Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs. Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs.. Gééralités Mesurer c'est l'actio de comparer ue gradeur (quatité) par rapport à ue gradeur de même espèce prise comme référece: talo ou gabarit. L'ieactitude d'ue mesure quelcoque est due à deu causes différetes: "l'erreur" ou "la faute".. Les erreurs Ue erreur est l'ieactitude due à l'imperfectio des istrumets de mesure et évetuellemet la lecture des mesures. Les erreurs peuvet être miimisées e effectuat u bo choi des istrumets et des méthodes de mesure... Erreurs systématiques Ce sot les erreurs qui provieet gééralemet des défauts de costructio des istrumets de mesure... Erreurs accidetelles Ce sot des erreurs qui se produiset d'ue maière aléatoire variables das la gradeur et das le ses, même si les coditios de mesure sot les même. Elles sot du à la fois: à l'utilisateur et à l'eviroemet. O peut toute fois dimiuer leur ifluece e répétat les mesures. a. Erreurs vraies: ce sot les erreurs faites par rapport à ue valeur eacte parfaite. b. Erreurs apparetes: ces sot les écarts de mesures à leur moyee. Das ce chapitre o va étudier les erreurs apparetes, c'est ce qu'o appelle: théorie des erreurs. Cette théorie est basée sur l'observatio. 3. Les fautes Les fautes o topographie sot des ieactitudes qui provieet de l'operateur ou de so aide. Les causes fréquetes sot: la maladresse, l'iattetio ou l'oublie. 4. Costatatios statistiques sur les mesures directes: Quad la valeur eacte X est icoue (cas le plus fréquet). O adopte comme valeur approchée la plus probable "la moyee arithmétique des mesures", désigée par X m. Où:
Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs. X: la vraie valeur de l'icoue. X, X, X 3,, X : esemble de mesures. La moyee arithmétique: L'erreur vraie d'ue mesure i : L'erreur apparete d'ue mesure i: X m = (X + X + X 3 +.. + X )/ e i = X m X i ν i = X X i Les écarts (e i ) à la moyee arithmétique sot appelés: Ecarts, Erreurs apparetes ou Résidus. 4.. Propriétés de la moyee arithmétique - la somme algébrique des écarts est ulle; - la somme des carrées des écarts est miimale. Les erreurs systématiques sot supposées élimiées, lorsque le ombre de répétitio des mesures ted vers l'ifii. La moyee arithmétique des mesures ted alors ver la vraie valeur de la gradeur mesurée. 4.. Etude de la courbe de Gauss lim E portat les mesures sur u graphique: La valeur des écarts e abscisse, et le ombre des écarts correspodats à des itervalles petites et égau des valeurs de l'ema (Erreur moyee arithmétique) o ordoée. X m = X La courbe de Gauss (loi de distributio ormale).
Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs. Si le ombre des mesures et le ombre des itervalles tedet vers l'ifii, la courbe représetative pred la forme ci-dessus. Cette courbe est appelée "courbe de Gauss". Quelque soit la gradeur mesurée directemet: - les écarts (erreurs) les plus petits sot les plus ombreu; - les écarts sot compris etre deu valeurs etrêmes; - à tout écart positif correspod u écart égatif (symétrie). Soit les poits A, B et C sur cette courbe: - il 'eiste pas de poit tel que "A" avec ue valeur très différete des autres, il s'agit d'ue faute; - des poits tels que "B" sot ombreu (positifs et égatifs); - à u poit "C" correspod u poit "C' " à peu près de même valeur, mis de sige cotraire. Nombre des erreurs B A C C ' - + Valeur des erreurs 5. défiitio des erreurs caractéristiques 5.. Erreur moyee arithmétique: L'epressio théorique est: Ema = e 3 +... 3
Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs. 5.. Erreur moyee quadratique (ou écart type σ) Pour u grad ombre de mesures: Emq = σ = ± e 3 +... Pour u ombre limité de mesures, la meilleure estimatio est doée par: Emq = σ = ± e 3 +... 5.3. Erreur probable C'est l'écart dot la probabilité d'être dépassée e valeur, est /. La valeur médiae est l'erreur probable "Ep". L'epériece motre que "Ema" et "Ep" sot liées à "Emq" par les relatios umeriques très rapprochées suivates: 5.4. Erreur maimum ou tolérace Ep = ( / 3) Emq = 0,6745σ Ema = (4 / 5) Emq O défiit souvet l'erreur maimum ou tolérace par: Em = 4Ep Ep = ( / 3) σ Em =,7σ Cette valeur covetioelle défiit la limite à partir de laquelle il y a présomptio de faute. 5.5. Cas particuliers a- Erreur moyee quadratique d'ue somme: S = + y + z S ( σ ) + ( σ ) ( σ ) y z σ = ± + - Cette epressio e chage pas pour ue différece. - Si tout les termes de la somme ot la même précisio, c'est-à-dire sot caractérisés par la même Emq σ = ± σ S où: est le ombre des termes de la somme. 4
Chapitre II: Notios sur les fautes et les erreurs. b- Erreur moyee quadratique d'ue moyee: M = ( + y + z +... + t) / Par défiitio, toutes les mesures d'ue moyee arithmétique sot de même précisio. D'où l'o déduit: σ M = ± ε / + ε y / + ε z / +... + εt / σm = ± σ / 5