CIRCULATION DU CHAP ÉLECTROSTATIQUE POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE I CIRCULATION, POTENTIEL I1Ciculation du cham céé a une chage onctuelle Soit un chemin oienté Γ allant de A à B La ciculation élémentaie est δ C = E d l On utilise les coodonnées shéiques ayant ou oigine la chage Q E( ) u = O O chage Q > Q Q Q δc = u dl = u 2 2 ( du + dθu + sinθdϕu ) = d θ ϕ 2 Dans ce cas aticulie, la ciculation élémentaie est l osé de la difféentielle d une fonction On définit V le otentiel électostatique en céé a la chage q : = E d l est la difféentielle du otentiel V On eut l inteéte comme la etite vaiation de V ou du délacement dl Q On a alos : V = cte + On choisit toujous V ( ) = E Le otentiel est défini à une constante additive ès Q Pou une chage onctuelle : V = Pou une distibution d extension finie, on choisit toujous a convention : V ( ) = La ciculation de E le long du chemin La ciculation du cham électostatique ne déend as du chemin suivi, mais uniquement du oint de déat et du oint d aivée : On dit que le cham E est à ciculation consevative B Γ est : C = = ( V V Γ ) B A A I2 Ciculation du cham céé a une distibution quelconque de chages Les chages q 1, q 2 q N sont situées aux oints K 1, K 2 K N On généalise le ésultat en utilisant le théoème de sueosition : N qi V = et = E d l i= 1 i Le cham électostatique est à ciculation consevative I3 Comment calcule un otentiel électostatique? On considèe une distibution macoscique (volumique, sufacique ou linéïque) Si la distibution de chages est finie, on choisit toujous le otentiel absolu tel que V ( ) = Pa conte, dans le cas d une distibution illimitée, ce choix n est lus ossible, V ne eut as ête is N qi nul à l infini On ne eut lus utilise la elation V = mais uniquement = E d l i= 1 i Cham et otentiel électostatiques (35-54) Page 1 su 5 JN Beuy
Deux méthodes ou calcule le cham électostatique : éthode 1 toujous valable : Calcule le cham électostatique On en déduit le otentiel V en utilisant = E d l éthode 2 valable uniquement ou une distibution finie : On calcule ( ) = et on intège Distibution volumique : V ( ) Distibution sufacique : ( ) Distibution linéïque : ( ) ρdτ = = D D σ ds V = D λdl V = D E = D V Remaque : on a vu que les exessions ( ) 2 chages à l infini alos ( ) D u K = divege si on a des chages à l infini! I4 Piétés du cham électostatique et du otentiel électostatique On admet les ésultats suivants : étaient valables même avec des a) Aoximation volumique Le cham électostatique et le otentiel sont définis et continus en tout oint de l esace b) Aoximation sufacique Le cham électostatique est défini en tout oint de l esace sauf su la distibution Le cham électostatique subit une discontinuité à la tavesée de la suface de distibution Le otentiel électostatique est défini et continu en tout oint de l esace Le cham électostatique est discontinu à la tavesée de la suface de distibution : σ E2 E1 = n1 2 ε c) Aoximation linéïque Le cham et le otentiel ne sont as définis en un oint où il existe une distibution linéïque de chages ou une chage onctuelle I5 Exemle du segment unifomément chagé a) Segment de longueu finie λdz λdz = = + z 2 2 On fait un changement de vaiable : z = shϕ d z = chϕ dϕ z K 2 K ψ u z On a alos : λ chϕ dϕ λchϕ dϕ = = + sh ϕ 1+ sh ϕ 2 2 2 2 K 1 u θ u Cham et otentiel électostatiques (35-54) Page 2 su 5 JN Beuy
D où λ dϕ = On intège ente ϕ et 1 2 λ ϕ, soit V ( ) = ( ϕ ϕ ) 2 1 b) Segment illimité On ne eut as utilise le ésultat écédent ca la distibution est illimitée Si on voulait utilise la fomule écédente, on touveait V ( ) =!!! Il faut donc calcule le cham électostatique uis utilise la elation = E d l λ On admet que le cham électostatique vaut : E = u (voi démonstation aide dans le chaite su le théoème de Gauss) λ λ λ = E dl = u ( du + dθu + dzu ) = d D où V θ z ( ) = ln + cte Comme la distibution est illimitée, on ne eut as choisi V ( ) = On choisit un otentiel abitaie en un oint quelconque de l esace si l énoncé ne l imose as Pa exemle V ( ) = V On obtient alos : ( ) V V λ = ln Il ne faut as ête suis d avoi V ( ) = ca on taite du modèle «fot» En atique, on n a as un fil illimité Pa conte, le ésultat que l on touve est valable à condition d ête loin des bods (voi chaite 35-51 calcul de cham électostatique) II RELATION ENTRE LE CHAP ÉLECTROSTATIQUE ET LE POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE Nous avons vu que : = E d l La gadient de V est défini a : = ga dl On en déduit que ( ga + E) dl = Cette elation doit ête véifiée ou tout délacement dl On en déduit deux elations équivalentes : E = ga = E dl Le cham E déive du otentiel V Unités du cham : Vm -1 Remaque : En mécanique, une foce déive d une énegie otentielle, si et seulement si die δ W = F dl = de F = gade δ W =, c est à de III ÉNERGIE POTENTIELLE ET TRAVAIL DE LA FORCE ÉLECTROSTATIQUE III1 Énegie otentielle et tavail La foce électostatique qui s exece su un oint matéiel de chage q lacé dans un cham électostatique céé a une distibution de chages est : f = qe Le tavail élémentaie de la foce est : δ W = F dl On obtient : δ W = qe dl = q En mécanique, nous avons tois cas : foce de tavail nul, foce non consevative, foce consevative qui déive d une énegie otentielle Ici, nous ouvons défini l énegie otentielle E telle que : δ W = E L énegie otentielle d une chage q lacée dans un otentiel V est : Le tavail de la foce électostatique ente A et B le long du chemin A B Cham et otentiel électostatiques (35-54) Page 3 su 5 JN Beuy d ( ( ) ( )) W = E = q V B V A Γ est : La foce électostatique est une foce consevative : le tavail ne déend as du chemin suivi, mais uniquement du oint de déat et du oint d aivée On emaque que W = qc Γ Γ E = qv
III2 Deuxième méthode ou calcule l énegie otentielle L énegie otentielle E ( ) est a définition égale au tavail W que devait founi un "éateu" ou amene la chage de façon quasistatique deuis l infini jusqu à sa osition effective Système = {chage q qui se délace deuis l infini jusqu à sa osition effective } Réféentiel galiléen Bilan des foces : Foce électique : qe Foce execée a l éateu : F PFD : ma = qe + F Le délacement se fait de façon quasistatique donc à vitesse quasi nulle et accéléation quasi nulle On a donc : ma = qe + F Le tavail élémentaie founi a l éateu vaut : δ W = F dl = qe dl = q On intège ente l infini et le oint : W = q V ( ) V ( ) ( ) qv ( ) = Remaque : On oua efaie la même démonstation avec la foce de esanteu On envisage alos un délacement de l altitude jusqu à l altitude Z L éateu doit bien founi un tavail ou éleve la masse m si Z > III3 Définition de l électonvolt L électon volt est l énegie cinétique acquise a un électon soumis à une difféence de otentiel de 1 V Il suffit d alique le théoème de l énegie cinétique ente le oint A et le oint B avec V V = 1 V B A Attention au signe de la difféence de otentiel Le théoème de l énegie cinétique s écit : E = W = E = q c A B ( V V B A) = e( V V B A) 19 Alication numéique : 1 ev = 1, 6 1 J IV ÉQUILIBRE D UNE CHARGE PONCTUELLE Nous considéons une chage onctuelle lacée dans un cham électostatique E et un otentiel électostatique V Nous avons deux méthodes en mécanique ou étudie un équilibe IV1 Étude de l équilibe à ati de la foce ésultante Un système au eos est à l équilibe si la somme des foces est nulle et si la somme des moments des foces est nulle, c'est-à-die ici F = qe = E = L équilibe est stable si en l écatant légèement de sa osition d équilibe, la ésultante des actions mécaniques a tendance à le amene ves sa osition d équilibe L équilibe est instable si en l écatant légèement de sa osition d équilibe, la ésultante des actions mécaniques a tendance à l écate de sa osition d équilibe IV2 Étude de l équilibe à ati de l énegie otentielle V = x Nous avons vu que E = gad V V F = qe = E = = ga = y V = z Étudions le cas aticulie d un mouvement à une dimension suivant l axe Ox Le oint au eos est à l équilibe si et seulement si d V dx =, c'est-à-die V asse a un extemum L équilibe est stable si l énegie otentielle asse a un minimum L équilibe est instable si l énegie otentielle asse a un maximum Cham et otentiel électostatiques (35-54) Page 4 su 5 JN Beuy
La osition x = x eq est une osition d équilibe Si on écate légèement le oint matéiel de sa osition d équilibe avec x > de x eq La foce qui s exece su le oint est f = gad E = u x On a dx alos f < La foce a tendance à le amene ves sa osition d équilibe x L équilibe est donc stable E x eq x V ÉQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAP V1 Suface équiotentielle Une suface équiotentielle est une suface (Σ) ou laquelle le otentiel V est le même en chaque oint V = cte ( Σ) suface équiotentielle Soit un oint aatenant à une suface équiotentielle ( ) Σ Soit un oint voisin de aatenant à la même équiotentielle En se délaçant de ves d l = ' et V ' V = = = ga dl = E dl Cette elation est véifiée ou tout oint voisin de ( ) ( ) aatenant à l équiotentielle Un oduit scalaie est nul si et seulement si le emie vecteu est nul ou le deuxième vecteu est nul ou les deux vecteus sont othogonaux On en déduit que E d l Cette elation Σ doit ête véifiée ou tout oint voisin de et aatenant à ( ) Le cham électostatique en un oint est othogonal à la suface équiotentielle assant a ce oint V2 Ligne de cham et suface équiotentielle 2 n Σ 2 Σ1 1 Soient deux équiotentielles oches ( Σ 1 ) et ( 2 ) l équiotentielle ( Σ 1 ) 2 est l intesection de la nomale assant a 1 et l équiotentielle ( Σ 2 ) Σ de otentiel V 1 et V 2 Soit 1 un oint aatenant à On alique la elation = E d l avec dl = 1 2 On ose n le vecteu unitaie nomal à (Σ1 ) et diigé de 1 ves 2 ; E = En On a donc = V V = E n n 2 1 1 2, d où V 1 V 2 = 1 2 E Si V 2 > V 1, alos E < et si V 2 < V 1, alos E > Le cham électostatique en un oint est othogonal à la suface équiotentielle assant a ce oint et diigé dans le sens des otentiels décoissants Cham et otentiel électostatiques (35-54) Page 5 su 5 JN Beuy