S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee Uiversité de Picardie Jules Vere 011-01 UFR des Scieces Licece metio Mathématiques et metio Iformatique parcours MIAGE - Semestre 3 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, test statistique (suite) Cas d ue ou de deux moyees, d ue ou de deux variaces 1. Itroductio O s itéresse à l étude d u caractère (quatitatif ou qualitatif) des N idividus d ue populatio. Pour chacu des idividus de la populatio, le caractère peut a priori predre des valeurs aléatoiremet différetes. Aisi, le caractère peut être représeter par ue variable aléatoire X. Lorsque le caractère est quatitatif (taille des idividus,...), X sera ue variable aléatoire égale aux valeurs du caractère ; o supposera e gééral que X est ue variable aléatoire d espérace mathématique (moyee), d écart-type, et évetuellemet de loi ormale. Lorsqu o a pas accès à l esemble de la populatio, o procède à u échatilloage, i.e. au choix de idividus das la populatio, sur lesquels o observe la valeur x du caractère X. O aura aisi u échatillo X 1,X,...,X est u échatillo de taille de X ; pour tout i 1,...,, la variable aléatoire X i correspod aux valeurs du caractère du i-ème idividu obteu par échatilloage, et aura doc la même loi de probabilité que X. De plus, l échatilloage état o-exhaustif (tirages avec remise), les variables aléatoires X i sot idépedates. Exemple itroductif sur la moyee O cosidère u groupe de quatre efats, Alexis, Bejami, Cyril et David, d âges respectifs 1, 13, 14 et 15 as. Lorsqu o choisit u efat au hasard das le groupe, o peut cosidérer : - X, âge de l efat, variable aléatoire de loi uiforme sur 1,13,14,15 : PX 1 PX 15 1, de moyee 13,5 et d écart-type 1.5 1.118 ; 4 Cherchos à retrouver ou à approcher ces résultats à partir d échatillos o-exhaustifs (avec remise) de taille 3. Il y e a 4 3 64, ils formet u uivers, esemble des résultats possibles de l expériece aléatoire "choisir u échatillo". O peut muir de la tribu des évéemetsa P et de l équiprobabilité P sur,a. A chacu des résultats (échatillos), o peut associer la moyee X x des âges de l échatillo. O obtiet les résultats présetés das le tableau page. O défiit aisi ue variable aléatoire X, dot o peut obteir la loi de probabilité : x i 1,00 1,33 1,67 13,00 13,33 13,67 14,00 14,33 14,67 15,00 PX x i 1/64 3/64 6/64 10/64 1/64 1/64 10/64 6/64 3/64 1/64 O peut alors calculer : - EX x i PX x i 13,5 : o remarque que EX EX. - VarX x i PX x i EX 5 1. Estimateur - Estimatio : o remarque que VarX VarX..1. Moyee et variace d échatillo Cosidéros u caractère quatitatif représeté par ue variable aléatoire X d espérace mathématique, d écart-type, et u échatillox 1,X,...,X de taille de X. Pour chaque échatilloage o peut calculer la moyee observée du caractère x 1 x i, x 1 x i,... Ces moyees observées peuvet être cosidérées comme les valeurs observées de la variable aléatoire X X 1 X i, moyee d échatillo. Stéphae Ducay 1
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee x A,A,A 1 A,A,B 1,33 A,A,C 1,67 A,A,D 13 A,B,A 1,33 A,B,B 1,67 A,B,C 13 A,B,D 13,33 A,C,A 1,67 A,C,B 13 A,C,C 13,33 A,C,D 13,67 A,D,A 13 A,D,B 13,33 A,D,C 13,67 A,D,D 14 x B,A,A 1,33 B,A,B 1,67 B,A,C 13 B,A,D 13,33 B,B,A 1,67 B,B,B 13 B,B,C 13,33 B,B,D 13,67 B,C,A 13 B,C,B 13,33 B,C,C 13,67 B,C,D 14 B,D,A 13,33 B,D,B 13,67 B,D,C 14 B,D,D 14,33 x C,A,A 1,67 C,A,B 13 C,A,C 13,33 C,A,D 13,67 C,B,A 13 C,B,B 13,33 C,B,C 13,67 C,B,D 14 C,C,A 13,33 C,C,B 13,67 C,C,C 14 C,C,D 14,33 C,D,A 13,67 C,D,B 14 C,D,C 14,33 C,D,D 14,67 x D,A,A 13 D,A,B 13,33 D,A,C 13,67 D,A,D 14 D,B,A 13,33 D,B,B 13,67 D,B,C 14 D,B,D 14,33 D,C,A 13,67 D,C,B 14 D,C,C 14,33 D,C,D 14,67 D,D,A 14 D,D,B 14,33 D,D,C 14,67 D,D,D 15 O démotre que EX (o dit que X est u estimateur sas biais de ) et VarX. Pour ue observatiox 1,x,...,x de l échatillo, o dit que x 1 x i est ue estimatio poctuelle de. De même, o cosidère la variace d échatillo S S 1 X i X 1 X i X. O a alors ES 1 et S est u estimateur avec biais de. O cosidère alors la variace corrigée d échatillo S c 1 S : o a alors ES c et S c est u estimateur sas biais de. Pour ue observatiox 1,x,...,x de l échatillo, ue estimatio poctuelle de est s c 1 s avec s 1 x i x... Loi de probabilité des estimateurs Cas d u petit échatillo gaussie : 30 et X de loi ormalen; Si est cou (cas peu utile e pratique), alors U X suit la loi ormalen0; 1. Si est icou, alors T X suit la loi de Studet à 1degrés de liberté. Cas d u grad échatillo : 30 (et X de loi quelcoque) Das ce cas, U X suit approximativemet la loi ormalen0; 1. Cas d u échatillo gaussie : X de loi ormalen; Das ce cas, Y 1 S c suit la loi de khi deux à 1degrés de liberté. Stéphae Ducay
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 3. Itervalle de cofiace 3.1. Pour ue moyee Cosidéros u caractère quatitatif représeté par ue variable aléatoire X d espérace mathématique, d écart-type, et u échatillox 1,X,...,X de taille de X. La moyee d échatillo est X 1 et la variace corrigée d échatillo est S c 1 S, avec S 1 X i X 1 X i X. X i 3.1.1. Cas d u petit échatillo gaussie : 30 et X de loi ormalen; 3.1.1.1. Cascou (peu utile e pratique) O sait que U X suit la loi ormalen0; 1. O fixe ue valeur 0,1. O peut trouver u réel u tel que Pu U u 1(voir table ). O a alors 1 P u X u P u X u P X u X u P X u X u. O dit que I X u, X u est u itervalle de cofiace de au iveau 1(ou au seuil ). E pratique, o a ue observatio x de X, d où ue observatio de cet itervalle : i x u, x u. 3.1.1.. Casicou O sait que T X suit la loi de Studet à 1degrés de liberté. O détermie alors le réel t tel que Pt T t 1(table 3). O e déduit u itervalle de cofiace de au iveau 1: i x s c t, x s c t. 3.1.. Cas d u grad échatillo : 30 O sait que U X suit approximativemet la loi ormalen0; 1. O procède alors comme au 3.1.1.1. e remplaçat par s c et o obtiet u itervalle de cofiace approché de au iveau 1: i x s c u, x s c u 3.. Pour ue variace Cosidéros u caractère quatitatif représeté par ue variable aléatoire X de loi ormalen;, et u échatillox 1,X,...,X de taille de X. La moyee d échatillo est X et la variace corrigée d échatillo est S c 1 S. Alors Y 1 S c suit la loi de khi deux à 1degrés de liberté. O détermie alors les réels a et b tels que PY a 1 et PY b (table 4). O a alors 1 P a 1 S c b P 1 1 b 1 a P 1S c b 1S c a. O e déduit u itervalle de cofiace de la variace au iveau 1: i 1 s b c, 1 a s c. Stéphae Ducay 3
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 3.3. Exemple U échatillo de 30 efats d ue ville doée à fouri les tailles suivatss (e cm) : 70 85 93 99 101 105 110 11 138 166 74 85 93 99 10 106 110 15 140 180 79 87 94 99 10 107 114 18 147 180 O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio : les efats de la ville cosidérée. Caractère : la taille, variable aléatoire de moyee et de variace (écart-type ). EchatilloX 1,X,...,X de taille 30 de X. Observatio de l échatillo : x 1,x,...,x 70,74,79,...,180. 1) Estimateurs a) de la moyee : X 1 X i ; b) de la variace : S c 1 S, avec S 1 X i X. ) Estimatios poctuelles a) de la moyee : x 1 x i 1 3339 111,3 ; 30 b) de la variace : s 1 x i x 1 30 395347111,3 790,54 ; et doc s c 1 s 30 790,54 817,80 ; 9 c) de l écart-type : s c s c 8,60. 3) Itervalle de cofiace a) de la moyee 1ère méthode : X supposée de loi ormalen;,icou T X suit la loi de Studet à 1degrés de liberté. O détermie le réel t tel que Pt T t 1(table 3). O e déduit u itervalle de cofiace de au iveau 1:i x s c t ; x s c t. O a 30 et 1 9. Pour 0,05 (i.e. 5%, o a t,045, et doc u itervalle de cofiace de au iveau 0,95 (i.e. 95%) est i 100,6 ; 1,0. ème méthode : grad échatillo ( 30, pas d hypothèse sur la loi de X) U X suit approximativemet la loi ormalen0; 1. O détermie le réel u tel que Pu U u 1. O e déduit u itervalle de cofiace de au iveau 1:i x s c u ; x s c u. O a 30. Pour 0,05 (i.e. 5%, o a u 1,96, et doc u itervalle de cofiace de au iveau 0,95 (i.e. 95%) est i 101,1 ; 11,5. b) de la variace : X supposée de loi ormalen; Y 1 S c suit la loi de khi deux à 1degrés de liberté. O détermie alors les réels a et b tels que PY a 1 et PY b (table 4). O e déduit u itervalle de cofiace de au iveau 1:i 1 s b c ; 1 a s c. O a 30 et 1 9. Pour 0,05 (i.e. 5%, o a a 16,05 et b 45,7, et doc u itervalle de cofiace de au iveau 0,95 (i.e. 95%) est i 518,73 ; 1477,65. Stéphae Ducay 4
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 4. Test de coformité 4.1. Pour ue moyee Cosidéros u caractère quatitatif représeté par ue variable aléatoire X d espérace mathématique, d écart-type, et u échatillox 1,X,...,X de taille de X. La moyee d échatillo est X 1 X i et la variace corrigée d échatillo est S c 1 S, avec S 1 X i X 1 X i X. 4.1.1. Cas d u petit échatillo gaussie : 30 et X de loi ormalen; 4.1.1.1. Cascou (exemple itroductif) Il s agit de faire u choix etre plusieurs hypothèses possibles sur sas disposer d iformatios suffisates pour que ce choix soit sûr. O met e avat deux hypothèses privilégiées : l hypothèse ulle H 0 et l hypothèse alterative H 1. Par exemple, o testera H 0 : 0 cotre H 1 : 0, avec 0 fixé arbitrairemet. O veut savoir si l o doit rejeter H 0 ou pas. Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O utilise alors ue variable aléatoire dot o coait la loi de probabilité lorsque H 0 est vraie. Par exemple U X, car lorsque H 0 est vraie, o sait que U X 0 suit la loin0; 1. O fixe ue valeur 0,1. E gééral, o predpetit, le plus souvet 0,05, 0,01, 0,001. O peut trouver u réel u tel que Pu U u 1. Ce réel u peut être trouvé das la table. O est doc ameé à comparer la moyee X de l échatillo à la moyee théorique 0. L hypothèse H 0 sigifiera que les différeces observées sot seulemet dûes aux fluctuatios d échatilloage (i.e. e sot pas sigificatives). O e rejettera pas H 0 si les différeces observées e sot pas sigificatives, c est-à-dire si U est "petite", ce que l o peut traduire par u U u, c est-à-dire U u. O rejetera doc H 0 si les différeces observées sot sigificatives, ce que l o peut traduire par U u ou U u, c est-à-dire U u. Par costructio de u, o a PU u PU u, soit ecore P U u, i.e. PU u,u. E pratique, o calcule u x 0 et o décide - de rejeter H 0 si u u,u, car si H 0 était vraie, l évéemet U u,u aurait ue probabilité faible de se réaliser ; o pourra dire que la valeur observée x est pas coforme à la valeur théorique 0 mais o e pourra pas doer de valeur acceptable de ; - de e pas rejeter H 0 si u u,u, car si H 0 était vraie, l évéemet U u,u aurait ue probabilité forte de se réaliser ; o pourra dire que la valeur observée x est coforme à la valeur théorique 0 et que la valeur 0 e peut être rejeter. Attetio : d autres valeurs 0, 0,... peuvet égalemet coveir. Erreurs de décisio. Lorsqu o rejette H 0 alors que H 0 est vraie, o commet ue erreur. O a doc ue probabilité de se tromper : est appelée erreur de première espèce. E effet, lorsque H 0 est vraie, o a PU u,u. Lorsque l o e rejette pas H 0 alors que H 0 est fausse, o commet ue erreur. O a ue probabilité de se tromper : est appelée erreur de deuxième espèce. Cette erreur est difficilemet calculable. La plupart du temps, o e coait pas la loi de U lorsque H 0 est fausse. La valeur 1est appelée la puissace du test. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie u tel que PU u, i.e. PU u 1, i.e. u 1 1 u, et o décide que : - si u u, alors o e peut rejeter H 0 ; - si u u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Stéphae Ducay 5
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 4.1.1.. Casicou O sait que T X suit la loi de Studet à 1degrés de liberté. O détermie alors le réel t tel que Pt T t 1(table 3). Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O calcule t x 0 s c. O détermie t tel que Pt T t 1et o décide que : - si t t,t, alors o e peut rejeter H 0 ; - si t t,t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie t tel que PT t 1, i.e. t t, et o décide que : - si t t, alors o e peut rejeter H 0 ; - si t t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie t tel que PT t 1, i.e. t t t, et o décide que : - si t t, alors o e peut rejeter H 0 ; - si t t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. 4.1.. Cas d u grad échatillo : 30 O sait que U X suit approximativemet la loi ormalen0; 1. Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O calcule u x 0 s c. O détermie u tel que Pu U u 1, et o décide que : - si u u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; - si u u,u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie u tel que PU u 1, i.e. u 1 1 u, et o décide que : - si u u, alors o e peut rejeter H 0 ; - si u u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie u tel que PU u 1, i.e. u 1 u u, et o décide que : - si u u, alors o e peut rejeter H 0 ; - si u u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. 4.1.3. Exemple Das ue usie du secteur de l agroalimetaire, ue machie à embouteiller est alimetée par u réservoir d eau et par ue file d approvisioemet e bouteilles vides. Pour cotrôler le bo foctioemet de la machie, o veut costruire u test d hypothèse bilatéral qui sera mis e oeuvre toutes les heures. Pour ue productio d ue heure, o suppose que la variable aléatoire X qui à toute bouteille, prise au hasard das cette productio, associe le volume d eau (e litres) qu elle cotiet, est ue variable aléatoire d espérace et d écart-type icous.o cosidère que la machie est bie réglée lorsque le volume d eau moye das ue bouteille est 1,5 l. O a prélevé u échatillo de 100 bouteilles, et o a obteu u volume d eau moye de 1,495 l et u écart-type corrigé de 0,01. Peut-o coclure, au risque 5%, que la machie est bie réglée? O peut cosidérer la situatio suivate. Stéphae Ducay 6
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee Populatio : bouteilles produites Variable X : volume d eau, variable aléatoire de moyee et d écart-type 0,01. Echatillo E X 1,X,...,X de taille 100 de X. Observatio de l échatillo : e x 1,x,...,x. Estimateurs X 1 X i de et S c 1 S de, avec S 1 X i X. Estimatios poctuelles : x 1,495 et s c 0,01. O a 100 30 doc u grad échatillo. O effectue u test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O sait que U X suit approximativemet la loi ormalen0; 1. O calcule u x 0 s c 1,4951,5 0,01 100 5. O détermie u tel que Pu U u 1(table ) : pour 0,05, o trouve u 1; 96. Comme u u,u, o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper : la machie est pas bie réglée. 4.. Pour ue variace Cosidéros u caractère quatitatif représeté par ue variable aléatoire X de loi ormalen;, et u échatillox 1,X,...,X de taille de X. La moyee d échatillo est X et la variace corrigée d échatillo est S c 1 S. Alors Y 1 S c suit la loi de khi deux à 1degrés de liberté. Test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O calcule y 1 0 s c. O détermie a et b tels que PY a 1 et PY b (table 4). O a doc PY a,b Pa Y b 1et PY a,b. O décide que : - si y a,b, alors o e peut rejeter H 0 ; - si y a,b, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie b tel que PY b, i.e. b b et o décide que : - si y b, alors o e peut rejeter H 0 ; - si y b, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0. O détermie a tel que PY a 1, i.e. a a et o décide que : - si y a, alors o e peut rejeter H 0 ; - si y a, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Stéphae Ducay 7
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 5. Test d homogééité Das deux populatios P 1 et P, o étudie u même caractère. O cherche à comparer les deux populatios quat à ce caractère, et doc à savoir si elles sot homogèes ou pas. 5.1. Comparaiso de deux variaces Soiet X 1 et X des variables aléatoires représetat le caractère das chaque populatio, de moyees respectives 1 et, d écart-types respectifs 1 et. De P 1 et P o extrait u échatillo E 1 X 1,1,X 1,,...,X 1,1 de taille 1 de X 1 et u échatillo E X,1,X,,...,X, de taille de X. Les moyees d échatillo sot alors X 1 1 1 d échatillo,1 1 1 1 S 1 et, 1 X 1,i et X 1 X,i, et les variaces corrigées 1 S, avec S 1 1 1 1 X 1,i X 1 et S 1 X,i X. 5.1.1. Cas d échatillos idépedats Les échatillos E 1 et E sot supposés idépedats. O suppose de plus que X 1 et X suivet les lois ormalesn 1 ; 1 etn ;. Test de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Sous l hypothèse H 0, F,1 suit la loi de Sédécor à 1 1, 1 degrés de liberté., O calcule f s c,1. Si écesaire, o permute les échatillos de sorte que f 1. O détermie f tel que s c, PF f (table 5 ou 6), et o décide que : - si f f, alors o e peut rejeter H 0 ; - si f f, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. 5.1.. Cas d échatillos appariés Deux échatillos E 1 et E sot dits appariés lorsque chaque observatio x 1,i de E 1 est associée à ue valeur x,i de E (appariésassociés par paires). C est par exemple le cas lorsque E 1 et E provieet d u même groupe de malades avat et après traitemet. Deux échatillos appariés ot doc la même taille 1. O suppose que E 1 et E sot appariés et que X 1 et X suivet les lois ormalesn 1 ; 1 etn ;. Test de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. S Sous l hypothèse H 0, T c,1 S c, S c,1, 1 X 1 1,i X 1 X,i X degrés de liberté. O calcule t s c,1 s c, 1 1 s c,1 s c, x 1,i x 1 x,i x Pt T t 1(table 3), et o décide que : - si t t,t, alors o e peut rejeter H 0 ; - si t t,t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. suit la loi de Studet à. O détermie t tel que Stéphae Ducay 8
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 5.. Comparaiso de deux moyees 5..1. Cas de grads échatillos idépedats O suppose que 1 30 et 30, et que les échatillos E 1 et E sot idépedats. Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Sous l hypothèse H 0, U X 1 X 1 1 suit approximativemet la loi ormalen0; 1. Le résultat reste valable si o remplace 1 et par leurs estimatios s c,1 et s c,. O calcule u x 1 x s c,1 1 s. O c, détermie u tel que Pu U u 1, i.e. u 1 1 (table ) et o décide que : - si u u,u, alors o e peut rejeter H 0 ; - si u u,u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie u tel que PU u 1, i.e. u 1 1 u, et o décide que : - si u u, alors o e peut rejeter H 0 ; - si u u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie u tel que PU u 1, i.e. u 1 u u, et o décide que : - si u u, alors o e peut rejeter H 0 ; - si u u, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. 5... Cas de petits échatillos idépedats extraits de populatios gaussiees O suppose que 1 30 ou 30, et que les échatillos E 1 et E sot idépedats. O suppose de plus que X 1 et X suivet les lois ormalesn 1 ; 1 etn ;, et que 1. Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Sous l hypothèse H 0, T X 1 X 1 1 1 suit approximativemet la loi de Studet à 1 degrés de liberté. Comme o e coait pas 1, o doit d abord tester l égalité des variaces 1 (paragraphe.1.1.). Si cette hypothèse est reteue, alors cette valeur commue peut être estimer par s c,1, 1 1s c,1 1s c, 1 O calcule t x 1 x s c,1, 1 1 1. O détermie t tel que Pt T t 1(table 3) et o décide que - si t t,t, alors o e peut rejeter H 0 ; - si t t,t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie t tel que PT t 1, i.e. t t, et o décide que : - si t t, alors o e peut rejeter H 0 ; - si t t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie t tel que PT t 1, i.e. t t t, et o décide que : - si t t, alors o e peut rejeter H 0 ; - si t t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. Stéphae Ducay 9
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 5..3. Cas de petits échatillos idépedats : test de Ma et Whitey No traité ici. 5..4. Cas de grads échatillos appariés O suppose que 1 30, et que les échatillos E 1 et E sot appariés. O cosidère la variable aléatoire D X 1 X, dot u échatillo est D 1,D,...,D, avec D i X 1,i X,i. Les moyee et variace corrigée d échatillo sot alors D 1 avec S d 1 1 D i D. Désigos par 1 la moyee de D. Puisque 30, U D suit approximativemet la loi ormalen0; 1.,d Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (bilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (paragraphe 4.1..). Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (paragraphe 4.1..). Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (paragraphe 4.1..). D i et,d 1 S d, 5..5. Cas de petits échatillos appariés extraits de populatios gaussiees O suppose que 1 30, que les échatillos E 1 et E sot appariés et que X 1 et X suivet les lois ormalesn 1 ; 1 etn ;. Les otatios sot les mêmes que das le paragraphe 5..4. Das ce cas, T D suit la loi de Studet,d à 1degrés de liberté. O adapte alors les résultats ci-dessus (paragraphes 5..4. et 4.1.1..). 5..6. Cas de petits échatillos appariés : test de Wilcoxo No traité ici. 5.3. Exemples 5.3.1. Comparaiso de deux moyees (1) Das u article de la revue "Biometrica", le biologiste Latter doe la logueur (e mm) des oeufs de Coucou trouvés das les ids de deux espèces d oiseaux : - das des ids de petite taille (Roitelet) : - das des ids de taille plus grade (Fauvette) : 19,8,1 1,5 0,9,0 1,0,3 1,0 0,3 0,9,0,0 0,8 1, 1,0,0 3,9 0,9 3,8 5,0 4,0 3,8 1,7,8 3,1 3,5 3,0 3,0 3,1 O se demade si le Coucou adapte la taille de ses oeufs à la taille du id. O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio 1 : oeufs de Coucou das des ids de Roitelet. Variable X 1 : la logueur, variable aléatoire de moyee 1 et de variace 1. Echatillo E 1 X 1,1,X 1,,...,X 1,1 de taille 1 15 de X 1. Observatio de l échatillo : e 1 x 1,1,x 1,,...,x 1,1 19,8,,1,..., 1,0. Stéphae Ducay 10
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee Estimateurs X 1 1 1 1 X1,i de 1 et,1 1 1 1 S 1 de 1, avec S 1 1 1 1 X1,i X 1. Populatio : oeufs de Coucou das des ids de Fauvette. Variable X : la logueur, variable aléatoire de moyee et de variace. Echatillo E X,1,X,,...,X, de taille 14 de X. Observatio de l échatillo : e x,1,x,,...,x,,0, 3,9,..., 3,1. X,i de et, Estimateurs X 1 1 S de, avec S 1 1) Estimatios poctuelles a) observatio sur l échatillo e 1 de taille 1 15 : x 1 1,5 et s c,1 0,516 ; b) observatio sur l échatillo e de taille 14 : x 3,11 et s c, 1,101. X,i X. ) Test de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Les échatillos E 1 et E sot idépedats et o suppose que X 1 et X suivet les lois ormales N 1 ; 1 etn ;. Sous l hypothèse H 0, F,1 suit la loi de Sédécor à 1 1, 1 degrés de liberté., Comme f s c,1 1, o permute les échatillos. s c, Sous l hypothèse H 0, F, suit la loi de Sédécor à 1, 1 1 13,14 degrés de liberté.,1 O calcule f s c,,14. O détermie f tel que PF f (table 5 ou 6) : pour 0,05, s c,1 o trouve f compris etre,95 et 3,15 (table 5). Comme f f, o e peut rejeter H 0 et les variaces des deux populatios e sot pas différetes sigificativemet au risque 5%. Pour cette décisio de o-rejet, o e coait pas la probabilité de se tromper (erreur de deuxième espèce). 3) Test (bilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O a 1 30 ou 30, et les échatillos E 1 et E sot idépedats. O suppose que X 1 et X suivet les lois ormalesn 1 ; 1 etn ;. O est alors das le cas de petits échatillos gaussies idépedats. D après le test précédet, o peut admettre 1. Sous l hypothèse H 0, T X 1 X 1 1 1 suit approximativemet la loi de Studet à 1 7 degrés de liberté. Comme o a reteu 1, cette valeur commue peut être estimer par s c,1, 1 1s c,1 1s c, 0,798, et e remplaçat par s c,1, das T, o e modifie pas la loi 1 approchée de T. O calcule alors t x 1 x s c,1, 1 1 1 5,61. O détermie t tel que Pt T t 1(table 3) : pour 0,05, o trouve t,05. Comme t t,t, o rejette H 0 avec ue probabilité 0,05 de se tromper. La taille moyee des oeufs de Coucou sot différetes das les ids de Roitelet et de Fauvettes. Comme o observe x 1 x, o aurait pu faire le test uilatéral de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. O détermie t tel que PU t 1, i.e. t t t : pour 0,05, o trouve t 1,703. Comme t t, o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. La taille moyee des oeufs de Coucou das les ids de Roitelet est iférieure à celle das les ids de Fauvettes. Aisi, o peut coclure que le Coucou adapte la grosseur de ses oeufs à la taille du id. (Il s agit d u phéomèe de mimétisme qui permet aux oeufs de Coucou de passer plus facilemet iaperçus.) Stéphae Ducay 11
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 5.3.. Comparaiso de deux moyees () Chez u groupe de 10 malades, o expérimete les effets d u traitemet destié à dimiuer la pressio artérielle. O observe les résultats suivats (valeur de la tesio artérielle systolique e cm Hg) : sujet 1 3 4 5 6 7 8 9 10 avat traitemet 15 18 17 0 1 18 17 15 19 16 après traitemet 1 16 17 18 17 15 18 14 16 18 O se demade si le traitemet à ue actio sigificative. O peut cosidérer la situatio suivate. Populatio 1 : malades avat traitemet. Variable X 1 : la tesio, variable aléatoire de moyee 1 et de variace 1. Echatillo E 1 X 1,1,X 1,,...,X 1,1 de taille 1 10 de X 1. Observatio de l échatillo : e 1 x 1,1,x 1,,...,x 1,1 15,18,..., 16. Populatio : malades après traitemet. Variable X : la tesio, variable aléatoire de moyee et de variace. Echatillo E X,1,X,,...,X, de taille 10 de X. Observatio de l échatillo : e x,1,x,,...,x, 1,16,...,18. O a 1 10 30 et les échatillos E 1 et E sot appariés. O suppose que X 1 et X suivet les lois ormalesn 1 ; 1 etn ;. O a doc de petits échatillos appariés extraits de populatios gaussiees. O cosidère la variable aléatoire D X 1 X, dot u échatillo est D 1,D,...,D, avec D i X 1,i X,i. Les moyee et variace corrigée d échatillo sot alors D 1 D i et,d 1 S d, 1 Di D. Désigos par 1 la moyee de D. avec S d 1 A partir de l observatio de l échatillod 1,d,...,d 3,,0,,4,3,1,1,3,, o obtiet les estimatios d 1,5 et s c,d 1,96. Test (uilatéral) de H 0 : 1 cotre H 1 : 1. Ce test est équivalet au test (uilatéral) de H 0 : 0 cotre H 1 : 0 (test de coformité). Sous l hypothèse H 0, o sait que T D Sc,d suit la loi de Studet à 1degrés de liberté. O calcule t d sc,d,4. O détermie t tel que PT t 1, i.e. t t (table 3) : pour 0,05, o trouve t 1,833. Comme t t, alors o rejette H 0 avec ue probabilité de se tromper. O coclut que la tesio a dimié après le traitemet et doc que ce derier a ue actio sigificative. 6. Exercices Exercice 1. Ue usie fabrique des pièces métalliques. Le cliet réceptioe sa commade. Das le lot reçu, il prélève u échatillo de 0 billes choisies au hasard et avec remise, et mesure les diamètres suivats : 4,7 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5,1 5, 5,3 5,4 4,8 4,9 5,0 5,0 5,1 5,1 5, 5,3 5,3 5,5 1) Préciser la populatio et le caractère étudiés. ) Expliquer pourquoi o peut cosidérer que ce caratère est ue variable aléatoire. Préciser e particulier l expériece aléatoire et l espace probabilisé permettat cette modélisatio. 3) Préciser la taille d échatillo, le(s) estimateur(s) mis e jeu et leur loi. 4) Doer ue estimatio poctuelle de la moyee et de la variace du diamètre. Stéphae Ducay 1
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee Exercice. O admet que le taux de cholestérol chez ue femme suit ue loi ormalen;. Sur u échatillo de 10 femmes, o a obteu les taux de cholestétol (e g/l) suivats : 3,0 1,8,1,7 1,4 1,9,,5 1,7,0 1) Détermier ue estimatio poctuelle de la moyee et de l écart-type du taux. ) Détermier u itervalle de cofiace pour la moyee du taux au seuil 1%. 3) Détermier u itervalle de cofiace pour l ecart-type du taux au seuil 5%. Exercice 3. Das la fabricatio de comprimés effervescets, il est prévu que chaque comprimé doit coteir 165 mg de bicarboate de sodium. Afi de cotrôler la fabricatio de ces médicamets, o a prélevé u échatillo de 150 comprimés, et o a mesuré la quatité de bicarboate de sodium pour chacu d eux. O a obteu les résultats suivats : Classes 1610; 1615 1615; 160 160; 165 165; 1630 1630; 1635 Effectifs 7 8 4 75 18 1) Détermier ue estimatio poctuelle de la moyee et de l écart-type de la quatité de bicarboate de sodium. ) Détermier u itervalle de cofiace au seuil 5% de la moyee de la quatité de bicarboate de sodium. 3) Quelle devrait-être le taille de l échatillo pour coaître la quatité moyee de bicarboate de sodium à 1 mg près? Exercice 4. O a mesuré, avat et après ue course de 400 mètres, le pouls (e battemets par miute) de 7 étudiats suivats u cours d éducatio physique : Avat 74 87 77 99 103 81 60 Après 83 96 99 110 130 95 74 O suppose que l accroissemet du pouls est ue variable aléatoire de loi ormalen;. Détermier u itervalle de cofiace au iveau 95 % pour la moyee de l accroissemet du pouls. Exercice 5. Le temps (exprimé e miutes) mis par ue machie A pour fabriquer ue pièce suit ue loi NormaleN48,5. La machie A tombat e pae, o fabrique la même pièce avec ue machie B. O suppose que le temps de fabricatio suit ecore ue loi Normale de même écart-type. Pour u échatillo de 5 pièces, o a obteu u temps moye de fabricatio de 51 mi. La machie B a-t-elle les mêmes performaces que la machie A? Exercice 6. O suppose que chez les femmes o malades, la teeur e hémoglobie du sag (e g pour 100 ml) est ue variable aléatoire de loi ormale de moyee 14,5 et d écart-type 1,1. Sur u échatillo de 0 femmes, o trouve ue teeur moyee e hémoglobie de 13,8 et u écart-type corrigé de 1,. Au risque de 5%, peut-o coclure que la populatio de femmes dot est extrait cet échatillo présete ue teeur e hémoglobie ormale? trop faible? Exercice 7. Le volume d ue pipette d u type doé suit ue loi ormalen;. Le fabriquat aoce u écart-type 0,l. Pour le vérifier, o pipette 0 fois u liquide. O observe ue moyee de 10l et u écart-type de 0,4l. Tester l affirmatio du fabricat. Exercice 8. Des dosages de l acide aspartique total de l urie, e mg/4h, ot été effectués sur deux groupes d adultes à régime alimetaire ormal. Les dosages ot doé les résultats suivats : Hommes Femmes Effectif du groupe 53 48 Moyee 91, 13 11, 9 Ecart-type 30, 49 48, 99 Stéphae Ducay 13
S3 Maths et Ifo-MIAGE 011-01 Statistique et Probabilités Estimatio, itervalle de cofiace, tests - Moyee 1) Préciser la(les) populatio(s) et le(s) caractère(s) étudié(s), aisi que la(les) taille(s) d échatillo. Idiquer le(s) estimatios(s) mises e jeu das la suite. ) Peut-o cosidérer, au risque 5%, que les deux populatios étudiées ot le même dosage d acide aspartique? Justifier votre répose. 3) Si les deux groupes avaiet les mêmes moyees et écart-types que das le tableau ci-dessus, mais étaiet costitués que de 1 hommes et 10 femmes, chacu, pourrait-o ecore appliquer la méthode suivie au )? E cas de répose égative, idiquer la démarche à suivre. Exercice 9. Sur u groupe de 10 malades, o expérimete les effets d u traitemet destié à dimiuer la pressio artérielle. O observe les résultats suivats (valeurs de la tesio artérielle systolique e cm Hg) : Sujet 1 3 4 5 6 7 8 9 10 avat traitemet 15 18 17 0 1 18 17 15 19 16 après traitemet 1 16 17 18 17 15 18 14 16 18 Le traitemet a-t-il ue actio sigificative, au risque de 5%? O supposera les populatios gaussiees. Exercice 10. La durée de gestatio humaie est e moyee de 40,5 semaies. 1) Das ue materité, o a oté l âge gestatioel de 100 ouveaux-és successifs. O a observé ue moyee de 38,5 semaies et u écart-type de 5 semaies. O pese que cette materité est spécialisée das les accouchemets prématurés. Tester cette hypothèse au risque 5%. ) Das cette même materité, les mères des 100 ouveaux-és suivats ot reçu u traitemet ihibat les cotractios utéries. Pour ces ouveaux-és, o a observé ue moyee de 39,5 semaies et u écart-type de 4 semaies. Tester l égalité des moyees des durées de gestatio des groupes au risque %. Exercice 11. D après exame de mars 011 1) U fabricat de téléviseurs achète u certai composat électroique à u fourisseur A. L accord etre le fabricat et le fourisseur stipule que les composats doivet avoir ue durée de vie au mois égale à 600 heures. Le fabricat reçoit u lot importat de composats et (ayat des doutes) décide de tester la durée de vie (e heures) sur u échatillo de 16 composats choisis au hasard das le lot. Il obtiet les résultats suivats : 565 60 570 55 605 590 590 560 590 575 65 560 550 65 570 515 a) Préciser la populatio et le caractère étudiés. Préciser la taille d échatillo, le(s) estimateur(s) mis e jeu et leur loi. Préciser les hypothèses évetuelles à faire sur la variable étudiée pour coaître la loi des estimateurs. b) Doer ue estimatio poctuelle de la moyee et de l écart-type de la durée de vie d u composat. c) Doer u itervalle de cofiace au iveau 95% de la durée de vie moyee d u composat. Peut-o e déduire que l accord etre le fabricat et le fourisseur est pas respecté? Expliquer. d) Effectuer u test statistique au risque 5% pour savoir si l accord est respecté ou pas. ) Le fabricat a réalisé u autre test de durée de vie sur u échatillo de 16 composats prélevés au hasard das u lot d u autre fourisseur B aoçat ue durée de vie plus logue que celle de A. Les résultats obteus sur la durée de vie de ces 16 composats doet ue moyee de 600 h et u écart-type corrigé de 30 h. Effectuer le(s) test(s) statistique(s) adéquat(s) pour savoir si o peut cosidérer, au risque 5%, que les composats du fourisseur B ot ue durée de vie plus logue que ceux du fourisseur A. Stéphae Ducay 14
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