Univsité Chikh Anta Diop Faculté ds Scincs t Tchnologis d l'education t d la Fomation (FASTEF) DEPARTEMENT DE SCIENCES PHYSIQUES FORMATION DES PROFESSEURS DE COLLEGES D ENSEIGNEMENT MOYEN SECTION FC (Nivau Bac + an) Anné académiqu 03 / 04 COURS DE PHYSIQUE MECANIQUE DU POINT MATERIEL
Autu du modul : Mamadi BIAYE Fomatu, Pofssu Titulai ds Univsités n Physiqu Atomiqu Dépatmnt d Scincs Physiqus Faculté ds Scincs t Tchnologis d l Education t d la Fomation (FASTEF) Tl. Domicil : 33 836 3 3 Potabl : 77 33 74 50 Email : yalabiay@gmail.com mamadi.biay@ucad.du.sn
3. Justification / impotanc du cous C modul s insè dans un pogamm d fomation ds nsignants. Il pmt d assoi ls compétncs d bas acquiss n mécaniqu dans l cycl scondai. Il tait ls mouvmnts ds objts qui constitunt un impotanc capital dans la physiqu d l univs. C modul aid non sulmnt l appnant à miux compnd ls lois qui égissnt tout mouvmnt mais aussi pmt d utilis cs lois pou la dsciption du mouvmnt d tout point matéil. La dsciption d cs mouvmnts constitu ls tavaux ssntils ds physicins pou l dévloppmnt d la scinc dpuis Aistot t Galilé. Pésntation du cous C modul d Mécaniqu du point st dstiné aux étudiants, nsignants vacatais t contactuls d nivau è anné d Licnc d Physiqu t Chimi ds Facultés. Il compnd dux (0) gands chapits : cinématiqu du point matéil ; dynamiqu du point matéil. L pmi chapit tait ls opéations su ls gandus vctoills, ls opéatus vctoils n coodonnés catésinns, polais, cylindiqus t sphéiqus. Il tait égalmnt ls vctu-positions, ls vctu-vitsss t ls vctu-accéléations n coodonnés catésinns, polais, cylindiqus t sphéiqus. La dniè pati d c pmi chapit st consacé à l étud d qulqus mouvmnts tls qu : ls mouvmnts ctiligns unifoms, ls mouvmnts ctiligns unifomémnt vaiés t ls mouvmnts ciculais unifoms. L duxièm chapit st consacé à l étud ds notions d tavail, d éngi cinétiqu, d éngi potntill t d éngi mécaniqu. C chapit étudi égalmnt l momnt linéai, l momnt cinétiqu ainsi qu lu application dans l étud ds chocs t ds focs cntals. La dniè pati d c chapit tait ls oscillatus hamoniqus à un dimnsion. Un pati évaluation goupant plusius xcics s touv à la fin d c cous. 3. Plan sommai du cous Chapit. Cinématiqu du point matéil Ls gandus Physiqus : unités, symbols t équations aux dimnsions Opéations su ls gandus vctoills Ls opéatus vctoils Réféntils t pès Expssions ds vctu-positions, vitss t accéléation Etud d qulqus mouvmnts Chapit. Dynamiqu du point matéil Notion d focs xtéius Ls lois d Nwton Tavail Engi mécaniqu Quantité d mouvmnt ou momnt linéai
4 Momnt angulai ou momnt cinétiqu Ls oscillatus hamoniqus libs à un dimnsion 4. Ls mots clés Réféntil, pè, opéatu vctoil, vitss, position, accéléation, éngi potntill, éngi cinétiqu, éngi mécaniqu, momnt linéai, momnt cinétiqu, foc, mouvmnt, tavail, puissanc, oscillatus hamoniqu, péiod, féqunc. 5. Dué du cous C cous d Mécaniqu du point st smstil. Il s déoul n pésntil au pmi smst avant l cous d Optiqu géométiqu. L volum hoai st l suivant : Chapit. Cinématiqu du point matéil : 40 hus Chapit. Dynamiqu du point matéil : 4 hus 6. Ls objctifs d appntissag Ls objctifs généaux L appnant doit êt capabl d : Objctifs d connaissanc - Connaît ls gandus physiqus, - Connaît ls concpts d éngi, d tavail - Connaît la lation nt éngi t tavail Objctifs d savoi fai théoiqu - Compnd ls mouvmnts à un dimnsion - Compnd ls mouvmnts à dux dimnsions - Appliqu l théoèm d l éngi cinétiqu à un systèm donné - Appliqu l théoèm d la consvation d l éngi mécaniqu à un systèm - Appliqu ls lois d Nwton pou la ésolution ds poblèms Ls Objctifs Spécifiqus Objctifs spécifiqus d connaissanc - Rappl la définition d un gandu physiqu - Cit qulqus gandus physiqus - Cit ls unités d qulqus gandus Physiqus
5 - appl la définition d la tajctoi d un mobil - appl la définition d la vitss moynn - appl ls composants du vctu-accéléation dans un pè (o, x, y, z) - Enonc ls tois lois d Nwton - Appliqu ls lois d Nwton pou la ésolution ds poblèms - Enonc l théoèm d l éngi cinétiqu Objctifs spécifiqus d savoi-fai théoiqu : - Distingu un gandu vctoill d un gandu scalai - Eci ls équations paamétiqus du mouvmnt. - Calcul la vitss moynn d un mobil. - Calcul la vitss instantané d un mobil. - Calcul l accéléation moynn d un mobil - Calcul l accéléation instantané d un mobil - Intég la vitss instantané - Intég l accéléation instantané - Tac la tajctoi du mobil - Calcul ls composants intinsèqus (locals) d l accéléation - Invntoi ls focs agissant su un cops - Détmin ls conditions d équilib d un solid - n tanslation ctilign - n otation - Calcul l tavail d un foc constant - Calcul l tavail d un foc vaiabl - Calcul l éngi potntill d psantu - Calcul l éngi cinétiqu d un mobil - Calcul l éngi mécaniqu d un systèm - Détmin l équation difféntill d oscillatu hamoniqu - Calcul l décémnt logaithmiqu -Détmin l équation difféntill d l oscillatu hamoniqu n tanslation
6 7. Contnu du cous CHAPITRE. CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL La mécaniqu st la pati d la physiqu qui étudi ls mouvmnts ds cops. Ell compnd la cinématiqu t la dynamiqu. La cinématiqu étudi ls mouvmnts ds cops sans inclusion ds causs t ds conséquncs. Ell pmt donc la détmination ds vctus position, vitss v t accéléation a du point matéil su sa tajctoi.. Ls gandus physiqus.. Définition On appll gandu physiqu tout popiété d la natu qui put êt quantifié pa la msu ou l calcul t dont ls diffénts valus possibls s'xpimnt à l'aid d'un nomb généalmnt accompagné d'un unité d msu. Exmpl : la mass, la longuu, l indic d éfaction, la dnsité Il xist dux typs d gandus physiqus : ls gandus fondamntals ou d bas t ls gandus déivés. Exmpls. Gandus physiqus fondamntal: longuu, tmps, mass, tmpéatu Gandus déivés : volum, supfici, mass volumiqu, vitss.. Unités, pésntations, dimnsions Gandu physiqus Symbols Unités (SI) Dimnsions Gandus fondamntals Distanc t longuu l m [L] Dué t tmps t s [T] mass m kg [M] tmpéatu K Quantité d matiè n mol [n] Intnsité du couant I A [I] élctiqu
7 tnsion U V - [M] [L] [T] -3 [I] Intnsité luminus, flux luminux Eclaimnt luminux E lx [J] [L] - Gandus déivés supfici s M [L] volum V m3 [L] 3 angl,, ad - féqunc f Hz [T] - vitss v m s- [L] [T] - accéléation a m s- [L] [T] - Vitss angulai w ad s- [T] - Engi, tavail E J [M] [T] - [L] Mass volumiqu, Kg m3 [M] [L] -3 pssion P Pa [M] [L] - [T] - foc F N [M] [L] [T] - Quantité d mouvmnt p N s [M] [L] [T] - puissanc P w [M] [L] [T] -3 lm Ls dimnsions ds gandus déivés sont détminés à pati ds équations contnant ls gandus dont on connaît déjà ls dimnsions suivant l xmpl ci-dssous : Exmpl : [J] E C M V éngicinétiqu E C M L T K F x cons tant d aidud'un ssot K F L.3. Msus t inctituds d msus.3.. Pécision ds msus Ls scincs physiqus sont avant tout ds scincs xpéimntals. Tout théoi doit impéativmnt êt validé pa l xpéinc t tout xpéinc doit êt xpliqué pa la théoi. C va t vint impos au physicin d msu ls gandus physiqus qu il invnt. Il s st pou cla d appail d msu qu il fabiqu. D c fait tout valu d gandu
8 physiqu s va ntaché d us dus à la méthod t à l appaillag utilisé pou obtni ctt valu. a) Notion d inctitud Losqu'on msu un gandu qulconqu (intnsité du couant ou longuu d'un tabl pa xmpl), on n put jamais obtni la valu xact. En fft, la valu msué l st toujous pa l intmédiai d un appail d msu, constuit pa l homm t, d c fait, possédant ds défauts. L physicin, tavaillant su ds msus los d ss xpéincs doit toujous êt conscint d c fait : la msu st ntaché d inctituds. La bonn connaissanc d l instumnt d msu t d la méthod mis n œuv pmt d évalu l écat nt la msu t la valu xact. On appll u la diffénc nt la valu msué t la valu xact. Mais comm on igno la valu xact, on n put pas connaît l'u commis. L ésultat st donc toujous inctain. On pal d inctituds d msu. Ls tois causs d'inctituds sont : l'impfction d l'appail d msu. l défaut d la méthod d msu. ls limits d l'homm (lctu ds appails analogiqus). Cs inctituds povinnnt d dux typs d us qu sont : ls us fotuits t ls us systématiqus. Ls us fotuits (ou accidntlls) puvnt povni d l opéatu qui s tomp d échll d lctu, ou qui n positionn pas son œil n fac d l aiguill, pou un appail à aiguill (u d paallax). Pou évit ls us d paallax, un mioi st placé sous l aiguill. La position d l œil st coct losqu l aiguill st supposé à son flt dans c mioi. Ls us fotuits puvnt aussi povni d un défaut d l appail d msu ou d un défaut su l montag (mauvais contact, défaut d isolmnt tc. ). Ls us systématiqus: ont pou caus l choix d la méthod d msu (la pésnc d un appail d msu put ptub l fonctionnmnt d un montag), l manqu d pécision d l œil d l opéatu ( pou ls appails à aiguill ), l manqu d pécision ds appails d msu ( class d pécision, mauvais étalonnag, mauvais églag ds zéos ). b) Inctitud absolu
9 C st l plus gand écat qui xist nt la valu msué t la valu xact. Ell a la mêm unité qu la gandu msué. Ell sa détminé à l aid ds indications founis pa l constuctu au sujt ds appails d msu. Il st noté X Pou ls appails analogiqus: (à aiguill) l inctitud absolu X lié à la class d Class Calib l appail st donné pa la lation : X 00 La class d l appail s lit su l appail. Ctt inctitud n dépnd pas d la déviation d l aiguill, c st pou cla qu il faut utilis, si possibl, avc ls appails analogiqus l calib qui pmt un lctu dans l dni tis d la gaduation. Pou ls appails numéiqus : l inctitud dépnd d un tm constant plus d un tm popotionnl qui st un poucntag d la valu absolu d la lctu. Pa xmpl : X % lctu digit ( digit unité su l dni chiff ) Ls valus du tm constant t du tm popotionnl sont donnés su la documntation du constuctu t dépndnt du calib. Attntion, pou calcul l inctitud absolu il faut utilis la valu absolu d la lctu. Rmaqu : Si un instumnt d msu n indiqu pas l inctitud absolu d un msu, on considè qu ll cospond à la moitié d la plus ptit unité qu affich l instumnt. c) Inctitud lativ C st l quotint d l inctitud absolu pa la valu absolu d la valu msué. Ell n a pas d unité t put êt xpimé n poucntag. Inctitud_ absolu Inctitud_ lativ Valu_ msué Inctitud_ absolu ou nco : Inctitud _ lativ_% 00 Valu_ msué - Multimèt TRG00 : Documntation ds appails d msu. Tnsions continus : Intnsités continus : V 400 mv 4 V 40 V 400 V 000 V A 4 ma 40 ma 400 R 0 M Pécision 0.5% lct. + point 0.5% lct+3pts ma 0 A Pécision 0.5% lct. + point % lct + point
0 - Multimèt Mtix MX 553 : mv V DC Gamms 500 mv 5 V 50 V 500 V 000 V Tnsions continus : Intnsités continus : Pécision 0, % lct + Résistanc d nté Résolution Pécision d.d.p. Résolution pts 0 M 0 µv 5 ma 0, % lct + pts M 00 µv 50 ma 0, % lct + pts 0 M mv 500 ma 0, % lct + pts 0 M 0 mv 0 A 0,3 % lct + pts 0 M 00 mv 0, % lct + pts 0, % lct + 700 mv µa pts 700 mv 0 µa 0, % lct + pts 0,5 % lct + 5 pts,5 V 00 µa 500 mv 0 ma.3.. Ecitu d un valu numéiqu : l nomb d chiffs significatifs a) Ls chiffs significatifs Puisqu ls valus cospondant aux gandus étudiés n physiqu n sont jamais xacts, il convint d pêt attntion au nomb d chiffs qui ls xpimnt. Tout valu numéiqu povnant d'un msu ou d'un calcul (su ds gandus msués) doit êt xpimé avc un nomb d chiffs dits significatifs tnant compt ds inctituds. Un chiff significatif st un chiff nécssai pou xpim la valu d un gandu physiqu mais aussi sa pécision. Exmpl : Tous ls chiffs non nuls sont significatifs : 54,3 a 5 chiffs significatifs ; 5,43 a 5 chiffs significatifs (la vigul n'intvint pas). Ls zéos placés à l'intéiu d un nomb ou à la fin d un nomb apès la vigul, sont toujous significatifs : 005 a 4 chiffs significatifs ; 87,50 a 5 chiffs significatifs ; 87,5 a 4 chiffs significatifs. Donc 87,50 t 87,5 n sont pas idntiqus, l pmi st plus pécis. Ls zéos placés au début d un nomb n sont jamais significatifs : 0,5 a chiffs significatifs ; 053 a 3 chiffs significatifs Ls zéos placés à la fin d'un nomb sans vigul puvnt êt ou n pas êt significatifs : 00 ma a ou ou 3 chiffs significatifs
Pou soti d l'ambiguïté on put chang d'unité t fai appaaît ainsi un vigul : 0,0 A a chiffs significatifs 0,00 A a 3 chiffs significatifs L nomb d chiff significatif indiqu la pécision avc laqull la valu st connu. b) Ecitu d un valu numéiqu n notation scintifiqu En mathématiqus, éci X 597 g, signifi qu sul l dni chiff, 7, st inctain. On a donc : 596,5 g X 597,5 g. En physiqu, n l absnc d indication xplicit su l inctitud attaché à X, on admt souvnt qu cll-ci st égal à un dmi unité du dni chiff xpimé (P. Fluy t J.-P. Mathiu, Mécaniqu physiqu, 4èm édition, 965, pag 4). Ls écitus : X 597 g ou X ( 597 ± 0,5) g sont donc équivalnts En vanch, si l on dési indiqu qu l inctitud ΔX su X st d g, pa xmpl, au sns où l intvall ( 596 g, 598 g) a d fots chancs d contni la vai valu d X, alos il faut éci X ( 597 ± ) g. En notation scintifiqu, l ésultat d un msu s écit sous la fom suivant : a â ± Δa, où â st l stimatu t Δa l inctitud absolu Dans ctt écitu, l inctitud Δa s xpim avc dux chiffs significatifs (au maximum) ; ls dnis chiffs significatifs consvés pou l stimatu â sont cux su lsquls pot Δa. Exmpls : m (98,5 ±,6) g. R 46,8 Ω ± 0,3 Ω P (3,40 ± 0,06) kw. c) Opéations avc ls valus numéiqus t pécision ds ésultats L ésultat d un multiplication (ou d un division) d dux valus numéiqus n put avoi plus d chiffs significatifs qu la valu numéiqu qui n compot l moins. Exmpl :,37 x,,8 Donc on écit,8 t non,844 0,65 : 0,5, Donc on écit, t non,5
L ésultat d un addition (ou d un soustaction) d dux valus numéiqus n put êt plus pécis qu la valu numéiqu la moins pécis. Exmpl : soint dux longuu 94 m t 8,7 m 94 m + 07 m 03 m 0n n écit pas 0,7 m ca la pécision d la pmiè longuu st l mèt t qu un millu pécision n st pas possibl pou l ésultat. Soint ls sufacs 54,3 cm t,7 cm (54,3 -,7) cm 4, On écit n écit pas 4,3 cm mais bin 4, cm
3. Notion d matic.. Définition Un matic n m st un tablau d nombs à n ligns t m colonns : Exmpl avc n, m 3 : n t m sont ls dimnsions d la matic. Un matic st symbolisé pa un ltt n caactès gas, pa xmpl A. On not A ij l'élémnt situé à l'intsction d la lign i t d la colonn j (la lign st toujous nommé n pmi). On not [A ij ] la matic d'élémnt généal A ij. On a donc : A [A ij ] Si m, la matic st applé vctu (plus pécisémnt vctu-colonn) : Si n m, la matic st applé matic caé. Cas où n 4.. Exmpls d matics Matic unité Pafois noté I n n st la dimnsion d la matic (soit I 4 dans ct xmpl) Matic diagonal noté diag(d ii )
4 Matic tiangulai supéiu U Matic tiangulai inféiu L Un matic caé A st dit symétiqu si : A ji A ij pou tout i diffént d j.3. Opéation su ls matics a) Addition t soustaction L'addition t la soustaction ds matics s font tm à tm. Ls matics doivnt avoi ls mêms dimnsions : b) Multiplication pa un nomb Chaqu tm d la matic st multiplié pa l nomb : c) Tansposition La tansposé A T (aussi noté A') d'un matic A st la matic obtnu n échangant ls ligns t ls colonns d A :
5 La tansposé d'un vctu-colonn st un vctu-lign : d) Multiplication ds matics Définissons tout d'abod l poduit d'un vctu-lign x T pa un vctu-colonn y : C poduit st applé poduit scalai ds vctus x t y, noté x y. Ls vctus doivnt avoi la mêm dimnsion. L poduit maticil s'n déduit : l poduit d la matic A (n m) pa la matic B (m p) st la matic C (n p) tll qu l'élémnt C ij st égal au poduit scalai d la lign i d la matic A pa la colonn j d la matic B. Exmpl : On a n fft, n ffctuant ls poduits lign pa colonn :
6 ) Popiétés ds matics L poduit maticil st : o associatif : ABC (AB)C A(BC) o distibutif pa appot à l'addition : A(B + C) AB + AC o non commutatif : AB n'st pas égal à BA n généal. La matic unité I st élémnt nut pou la multiplication : AI m I n A A, si la matic A st d dimnsions n m. Tansposé d'un poduit : (AB) T B T A T (Attntion au changmnt d'od!). f) Matic invs Un matic caé A st dit invsibl ou éguliè s'il xist un matic caé A - (applé matic invs) tll qu : A A - A - A I Si A - n'xist pas, la matic A st dit singuliè Popiétés : (A - ) - A (A T ) - (A - ) T (AB) - B - A - (Attntion au changmnt d'od!) La matic A st dit othogonal si A - A T g) Détminant d un matic caé Pou un matic, on mont qu la matic invs st donné pa : L nomb ad - bc st applé détminant d la matic A, noté : La matic invs A - n'xist donc qu si dt A st diffént d zéo. La matic A st singuliè si dt A 0, éguliè dans l cas contai. C ésultat s généalis à un matic d dimnsion qulconqu. Rmaqu. On put détmin l invs ds matics caés A n d od égal ou supéiu à 3 à pati d la matic cofactus : A n ( dt( A coa ) n n t ) Avc CoA n : la comatic d A n Exmpl : Soit la matic An a b c d f g h i
7 La comatic d An st Co An f d f d h i g i g h b h c i a g c i a g b h b c a c a b f d f d Popiétés ds détminants : dt(a T ) dt(a) dt(ab) dt(a) dt(b) L détminant d'un matic tiangulai ou diagonal st égal au poduit ds élémnts diagonaux. En paticuli, dt(i) (si I st la matic unité) Rmaqu. Pou l calcul ds détminants, on put utilis la ègl d Saus. Mais ctt ègl n st valabl qu pou ls matics caés d od 3..4. Applications aux systèms d équations linéais a) Fomulation maticill Un systèm d n équations linéais à n inconnus st d la fom : a x + a x +... + a n x n b a x + a x +... + a n x n b... a n x + a n x +... + a nn x n b n où ls a ij sont ls cofficints du systèm, ls x i ls inconnus t ls b i ls tms constants. Un tl systèm put s'éci sous fom maticill : Ax b avc : b) Exmpl Soit l systèm d équations à inconnus : x + 3x 9 x - x On a succssivmnt :
Soit : x 3, x. 8
9 3. Réféntils t pès Un éféntil st un cops d éfénc pa appot auqul s fait l mouvmnt d'un aut cops. C'st un êt physiqu. Il pmt d situ qualitativmnt la position du mobil au cous d son mouvmnt. Pou détmin la position pécis du mobil, on associ au éféntil un pè. Slon la natu du mouvmnt, on put associ avantagusmnt au éféntil, tl ou tl aut pè. Exmpl: Rpès catésins (,);(,,);(,,, io ioj ioj k) Rpè catésin ( O, i ) (Etud du mouvmnt ctilign) O i M x Rpè catésin ( O, i, j) (Étud du mouvmnt plan) y M O x Rpè catésin ( Oi,, j, k) (Étud du mouvmnt dans l'spac)
0 Exmpl : Rpè d Fnt. Il st constitué d ou d 3 vctus unitais ppndiculais nt ux suivant qu l mouvmnt s pass dans l plan ou dans l'spac comm dans l pè catésin. Il st adapté à l'étud d mouvmnt cuvilign. C pè st n généal ntaîné dans l mouvmnt du mobil. - Dans un mouvmnt plan, c pè utilis ls coodonnés polais. - Dans un mouvmnt cylindiqu, c pè utilis ls coodonnés cylindiqus. - Dans un mouvmnt spatial, c pè utilis ls coodonnés sphéiqus. Il xist dux typs d pè: Rpès absolus t pès mobils. a) Rpès absolus C sont ds pès supposés fixs: pas d mouvmnt d tanslation, ni d otation. On ls appll qulqus fois ds pès fixs: - Rpè d Copnic - Rpè géocntiqu - Rpè tst Cs pès sont dits galiléns. Suls l pmi st igouusmnt galilén. Ls dux dnis l sont égalmnt, losqu l'on tint compt d ctains hypothèss. b) Rpès mobils - Rpès galiléns. Tout pè n mouvmnt d tanslation unifom, sans otation pa appot à un pè absolu, st dit galilén. Un pè n mouvmnt d tanslation unifom pa appot à un aut pè galilén st aussi galilén. Exmpl : pè galilén catésin. - Rpès non galiléns. Tout pè non galilén put êt amné à un pè n tanslation non unifom t / ou n otation Exmpls: Rpè d Fnt: En coodonnés polais En coodonnés cylindiqus En coodonnés sphéiqus
4. Expssions ds vctus position, vitss t accéléation 4.. En coodonnés catésinns (pè fix) M Soit l ayon vctu MO ix jy kz - xpssion d la vitss V ix jy kz - xpssion d l'accéléation a ix jy kz
4. En coodonnés polais t sont ls coodonnés polais M θ L ayon vctu st défini pa O x Avc vctu unitai non constant a) Expssion d la vitss V + o d dt d dθ dθ dt θ d dθ t i cosθ + j sinθ d dθ i d(cosθ ) dθ + j d(sinθ ) dθ d dθ i sinθ + j cosθ θ o θ. θ sin θ + cos θ t. θ 0 donc st ppndicu lai à θ V + θ θ V V θ θ θ composant adial composant ou tangntill
3 b) Expssion d l'accéléation Rmaqu Pou un mouvmnt ciculai : 0 ca cst a t a Pou mouvmnt ciculai unifom, on a : cacst 0 a a nomal composant adial composant a a d d qu déduit n on d d j i j i o V a V o V a a a ) ( ) ( ) ( ) ( : ) sin cos ( cos sin
ρ 4 Rmaqu : aut xpssion d V En considéan t l pèmobild Fnt: (, θ, k ) On définil vctuinstantané d otation: Ω θ k L'xpssiond V V V 4.3. En coodonnés cylindiqus Ls coodonnés cylindiqus sont aussi définis dans l pè d Fnt : (,, k ) + la + θ + vitssn coodonné s polaisdvint k Ω θ Λ Λ θ o θ k Λ M O θ N y (,, θ k ) C sont : la distanc du point mobil à l'ax ds z l'angl défini pa l plan (ox, oz) t l plan (, oz) L vctu-position st : OM ON NM MO zk On pnd ls mêms calculs qu n coodonnés polais où t jount l mêm ôl qu t spctivmnt. On obtint : V zk a kz ( ) ( ) x
5 5. Opéations su ls gandus vctoils 5.. Poduit scalai L poduit scalai d dux vctus st l poduit ds moduls pa l cosinus d l'angl fomé pa ls dux vctus. Soint A t B lsdux vctus : A. B A B cos(,ab) Avcos(,AB) cos(b, A) t A. B B. A A. ( B + C + D) A. B + A. C + A. D A. B a (gandu scalai ) L poduit scalai d dux vctus st un scalai.
6 Soint A x i + y j + z k B x i + y j + z k A. B ( x i + y j + z ). ( x i + y j + z k ) A. B xx + y y + zz ca i. j i. k j. k 0 t i. i j. j k. k cos ( A, B ) A. B A B ( x + xx y + + z y y ) ( + x zz + y + z ) 5. Poduit vctoil Dans lpè catésin (,Oi, j,k),ls vctus unutais ( i, j,k),constitun t untièd dict dans ct od. Ona: i Λi j Λj kλk 0 i j Λk ; j kλi ; k i Λj Losqu on chang d plac dux vctus unitais du tièd dict ( i, j, k ), c tièd dvint indict Exmpls : ( jik,,);(,,);(,, ikj kj i) Avc jikikj ; ; kji
7 Soint A t B dux vctus (,) BAsinBA AB C B A L poduit vctoil d dux vctus st aussi un vctu. j i B j i A y x y x j j i j j i j i j i i B A yy yx xy xx y x y x ) ( ) ( k k k B A yx xy yx xy ( ) O y x y x y x y x yx xy B A _
8 6. Ls opéatus vctoils 6.. Définitions dans l cas généal Soint ls élémnts d longuus difféntils suivants : dx ldxl dx l 3 3 ; ; Définissons, ls opéatus vctoils suivants dans un pè qulconqu (cas généal) d coodonnés x x x t 3,. 6... L opéatu gadint L opéatu gadint d un fonction scalai f, noté ) df( f ga st défini pa : w v u dga x f xl f xl f l f f 3 3 L opéatu gadint a donc pou xpssion : z y x z y x x y y x x z x z y z z y z y x z y x z y x z y x k j i B A k j i B A obtint on aangant n t t dévloppan En k j i B A k j i B k j i A spac l d s po ds sont B t A où Cas ) ( ) ( ) - ( :, ) ( ) ( ' int
9 Où lxlxlx 3 dga u v w 3 u, v t w sont ds vctus unitais L gadint d un fonction scalai st un gandu vctoill. 6... L opéatu divgnc L opéatu divgnc d un gandu vctoil st défini pa : AAA u v w A3 Adiv Au v uv AA w llx lx x 3 3 3 AA A 3 l xl xl 3x 3 La divgnc d un gandu vctoill st un gandu scalai. 6..3. L opéatu otationnl L opéatu otationnl d un gandu vctoill AAA u v w A3 Est défini pa : Ato u lxlxlx 3 v wuv w 3 AAA 3 ot A u v w dét l x l x l3 x 3 A A A3 A A A Ato 3 u 3 v w l lx 3 xl 3 lx xl lx x 3 3
30 L otationnl d un gandu vctoill st aussi un gandu vctoill. 6..4. L opéatu Laplacin L opéatu Laplacin d un gandu scalai f st défini pa : f fdiv f fdga f f x l lx xllx xllx 3 3 3 3 L Laplacin d un gandu scalai st aussi un gandu scalai 6.. Expssions ds opéatus n coodonnés catésinns Ls coodonnés catésinns sont : x, t z ; En coodonnés catésinns, dans l xpssion ds opéatus vctoils, on a : y l l l3 ; Ls élémnts d longuu difféntils sont alos : d ; x; dyd z 6.3. Expssions ds opéatus n coodonnés cylindiqus Ls coodonnés cylindiqus sont : ;, z ; En coodonnés cylindiqus, dans l xpssion ds opéatus vctoils, on a : l tl l3 Ls élémnts d longuu difféntils sont : d ; d ; dz 6.4. Expssions ds opéatus n coodonnés sphéiqus ; ; ; Ls coodonnés sphéiqus sont : En coodonnés cylindiqus, dans l xpssion ds opéatus vctoils, on a : l l l t 3 ; sin
3 7. Etud d qulqus mouvmnts 7..Mouvmnt ctilign Si la paticul M st à tout instant t su un doit, on aua : L vctu-position st défini pa : MO xu L vctu-vitss st défini pa : MOd d dx V () u ddtdt Avc u vctu unitai constant a) cas du mouvmnt ctilign unifom Vctu-accéléation : a 0 Vctu-vitss : V cst Equation hoai : x x Vt 0 avc x 0 : absciss à l oigin ds tmps b) cas du mouvmnt ctilign unifomémnt vaié Vctu-accéléation : a cst Equation d la vitss Equation hoai : V V at 0, avc V 0 : vitss à l oigin ds tmps a tv t 0 x x 0 Rmaqus: - l mouvmnt ctilign st dit unifomémnt accéléé si la nom d V augmnt - l mouvmnt ctilign st dit unifomémnt décéléé si la nom d V décoit.
3 7.. Mouvmnt ciculai Un paticul M st animé d'un mouvmnt ciculai, si à tout instant, ll st situé su un ccl d ayon R t d cnt O Soit l pè catésin ;)j,i,o( t un vct unit MOd L vctu- position st défini dans un mouvmnt ciculai pa : MO R L vctu-vitss a pou xpssion : MOd d V () R dt dt R L vctu-accéléation st défini pa : dv a dt dr ( R dt ) R O pou un mouvmnt ciculai unifom, on a a R cst L vctu-accéléation st cntipèt duant tout l mouvmnt 8. L ayon d coubu 8.. Définition Dans l pè local d Fnt l vctu accéléation a st défini pa : a dv d d ( v) ( s T ) dt dt dt Où s st l absciss cuvilign T st un vctu unitai appatnant au tièd d St Fnt : ( T, N, B ) a T d dt d d ( s ) s ( T ) s T s ( T) dt dt
33 En ffctuant un changmnt d vaiabl pou la déivé du vctu tangnt, on a : d dt ( T ) dt. ds ds dt N s Où st l ayon d coubu L vctu accéléation s écit alos : Avc a a T T a N N a s T s N at an s composant tangntill d l accéléation s composant nomal d l accéléation 8.. Détmination patiqu A l aid d la définition pécédnt, on a : dt N dt Dans la plupat ds cas on pat d : dt ds a s T s N 3 t v s T v a s B v v 3 a On poua ainsi détmin l xpssion du ayon d coubu à pati paamétiqus t d l équation d la tajctoi. ds équations a) Cas d un coub plan n coodonnés catésinns Expssion du ayon d coubu à pati ds équations paamétiqus Soint x(t) t y (t) ls équations paamétiqus x ( t) x ( t) y( t) y ( t) 3 / x( t) y ( t)
34 Expssion du ayon d coubu à pati d l équation d la tajctoi Soint y y (x) ; y ' y'' 3 / dy y' ; dx d y y' ' dx b) Cas d un coub plan n coodonnés polais Expssion du ayon d coubu à pati ds équations paamétiqus Soint (t) t (t) ls équations paamétiqus ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) ( t) 3 / ( t) 3 ( t) Expssion du ayon d coubu à pati d l équation d la tajctoi Soint ( ) ; ' ' d ' ; d '' 3 / d ' ' d
35 CHAPITRE II : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL La dynamiqu st l'étud ds mouvmnts ds cops incluant ls causs t ls conséquncs ds mouvmnts.. Ls focs On put séi ls focs n dux catégois : Ls focs à distancs : ls focs d gavitation, ls focs d Lontz (focs élctiqus t magnétiqus), focs faibls t focs fots Ls focs d contact : lls pésntnt l ésultat macoscopiqu ds quat (04) focs à distancs (foc d Laplac, foc d fottmnt, poussé d Achimèd.).. Ls focs à distanc La physiqu utilis actullmnt quat focs pou déci ls intactions nt paticul. Lu point commun st d décoit losqu la distanc augmnt... La foc gavitationnll Ell a été énoncé pa Nwton n 650. Dux cops ponctuls d masss m t m s attint n xçant l un su l aut ds focs d mêm modul, d mêm diction, d sns opposé, popotionnll à lu mass t invsmnt popotionnll au caé d lu distanc F / mm F K u / G F / u m m F / K G : constant d gavitation univsll t st la distanc nt ls dux cops Cs focs d intaction gavitationnlls sont énoms losqu il s agit ds intaction nt ls planèts du systèm solai t l solil, mais aussi nt ls planèt t lus satllits. Ells sont pa cont tès faibls pou ds cops d ptits masss n intaction su la t t pou ls intactions nt paticuls chagés.
36... Ls focs d Lontz Ells intvinnnt losqu ls paticuls sont chagés t sont bin plus impotants qu ls focs gavitationnlls nt paticuls chagés. C sont ls focs élctiqus ou coulombinns qui s appliqunt à ds paticuls au pos t ls focs magnétiqus qui s ajoutnt aux focs élctiqus losqu ls paticuls sont n mouvmnt. La foc élctiqu s écit : F F q q 0 u u q / / 4 q F / F / q t q sont ds chag xpimés n coulomb, st la distanc nt ls dux chags. Ls focs sont attactivs ou épulsiv suivant ls signs ds chags q t q. Dans l schéma cidssus, ls focs sont attactivs, donc ls chags sont d signs opposés. La foc magnétiqu appaaît losqu la paticul st n mouvmnt. Ell s ajout à la foc élctiqu. Ell s déduit d la foc élctiqu pa application ds tansfomations lativists t s écit pou la chag q : F q V B Où B st l champ magnétiqu xpimé n Tsla, V la vitss d la chag. En assmblant la foc élctiqu t la foc magnétiqu, on obtint : F E V B F θ q B..3. Ls focs faibls V Ell agit à cout distanc, à l échll atomiqu. Ell égit ls intactions nt matiè t nutinos t ls mods d désintégation ds noyaux instabls. Ell pmt la convsion d l hydogèn n hélium qui st la souc d éngi pincipal ds étoils, donc d not solil.
37..4. Ls focs fots D tès cout poté, ll assu pa xmpl la cohésion du noyau, sinon il sait instabl sous l fft ds focs coulombinns épulsivs, ca ls chags sont touts positivs (potons)... Ls focs d contact Cs focs n sont pas d nouvlls focs. Losqu il y a contact d dux cops, cs focs sont la manifstation macoscopiqu ds quat focs fondamntals (ls focs à distanc). C sont : ls focs d Laplac, ls focs d fottmnt solid, l focs d fottmnt visquux, la poussé d Achimèd, ls focs d tnsion (fils, ssot, tc..)... La foc d Laplac Tout conductu élctiqu d longuu l, placé dans un champ magnétiqu unifom B t pacouu pa un couant élctiqu d intnsité I, subit un foc : F I l B Ctt foc st aussi applé foc élctomagnétiqu. Ell pésnt au plan macoscopiqu la ésultant ds focs d Lontz appliqués aux diffénts chags tavsant l conductu.... Ls focs d fottmnt solid Dux cas puvnt s pésnt : solids immobils l un pa appot à l aut t solids n mouvmnt latif ; a) Solids immobils l un pa appot à l aut (solids sans glissmnt latif) L contact d un solid d mass m suscptibls d boug avc un aut cops, s manifst pa la éaction R. On put décompos ctt éaction n dux composants : RN éaction nomal t éaction tangntill nco applé foc d fottmnt. L sns d ctt foc RT d fottmnt st à pioi inconnu. Ls lois du fottmnt nous appnnnt qu l absnc d glissmnt (mouvmnt latif) n st possibl qu si l appot d la composant tangntill R T à la composant nomal R N n dépass pas un ctain valu applé cofficint d fottmnt statiqu ks.
38 R R R T N R k T R N R k s T s N RT R R RN P mg Losqu l appot R T / R N augmnt, l systèm n pésnt aucun glissmnt latif tant qu il st inféiu à ks. La valu ks st donc la valu maximum d c appot. Losqu c appot attint (puis dépass) ks, l systèm pésnt un glissmnt (latif). b) Solids n mouvmnt latif (glissmnt l un pa appot à l aut) Losqu il y a glissmnt d un solid d mass m su un cops ou un suppot immobil, on définit un cofficint d fottmnt dynamiqu kd. On a alos : R R T N k d R En pojtant suivant la vtical, on a : P mg R N T R T k k d d R N R RT RN mg P m g st toujous opposé à clui du mouvmnt d Dans cas, l sns d la foc d fottmnt RT du solid d mass m. C cofficint dynamiqu st généalmnt inféiu au cofficint statiqu..3. Ls focs d fottmnt visquux C fottmnt s appliqu à un solid s déplaçant dans un miliu liquid ou gazux, donc dans un fluid. L poblèm st idntiqu pou un objt fix dans un fluid n mouvmnt t pou un objt mobil dans un fluid n mouvmnt. C'st la vitss lativ V qu l on pnd n compt. La foc xcé pa l fluid a toujous un composant opposé à la vitss qui s'appll la taîné. Si l cops qui s déplac n pésnt pas, dans la diction d la vitss,
39 un aspct symétiqu, un composant ppndiculai à la vitss appaaît. Ctt vitss s'appll la potanc. Ell pmt nt auts aux voilis d'avanc t aux avions d vol. Dans ctt pati d c cous nous n palons qu d la taîné. La foc xcé pa l miliu su la mass m a toujous mêm diction qu la vitss, mais ll st toujous d sns opposé : bv. A faibl vitss, l cofficint b put êt F f considéé comm constant, mais c n st plus vai losqu la vitss dépass un ctain suil. a) Vitss faibl (égim laminai) F f k V où η st la viscosité du miliu (Pascal.scond ou Poisuill), indépndant d la vitss k n st pas fonction d la vitss, mais d la géométi du systèm, t sa dimnsion st un longuu. La foc st donc popotionnll à la vitss (égim linéai). Exmpl : dans l cas d un sphè d ayon R, k 6πR F f 6 RV b) Vitss élvé (égim tubulnt) F C S f V u C st l cofficint d pénétation dans l ai ou cofficint d taîné, S la sufac appant du mobil dans l plan ppndiculai au mouvmnt, t la mass volumiqu du fluid. u st un vctu unitai. La foc vai donc comm l caé d la vitss (égim quadatiqu)...4. La poussé d Achimèd Tout cops plongé dans un fluid (liquid ou gaz) st soumis à un foc vtical, diigé vs l haut, égal au poids du liquid déplacé : F A V g u st la mass volumiqu du fluid, V st l volum du liquid déplacé t g st l intnsité d la psantu. u st un vctu unitai diigé vs l haut suivant la vtical. Rmaqu : l solid doit avoi un volum ptit pou qu g soit constant
40..5. Ls focs d tnsion Un fil élastiqu, un ssot, un lam qu l on pli xcnt un foc. Ctt foc st n pmiè appoximation popotionnll à lu allongmnt, ou à l amplitud d lu défomation. Dans ctt appoximation linéai, un fil élastiqu ou un ssot xc un foc : F k l l u o k st la constant d aidu du ssot, l o st sa longuu au pos c'st-à-di losqu aucun foc n'st xcé pa l ssot, l la longuu apès allongmnt ; u st un vctu unitai dans la diction du ssot, ointé d son point d fixation vs l point où il xc la foc. Un lam xc un foc d tnsion popotionnll à l amplitud d la défomation. Un fil inxtnsibl xc un foc d tnsion dont la nom put êt msu avc un dynamomèt...6. Ls focs pssants Un foc pssant st un foc F qui modélis l action mécaniqu d contact qu xc un solid ou un fluid su la sufac S d un cops. F P. S avc P pssion du fluid ou du solid La foc F st ppndiculai à la sufac S..3. Ls focs intéius t xtéius Pou étudi tout systèm donné, il convint d séi ls focs d contact t à distanc n focs intéius t xtéius. Etant donné qu suls ls focs xtéius détminnt l mouvmnt du point matéil, il sa fait un bilan d touts ls focs xtéius dans l'application ds lois.
4 Exmpl: l pndul coniqu (fig. 7) Systèm { S } Systèm { S + t } Focs xt. : T, P Focs int. : néant Focs xt. : T Focs int. : P Un foc intéiu st un foc qui s'xc à l'intéiu du systèm; c'st aussi un foc qu l systèm xc su l'xtéiu, c st aussi un foc qu un pati du systèm xc su un aut pati du systèm. Un foc xtéiu st un foc qu l'xtéiu xc su l systèm.. Ls lois d la dynamiqu.. L pincip fondamntal d la dynamiqu Enoncé : Dans un éféntil galilén, la somm vctoill d touts ls focs xtéius appliqués à un systèm st égal à la déivé pa appot au tmps d sa quantité d mouvmnt. Fomulation mathématiqu: dp F ixt dt Enoncé :.. L pincip ds actions écipoqus Losqu un cops A xc un foc F su un cops B, c dni éagit à son tou n A / B xçant su A un foc F d mêm nom, mêm diction t d sns opposé à B / A F. A / B
4 Fomulation mathématiqu: F/ AB FB / A.3. Ls tois lois d Nwton Ls tois lois d Nwton n appotnt in d plus qu ls dux lois pécédnts t sont mêm plus stictivs. Cpndant lls ont u un gand impotanc histoiqu puisqu lls ont égit la mécaniqu d Nwton jusqu au 0 siècl. Ls lois d Nwton n sont valabls qu pou ds cops dont la mass st constant. a) La è loi : l pincip d'inti Enoncé : Dans un éféntil galilén, l cnt d'inti d'un systèm st soit: - immobil ( V 0 ) - animé d'un mouvmnt ctilign t unifom ( V ct ) Fomulation mathématiqu: 0 F i xt (II.) b) La loi : (ancinn loi fondamntal d la dynamiqu) Enoncé : Dans un éféntil galilén, la somm vctoill d touts ls focs xtéius appliqués à un systèm st égal au poduit d sa mass m pa l accéléation ag d sont cnt d mass. Fomulation mathématiqu: F i xt m a G Rmaqu : A n pas confond cnt d mass G d un cops t cnt d gavité. C sont dux points diffénts. Ils n sont confondus qu si l champ d psantu g st constant n modul, diction t sns. Si l champ d psantu g n st pas constant, l cnt d gavité dépnd d la position t d l ointation du solid.
43 Enoncé : c) La 3 loi : pincip ds actions écipoqus Losqu un cops A xc un foc F su un cops B, c dni éagit à son tou n A / B xçant su A un foc F d mêm nom, mêm diction t d sns opposé à B / A F. A / B Fomulation mathématiqu: F/ AB FB / A 3.Tavail Puissanc - éngi cinétiqu (II.3) 3. Notion d tavail Tout comm la notion d foc, la notion d tavail st d oigin physiologiqu. Ell st lié à la notion d fft util ds focs su ds cops n mouvmnt. Il st intuitif qu, pou soulv un cops, il faut founi un tavail d autant plus gand qu l cops st plus loud t qu l on s élèv d avantag. La gandu applé tavail dépnd donc d l intnsité d la foc t du déplacmnt d son point d application. Mais la diction du déplacmnt put êt diffént d cll d la foc. Et l xpéinc mont qu un foc nomal à un déplacmnt ctilign st patiqumnt sans action su cll-ci. L tavail dépnd aussi d l angl nt ls dictions d la foc t du déplacmnt. Cs constatations ont conduit à la définition suivant : Soit F un foc agissant su un paticul M (fig. 8), pa définition, l tavail élémntai dw d la foc F (n mathématiqu : ciculation du vctu F ) au cous d un déplacmnt infinitésimal dm MM ' d la paticul, st égal au poduit scalai dw F Md L tavail W : d la foc F l long d la tajctoi d A vs B, st : WB A F Md
44 Dux cas puvnt s pésnt : L vctu foc n st pas constant. Ell dépnd donc ds coodonnés du mobil M. Il ésult qu si Fx, Fy, Fz sont ls pojctions d la foc F su ls axs Ox, Oy, Oz spctivmnt t dx, dy, dz clls du déplacmnt dm qu subit l point d application M (x, y, z ), l tavail élémntai a pou xpssion analytiqu : dw z FF dx dydz x y F W AB B F A x dx B F A y dy B F A z dz Exmpl : Cas d un ssot : W AB F x dx B A k x dx d k Avc x A t x B ls allongmnts ou accoucissmnts du ssot aux points A t B spctivmnt L vctu foc st constant. On a : W AB B F dm F AB F A x k x B x A θ où W F AB cos (II.4) AB A B on n déduit qu : l tavail st positif ou motu si l angl st aigu ; il st négatif ou ésistant si st obtu. Il st nul dans ls tois cas suivants : - la foc st null : F 0 - la paticul st fix : dm 0 - ls dictions d la foc t du déplacmnt sont ppndiculais : Losqu l point d application d la foc a liu su un contou fmé, on not : WB A F Md (II.7)
45 3.. Puissanc L xpssion d la puissanc d un foc F s xçant su un cops n mouvmnt d tanslation st : dw F dl dl P F F V dt dt dt Avc V, vctu vitss du cops soumis à la foc F Pou un cops soumis à un mouvmnt d otation, on a : dl dom du l où u st un vctu unitai t l la longuu d O à M dt dt dt du d n n, où n st un vctu unitai othogonal à u t Ω la dt dt vitss angulai P F n l M (F ) Avc M (F ) momnt d la Foc F 3.3. Engi cinétiqu Soint un paticul d mass m s déplaçant sous l action d focs d ésultant F, M sa position à l instant t t dm l déplacmnt d ctt paticul pndant l tmps dt : Md V dt L tavail d la foc F pndant l tmps dt st : Vd dwmmdf VdtVmVd (II. 9) dt Mais Vm VddVmVd ( ) ( ) m V(II. 0) Pa suit : dw FMd d( ) m V (II. ) On appll éngi cinétiqu d la paticul, la quantité : E m C V (II. ) La lation pécédnt mont qu ctt gandu pésnt un fom d éngi mécaniqu caactéistiqu ds cops n mouvmnt.
46 Evaluons l tavail d la foc F au cous d un déplacmnt amnant la paticul d un point A à un point B. Soint V A t V B la vitss d la paticul n cs points. On a : FMd VB ( ) V d m BA V(II. 3) A WBA Soit : W mvve m BA B A BC EAC (II. 4) E C A t E C B désignant spctivmnt l éngi cinétiqu d la paticul aux points A t B. Ls lations (II. 3) t (II. 4) taduisnt l théoèm d l éngi cinétiqu qu l on énonc ainsi : La vaiation d l éngi cinétiqu d un paticul au cous d un déplacmnt qulconqu st égal au tavail d la ésultant ds focs appliqués à la paticul. On appll foc viv d un paticul, l poduit mv d sa mass pa l caé d sa vitss. D où l nom d théoèm ds focs vivs qu l on donn souvnt à l énoncé pécédnt. Ctains autus appll abusivmnt foc viv la quantité V m, c st-à-di l éngi cinétiqu. Il vaut miux mploy ctt dniè xpssion qui évit tout confusion. 4. Engi potntill t éngi mécaniqu 4.. Focs consvativs Un foc st dit consvativ losqu l tavail poduit pa ctt foc st indépndant du chmin suivi pa son point d application. Si c n st pas l cas ll st alos non-consvativ Exmpls d focs consvativs : la foc élctiqu qui déiv du potntil élctiqu la foc gavitationnll (xmpl du poids d un cops) qui déiv d un potntil d gavitation la foc élastiqu qui déiv du potntil élastiqu Exmpls d focs non-consvativs La foc d Lontz qui n tavaill pas Ls focs d fottmnt Ls focs d pssion
47 Ls focs consvativs possèdnt tois popiétés maquabls : 4... L tavail n dépnd pas du chmin suivi Soit un cops su lqul su lqul s xc un foc F n l déplaçant d un point A vs un point B : W F dl F C C dl A C C Ainsi pou dux tajctoi C t C liant l point A au point B, la foc founit l mêm tavail. On n déduit qu l long d un cicuit fmé, l tavail d un foc consvativ st nul. B 4... Existnc d un potntil d la foc consvativ On considè un foc consvativ qui st un fonction ds coodonnés d la position d son point d application : W F ( x, y, z) dl 0 C On voit qu son tavail st nul suivant la tajctoi fmé C. On n déduit d apès l théoèm d Stoks qu : F 0 Ctt dniè lation impliqu l xistnc d un champ scalai U ( x, y, z) tl qu : F U gad U L champ U st applé potntil d la foc t st homogèn à un éngi. Ell st défini à un constant additiv pès.
48 4..3. Consvation d l éngi mécaniqu Ls focs consvativs sont applés ainsi pac qu l éngi mécaniqu d un systèm soumis à l action d focs consvativs st constant : l éngi mécaniqu du systèm s consv. B B O W F dl U dl du U ( A) A A A D apès l théoèm d l éngi cinétiqu, on a : B U( B) E C ( B) E ( A) C W En combinant ls dux équations pécédnts, on a : E C U E U ( B) ( B) ( A) ( A) On maqu donc qu la somm d l éngi cinétiqu t du potntil s consv. Ctt quantité st applé éngi mécaniqu du systèm. L xpssion ci-dssus mont claimnt qu l éngi total s épatit nt l éngi cinétiqu t l potntil, t put donc pass succssivmnt d l un à l aut. C st pouquoi l potntil U st aussi applé éngi potntil : c st d l éngi qui put potntillmnt s tansfom n éngi cinétiqu. C 4.. Engi potntill Supposons qu la foc F qui s xc su un paticul n dépnd qu d la position d M d ctt paticul. A chaqu point M cospond donc un vctu foc, c qui constitu un champ d focs. Dans l cas généal, l tavail ffctué pa la foc F losqu la paticul s déplac d un point O à un point M dépnd d la tajctoi suivi pou all d O n M. Cpndant, dans ctains cas paticulis impotants, l tavail d st indépndant du chmin suivi t n dépnd qu d la position initial O t d la position final M. On put donc associ à chacun d cs points un nomb Ep(O) t Ep(M) tl qu : WOM MdF ( O) () M OM EP EP (II.5) Supposons l point O fix t pnons c point comm oigin ds déplacmnts. On put alos pos :
E( M ) MdF P WOM (II.6) OM 49 à un constant additiv pès égal à Ep(O). La lation (II.6) définit un fonction Ep du point, dépndant uniqumnt d la position d l xtémité M, l oigin O étant fixé. Ep st applé fonction éngi potntill. L tavail d la foc F au cous d un déplacmnt MM qulconqu put s éci : MdF WWW MdF MM ' OM OM ' OMOM ' (II.7) Soit n tnant compt d ( II.6 ) : W WWE () MM ( )' MM ' P (II.8) ΔEp désignant la vaiation d la fonction Ep En paticuli, pou un déplacmnt infinitésimal : MM ' dm On a : dw FMd Ed P (II.9) L tavail élémntai st un difféntill total. On n déduit, pa définition du vctu gadint : Fga d( E ) ga d P EP (II.0) L égalité (II.0) étant véifié n tout point M d l spac, on dit qu la foc F déiv d un fonction éngi potntill Ep ou qu l champ d foc F st consvatif. Récipoqumnt, si la foc F qui s xc su un paticul n chaqu point M d l spac déiv d un fonction éngi potntill, l tavail élémntai F dm d ctt foc au cous d un déplacmnt infinitésimal dm st un difféntill total. L tavail d F au cous d un déplacmnt fini allant d un point A à un point B n dépnd alos qu d cs points : MdF W AB AB AB P P dee A )( B )( P (II.) D apès (II.6), la quantité Ep(M) st égal au tavail d la foc F appliqué à la paticul l long du tajt allant d l oigin O au point M. La quantité Ep(M) pésnt donc l éngi dépnsé pa la foc -F (foc équilibant à chaqu instant F ) pou amn la paticul d l oigin O au point M. Il s agit là d un fom d éngi mécaniqu dépndant
50 d la position d la paticul, t qui st potntillmnt disponibl, ca si on laiss la paticul vni d M n O, on écupéa un quantité d éngi égal Ep(M). On l appll éngi potntill d la paticul au point M. Notons qu l éngi potntill n un point M d un paticul n st complètmnt défini qu moynnant l choix d un oigin. C choix qui st abitai, s taduit pa un constant additiv dépndant d l oigin adopté pou l éngi potntill. Ainsi, si au liu d O, nous pnons comm oigin un aut point O d la tajctoi, nous auons n désignant pa Ep (M) la nouvll éngi potntill d la paticul au point M : W' MO Mais : EP ( M) n vtu d (II.6) (II.) W' MO WWW O' OMO ' P ME () (II.3) C qui s écit nco : Où E' M) () M (II.4) ( P O' WE P E' ( P WE O ' P EP M) () Mct () M (II.5) La nouvll éngi potntill Ep (M) st donc égal à l ancinn Ep(M) à un constant additiv pès. 4.3. Engi mécaniqu Supposons qu un paticul d mass m n mouvmnt, soit soumis à un foc F (M) déivant d un fonction éngi potntill Ep. L tavail élémntai d ctt foc au cous d un déplacmnt infinitésimal dm st : F Md dep Mais d apès l théoèm d l éngi cinétiqu : F Md d( ) m v Pa suit on a : (II.6) (II.7) d( mv )de P (II.8) On n déduit pa intégation :
5 v P m E cons tan t (II.9) La quantité : E m P Rpésnt l éngi mécaniqu total d la paticul. veee C P (II.30) La lation (II.9) signifi qu pou un paticul soumis uniqumnt à un foc déivant d un fonction éngi potntill, l éngi mécaniqu total d ctt paticul st un constant du mouvmnt, c st-à-di qu ll s consv. Il y a donc sulmnt tansfomation d la fom cinétiqu à la fom potntill t vis vsa, la somm stant constant. Dans l cas d la foc d psantu, on a : mgh EP La lation (II.9) xpimant la consvation d l éngi mécaniqu total s écit : mv mgz ct Soit, pou un pacous fini allant d A n B : (II.3) mv B zgmv m A zgm B (II.3) A Supposons maintnant qu n plus d la foc F déivant d l éngi potntill Ep, la paticul soit soumis à d auts focs ffctuant un tavail W. L application du théoèm d l éngi cinétiqu donn, pou un déplacmnt infinitésimal d la paticul : d( m ) dw ' v de P (II.33) Soit, pou un déplacmnt fini amnant la paticul d un point A à un point B : m )( )( v m veew A B B A P P ' AB (II.34) On n déduit : m BmABE )( )( )( AE BP )( Ev A Ev (II.35) W' AB P
5 L tavail ds focs auts qu clls déivant d l éngi potntill Ep st donc égal à la vaiation d l éngi mécaniqu total d la paticul. 5. Momnts linéai t chocs 5. Définitions On appll quantité d mouvmnt ou momnt linéai la gandu vctoill p qui st l poduit d la mass t du vctu-vitss V d la paticul. p mv (II.36) En déivant ctt lation pa appot au tmps t, on a : m Vd pd V dm (II.37) dt dt dt où la mass m étant un constant n mécaniqu classiqu m dv dp (II.38) dt dt L xpssion pécédnt taduit l pincip fondamntal d la dynamiqu. On put l éci ainsi : pd d( Vm ) F (II.39) dt dt On appll impulsion, l intégal d la foc pndant la dué d action d ctt foc. Ell st noté I. t I F ( t) dt I t t F ( t) dt t t t dp ( t). dt dt t t dp L impulsion d un foc s définit aussi comm la vaiation d la quantité d mouvmnt ngndé pa ctt foc. 5.. La loi d consvation d la quantité d mouvmnt p p P Losqu dux paticuls A t B d quantités d mouvmnt p t p n sont soumis qu aux focs qu lls xcnt l un su l aut, lls fomnt un systèm isolé. La loi
53 fondamntal égissant l mouvmnt d cs systèms isolés st la consvation d la quantité d mouvmnt total, soit p dp dp pcons tan t donc 0 dt dt dp st pa définition la foc f dt f qu A xc su B ; donc : qu B xc su A, d mêm qu dt (II.40) (II.4) dp st la foc f f 0 (II.4) L pincip d consvation d la quantité d mouvmnt st idntiqu au pincip d l égalité d l action t d la éaction. Si ls quantités d mouvmnt sont p t p avant l choc, p ' t p ' apès l choc, on a la lation fondamntal : soit aussi ppp ' p ' ppp ' (II.43) ' p (II.44) L choc d dux bills ou l passag d dux paticuls au voisinag l un d l aut s accompagn d un échang d quantité d mouvmnt. La loi d consvation d la quantité d mouvmnt st xtêmmnt généal t valabl aussi bin losqu ls paticuls sont ls mêms apès t avant l choc : Vm VmVm ' Vm ' (II.45) ou losqu lu choc donn naissanc à dux nouvlls paticuls d masss m ' t m ' : 5.3. Applications aux collisions 5.3.. Consvation d l éngi Vm VmVm ' '' Vm ' (II.47) Désignons spctivmnt pa Ec t Ec, l éngi cinétiqu ds paticuls M t M t appliquons à cs paticuls l théoèm ds focs vivs :
54 devmf ) C d( v dt (II.48) devmf ) c d( v dt (II.49) Soint Ec Ec +Ec l éngi cinétiqu total avant l choc t Ec l éngi cinétiqu total du systèm apès l choc. Si l intaction ds dux paticuls st null avant l choc (instant t) t d nouvau null apès l choc (instant t), l tavail d intaction au cous d la collision st : t t W ( vfvfde ) dt cee ' c c(ii.50) t t Dux cas sont théoiqumnt possibls suivant la valu d W: i) W 0 : l tavail ds focs d intaction st nul ; l choc st dit élastiqu. On a d apès (II.50) E E' c c (II.5) vm vmvm ' vm ' (II.5) L éngi cinétiqu total du systèm st la mêm avant t apès l choc : ii) W 0.L tavail ds focs d intaction n st pas nul ; l éngi cinétiqu total n st plus consvé apès l choc. Dans c dni cas, l intaction étant null apès l choc, on put s dmand c qu st dvnu l éngi W. L systèm étant isolé, pa définition, il n échang aucun sot d éngi avc l miliu xtéiu, l éngi Wst donc nécssaimnt stocké dans ls paticuls ll-mêm. Il n ésult qu un choc inélastiqu n st possibl qu nt ds cops suscptibls d absob ou d founi d l éngi. L éngi W st donc tansfomé n éngi intn ds paticuls apès la collision. L plus souvnt, ctt éngi s manifst pa la défomation ds cops qui s hutnt. L choc st dit mou ou inélastiqu
55 5.3.. Chocs pafaitmnt élastiqus Ls lois d consvation d la quantité d mouvmnt t d l éngi s appliqunt : mv mv mv ' mv ' vm vmvm ' vm ' (II.53) (II.54) On a donc dux équations pmttant d détmin, dans chaqu cas conct, ls vitsss v ' t v '. Dans l éféntil d laboatoi (fix), on a : L cnt d mass d un systèm d points matéils Mi d mass constant mi st définit pa : n mi i GM i 0 Pou un systèm d dux paticuls, l équation dvint : 0 m GM mv mgm mom mom m V m m V G mv m ' mv mv mv ' mv ' m m m m ; ' V V G m m OG Dans l éféntil d Laboatoi qui st galilén, ls paticuls n intaction n sont soumiss à aucun foc xtéiu. L mouvmnt du cnt d mass (cnt d inti) st donc ctilign t unifom. On compnd donc pouquoi la vitss du cnt d mass G du systèm st la mêm avant t apès l choc. Dans l éféntil du cnt d mass (RG), la loi d composition ds vitsss donn : vvvvvv ; G G (II.55) Où v G st la vitss constant du cnt d mass. La loi d consvation d la quantité d mouvmnt dvint :
vm vm p 56 (II.56) Où p st l vctu-quantité d mouvmnt lativ. En intoduisant c vctu, l avant dniè lation dvint : p p vv G vv G m m (II.57) L éngi cinétiqu total du systèm st donc : p p Evmvmvm c ( )( ) G vm G m m ( ) vm ( ) G p mm (II.58) Ou simplmnt : p E( ) c mvm G (II.59) En posant : (II.60) m m La quantité ainsi défini st applé mass éduit du systèm. Puisqu v G st constant, la consvation d l éngi cinétiqu total xig qu l modul d p soit constant. p' étant l modul du vctu quantité d mouvmnt lativ apès l choc : p m v' m v' ' (II.6) Pa suit, au cous d un choc pafaitmnt élastiqu, l vctu quantité d mouvmnt lativ au cous du choc dans (RG) put pnd un diction qulconqu, mais son modul st constant. Il n st aussi d la vitss lativ ds dux paticuls, puisqu d apès ls lations pécédnts, on a : vv p p mm ( ) (II.6) Rmaqus :
57 L cnt d inti G d un cops nco applé cnt d mass, cospond au baycnt ds paticuls qui composnt c cops, chaqu paticul étant pondéé pa sa mass pop. C st donc l point pa appot auqul la mass st unifomémnt épati. L cnt d inti n dépnd pas d la mass volumiqu mais d la fom du cops. Un popiété étonnant du cnt d inti st qu son mouvmnt st pafaitmnt détminé pa ls lois du mouvmnt, quoi qu il aiv à ss composants aussi longtmps qu cux-ci n subissnt pas ux-mêms d foc nouvll. L cnt d gavité d un cops cospond au baycnt ds paticuls qui composnt c cops, chaqu paticul étant pondéé pa son poids pop. L cnt d gavité st fondamntalmnt lié au champ d gavité g dans lqul l cops st plongé. Dans un situation théoiqu où l champ d gavité sait absnt, on n pouait donc pas l défini. Dans l cas où l poids sait négligabl dvant d auts focs, la notion d cnt d gavité n st pas ptinnt. Comm on l maqu l cnt d inti t l cnt d gavité sont dux points distincts. Tout fois ils sont confondus si l vctu champ d gavité g st constant. Si l vctu champ d gavité n st pas constant, l cnt d gavité dépnd d la position t d l ointation du cops. Exmpl : Choc dict d dux sphès pafaitmnt élastiqus Soint dux sphès S t S d mass m t m, dont ls cnts G t G décivnt un ax x x, chacun d lls étant animé d un mouvmnt d tanslation. Ls dux sphès s hutnt t possèdnt immédiatmnt avant l choc ds vitsss v t v Poposons-nous d chch ls vitsss v t v d chaqu sphè apès l choc, n fonction d m, m, v, v. La quantité d mouvmnt s consv. On a : Vm VmVm ' '' Vm ' (II.6) Et puisqu l choc st pafaitmnt élastiqu, on a aussi :
58 vm vmvm ' vm ' (II.63) Pou ésoud cs dux équations, pa appot à v t v, il st commod d ls éci sous la fom suivant : ( vm ) ( ) v ' vm v (II.64) ' ( vm ' v' ) ( ) vm v (II.65) En divisant mmb à mmb, il vint : ' v (II.66) v v v' Ctt nouvll équation du pmi dgé put mplac l équation du scond dgé du systèm pécédnt. Finalmnt on st amné à ésoud l systèm : v v v vm ) ( ) v' vm v (II.67) ' v (II.68 ( ' ' C faisant, on touv : v' v' ( ) vmm vm mm ( mvm ) vm mm (II.69) (II.70) Etud d un cas paticuli Supposons qu c soit la sphè S d mass m qui vint hut la sphè S d mass m, supposé initialmnt immobil. Ls fomuls (II. 69 t II. 70) dans lsqulls nous faisons v 0, dvinnnt : v' v' ( mmv ) mm vm m m (II.7) (II.7) Tois cas sont à distingu suivant ls valus spctivs ds dux masss m t m.pou plus d claté, pésntons la plus loud ds dux sphès comm étant n mêm tmps la plus goss. Considéons d plus v comm positif, d sot qu ls signs d v t v nous nsignont su l sns ds vitsss finals compaé à clui d la sphè S.
59 i) m > m La sphè pcutant st la plus loud. D apès ls fomuls (II.7 t 7), on a : V >0 ; v <v ; v > v D où la sphè pcutant continu son chmin apès l choc, son mouvmnt étant sulmnt alnti. La sphè pcuté st lancé n avant avc un vitss supéiu à cll q avait la sphè pcutant n aivant su ll. ii) m < m La sphè pcutant st plus légè. D apès ls fomuls (II.7 t 7 ), on a : v < 0 ;v < v ; v > 0 : v < v La sphè pcutant vint n aiè. En valu absolu sa vitss st diminué. La sphè pcuté st lancé n avant avc un vitss inféiu à cll qu avait la sphè pcutant avant l choc. iii) m m Ls dux sphès sont idntiqus d mêm mass : c st l cas ds bouls d pétanqu ou d billad. Alos ls fomuls (II.69 t II.70) donnnt : v 0 ; v v La sphè pcutant s immobilis. L aut st lancé avc la vitss qu avait la pmiè à l aivé. 5.3.3. Chocs pafaitmnt inélastiqus La loi d consvation d la quantité d mouvmnt st toujous valabl : Vm VmVm ' '' Vm On a donc : v ' O, dans l cas actul, nous savons qu ls dux cops s accompagnnt apès l choc. v ' ' v Où v st la vitss commun apès l choc. Nous n déduisons : vm vm v mm (II.73)
60 v n st aut chos qu la vitss V G du cnt d mass du systèm ds dux cops. Dans l cas conct d l xmpl cité plus haut ds dux sphès supposés maintnant totalmnt inélastiqu, on a, suivant l ax x x : v vm vm mm Rmaqus : ) Ls valus v t v ds vitsss suivant x x sont ds valus algébiqus. En paticuli, si ls dux sphès aivnt n sns invss ( v t v d signs contais) t si ls vitsss sont, n valu absolu, invsmnt popotionnlls aux masss d sot qu : mv +mv 0, Alos, on a v 0. Ls dux sphès s immobilisnt apès l choc ) On calcul aisémnt l éngi cinétiqu pdu au cous du choc : ΔW E c - E c (II.74) Ctt éngi s touv dans l éngi d défomation ds dux sphès. 3) L cofficint d stitution éngétiqu Ls dux situations décits ci-dssus pésntnt ds cas xtêm : pafaitmnt élastiqu t pafaitmnt inélastiqu. Il xist un panl d xpéincs intmédiais qu un nouvau paamèt va déci. C paamèt st associé à l éngi cinétiqu. On l appll cofficint d stitution éngétiqu ou dgé d élasticité d un collision t noté η. C st l appot nt la somm ds éngis cinétiqus finals (apès la collision) t ls éngis cinétiqus initials (avant la collision) ds dux cops los d un collision. E E Cf Ci mv ' m V mv ' mv L cofficint d stitution mt n évidnc l xistnc d pt d éngi cinétiqu los d un collision. En généal, on a : 0 η 0, l choc st pafaitmnt inélastiqu ou choc mou
6 η, l choc st pafaitmnt élastiqu : la dué d impact ds cops st considéé comm null 0 < η <, l choc st inélastiqu L cofficint d stitution dépnd du matéiau dont st l cops, d s vitss t d sa sufac d impact. 6. Momnt cinétiqu t focs cntals 6.. Momnt cinétiqu pa appot à un point On appll momnt cinétiqu ou momnt angulai pa appot à un point O qulconqu d un paticul n mouvmnt, l momnt d la quantité d mouvmnt pa appot à c point. Nous l désignons pa L. On a donc L V L OM mv O M 6.. Momnt cinétiqu pa appot à un ax Considéons un ax t un vctu unitai u poté pa ct ax (fig. ). Soit O un point qulconqu d ct ax, on appll momnt cinétiqu pa appot à l ax d la paticul n mouvmnt, l nomb algébiqu L qui msu la pojction su ct ax du vctu L. L MO ( Vm ) u (II.76) 6.3. Théoèm du momnt cinétiqu Déivons pa appot au tmps la lation (II.75) ; on a : Ld do M Vmd ( ) VmMO dt dt dt do M o, VmV Vm 0 dt u dvm MO ( ) MO F Δ dt O M
6 dl F étant la ésultant ds focs appliqués à la paticul. On a n définitiv : OMF (II.77) dt En faisant un calcul analogu à pati d la fomul (II.76), on obtint : dl ( MO Fu dt ) (II.78) Ls lations (II.77) t (II.78) taduisnt l théoèm du momnt cinétiqu qui s énonc ainsi : La déivé pa appot au tmps du momnt cinétiqu d un paticul pa appot à un point fix O (ou pa appot à un ax ) st égal au momnt pa appot à c point O ( ou pa appot à ct ax ) ds focs appliqués à la paticul. 6.4. Application aux focs cntals 6.4.. Définition ds focs cntals On dit qu un paticul st soumis à un foc cntal si la foc qui s xc su ll n chaqu point M d l spac t à tout instant st constammnt diigé vs un point fix O applé cnt ds focs. L momnt d la foc pa appot à c point O st nul O MF 0 O Puisqu OM t F ont l mêm suppot, Il n ésult d apès la lation (II.77) dl ; V dt 0 t pa suit : L OM mv p L momnt cinétiqu d la paticul pa appot au point O st un vctu constant. ct F M 6.4.. Mouvmnt coplanai t loi ds ais Dans schéma pécédnt on maqu, n plus d la fomul pécédnt, qu V t L sont ppndiculais ; l vctu vitss V st donc dans l plan ppndiculai à L : l mouvmnt d la paticul st donc plan. On obtint aussi c ésultat n maquant qu
63 d apès l pincip fondamntal d la dynamiqu ( F ma ) ; l accéléation a st égalmnt diigé vs O, l mouvmnt st donc cntal ; pa suit, il st plan. Il vint au mêm d maqu qu la lation pécédnt put s éci : m ( OM V ) ct d d ( t ) d cst cst dt dt dt Considéons l schéma ci-dssous ; l ai balayé ds pa l ayon vctu duant l tmps dt s xpim ainsi : y M (t) ds d ds ( t) d O (t+dt) On n déduit la consvation d l ai balayé pa l ayon vctu dans l unité d tmps : ds ( t) d cons tan t dt dt ds L vctu st aussi applé vctu vitss aéolai d la paticul. Ctt dniè dt équation illust la loi ds ais pou ls focs cntals. Ell mont qu l mouvmnt a liu suivant la loi ds ais énoncé pa Kpl pou ls planèts n 609 ( loi d Kpl) Enoncé d la duxièm loi d Kpl : l ayon-vctu liant un planèt au solil balai ds ais égals ds pndant ds intvalls d tmps égaux Δt. θ st n généal diffént d θ. Δt M x Δt M 0 ds ds θ θ M
64 6.4.3. Cinématiqu ds focs cntals Ls focs cntals ngndnt ds mouvmnts plans. Il st donc plus commod d tavaill n coodonnés polais. Considéons un pè catésin ( O, i, j) fix t un pè d Fnt ( M, u, n ) attaché au mobil M. Rapplons ls xpssions ds vctus position, vitss t accéléation n coodonnés polais dans l cas généal: y M j θ v Avc a ( d d ) ( ) t d d Dans l cas ds focs cntals, l accéléation l st aussi ; on a donc : 0 d ( ) 0 dt C st la constant ds ais. polais : 0 cons tan t O i x C d dt On touv alos à un factu pès l ai balayé pa unité d tmps n coodonnés d dt ( d dt L m ds dt d dt cons tan t d ) d dt C 0 C
65 Dans l cas ds focs cntals, ls vctus position, vitss t accéléation s écivnt : v a ( 6.4.4. Ls fomuls d Bint ) Nous vnons d voi qu la consvation du momnt du modul du momnt cinétiqu conduit à l xpssion suivant : d C cona tan t Il st donc possibl dans ls xpssions d la vitss t d l accéléation d fai dispaaît l paamèt tmpol t qui n intvint qu à tavs sa difféntill. Ls infomations qu nous obtindons caactéisont uniqumnt la tajctoi n pdant touts ls infomations C dt concnant l équation hoai : s s(t). Faisons l changmnt d vaiabl suivant : du u ( ) ; u'( ) ; u''( ) d u ( ) dt a) Pmiè fomul d Bint On chch à xpim l caé du modul du vctu vitss n fonction d On a : C C On a aussi : C d d d d dt d dt C dt u Cu d C d d dt d dt C d d C ( ) C u' d d dt u, u' En utilisant ls lations pécédnts dans l xpssion du vctu vitss, on a : v C u' C u C u' C u u L caé du modul s écit alos : v C u' u C st la pmiè fomul d Bint. Ell st à établi puis à ésoud plus facilmnt l équation difféntill pa application du pincip d la consvation d l éngi mécaniqu. t C
66 b) La duxièm fomul d Bint On chch à xpim l vctu accéléation n fonction d u, u', u' ' t C d d C u ( u') dt dt En utilisant l xpssion d l accéléation, on a a a C u u'' C u u '' C u u '' u u C u C st la duxièm fomul d Bint. Ell st à ésoud plus facilmnt l équation difféntill pa application du pincip fondamntal d la dynamiqu. 6.4.5. Equation d la tajctoi d un cops soumis à un foc cntal En ésolvant ls équations difféntills établis à pati ds dux méthods ci-dssus indiqués, on obtint l équation d la tajctoi du cops sous à l action d un foc cntal. Ls tajctois plans obtnus sont ds coniqus dont l cnt ds focs st un ds foys. Ls coniqus constitunt un famill d coubs plans fmés (ls llipss) t ouvts (paabols t hypbols). L ccl st un cas paticuli d llips. L équation généal d la tajctoi d un coniqu n coodonnés polais st : A cos ( ) B Avc A, B t φ ds constants à détmin à pati ds conditions initials. Ls valus d cs constants détminnt la natu d un coniqu (llips, hypbol, paabol) Exmpl d coniqus : l llips Y b A a M P O O X c O st l cnt d l llips a
67 O st un ds foys OO st l ax focal A t P sont ls sommts P st l péicnt A st l apocnt a st l dmi gand ax ; b st l dmi ptit ax ; c st la dmi distanc intfocal a b c c : xcnticité ; pou l ccl 0 t pou l llips < a p b a : paamèt d l llips L équation d la tajctoi : p cos L ai S ab Paabol Ell a la mêm équation qu l llips mais avc un tajctoi diffént t. Un paabol cospond à la tansition nt l llips t l hypbol Hypbol On a dux typs d paabols: un banch d typ «attactiv», l aut d typ «épulsiv» Pou l typ «attactiv», mêm équation qu l llips mais d tajctoi diffént t > Pou l typ «épulsiv», un tajctoi diffént, avc > t p cos
68 6. Ls oscillatus hamoniqus libs à un dimnsion A un ssot d constant d aidu k, initialmnt à vid, accochons un solid S d mass m. Losqu l nsmbl st n équilib, on ti hoizontalmnt l solid S vs la doit d un valu x, puis on l lâch sans vitss initial. R L solid S st soumis à ds focs dissipativs (focs d fottmnt) v Fd. st un constant positiv. Ls fottmnts sont dus au liquid visquux s touvant dans l cylind. Appliquons la lation fondamntal d la dynamiqu au solid S au momnt où il st lâché : R 0 N P T F 0 kx v xm x xk d m a 0 m x Equation difféntill du scond od à cofficints constants sans scond mmb. m k w m x x Posons : x m k 0 t 0 L équation difféntill pécédnt dvint : x 0 x 0xw T m L équation caactéistiqu d l équation difféntill pécédnt st : w0 0 P x
69 Ls solutions d l équation difféntill pécédnt dépndnt du sign du disciminant éduit d l équation caactéistiqu. ' w 0 6.. Mouvmnt oscillatoi psudo-péiodiqu : cas où ' 0 w 0 Posons : La solution généal d l équation difféntill st : x Avc : t cos A t A : amplitud du mouvmnt φ : phas du mouvmnt Cs dux constants A t φ sont détminés à pati ds conditions initials : A t 0 ; x x0 ; v x v 0 w0 T : st applé psudo-péiod
70 La coub x (t) st nvloppé pa ls dux xponntills d équations : t A t t A L décémnt logaithmiqu Considéons ls élongations x (t) t x (t + T) x( tt) xt )( tt ) ( t T On appll décémnt logaithmiqu, la quantité : T Il caactéis la décoissanc ds élongations maximals à chaqu péiod. Cla s taduit pa l amotissmnt du mouvmnt qui pnd l nom d mouvmnt oscillatoi amoti : oscillations psudo-péiodiqus. On put dédui δ d la msu ds élongations du mobil à instants sépaés pa n péiods. x( tnt ) xt () n tx )( lntx nt n ( ln 6.. Mouvmnt oscillatoi apéiodiqu citiqu : cas où ' 0 w 0 T0 L équation caactéistiqu admt alos un doubl acin. La solution d l équation difféntill du mouvmnt st : x t tab vabta t En tnant compt ds conditions initials, on a : vx ; 0 0 Bx A 0
7 t xvxx t 0 0 0 L systèm vint à sa position d équilib au bout d un tmps infini sans jamais la dépass t sans jamais ffctu un oscillation. Pami ls mouvmnts apéiodiqus d l oscillatu, l égim citiqu cospond au cas où l tou vs la position d équilib st l plus apid. 6.3. Mouvmnt oscillatoi apéiodiqu : cas où ' 0 w 0 L équation caactéistiqu admt dux acins élls négativs La solution d l équation difféntill du mouvmnt st : t. x A t t B Ls conditions initials donnnt ls valus d A t d B. L systèm vint à sa position d équilib sans oscill. L tou vs la position d équilib st l plus lnt à caus d l impotanc ds focs d fottmnt.
7 8. Evaluations Univsité Chikh Anta Diop d Daka Anné univsitai 00 / 0 FASTEF Dépatmnt d Scincs Physiqus Sction FC Séi d xcics d Cinématiqu Excic. Dans un pè othonomé ( oi,, j, k), on définit ls vctus suivants : Aijk ; ibjk ; 34 icjk ) Calcul ls noms d cs tois vctus ) Calcul l angl fomé nt ls vctus A t B 3 ) Détmin un vctu unitai diigé suivant la ésultant ds tois vctus A, BtC 4 ) Démont qu : ABC ( )( AB) C: c st à di qu l poduit scalai t l poduit vctoil puvnt êt intchangés 5 ) Calcul ( ABC ) t AB ( C) ; Conclu. Excic. ) Calcul gad f pou f, / n, 3 ) Calcul div, div /,(/) div u avc u / 3 ) Calcul la divgnc d u n utilisant la lation : div ( faaga ) df () fdiv ( a) 4 ) Calcul oto 3, / 5 ) Calcul l laplacin d, au point M (,, 0) t clui d / au point M (,, ) Excic 3 Un point matéil st animé d un mouvmnt plan cuvilign. Ls équations hoais du mouvmnt d c point matéil sont spctivmnt : xt () yt () t t ( t Calcul n fonction du tmps : ) Ls coodonnés catésinns ds vctus vitsss t accéléations, puis l modul du vctu vitss ) Ls composants tangntills t nomals d l accéléation ; ainsi qu l ayon d coubu. Excic 4 Soit un coub défini pa ss équation paamétiqus x(t), y(t), z(t), n pnant pou axs d coodonnés la tangnt t la nomal à la tajctoi n M, d vctus unitais u t n. ) Ecivz ls lation définissant l vctu vitss t l vctu accéléation ) Dédui l xpssion du ayon d coubu du calcul d v a 3 / )3
73 Explicit l ayon d coubu dans un pè catésin, pou un coub n coodonnés polais t nfin pou un coub plan d équation y f(x). 3 ) Application au calcul d ayon d coubu d qulqus coubs classiqus :. y x ; valu du ayon d coubu pou x 0. ρ a ( cos θ) ; valu du ayon d coubu pou θ π 3. x a cos wt t y b sin wt ; valu du ayon d coubu pout t 0 t t π / w Excic 5 Ls coodonnés d'un paticul sont donnés n fonction du tmps pa: x t y 4 t ( t - ) ) Détmin l'équation d la tajctoi ) Calcul la vitss à l'instant t 3 ) Mont qu l mouvmnt a un accéléation constant, dont on calcula ls composants tangntill t nomal Excic 6 ) Mont qu dans un mouvmnt cuvilign qulconqu va av ; at v an v ) n dédui, pou un paticul dont ls coodonnés sont donnés n fonction du tmps x3 t; pa: yt 3 ; z 3 t a t n a ls xp ssions dt d
74 Excic 7 Unmobil animé dun ' vitsscons tan t pénèt dans unmiliu v0 ésis tan t dans lqul il stsoumis à uin déccéléat iona _ k k stuncons tan ttv lavitss ins tan tan é n v. ona v ) v0 Etabli laloidonnant lavitss ins tan tan év () t si pou t0, ) Dans lcasn, ndédui léquation ' dumouvmnt. Onpn loigin ' dstmps tdsspacs aumomnt oùlmobil pénèt dans lmili. ) 3 Mont qu ' apès unpacous x, lavitss stv _ v0 k x Excic 8. ) Considéons ls matics suivants : 0 A 0 ; B 0 3 ; C 0 0 0 0 0 0 0 0 ; D 0 E 3 0 ; F 0 4 3 ; G 3 3 3 0 3 ; H 4 0 0 J 8 9 4 4 ; K a a a a b b a b c ; L 3 5 0 3 5 5 a) Calcul: A+B, A-B ; 3C ; EF ; GH ; HG b) Calcul ls détminants ds matics G, H, J, K, L c) Véifi si ls matics A, B, C, D, E, F sont invss. Calcul l cas échéant lu invs. d) Détmin ls tansposés t ls angs ds matics suivants A, B, C, D, E, F ) Diagonalis ls matics J, G, H ) Résoud pa la méthod d Gauss ls systèms suivants :
x - 3y 8 x + y + z 3 4x - 5y + z 5 x - y + 3z 8 x + 4z x + y + z -3 x + y + z 75
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77 Excic 5. Un pojctil d mass m st lancé à t 0 d un point oigin O avc un vitss initial V 0 faisant un angl α avc l hoizontal. L pè étudié R ( O, i, j, k) st supposé galilén. ) ls fottmnts étant négligés, détmin ls coodonnés du pojctil à tout instant. ) Détmin l équation d la tajctoi du pojctil t la valu d l angl α pou lqul la poté st maximal. 3 ) Pou un vitss Vo donné, touv l équation d coub sépaant ls points suscptibls d êt attints d cux qui n l puvnt pas t mont qu ls points suscptibls d êt attints puvnt l êt avc dux angls d ti α t α.
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79 4 ) La constant d appl du ssot. Excic 5 La loi d vaiation du poids d un cops d mass m avc l altitud étant: Pz () mgr 0 ( Rz ), R étant l ayon d la t, z l altitud du cops t g 0, l intnsité d la psantu au nivau du sol. ) Etabli un xpssion d l éngi potntill d psantu ) Compa avc l xpssion couammnt utilisé Ep mgz, valabl à bass altitud (z << R). Jusqu à qull altitud put-on utilis ctt xpssion pou qu l u lativ commis n dépass pas 0, 00. 3 ) Qull st l xpssion d la vitss v0 avc laqull l cops doit quitt la sufac d la t, vticalmnt pou attind l altitud z avc un vitss null. 4 ) Calcul la vitss limit v L au-dlà d laqull l cops échappa à l attaction tst. Excic 6. Un paticul st soumis à un foc F déivant d un éngi potntill Ep ( 3x x 3 ) jouls. ) Tac la coub pésntativ d Ep(x). ) Détmin suivant ls valus d x la diction d la foc F. 3 ) Détmin ls positions d équilib d la paticul ainsi qu lu natu (stabl ou instabl) 4 ) La paticul st lâché sans vitss initial d un position d absciss x ( 3) m. Mont qu l mouvmnt st d la paticul st oscillatoi nt dux positions qu l on détmina. 5 ) La paticul st lâché sans vitss initial d un position d absciss x - m. Mont qu la paticul s éloign alos vs l infini. Qull st la vitss d la paticul au point d absciss x m si sa mass st d kg. Excic 7 Dans l plan xoy, un point matéil d mass m s déplac su la tajctoi défini pa : MO a cossin iwta jwt ; a t w sont ds constant positiv. ) Rpésnt la tajctoi du point matéil ) Détmin ls vctus vitss t accéléation, t véifi qu la ésultant ds focs agissant su l point matéil st cntal. 3 ) Expim l éngi cinétiqu du point matéil n fonction du tmps, n dédui sa valu maximal attint. 4 ) En utilisant ls coodonnés cylindiqus, calcul la tavail d la ésultant ds focs losqu l mobil s déplac d A (a, 0) à B (0, a). 5 ) Détmin l xpssion d la puissanc instantané t calcul l tavail losqu l point matéil a fait un tou. Conclusion?
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