Août 24 ( heure et 45 miutes). a) Défiir: matrice écheloée lige réduite rag d'ue matrice (.5 pts.) b) Quel lie a-t-il etre le rag d'ue matrice et so ombre de liges et de coloes? Ne pas démotrer. (.5 pt.) c) Doer si possible, das chaque cas, u exemple de matrice M IR 3x3 qui est à la fois diagoale et de rag 2 de rag et sas élémet ul écheloée lige réduite et o iversible Justifier deux de vos réposes au choix. (2.5 pts.) 2. a) Qu'appelle-t-o matrice élémetaire? Commet utilise-t-o ue telle matrice pour effectuer ue opératio élémetaire? Doer u exemple de matrice élémetaire de IR 3x3. Justifier votre choix. (.5 pt.) b) Démotrer que toute matrice élémetaire est iversible. Que peut-o dire de l'iverse d'ue matrice élémetaire? (.5 pt.) 3. a) Défiir: - vecteurs liéairemet dépedats - base d u espace vectoriel réel ( pt.) b) Démotrer que des vecteurs sot liéairemet dépedats ssi l u d etre eux peut s écrire comme combiaiso liéaire des autres. (.5 pt.) c) Soiet 2 2 - u,v et w 3 3 et E {u, v, w}. 4x ) Les vecteurs de E sot-ils liéairemet idépedats? Formet-ils ue base de IR? Egedretils IR? 4x 2 5 2 ) Peut-o écrire le vecteur z comme combiaiso liéaire des vecteurs u et v? 4 3 Justifier soigeusemet vos réposes. (3 pts.) 4. Soit M IR x, IN. a) Défiir : - valeur propre et vecteur propre de M. - polôme caractéristique de M. - matrice diagoalisable das IR. (.5 pt.)
2 b) Soit la matrice M. 2 Détermier toutes les valeurs propres de M. Pour ces valeurs propres, détermier les vecteurs propres associés. M est-elle diagoalisable das ue base orthoormée? Justifier. (3.5 pts.) 5. Doer (répose fiale uiquemet) ) das, le module et l argumet d ue solutio z (au choix) de l équatio z 3 2.i. module : 3 2 argumet : π 6 ( pt.) 2 ) ue solutio particulière de la RLACC (récurrece liéaire à coefficiets costats) Y 2.Y 7t 3 t+ t + + Y t 7t ( pt.)
Répose questio a) Ue matrice A est sous forme écheloée lige réduite ssi i) les liges sas pivot sot sous les liges avec pivot; ii) tous les pivots valet ; iii) si la lige i de A est sous la lige j de A, si i et j ot u pivot, le pivot de i est à droite du pivot de j; iv) les pivots sot le seul élémet o ul de leur coloe. Le rag d ue matrice A est le ombre de liges o ulles (ou le ombre de pivots) de la matrice écheloée lige réduite de A. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio b) Soit m : o a rag( A) mi{ m,} A IR avec m, IN. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio c) La matrice M est diagoale et de rag 2. E effet, d ue part, elle est diagoale puisque tous ses élémets hors de la diagoale pricipale sot uls et, d autre part, elle est écheloée lige réduite (voir répose a)) et possède deux liges o ulles, doc est de rag 2. La matrice 2 3 M 2 3 2 3 est de rag sas élémet ul. E effet, d ue part, elle est, de maière évidete, sas élémet ul, et, d autre part, e effectuat les opératios élémetaires L2 L2 L et L3 L3 L, o obtiet sa réduite qui est 2 3 qui a ue lige o ulle, doc, M est de rag. La matrice M est écheloée lige réduite et o iversible. E effet, elle est d évidece écheloée lige réduite (voir répose a)), d ue part et, d autre part, comme sa réduite est elle-même et est pas la matrice uité (ou idetité), elle est o iversible. Répose questio 2 a) O appelle matrice élémetaire toute matrice uité sur laquelle a été effectuée ue opératio élémetaire. Pour effectuer ue opératio élémetaire sur ue matrice, il suffit de la prémultiplier par la matrice élémetaire correspodate.
La matrice est ue matrice élémetaire de 3x3 IR. E effet, o obtiet cette matrice e effectuat 3x3 l'opératio élémetaire "permutatio des liges et 2" sur I 3, la matrice uité de IR. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio 2 b) "Les matrices élémetaires sot iversibles et leur iverse est ue matrice élémetaire. La matrice de l'iverse d'ue opératio élémetaire est l'iverse de la matrice de l'opératio élémetaire" Démostratio Rappelos qu'ue opératio élémetaire est iversible et que so iverse U est égalemet ue opératio élémetaire. O a que U U I (trasformatio idetité). Soiet Soiet M la matrice élémetaire correspodat à (c'est-à-dire M U la matrice élémetaire correspodat à U (c'est-à-dire Mais puisque U I, o a (U(I )) I doc ( M U ) I et M (I )) et M U U(I )). M. M I. U De même, puisque U I, o a U((I )) I doc U( M ) I et M. M I. U Les matrices M et M U sot doc iversibles. O a M U M et, puisque U -, M M. Répose questio 3 a) Des vecteurs d u espace vectoriel V sot liéairemet dépedats ssi il existe ue combiaiso liéaire de ces vecteurs à coefficiets o tous uls doat le vecteur ul. Ue esemble de vecteurs E d u espace vectoriel V est ue base de V ssi les vecteurs de E sot liéairemet idépedats et que VC(E) V (c est-à-dire que les vecteurs de E egedret V). --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio 3 b) Des vecteurs sot liéairemet dépedats u de ces vecteurs est combiaiso liéaire des autres. Preuve () : soiet vecteurs liéairemet dépedats v,v 2,...,vd u espace vectoriel réel V. Par défiitio, il existe des réels r,r 2,...,r o tous uls tels que r.v + r 2.v 2 +... + r.v. Supposos, par exemple, r. O a r.v r 2.v 2... r.v.
Multiplios (scalairemet) les deux membres par ( ). O obtiet r v r.v r.v... r.v 2 3 2 + 3 + + r r r v 2,...,v. et le vecteur v est combiaiso liéaire des vecteurs (2) :Supposos, par exemple, que le vecteur v est combiaiso liéaire des vecteurs v 2,...,v. O a v a 2.v2 + a 3.v 3... + a.v avec ai IR i. De là, v + a 2.v2 + a 3.v 3 +... + a.v ( ).v + a 2.v2 + a 3.v 3 +... + a.v et, comme, il existe ue combiaiso liéaire des vecteurs v,v 2,...,v à coefficiets o tous uls doat le vecteur ul, doc les vecteurs v,v 2,...,v sot liéairemet dépedats. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio 3 c) 2 2 - O a les vecteurs u,v et w de IR 4x. 3 3 ) Pour voir si les vecteurs de E sot liéairemet idépedats, o forme la matrice 2 2 3 3 3 2 3 3 - L 2 2 que l o réduit : L L 2 3 3 L L 2 3 L L + L2 3 2 L L 3.L 3 3 L L 3.L 3 3 2 4 4 2 ( ).L 2 2 L L 2.L 3 3 L L 3.L L ( ).L 3 3 2 2 4 4 L L L L L L 3 2 2 3. Cette derière matrice est écheloée lige réduite et possède 3 liges o ulles. La matrice de départ est doc de rag 3 et, par coséquet, les 3 vecteurs doés sot liéairemet idépedats. Ces 3 vecteurs e formet pas ue base de vecteurs. 4x IR 4x IR, puisqu ue base de Ces 3 vecteurs egedret pas. E effet, s ils egedraiet 4x idépedats, ils costitueraiet ue base de IR! 4x IR est costituée de 4 4x IR, comme ils sot liéairemet
2 5 2 ) Si le vecteur z est combiaiso liéaire des vecteurs u et v, il existe des réels x et tels que 4 3 2 2 2 2x+ 2x+ 2 [] 5-5 -x+ -x+ 5 [2] z x.u +.v x. +.. 4 4 4 [3] 3 3 3 3x 3x 3 [4] Les équatios [3] et [4] fixet les valeurs de -4 et x. Or ces valeurs vérifiet bie les équatios [] et [2], doc z.u + (-4).v et z est s écrit bie comme combiaiso liéaire de u et v. Répose questio 4 a) Soit M IR x, IN. Le réel λ est ue valeur propre de la matrice M ssi il existe u vecteur o ul x x λ.. Les vecteurs x x x tels que M. x vecteurs propres associés à la valeur propre λ. x x λ. sot alors les x x x IR x tel que M. x Le polôme caractéristique de M est u polôme de degré e la variable λ égal à dét ( M λ.i ). M est diagoalisable das IR ssi il existe ue matrice iversible C de IR x telle que C -.M.C est diagoale. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Répose questio 4 b) Soit 2 M 2. Le polôme caractéristique de M est dét 2λ λ 2λ 2 2 2 ( λ)[(2 λ) ] ( λ)[ λ 4λ+ 3] ( λ).(3 λ ). Ses valeurs propres sot doc λ et λ 3. Les vecteurs propres associés à la valeur propre λ sot les vecteurs x x x x 3x de IR tels que M. (). (M-I)., c est-à-dire les solutios du sstème z z z z 2 x x z. { x z. 2 z x+ z
x 3 Le sous-vectoriel des solutios du sstème est IR :{ x z z ou ecore z z :,z IR :,z IR. z. + + :,z IR z z dot ue base est, par exemple,,. Les vecteurs propres associés à la valeur propre λ 3 sot les vecteurs x x x x 3x de IR tels que M. 3. (M-3I)., c est-à-dire les solutios du sstème z z z z 23 x x z x z 3. 2. 2 3 z x z Le sous-vectoriel des solutios du sstème est x 3 x z IR : z ou ecore z :z IR z.z:z IR dot ue base est tout aturellemet. 3x Il aisé de former ue base de IR costituée de vecteurs propres de M (il suffit de rassembler les bases des sous-vectoriels de vecteurs propres associés aux deux valeurs propres) doc M est diagoalisable das IR. De plus, comme les vecteurs, et sot deux à deux 3x orthogoaux, il suffit de les ormer pour obteir ue base orthoormée de IR costituée de vecteurs propres de M et M est doc diagoalisable das ue base orthoormée.