L ONDES - Oscillaurs Présnaion La propagaion ds onds écaniqus s'apparn à un succssion d sysès du yp "ass-rssor" don ls vibraions s propagn d proch n proch. Nous allons éudir qulqus caracérisiqus d cs oscillaurs, pris individulln, puis couplés c qui nous anra à rouvr l équaion d propagaion ds onds. Oscillaions librs : rour libr à l'équilibr après un prurbaion iniial. Oscillaion haroniqus : oscillaions sinusoïdals Oscillaions librs aoris : l'apliud diinu n raison d la pr d'énrgi (frons). Oscillaions nrnus: oscillaions précédns ais la pr d'énrgi s copnsé. Oscillaions forcés : un sourc ipos la fréqunc ds oscillaions (sourc sinusoïdal) Epls d'oscillaurs Cs oscillaurs son à un dinsion ou dgré d libré Noaion siplifié (un sul variabl l ps):. Oscillaur Mécaniqu : Mass-rssor. Équaion du ouvn libr ( ) ( ) L ouvn s haroniqu. Condiion iniial () = A; La ass s lâché sans viss iniial donc Influnc ds condiions iniials ( ) ( ) Oscillaur dans l plan vrical M.Scavarda -3 Pag
L ONDES - Oscillaurs.3 Oscillaur Mécaniqu : Pndul "psan" θ L θ ( ) g ( ) ( ).4 Élcriqu : circui LC i ul C uc L ( ) ( ) 3 Aspc énrgéiqu Dans ls 3 cas précédns, il y a échang d'énrgi nr ls du éléns 3. Énrgi d l'oscillaur Mass/Rssor Énrgi cinéiqu (ass) Énrgi ponill (rssor) M.Scavarda -3 Pag
L ONDES - Oscillaurs Énrgi écaniqu C énrgi s consrvé car il n'y a pas d frons E = Ep + Ec 4 Oscillaions aoris En présnc d'un fron fluid α opposé au ouvn : F = - α (voir résoluion d l'équaion différnill du scond ordr) M.Scavarda -3 Pag 3
L ONDES - Oscillaurs 5 Oscillaions forcés 5. Régi sinusoïdal On sou l sysè oscillan à un forc ciaric F cos ( + ). Après un régi ransioir, l régi sinusoïdal s éabli. 5. Eprssion d l'équaion différnill F cos F pi L équaion différnill s : ou n noaion copl : 5.3 Soluion A p i Co i il vin: i A si A A i d A F i pi A F i i A cos 4 i Pour la viss : V V pi F an i A V i i A i F V i i 4 La viss s n avanc d par rappor à. V F V 5.4 Résonanc ipédanc n écaniqu Ls prssions d A V onr qu l apliud la viss aials son à lur valur aial quand =. On parl alors d résonanc co n élcricié. La résonanc d viss s apparn à la résonanc d innsié. La résonanc pu êr aigu ou flou slon la valur d =. V M.Scavarda -3 Pag 4
L ONDES - Oscillaurs La résonanc s aigu lorsqu l aorissn s faibl donc lorsqu l facur d qualié Q s grand. L ipédanc écaniqu copl s l rappor d l apliud copl d la forc ciaric sur cll d la viss. F F Z pi v v V 6 Ercics 6. Oscillaion d un pndul θ Ecrir l bilan ds forcs En déduir l équaion différnill du ouvn. Siplifiz-là n posan ( ) L En déduir l prssion d la fréqunc d oscillaion. AN = 4g ; L = ; g = N/kg. Calculr la fréqunc ds pis oscillaions. Iniialn l pndul s écaré d. Eprir l énrgi cinéiqu l énrgi ponill. Dérinr la viss aial d la ass. θ 6. Oscillaions dans un liquid Un ass s suspndu à un rssor vrical d ass négligabl d raidur k aaché n O. L a (O) s vrical oriné vrs l bas. La posiion d l réié libr du rssor s rpéré par son absciss. : longuur à vid du rssor ; éq longuur à l équilibr (avc la ass ). La ass du sysè s un sphèr hoogèn d ass voluiqu d rayon R faibl. _ O Lorsqu c sphèr s anié d un viss v plongé dans un liquid d cofficin d viscosié, ll s souis, d la par du fluid, n plus d la poussé d Archièd, à un forc d fron f donné par la loi d Soks : f 6Rv. On négligra ls inracions évnulls nr l rssor l liquid. Pour siplifir ls calculs, on nora V l volu d la sphèr V sa ass. Périod d l oscillaur non aori En l absnc d fron d poussé d Archièd (dans l vid ou dans l air), ls oscillaions librs d la sphèr on un pulsaion propr. Dérinr l prssion d n foncion d k, V. Dans la sui, la sphèr s oaln irgé dans un liquid d ass voluiqu l. On considèrra, d plus, qu la sphèr s nièrn irgé dans l liquid qull qu soi la posiion d l oscillaur. k Dérinaion d la ass voluiqu du liquid Lorsqu la sphèr s oaln irgé dans l liquid s à l équilibr, la longuur du rssor s égal à éq. Fair l bilan ds forcs appliqués à la ass. Dérinr l prssion d la ass voluiqu l du liquid n foncion d, éq, V, g,, k. g M.Scavarda -3 Pag 5
L ONDES - Oscillaurs Oscillaions psudopériodiqus d la sphèr irgé dans l liquid En appliquan la duiè loi d Nwon, dérinr l équaion différnill vérifié par la longuur du rssor à un insan qulconqu au cours du ouvn. En uilisan l prssion d la ass voluiqu l du liquid dériné à la qusion précédn, dérinr l équaion différnill vérifié par n uilisan ls grandurs, éq,, V, k, R. A qull condiion poran sur k, consan d raidur du rssor, l ouvn d la sphèr s-il psudopériodiqu? On prira la condiion sous la for k > k où k s un consan qu l on prira n foncion d, R, V. Dérinr dans c cas la psudopulsaion ds oscillaions n foncion d k, k, V. 7 Oscillaion d'un bloc floan On considèr un bloc solid hoogèn d scion S, d hauur h d ass voluiqu ρ. C bloc flo à la surfac d l'au d ass voluiqu ρ Dans ou l'rcic, on supposra qu l bloc s uniqun souis à son poids à la poussé d'archièd (on négligra ls frons). On nora g l'accéléraion d la psanur. schéa du disposiif. Rappl d l'énoncé d la loi d'archièd : Tou corps plongé dans un fluid rçoi un poussé vrical, dirigé du bas vrs l hau, d nor égal au poids du volu d fluid déplacé. A parir d'un bilan d forcs, dérinr la hauur h don l bloc s irgé à l'équilibr. L bloc s soulvé vricaln d sa posiion d'équilibr d'un hauura < h. A = s, il s lâché sans viss iniial. Éablir l'équaion du ouvn du poin M s déplaçan vis-à-vis d la fac supériur du bloc l long d'un a vrical Oy). Résoudr l'équaion obnu cop nu ds condiions iniials précédn énoncés. Calculr la périod du ouvn. On prndra : ρ = 3 Kg/ 3 ; ρ =. Kg/ 3 ; g = /s² ; h = 5c. 7. Oscillaurs couplés : asss liés par ds rssors Du asss idniqus son aachés par ds rssors d ê raidur k, co l indiqu la figur. Ls asss oscilln sur un abl horizonal suffisan liss pour qu l on puiss négligr ls frons. On suppos pour siplifir qu ls rssors n son pas ndus quand l sysè s à l équilibr. M.Scavarda -3 Pag 6
L ONDES - Oscillaurs Eablir l équaion différnill du ouvn d chacun ds asss rpérés par lurs déplacns rspcifs y rlaivn à l équilibr. Monrr qu l on pu découplr cs équaions n faisan un changn d variabls sipl n déduir qu l sysè pu ffcur ds oscillaions sinusoïdals d pulsaions (ods proprs) don on donnra ls prssions (ls variabls X Y qui vérifin cs équaions découplés s applln ls coordonnés norals du sysè). Donnr ls caracérisiqus ds ouvns corrspondans. Ls du asss éan iniialn iobils, on écar l un d nr lls d sa posiion d équilibr d un disanc a, l aur éan ainnu fi, puis on abandonn l nsbl sans viss iniial. Donnr l prssion du déplacn d chacun ds asss n foncion du ps. 8 ANNEXE : Ls Équaions Différnills 8. Pourquoi ds équaions différnills? Ls équaions différnills son fondanals car lls son dircn issus ds lois physiqus. Ells prn d prévoir l'évoluion ds phénoèns physiqus. (Donc d sorir du cadr d la saiqu). Epls d'équaions d bas inrvnan dans ds sysès. Ds Équaions générals Rlaion Puissanc / Énrgi Viss/posiion Couran (Débi d charg) dw P d v Accéléraion / viss dq i ; Débi voluiqu dv D dv Ds Équaions écaniqus : Rlaion fondanal d la dynaiqu Forc N F M M dv Mass kg Rlaion fondanal d la dynaiqu d roaion Mon ds coupls N d C J Accéléraion /s² Accéléraion angulair rad/s² Mon d'inri kg ² Ds Équaions Élcriqus : Couran A du i C Tnsion au borns du condnsaur V Capacié F M.Scavarda -3 Pag 7
L ONDES - Oscillaurs Ds Équaions Thriqus : Capacié hriqu dq Capacié hriqu J/K C dt Quanié d chalur J Tpéraur K 8. Soluions ahéaiqus Ls équaions différnills régissn l coporn d sysès linéairs vérifian l princip d suprposiion. Ainsi on éudi l régi général puis l régi pariculir, la soluion coplè sra la so d cs du rs. Enré () Sysè linéair Equaion différnill. Sori s() a n n d s( ) ds( ) d ( ) d( )... a a. s( ) b... b b ( ) n Inrn au sysè (indépndan d l'nré) Scond br (Dépnd d l'nré) 8.3 Tchniqu d résoluion (Equaions à cofficins consans) Équaion sans scond br Répons libr Caracéris l régi ransioir Équaion Différnill Coplè Soluion coplè = Suprposiion ds réponss libr forcé Soluion Pariculièr d l'équaion coplè Répons forcé Caracéris l régi prann M.Scavarda -3 Pag 8
L ONDES - Oscillaurs 8.4 Soluion d l'équaion sans scond br C's la soluion général qui corrspond au régi libr. Epl Pour un sysè suspndu ass-rssor, l régi libr corrspond à l'évoluion après avoir lâché la ass. La ass évolu librn, oscill (n absnc d fron) à un fréqunc qui lui s propr: la "fréqunc propr f " (ou ω = π f ) ou "naural frquncy f n " Pour un sysè hriqu sipl, on arrê l chauffag on no l'évoluion naurll d la péraur (pour dérinr un consan d ps qui sra caracérisiqu d la rapidié du sysè à évolur) Pour ls sysès d'ordr : L régi libr s un ponnill décroissan. Pour ls sysès d'ordr : L régi libr s Soi un so d'ponnills décroissans, Soi un oscillaion ponnilln décroissan, 8.5 Soluion pariculièr C's la soluion qui corrspond à l'nré pariculièr présn sur l sysè. C's l régi prann (après dispariion du régi ransioir) ou régi forcé. 8.6 Soluion coplè C's la so ds du soluions. La soluion général va iposr un pari d l'allur du régi ransioir disparaî ponnilln, la soluion pariculièr rs sul lors du régi prann. 9 Soluions d l'équaion d'ordr : On chrch ds soluions n r, l équaion caracérisiqu s écri : r + r + = 9. r cas : < l fron s faibl On pos = - = i > r = - + i La soluion général s : X X i r = - - i r r X X i ou X X cos ix X sin Ls consans X X son fiés par ls condiions iniials. M.Scavarda -3 Pag 9
L ONDES - Oscillaurs X + X = - (X + X ) + i (X - X ) = v v X + X = i X X v On pos = A cos Asin avc A > [,] c qui pr d r la soluion sous la for : = A cos ( - ) - ouvn oscillaoir aori. T s annul pour cos ( - ) = donc pour ds insans séparés par ds durés égals T On appll psudo-périod T = T > T L décrén logarihiqu s la quanié car ( T) () (T) T = T ln() ln( nt) n A = : = v = A = : = v = v an cos sin v sin 9. é cas : = L équaion caracérisiqu a la racin doubl. T La soluion d l équaion différnill s : = (A + B) - v = (A - B - A) - A = v + B = = [(v + ) + ] - s oujours posiif nd vrs zéro quand augn. C s l ouvn apériodiqu criiqu. A = : = v = A = : = v = v M.Scavarda -3 Pag
L ONDES - Oscillaurs v Bin qu c cas soi pariculir, il n's pas nécssair dans ls applicaions rélls d la disingur du cas suivan. 9.3 3 é cas : > L équaion caracérisiqu a du racins rélls négaivs r r. r r L ouvn a pour équaion A B ouvn apériodiqu. Ls condiions iniials donnn A B. r v v r A B r r r r A = : = v = A = : = v = v r r v r r r r r r r r Analogi Mécaniqu Elcricié aorissn résisanc R ass inducanc L raidur k invrs d un capacié C - posiion charg q viss v innsié i q forc ciaric F f.é.. k Facur d qualié : Q k Facur d qualié : Q Ipédanc écaniqu Enrgi cinéiqu ½ v² Enrgi ponill ½ k² F Z Ipédanc élcriqu v R L C ½ Li² ½ CU² = ½ q²/c L R u Z i RC M.Scavarda -3 Pag