Mth Clcul des prmtves. TABLE DES MATIÈRES Clcul des prmtves. Intégrles des fonctons élémentres et Tlor vec reste ntégrl. Tble des mtères «Rppels» trgonométre 5. snus et cosnus....................................... 5. tngente et fcts. récproques................................ 6 3 Prmtves 7 3. Défntons des prmtves.................................. 7 3. Proprétes des prmtves.................................. 8 3.3 Prmtves des frctons rtonnelles............................ 4 Tylor vec reste prmtve 4. Dérvées d ordre supéreur................................. 4. Formule de Tylor...................................... 4 Nottons Sot I, J,... des ntervlles réels ) [contennt plus d un pont]. ) de l un des neuf types : ], b[, ], b], [, b[, [, b], ], b[, ], b], ], + [, [, + [, ], + [= R, où, b R sont deu réels vec < b. L ntereur I de l ntervlle I est lors R dns le derner cs, ], b[ dns les qutre premers, ], b[ dns les deu suvnts et ], + [ dns les deu vnt derners.
Mth Clcul des prmtves. «Rppels )» de clcul dfférentel. ) Une lste de proprétés de l dérvton des fonctons dérvbles À une foncton dérvble f : I R on ssoce s foncton) dérvée f : I R... Proposton Proprétés lgébrques de l dérvton). qu sont utlsées pour le clcul des prmtves. Ic on prendr ces proprétés comme des «Aomes», les défntons de dérvble, fonctons dérvée,... et les preuves, prtellement vues en termnle, seront données en Mt. ) ) Une foncton constnte f c : I R t c est dérvble et f c = : I R t. b) L ncluson = I : I R est dérvble et = = f ) : I R. t t t Sot f, g : I R dérvbles et λ, µ R lors : ) L combnson lnére λf + µg : I R est dérvble et : Lnérté de l dérvton) λf + µg) = λf + µg : I R, t λf t) + µg t) ) Le produt f g : I R, t ft)gt) est dérvble et : f g) = f g + f g : I R, t f t)gt) + ft)g t) v) S pour tout t I, gt) lors le quotent I R t ft) gt) f ) f g fg = g g est dérvble et : : I R, t f t)gt) ft)g t) g t).. Remrques.. ) L ensemble DI) = {f : I R fest dérvble} des fonctons réelles sur l ntervlle I qu sont dérvbles est un sous-espce vectorel de FI) = {f : I R}, l espce vectorel de toutes les fonctons réelles sur I et b) l pplcton dérvée D : DI) FI) f f est lnére.. En dmettnt l premère prte du derner pont de l proposton 4..3 que le quotent est dérvble), l formule pour l dérvée du quotent découle de l formule de Lebnz :..3 Eercce. Sot I un ntervlle réel et f, g, h : I R dérvbles telles que gh = f. En utlsnt l formule de Lebntz, vérfer gh = f g h, en dédure, s t I, gt), que t I, h t) = f t)gt) ft)g t) gt). Formule de Lebnz) S les deu fonctons f et g ne s nnullent ps en dvsnt pr le produt fg Lebnz donne l : formule d ddton de l dérvée logrthmque : fg ) fg = f f + g g qu permet des clculs plus smples, comme : f ) f = g f g g
Mth Clcul des prmtves...4 Proposton dérvée des fonctons composées et récproques). Sot ϕ : J I et f : I R dérvbles lors ) L foncton composée f ϕ : J R est dérvble et : t, fϕt)) dérvée des fonctons composées) chn rule dns les lvres en ngls) f ϕ ) = f ϕ ) ϕ : J R, t f ϕt)) ϕ t) ) S ϕ est bijectve et pour tout t J, ϕ t) lors ϕ : I J est dérvble et pour tout t J on : ) ϕ ϕt)) = ϕ t) dérvée des fonctons récproques)..5 Remrques.. Dns le second pont de..4 l condton ϕ t) est nécessre et l formule de pour l dérvée de ϕ découle de l dérvblté de ϕ : On Id J = ϕ ϕ donc, en dmettnt l dérvblté de ϕ, on pr pont de..4 : pour tout t J = Id Jt) = ϕ ) ϕt)) ϕ t) donc ϕ t) et ϕ ) ϕt)) = ϕ t). Une preuve géométrque second pont de..4 : Rppelons que : ). S f est une foncton dérvble défne en, le vecteur, f )) est tngent u grphe de l foncton f en son pont, f)) d bscsse.. Récproquement s le grphe d une foncton f en son pont, f)) d bscsse un vecteur tngent s, t) non vertcl s ) lors f est dérvble en et f ) = t s. Grphe de l foncton récproque ϕ ),) ϕ d ϕ ϕ ) ),ϕ ). S une courbe plne Γ en un pont R du pln un vecteur tngent v = s, t) et D : R R, M AM) + N est une pplcton ffne du pln de prte lnére A lors l courbe DΓ) dmet le vecteur Av) comme vecteur tngent u pont DM). b) S ϕ : J I est bijectve lors le grphe de s foncton récproque ϕ : I J est le symétrque {y, ϕ y)) y I} = {ϕ), ) J} du grphe {, ϕ)) J} de ϕ. Ans le vecteur ϕ ), ), symétrque pr rpport à l premère dgonle du vecteur, ϕ )) tngent en, ϕ)) u grphe de ϕ, est tngent en ϕ), ) à celu de ϕ. S de plus ϕ ) est non nul, on ϕ ), ) = ϕ ), ) d où le résultt pr ) ϕ ) c ϕ ) b
Mth Clcul des prmtves...6 Eemples.. L foncton Eponentelle ep : R ], + [ Grphes des fonctons Eponentelle et Logrthme 9 4 est dérvble, bijectve et ep = ep donc s récproque, l foncton Logrthme : 7 5 3 3 5 7 9 Log Déf == ep : ], + [ R est dérvble et pour tout t R on Log ept)) = ept). 4 4 4 Ans 3) pour tout R on Log ) = 3) cr pour tout > l y un t R tel que = ept)..7 Remrque. L eemple précédent suppose l «défnton de termnle 4) de l foncton eponentelle 4) qu ne sert une défnton qu près que l on t prouvé que t e t comme unque soluton de l équton dfférentelle e = e vérfnt e ) =. cette équton dfférentelle une unque soluton, ce qu n est Comme f :], + [ R, ft) = est contnue le cours d ntégrton ssurer que f une unque pour l estence du mons) ps ft en termnle! t prmtve F = Log :], + [ R telle que F ) =, que l on prouve être bijectve...8 Eercce. En défnssnt eponentelle ep : R R comme l bijecton récproque de Log, prouver que l eponentelle est dérvble et vérfe ep = ep.. Sot α R et p α :], + [ R, p α t)=epα Logt))=e α Logt) =t α ), l pussnce d ordre 5) 5) α composée Dns le cs où α = n, l nverse d un enter postf : n = n, de l homothéte t α Logt) et de l eponentelle t e t, est dérvble et pour tout t ], + [ lors 6) : p αt) = αt α ms l notton n est plus prtque que n. 6) p αt) = ep α logt)) α Log t) = ep α Logt)) α t = = e α Logt) α e Logt) = αe α ) Logt) = αt α..9 Eercce. Pour α =, dédure l formule précédente de 4..3, pus prouver l pour α = n Z enter reltf pr récurrence sur n et l formule de Lebnz... Théorème crctérston des fonctons monotones dérvbles). 7) Sot f : I R dérvble 7) Corollre S f, g : I R sont dérvbles et pour tout t I on f t) g t) lors s, y I vec y on : lors f est crossnte [resp. décrossnte] s et seulement s pour tout t I on f t) [resp. f t) ] En prtculer f est constnte s et seulement s s dérvée est l foncton nulle. fy) f) gy) g).. Eercce. Dédure de l prte de.. crctérsnt les fonctons crossntes dérvbles [l énoncé sns les respectvement] l crctérston des fonctons dérvbles décrossntes [l énoncé de.. vec les respectvement] et le corollre en mrge.
Mth Clcul des prmtves. Fonctons crculres et leurs fonctons récproques.. Les fonctons snus sn et cosnus cos. Les fonctons cos, sn : R R sont «défnes» pr : Mt) = cost), snt)) est le pont à dstnce t du pont A =, ) sur le cercle trgonométrque, le cercle unté {, y) R + y = } orenté dns le sens trgonométrque. On donc : cos + sn = Le cercle trgonométrque tgt) snt) cost) A tgt).. Remrque Rson des gullemets utour de défnes). Suf pour les segments de drote, l longueur d une courbe n ps été défne. Dns le cs présent le cercle unté) où l courbe des prmérstons 8) u Mu) = u), yu)) pr des fonctons, y dérvbles à dérvées, y contnues l foncton u u) ) + y u) ) ssocnt u prmètre u l longueur du vecteur tngent en u de l prmétrston est contnue. Qund on sur qu une foncton contnue dmet une prmtve on pourr défnr l longueur lgébrque entre les ponts Mu ) et Mu ) de prmètre u et u pr : 8) c, s >, y y, y), s y >,, ) s <, y y, y), s y <,, ) u u) ) + y u) ) du u Le cercle unté étnt de longueur π, les fonctons cos et sn sont π pérodques 9) telles que : 9) pour tout t R on cost + π) = cost) et snt + π) = snt) sn ) = { nπ et dérvbles de dérvées : n Z } cos ) = { n + sn = cos, cos = sn = nπ + π n Z } Grphes des fonctons snus en bleu) et cosnus en vert).5... Eercce. Sot s : R R, st) = π t.. Eplquer géométrquement l relton cos = sn s. Détermner s s. En dédure ) l relton sn = cos s, pus b) de ce que sn est dérvble vec sn =cos, que cos est dérvble vec cos = sn et c) de sn ) = {nπ ; n Z} que l on cos ) = { } n+ π = nπ + π n Z.5. 4 4 8.5..5
Mth Clcul des prmtves.. tngente et fcts. récproques. Tngente tg, rctngente Arctg, rcsnus Arcsn et rccosnus Arccos. L foncton tngente : tg : R \ cos ) R, tgt) = snt) cost) est dérvble et pour tout t R \ cos ) on : tg t) = sn t) cost) snt) cos t) cost) = cost) cost) snt) snt)) cost) tg = + tg = cos = cost) + sn t) cost) donc : L foncton tngente ndut une bijecton tg :] π, π [ R. Donc l bijecton récproque Arctg : R ] π, π [ est dérvble de dérvée : Grphe des fonctons tngente tg et rctngente Arctg.5..5. 4 4 8.5..5 Grphe de tngente tg et rctngente Arctg Arctg : R ] π, π [, Arctg ) = + [ = tgt) ] De même les fonctons snus et cosnus ndusent des bijectons : 3..5..5..5..5. 3..5..5. 3 3.5..5. sn : [ π, π ] [, ], cos : [, π] [, ] Grphe de snus sn et rcsnus Arcsn dérvbles, de dérvées : sn = cos, cos = sn ne s nullnt ps sur les ntervlles ouverts correspondnts ] π, π [ et ], π[. Leurs bijectons récproques Arcsn : [, ] [ π, π ] et Arccos : [, ] [, π] sont donc dérvbles sur l ntervlle ouvert ], [ et pour tout u, v ], [ on :.5..5...5..5..5..5..5..5..5..5..5..5..5..5.5..5. Arcsn u) = u, Arccos v) = v [ u = snt), v = cost) ] Grphe de cosnus cos et rccosnus Arccos.5 4.. Eercce.. Vérfer s s, t ], [ les reltons ) snarccoss)) = s b) cosarcsnt)) = t. Détermner les pplctons Arccos sn : [ π, π ] [, ] et Arcsn cos : [, π] [, ]...5...5..5..5 3. 3.5 4..5..5 3.5..5..5..5
Mth Clcul des prmtves. 3 Prmtves et leur clcul. 3. Prmtves et ntégrles d une foncton. 3.. Défnton et Proposton. Une foncton f : I R dmet une prmtve F : I R f est prmtvble) s F est contnue, dérvble sur l ntéreur ) I de l ntervlle I et f = F ). Rppelons que s I est un ntervlle à plus d un pont, l est En ce cs F est une utre prmtve de f s et seulement s F F est constnte. d un des neuf types : 3.. Défnton. Sot F une prmtve de f : I R et, y I deu ponts de l ntervlle I. L ntégrle u sens des prmtves) de à y de f est : f == syn y ft) dt : Déf = F y) F ) = Déf : 3..3 Remrques.. Comme F est dérvble sur l ntéreur I de l ntervlle I, s contnuté est utomtque dns I. Ce n est donc une hypothèse qu u etrémtés éventuelles {, b} I. [ F ] y ], b[, ], b], [, b[, [, b], ], b[, ], b], ], + [, [, + [, ], + [= R, où, b R sont deu réels vec < b. L ntereur I de l ntervlle I est lors R dns le derner cs, ], b[ dns les qutre premers, ], b[ dns les deu suvnts et ], + [ dns les deu vnt derners. ) D près le théorème.., s y l ntégrle de à y est monotone ) en f. ) Corollre S f, g : I R sont prmtvbles et pour tout b) Ms dns l défnton de l ntégrle, contrrement u rppels c-dessus pour les etrémtés, b des ntervlles où < b, on ne suppose ucun ordre entre et y, ns : y f = f donc y f = t I on ft) gt) lors s, y I vec y on : 3. «Lre à l envers» les tbles de dérvton ) ) sufft, dns des cs smples à clculer ces ntégrles. et d pplquer l lnérté 3..4 Eemples. ) cos = [ sn ] y y ; sn = [ cos ] y b) S n N lors c) n = [ n+ n + S de plus y > et α R \ { } lors : t dt = [ Log t ) ] y d) S α R \ { } lors : ] y En prtculer = Log y ) = Log y ) α = [ α+ ] y α + ut + vt + w dt = [ ut 3 3 + vt + wt] y f g
Mth Clcul des prmtves. 3. Proprétes des prmtves 3. Proprétés des prmtves. 3.. Proposton Chngement de vrble). Sot ϕ : J I contnue, dérvble sur I et f : I R une foncton 3) dmettnt une prmtve F. Alors g = f ϕ) ϕ : J R t ϕt) ϕ t) dmet F ϕ comme prmtve, ns pour tout, y J on : 3) de source I, le but de ϕ fϕt)) ϕ t) dt = ϕy) ϕ) fs) ds Démonstrton : fϕt)) ϕ t) dt = [ F ϕ ] y ϕ) = F ϕy)) F ϕ)) = [ F ] ϕy) 3.. Eemple. Sot u, v, w R vec uw donc u w) et l foncton 4) 4) qu est ben défne cr Comme ϕ : R R, ϕs) = u + v w ft) = f : R R, ft) = ut + v) + w = w + ut + v) = wu u t + uvt + v + w est dérvble et pour tout s R, ϕ s) = u w et : + ut+v w ) u w = u w Arctg ϕt)) ϕ t) l foncton F = wu Arctg ϕ : R R, F t) = u w Arctgut + v ) est une prmtve de f. w t 3..3 Eercce. Sot f :], [ R, ft). t Remrquer ft) = t ) t) et ft) = cosarccost)) = t sn Arccost)) Arccos t). En dédure, s ], [, deu clculs de ft)dt dont vous dédurez une utre soluton de de l eercce.. u t + uvt + v + w = ut + v) + w w > N pprennez ps pr coeur ces formules, ms reftes le clcul dns chque cs : ft) = 4t + t + 34 = 4t + t + 9 + 5 = 5 + t + 3) = ) 5 5 = Arctg t + 3 5 où ϕt) = t + 3. 5 + t + 3 5 ) 5 = Arctg ϕt)) ϕ t)
Mth Clcul des prmtves. 3. Proprétes des prmtves 3..4 Proposton ntégrton pr prte). Sot f, g : I R vec g dérvble, f dmettnt une prmtve F et F g dmettnt une prmtve. Alors fg dmet une prmtve et s, y I on : fg = [ F g ] y y F g Démonstrton : Pr l proposton 4..3 l foncton F g est dérvble et F g ) = F g+f g = fg+f g donc fg = F g ) F g dmet une prmtve et : fg = { F g ) y ) F g y } = F g F g = [ F g ] y y F g. 3..5 Eemple. donc + t ) dt = t + t ) dt = + t t + t ) dt = t + t ) t ) [ dt = + t t ) ]y + t t [ + t ) dt = Arctgt) ] y + t ) dt = [ Arctgt) [ Arctgt) t + t ] y = t ] y + t. [ Arctgt) + t + t ] y 3..6 Eercce. Clculer l dérvée de l foncton F : R R, F t) = [Arctgt) + t +t ] et retrouver le résultt de l eemple précédent 3..5. 3..7 Eercce. Sot R. En dptnt l méthode de l eemple 3..5 clculer 3..8 Eemple. Sot ], [ et f :], [ R, ft) = t = [ + t + t ] donc : f = [ + t + t ] dt = [ ] Log + t) Log t) = [ Log + t ] t ) = Log + ) + t dt [l fut deu ntégrtons pr prte]. ) 3 3..9 Eemple. Sot ], + [ et g :], + [ R, gt) = 3t + 3t + t 3 + t + t + = t + + t + )t + ) t = + )t + ) t + + t + t + = donc : g = t + + t t + + [ ] [ ] t + dt = Logt + ) + Logt + ) + Arctgt) = Logt + )t + )) + Arctgt) Le procédé des eemles précédent se générlse à toutes les frctons rtonnelles réelles : t + + t t + + t + = Log 3 + + + ) + Arctg)
Mth Clcul des prmtves. 3.3 Prmtves des frctons rtonnelles 3.3 Prmtves des frctons rtonnelles réelles. Sot I un ntervlle réel et P RX) une frcton rtonnelle réelle défne sur l ntervlle I, c. d. Q pour tout s I on Qs). L foncton ssocée est uss notée P P s) : I R, s Q Qs) 3.3. Rppel. S Q R[X] est un polynôme réel de degré q, de fctorston rédute 5) 5) : vor Corollre.3. de polynômes et frctons rtonnelles : r s r, s N sont des enters nturels non tous deu nuls. Q = q X t ) m X b ) + c ) ν S l un est nul le produt correspondnt s nterprette comme. = lors l y un polynôme réel E R[X] et pour r, l s et m m, n ν l des nombres réels λ,m, α l,n, β l,n R tels que : P r m Q = E + λ,m s ν l X t ) m + α l,n X b ) + β l,n X b ) + c) n = m= l= l= n= Cette décomposton en éléments smples permet, pr lnérté, de clculer une prmtve de P Q ; S E = X lors F = = n+ j= j X j est une prmtve de E. j λ S m, n > lors : m X t) m et α n X b) + c ) n sont prmtves de λ X t) m et αx b) X b) + c ) n. Les fonctons I s λ Log s t ), α Logs b) + c ) sont prmtves de I s λ X t, αx b) X b) + c. Il reste donc, pour n N de connître des prmtves des fonctons ssocées à w y I n = v u + ) n du cr pr chngement de vrble s = cu + b : pr ntégrton pr prte et l foncton rctngente : 3.3. Lemme.. I = [ Arctgu) ] w v [. s n > on I n = n 3 n I n + 3.3.3 Eemples... s + s 4 + s ds = u n )u + ] w v S r m,..., m r N \ {} et pour r t t R. S s ν,..., ν s N \ {} et pour l r c l R et pour j l r c l b j, c j ) b l, c l ) R β X b) + c ) n. Il sufft, pour u, v R de clculer l ntégrle : b β c s b) + c ) n ds = b c ds s 3 s = s + s + + s ) ds = [ Log s + s s + + [ s ) ds = s + Log s ] y s + Arctgs) s )s + ) ] y s b β c u + c ) n cdu = βc n c b c u + ) n du. Ce qu s obtent
Mth Clcul des prmtves. 4 L formule de Tylor vec reste n t é g r l prmtve. 4. Dérvées et formule de Lebnz d ordre supéreur. On rppelle que I, DI), F I) désgnent un ntervlle réel, l ensemble des fonctons réelles dérvbles et celu de toutes les fonctontons sur I. L pplcton dérvée D : DI) FI), ynt son mge ImD) FI) dstncte de s source DI) ne peut se composer vec elle même : 4.. Eemples. On montrer dns le cours que toute foncton contnue g : I R dmet une prmtve f, donc g = Df) ImD) est dns l mge de D, ms l y des fonctons contnues non dérvbles, et même des fonctons dérvbles dont l dérvée est non contnues :. g : R R, g) = est contnue ms, son grphe n ynt en son pont d bscsse ps de tngente, elle est non dérvble en.. h : R R, h) = 4 3 = 3 ) 4 est dérvble de dérvée h : R R, h) = 4 3 3. Le grphe de h ynt, en son pont d bscsse une tngente vertcle, h n est ps dérvble en. 3. : R R, ) = et s, ) = 4 3 sn ) est dérvble, de dérvée : R R, ) = et s, ) = 4 3 3 sn ) 3 cos ) non contnue en n même bornée près de ) [encore mons dérvble] : elle osclle, pour proche de, entre des vleurs rbtrrement grndes et pettes. 4. Il y des eemples où ces phénomènes, u leu de se produre en des ponts solés [ c], se produsent en tout pont de I. 4.. Défntons. Sot n N, un enter nturel. L ensemble des pplctons n-fos dérvbles [ou ynt dérvées jusqu à l ordre n] D n I) et, pour n, les pplctons dérvée ème [ou dérvée d ordre ] : D = D,n ) : D n I) D n I), D f) = f ) qu à une foncton n-fos dérvble f ssoce s dérvée ème [ou d ordre ] sont défns pr : D I) = FI), D I) = DI), D = Id, D = D les ensembles respectvement de toutes les fonctons réelles sur I et de celles qu sont dérvbles, l dentté et l dérvton, pus les reltons de récurrence : D n+ I) = D n ) DI)) pré-mge pr l dérvée n ème déjà défne D n = D n,n ) : D n I) D n n= I) = FI) de l prte DI) F I) des fonctons dérvbles et 6), pour n : 6) En toute rgueur l fudrt pour chque n que l notton D = D,n+ ) = D,n ) D n+ I), f f l restrcton à D n+ I) D n I) de l pplcton D = D,n déjà défne sur D n I) et enfn : D n+ = D n+,n+ ) = D D n,n, f f n+) = f n)) l composée vec DI) de l dérvton de l dérvée n ème D n,n déjà défne sur D n I) D n+ I) sot D,n ndqunt l source et le but) de l dérvée ème. Suf dns le cs que nous essyerons d évter) où l peut y vor mbguté dns le contete sur ces sources et but on utlse l notton D c-contre et brège D en D.
Mth Clcul des prmtves. 4. Dérvées d ordre supéreur 4..3 Proposton Proprétés lgébrques des dérvtons d ordre supéreur). ) ) Une foncton constnte f c : I R t c des dérvées de tout ordre et f c = : I R t. b) L ncluson = I : I R des dérvées de tout ordre et = et pour,. = t t Sot f, g : I R ynt des dérvées jusqu à l ordre n et λ, µ R lors : ) L combnson lnére λf + µg : I R des dérvées jusqu à l ordre n et, pour n : λf + µg) ) = λf ) + µg ) : I R, t λf ) t) + µg ) t) Lnérté des dérvtons d ordre supéreur) ) Le produt f g : I R, t ft)gt) des dérvées jusqu à l ordre n et, pour n : ) f g) ) = f ) g ) : I R = ) t f ) t)gt) + f ) t)gt) + f ) t)g ) t) + + ft)g ) t) + ft)g ) t) Formules de Lebnz d ordre supéreur) ) Démonstrton des formules de Lebnz : Pr récurrence sur : Pour = on f ) g ) = f ) g ) = f g = f g ) ). = S > lors pr défnton, lnérté de l dérvton, formule de Lebnz usuelle et celle du trngle de Pscl on : f g) +) = ) [ f g) ) ) ] ) ) = f ) g ) = f ) g )) = [ f )) g ) + f ) ) g )) ] = [f + ) g ) + f ) g +) ] = = = = = ) ) + f + ) g ) ) ) ) + + ]f + j) g j) =f +) g + [ + )]f + j) g j) + f ) g +) + = f + ) g ). = j= j j= j j = 4..4 Remrques.. ) Les ensembles D n I) D n I) D I) = FI) des fonctons réelles sur l ntervlle I qu ont des dérvées jusqu à l ordre n est une sute de n + sous-espces vectorels embotés de l espce vectorel FI) = {f : I R} de toutes les fonctons réelles sur I et b) les pplctons dérvée ème D : D n I) D n I) FI) sont lnéres. f f ). S f D n I) lors 7), pour n, on : 7) cec s obtent pr récurrence sur cr s A h B g C f D sont tros pplctons composbles et E D une prte de D : D n I) = D ) D n I)), f n ) D I) et f n) = f n )) ) ) E) f g = g f E)) et f g) h = f g h) L défnton 4.. qu est donc équvlente à : D n I) = D D n I)), f ) = f et s < n, f ) = f ) ), que l on rencontre prfos. [Remrquer cependnt que l démonstrton des formules de Lebnz d ordre supéreur donnée c utlse ben 4..]
Mth Clcul des prmtves. 4. Dérvées d ordre supéreur 4..5 Eemples. Les fonctons suvntes ont des dérvées de tout ordre :. S m N l foncton p m : R R, p n ) = m, pussnce m ème et s on : p ) n : R R, p ) n ) = [ m h) ] ) m m =! m h= en prtculer, s > m l dérvée ème p ) m d une foncton pussnce d eposnt enter nturel p m est nulle. Plus générlement les pussnces d eposnts enters reltfs et réels : ) S n Z, p n : R \ {} R, p n ) = n et s on : ) p ) n : R \ {} R, p ) n ) = [ n h) ] n n =! b) S α R, p α :], + [ R, p n ) = α et s on : p ) α :], + [ R, p ) α ) = [ α h) ] ) n α =!. L foncton ep : R R, ep) = e eponentelle et s on : h= ep ) = ep 3. L foncton Log :], + [ R, Log), Log ) = p t s on : Log ) = p ) = [ + h)) ] ) p = )! p, ) )! h= 4. Les fonctons trgonométrques sn, cos : R R et s m N on : sn m) = ) m sn, sn m+) = ) m cos, cos m) = ) m cos, cos m+) = ) m sn h= 4..6 Eercces.. ) Sot R et f : R R une foncton ynt des dérvées jusqu à l ordre n. Prouver que l foncton h, f = f h : R R, h ) =, f ) = f) des dérvées jusqu à l ordre n et que s n on f ) = f ). b) Sot, b R et f, g : R R, f) = e, g) = e b. Détermner l foncton produt f g, pus s dérvée n ème d bord drectement, pus à l de de l formule de Lebnz. Que retrouve-t-on ns?. Sot α, β R. Détermner l foncton produt p = p α p β :], [, α β. Clculer s n N l dérvée n ème de p, d bord drectement à prtr du résultt ) précédemment ) ) obtenu, pus à l de de l formule de Lebnz. α + β α β En dédure une relton relnt les coeffcents bnomu générlsés,, pour, l n. n l Pus dns le cs où α = m, β = p N sont enters nturels, pr un rgument de dénombrement, démontrer l relton obtenue. α n
Mth Clcul des prmtves. 4. Formule de Tylor 4. L formule de Tylor. 4.. Lemme. Soent f, g : I R deu fonctons ynt des dérvées jusqu à l ordre n + lors : n ) l f n l) g l)) = f n+) g + ) n f g n+) l= n Démonstrton : ) l f n l) g l)) n = ) l f n l)) g l) + f n l) g l)) n = ) l f n+ l) g l) + f n l) g l+)) = l= l= l= n = ) l f n+ l) g l) n+ + ) l f n+ [l+]) g l+) = ) l f n+ l) g l) + ) j f n+ j) g j) = l= l= l= j= = ) f n+ ) g ) n ) + [ ) j + ) j ]f n+ j) g j) + ) n f n n) g n+) = f n+) g ) + ) n f g n+) j= 4.. Théorème. S f : I R des dérvées jusqu à l ordre n + et, b I. Alors l foncton t f n+) b t)n t) dmet une prmtve et fb) = = f ) )! b ) n+) t)n + f t) b dt = f)+ + f ) ) b ) + + f n) ) b ) n +! Démonstrton : On pplque le lemme 4. u fonctons f et g = g n où pour l n, g l : I R, g l t) = Comme g n+) = et, pour l n, g l) = ) l g n l et g l b) = on : f n+) g = n ) l f n l) g l)) n ) = f n l) n ). g n l = f ) g Donc f n+) g f n+) t) l= b t)n [ n dt = = l= f ) t) b t) t)! ] b t= = = fb) Démonstrton : [lterntve pr récurrence et ntégrton pr prte] On suppose que t f n) t) f n) t) b t)n n )! = n + ) ème formule de Tylor) n+) t)n f t) b dt b t)l. l! f ) g pour prmtve et : = f ) t) b ) t)! b t)n dmet une prmtve et n )! n f ) ) b dt = fb) b ) [c est vr pour n = cr f est prmtve de f! : t f ) t) b t) = et fb) f) = f t) dt] )! = Pr ntégrton pr prte Proposton 3..4), pusque f n) est prmtve de f n+) n+) t)n, l foncton t f t) b [f n) t) b t)n ] b f n) t) t= dmet une prmtve et n+) t)n f t) b = n b t)n ] ) dt= f n) b )n f ) ) ) + fb) b ) n )!! =
Mth Clcul des prmtves. 4. Formule de Tylor 4..3 Eemples. On reprend les eemples 4..5 et, s n N, pplque l n + ) ème formule de Tylor. Pour smplfer l epresson de f ) ) on suppose, suvnt les cs = ou =, posnt b =. ) m b ) m. Sot m N et, b R lors b m = b ) + n + )b t) n t m n+) dt où, s n m, sous le sgne n + = est, cr ) m =, l foncton n + nulle, comme dns l somme les termes d ndce > m sont uss nuls, on retrouve l formule du bnôme de Newton. Plus générlement : ) m b ) m ) Sot m N et, b ], [ ou et, b ], + [ lors : b m = b m = m+) b ) + n + ) b t) n t m+n+) dt = n + ) m + b ) m + n = ) m+) b ) + ) n+ n + ) b t) n t m+n+) dt. En prtculer : n + = b = b = b) S α R et ], + [ lors : + ) α =. S R lors : 3. S ], + [ lors : 4. S R lors : sn) = m ) + + )! + = cos) = m = ) )! + ) +) b ) + = = ) α + Log + ) = e = ) n+ n + )b t) n t n+) dt ) α n + ) t) n + t) α n+) dt n + =! + ) + = t) n e t dt ) n t)n + t) n+ dt m+ t)m+ m ) snt) dt = ) + m + )! + )! + = m+ t)m m ) snt) dt = m)! = ) )! + m+ t)m+ ) cost) dt m + )! m+ t)m+ ) cost) dt m + )! 4..4 Remrque. Comme, dns ces eemples 4..5 on connt les vrtons de l foncton f n+) dérvée n + ) ème de l foncton f, on peut encdrer le «reste prmtve» f n+) b t)n t) dt : s < b et pour t b on m f n+) t) M lors : m b )n+ n + )! f n+) t) b t)n dt M b )n+ n + )! pr eemple s t on e t e donc : =! + n+ n + )! e =! + n+ n + )! e