu de masse effective : * m γ m * F, avec m * ij h ε i j [.33]..5. Stuctue de bade du Si Détemie la stuctue de bade d u cistal, c est touve la coesodace ete éegie et vecteu d ode e tout oit de la emièe zoe de illoui. Plusieus méthodes de calcul, essetiellemet uméiques, ot été déveloées ou les cistau éels : voi a eemle [YU 96]. L aoche théoique de ce oblème sot du cade de ce chaite ; ous e utiliseos les ésultats e eteat que les icies hysiques ivoqués et les ésultats obteus das les aagahes écédets ou u modèle simle D estet valables ou les semicoducteus éels. La descitio des etema des bades de valece et de coductio est ue doée de base ou l étude des oiétés de tasot, mais aussi des oiétés otiques, des semicoducteus. La stuctue de bade schématique et simlifiée du Si est eésetée su la Figue.9. La bade itedite est idiecte : les électos doivet chage de vecteu d ode ou asse de la bade de valece à la bade de coductio.
Elémets de hysique des semicoducteus 43,85 π a E XL E XL ev so,44 ev E G, ev so L <> Γ <> X..5. ade de coductio Figue.9. Allue de la stuctue de bade du Si. Qualitativemet, les stuctues de bade des semicoducteus diffèet essetiellemet a la bade de coductio. E effet, tous les semicoducteus ot le maimum de bade de valece au cete de la zoe de illoui, ce qui est as toujous le cas du miimum de bade de coductio. Les miima de bade de coductio se touvet su les aes <>, à 85% du bod de zoe. Il y a doc 6 miima au bas de vallées aelées vallées X (ou afois ). Au-dessus des miima, les sufaces équi-éegie se décomoset e 6 ellisoïdes de évolutio autou des aes <> et cetés su les oits (Figue.). m,85 π a
44 Modélisatio des tasistos biolaies itégés [] [] [] Figue.. Sufaces équi-éegie de la bade de coductio du Si. Au voisiage de ces oits, l éegie des électos est doc de la fome : ( ) ( ) z y t m l c m m E + + + h h ε (avec emutatios de, y, z suivat la vallée), et leu éegie ciétique est alos : ( ) z y t l m m + + h h ε [.34] où ml et mt sot les masses effectives logitudiales et tasveses doées a : l m ε h, z y t m ε ε h h Ue meilleue descitio des vallées X est obteue e itoduisat, das la elatio de disesio [.34], u coefficiet de o-aabolicité α : ( ) ( ) z y t l m m + + + h h α ε ε [.35] Das les vallées X de Si : m l,9 m, m t,9 m, α,5.
Elémets de hysique des semicoducteus 45..5.. ade de valece Il y a toujous 3 bades de valece dot les maima sot e Γ. Ces bades sot issues des obitales -liates tilemet dégééées. Cette dégééescece est atiellemet levée a l iteactio si-obite : das le mouvemet de l électo, so si, qui est u momet magétique, voit u cham magétique avec lequel il iteagit. La ise e comte de l hamitoie d iteactio si-obite décale de so ue des 3 bades de valece. O l aelle bade slit-off. Les 3 bades ésetet des coubues difféetes, doc des masses difféetes. Les bades qui estet dégééées e sot aelées bade de tous louds et bade de tous léges. Ce sot essetiellemet ces deu bades qui détemiet les oiétés de tasot des tous das le semicoducteu. Quel que soit le semicoducteu, les bades de tous louds et de tous léges sot assez fotemet aisotoes et les sufaces équi-éegie, des «waed shèes», sot décites a la elatio de disesio : 4 ( + C ( + + ) / h ε A ± y z z y [.36] m (+ ou les tous léges, ou les tous louds). A, et C sot des coefficiets caactéistiques du matéiau. Pou les faibles éegies, o utilise afois la fome suivate de la elatio de disesio : h ε g( θ, ϕ ) [.37] m où m (otée m lh ou les tous léges et m hh ou les tous louds) eésete ue masse effective isotoe, et g(θ,ϕ) est u facteu coectif d aisotoie. Pou Si, m lh,66 m et m hh,53 m. La bade slit-off, gééalemet eu eulée, est souvet égligée ou l étude des oiétés de tasot. Les sufaces équi-éegies sot des shèes et la elatio de disesio, caactéisée a ue masse isotoe m so, est doée a : h ε [.38] m so
46 Modélisatio des tasistos biolaies itégés..6. Desité d états das les bades emises La otio de desité d états est tès imotate. Elle ous emetta otammet de éati la oulatio d électos das les bades d éegie...6.. Desité d états das l esace écioque Quelle que soit la fome de la bade, les dimesios fiies du cistal imoset des coditios au limites qui discétiset les états accessibles et limitet leu ombe. Nous avos déjà obteu u ésultat similaie à oos des modes de vibatios des atomes. Si L, L y, L z sot les dimesios du cistal, les coditios au limites éiodiques (dites de o-vo Kama) imoset : c'est-à-die : (,,) ψ ( L,,) ψ (, L,) ψ (,, L ) ψ ( i L ) e ( i L ) e ( i L ) e y y z z Les valeus emises de, y et z sot doc les valeus discètes : y z π, L π y y, Ly z π z Lz où, y et z sot des eties. O déombe alos le ombe d états accessibles e teat comte du icie d eclusio de Pauli auquel sot soumis les électos, c est-à-die que su chaque état emis, o e eut mette que électos de sis oosés. A chaque volume π π π de l'esace écioque coesodet deu états L Ly Lz ossibles. La desité d états das cet esace est doc (,, ) soit, ou u volume uité du cistal : (, y, z ) 3 L L y Lz y z, π π π [.39] 4π
Elémets de hysique des semicoducteus 47 Et le ombe d états coteus das u élémet de volume 3 3 d ( ) d. 3 4π..6.. Desité d états e éegie (cistal 3D)..6... Cas d'ue bade isotoe d 3 est h Das ce cas, la elatio de disesio est de la fome ε ( ) et l élémet m 3 de volume coesodat à u bod de shèe d éaisseu d est d 4π d. Le ombe d états coteus das l itevalle [ε, ε + dε] est doc : et fialemet : 4π d 3 ( ε ) dε ( ) d ( m) 3/ ε dε 4π 3 π h 3 4 π 3 ( ε ) ( ) ε 3 / m [.4] h..6... ade de coductio du Si (bade ellisoïdale) Das ce cas la elatio de disesio est de la fome [.34]. O e déduit a u calcul aalogue au écédet la desité d'états suivate ou l esemble des 6 ellisoïdes : c 4π / ( ε ) 6 ( m m ) 3/ ε h 3 l t O eut écie cette eessio sous ue fome oche de [.4] : 4π c( ε ) ( ) 3/ ε 3 m dc [.4] h où m dc (6m l / m t ) /3 est la masse effective de desité d états de la bade de coductio. Das le Si, o a m dc,6 m.
48 Modélisatio des tasistos biolaies itégés..6..3. ade de valece O églige la cotibutio de la bade slit-off, et o somme les cotibutios des tous louds et des tous léges : 4π v 3 lh + h ( ε ) ( 3/ 3 / ) 3/ m m ε hh E défiissat la masse effective de desité d états de la bade de valece m dv (m 3/ lh + m 3/ hh ) /3, cette eessio se met sous la même fome que l'équatio [.4] c'est-à-die que celle obteue ou ue bade shéique (avec m dv,59 m das le Si) : 4π v( ε ) ( ) 3/ ε 3 m dv [.4] h..7. Niveau d éegie itoduits a les imefectios du cistal Ue imefectio du cistal est ue utue locale de la éiodicité du éseau, et doc du otetiel cistalli. Ue telle utue est due essetiellemet à la ésece, souhaitée ou o, d ue imueté, ou à u défaut d aagemet des atomes. La utue de éiodicité du otetiel cistalli modifie localemet les iveau d éegie qui euvet ête occués a les électos. Aisi, les électos se éatisset o seulemet su les bades d éegie emises du cistal afait, les iveau itisèques, mais aussi su des iveau etisèques localisés itoduits a les imefectios. Les iveau etisèques euvet se touve das les bades emises, mais ils e jouet alos atiquemet aucu ôle, e faisat qu augmete de faço égligeable ue desité d états déjà élevée. Ils euvet aussi se touve das la bade itedite, ce qui modifie sesiblemet la éatitio des électos à l équilibe et eut cofée au semicoducteu des oiétés tès itéessates. C est essetiellemet ace que l o sait cée de tels iveau e cotôlat leu quatité que les semicoducteus ot des alicatios atiques. O distigue, das la bade itedite, deu tyes de iveau etisèques : les iveau voisis des bades emises (shallow levels, voisi sigifiat tyiquemet à mois de, ev) : ces iveau iteagisset facilemet avec la bade emise oche. Ils cotôlet la coductivité etisèque du matéiau e fouissat des électos ou des tous au bades de coductio ou de valece ;
Elémets de hysique des semicoducteus 49 les iveau ofods (dee levels) : ils euvet agi idiectemet su la coductivité a comesatio de l effet de iveau oches. E evache, ils agisset diectemet su les oiétés de ecombiaiso, ou laquelle ils euvet sevi d itemédiaie, et doc su la duée de vie des oteus. Il est à ote que les iveau etisèques sot gééalemet discets. Toutefois, si les imuetés sot tès ombeuses et deses, elles euvet se touve suffisammet oches les ues des autes ou iteagi ete elles, ce qui doe lieu à la fomatio de bades d imuetés...7. Niveau associés au imuetés de doage ou u semicoducteu de la coloe IV (Si, Ge, C) Losque des imuetés sot itoduites das le éseau, elles euvet occue des ositios substitutioelles ou itestitielles. U atome e ositio itestitielle itoduit u gad désode das le éseau et costitue gééalemet ue cofiguatio istable. Nous e ous itéessos ici qu au imuetés substitutioelles itoduisat des iveau eu ofods, les seuls suscetibles de «doe» u matéiau...7.. Doage de tye N a u élémet de la coloe V (P, As) U atome de la coloe V ossède 5 électos éihéiques. Placé e site substitutioel das u éseau Si, il egage 4 de ces électos das des liaisos de valece avec 4 atomes Si voisis. Ces électos «aticiet» aisi à la bade de valece du semicoducteu. Le 5 ème électo est faiblemet lié ; il occue u iveau E D eu ofod de la bade itedite et eut ête facilemet aaché à l imueté (Figue.). Il alimete aisi la bade de coductio du cistal. Tous les atomes de la coloe V fouisset la bade de coductio de Si e électos ; ce sot des doeus, emettat de doe e électos le semicoducteu qui est alos dit de tye N.
5 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Si E C E D Si P + Si E V Si (E C - E D ) + P P + + e Figue.. Effet d u atome de hoshoe substitutioel das u éseau Si. Céatio d u iveau doeu E D das la bade itedite. Il suffit de foui l éegie E C - E D ou libée l électo e ecès qui occue ce iveau ves la bade de coductio du cistal Si. Les états de chage d u cete doeu sot : () si le iveau est occué ; (+) si le iveau est vide. Les iveau doeus usuels das Si sot : P E C - E D 45 mev, As E C - E D 54 mev, Sb E C - E D 39 mev...7... Doage de tye P a u élémet de la coloe III (, Ga, I) U atome de la coloe III a 3 électos éihéiques. E ositio substitutioelle das u éseau Si, il e eut egage que 3 liaisos de valece avec 3 des 4 atomes Si voisis. Mais a l itemédiaie d u iveau E A itoduit à oimité de la bade de valece, il eut facilemet catue u électo de valece d u aute atome Si ou fialemet échage ue 4 ème liaiso de valece avec ses voisis (Figue.). Cette catue d u électo de la bade de valece ves le iveau E A cée doc u tou das la bade de valece symbolisé a Si + su la figue. Les atomes de la coloe III, emettat de doe e tous le semicoducteu, qui est alos de tye P, sot dits acceteus. Les états de chage d u cete acceteu sot : ( ) si le iveau est occué ; () si le iveau est vide. Les iveau acceteus usuels das Si sot : Β E A - E V 45 mev, Ga E A - E V 7 mev, I E A - E V 6 mev.
Elémets de hysique des semicoducteus 5 Si E C Si Si E A Si Si + E V (E A - E V ) + + Si + Si + Figue.. Effet d u atome de boe substitutioel das u éseau Si. Céatio d u iveau acceteu E A das la bade itedite. Il suffit de foui l éegie E A - E V ou que ce iveau catue u électo de la bade de valece du cistal Si, c est-à-die ou qu il cée u tou...7.. Réductio de la lageu de bade itedite (ad ga aowig) A fot doage, le coulage ete les iveau doeus ou acceteus avec, esectivemet, la bade de coductio ou la bade de valece coduit à l'aaitio de iveau d'éegie emis sulémetaies das la bade itedite et doc à la éductio de la lageu de la bade itedite. Ce héomèe est aelé e lague aglaise «bad ga aowig». La figue.3 eésete l'évolutio de la éductio de la lageu de bade itedite E G e foctio du doage, ou le silicium. E G (mev) 7 8 9 N (cm -3 ) Figue.3. Vaiatio E G, das Si à 3 K e foctio de la cocetatio N de doats.
5 Modélisatio des tasistos biolaies itégés..7.3. Niveau ofods Das le cas du silicium, les iveau ofods sot essetiellemet céés a des imuetés qui e sot i de la coloe III i de la coloe V. La luat de ces imuetés sot d ailleus multi-valetes, c est-à-die qu elles itoduiset lusieus iveau das la bade itedite. Pa eemle l o cée u iveau acceteu situé à,54 ev sous la bade de coductio de Si et u iveau doeu à,9 ev au-dessus de la bade de valece. Ue telle imueté e eut doc as ête utilisée comme doat ca elle e eut ête facilemet ioisée qu à des teméatues tès élevées. Ces iveau ofods euvet iteagi avec les deu bades emises et doet lieu à de la ecombiaiso idiecte qui sea étudiée lus loi. C'est le mécaisme de ecombiaiso le lus efficace das Si. Pa eemle, u état acceteu ioccué (état ) eut catue u électo libe (il asse à l état ) uis u tou libe (etou à l état ). La catue d u tou libe sigifie que l électo qui occue le iveau etombe su ue lace vide de la bade de valece. L itoductio de tels cetes ecombiats eut ête bééfique ou cetais comosats foctioat e commutatio, e aidat à évacue les chages stocées de oteus libes, mais catastohique ou d autes comosats, tels que les diodes électolumiescetes qui voiet leu edemet lumieu dégadé a la ecombiaiso...8. Peulemet des iveau d éegie à l équilibe themique Das les deu aties écédetes, ous avos détemié u esemble de iveau d éegie accessibles au électos «quasi-libes» du semicoducteu. Cet esemble comed des iveau itisèques, goués e bades emises séaées a ue bade itedite, et des iveau etisèques discets itoduits das la bade itedite a, essetiellemet, des imuetés. Nous allos voi maiteat commet les électos se éatisset su ces iveau. C est u oblème de hysique statistique dot ous admettos le ésultat fodametal suivat : les électos obéisset à la statistique quatique de Femi-Diac...8.. Pobabilité d occuatio d u iveau d éegie ε..8... Statistique de Femi-Diac ou les femios Les femios obéisset au icie d eclusio de Pauli, ce qui est as le cas des bosos. Le icie d eclusio de Pauli stiule que () u état quatique e eut as ête occué a deu femios () les iveau d éegie iféieue sot eulés e ioité.
Elémets de hysique des semicoducteus 53 La statistique à laquelle obéisset les femios s obtiet e calculat, comte teu de ce icie, la éatitio des femios qui ed maimum l etoie du système de aticules. O aboutit à la statistique de Femi-Diac qui doe ou les femios (doc e aticulie ou les électos) la obabilité f(ε) ou qu u iveau d éegie ε soit occué. Cette obabilité est aussi aelée foctio d occuatio du iveau ε. Elle s écit : f ( ε ) ffd( ε ) [.43] ε E + e F T où E F est aelé iveau de Femi. D u oit de vue themodyamique, le iveau de Femi est aute que le otetiel chimique du système de aticules, c est-à-die la déivée atielle de l éegie libe a aot au ombe de aticules du système. ATTENTION.- E théoie du tasot, l éegie de Femi est lutôt aelée otetiel électochimique...8... Pobabilité de ésece des oteus das u semicoducteu à l équilibe themique Das u semicoducteu, la obabilité de ésece d'u électo au iveau ε est doée a : f( ε) [.44] ε E + e F T REMARQUE.- A 3 K, T vaut evio 5 mev. La ésece d u tou su u iveau équivaut à l absece d u électo. La obabilité de ésece d'u tou est alos doée a : f ( ε) f( ε ) [.45] EF ε + e T..8..3. Semicoducteu o dégééé Si le semicoducteu est as tès doé (tyiquemet mois que 8 cm -3 das Si), le ombe d électos et de tous ésets das les bades emises est tès iféieu au ombe de laces disoibles. Pa coséquet, la statistique de
54 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Mawell-oltzma eut s alique à tous les iveau des bades emises, c està-die que E F se touve das la bade itedite à lus de 3 T des bades emises. Il y a dégééescece losque le iveau de Femi éète das ue bade emise, situatio aalogue à celle d u métal. Das la suite, ous ous limiteos au cas des semicoducteus o dégééés. Nous auos doc à utilise les eessios suivates : électos das la bade de coductio : si E C E F >> T, soit e atique si E C > E F + 3 T : ε E f F ( ε) e [.46.a] T électos su les iveau etisèques : f( ε) [.46.b] ε E + e F T tous das la bade de valece : si E V E F << T, soit e atique si E V < E F + 3 T ε E f F ( ε ) e [.46.c] T tous su les iveau etisèques : f ( ε) [.46.d] EF ε + e T Notos efi que les foctios d'occuatio des iveau etisèques doées a [.46.b] et [.46.d] e tieet as comte de l'évetuelle dégééescece des iveau liée à la dégééescece de si. E effet ou u iveau doeu E D, il eiste deu faços de asse de l'état ioisé à l'état eute (catue d'u électo de si «u» ou «dow») mais u seul tye de tasitio est ossible ou asse de l'état eute à l'état ioisé (émissio d'u électo de si détemié). Das le cas d'u iveau acceteu il 'eiste qu'ue seule faço de asse de l'état eute à l'état ioisé (catue d'u électo de si détemié) mais deu tyes de tasitio sot ossibles ou le assage de l'état ioisé à l'état eute. O est doc coduit à modifie les oids esectifs des états eute et ioisé, ce qui coduit fialemet à :
Elémets de hysique des semicoducteus 55 + + T E E E f T E E E f F A A F D D e ) ( e ) ( [.46.e]..8.. Cocetatio des oteus das les bades emises La cocetatio d électos se calcule e itégat, su toutes les valeus ossibles de l éegie, la desité d états (établie e..6) modulée a la foctio d occuatio : + E C c d f ε ε ε ) ( ) ( où E C est le bas de la bade de coductio. Le calcul comlet, comte teu de [.46.a], coduit à : T E E N C F C e [.47] où 3/ h T m N dc C π est la cocetatio équivalete de la bade de coductio, c est-à-die la cocetatio d électos losque E F E C O calcule de même la cocetatio de tous : T E E N F V V e [.48] où 3/ h T m N dv V π est la cocetatio équivalete de la bade de valece. Das Si, N C,5 9 (T/3) 3/ et N V 9 (T/3) 3/ (e cm -3 ).
56 Modélisatio des tasistos biolaies itégés U ésultat emaquable et imotat est que le oduit est idéedat de E F à l équilibe themique. E effet, d aès [.47] et [.48] : E e V EC E e G NC NV NC NV i T T [.49] O défiit aisi la cocetatio itisèque i. Das Si à 3 K, i cm -3. Pou u matéiau u, la eutalité électique imose i, i est doc bie la cocetatio itisèque d u matéiau u. O a de lus e utilisat la elatio écédete : EF EC + EV T N l C NV Ei Pou u matéiau u, le iveau de Femi est doc as, e toute igueu, au milieu de la bade itedite. Il e est oche seulemet si N V est oche de N C, c est-à-die si la masse de desité d états des tous est oche de celle des électos. Moyeat cette aoimatio, les cocetatios d'électos et de tous [.47] et [.48] euvet s'écie sous la fome : E E e F i i T E E e i F i T [.5].3. Effet des etubatios : tasot et gééatio-ecombiaiso.3.. Phéomèes de tasot Das la atie écédete, ous avos étudié commet, à l équilibe themique, les électos se éatisset su les iveau d éegie d u semicoducteu. E fait, les électos effectuet costammet des tasitios ete iveau d éegie, et la éatitio que l o a détemiée ésulte d u équilibe statistique ete ces tasitios. Das les aagahes qui suivet ous allos discute des difféets héomèes de tasot à ati du fomalisme fodametal de oltzma. Le lecteu qui e souhaite as aofodi le détail de ce fomalisme oua diectemet asse au
Elémets de hysique des semicoducteus 57 aagahe.3..5 où sot établies les fameuses équatios simlifiées de "déive-diffusio" qui emettet de taite u gad ombe de oblèmes de tasot. Si l o etube l équilibe themique (a alicatio d u cham électique, a céatio d u gadiet de cocetatio, d u gadiet de teméatue, ), o favoise cetaies tasitios a aot à d autes et o modifie la éatitio des oteus su les iveau d éegie. Des mécaismes de etou à l équilibe, c est-à-die de elaatio, s ooset à cette etubatio. Nous abodeos essetiellemet das cette atie les etubatios eu iteses, c est-à-die qui modifiet la éatitio f (ε) ou f (ε) des oteus su les iveau sas chage le ombe de oteus ou. Le cas des etubatios iteses, c est-à-die suscetibles de cée des oteus libes e ecès a des tasitios ete bades ou ete iveau etisèques et bades emises, sea taité das le aagahe.3. suivat. L aalyse de la cométitio ete etubatio et mécaismes de elaatio coduit à deu situatios tyiques : égime tasitoie : à ati d u état de déséquilibe o suime la etubatio qui l a céé ; o obseve le etou à l équilibe caactéisé a u tems de elaatio ; égime emaet : la etubatio est maiteue costate ; il y a céatio d u état emaet de déséquilibe caactéisé a u flu (de oteus ou de chaleu) Φ. Soiet v i la vitesse du oteu i et Q i la quatité qu il tasote. le flu ésultat s écit : Φ Q i i v i [.5] Le tableau. desse ou les tois iciau tyes de etubatio, les oms du héomèe auquel elle doe lieu, de la quatité tasotée, et du flu ésultat. Etudie les héomèes de tasot, c est faie le lie quatitatif ete le flu et la etubatio. Petubatio Phéomèe Q i Flu E Coductio électique Chages électiques Desité de couat, Diffusio de oteus Paticules Flu de aticules T Coductio themique Chaleu Flu de chaleu Tableau.. Descitio des iciales etubatios et héomèes liés.
58 Modélisatio des tasistos biolaies itégés.3... Les mécaismes de elaatio des oteus : les iteactios Nous avos vu écédemmet que la stuctue de bade d'u cistal s'établit e ésolvat l'équatio de Schödige ou u électo das u cistal afait (Eq..) décit a le otetiel cistalli éiodique. Cette équatio «simle» est e fait ue aoimatio de l'équatio globale ou le système d'atomes et d'électos costituat le cistal. Cette aoimatio cosiste otammet à églige das l'hamiltoie icial les coulages ete électos, ete électos et vibatios du éseau (hoos) ou ete électos et imuetés. Ces coulages jouet ceedat u ôle tès imotat ca ils costituet les mécaismes de elaatio qui tedet à elace u système hos d'équilibe das so état d'équilibe. Ils sot taités comme de faibles etubatios (au ses de la mécaique quatique) a aot au otetiel cistalli. Autemet dit, ils e modifiet as la stuctue de bades du matéiau, c'est-à-die les états d'éegie emis, mais iduiset des tasitios ete ces états. Chaque ocessus est décit comme ue iteactio (ou collisio) istataée caactéisée a ue desité de obabilité a uité de tems ou que l'électo asse d'u état iitial à u état fial. Cette desité de obabilité s i (, ), où i eèe le ocessus cosidéé, est doée a la ègle d'o de Femi (voi a eemle [COH 73]) : s π (, ) ρ δ ( ε ε ) i M i h [.5] où M i Vi est l'élémet de matice de tasitio, Vi est le otetiel de coulage, ρ est la desité d'états fials, ε et ε sot les éegies iitiale et fiale. E sommat su tous les états fials ossibles o eut déduie de [.5] ou chaque ocessus i et ou chaque électo das u état ue féquece d'iteactio λ i ( ) et u tems de elaatio de la vitesse τ i ( ) défiis esectivemet a (ou u matéiau o dégééé das lequel les états sot faiblemet occués) : ( ) s (, ) 3 λ i i d et ( ) (, ) 3 si cosθ d [.53] τ i où θ est l'agle ete et. Pou alle lus loi das la descitio de ces ocessus il faut elicite ou chacu d'eu le otetiel de etubatio V i, ce qui sot du cade de ce chaite. Nous ous coteteos d'ue bève descitio des iteactios éodéates ou les électos das le silicium. O eut e touve u déveloemet comlet das de ombeu ouvages tels que [LUN ].
Elémets de hysique des semicoducteus 59 D'ue maièe gééale, l'effet d'ue iteactio subie a u oteu est de modifie la diectio de so vecteu d'ode et évetuellemet, das le cas d'ue iteactio iélastique, so éegie. Les iciales iteactios subies a les électos das Si sot les suivates : iteactio oteus imuetés ioisées : la féquece (ou l'ivese du tems de elaatio) de ce ocessus élastique (sas échage d'éegie) vaie e /ε 3/ et e N I, où N I est la cocetatio d'imuetés. Cette iteactio a u effet imotat su la elaatio de la vitesse, otammet das les zoes doées aisi qu'à faible teméatue où elle est édomiate ; iteactios oteus hoos : das le silicium o distigue essetiellemet deu mécaismes suivat la atue du hoo échagé : - hoo acoustique itavallée : cette iteactio met e jeu des hoos acoustiques de faible vecteu d'ode et doc de faible éegie. La féquece de ce mécaisme est ootioelle à ε /. Le ocessus est quasi-élastique avec ue déviatio isotoe du vecteu d'ode. Il joue u ôle imotat das la elaatio des oteus de faible éegie, - hoo itevallée : cette iteactio met e jeu u hoo acoustique ou otique de gad vecteu d'ode et d'éegie costate qui fait asse les électos d'ue vallée X à ue aute vallée X. La féquece de ce mécaisme iélastique est ootioelle à ε /. L'émissio de hoos itevallée est le ocessus de elaatio domiat ou les électos de fote éegie..3... Foctio de distibutio Equatio de oltzma L'état du système que fome la oulatio d'électos d'u semicoducteu est etièemet décit a la foctio de distibutio f (,, t) qui eésete à l'istat t la obabilité de ésece d'u électo au oits de l'esace écioque et de l'esace éel. La coaissace de cette foctio emet de détemie toutes les gadeus locales liées au oteus telles que la cocetatio (, t) ou la valeu totale A (, t) de toute gadeu tasotée (vitesse, éegie, ) via les eessios suivates : (, t) ( ) f (,, t) d et A( t) A( ) ( ) f (,, t) et l'eessio gééale [.5] du flu tasoté deviet : ( ) v( ) ( ) f (,, t) d, d [.54] Φ Q [.55] E ésece d ue etubatio, f s écate de la foctio à l'équilibe themique f d ue quatité f :
6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés f (,, t) f (,, t) + f(,, t) La foctio f (,, t) f où E C ( ) [.56] coesod à la statistique de Femi-Diac : ( ) ( ) ( ) ( ),,, E + t f + C ε e T E F [.57] est l'éegie otetielle (bas de bade de coductio) et ε ( ) l'éegie ciétique des électos. Le but est doc de détemie l évolutio das le tems de f das u esace à 6 dimesios (l esace des hases). Cette évolutio est décite a l'équatio de oltzma qui s'établit a eemle (ou u système uidimesioel) e écivat la cosevatio duat l'itevalle de tems δt du ombe de oteus iitialemet coteu das l'élémet de volume d d. Duat δt, la foctio f s'accoît de δf. O a doc : f où t [.3] : δf d d c + [ f (,, t) f ( + d,, t) ] d δt d dt d dt f t [ f (,, t) f (, + d, t) ] δt d + d d δt eésete la cotibutio des collisios. Aisi, comte teu de la elatio δf δt + f f (,, t) f ( + d,, t) (,, t) f (, + d, t) d d v F h f + t E faisat tede les élémets δt, d, et d ves et e gééalisat à u cistal 3D, ous obteos l'équatio de oltzma : c + c df dt v f F h f f + t c [.58] La quatité df/dt se décomose doc e ue somme de tois temes, qui coesodet esectivemet à la cotibutio des gadiets de la foctio de
Elémets de hysique des semicoducteus 6 distibutio, celle des foces aliquées F, et celle des iteactios (ou collisios). Comte teu de [.5], le teme de collisio eut ête elicité aisi : f t c f f (,, t) ( f (,, t ) s(, ) d (,, t) ( f (,, t ) s(, ) d [.59] où ecoe das le cas d'u semicoducteu o dégééé (faibles obabilités d'occuatio) : f t c f (, t) s(, ) d f (,, t) s(, ) d, [.6] APPROXIMATION DE OLTZMANN.- Les collisios ot tedace à amee la foctio f ves so état d équilibe f ; ou calcule leu cotibutio à l évolutio temoelle de f, ous ous laços das l hyothèse de faibles etubatios, c est-à-die que la vitesse de etou à l équilibe est ootioelle à l écat f f, avec ou facteu de ootioalité /τ, où τ est u tems de elaatio déedat a ioi de l'éegie. C est l hyothèse de oltzma. Aisi, df dt c f f f τ τ [.6] df Si o se lace e égime emaet,. O aboutit alos, e assemblat dt [.58] et [.6], à l équatio de oltzma simlifiée : v f f + F f + h τ [.6] La cotibutio de f à l itégale [.55] doat l eessio gééale du flu ésultat est ulle ca il y a as de flu à l équilibe themique. Avec les otatios et les hyothèses de ce aagahe, l eessio [.55] deviet doc : ( ) v( ) ( ) f (,, t) d Φ Q [.63] Nous allos maiteat alique l équatio de oltzma au calcul de la coductivité électique et du coefficiet de diffusio des oteus.
6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés.3..3. Coductio électique e cham faible (E < V.cm - ) La etubatio est ue foce électostatique F qe, la quatité tasotée est la chage électique -q, le flu ésultat est la desité de couat J, c est-à-die, d aès [.63] : J [.64] ( ) q v( ) ( ) f(,, t) d Nous allos faie le calcul de J das le cade de l'aoimatio de oltzma et des hyothèses suivates : (i) semicoducteu o dégééé, (ii) de doage et de teméatue uifome, et (iii) das lequel ège u cham électique faible, costat et uifome. Nous suoseos de lus que (iv) les électos se touvet su ue bade d'éegie aabolique et isotoe, ce qui coesod lutôt au cas de GaAs. Nous gééaliseos esuite le ésultat au cas des bades ellisoïdales du Si. Du fait de l'hyothèse (ii), l'équatio de oltzma [.6] se éduit à : f F f + h τ [.65] L'hyothèse de cham faible (iii) emet, ou le calcul de f, de cosidée que f f + f f. Nous avos alos ou u semicoducteu o dégééé : f f h ε ε T f v ce qui, eoté das [.65], coduit à l'eessio de f : q ( ) ( ) f ( ) E v f τ ε [.66] T E eat ou ae O la diectio du cham, la desité de couat [.64] deviet : q J E τ d [.67] T ( ε ) f ( ) v ( ) La bade d'éegie cosidéée état aabolique et isotoe (hyothèse (iv)), il est commode de emlace l'itégatio su a ue itégatio su l'éegie ε. De
Elémets de hysique des semicoducteus 63 lus, l'hyothèse de faible cham imlique que l'éegie ciétique moyee des oteus este égale à sa valeu d'équilibe themodyamique, et équitablemet éatie suivat toutes les diectios. Aisi, calculée su toute foctio de distibutio, la valeu moyee de v eut s'écie <v > <v >/3 <ε>/(3m*). Nous ouvos doc emlace das [.67] v a ε/(3m*). Comte teu de la desité d'états e éegie (elatio [.4]), la desité de couat [.67] deviet alos : q J E τ ( ε ) f ( ε ) ε ( ε ) dε T 3m * ce qui eut égalemet s'écie : J q T E 3m * τ ( ε ) ε f ( ε ) ( ε ) ε f ( ε ) ( ε ) dε dε ε f f ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) dε dε c'est-à-die : q τε J E ε [.68] T 3m * ε O, ε,5 T. O utilise de lus l'abus d'écitue suivat qui simlifie les τε otatios : τ. Cette quatité τ est homogèe à u tems mais 'est as ε igoueusemet le tems de elaatio moye. La desité de couat [.68] s'écit alos : J q τ m* E O etouve aisi la loi d'ohm qui elie la desité de couat au cham électique a la coductivité σ. O défiit de lus la mobilité a le aot µ v / E. O a alos :
64 Modélisatio des tasistos biolaies itégés J J q τ σ E où σ qµ avec µ m * σ E où σ qµ avec µ q τ m * (cas des électos) (cas des tous) [.69] Das le cas des vallées aisotoes (ellisoïdales) du silicium, d ue maièe gééale, l aisotoie du diagamme de bades du silicium et du tems de elaatio amèe à doe ue fome tesoielle au coefficiet de tasot qui elie le flu à la etubatio. Ce teseu est as focémet diagoal, c est-à-die que le flu tasoté est as focémet coliéaie à la foce aliquée. Toutefois, ou cetais coefficiets de tasot, les syméties du cistal emettet de doe ue fome scalaie à ce teseu. C est le cas de la coductivité, à coditio d utilise ue ouvelle masse effective, aelée masse effective de coductivité. E effet, e faisat le même calcul que écédemmet ou chacu des si ellisoïdes et e sommat les difféetes cotibutios, o obtiet, si l'o fait ue aoimatio isotoe du tems de elaatio : J q τ E [.7] m cc où la masse effective de coductivité m cc est défiie a : m cc 3 ml + m t [.7] Il faut faie attetio à e as cofode la masse effective de coductio m cc avec la masse effective de desité d états m dc défiie das le aagahe..6. E effet, avec m l,96 m et m t,9 m, o a m dc,6 m et m cc,6 m..3..4. Diffusio La etubatio est u gadiet satial de cocetatio de oteus, et la quatité tasotée est u ombe de aticules. D ue maièe gééale das u ocessus de diffusio, le flu ésultat s écit doc, d aès [.63] : ( ) ( ) f (,, t) d Φ v [.7] Les oteus état chagés électiquemet, ce flu se taduit bie sû a ue desité de couat. Nous allos faie le calcul de Φ das le cade des hyothèses
Elémets de hysique des semicoducteus 65 suivates : (i) semicoducteu o dégééé, (ii) absece de foce eecée su les oteus (iii) faible etubatio de la foctio de distibutio, et (iv) bade aabolique isotoe. L hyothèse (ii) éduit l équatio de oltzma [.6] e égime emaet à : v f f + τ Les hyothèses (i) et (iii) ous emettet de cosidée, ou le calcul de que : f E E E E ( ) ( ) f F ε F C C ε, e e e T T T ( E E ) [.73] où Ε C - ε e vaie as satialemet. O a doc, comte teu de la elatio [.47] du chaite : f f f ( E E ) T F C T F C Pa coséquet, d aès cette même elatio [.47], f est doée, ou u gadiet uidimesioel a : f d f v [.74] d τ O calcule alos le flu [.7] de faço aalogue au calcul de la desité de couat das l étude de la coductivité : d T Φ ( ) f ( ) ( ) d d m τ ε ε ε ε ε τ 3 m d d D et le flu s écit fialemet comme ue loi de Fic où l o a itoduit le coefficiet de diffusio D eliat le flu à sa cause. Aisi, le coefficiet de tasot lié à la diffusio est elié à la mobilité, qui caactéise le héomèe de coductio, a la elatio d Eistei : (électos) et T D µ (tous) [.75] q T D µ q d d f
66 Modélisatio des tasistos biolaies itégés O obtiet l eessio gééale du couat de diffusio ou les deu tyes de oteus : J q D J q D [.76] Das le cas de la bade de coductio aisotoe du silicium, o obtiet le même ésultat que écédemmet e emlaçat, das l eessio du coefficiet de diffusio, la masse effective m a la masse effective de coductivité m cc défiie a la elatio [.7]. Les valeus des coefficiets de tasot das Si o doé à 3 K sot : µ 5 cm V - s -, µ 5 cm V - s -, D 37,5 cm s -, et D,5 cm s -..3..5. Equatios de déive-diffusio E ésece à la fois d u cham électique et d u gadiet de cocetatio, o a doc, e assemblat [.69] et [.76] : J qµ E + qd J qµ E qd [.77] Ce sot les équatios de déive-diffusio, lagemet emloyées ou l étude du tasot das les disositifs semicoducteus. Das l utilisatio de ces équatios, il faut faie tès attetio au fait que le cham électique qui y figue est as u cham électomoteu, c est-à-die qu il est as lui-même esosable d u couat mesuable. Il suffit ou s e covaice de cosidée le cas classique d u semicoducteu ihomogèe, a eemle ue joctio PN. A l équilibe, c est-à-die e l absece de difféece de otetiel aliquée ou de toute aute etubatio etéieue, le couat qui tavese la stuctue est igoueusemet ul. Ceedat, les oteus des zoes de fote cocetatio ot tedace à diffuse das les égios où ils sot mioitaies, ou das les zoes de lus faible cocetatio. Des couats de diffusio eistet doc bie das la stuctue, mais u cham électique s établit localemet ou s oose à la diffusio. A l équilibe, les comosates de déive et de diffusio euvet ête toutes les deu tès fotes localemet, mais e se comesat afaitemet.
Elémets de hysique des semicoducteus 67.3..6. Cham électomoteu Nous avos déjà metioé que le iveau de Femi, du oit de vue de la themodyamique, 'est aute que le otetiel chimique du système de aticules. Il est doc uifome ou u semicoducteu au eos, et idetique ou les électos et les tous. E ésece d'ue etubatio etee, cetaies zoes du semicoducteu, ou du disositif semicoducteu, e sot lus à l'équilibe et les cocetatios de oteus sot modifiées das ces zoes. Pou coseve les eessios [.47], [.48] et [.5] qui doet les cocetatios de oteus, il faut défii des iveau de Femi difféets ou les électos et les tous, esectivemet E F et E F, aelés quasi-iveau de Femi. Les couats d'électos et de tous défiis e [.77] s'écivet alos, comte teu de [.47] : J qµ E + qd J qµ E qd O, EC EV [.75] : T T [ EF EC ] [ E E ] V F qe, ce qui ous doe, comte teu de la elatio d'eistei σ J EF q σ J EF q Ces eessios motet que EF q chams électomoteus ou les électos et les tous. et EF q [.78] sot les seuls véitables Nous eviedos u eu lus loi das le aagahe.4 su la otio de quasi-iveau de Femi, e l'itoduisat a ue aoche themodyamique..3..7. Coductio e cham fot.3..7.. Tasot statioaie Si l'o se lace e égime emaet (cham costat) et qu'u état d'équilibe stable est atteit, le tasot est dit statioaie. La vitesse statioaie est alos la vitesse d'équilibe atteite a ue oulatio de oteus lacés das u cham
68 Modélisatio des tasistos biolaies itégés doé. Elle ésulte d'u équilibe ete l'accéléatio a le cham et le feiage a les collisios avec le éseau (hoos) et avec les imuetés. Pou établi la otio de mobilité, ous avos suosé que le cham était suffisammet faible (< V.cm - ) ou qu'il 'y ait as d'échauffemet des oteus. Cela sigifie que l'éegie gagée a les électos ete deu collisios est e moyee totalemet évacuée duat la collisio. Ce 'est lus le cas si le cham est suéieu à V.cm -. L'éegie des électos augmetat, la féquece des collisios augmete égalemet, ce qui coduit à ue chute de la mobilité, uis à ue satuatio de la vitesse de l'esemble des oteus à v sat 7 cm.s - (Figue.4). Vitesse v v sat 7 cm.s - Cham électique E Figue.4. Allue de la coube vitesse-cham das Si das le cas d'u tasot statioaie..3..7.. Tasot o statioaie Les oteus sot dits e suvitesse losqu'ils atteiget ue vitesse suéieue à la vitesse statioaie coesodat au cham qu'ils essetet. Le héomèe est obsevé e cas de vaiatio butale du cham. Il faut alos u cetai tems et doc ue cetaie distace ou que les oteus atteiget leu ouvelle vitesse statioaie. Il y a doc ue zoe itemédiaie (e tems et e esace) où les électos e sot as das u état statioaie. Ils euvet alos se etouve e suvitesse, c'est-à-die avec ue vitesse moyee sesiblemet suéieue à v sat. Ce héomèe est tès imotat das des disositifs dot la zoe active est de dimesio tès faible (tasisto à effet de cham à gille coute, tasisto biolaie à base coute) : les électos euvet ête e suvitesse su ue gade atie ou su la totalité de la zoe active. Le cas «ultime» du tasot o statioaie est le tasot balistique, c'est-à-die le tasot sas iteactio. Il est «obsevable» à 3 K su des distaces iféieues à, µm : cetais oteus taveset ue zoe e e subissat aucue iteactio ; leu tasot se fait alos à éegie totale costate : toute l'éegie otetielle due au cham est tasfomée sas ete e éegie ciétique ;
Elémets de hysique des semicoducteus 69 les vitesses atteites euvet ête tès élevées, suéieues à 6 7 cm.s -..3.. Céatio de oteus e ecès et ecombiaiso O se lace maiteat das le cas de etubatios «dues» qui modifiet le ombe de oteus libes das le cistal. Le héomèe de gééatio-ecombiaiso eut ête cosidéé comme le ésultat de la sueositio de lusieus ocessus. Les iciau mécaismes sot les suivats : gééatio-ecombiaiso otique (tasitios de hotos) et ioisatio a imact, ecombiaiso o adiative (tasitio de hoos), ecombiaiso à tois aticules (ecombiaiso Auge) et ecombiaiso e suface. La gééatio-ecombiaiso est caactéisée a ue vitesse ette G, doée e cm -3.s -, eésetat la cocetatio de oteus céés a secode. Elle s'eime alos comme la somme des difféetes cotibutios : G G otique + G imact + G SRH + G Auge + G suface [.79].3... Céatio de oteus e ecès.3... Céatio de oteus a éclaiemet Ce ocessus est ue tasitio diecte des oteus ete la bade de coductio et la bade de valece. La gééatio coesod au assage d'u électo de la bade de valece à la bade de coductio a u gai d'éegie aotée a u hoto. De même, la ecombiaiso adiative est le héomèe ivese de l'ecitatio a éclaiemet, c est-à-die que l éegie est libéée sous la fome d émissio de hotos. Ce mécaisme est tès efficace das les semicoducteus à bade itedite diecte. Il est eloité das les disositifs électolumiescets. La vitesse ette de gééatio-ecombiaiso est doée a : G otique C ot ( i - ) [.8] C ot état le tau de catue et d'émissio otique, caactéistique du matéiau..3... Céatio de oteus a adiatio ioisate Ce héomèe touche essetiellemet, mais as uiquemet, les cicuits embaqués das les avios et les satellites. Nous e taiteos as ce cas ici.
7 Modélisatio des tasistos biolaies itégés.3...3. Céatio de oteus a oteus chauds (cham électique itese) Ce héomèe, aelé aussi ioisatio a imact, se oduit ou des chams électiques suéieus à V.cm -, a eemle das la zoe de chage d esace d ue joctio e ivese. U oteu accéléé a u tel cham voit coîte so éegie ciétique jusqu à ouvoi se comote comme ue adiatio ioisate, c est-à-die qu il eut céde ue atie de so éegie ou cée ue aie électo-tou. Les oteus aisi céés subisset égalemet l accéléatio du cham électique et euvet cée d autes aies, ce qui doe lieu au héomèe d avalache, uis au claquage de la joctio. Deu aamètes caactéiset le héomèe d'ioisatio a imact : Le seuil d éegie d ioisatio qui est l éegie ciétique miimum que doit acquéi u oteu ou cée ue aie. Cette éegie est sesiblemet suéieue à la lageu de bade itedite ; Le coefficiet d ioisatio α (cm - ) qui doe le ombe de aies céées a cm acouu a u oteu chaud. Ce coefficiet déed diectemet de l éegie du oteu, gadeu ceedat eu accessible eéimetalemet. Aussi ce coefficiet d ioisatio est-il doé e foctio du cham électique. Des modèles semi-emiiques emettet de l évalue (voi a eemle [THO 8]). La vitesse ette de gééatio est doée a : Gimact [ α J + α J ] [.8] q où α et α sot les coefficiets d'ioisatio et J et J les desités de couat d'électos et de tous..3... Recombiaiso.3... Descitio des mécaismes Losqu il y a ecès d électos libes et de tous libes a aot à l équilibe themique, difféets ocessus de ecombiaiso itevieet ou établi les cocetatios d équilibe. O distigue la ecombiaiso diecte, ou bade à bade, et la ecombiaiso idiecte, qui se fait a l itemédiaie de iveau ofods (figue.5).
Elémets de hysique des semicoducteus 7 E C diecte idiecte E V Figue.5. Pocessus de ecombiaiso diecte et idiecte. La ecombiaiso libèe de l éegie ; les mécaismes se difféeciet a la maièe de dissie cette éegie. O e distigue essetiellemet tois : ecombiaiso o adiative : l éegie libéée set à ecite des modes de vibatio du éseau cistalli, c est-à-die que des hoos sot émis (figue.6.a). Il y a échauffemet du cistal. La ecombiaiso idiecte o adiative est le mécaisme éodéat das le silicium. Das du Si tès u, la duée de vie des oteus, τ ou τ, est de l ode de ms. Elle eut descede à evio s si l o itoduit des cetes de ecombiaiso idiecte, a eemle a diffusio d o ou de latie. Das le cas de ecombiaiso idiecte, la vitesse ette de gééatio-ecombiaiso est doée a le modèle de Shocley-Read-Hall, soit : i GSRH [.8] τ ( + i ) + τ ( + i ) ecombiaiso Auge : l éegie libéée est fouie à u oteu libe (figue.6.b) ; c est le mécaisme ivese de l ioisatio a imact. Il est imotat qu à teméatue élevée ou e ésece d u cham fot. La vitesse ette de gééatio-ecombiaiso est doée a : G Auge ( i - ) (C + C ) [.83] où C et C sot les coefficiets Auge, esectivemet de l'ode de 3-43 m 6 s - et -43 m 6 s - à teméatue ambiate.
7 Modélisatio des tasistos biolaies itégés E C hω E V (a) (b) Figue.6. Les mécaismes de ecombiaiso ; (a) o adiative, (b) Auge. ecombiaiso e suface : e suface, ou cote ue iteface avec u diélectique, la utue de éiodicité cistallie itoduit des états localisés dot les iveau euvet se touve das la bade itedite (figue.7). Ces états favoiset ue ecombiaiso sueficielle, a u ocessus aalogue à la ecombiaiso idiecte écédemmet décite. E C Ai ou diélectique } Cetes d iteface E V Figue.7. Recombiaiso sueficielle. La vitesse ette de gééatio-ecombiaiso sueficielle est doée a : G s N c Rs ( ) ( + ) + c ( + ) s c c i s s s i i [.84] où N Rs est la desité sufacique des cetes d iteface (cm - ), c et c sot les coefficiets de catue e cm 3.s - das le silicium, et s et s sot les cocetatios volumiques (cm -3 ) des oteus à la suface.
Elémets de hysique des semicoducteus 73.4. Tasot das les disositifs L'étude du matéiau semicoducteu qui a été ésetée jusqu'à éset s'est essetiellemet éoccuée de la éatitio des électos et des tous su les dives iveau d'éegie offets das le cistal. O a, jusque là, cosidéé les ositios elatives de ces difféets iveau, et c'est ouquoi les cocetatios et d'électos et de tous ot u ête eimées (cf. eessio [.5]) e foctio de la difféece ete E F (iveau de Femi) et E i (iveau itisèque). E E F i e T E E i i e T i F [.85] Tout état elatif, o 'avait as besoi d'ue éféece commue ou les éegies. Pou l'étude des disositifs, ils sot soumis à des actios etéieues (olaisatio, éclaiemet...). Il deviet doc écessaie de eée les éegies a aot au milieu etéieu e choisissat ue oigie commue. O cosidèe u gaz d'électos costituat u système themodyamique e iteactio avec le milieu etéieu. La vaiatio d'éegie itee U losqu'o accoît la quatité du ombe de aticules d et d ( et vaiables etesives) est doée ou ue éactio isotheme et adiabatique (dt et δq ) a l'eessio suivate (ou d ) : du µ c d -qψ d ~ µ d [.86] avec les vaiables itesives : µ c : éegie otetielle chimique des électos ; Ψ : otetiel électostatique itoduit a le milieu etéieu ; ~ µ : éegie otetielle électochimique des électos. O défiit de même ou les tous les éegies µ c et elatios : ~ µ. O a efi les µ ~ µ ~ µ µ c c qψ + qψ [.87]
74 Modélisatio des tasistos biolaies itégés.4.. Système à l'équilibe themodyamique Le système est à l'équilibe themodyamique losqu'il 'échage as d'éegie avec le milieu etéieu (bila ul des échages d'éegie avec l'etéieu). O mote que la coditio écessaie est que les vaiables itesives T, ~ µ, ~ µ e vaiet as avec la ositio : T ( ) costate ~ µ ( ) costate ~ µ ( ) costate [.88] De lus, o mote e themodyamique que : µ c µ c T T l i l i [.89] E utilisat les elatios [.85] o obtiet : µ c EF Ei µ c Ei EF [.9] où E i est a défiitio associé à Ψ : E i -qψ [.9] Le sige est covetioel ca l'o défiit u diagamme d'éegie ou les électos. O a doc : µ ~ µ c qψ EF µ ~ µ c + qψ EF [.9] A l'équilibe themodyamique les eessios [.88] emettet alos d'affime que le iveau de Femi E F est lat ou u cistal semicoducteu au eos.
Elémets de hysique des semicoducteus 75 Losque le cistal 'est as uifomémet doé, les quatités et vaiet, doc µ c et µ c aussi. Les bades se coubet autou du iveau de Femi. E effet, vaiat le log du cistal, µ c vaie aussi (eessio [.89]), et Ψ (eessio [.87]) s'ajuste ou que ~ µ (ou E F ) este costat. Les vaiatios de E i le log du cistal motet qu'il eiste u gadiet de otetiel le log du baeau et doc u cham électostatique : dei E [.93] q d A l'équilibe, ce cham s'oose à la diffusio des oteus, les deu couats de diffusio et de coductio eistet et se comeset afaitemet ; c'est ouquoi il 'y a as de couat global..4.. Système hos d'équilibe D'aès ce qui écède, u état de déséquilibe, c'est à die u gadiet du otetiel électo-chimique, eut avoi diveses causes, et otammet : l'alicatio d'ue difféece de otetiel iduisat u gadiet de Ψ ; la gééatio locale de oteus e ecès (adiatio ioisate, a eemle) iduisat u gadiet de µ c. Das l'hyothèse de etubatios suffisammet faibles, les flu de oteus ésultats sot ootioels au gadiet des vaiables itesives du système. O obtiet aisi, das le cas d'u semicoducteu isotheme les desités de couat suivates : ~ µ J σ q ~ µ J σ q [.94] avec σ et σ les coductivités esectivemet des électos et des tous. O emaque que ou u système à cocetatio costate doc o etouve bie la loi d'ohm J σe. µ ~ q Ψ,
76 Modélisatio des tasistos biolaies itégés O défiit les seudo-otetiels de Femi tous, esectivemet : ϕ et ϕ ou les électos et les ~ µ ϕ q ~ µ ϕ q [.95] Alos qu'à l'équilibe ces otetiels étaiet égau, ils 'ot maiteat lus de aiso de l'ête e tous oits du disositif e ésece d'ue etubatio. O est doc ameé à défii localemet u quasi-iveau de Femi ou chaque tye de oteu a : EF µ ~ EF µ ~ [.96] O a alos : σ J σ ϕ EF q σ J σ ϕ EF q [.97] O etouve ici les eessios [.78] et le fait que E F et E F sot les seuls véitables chams électomoteus ou les oteus libes. La difféece de otetiel électomoteu aliquée ete deu oits d'u cistal au moye d'u gééateu etéieu sea doc égale à la ciculatio de E F ou E F : [ E ( A) E ( ) ] VA V ϕ F F [.98] q Les cocetatios de oteus estet liées au otetiels chimiques et sot doées a : µ E E e c e F i i i T T µ c Ei EF e i i e T T [.99]
Elémets de hysique des semicoducteus 77 O a doc maiteat das le cas gééal : EF EF i e T [.].4.3. Equatios à ésoude ou l'étude des disositifs.4.3.. Eessio des couats Les aties elatives au électos des eessios [.87] et [.89] euvet ête eotées das la elatio [.94] ce qui doe : T J σ σ Ψ [.] q Comme σ qµ et deviet doc : J qd + qµ E µ T D µ (cf. [.69] et [.75]), la elatio [.] q ( E ) F [.] et o a de même ou le couat de tous : J qd + q µ E µ ( E ) F [.3] O etouve doc bie les elatios [.77] et [.78] doées écédemmet. O eut faie égalemet deu commetaies : à cham électostatique ul, il eut y avoi u couat s'il eiste u gadiet de cocetatio ; la desité de couat J eut ête ulle même e ésece d u cham T électostatique si celui-ci est de la fome : E. q L'eistece d'u couat suose ue vaiatio satiale de la ositio des seudo-iveau de Femi, dot les gadiets sot des chams électomoteus.
78 Modélisatio des tasistos biolaies itégés.4.3.. Equatio de cotiuité L'équatio dite de cotiuité est tès imotate e théoie des disositifs. Elle eime la cosevatio locale de la desité de chages, comte teu des desités de couats et des héomèes de gééatio-ecombiaiso qui eistet à l'istat t. Soit ue tache comise ete et + d d'u semicoducteu de tye N das laquelle la cocetatio d'électos est. Pedat le tems dt : il ete J ( + d) dt chages das la tache ; il sot J () dt chages de la tache ; si G (,t) est la vitesse ette de gééatio-ecombiaiso des électos e cm -3 s -, o géèe la chage qg (,t) d dt das la tache. Le bila de la vaiatio de chage d'électos ete et + d est doc : q [ (, t + dt) (, t) ] d [ J ( + d, t) J (, t) ] dt + q G ( t) d dt, Le tau de vaiatio de la cocetatio d'électos est doc : (, t) ( t) J, G (, t) + t q E océdat de même ou les tous, o obtiet fialemet les deu équatios de cotiuité : t t (, t) (, t) G G q q (, t) + J (, t) (, t) J (, t) [.4] Le sige devat le gadiet de couat est : ositif ou les électos ca si le couat dimiue avec, il sot lus d'électos qu'il 'e ete ; égatif ou les tous ca si le couat dimiue avec, il ete lus de tous qu'il 'e sot. Pou étudie u disositif, il faut ésoude les deu équatios de cotiuité aisi que l'équatio de Poisso :
Elémets de hysique des semicoducteus 79 ( ε sc E) q( N D + N A ) [.5] où ε sc est la emittivité diélectique absolue du semicoducteu cosidéé, N A et N D les cocetatios esectives e doats acceteus et doeus. Ce système de tois équatios à tois icoues est gééalemet imossible à ésoude aalytiquemet. O est alos coduit à effectue des aoimatios, ou bie à mette e œuve ue méthode de ésolutio uméique. O eut ceedat y avei si o fait l'ue ou l'aute des aoimatios suivates : o se lace das ue zoe de chage d'esace (ZCE) où l'o eut églige les desités d'électos et de tous. O ésout alos l équatio de Poisso qui emet de détemie l'allue du otetiel ; o se lace das ue zoe de quasi eutalité (ZQN) où la desité des oteus majoitaies (électos das ue zoe de tye N, ou tous das ue zoe de tye P) est égale à la desité des atomes d'imuetés et où le cham électique est ul. O ésout alos les équatios de cotiuité. Evaluos a eemle la éactio d'u système à ue etite etubatio locale, satiale ou temoelle das ue ZQN de tye N ou laquelle O est la seule diectio d'itéêt. O eut alos écie G : (, t) J (, t) t q E q( ) ε sc [.6] où est la cocetatio e électos à l'équilibe. De lus, o a : (, t) J σe + qd [.7] E suosat que la zoe cosidéée ésete ue coductivité uifome, le système [.6] se éduit à : σ ( ) + D [.8] t ε sc Soit, e cosidéat que σ qµ σ q µ, et e défiissat : σ + D t ε sc [.9]
8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Nous allos cheche les solutio de cette équatio difféetielle das deu cas aticulies qui ous coduios à défii deu gadeus hysiques imotates : le tems de elaatio diélectique et la logueu de Debye..4.3... Petubatio temoelle : tems de elaatio diélectique Soit ue etubatio temoelle à t. O a. L'équatio [.9] deviet doc : σ + t εsc [.] La solutio de cette équatio difféetielle du emie ode est : σ t t e e [.] εsc τ D ε ε où τ sc sc D est le tems de elaatio diélectique : le déséquilibe est σ qµ elaé avec la costate de tems caactéistique τ D. Su la figue.8 est tacé le tems de elaatio diélectique τ D à mobilité costate e foctio de la cocetatio de oteus. O eut ote que τ D, tems de etou à la eutalité électique, est de l'ode de la s, voie ettemet iféieue à la s ou de fots doages. O eut aisi suose que la eutalité diélectique est toujous véifiée das les zoes les lus coductices d'u disositif.
Elémets de hysique des semicoducteus 8 τ (s) D, µ 3 cm.v -.s - 6 4 48 96 - -3-4 5 6 7 8 9 (cm-3 ) Figue.8. Tems de elaatio diélectique τ D à mobilité costate..4.3... Petubatio satiale : logueu de Debye Soit ue etubatio satiale e. O a. L'équatio [.9] t deviet doc : σ D ε sc [.] La solutio de cette équatio difféetielle du secod ode est : q e e [.3] εsct LD ε T où L sc D q est la logueu de Debye. Le déséquilibe est elaé su ue logueu caactéistique L D. Su la figue.9 est tacée la logueu de Debye e foctio de la cocetatio de oteus. Notos que L D eut atteide des valeus tès faibles, iféieues au m, das des zoes tès doées. Ceci ose oblème quad o ésout uméiquemet l'équatio de Poisso das u disositif uisque la dimesio des mailles utilisées
8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés ou décie le comosat doit au lus ête de l'ode de la logueu de Debye (das le cas cotaie le système e eut évolue libemet ves u état d'équilibe et des vaiatios atificielles de otetiel électique euvet aaaîte). L D (m), 5 6 7 8 9 (cm-3 ) Figue.9. Logueu de Debye e foctio de la cocetatio de oteus à 3 K das Si..5. ibliogahie [COH 73] COHEN-TANNOUDJI C., DIU., LALOË F., Mécaique quatique, Ed. Hema, 973. [KIT 83] KITTEL C., Physique de l état solide, Ed. Duod, 983. [LUN ] LUNDSTROM M., Fudametals of caie tasot, Ed. Cambidge Uivesity Pess,. [THO 8] THORNER K.K., «Alicatios of scalig to oblems i high-field electoic tasot», J. Al. Phys., Vol. 5,,. 79-9, Javie 98. [YU 96] YU P. et CARDONA M., Fudametals of semicoductos, Ed. Sige, 996.
De la joctio PN au tasisto biolaie.. Eemle de la joctio PN... Réalisatio : ofils de doage Pou éalise ue diode à joctio PN, o at d'u substat semicoducteu (a eemle de tye P), et l'o effectue des oéatios qui vot localemet ivese le tye du semicoducteu. La diode occuea ue mice couche à la suface du semicoducteu (comme d'ailleus tous les comosats). O eut alos classe les méthodes de fabicatio e deu goues : o itoduit das u matéiau éalablemet doé des imuetés de tye oosé au doage iitial. Ce sot les méthodes de diffusio ou d'imlatatio : - diffusio : e déosat e suface du semicoducteu ue fote cocetatio d'ue esèce chimique, o cée u fot gadiet de cocetatio de cette esèce qui ted à diffuse à l'itéieu du matéiau. Pou que la diffusio uisse se oduie, il faut cée des lacues das le semicoducteu a agitatio themique. Das le cas du silicium, o le ote à des teméatues allat de 9 C à C. Les ofils de doage obteus a diffusio sot soit gaussie, soit e foctio eeu comlémetaie (efc() si o maitiet ue desité costate e suface) (Figue.). U diffusio eu ofode emet d'obtei ue joctio abute (assage busque d'ue égio de tye P à ue égio de tye N). Das le cas d'ue diffusio ofode, la tasitio ete la égio de tye P et celle de tye N est lus douce, ce qui doe lieu à ue joctio gaduelle. - imlatatio : o lace le semicoducteu das u accéléateu de aticules et o le bombade avec des ios. Le doage déed du flu et de l'éegie des ios mais le éseau est comlètemet disloqué. Il faut le ecostuie a des ecuits (aujoud'hui ecuits «flash»). Les ofils de doage obteus a imlatatio ioique sot des gaussiees avec u maimum éloigé de la suface (cf. Figue.), le deuième goue de méthodes cosiste à faie coîte, su u matéiau sevat de substat, ue couche de semicoducteu coteat la quatité equise de doats et assuat la cotiuité des éseau cistallis à la tavesée de l'iteface. O ale alos d'éitaie, et o obtiet das ce cas ue joctio lutôt abute. Das les deu cas, u ecuit themique emet d'active les doats, c'est à die à les lace de faço otimale e sites substitutioels du Si. Chaite édigé a Sylvie GALDIN-RETAILLEAU, Philie DOLLFUS et Aaud OURNEL.
84 Modélisatio des tasistos biolaies itégés N D, N A (cm -3 ) 8 4,,,3 Pofodeu (µm) Figue.. Pofils de doage obteus a diffusio (tait lei) ou a imlatatio (tiets). O voit doc qu'il est ossible d'obtei deu tyes iciau de ofil de doage : les ofils abuts et les ofils gaduels.... Joctio PN à l'équilibe themodyamique Nous allos, das u emie tems, ésete la théoie de Shocley qui cosidèe la joctio PN comme l'emilemet de tois zoes : ue zoe quasi eute de tye P (ZQN) ; ue zoe de chage d'esace (ZCE) ; ue zoe quasi eute de tye N (ZQN). De lus, elle eose su u cetai ombe d'hyothèses que ous souligeos au assage. Les hyothèses de déat sot les suivates (illustées a la Figue.) : joctio abute ; stuctue uidimesioelle ; doages uifomes.
De la joctio PN au tasisto biolaie 85 Cocetatios e doats N D + N D N A N A + ZQN P ZCE ZQN N -X - + +X Figue.. Pofil de doage abut cosidéé ou l'étude de la joctio PN. Ue joctio PN est à l'équilibe themodyamique losque la olaisatio aliquée ete les égios P et N est ulle et que la joctio est das l'obscuité.... Fomatio de la Zoe de Chage d'esace (ZCE) L'équilibe themodyamique de la joctio ésulte des difféetes étaes du ocessus décit ci-dessous : diffusio des oteus majoitaies ves les zoes où ils sot mioitaies ; ecombiaiso des oteus mioitaies e ecès ; céatio de at et d'aute de la joctio d'ue zoe de chage d'esace ZCE désetée e oteus et globalemet eute ; établissemet d'u cham électostatique de N ves P qui s'oose à la diffusio des oteus majoitaies. L'état de eos de la diode ésulte doc de l'équilibe ete deu tedaces atagoistes : la diffusio sous l'effet d'u gadiet de cocetatio ; la déive sous l'effet du cham électostatique. Les fotièes de la ZCE sot défiies su la Figue. a - et. La ciculatio de - à du cham défiit ue difféece de otetiel (dd) électostatique Ψ D (baièe ou otetiel de diffusio). Sa atue électostatique (et o électochimique) fait qu'elle e eut ête mesuée à l'aide d'u voltmète.
86 Modélisatio des tasistos biolaies itégés... Etude quatitative... Allue du diagamme des bades Nous avos vu das le chaite écédat (sectio.4.) que : ou u système à l'équilibe, le otetiel électochimique e vaie as, doc le iveau de Femi est lat ; le iveau d'éegie E i est, a défiitio, associé au otetiel électostatique ψ : E i -qψ. O tace (a covetio) u diagamme ou les électos. O a E E i F i e, soit côté P : T N E A ip EF T l [.] i O a E E F i i e, soit côté N : T N E D F EiN T l [.] i Le diagamme des bades d'ue joctio PN au eos est eéseté su la Figue.3. O eut déduie le otetiel de diffusio du diagamme des bades : -qψ D E in - E ip [.3] La combiaiso des équatios [.], [.] et [.3] doe l'eessio du otetiel de diffusio : T N l AN Ψ D D [.4] q i Avec N A 8 cm -3 et N D 5 cm -3, o touve ou Si à 3 K : Ψ D,77 V.
De la joctio PN au tasisto biolaie 87 Eegie E cp -qψ D EiP E cn E F E vp E in - + E vn Figue.3. Diagamme de bades de la joctio PN à l'équilibe.... Calcul du cham électostatique et de la lageu de la ZCE Das ce calcul ous faisos l'hyothèse de comlète désetio das la ZCE:. O détemie les vaiatios du cham électostatique E et du otetiel électostatique ψ le log du disositif (Figue.4) à ati de l'équatio de Poisso : où : de d ρ [.5] ε sc dψ E [.6] d La cotiuité du cham e, ous emet d'écie : qnd qn E A ma [.7] ε sc ε sc O etouve aisi la elatio de eutalité électique globale de la ZCE : N D N A [.8]
88 Modélisatio des tasistos biolaies itégés La ZCE s'éted doc du côté le mois doé. Sa lageu W ZCE est doée a l'équatio : WZCE sc q ND ε + Ψ D N A [.9] ρ +qn D - + -qn A - E + Ψ Ψ D - + Figue.4. Pofils de desité de chage ρ, de cham électique E et de otetiel Ψ le log de la joctio. Das le Si, ou N A 8 cm -3, N D 5 cm -3, Ψ D,77 V, et ε Si,4. - F.cm -, o a : E ma 5 V.cm -, W ZCE µm, µm, et m. REMARQUE. O a suosé que le assage ete la ZCE et les ZQN est abut. O o a vu das le chaite écédat (aagahe.4.3.) qu'u semicoducteu amotit ue etubatio su ue distace de l'ode de la logueu de Debye L D, soit : 4 m
De la joctio PN au tasisto biolaie 89 ou u doage N 8 cm -3, 3 m ou N 7 cm -3, 3 m ou N 5 cm -3. Das ces tois cas, L D < coesodat à la lageu de la ZCE du côté le mois doé, l'aoimatio est doc ici justifiée. Das la zoe la lus doée, tout ceci est beaucou lus discutable!..3. Joctio PN olaisée e diect..3.. Descitio héoméologique Ue joctio est olaisée e diect si la égio P est olaisée ositivemet a aot à la égio N sous ue tesio V F (Fowad). Ceci coesod à l'alicatio d'u cham électomoteu qui s'oose au cham électostatique iitial et doc favoise la diffusio des majoitaies. E coséquece : la dd ete les deu zoes dimiue et deviet égale à Ψ D - V F. La lageu de la ZCE est doc éduite ; il y a ijectio de oteus das les ZQN ; le couat das le disositif est dû à la diffusio des oteus majoitaies. Il faut emaque que le tye des oteus esosables du couat évolue le log de la stuctue. Pa eemle, les électos qui diffuset de la égio de tye N ves la égio de tye P sot, das u emie tems, esosables d'u couat d'électos. Losqu'ils aivet das la zoe de tye P, ils se ecombiet, ce qui suose l'aivée de tous majoitaies deuis le cotact de la égio de tye P et le couat deviet alos u couat de tous. O a le même héomèe ou les tous qui diffuset de la égio de tye P ves la égio de tye N. Ce couat est cosevatif e égime emaet uisqu'il 'y a ulle at accumulatio de chages. Mais au cous de sa tavesée du disositif le couat chage de atue. Le héomèe hysique esosable de cette mutatio du couat est la ecombiaiso des aies électos-tous. O a doc ciq égios décites su la Figue.5 : : ZCE où cicule les couats de diffusio d'électos et de tous ; et 3 : zoes où les mioitaies ayat diffusé se ecombiet, ce qui doe lieu à u couat de ecombiaiso ; 4 et 5 : ZQN où l'o eut défii u iveau de Femi côté P E FP et côté N E FN. La olaisatio diecte V F est liée à la difféece des iveau de Femi a : E FP - E FN -q V F [.]
9 Modélisatio des tasistos biolaies itégés P N 4 3 5 ZQN ZCE Recombiaiso Recombiaiso ZQN Figue.5. Les difféetes égios caactéistiques d'ue joctio PN olaisée e diect. E suosat toujous vaie l'hyothèse de comlète désetio das la ZCE, o eut utilise la même eessio [.9] ou W ZCE que écédemmet, e emlaçat Ψ D a Ψ D - V F : WZCE ε sc q N D + ( Ψ D VF ) N A [.] L'hyothèse de totale désetio sous eted que la desité volumique des oteus tavesat la ZCE este faible devat celle des ios fies. Le fait d'emloye Ψ D - V F ou ouvelle hauteu de la baièe de diffusio sous-eted qu'aucue chute de tesio 'iteviet das les ZQN du fait du assage du couat. Cet esemble d'hyothèses suose doc que le couat diect 'est as to imotat, c'est-à-die que l'o est e faible ijectio...3.. Calcul du couat das ue diode éelle O costate eéimetalemet que la caactéistique couat-tesio d'ue diode PN a l'allue de la coube schématisée su la Figue.6. O emaque su ce gahe log(i) f(v F ) que le couat vaie e foctio de la tesio aliquée V F e qv e F, avec m (égio de la coube) ou m (égios et 3) mt suivat le iveau de olaisatio. Nous allos elique ce comotemet.
De la joctio PN au tasisto biolaie 9 Log I 3 4 Résistace séie Fote ijectio (m ) V F Faible ijectio (m ) Recombiaiso das la ZCE (m ) Figue.6. Allue de la caactéistique couat-tesio d'ue joctio PN e diect ; cette coube logaithmique du couat ésete lusieus égimes liéaies de ete q/m T...3... Régime de faible ijectio Pou effectue le calcul des difféetes comosates du couat diect, das les domaies et de olaisatio défiis su la Figue.6, ous allos utilisé la otio de quasi iveau de Femi des électos et des tous (itoduite e.4. au chaite écédat), uis faie deu hyothèses : hyothèse de quasi équilibe ; hyothèse de faible ijectio. E toute igueu, das la égio de tasitio de la joctio, o e eut lus défii u iveau de Femi uisqu'o 'est lus das ue situatio d'équilibe themique. Les cocetatios de oteus (suéieues à leus valeus d'équilibe) euvet éamois ête décites e faisat itevei deu quasi iveau de Femi, E F ou les électos, E F ou les tous [.96] du chaite écédat. D'aès la elatio [.99] de ce chaite, ces iveau sot liés au cocetatios a les elatios suivates : E E F( ) i ( ) ( ) i e [.] T
9 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Ei ( ) EF ( ) ( ) i e [.3] T O a alos : EF ( ) EF ( ) ( ) ( ) i e T [.4] La Figue.7 eésete les vaiatios des difféets iveau d'éegie, et e aticulie des quasi iveau de Femi (ou seudo iveau de Femi) le log d'ue diode olaisée e diect. Eegie E cp -q(ψ D - V F ) E cn E FP E vp -qv F E FN 4 3 5 E vn Figue.7. Diagamme de bades de la joctio olaisée e diect. HYPOTHESE DE QUASI EQUILIRE. Das la ZCE, o suose que le déséquilibe itoduit a la olaisatio diecte ete la tedace à la diffusio et la tedace à la déive este faible devat chacue d'elle. O eut doc suose que les couats J et J sot égligeables devat chacue des comosates (déive et sutout diffusio), et doc que E F et E F estet costats à la tavesée de la ZCE (aelos que : de J µ F d et def J µ ) (Figue.7). Il e ésulte que le oduit d () () est costat das toute la ZCE et est doé a l'eessio [.4], soit : qv ( ) ( ) F i e T [.5]
De la joctio PN au tasisto biolaie 93 HYPOTHESE DE FAILE INJECTION. Das les zoes de ecombiaiso ( et 3), la desité de oteus mioitaies est faible a aot à celle des majoitaies. Le iveau de Femi des majoitaies este doc fié a le doage, et celui des mioitaies asse ogessivemet de sa ositio das la ZCE à la ositio du iveau de Femi des majoitaies das la ZQN (4 et 5) (Figue.7). O eut écie du côté P e - : ( ( ) ) ( ( ( ) ) << ) ( ) N A [.6] O obtiet des équatios aalogues du côté N e, avec fialemet : ( ) N [.7] où N A, cocetatio de tous et ZQN P, N D cocetatio d'électos et das la ZQN N. D i cocetatio d'électos das la N A i cocetatio de tous N Tois ossibilités de ecombiaiso s'offet au électos et au tous ijectés deuis les zoes N et P e olaisatio diecte : ecombiaiso das les ZQN. Ce héomèe doe lieu au couat de diffusio I D ; ecombiaiso su des cetes éatis das le volume de la ZCE. O obseve u couat I R dit couat de ecombiaiso ; ecombiaiso su des cetes situés e suface de la ZCE. O obseve u couat I RS dit couat de ecombiaiso sueficielle. Losque, atat des tès faibles iveau, o fait coîte le couat de diffusio, la desité de oteus atteit ogessivemet u iveau tel que tous les cetes de ecombiaiso das la ZCE se satuet. Les couats I R et I RS 'augmetet doc lus et le couat de diffusio deviet éodéat (avec m, comme ous le veos ci-dessous). Ces héomèes de ecombiaiso sot doc imotats à faible iveau de olaisatio. Nous allos établi ce ésultat a le calcul de ces difféetes cotibutios au couat. D
94 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Pou calcule le couat de diffusio I D, o utilise les hyothèses de Shocley suivates : uidimesioalité ; as de chute de tesio das les ZQN ; comlète désetio das la ZCE ; quasi équilibe ; faible ijectio. Soit ue diode PN avec la joctio métallugique e. Raelos que la ZCE est délimitée a - et esectivemet côté P et N. De lus, les éaisseus des zoes P et N sot esectivemet défiies a -X et X. Chechos das u emie tems à détemie le ofil de cocetatios des tous das la égio N. Pou cela, o utilise l'équatio de cotiuité e volume : J G [.8] t q Cette équatio est ésolue avec les hyothèses suivates : égime emaet : ; t as de gééatio-ecombiaiso aute que le héomèe themique SRH ; ZQN doc E. Raelos les eessios du couat de diffusio J et de la vitesse de ecombiaiso G SRH doées écédemmet das ce chaite : J q D ; G SRH τ ( + ) + τ ( + ) i i i O, du côté N, N D >>, d'où : G SRG τ L'équatio [.8] se simlifie alos aisi : D ( ) ) ( ( ) τ [.9]
De la joctio PN au tasisto biolaie 95 où D est le coefficiet de diffusio des tous côté N, τ est la duée de vie des tous côté N. O itoduit la logueu de diffusio des tous das la égio N : D L τ. Cette gadeu joue u ôle imotat das la hysique des disositifs à ijectio de oteus mioitaies. C'est la logueu su laquelle les mioitaies se ecombiet. L'équatio [.9] se éécit : ) ( ) ) ( ( L [.] La solutio de l'équatio [.] est : L sh A ) ( [.] Pou détemie A et, o alique les coditios au limites. Du côté N, les eessios [.5] et [.7] emettet d'écie la coditio limite e : ( ) T qv T qv N F F D i e e [.] Pou la coditio e X, o suose que le cotact est afaitemet ecombiat, c'est-à-die que le coefficiet de ecombiaiso s qui elie la vitesse de ecombiaiso de suface G s à l'ecès de tous est ifiie. Le couat de ecombiaiso coesodat à ce cotact est : ( ) ( ) ( ) X s q X J. Das cette équatio J a ue valeu fiie alos que s est ifiie. Doc : ( ) X [.3] L'équatio [.] est alos etièemet établie : ( ) F L X sh L X sh T qv e [.4]
96 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Le même calcul eut ête fait das la égio P. Les eessios [.5] et [.6] emettet d'écie la coditio limite e - : T qv T qv N F F A i e e ) ( [.5] L'hyothèse d'u cotact afaitemet ecombiat e -X eviet à écie : ( ) X [.6] O touve alos : ( ) + + F L X sh L X sh T qv e [.7] Calculos, à éset, le couat de diffusio. O a côté N : ( ) T qv e L X sh L X ch L D q D q J F [.8] et côté P : ( ) + + T qv e L X sh L X ch L D q D q J F [.9] O doit avoi cosevatio du couat total : J D J () + J (). Si l'o églige les héomèes de gééatio-ecombiaiso das la ZCE, o eut écie :
De la joctio PN au tasisto biolaie 97 ( ) ( ) J J et ( ) ( ) J J. [.3] O a doc : + e ) ( ) ( T qv J J J J F S D [.3] avec : + + S L X L D q L X L D q J coth coth [.3] Cosidéos le cas où les égios N et P sot logues, c'est-à-die L X >> et L X >>. O emaque qu'o a alos : L X L X L X L X sh e e e [.33] L'eessio [.4] deviet doc : ( ) F L X L X L X T qv e e e e (e as simlifie to aidemet au uméateu (cas X )). O a alos : ( ) + + + + F L X X L X T qv e e e
98 Modélisatio des tasistos biolaies itégés ( ) F L T qv e e [.34] De même, o eut écie : + + + + L X L X L X L X e e e sh [.35] Ce qui emet de simlifie l'eessio [.7] de la faço suivate : ( ) + F L T qv e e [.36] Les eessios [.8], [.9] et [.3] devieet alos : ( ) e e T qv L L D q J F [.37] ( ) + e e T qv L L D q J F [.38] S L D q L D q J + [.39] La Figue.8 eésete les vaiatios des couats J et J le log du disositif.
De la joctio PN au tasisto biolaie 99 J J D J J J J - Figue.8. Vaiatios des desités de couat d'électos et de tous le log de la joctio. Pou N A 8 cm -3, D cm /s, L µm, N D 5 cm -3, D cm.s - et L 55 µm, o a J S 3 - A.cm - Cosidéos le cas où les égios N et P sot coutes, c'est-à-die L X << et L X <<. O eut alos écie : + e e e e L X L X L X ch L X L X L X L X sh [.4] O obtiet des eessios similaies du côté P. Les eessios [.8], [.9] et [.3] devieet alos : ( ) e T qv X D q J F [.4] ( ) e T qv X D q J F [.4]
Modélisatio des tasistos biolaies itégés JS D q X D + q [.43] X Das tous les cas o a u couat de diffusio de la fome suivate : qv J J e F D S, avec m [.44] m T A ati de l'eessio de J S [.43], o eut emaque qu'e cas d'ue joctio fotemet dissymétique, le doage le lus élevé 'iteviet as das l'itesité du couat. Pou calcule le couat de ecombiaiso e volume das la ZCE I R, o fait ael au modèle de Shocley-Read-Hall (SRH), valable ou des semicoducteus tels que le silicium, das lesquels la ecombiaiso se fait idiectemet a l'itemédiaie de cetes ofods das la bade itedite. Elle 'est as alicable au cas du GaAs das lequel la ecombiaiso diecte bade à bade est édomiate. Si l'o admet que la ecombiaiso se fait icialemet su u seul tye de cete, la vitesse ette de ecombiaiso (ombe de aies ecombiées a secode et a uité de volume), das la ZCE, est doée a : GSRH ( ) τ ( ) ( ) i ( + ( ) ) + τ ( + ( ) ) [.45] Avec τ τ τ les duées de vie caactéistiques du cete icial, et les cocetatios équivaletes du iveau de défaut E T qu'il itoduit das la bade itedite. Les desités et sot défiies ou le cas où E T est oche de E F, c est-à-die : N N C V E E e T T E E e V T C T [.46] Ne coaissat as, a ioi, les lois de vaiatios de () et (), ous e ouvos utilise l'eessio [.45] qu'e itoduisat des aoimatios : le iveau de défaut E T est tès voisi du milieu de la bade itedite (E T E i ) :
De la joctio PN au tasisto biolaie i [.47] F E et F E sot lats à la tavesée de la baièe (hyothèse de quasi équilibe) : ( ) ( ) T qv T E E F i F F i e e [.48] L'eessio [.45] deviet alos : ( ) + + T E E T E E T qv G F i i F i F i SRH e e e τ [.49] La vitesse G SRH est maimale losque () (), c'est-à-die au oit où le milieu de la bade itedite E i se situe à équidistace de F E et F E, soit ou F F i i F qv E E E E. Sa valeu est alos : + T qv T qv T qv G F F F i SRH e e e i ma τ τ [.5] Le couat de ecombiaiso s'obtiet e itégat G SRH () su l'étedue de la ZCE : ( ) SRH R d G A q I [.5] A est l'aie de la sectio doite de la diode. Soit l'éaisseu à l'itéieu de laquelle la ecombiaiso est sigificative, c'est-à-die su laquelle G SRH () vaie tès eu et eut ête cosidéé comme égal à G SRH ma. O eut alos écie :
Modélisatio des tasistos biolaies itégés IR q qv A i e F τ T [.5] Ce couat est doc de la même fome que le couat de diffusio [.44], mais avec m. Il est alos itéessat de comae I R au couat diect de diffusio I D : I D I R D L D + L i τ qv F e T [.53] Pou N A 8 cm -3, N D 5 cm -3 et τ -8 s, o a J S 3 - A.cm -. U ode de gadeu de eut ête obteu e évaluat l'éaisseu su laquelle G SRH () vaie de G SRH ma / à G SRH ma. O a su / ue dd δψ telle que : q δψ T e,3 T δψ. De lus, das la ZCE, o a : q Ema T δψ 4,6 [.54] q E ma Pou ote alicatio uméique, E ma 5 V.cm -, l'eessio [.54] doe : 79 m. I D I R 3 79 7,6. 9 qv F 4,74 6 e T qv F. 8 e T [.55] Doc I D I R ou V F,63 V. Il est clai qu'à faible V F, o a aidemet I D deviet suéieu à I R. I D << I R, et losque V F augmete, tès Efi, otos que les égios de ecote ete la ZCE et la suface du disositif doet lieu à u imotat couat de ecombiaiso e suface e égime de olaisatio diecte. La couche de silice (SiO ) cotiet ue cetaie quatité d'ios.
De la joctio PN au tasisto biolaie 3 Si la desité de ces chages est suffisate, elles iduiset ue zoe désete qui ologe la ZCE e augmetat d'autat so aie de cotact...3... Régimes de fote ijectio Losque la desité de couat de la diode déasse u cetai seuil, les cocetatios des oteus ijectés das les zoes N et P devieet comaables, voie suéieues, à la cocetatio des majoitaies. Les ZQN des égios N et P 'eistet lus ca il y aaaît ue chute de otetiel. Ces chutes de tesio sot associées à deu comosates du cham électique : comosate ohmique E R due à la chute de tesio das les ZQN ; comosate ambiolaie E d due à la chage d'esace des oteus majoitaies ecédetaies. Le cham ohmique E R 'est imotat que das la égio où le couat des majoitaies a emlacé celui des mioitaies (a ecombiaiso), das la zoe la mois doée, soit a eemle dès que () N D ou ue diode P + N. Sa valeu est alos : ER J J [.56] qµ ND qµ ND J état la desité de couat total. La chute de tesio coesodate V C a alos ou eessio, ou ue diode dot la zoe N a ou éaisseu X : X J J X V C < d qµ ND qµ ND [.57] Sa valeu e eut ête égligeable que si la zoe la lus faiblemet doée (ici N) est eu éaisse ou si le doage est imotat (N D > 6 cm -3 ). S'il e eut e ête aisi (ou des aisos de teue e tesio ivese comme ous le veos das le collecteu d'u biolaie), o est coduit à éalise ue zoe N + dot le ôle est d'ijecte des majoitaies losque la diode est sous olaisatio diecte. O a alos à faie à ue diode P + νn +. Toutes les diodes de uissace sot d'ailleus de ce tye. Le cham ambiolaie E d eiste das la zoe où ue fote ijectio de mioitaies etaîe u déséquilibe de la cocetatio de majoitaies. Pa eemle, ou ue diode P + N, das la zoe N, si () > N D, des électos affluet ou assue la eutalité électique, c'est-à-die () () > N D. U cham
4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés électique E d, dit ambiolaie, se cée ou maitei e lace l'ecès de oteus majoitaies (les électos) (Figue.9) et doc aule localemet le couat de oteus majoitaies. O e déduit aisi la valeu de ce cham ambiolaie : J d T d T d qµ E qd E d + d [.58] d q d q d Le couat de mioitaies est alos doé a l'eessio suivate : J d d qµ Ed qd qd [.59] d d (a) (b) P P N E d N P N P N ZCE Figue.9. Pofils des cocetatios de tous et d'électos das l'hyothèse de zoes N et P coutes, a) e égime de faible ijectio, b) e égime de fote ijectio. Le calcul de l'eessio de J eige de coaîte l'eessio de (). Pou cela, o écit l'équatio de cotiuité dot la ésolutio écessite la coaissace des coditios au limites, sous coditio de fote ijectio e. qv e F. Pou, o a ( ) ( ) i T Pou X, o a ( X ) N D << ( ) i T qv F e (fote ijectio).
De la joctio PN au tasisto biolaie 5 De la même faço que ou les eessios [.4], das le cas obtiet fialemet u couat de la fome : X < L, o D qv J q F i e [.6] X T qv Le couat vaie doc bie e e F, et de lus la ésistivité de la égio T la mois doée (ici N) e joue lus aucu ôle e fote ijectio...4. Joctio PN olaisée e ivese..4.. Descitio héoméologique Ue joctio est olaisée e ivese si la égio P est olaisée égativemet a aot à la égio N sous ue tesio V R < (Revese). Ceci coesod à l'alicatio d'u cham électomoteu qui s'ajoute au cham électostatique iitial ; il emêche toute diffusio sulémetaie des majoitaies et augmete au cotaie la tedace à la déive. E coséquece : la dd Ψ D - V R ete les deu zoes P et N augmete, aisi doc que la lageu de la ZCE ; le couat das le disositif est dû à la «déive» des oteus mioitaies. E maiteat l'hyothèse de comlète désetio das la ZCE, o eut utilise la même eessio ou W ZCE que écédemmet, e emlaçat Ψ D a Ψ D - V R : WZCE ε sc q ND + N A ( Ψ V ) D R [.6]..4.. Calcul du couat ivese Nous allos, das u emie tems, cosidée la joctio PN olaisée sous faible tesio ivese, e dehos du égime d'avalache, et mote qu'elle est tavesée a u couat : I R I S + I G [.6]
6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés où I S est le couat de «satuatio» dû à la gééatio themique das les ZQN et I G est le couat dû à la gééatio de oteus das la ZCE...4... Gééatio et diffusio des oteus das les ZQN Les coditios au limites sot les mêmes que das les diodes e diect. Les hyothèses (totale désetio das la ZCE, quasi équilibe, faible ijectio) demeuet. Si l'o églige la gééatio de oteus libes das la ZCE, les eessios [.43] et [.44] doat le couat estet valables. E ivese, o a doc ue desité de couat J I doée a : J I qvr J S J S T e ou V R < V [.63] J S état doé a l'eessio [.43]. O a doc le couat de «satuatio» : I S -A J S, avec A l'aie de la sectio doite de la joctio...4... Gééatio das la ZCE Cette comosate fouit l'essetiel du couat ivese das les matéiau à lage bade itedite. Das ces matéiau, la gééatio themique s'effectue de faço idiecte a l'itemédiaie d'imuetés ou défauts itoduisat des iveau ofods das la bade itedite du semicoducteu. Le ocessus est le suivat : u électo de la bade de valece est ecité themiquemet su le iveau E T itoduit a l'imueté. Il laisse u tou libe das la bade de valece. Ce tou est immédiatemet «balayé» a le cham électique itese qui ège das la ZCE ves la égio P ; l'électo iégé su l'imueté est alos ecité themiquemet das la bade de coductio où le cham électique le cataulte das la égio N. Tout se asse comme si u oteu avait tavesé la ZCE. La vitesse de gééatio des aies est doée a l'eessio SRH aliquée das la ZCE, c'est-à-die ou : i i G [.64] τ + τ τ avec τ τ τ.
De la joctio PN au tasisto biolaie 7 E suosat que les oteus gééés 'ot as le tems de se ecombie das la ZCE, le couat de gééatio est calculé à ati de l'équatio de cotiuité d J G G +, qui, itégée su l'étedue de la ZCE doe : q d JG q i WZCE [.65] τ Le ses ositif du couat est is de la égio P ves la égio N. Pou N A 8 cm -3, N D 5 cm -3, τ µs et V R - V, o a W ZCE 3 µm et o touve fialemet : J G µa.cm -...4.3. Claquage de la joctio Le claquage de la joctio coesod à la butale augmetatio de so couat ivese losqu'o augmete la olaisatio ivese au delà d'ue tesio dite de claquage. Le claquage 'est destuctif que s'il coduit à u échauffemet ecessif du disositif, c'est-à-die losque le couat ivese 'est as limité a le cicuit etéieu. Das les autes cas, le claquage est u héomèe évesible qui disaaît quad o amèe la tesio ivese au dessous de la tesio de claquage. Deu héomèes sot à l'oigie du claquage d'ue joctio : l'effet Zee et.l'ioisatio a choc...4.3.. Effet Zee Cet effet e se oduit que si le cham électique das la ZCE deviet suéieu à 6 V.cm - (ou Si). U tel cham électique est caable de «bise» des liaisos de valece ete atomes de Si, libéat aisi u électo et u tou qui aticiet à l'augmetatio du couat ivese. Cette ioisatio coesod au tasfet d'u électo d'u état de la bade de valece das u état de la bade de coductio de même éegie à taves la bade itedite a effet tuel. Pou que ce tasfet soit ossible, il faut que les bades soiet tès coubées. Ue telle situatio e se ecote que ou des joctios doées à lus de 8 cm -3 de at et d'aute...4.3.. Ioisatio a choc La zoe de chage d'esace d'ue joctio e ivese est acouue a quelques oteus esosables du couat de «satuatio». Ces oteus sot tès fotemet accéléés a le cham électique qui ège das la ZCE. Si ce cham est suffisammet élevé (> 5 V.cm - ) les oteus acquièet à la tavesée de la ZCE
8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés suffisammet d'éegie ciétique ou tasfée à u électo egagé das ue liaiso de valece ue éegie d'ioisatio caable de le faie «mote» das la bade de coductio, céat aisi ue aie électo-tou. Les oteus aisi céés euvet à leu tou ête accéléés et ioise d'autes atomes. Il y a doc multilicatio des oteus. Deu aamètes caactéiset le héomèe d'ioisatio a choc : les coefficiets d'ioisatio α (E) et α (E) e cm - qui eésetet le ombe de aies céées a cetimète de acous d'u électo ou d'u tou, et qui sot des foctios coissates du cham électique (das Si α (E) 3 cm - ou E 5 V.cm - ) ; le coefficiet de multilicatio M qui eésete le aot du couat ivese de la joctio I R e ésece de multilicatio au couat ivese I R sas multilicatio : I R I R M [.66]..4.3.3. Calcul du coefficiet de multilicatio et de la tesio d'avalache La détemiatio de la tesio d'avalache s'effectue e deu étaes : détemiatio du coefficiet d'ioisatio α(e) ; calcul du cham citique d'ioisatio. Das le silicium, théoie et eéiece cocodet ou doe à α (E) et α (E) des eessios du tye : α α ( E) α ( ) ( E) α ( ) e E e E [.67] Ue théoie simlifiée e cosidèe qu'u coefficiet, où ou E eimé e V.cm - : α α α α E 5 avec α,65-4 [.68]
De la joctio PN au tasisto biolaie 9 Losqu'ue aie est céée das la ZCE à la distace d'u bod, l'électo acout W ZCE - et le tou. Du oit de vue du couat ésultat, ce ocessus est équivalet à la tavesée de W ZCE a u électo. Le couat I R (esectivemet I R ) est équivalet au assage de électos (esectivemet ) das la ZCE. Il y a doc - céatios de aies électos-tous das la ZCE. Ces - ioisatios euvet à leu tou ête cosidéées comme céées a le assage de oteus (a eemle électos) acouat W ZCE. Soit α d le ombe de aies céées a u oteu qui acout d. O a : W ZCE W ZCE α d α d [.69] Le facteu de multilicatio M est tel que M, c'est-à-die M α d L'avalache se oduit losque, soit : E cit d α d E [.7] d E E cit est alos calculé à ati de cette équatio. Il eésete le cham citique miimum ou qu'il y ait avalache. Cosidéos a eemle ue joctio P + N abute. La ZCE s'éted doc sutout E Ema avec W ZCE W E q N ZCE ma D, d'où ecoe : ε du côté N, o eut alos écie ( ) d E d sc E q N D WZCE ε sc ma [.7] L'avalache se oduit ou :
Modélisatio des tasistos biolaies itégés Ecit E cit d ε α d E sc α d E [.7] d E q ND α état doé a l'eessio [.68], l'eessio [.7] deviet : 6 ε 6 3 sc E α cit qn E D cit qnd 6 ε sc α [.73] La tesio du début d'avalache V (eadow) est doée a ε et doc : V Ecit Wcit avec W sc cit Ecit qnd ε V sc Ecit [.74] qnd L'eessio [.73] emet alos de calcule la tesio d'avalache : V ε 3 3 3 3,6 3 sc ND ND q α [.75] Le seul aamète que l'o uisse faie vaie ou modifie V est le doage. La tesio d'avalache s'effode si l'o augmete N D, comme illusté a les valeus uméiques doées das le tableau.. suivat, uisque E cit 'augmete que letemet. N D (cm -3 ) 5 8 E cit (V.cm - ) 5 3 5 6 V (V),6 4 6,6 Tableau.. Cham citique et tesio d'avalache das ue joctio P + N abute ou quelques valeus de doage de tye N. O vea que c'est ou cela que l'o sous-doe le collecteu des tasistos biolaies. Le facteu de multilicatio éod de faço emiique à :
De la joctio PN au tasisto biolaie M V V [.76] avec ou Si doé N et 4 ou Si doé P...5. Schémas équivalets de la joctio PN Soit ue diode PN olaisée sous V à laquelle o sueose ue vaiatio δv...5.. Caacités de tasitio E diect comme e ivese, ue vaiatio de tesio δv etaîe ue vaiatio δw de la lageu de la ZCE. Il e ésulte ue modificatio de la chage stocée. Cet effet caacitif est caactéisé a la caacité dite de joctio. La chage stocée Q j das la ZCE est doée a : Q J q N ( ) d q N A( ) d [.77] D Pou ue vaiatio δ, la chage d'esace est modifiée de δq j qn D ( )δ. Il q N faut elie δ à δv e aliquat le théoème de Gauss, soit δ E D δ, et ε sc doc : δ + δ V δe d ( + δ ) δ E WZCE [.78] La caacité de joctio est alos déduite des eessios [.77] et [.78] : C j Q j V V δ q ND q ND δ WZCE ε sc ε sc WZCE [.79] Pou ε Si,4 - F.cm - et W ZCE µm, o a : C J F.cm -.
Modélisatio des tasistos biolaies itégés Cette caacité déed, a l'itemédiaie de W ZCE, de la olaisatio de la diode. O éalise aisi ue caacité cotôlée a ue tesio (Vaacto ou Vaica). La éose e féquece de cette caacité est ecellete uisqu'elle met e jeu u délacemet de oteus majoitaies qui s'éloiget ou se aochet du la de joctio. O mote que la «féquece de couue» est de l'ode de l'ivese du ε tems de elaatio diélectique τ D : τ sc D s avec σ la coductivité e σ Ω -.cm -...5.. Caacités de diffusio Losque la diode est e diect, les cocetatios et des mioitaies ijectés au iveau des fotièes de la ZCE sot modifiées. Globalemet, la chage électique est ulle mais il y a eu aot das ue même zoe de δ tous et δ électos, ce qui est équivalet à la ciculatio d'u couat caacitif véhiculat la chage q δ, aelé chage stocée. Q Das la zoe N, o a Q q ( ) q X qv F e e T L qvf L L e T D J ( ) d, avec ou X >> L,. O obtiet doc, c'est-à-die fialemet : Q J ( ) τ [.8] De même, o a du côté P : Q τ J ( ) [.8] La chage totale stocée est doc, si τ τ τ : QS qv τ J J e F D τ S [.8] T La caacité de diffusio est doc doée a l'eessio suivate :
De la joctio PN au tasisto biolaie 3 dqs q q C D J D dv T T..5.3. Coductace τ [.83] QS E diect, o défiit ue coductace difféetielle G D due aussi à la diffusio des oteus majoitaies : dj D q G D dv T [.84] J D..5.4. Schémas équivalets E diect, le schéma équivalet d'ue diode est costitué d'ue caacité C C J + C D e aallèle avec ue coductace G D. E ivese le schéma équivalet d'ue diode se éduit à la seule caacité C J... Le tasisto biolaie Le tasisto biolaie est u disositif à tois couches, de tyes difféets, séaées a deu joctios. Les tois couches sot aelées émetteu, base, collecteu. Suivat les tyes choisis ou ces couches, o eut costuie deu sotes de tasisto : NPN ou PNP. La Figue. eésete ue coue d'u tasisto biolaie itégé NPN, aisi que les ofils simlifiés de doage (uifomes et abuts). La zoe N+ qui set de semelle au collecteu emet de ede égligeable la ésistace d'accès au collecteu. Das toute cette atie, ous cosidéeos u tasisto de tye NPN et ous feos, si écessaie, les emaques aticulièes su les tasistos de tye PNP. Toutes les hyothèses seot eéées a les symboles **, elles coesodet à ue descitio au «emie ode» du foctioemet du disositif e égime statique.
4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés (a) (b) C E N + N + Doage P + P + P + N DE N A N DSC N N + E N DC C Subcollecteu Substat P Figue.. a) Coue d'u tasisto biolaie itégé et b) ofils simlifiés de doage le log de la zoe active suivat ue coue sous l'émetteu.... Effet tasisto (e mode omal diect) Le but est d'ijecte des électos de l'émetteu (qui émet!) ves le collecteu (qui collecte!) e commadat ce flu a l'électode de base. ijectio : la emièe joctio à fachi ou les électos, majoitaies das la zoe N, est la joctio émetteu-base (N-P). Il faut doc favoise la diffusio des majoitaies et doc olaise la joctio émetteu-base e diect. La tesio V E module la hauteu de la baièe de otetiel de la joctio émetteu-base et doc le flu de couat ; tasot das la base : ue fois das la base, les électos sot mioitaies, ils isquet doc de se ecombie. Afi de miimise ce isque, o éalise ue base de logueu W etite devat la logueu de diffusio des électos das la base : L. collectio : ou que les électos, ésets e fi de base, uisset ête écoltés au collecteu, il faut favoise le assage des mioitaies c'est-à-die olaise la joctio base-collecteu e ivese. Les électos sot alos haés a le fot cham électique qui ège das la ZCE base-collecteu et cataultés das le collecteu, où ils se etouvet majoitaies. Aisi ue gade atie du couat d'électos ijectés au iveau de l'émetteu se etouve das le collecteu : c'est l'effet tasisto.
De la joctio PN au tasisto biolaie 5... ila des couats et calcul des gais... ila des couats Reeos lus e détails ces tois étaes, e faisat le bila de la distibutio des couats ciculat das u tasisto biolaie NPN, eésetée su la Figue. : E (N + ) (P + ) ZCE C (N) I c I E MI C I E I C I E I E I R I E (M - ) I C I C V E I V C Figue.. ila des couats das u tasisto biolaie ijectio : la diffusio des majoitaies à la joctio émetteu-base doe lieu, au iveau de l'émetteu, au couats suivats : - I E : couat dû à la diffusio des électos de l'émetteu ves la base, - I E : couat dû à la diffusio des tous de la base ves l'émetteu. O a doc: I E I E + I E [.85] Les tous ijectés de la base () ves l'émetteu (E) e aticiet as à l'effet tasisto et il coviet doc de miimise cette ijectio e favoisat celle des électos de l'émetteu ves la base. Pou cela, l'émetteu sea lus doé que la base. Cette emièe étae d'ijectio est caactéisée a l'efficacité d'ijectio γ défiie a l'eessio suivate : J E γ [.86] J + J E E
6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés tasot das la base : la ecombiaiso das la base est eésetée a le facteu de tasot, défii comme le aot de la desité de couat d'électos écuéés e fi de base J C su la desité de couat d'électos ijectés das la base J E, c'est-à-die a : J [.87] J C E collectio : si la joctio base-collecteu est suffisammet olaisée e ivese, le couat d'électos va subi ue multilicatio à la tavesée de la ZCE de cette joctio où ège u fot cham électique. Ce coefficiet de multilicatio M est défii a : JC J C M [.88] Le couat collecteu est doc costitué a : - u couat d'électos collectés das la base et multiliés das la ZCE -C : M I E, - u couat d'électos eésetat la fuite de la joctio -C : I C. IC M I + I E C [.89] Le couat base est lus comlee, il est costitué de quate couats de tous : - u couat de tous ijectés de ves E : I E (ses etat), - u couat de ecombiaiso I R dû à l'aot écessaie de tous das la base (ijectés a l'électode de base) ou comese la cosommatio de tous a la ecombiaiso (eutalité électique) : I R ( ) I (ses etat), E - u couat de tous dû au tous céés a multilicatio das la ZCE -C et cataultés das la base a le fot cham électique. Ces tous sot collectés a l'électode de base et doet le couat : ( M ) I (ses sotat), E - u couat de tous dû à la fuite de la joctio -C : I C (ses sotat). O a fialemet u couat base de la fome : I I E + ( ) I E ( M ) I IC [.9] E O a doc, e mode de foctioemet omal diect, la elatio ete les couats : I E I + I C [.9]
De la joctio PN au tasisto biolaie 7 Ce bila emet de mette e évidece l'itéêt de l'effet tasisto : losque l'effet tasisto se maifeste, ue atie du couat d'émetteu se etouve das le collecteu. O, l'ijectio du couat d'émetteu e écessite qu'ue tès faible tesio de olaisatio V E (vaiatio eoetielle). Le cotôle de cette ijectio assue le cotôle du couat collecteu qui, lui, cicule sous la tesio V C, beaucou lus élevée. Le gai de l'oéatio se taduit au iveau de la uissace a : P VC IC VE I E A [.9] Ces comosats sot doc itéessats ou les cicuits amlificateus, das le cas où le couat I C este voisi de I E.... Calcul des gais Toutes les défiitios doées das ce chaite suoset que les joctios E et C sot de même suface : c'est ** l'hyothèse du tasisto filametaie. Le gai e couat das le motage base commue s'eime a : I J J J J a [.93] I J J J J C E C'est-à-die : C E C C C E E E a γ M [.94] Le gai e couat das le motage émetteu commu s'eime a : b IC I IC I E IC a a [.95]..3. Difféets égimes de foctioemet Nous avos jusqu'à éset evisagé le égime de foctioemet omal diect ou lequel la joctio E est e diect et celle C e ivese. Das le tableau. sot défiis les tois autes égimes de foctioemet : omal ivesé, satué, et bloqué.
8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Régime Joctio E Joctio C Nomal diect Diect Ivese Nomal ivesé Ivese Diect Satué Diect Diect loqué Ivese Ivese Tableau.. Récaitulatif des difféets égimes de foctioemet d'u tasisto biolaie, avec le tye de olaisatio des deu joctios PN...3.. Régime omal diect: V E > et V C < (ou u tasisto NPN) Das u emie tems, l'étude du tasisto biolaie sea faite avec les ** hyothèses suivates : géométie uidimesioelle ; base uifomémet doée ; joctios abutes ; hyothèse de totale désetio das les ZCE ; hyothèses de quasi équilibe et de faible ijectio. Les éaisseus de l'émetteu, de la base et du collecteu sot otées esectivemet W E, W et W C...3... Distibutio des chages et des couats e égime emaet Les desités de couat d'électos et de tous costituat le couat d'émetteu sot essetiellemet des couats de diffusio : J J E E q D E q D E ( ) E ( ) [.96] Pou les calcule, il faut tout d'abod détemie les ofils de cocetatios des mioitaies das la base () et das l'émetteu E (). Nous allos détaille le calcul de () et J E ; o obtieda alos E () et J E a idetificatio. Das la base, les vaiatios de la desité d'électos () sot doées a l'équatio de cotiuité :
( ) De la joctio PN au tasisto biolaie 9 J E G U + [.97] t q ( ) E égime emaet et e suosat ue base coute devat la t logueu de diffusio des électos das la base (W << L ), soit e égligeat la ecombiaiso (G U ), l'équatio de cotiuité s'écit e cosidéat l'équatio [.96] : ( ) [.98] Les coditios au limites das la base sot : e début de base, e cosidéat l'hyothèse de quasi équilibe : qve ( ) e avec T [.99] N A e fi de base, si l'o suose que l'o est à V C V : ( W ) [.] La cocetatio d'électos das la base est doc doée a : qv ( ) e E [.] W T La desité de couat d'électos à l'émetteu est déduite de l'équatio (.), et doe l'eessio : i J E qv q D e E W T [.] Pa idetificatio, la desité de couat de tous à l'émetteu est doée a l'eessio : J E E qve q D e avec E E W E T [.3] N D i E
Modélisatio des tasistos biolaies itégés La desité de couat total d'émetteu est doc : J E qv E J E e S T [.4] avec : J E S q D W + D E W E E [.5]..3... Efficacité d'ijectio Les eessios [.) et [.3] emettet de calcule l'efficacité d'ijectio : γ F D avec δ + δ D E W W E N N A DE [.6] Pou que γ soit aussi voisi que ossible de, il faut que : N >> N [.7] D E A Mais avec ue base eu doée, la ciculatio des tous est éalisée a ue fote ésistace d'accès qui éalise otammet les efomaces e féquece du tasisto. Doc, das le cas d'u tasisto biolaie homojoctio, il y a u comomis à faie ete u bo gai e couat b et ue faible ésistace d'accès bb'. Si le matéiau costituat l'émetteu a ue lageu de bade itedite suéieue à celle du matéiau de la base (cas des hétéojoctios), l'eessio [.7] deviet : i D W N A E E δ [.8] D i W E N DE E O, uisque G i NC NV e, ous avos maiteat i << E i T. Pa coséquet, δ ted ves sas aucue coditio su les doages. O eut alos sudoe la base ou miimise la ésistace d'accès.
De la joctio PN au tasisto biolaie Pou N D E cm -3, D E D 6 cm.s - et W µm, o a γ F,968. cm.s -, W E, µm, N A 8 cm -3,..3..3. Tasot das la base Pou détemie l'eacte valeu de, il faut évalue le ombe d'électos qui se ecombiet das la base a secode. Ce ombe est égal : d'ue at, au ombe d'électos e ecès das la base ( Q : la chage d'électos Q e ecès stocée das la base, divisée a q) divisée a leu duée de vie τ : ; q τ d'aute J J at, à la difféece des flu d'électos etat et sotat de la base : E C. q De lus, la desité de couat J E est eliée au tems de tasit t des électos das la base a la elatio : J O a doc : Q t [.9] E J J C [.] E t τ Efi, la détemiatio de Q emettait de calcule t. O la chage e ecès ( ) stocée das la base est défiie comme Q q ( ) W d, soit l'aie du tiagle hachué de la Figue., doc e utilisat la elatio [.8], eut aussi s'eime a : Q τ J E W L [.]
Modélisatio des tasistos biolaies itégés qv e T E ZCE C W Figue.. Pofil de cocetatio des électos das la base d'u tasisto biolaie O e déduit ue eessio du tems de tasit t : t W D [.] Avec t s, D 5 cm.s - et l'eessio [.], o obtiet W 3 m. Avec le même eemle que ou l'efficacité d'ijectio, o a efi τ µs d'où,999...3..4. Gais e couats IC E base commue, o a : a F γ M. Ceci emet d'écie ue elatio I E ete les couats qui sea utile ou la modélisatio du tasisto : I C af I E + IC [.3] E émetteu commu, o a : b F af. af Avec les mêmes doées que ou le calcul du coefficiet d'ijectio, o a : a F,967 et b F 9.
De la joctio PN au tasisto biolaie 3..3..5. Facteu de multilicatio Nous eimos le coefficiet de multilicatio a ue elatio emiique simle faisat itevei la tesio V C et sa tesio d'avalache V K : M [.4] 3 V C VK O a vu das la atie écédete su la joctio PN (sectio..4.3.3) qu'ue boe teue e tesio, c'est-à-die ue tesio de claquage V K élevée, eigeait u faible doage collecteu...3.. Régime omal ivesé V E < et V C > (ou u NPN) Das ce cas, tout est ivesé, c'est-à-die que le collecteu émet et l'émetteu collecte! Au iveau des couats o a les elatios suivates : JC J J C J C + J C + J R + ( M ) J C [.5] Le coefficiet d'ijectio est doé a : γ R [.6] D N C W A + D W N C D C O défiit le gai e base commue : a R I I E C γ R M. IC O défiit le gai e émetteu commu : br, ce qui emet I ar d'écie ue elatio ete les couats qui sea utile ou la modélisatio du tasisto : I E a R I C - I E [.7]
4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés O ajoute à l'eemle de calcul uméique écédet les doées du collecteu : N 6 cm -3, D cm.s -, W C µm, τ s, τ µs et D C C τ C 5µs. O a alos : γ R,57, a R,57 et b R,6...3.3. Régime satué V E > et V C > (ou u NPN) Au iveau des couats, si l'o cosidèe M, o a les elatios suivates : E J J E C J + J E E J J J J E C C C [.8] Soit : J J E C J a S F E J qv e T S E E qv e T a E R J J SC SC qv e T C qv e T C [.9] O a alos ou le couat base : J J E J qv T ( ) E a J e + ( a ) F C SE R J SC qv e T C [.] Su la Figue.3(a), o a tacé le éseau de caactéistiques I C (V CE ) à I costat du tasisto biolaie. A ue valeu V CE sat coesod u couat I. Si o augmete I, V CE sat e vaiat as, I C e chage as, doc les ofils de cocetatio d'électos das la base coesodat au couats de base I, I, I 3 (Figue.3(b)) coesodet à u même couat I C ou u motage émetteu commu, bie que l'o ait difféets degés de satuatio du tasisto. Il est itéessat de coaîte la valeu théoique V CE sat de la tesio de satuatio du tasisto coesodat au coule (J C,J ). A ati des eessios de (J C,J ) o écit les elatios suivates ete les cocetatios d'électos das la base :
De la joctio PN au tasisto biolaie 5 ( W ) ( ) ( W ) + ( ) JC W q D τ J q W [.] (a) (b) I C I I S S 3 P I 3 S V CEsat V CE W Figue.3. a) Réseau de caactéistiques I C (V CE ) d'u tasisto biolaie et b) ofils de cocetatio des électos das la base ou tois couats de base I, I et I 3. D'où : ( W ) () JC W q D JC W q D τ J q W τ J + q W [.] O eut alos calcule V CE sat sous la fome : V CE sat T q W + D l W D τ τ J J J J C C [.3]
6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés D'aès l'eessio [.] doat le tems de tasit t, V CE sat eut s'écie : V CE sat T q t JC + τ J l [.4] t JC τ J D'aès cette fomule, il suffiait d'augmete J ou dimiue V CE sat et doc atteide le égime de satuatio lus tad. Pou u tasisto éel et o idéal ceci est à voi de lus ès!