Estimatios Problématique. A partir d'observatios faites sur u échatillo, o se propose de tirer des coclusios sur la populatio toute etière. Aisi cotrairemet à la logique déductive, qui va du gééral au particulier, qui maipule de cocepts gééraux et qui permet de prouver des propositios, la démarche statistique iductive est beaucoup plus téméraire et ambitieuse puisqu'elle a pour but de fourir des réposes précises ( et de portée géérale) à partir d'iformatios imparfaites (partielles). O dispose d u échatillo de taille, de moyee m et d écart type s. Cet échatillo proviet d u populatio «parete». O cherche à doc «iférer», (à prévoir) la moyee µ et l écart type σ de la populatio parete. A. Estimatio d'ue moyee Estimatio «poctuelle» : a. si la moyee de l échatillo est m, o iférera que la moyee µ de la populatio parete est aussi m. O démotre que m est u estimateur sas biais de la moyee de la populatio Estimatio «par itervalle» : a. si la moyee de l échatillo est m, o iférera que la moyee µ de la populatio parete appartiet au seuil de 5% à Théorie: l itervalle m 1,96. s' < µ < m +1,96. s' Les Moyees des échatillos suivet ue loi ormale : X de moyee µ X = m et d' écart - type σ X = σ Remarques: si l écart type σ de la populatio est pas cou o remplacera σ par l' estimateur s' = s. la valeur 1,96 est obteue par lecture das la table de la loi ormale réduite. Elle correspod au seuil de 5% la valeur 2,57 est obteue par lecture das la table de la loi ormale réduite. Elle correspod au seuil de 1% la valeur 0,66 est obteue par lecture das la table de la loi ormale réduite. Elle correspod au seuil de %... 1
Itervalle de cofiace à 95% 95% 1 2,5% 2,5% 0 0 m 1,96 σ 1,96 σ -1 Exercice 1: Das ue usie employat 20000 ouvriers, o a fait u sodage portat sur ouvriers. O a trouvé u salaire moye horaire de 30 F, avec u écart type de 1,F. Estimer la moyee vraie. = s'= 1,5. 1,5.1,005 = 1,7 99 1, 7 1, 7 30-1, 96. < µ < 30 + 1,96. 29,70 < µ < 30, 29 Au seuil de 5% la moyee apprtiet à l'itervalle ]29,70 : 30, 29[ B. Estimatio d ue proportio ou d u pourcetage Nous disposos d u échatillo de taille ou la fréquece de la caractéristique (proportio des élémets ayat la caractéristique doée) est f. Estimatio «poctuelle» : Si la fréquece d apparitio de la caractéristique est f,
o iférera que la proportio p est égale à f O a aisi u estimateur sas biais et coverget. Estimatio «par itervalle» : Si la fréquece d apparitio de la caractéristique est f, o iférera que la proportio p appartiet à l itervalle f.(1 f ) f 1,96. < p < f + 1,96. Théorie: f.(1 f ) La distributio des fréqueces suit ue loi ormale F de moyee µ F = p et d' écart - type σ F = p.(1 p) Remarques: La proportio théorique p état pas coue o remplacera p par f si les coditios suivates sot réalisées: - la taille de l échatillo est «grad» --> >30 - le produit p.(1-p)<0,25 ou bie (p <0,1 ou p>0,9) Das ce cas la distributio des fréqueces suit ue loi ormale la valeur 1,96 est obteue par lecture das la table de la loi ormale réduite. Elle correspod au seuil de 5% la valeur 2,57 est obteue par lecture das la table de la loi ormale réduite. Elle correspod au seuil de 1% la valeur 0,66 est obteue par lecture das la table de la loi ormale réduite. Elle correspod au seuil de %... Exercice 3: Das u lot de pièces, o a trouvé 12 pièces de «qualité extra». Estimer au seuil de 5%, la qualité de la fabricatio. f = 12 = 0,24 d' où 0, 24.(1-0, 24) 0, 24.(1-0, 24) 0, 24-1, 96. < p < 0, 24 + 1,96. Au seuil de 5% o peut estimer que la proportio p de pièces de qualité extra est comprise etre 0,12 et 0, 36 Exercice 4: Ue machie a été observée fois et o a oté: e marche 260 fois arrêt 65 fois.
Estimer sur cette base la qualité de la fabricatio. O peut remplacer p par f car " grad" et pq < 0, 25 f = 260 = 0,8 d' où 0,8.0, 2 0, 8.0,2 0, 8-1, 96. < p < 0, 8 + 1,96. Au seuil de 5% o peut estimer que le taux d' utilisatio de cette machie est comprise etre 0,757 et 0, 843 Exercice 5: Das ue populatio de 00 élèves, 20% étudiet l espagol. O pred u échatillo de élèves, quel est la probabilité pour que le pourcetage d élèves de l échatillo soit compris etre 18% et 22%? p = 0,2 et "grad" o va cosidérer que le pourcetage suit ue loi ormale O effectue u test " bilatéral" car 0,20-0,02 < 0,20 < 0,20 + 0,02 0,2.0,8 0,2 - a. < X < 0,2 + a. 0,2 - a.0,04 = 0,18 - - > a = 0,5 d'où Prob(0,18 < X < 0,22) = 0,5 0,2.0,8 C. Estimatio d'ue variace Estimatio «poctuelle» : a. si la variace de l échatillo est s 2, o iférera que la variace ρ 2 de la populatio parete est : ρ 2 = s 2. 1 o a aisi u estimateur sas biais et coverget. D. Estimatio d'u écart type Estimatio «poctuelle» : a. si la variace de l échatillo est s 2, o iférera que la variace ρ de la populatio parete est : ρ = s. 1
o a aisi u estimateur avec biais Remarque: T est u estimateur sera dit "o biaisé" A si l'espérace mathématique de T est ulle.