ETUDE D'UNE POMPE PÉRISTALTIQUE

ETUDE D'UNE POMPE PÉRISTALTIQUE L'étude de ce mécanisme se décompose en tois paties. Une pemièe patie est associée à l'analyse fonctionnelle du mécanisme. La seconde patie concene l'étude mécanique de la pompe dans des conditions "idéales" de fonctionnement. L'étude de la pompe dans des conditions plus epésentatives de la éalité fait l'objet de la toisième patie. Les paties 2 et 3 contiennent également des questions elatives à la conception. Les dimensions nécessaies aux applications numéiques seont lues ou mesuées su les plans founies. La concision du candidat dans ses éponses sea paticulièement appéciée. Ce denie penda également soin de justifie claiement les expessions utilisées. Pésentation du mécanisme Le pincipe des pompes péistaltiques s'inspie de l'obsevation du fonctionnement de l'intestin du cops humain ; note intestin est pouvu de muscles péiphéiques qui pemettent de déplace la matièe pa une succession de contactions et décontactions. La figue 1 décit le pincipe de fonctionnement d'une pompe péistaltique. La pompe se compose d'un bâti (b) su lequel est fixé un moteu dont l'axe (a) entaîne en otation un pote galets (pg). Les galets (g) sont en contact avec un tube défomable (t). L'écasement de ce tube (t) ente un galet et le bâti povoque deièe la zone écasée une dépession dans le tube qui se emplit aussitôt de fluide. La quantité de fluide empisonnée dans le tube (t) ente deux galets est alos pulsée ves la sotie de la pompe. figue 1 : Pincipe de fonctionnement d'une pompe péistaltique. Les pompes péistaltiques sont utilisées pou le tanspot de matièes extêmement vaiées telles que des liquides (chagés ou non), des pâtes, des poduits pulvéulants (gaines de cééales, poudes, etc...), les dimensions de ces installations sont aussi tès vaiables de quelques centimètes, pou leu application au domaine dentaie, à quelques mètes dans le cas du tanspot de cééales. La pompe étudiée est un pototype de pompe péistaltique à usage dentaie pou le détatage des dents. Cette pompe a été développée pou emplace une pompe jetable à usage unique 1

incopoée dans un ensemble appelé ligne d'iigation, pésentée figue 2. Pou achemine le liquide détatant stéile (eau chagée d'additifs) contenu dans un flacon hemétiquement clos ves l'outil de détatage manipulé pa le dentiste, ce denie utilise un ensemble stéile appelé "ligne d'iigation". Cet ensemble jetable pou des aisons d'hygiène se compose de deux tubes de gande longueu (assez igides pou ne pas faie de noeuds) accodés ente eux pa un tube plus souple de faible longueu (de l'ode d'une vingtaine de centimètes) inséé dans une pompe péistaltique jetable. On touve ici tout l'intéêt de ce type de pompe dans lequel le fluide n'est jamais en contact diect avec la pompe. pompe péistaltique jetable flacon ves outil du dentiste pefoateu tube souple φ 1.35 tube "assez igide" φ 3 long 1000 mm tube "assez igide" φ 3 long 3000 mm égulateu manuel de débit figue 2 : Ligne d'iigation avec pompe incopoée. Afin de diminue le pix de vente de ce dispositif, l'entepise qui conçoit ce type de poduit a développé le pototype de pompe éutilisable que nous allons étudie. Ce pototype est pésenté en situation su les photogaphies 1 et 2, les plans sont donnés documents 1 et 2. Dans cette nouvelle vesion, la "ligne d'iigation" ne compote plus de pompe d'où une économie notable et doit pouvoi ête montée simplement et apidement (moins d'une minute) dans la pompe pa le dentiste. Les pincipaux points du cahie des chages pou la conception de cette nouvelle pompe sont : simplicité de changement du tube. temps de changement du tube : 1 minute maximum. pompe entièement démontable pou en facilite le nettoyage. duée de vie de la pompe : 4 ans. débit Q vaiable ente 5 ml/mn et 80 ml/mn. utilisation du micomoteu de l'ancienne pompe dont la puissance utile est : P = 15 Watts. 2

Photogaphie 1 : pompe avec sa ligne d'iigation. Photogaphie 2 : pompe ouvete avec sa ligne d'iigation. Pemièe patie : analyse du fonctionnement de la pompe Cette patie concene l'analyse du fonctionnement et la citique des solutions technologiques etenues. Elle fait éféence aux documents 1 et 2, fomat A3, founis. I.1. En pécisant claiement les vues ou coupes epéées su les plans poposés, explique comment se font l'ouvetue et la femetue de la pompe nécessaies au changement de la ligne d'iigation. I.2. Analyse fonctionnelle. I.2.a Quel est le type de liaison ente l'axe (3) et le bâti (11) de la pompe? Quelle est sa fonction? I.2.b Donne un ajustement à cette liaison lui pemettant de empli sa fonction. I.2.c Quelle est la fonction de la pièce (5)? Dessine le schéma fonctionnel de la liaison ente (3), (4) et (5). I.2.d Tace su le document 3 (à emette avec vote copie) la chaîne de cotes elative au jeu J 5/7 ente les pièces (5) et (7). Quelle est l'utilité de ce jeu? I.3. A l'usage, on constate su le pototype coespondant aux plans founis (documents 1 et 2) que, los de l'ouvetue de la pompe pou le changement de la ligne d'iigation, la pièce (4) se soulève pa appot au bâti (11) pedant ainsi patiellement le contact avec (11). I.3.a Quelle est la cause de ce soulèvement? I.3.b Popose une solution technologique pemettant d'évite ce soulèvement. Faie un schéma illustant vote solution. 3

Deuxième patie : étude dans des conditions "idéales" de fonctionnement Toutes les gandeus physiques utilisées sont désignées pa leu mesue algébique. ω i désigne la mesue algébique de la vitesse de otation du solide i pa appot au éféentiel galiléen R 0 matéialisé pa le epèe othonomé diect ( 0,, i j, k ) lié au bâti (11) de la pompe. V i / j M désigne la vitesse d'un point M du solide i pa appot au solide j. Le éféentiel associé à chaque solide Si sea noté Ri ( xi, yi, zi), où ( xi, yi, zi ) désigne une base othonomée diecte. R4 j x 10 γ x 9 k G M x 12 β O P α i R10 R12 R9 entée sotie figue 3 : paamétage II.1. Pou simplifie, on modélise le contact ente un galet (10) et l'axe moteu appoté (12), collé su l abe de (1), pa un contact linéïque et on suppose que le long de ce contact le oulement d'un galet su l'axe moteu appoté s'effectue sans glissement. De même, on modélise le contact ente un galet (10) et le tube écasé (14) pa un contact ponctuel, éduit au point M, et on suppose que le oulement d'un galet (10) su le tube écasé (14) s'effectue aussi sans glissement. Enfin ce même tube (14) est immobilisé pa appot à l ensemble (11),(4). II.1.a Etabli le schéma cinématique minimal de ce mécanisme. Le paamétage poposé figue 3 est-il suffisant? Justifie vote éponse. II.1.b Taduie les deux conditions pécédentes de oulement sans glissement en un point quelconque P du contact linéïque (10) / (12) et au point M du contact ponctuel (10) /(14). En déduie la vitesse de otation galiléenne 10 du galet (10) ainsi que celle du pote galet (9), 9 en fonction de 12 et des caactéistiques nécessaies. II.1.c Quel doit ête le sens de otation du moteu (sens A ou B su le document 1) pou que la pompe assue sa fonction? 4

II.2. Pou facilite les calculs du débit de la pompe, on choisit de modélise le volume de fluide empisonné, ente deux galets, pa un tube dont les deux extémités sont coupées en biseau, comme illusté su la figue 4. L'écasement du tube est supposé complètement éalisé (pas de fuite). Rappels: On appelle, pou cette question, que: * la cylindée d'une pompe est le volume de fluide efoulé pa tou. * le débit volumique d'une pompe est défini pa le volume de fluide efoulé pa unité de temps. α=70 β=10 β=10 d 14 =2.7 (intéieu), 3.2 (extéieu) R 4 =9 β=10 R 10 =3 R 12 =2 figue 4 : modélisation de la géométie de la pompe (dimensions en mm). II.2.a Selon le modèle géométique adopté, calcule le volume de fluide empisonné ente deux galets en fonction des caactéistiques géométiques. En déduie la cylindée C yl de la pompe en fonction de N,,, g d, 14 R. 4 Faie l application numéique. II.2.b D'apès la vitesse galiléenne ω 9 du pote-galets calculée à la question II.1.b, calcule le débit Q de la pompe en fonction du nombe de galets N g, 12 et des caactéistiques géométiques nécessaies. II.2.c Compte-tenu de la plage de vaiation du débit de la pompe demandée dans le cahie des chages, calcule la plage de vaiation de la vitesse de otation 12 de l'axe du moteu. Faie l application numéique. II.3. Le cahie des chages impose que le moteu de l'ancienne pompe soit éutilisé. II.3.a Calcule le couple moteu maximum Cm max disponible pou obteni le débit minimum. Faie l application numéique. II.3.b En déduie la mesue algébique T 12 > 10 de l'effot tangentiel maximum max tansmissible pa l'axe moteu appoté (12) su chacun des tois galets (10) en fonction de R 12, N g, la puissance utile du moteu P et de 12. On se placea en égime pemanent de fonctionnement. Faie l application numéique. 5

II.4. Dans les conditions idéales de liaisons pafaites et de solides indéfomables (à l'exception du tube), l'ensemble des 3 galets (10), du pote-galets (9) et de l'axe moteu (12) peut-il à la fois ête assemblé sans jeu et assue coectement la fonction de pompe? Pouquoi? II.5. Les plans de fabication des galets (10) et du pote-galets (9) indiquent les cotes suivantes : diamète intéieu d'un galet : φ 2 5 + 01,, 0. diamète d'un axe pote-galet : φ 2 0 01,. II.5.a Calcule les valeus maxi et mini du jeu adial J 9/10 ente les pièces (9) et (10). II.5.b Que pensez-vous de la valeu de ce jeu? Quel est son ôle? II.5.c La solution etenue pou ce montage est-elle isostatique? Justifie vote éponse. Toisième patie : étude dans des conditions de fonctionnement plus éalistes En éalité, des glissements appaaissent ente les difféents éléments oulants équipant la pompe et nuisent pa conséquent au bon fonctionnement de celle-ci. III.1. Donne deux aisons à ce dysfonctionnement. III.2. Afin d'étudie, à un instant du cycle de fonctionnement de la pompe, l'équilibe de l'ensemble {pote-galets (9), galets (10), axe appoté (12)}, on choisit de modélise l'action nomale du tube (14) su chacun des galets (10) pa k e u, où u désigne l écasement du tube et k e une aideu équivalente déteminée expéimentalement. Pou chacun des galets, k e est constante et égale à k 0 pendant le tajet du galet considéé su le chemin de oulement, hos de la zone de chevauchement du tube. L'ensemble étudié est ainsi epésenté su la figue 5. 6

9 12 10 k e k e G M O P θ 1 k e θ 2 chevauchement du tube figue 5 : modélisation des liaisons tube (14) / galets (10) à chaque instant du cycle de fonctionnement de la pompe De plus, on choisit d'adopte le modèle de Coulomb pou décie le contact ente le tube (14) et les galets (10) d'une pat, et ente les galets (10) et l'axe moteu appoté (12), d'aute pat. III.2.a Quelle est la signification physique de la aideu équivalent k e? III.2.b On se place en égime de fonctionnement établi de la pompe et on s'intéesse à l'équilibe d'un galet (10) pacouant le chemin de oulement, epésenté (figue 5). Le coefficient d adhéence ente un galet (10) et le tube (14) vaut 1014 / = 06, alos que celui ente R9 > 10 un galet (10) et l'axe (12) vaut 1012 / = 02,. On désigne pa { T9 > 10} = G, le toseu 0 G epésentatif des actions de contact tansmissibles de (9) su (10), éduit au cente de gavité G du galet. Donne une justification à la difféence des coefficients d adhéence 1014 / et 1012 /. Cm Monte que la condition d'adhéence en M impose u où Cm désigne la N R k mesue algébique du couple moteu. g 12 e 1014 / III.2.c Compte-tenu de la valeu de l'effot tangentiel maximum T 12 > 10 tansmissible pa max l'axe moteu appoté (12) su chacun des tois galets (10) calculée à la question II.3.b, calcule, à la limite du glissement ente le tube (14) et les galets (10), la valeu maximale de l'effot tangentiel execé pa chaque galet su le tube. Faie l application numéique. 7

III.2.d Quelle est la fonction des fomes en vé aux deux extémités de la pièce (4). III.3 Cette question est une question qualitative pou laquelle il n'est demandé aucun calcul. En vue de véifie que le moteu d oigine convient, on s'intéesse dans cette question à ce qui se passe dans la zone de chevauchement du tube, illustée photogaphie 2, figues 3 et 5. On constate, su le pemie pototype éalisé, un point du de fonctionnement losqu un galet se touve + 1 2 dans la position = du fait de la supeposition du tube à cet endoit. 2 III.3.a Explique pouquoi k e ne peut pas ête constante dans la zone où 1 2. Popose une fonction simple de vaiation de cette aideu en vous aidant du paamétage de la figue 5. III.3.b Quelle est la natue de la sollicitation de l'abe du moteu (1), induite pa la vaiation de la ésultante des effots nomaux qui s'execent su lui? Quelle est la conséquence su le débit de la pompe? 8