Chpitre Intégrle sur [, b] Dénition : Soit I = [, b] un intérvle de R vec et b deu éléments de R (<b), on ppelle subdivision de [; b] toute fmille nie : = < <... < k <... < n = b Dns ce cs on note δ n = m{( i+ i )/i = ; ;...; n } et on l'ppelle le ps de l subdivision. Eemple :. Prenons le cs de I = [, ]. = < = < = est une subdivision de I et il est clire que son ps est égle δ = = < = 3 < = < 3 = 3 4 < 4 = est une utre subdivision du même intérvle I mis cette fois le ps est égle δ = 3 = < = n < = n < 3 = 3 n < 4 = 4 n <... < n = n n = est une sudivision de I vec le ps δ = n. Dns le cs ou I = [, b], on peut considérer l subdivision uniforme suivnte : = < = +. b n < = +. b n < 3 = + 3. b n... < k = + k. b n <... < n = b c'est une subdivision uniforme de I dont le ps δ n = n
CHAPITRE. INTÉGRALE SUR [A, B] Fonction en esclier : Dénition : On ppelle fonction en esclier sur I = [, b] toute fonction φ : [, b] R telle que il éiste une subdivision = < <... < n = b de [, b] vec : pour tout i = ; ;...; n. ϕ/] i, i [= λ i = constnte Dénition : Soit φ : [, b] R une fonction en esclier sur [, b], lors on dénie l'intégrle de φ sur [, b] pr : Dénition : b n φ() = λ i ( i i ) i= Soit f : [, b] R une fonction, = < <... < n = b une subdivision de [, b] donnée ; vec le ps δ n. Dns chque intérvle [ p, p ] On choisit un élément ξ p. On ppelle somme de Riemnn de f reltivement l subdivision ( i ) i n, u ps δ n, et u éléments (ξ p ) p l quntité : n S n = ( p p ).f(ξ p ) p= On dit que f est intégrble u sens de Riemnn sur [, b] si : qund δ n (le ps tend vers zéro ) l suite S n tend vers une limite nie notée : Propriétés : b f() Soit f : [, b] R et g : [, b] R deu fonctions intégrbles u sens de Riemnn sur [, b] et λ R lors on les propriétés suivntes :. b (f + λg)() =. Si f b b f() b f() + λ g().
3 3. Si f g b f() b b g() b 4. f() f() 5. Reltion de Chsle :por tout < c < b on : b f() = c b 6. f() = f() b 7. f() =, pour tout R Théorème : b f() + f() c Toute fonction continue sur un intérvle [; b] est intégrble u sens de Riemnn. Somme de Riemnn pour les fonctions continues : Soit f : [, b] R une fonction continue ; lors les deu suites suivntes : u n = n n k= f( + k. (b ) ), et, v n = n n sont convérgentes vers l même limite ;et on : n (b ) f( + k. ) n k= Eemples : lim u n = lim v n = b f(t) n + n + b. Clculer l limite de l suite suivnte. u n = + +... + n n. n Il est clire qu'on ps fire une suite ordinire : En eet u n = n ( n + n +... + n n ) est une suite de Riemnn et on : lim u n = n + = 3
4 CHAPITRE. INTÉGRALE SUR [A, B]. Clculer l limite de l suite suivnte : v n = n n p= p n + p De l même mnière que précedement cette suite est une somme de Riemnn cr pour l fonction f() = et donc on Primitive : v n = n + lim v n = n + n p= p n + ( p n ) et + p b n = p n et donc = et b = f() = [ + ] = Soit f une fonction dénie sur un intérvle I, une fonction F est dite une primitive de f sur I si et seulement si : ) F est dérivble sur I. ) I, F () = f(). Nottion : Dns ce cs on note Remrque : F () = f() Si G est une utre primitive de f sur I lors F G = const. Proposition : Soit f une fonction continue sur [, b] et F une primitive de f sur [, b] lors Proposition : b f() = F (b) F () Soit f une fonction dénie et continue sur [, b], lors l fonction est une primitive de f sur [, b]. Primitives usuelles : f(t).. α = α+ α+ si α. = Ln( ) + c
5 3. cos() = sin() + c. 4. sin() = cos() + c 5. = Arctg() + C + 6. = Arcsin() + C + 7. = Arccos() + C + Eemple : Clculer I = On I = Théorème de l moyenne : + = 3 [ 3 3 ] + 3 [ 3 3 ] = 3 + 3 =. Soit f : [, b] R et g : [, b] R deu fonctions continue, vec f() > sur [, b] ; lors il eiste c [, b] tel que : Démonstrtion : b b f(t)g(t) = g(c) f(t) puisque g est continue sur [, b] lors il eiste m et M dns R tel que g([, b]) = [m, M] vec m = min{g()/ [, b]} et M = m{g()/ [, b]}. Donc pour pour tout [, b] on m g() M et pr suite on : m b f(t) b Et pr conséquence c dns [, b] tel que : f(t)g(t) M b f(t)g(t) b f(t) b f(t). [m, M], ce qui implique l'éistence d'un g(c) = b f(t)g(t) b f(t)
6 CHAPITRE. INTÉGRALE SUR [A, B] Intégrtion pr prtie : Proposition : Soient u et v deu fonctions de clsse C sur [, b], lors on : b Démonstrtion : On pose : F () = Alors on : F () = et G() = b u (t)v(t) = [u(t)v(t)] b u(t)v (t) u (t)v(t) et G() = u()v() u()v() De plus G () = u ()v() + u()v () u()v () = u ()v() et F () = u ()v(). u(t)v (t). Donc F = G + constnte et puisque G() = F () = lors l constnte est nulle. Donc F () = G() pour tout [, b] en prticulier pour b. Remrque : L démonstrtion qu'on vient de fire est vlble ussi pour les primitives et on l proposition suivnte : Proposition : Soient u et v deu fonctions de clsse C sur [, b], lors on : u (t)v(t) = u(t)v(t) u(t)v (t) Eemple : Clculer les intégrles et primitives suivntes :. I = ln(t).. J = 3. K = t ln(t). rctn(t). Pour ) on pose u (t) = et v(t) = ln(t) et donc ln(t) = t ln(t) t. = t ln(t) t + c t
7. Pour ) on : J = Pour 3 On : rctn(t) = [.rctg()] Chngement de vrible : Proposition : t ln(t) = [ t ln(t)] t. t = Ln() 3 4 + = π 4 [Ln(+ ] = π 4 Ln() Soit φ : [α, β] [, b] une fonction de clsse C et f : [, b] R une fonction continue, lors on : Démonstrtion : On pose F () = φ() φ(β) φ(α) φ(α) f(u)du = β α f(u)du = et G() = On lors F (α) = et G(α) = f(φ(t)).φ (t) α f(φ(t)).φ (t). De plus on : G () = f(φ()).φ () et F () = f(φ()).φ () et donc F = G Remrque : Si φ est bijective lors : Eemple : b f(u)du = φ (b) ϕ () f(φ(t))φ (t). Clculer I =. Clculer J = t. sin() +cos (). Pour l première on pose le chngement de vrible t = sin() donc = cos(). Donc I = π I = cos () et puisque cos () = +cos(), lors on : π ( + cos() ) = ([] π ) + 4 [sin()] π = π 4
8 CHAPITRE. INTÉGRALE SUR [A, B] Pour l deuième intégrle on fit le chngement de vrible suivnt : u = cos() du = sin() et donc on : du J = = rctn(u) + c = rctn(cos()) + +u c. Téchniques de clcules : Pour clculer une intégrle on toujours le problème de svoir quel méthode utilisée, est ce que un chngement de vrible (il y'en beucoups ) ou une intégrtion pr prtie ou d'utres ; dns l suite on v donner une série de méthodes concérnnt certines clsse de fonctions :. Intégrle d'une frction rtionnelle : P Q. On procède pr étpes ; -er Etpe : Si deg(p ) deg(q) ; on fit d'bord une division Euclidiènne et donc on :P = E.Q + R Donc on : P () R() Q() = E() + Q() ; vec ; deg(r) < deg(q) -eme Etpe : On fit l décomposition en éléments simples dns R[] de R() Q(). Eemple : Clculer I = 3 +4 Dns cet eemple on psse diréctement l deuième étpe : f() = 3 + 4 = ( + 4) = + b + c + 4 Clcule de, b, et c : f() = +4 = + (b+c) +4 lim f() = = + b et donc b = 4. Et puis f() = = + b+c 5 c =. donc I = 4 + et on donne l vleur donc = 4. + 4 4( + 4) = 4 ln( )+ 8 + 4 + 4 et donc I = 4 ln( ) + 8 ln( + 4) + rctn( ) + c Eemple : Clculer J = 3 On pose g() = 3 = ( ) = + b + c ( ) +
9 Et on clcul, b, c g()/ = b = ( )g()/ = c = lim + Donc g() = = + c = J = Eemple 3 : Clculer K = ( + ) = ln( ) + + ln( ) + c 4 + +4 3 +5 +8+4 On fit d'bord une division Euclidienne et on trouve : 4 + + 4 3 + 5 + 8 + 4 = 5 + 8 + 36 + 4 3 + 5 + 8 + 4 et 3 + 5 + 8 + 4 = ( + )( + ) Et on v décomposer en éléments simples l frction rtionnelle : 8 + 36 + 4 3 + 5 + 8 + 4 = Et prés clcules on trouve : Et en n : + + b + + c ( + ) 4 + + 4 3 + 5 + 8 + 4 = 5 + 6 + + + + 4 ( + ) K =.( 5) + 6 ln( + ) + ln( + ) + 4 + + c Eemple 4 : Clculer T = 3 + Tout d'bord on remrque que 3 + = ( + )( + ) Donc on décompose en éléments simples l fonction f() = 3 + = + + b + c + Et prés un petit clcule on trouve :
CHAPITRE. INTÉGRALE SUR [A, B] f() = 3 + = 3 + + 3 + 3 + Et 3 + 3 + = 6 + + + Et de meme + = ( ) + 3 4 Donc T = 3 ( + ) 6 ln( + ) + 3 = 3. ( 3 3 ) + et on posnt le chngement de vrible u = 3. 3 On trouve : T = 3 ln( + ) 6 ln( + ) +. Intégrle d'un polynôme en Sin() et Cos(). On se rmène u cs : ( 3 3 ) + 3 3. rctn( 3 3 ) + c I p,q = cos p ()sin q () vec p,et q deu éléments de N et Il y 3 cs envisgé : Si p = k + impire : I p,q = (cos ()) k sin q ()cos() = ( sin ()) k sin q ()cos() Dns ce cs on pose le chngement de vrible u = sin() et donc. I p,q = ( u ) k u q du Eemple : Clculer I = cos()sin () on pose u = sin() donc du = cos() et pr suite I = u du = 3 u3 + c = 3 sin3 () + c Si q = k + impire : I p,q = (sin ()) k cos p ()sin() = ( cos ()) k cos q ()sin() Dns ce cs on pose le chngement de vrible u = cos() et donc. I p,q = ( u ) k u q du
Eemple : Clculer J = cos 4 ()sin 3 () Il est clire ici qu'on v poser u = sin() donc du = cos(), et donc J = u 4 ( u )du = 5 u5 7 u7 + c Donc Si p et q tout les deu pire : J = 5 sin5 () 7 sin7 () + c Alors dns ce cs on est obliger de fire une linéristion. Eemple : Clculer :I = cos ()sin () Dns ce cs on : cos().sin() = sin() donc cos ()sin () = 4 sin () = 8 ( cos(4)) Et donc I = 8 3 sin(4) + c 3. Primitive de l forme : F (, n +b c+d ), vec d bc. On pose le chngement de vrible : + b y = n c + d yn = + b c + d = dyn b cy n Eemple : n Clculer I = +.. Alors on pose le chngement de vrible : Ce qui donne : y = n + = y y + = I = 4y dy (y 3)(y + ) 4ydy ( + y ) Et en décomposnt en éléments simples l frction rtionnelle : 4u (u 3)(u + ) = 3 u + u + 4y dy (y 3)(y + ) = 3 y + y +
CHAPITRE. INTÉGRALE SUR [A, B] Donc I = 3 y 3 dy + 4. Intégrle de l forme dy y + et le réste est évident. F (cos(), sin()) :. Pour le clcule de ce genre de primitives ou intégrles il y plusieures chngement de vrible possibles le plus importnt est peutêtre : t = tg( ) = t t ;.sin() = ;.cos() = + t + t + t Eemple : Clculer I = +cos() D'pres le chngement de vrible précédent on : I = 3+t. Formule de WALLIS : Il s'git de l formule suivnte : J n = π On vois fcilement que J = π et J = Soit n un entier strictement supérieur à. On intégre pr prtie et on : J n = Donc π sin n () sin n ()sin() = [cos()sin n ()] π π +(n ) cos ()sin n () π J n = (n ) ( sin ())sin n () = (n ) π π sin n () (n ) sin n () Et enn on : nj n = (n )J n Alors en utilisnt cette formule on trouve fcilement : et J n = n n n 3 n 5 n n 4...3 4 J n+ = n n n 5 n + n n 4...4 5 3. π
Fonction dénie pr une intégrle : Proposition : Soit f : I R une fonction continue, vec I un intérvle de R ; et u ; v deu fonctions dénies de J I des pplictions de clsse C. On pose lors : G() = v() u() f(t) Alors G est une fonction dérivble sur I et on : Démonstrtion : G () = f(v())v () f(u())u () En eet soit F une primitive quelconque de f sur I, lors on : 3 Et donc G() = [F (t)] v() u() = F (v()) F (u()) G () = F (v()).v () F (u()).u () = f(v()).v () f(u()).u () Eemple : Etudier les fonctions suivntes :. G() = +t et. I() = sin () rcsin( t) + cos () rccos( t) ] L fonction f(t) = est dénie continue sur +t R ; donc intégrble sur tout intérvle ferlé du type [, b], en prticulier sur [, ] pour tout dns R. Ce qui entrine que le domine de dénition de G est D G = R. D'utre prt les fonctions u() = et v() = sont de clsse C et donc G est dérivble sur R et on : G () = f(v()).v () f(u()).u () = Ce qui donne : G () = + 4 + 3 +. + 4 ( + + + 4 )
4 CHAPITRE. INTÉGRALE SUR [A, B] ] Les fonctions rcsin( t) et rccos( t) sont continues sur [, ] ; donc sont intégrbles sur [, sin ()] et sur [, cos ()] respectivement pour tout dns R, donc le domine de dénition de l fonction I est R. De plus il est fcile de vérier que I est pire et périodique de période T = π. En eet I( ) = I() cr sin ( ) = sin () et cos ( ) = cos (). Et : sin ( + π) = ( sin()) = sin () cos ( + π) = ( cos()) = cos () Donc on réduit le domine d'étude à l'intérvle [, π ]. Soit F une primitive de rcsin( t) et G une primitive de rccos( t). Alors :I() = F (sin ()) F () + G(cos ()) G(). Donc : I () = F (sin ()).cos().sin() G (cos ()).cos().sin() donc I () = sin()[rcsin( sin() ) rccos( cos() )] Et puisque [, π ], donc sin() et cos() sont positifs lors : I () = sin()[rcsin(sin()) rccos(cos())] = sin()( ) = Donc I est constnte sur [; π ], et cette constnte est égle : donc I() = I( π 4 ) = I() = rcsin( t) + rccos( t) (rcsin( t) + rccos( t)) or pour tout [, ] on : rcsin() + rccos() = π et donc : I() = π 4
Chpitre Intégrle générlisée Dénition : Soit I = [, b[ vec (b R ou b = + ), f : I R, une fonction loclement intégrble sur I c..d intégrble sur tout intérvle [, ] I. Pour < < b on pose ψ() = dit que b f(t) converge, et on écrit tout simplement Dns le cs contrire on dit que Eemples b f(t) ; si lim ψ() = l eiste ( R) ; on b f(t) est divérgente. b f(t) = l I = converge. α On eet = [rcsin()]α = rcsin(α) Et puisque lim rcsin(α) = π α lors I converge et on I = π J = (t ) diverge. Si < < lors ψ() = = [ (t ) t ] = Et donc si lors ψ() + K = t diverge. On eet K = lim [ln(t)] α = + α L = t diverge. 5
6 CHAPITRE. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE En eet Théorème : On pose I(α) =. Si α < I(α) converge.. Si α I(α) diverge. Démonstrtion : L = lim [ α t ] α = lim ( + α α ) = + t α Alors on les deu situtions suivntes : Si α = c'est l'eemple 3 l'intégrle est divergente. Si α deu situtions se présentent : Et donc : I(α) = Conséquence : t α = lim [ t α X α ] X = lim I(α) = X ( { α si α> + si α Soit un réel strictement positif ; lors on : α X α α ) converge α < tα Démonstrtion : même téchniques que le théorème précédent. Conséquence : Soient et b deu réels lors on : b (b t) α, convérge, si et seulement si α < Démonstrtion : Soit < < b et ψ() = ce qui donne : (b t) α Et on fisnt tendre vers b on : I = b du u α on pose lors u = b t et donc du = b du b ψ() = (u) α = b du b u α est convérgente si et seulement si α < d'pres l conséquence
7. Théorème : Soit β R on pose I(β) = si β > Démonstrtion : Si β = lors on : I() = Si β Alors on : + t β lors on : I(β) converge si et seulement X lim X + t = lim X + [ln(t)]x = lim (ln(x)) = + X + I(β) = X lim X + t β = lim [ X + β t β ] X = lim ( X + β X β β ) Et donc I(β) = + si β > et I(β) = β Eemples + + Théorème 3 : 3 t est divérgente cr 3 < ( 3 t = t 3 ) t 3 t est convergente cr 4 3 > si β <. Soient f et g deu fonctions positives sur I = [, b[ loclements intégrbles sur I et telles que : I : f() g() Alors on les rmtions suivntes :. Si. Si b b Eemples g() converge f() diverge b b f() converge. g() diverge. +. Etudier l nture de l'intégrle générlisée : I = +. On remrque fcilement que + pour tout >. + Et puisque convérge cr > il en résulte que I converge.
8 CHAPITRE. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE. Etudier l nture de l'intégrle générlisée :J = + e. De l meme fcon que dns on v mjoree l fonction f() = e une fonction dont l'intégrle générlisée est convérgente : e + Or converge J converge. e f() e + e 3. Etudier l nture de l'intégrle générlisée :K =. On pose f() = e qui est une fonction positive. Si lors donc et donc f() e. + Or Remrque e = [ e ] + = converge, donc K converge. L condition f et g positives est une condition nécessire. Donc vnt d'utiliser ce critère il fut s'ssurer que les fonctions sont positives. Théorème 4 : Soient et b deu reels et I = [, b[ ; f : I R une fonction positive et loclement intégrble. On suppose qu'il eiste r R tel que : Alors on :. Si r <. Si r Eemples : b b lim (b b )r f() = l R + f() converge. f() diverge.. Etudier l nture de l'intégrle générlisée I = Le problème se pose en, vec f() = ln() ln(), et on : pr lim ( )r f() = lim () r ln() =
9 Pour tout r > En prticulier on peut choisir un r qui vérie l fois r > et r < pr eemple r = 3 ( en rélite tout les r ], [). Donc d'prés le théorème précedent I converge.. Etudier l nture de l'intégrle générlisée J = De l même mnière due précedement on, on pose f() =. lim ( )r f() = lim( ) r =, si, r > Donc on prend un r qui vérie l fois r > et r < pr eemple r = 3 4, et donc J converge. Théorème 5 : Soient un reel strictement positif, I = [, + [ ; et f : I R une fonction positive et loclement intégrble. On suppose qu'il eiste un r R tel que : Alors on :. Si r > b. Si r et l Eemples : lim + ()r f() = l R + f() converge. b f() diverge.. Etudier l nture de l'intégrle suivnte : I = On pose f() = 4 (+)e et donc on : lim + r f() = lim + r 4. Pour tout r en prticulier pour les r >. Donc I converge.. Etudier l nture de l'intégrle suivnte : J = + e 4 = Comme dns le premier eemple on pose f() = e 4 (+)e. + e et on : lim + r f() = lim + r e =, si, r >
CHAPITRE. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE. Si pr eemple r = lors on : Donc J converge. Dénition : lim + f() = lim 3 e = + Soient, b R = R {, + } ; I =], b[ et f : I R une fonction loclement intégrble. On dit que l'intégrle c < b : c f() et b b c f() converge si et seulement si pour tout < f() convergent. Dns ce cs on écrit tout simplement : Remrque : b f() = c b f() + f(). c b Dns l dérnière éqution f() ne depend ps de c, ce qui veut dire que : b c f() converge si et seulement si il eiste < c < b tel que f() b et f() convergent. c Eemples :. Etudier l nture de l'intégrle générlisée I = ici on v prendre c =. Et = lim X = X lim Y Y Donc I converge et on : I = π. = lim X [rcsin()]x = π =. Etudier l nture de l'intégrle générlisée J = lim Y [rcsin()] Y = π + +t De l même mnière que dns le premier eemple on v prendre c = et on : + t = lim Y Y + t = lim Y [rctn(t)] Y = π
Et + X + t = lim X + Donc J converge et on :J = π. + t = lim X + [rctn(t)]x = π Fu probleme : Certines fonctions présentent des problèmes qui sont "des fu problèmes" dns certin cs et on peut fcilement les surmonter. Proposition : Soit I = [, b[ vec b R et f : I R une fonction positive et loclement intégrble. Si lim f() = l R ; lors l fonction f est prolongeble pr continuite en b b et donc b Eemples : f() est convergente. sin(t) t Il est evident que nous vons fire une sitution de fu problème sin(t) en, cr lim t t = et donc l fonction t sin(t) t est prolongeble Etudier l nture de l'intégrle générlisée I = pr continuite en et donc I est convergente. tg(t) t tg(t) De l même mnière que dns le premier cs on lim t t = et donc J converge. Etudier l nture de l'intégrle générlisée J = Etudier l nture de l'intégrle générlisée K = cos(t Dns ce cs on lim ) t t Donc K est convergente. Théorème 6 : cos(t ) t = lim t t cos(t ) t 4 =. = Soient R et b R = R {, + } ; I = [, b[ et f; g deu fonctions positives et loclements intégrbles sur I : On suppose que f() g() u voisinge de b Alors : b f() et sont de même nture ( c..d convergent ou divergent en même temps ). Eemples :. Etudier l nture de l'intégrle suivnte : I = sin(t) t t Dns ce cs le problème se pose en, et u voisinge de on : b g()
CHAPITRE. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE f(t) = sin(t) t t t Et puisque < lors t converge, donc I converge.. Etudier l nture de l'intégrle suivnte : J = tg() 3 Dns ce cs l fonction f() = tg() 3 t u voisinge de. Et puisque > lors t diverge, donc J diverge. + 3. Etudier l nture de l'intégrle suivnte : K = cos( ) Pour cette eemple on deu problemes ( en et en + ) : L fonction h() = cos( ) t u voisinge de. Et puisque < lors t converge. D'utre prt h(t) t 5 pour tout t et puisque + + converge (cr 5 > )donc cos(t ) t converge. t + cos( Et donc pour conclure que K = ) cos( + ) converge. Dénition 3 : Soit I = (], b[ ou [, b[ ou ], b]) un intérvle quelconque de R et f : I R une fonction loclement intégrble. On dit que l'intégrle est convergente. b f() est bsolument convergente si b t 5 f() L'intérét de cette dénition réside dns le fit que tout les critères que nous vons vue concérne les fonctions positives. Et le théorème suivnt v nous donner un moyen ecce pour étudier le cs des fonctions non positives. Théorème 7 : Soit f : I R une fonction loclement intégrble vec I comme dns l dénition précédente lors. b f(), converge b f(), converge
Chngement de vrible et intégrtion pr prtie : b On les ppliquent de mnière nturelle ou présque ; puisque f() n'est q'une limite d'intégrles nturelles. Eemples :. Etudier l nture de l'intégrle I = cos( t ) Dns ce cs le problème ce pose en et on :I = On note I(X) = suivnt : X 3 lim cos( X + t ). X cos( t ) et on eéctue le chngement de vrible Et donc : Et en n : u = t I(X) = X = u du cos(u) u du I = lim cos(u) X + u du = lim X + X X cos(u) + u du = cos(u) u du + Or cos(u) u u pour tout u, et donc du u converge cr > + + Donc cos(u) cos(u) du u converge et d'prés le théorème précédent du u converge. + sin(t). Etudier l nture de l'intégrle générlisée J = t Dns cette sitution le problème se pose en et en + sin(t) On lim t t = donc l fonction f(t) = sin(t) t est prolongeble pr sin(t) continuite en et donc J = t converge. + sin(t) D'utre prt si on pose J = t = lim X sin(t) X + t lors une intégrtion pr prtie nous donne. J = lim ([ X + t cos(t)]x X cos(t) t )
4 CHAPITRE. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE ce qui donne : cos(x) X J = lim (cos() X + X cos(t) t ) + cos(t) Et doncj = cos() t converge. Et puisque J = J + J lors J converge. L fonction Γ : Il s'git de l fonction suivnte : Γ() = + t ( ) e t Cherchons le domine de dénition de cette fonction : + Pour cel on pose Γ () = t ( ) e t et Γ () = t ( ) e t. Et il est clire que le domine de dénition de Γ est D = D Γ D Γ. Pour Γ le problème se pose en et on u voisinge de : t ( ) e t t ( ) = t ( ) Et donc converge si et seulement si < > t ( ) Donc D Γ =], + [. Pour Γ on : lim t + tr t ( ) e t t r+ = lim t + e t En prticulier pour r, et donc D Γ = R Et donc on conclus que D = D Γ D Γ =], + [ Proposition : Pour tout > on : démonstrtion : Γ() = ( ).Γ( ) On v fire une intégrtion pr prtie. Γ() = = ; R, t R Y Y lim t ( ) e t = lim Y + Y + ([ t( ) e t ] Y +( ) t ( ) e t )
5 Et donc Conséquence : Pour tout n N on : Démonstrtion : En eet on : + Γ() = ( ) t ( ) e t ) = ( )Γ( ) Γ(n) = n! Γ(n) = (n )Γ(n ) = (n ).(n ).Γ(n ) = (n ).(n ).(n 3)...Γ() et Γ() =
6 CHAPITRE. INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE
Chpitre 3 Equtions diérentielles. Dénition : On ppelle éqution diérentielle d'ordre n ( n N ) toute éqution du type : F (, y, y, y,..., y (n) ) = (E) vec une vrible réelle y l fonction inconnue et y, y, dérivées succéssives., y (n) ces Eemple : () y + y = est une éqution diérentielle d'ordre (b) yy + y = Ln() est une éqution d'ordre (c) ( + )y = y est une éqution d'ordre (d) ( + )y + 3y = est une éqution d'ordre. Solution où intégrle : On ppelle solution où intégrle sur un intérvle I de R, de l'éqution (E). toute fonction f : I R; n-fois dérivble telle que : pour tout I F (, f(); f (), f ();..., f (n) ()) = 7
8 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Solution mimle : C'est une solution dénie sur un intérvle miml, c--d qu'on ne peut ps prolonger à un intérvlle J contennt I. 3. Eqution du premier ordre : C'est une éqution du type : y = f(, y) (E ) 4. Eqution à vribles sépprées : C'est une éqution du type y = f()g(y) (V.S) Où f et g sont des fonctions continues données sur des intérvles I et J Eemple : () ( + )y + 3y = ce qui est équivlent à y = 3 +.y (b) y = y + y ce qui est équivlent à y = ( + ).y (c) y sin() = y ce qui est équivlent à y = sin().y Pour résoudre L'éqution (V S) ; on l'écrit tout d'bord sous l forme : dy = f() g(y) et puis on continue l résolution en intégrnt les deu cotés de l'éqution. Eemples : () Dns l'eemple ) on : dy y = 3 + ln( y ) = 3 ln( + ) + cont y = ±e const. ( + ) + y = K ( + ) + Avec K R (b) Dns l'éemple ) on dy y = ( + ) ln( y ) = ( + ln( )) + c
9 y = e c. e y = Ke Avec K R (c) Dns l'eemple 3) on : dy y = ln( y ) = dy sin() y = sin() sin () = sin() sin() cos () Alors un chngement de vrible u = cos() ( du = sin()) : ln( y ) = ( du u = du u + ) du + u = ln( u + u )+c Et donc Avec K R Y = K.( u cos() ) = K. + u + cos() 5. Eqution homogène : Ce sont des équtions du genre : y = f( y ) (H) Eemples : () y y = 4y (b) (4 + 3y + y ) + 4(y + 3y + )y = (c) y 3 y + 3y + 3 = (d) + y (4 y)y = (e) yy y = ( + y)e y Résolution :
3 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES On fit un chngement de fonction inconue et on pose : u = y y = u y = u + u Donc (H) ser équivlente à : u + u = f(u) u =. (f(u) u) qui est une éqution vrible séprée Eemples : () y = y +4y = ( y ) + ( y ) donc il s'gi bien d'une éqution homogène donc on pose u = y y = u y = u + u u + u = u + u donc y = K K u = u + u +du u du u(u + ) = du u(u + ) = du (u + ) = Ln( ) + c ln( u u + ) = ln( ) + c u = K. u( K) = K u = K u + Avec K un réel (b) dns cette éqution on : (4 + 3y + y ) + 4(y + 3y + )y = y = (4 + 3y + y ) 4(y + 3y + ) K
= 4 + 3. y + ( y ) 4( ( y ) + 3( y ) + ) Donc il s'git bien d'une éqution homogène : donc on pose u = y y = u y = u + u Et donc u + u = 4+3.u+u u 4(u +3u+) = 4+3.u+u 4(u +3u+) u = 4 7u 3u 4u 3 4(u +3u+) (c) Dns l'eemple c) y 3 y + 3y + 3 = 3 ( y )3 y + 3( y ) + = y = 3( y ) ( y )3 = f( y ) Il s'git bien d'une éqution homogène donc on pose u = y y = u y = u + u Et donc u+u = 3u u 3 u = 3u u 4 u 3 u 3 du + 3u + u 4 = Or X + 3X + = (X + )(X + ) u donc 3 = u+b +3u +u 4 u + + cu+d u + E t un petit clcule montre que = ; b = ; c = ; et; d = u 3 du + 3u + u 4 = Donc ln( ) = ln( + u ) + ln( + u ) + c = ln( +u +u ) + c Et on continue l résolution 6. Eqution linéire d'ordre : Elle est de l forme : ()y + b()y = h() Avec, b et h des fonctions continues sur un intérvle donné I. Eemples : ) y y = ) y y = sin()
3 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Résolution : ) On commence pr résoudre l'éqution sns second membre c..d ()y + b()y = y = b() ().y Qui est une éqution vrible séprée, et on sit l résoudre. Dns l'eemple ) E.S.S.M :est : y y = donc. y y = dy y = dy y = ln( y ) = ln( ) + C y = e C. y = K. Avec K R Dns l'eemple ) ESSM est y y = s résolution ser de l même mnière : vec K R dy y = dy y = ln( y ) = + C y = K. ep( ) Et donc y = K.U vec U = ep( )
33 7. Théorème : On considère l'éqution linéire de er ordre : ()y + b()y = h() (E) Si y p est une solution prticulière de (E) Alors Toute utre solution y de (E) vérie ()(y y p ) + b()(y y p ) = Donc y y p est une solution de l'éqution homogène, donc y y p = y Donc 8. Recherche de y p : y = y + y Méthode de l vrition de l constnte : Soit U une solution de l'éqution sns second membre. On pose y p = c().u vec c() est une fonction chércher pour que y p soit une solution de (E) Donc y p = c ()u + c().u et donc on ur : Ce qui entrine que : Et donc c ) = puis on remplce dns l'éqution (E) ()(c u + cu ) + b()(cuo) = h() ()c ()u o + ()c()u o() + b()c()u o () }{{} = h() h() ()u () Eemple : résoudre l'éqution diérentielle y y = () On commence pr résoudre l'éqution sns second membre E.S.S.M ESSM : y y = dy y =
34 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Ln( y ) = Ln( ) + c y = K. vec K R On pose lors u = et on v chercher une solution prticulière y p = c().u On dérive y p et on remplce dns l'éqution () et on obtien (c u o + cu o) (cu o ) = c () = c () = ( )(+) = + ( ) + (+) c() = ln( ) + ln( ) y p = c().u y p = K. + ( ln( ) + ln( ) vec K R On v lors donner les solutions sur les intérvles :], [, ], [ et ], + [ 9. Eqution de BERNOULLI : C'est une éqution du type y = α()y + β().y n (E) vec nun élement de R, α() et β() des fonctions numèriques données sur un intérvle I. Eemple : () y = y + y ici n = (b) y = y + y 3 ici n = 3 (c) y y = y ici n= Résolution : ) Si n= lors :y = α()y + β().y = (α() + β())y donc on une éqution vribles séprées )Si n l'éqution (E) est équivlente : y y n α() y n = β() (E )
35 On pose lors z() = y n donc z () = (n ). y y n Et on remplce dns l'éqution (E ) Ce qui nous donne : z (n ) α()z = β() linéire de er ordre. Eemple : Résoudre l'éqution suivnte :(E) y = y + y (E) est équivlente : y y y = puis on remplce dns l'éqution pré- On pose z= y, donc z = y y cedente : et on obtien z + z = Et on v résoudre cette éqution pr : ) z +z = z z vec K R On pose lors z = e = dz z qui est une éqution = ln( z ) = +c z = K.e Et on v chercher une solution prticulière pr l vrition de l constnte : z p = c().z z p = c z + cz c z + cz + cz = c () = e c() = e = ( + )e Donc z p =( + )e.e = + Et donc l solution generle est donner pr : zg = z p + Ke = + + Ke vec K R Et en n y g = + +ke. Eqution de RICCATI : C'est une éqution du type : Avec K R y = α().y + β().y + γ()
36 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Avec α() ; β() et γ() des fonctions numériques continues sur un intérvle I Résolution : On besoin de connitre une solution prticulière y On pose lors z = y y. Eqution de second ordre à coécients constnts : Ce sont des équtions de l forme : (E) : y + by + cy = f() Avec,b,c des constntes réelles intervle I Eemples : et f une fonction continue sur un () y + 3y + y = sin() (b) y + 3y + 4y = e cos() (c) y + y y = ( + 3 + )e. Eqution sns second membre : Il s'git de l'éqution : (E ) : y + by + cy = pour résoudre l'éqution E, on remrque d'bord que l'ensemble des solution de E est un espce vectoriél de dimention et que pour chercher s bse on besoin de l'éqution crrctéristique : Eqution crrctéristique : c'est l'éqution de second degré : r + br + c = (E.C) Il y 3 cs possibles : er cs : = b 4c > dns ce cs nous vons deu rcines réelles distinctes r r et lors les solutions de E sont de l forme : y ssm = λ ep(r ) + µ ep(r ), vec λ et µ deu réels : eme cs : = b 4c = dns ce cs l'éqution crcteristique dmet une seule
37 solution double r = r = r et dns ce cs les solutions de l'éqution sns second membre sont données pr l formule : y ssm = (λ + µ) ep(r.) Avec λ et µ deu réels quelconques. 3 eme cs : = b 4c < dns ce cs nous vons deu rcines complees distinctes z z vec z = α + iβ et z = α iβ et dns ce cs les solutions de l'eqution sns second membre sont données pr l formule : y ssm = ep(α)[a cos(β) + B sin(β)] vec A et B deu élements de R Eemples : résoudre les équtions suivntes : () y + 3y 4y = (b) y 4y + 4y = (c) y + 4y + 5y = Pour ) l'éqution crcteristique est : r + 3r 4 = dont le = b 4c = 9 + 6 = 5 et donc r = 3+5 = et r = 3 5 = 4 et donc y ssm = λ ep() + µ ep( 4), vec λ et µ deu réels : pour ) l'éqution crcteristique est : r 4r + 4 = dont le = b 4c = 6 6 = et donc r = r = 4 = et donc y ssm = [λ + µ] ep(), vec λ et µ deu réels : pour 3) l'éqution crcteristique est : r + 4r + 5 = dont le = b 4c = 6 = 4 = (i) Alors z = 4+i = + i et z = i Et dns ce cs y ssm = ep( )[A cos() + B sin()] vec A et B deu élements de R
38 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3. Recherche d'une solution prticulière : considerons d'bort l'eqution : y + by + cy = e α.p n () Avec α un réel et P n un polynôme de degrée n Dns ce cs on cherche une solution prticulière de l forme : Y p = e α. s.(a + A +... + A n n ) Où A, A,...A n des constntes réelles déterminer. Et s vérie : s = si α n'est ps rcine de E.C s = si α est rcine simple de E.C s = si α est rcine double de E.C Eemple : Résoudre l'éqution diérentielle suivnte : y 3y 4y = 6e () On commence pr résoudre l'éqution crrcteristique :r 3r 4 = On : = 9 + 6 = 5 donc r = 4 et r = et donc l solution de l'éqution sns second membre est : vec λ et µ deu réels y ssm = λe 4 + µe On cherche ensuite une solution prticulière de l forme : Y p = e..(a) = A.e Alors y p = Ae et y p = 4Ae et on remplce dns leqution () 4Ae 6Ae 4Ae = 6e 6A = 6 A = Et en n l solution générle de () est : y = y ssm + Y p = λe 4 + µe e
39 Eemple : résoudre l'éqution diérentielle suivnte : y y 3y = 3e () Leqution crrcteristique : r r 3 = Et = 6 donc r = et r = 3 ; donc l solution de l'éqution sns second membre est donneé pr : y ssm = λe + µe 3 λ et µ R On cherche ensuite une solution prticulière de l forme : y p = e. s.(a + A ) vec s = cr est rcine simple de l'éqution crrcteristique. Et on clcule y p = e (A +(A A ) A ) puis y p = e (A A + (A 4A ) + A ). Et on remplce dns l'éqution () : ce qui nous donne :A = 3 6 et A = 3 8. Ce qui nous donne l solution générle de () : y = λe + µe 3 + e..( 3 6 + 3 8 ) Considérons mintennt l'éqution diérentielle suivnte : y + by + cy = e α.p n ()cos(β.) Avec α, β deu réels et P n un polynôme de degrée n Dns ce cs on cherche une solution prticulière de l forme : y p = e α s [Q n ()cos(β.) + R n ()sin(β.)] Où Q n et R n sont des polynôme de degrée n et
4 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES s = si α + iβ n'est ps rcine de l'éqution crrcteristique. s = si α + iβ est rcine de l'éqution crrcteristique Eemple : Résoudre l'éqution dioérentielle suivnte :y 3y 4y = 8e.cos() (3) Eqution crrctéristique : r 3r 4 =, donc = 5 et r = et r = 4 et donc l solution prticulière ser de l forme : y p = e.(acos() + Bsin()) On s = cr + i n'est ps une rcine de l'éqution crrcteristique ; et on clcule y p et y p puis on remplce dns l'éqution (3) et on trouve :A = 3 7 et B = 5 7. Eemple : Résoudre l'éqution diérentielle : y + y + 5y = 4e cos() y() =, y () = Leqution crrcteristique est : r +r+5 = et son = 6 = (4i) donc les solutions sont z = + i et z = i On cherche donc y p = (Acos() + Bsin())..e (on s = cr +i est rcine de l'éqution crrcteristique ) et le réste des clcules est lissé u étudints. Remrque : Pour résoudre une éqution du type : y + by + cy = e α.p n ()sin(β.) on procéde de l même mnière et l solution prticulière ser ussi du type : y p = e α s [Q n ()cos(β.) + R n ()sin(β.)] 4. Principe de supérposition : Soit l'éqution diérentielle : y + by + cy = f + f (E)
4 Où f et f deu fonctions. Pour chercher une solution prticulière de E ; on cherche une solution prticulière y de : y + by + cy = f et une solution prticulièrey de y + by + cy = f et lors y p = y + y ser une solution prticulière de E. Eemple : Résoudre l'éqution diérentielle suivnte : y + y y = e + e tout d'bort on écrit l'éqution crrcteristique :r + r = et sont = + 8 = 9 Donc r = et r =, donc l solution de l'éqution sns second membre est : y ssm = λ.e + µ.e λ et µ R Pour chercher une solution prticulière de cette éqution on chercher les solutions prticulière de y + y y = e et de y + y y = e. pour l premiere éqution y = A..e (s = ) cr est une rcine de l'éqution crrcteristique et donc y = (A + A)e et y = (A + A)e, et puis on remplce dns l'éqution et on trouve : 3A =, donc A = 3 Pour l deuieme éqution y = B..e (s = cr est une rcine de l'éqution crrcteristique et donc y = ( B + B)e et y = (4B 4B)e, et puis on remplce dns l'éqution et on trouve : 3B =, donc B = 3 Donc y p = y +y = 3 e 3 e ; et l solution générle de l'éqution est : y g = y ssm + y p = λ.e + µ.e + 3 e 3 e Avec λet µ deu éléments de R
4 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Chpitre 4 LES EXERCICES EXERCICES D'INTEGRATION SUR R. EXERCICE : Clculer les limites des suites suivntes : [ () u n = n n + n 4 +... + n ] n (b) v n = n.[ +n + +n + 3 +n +...+ n +n ] v n = (c) w n = n ( + k n ) n w n = k= n (d) k n = n. (e) r n = n (f) z n = (g) s n = p= n p n +p p n e p p= n [ln(p+n) ln(n)]+5 p+n p= n p= (h) α n = n k n = n r n = n [ n p+ k= u n n 3 [ + n + + n... + n n + n ] n n+k n +k k= n k p pour p entier nturel. n k p k n = k= n (n+k )(n+k) k= ] rctn( n k n n n +n ) + rctn( k+n ) +... + rctn( n+n ) z n = n (n+p)(+ln(p+n) ln(n)) s n = n. ( (n)! n! ) n [ ] rcsin( n k n n n +n ) + rcsin( k+n ) +... + rcsin( n+n ) n k= e k n k 43
44 CHAPITRE 4. LES EXERCICES. EXERCICE : Soit f une fonction continue sur [ ;] on pose n Un = n f( k n ), pour n k= Clculer l limite de cette suite 3. EXERCICE : Clculer les primitives suivntes : () cos()e 4) cos(α) Ln() (b) 5) sin(3) cos(4) sin() cos() (c) cos() 6) sin() + cos() 4. EXERCICE : On pose I = () Clculer I + J et I J (b) Endéduire I et J 5. EXERCICE : cos() cos()+sin() et J = Clculer les integrles et primitives suivntes : 4 9 () +3 4( ) (b) (+ 3 Arc sin() ) (c) tg () +Ln() sin() cos()+sin() 6. EXERCICE : Clculer les integrles et primitives suivntes : e () Arctg() (+ ) 3 (b) 3) sin() e sin() cos()(+cos ()) n Ln() (c) 5) Ln( + + ), (Arc cos())
45 7. EXERCICE : Trouver une reltion de récurence pérmettnt de clculer l'intégrle suivnte : I n = 8. EXERCICE : On pose I n = (+t ) n π 4 () Trouver une reltion I n et I n+ (b) Clculer lim I n n + 9. EXERCICE : Soit J n = n sin(π) ; n N () trouver une reltion entre J n et ; J n+ (b) Clculer lim n + n.j n. EXERCICE : tg n () pour n N ) Décomposer en élements simples l fonction f(t) = ) Endéduire. EXERCICE : tln(t) (+t ) t(+t ) () Donner l décomposition en éléments simples de l frction rtionnelle : f() = (+) (+) (b) En déduire une primitive de l frction rtionnelle g(t) = t 4 (c) Clculer lors l'intégrle I =. EXERCICE : π 4 sin 4 () +cos () (+t ) (+t ) ) Décomposer enélements simples :les frctions rtionnelles suivntes : () f() = +m (+ )( m), (b) g() = ou m R + (+)(+ ) s b)clculer Alors I() = f(t) vec < et J(s) = c) Clculer les limites suivntes : e t (+e t )(+e t ) lim I(X) et lim J(s) X s +
46 CHAPITRE 4. LES EXERCICES 3. EXERCICE : En utilisnt le chngement de vrible = cos(t) clculer I =. + 4. EXERCICE : Soit < b deu réels et soit f : [, b] R une fonction bornée intégrble et vérint :pour tout b ) Montrer que ) Appliction : π Clculer I = 5. EXERCICE : Soit f() = + 3 (+). [, b], f( + b ) = f().f() = +b. b f() sin() +cos () et J = π +sin() ) Donner l décomposition en éléments simple de f et clculer f(). ) On pose g() = + 6 ( +), en déduire g() 6. EXERCICE : Soit α R, un réel, et f() = α+3 (+) ) Décomposer f en éléments simples dnsr [X]. ) Clculer F α = f() 3) Pour quels vleurs de α, F α () est une frction rtionnelle. + 4) On suppose que α =, clculer f(). 7. EXERCICE : Soit f() = +β (+) ) Décomposer f en élements simples. ) Clculer G β =, ou β est un réel donné, f() 3) Pour quels vleurs de β, G β est une frction rtionnelle. + 4) On suppose que β =, clculer f().
47 8. EXERCICE : Clculer les integrles suivnts : e t +t 4 ; ) n ln(), 3) ( + 3 + )e ; 4) 9. EXERCICE : Clculer pr prties les intégrles ou primitives suivntes : () I = ( + 5 + 6) cos() J = sin(ln()) ln() (b) K = L = e (+ ) cos(). EXERCICE : clculer les intégrles et primitives suivntes : +sin() () I = +cos() I = 3+sin()+cos() + cos (b) J = () +sin() J = 4 (c) K = 3 + +. EXERCICE : Soit G() = + t 4 () Montrer que G est dérivble sur R et clculer G () (b) Montrer que + t 4 t pour tout t R. (c) En déduire les limites suivntes : lim G() + lim + G() 5 lim G() + G() lim + G() lim + 3. EXERCICE : Soit H() = +t +t 4 () Montrer que H est dérivble sur R et clculer H () (b) Montrer que H () (c) En déduire lim H() + 3. EXERCICE : Soit F () = + 3 + +t 4 R G() lim + 4
48 CHAPITRE 4. LES EXERCICES () Clculer F () (b) Montrer que F est dérivble sur R et clculer F () pour R (c) Clculer lim + 3 + 4. EXERCICE : Soit h() = () Clculer h() +t 4 t (+t ) dénie sur ], + [ +t4 (b) Montrer que h est dérivble sur Iet clculer h () pour tout I (c) En déduire h()pour I 5. EXERCICE : On considère por n N l'intégrle J n () = () clculer J ; J ;et J (+ ) n (b) Etblir une reltion de récurence entre J n+ et J n. En déduire J 3 et J 4 6. EXERCICE : Clculer I = J = cos()e et en déduire e Arctg(t) ( + t ) 3 7. EXERCICE : clculer les primitives suivntes : () A = t(+ 3 t) (b) B = +ln() (c) 3 + ( ) 8. EXERCICE On pose I n = () Clculer I et, I t n + t (b) Comprer t n et t n+ pour t et en déduire l monotonie de l suite I n (c) Montrer que n+ I n n+ (d) Montrer que pour tous t [; ] : + t ( t)
49 (e) En déduire lors que de I n et ni n 9. EXERCICE :On pose In = () Clculer I et I n+ n e I n n+ (ln() n pour n N (b) Trouver une reltion de recurence entre I n et I n+ (c) Montrer que In est décroissnte et que (d) Clculer limite de I n et ni n 3. EXERCICE : Clculer les primitives suivntes : t () I = J = sin(ln()) +t 4 sin()...l = Ln() (b) K = (c) F = 3. EXERCICE : On pose I n = 3 + ( ) n e t (n N ) ) Montrer que l suite I n est croissnte n ) montrer que I n te t et clculer l limite e n+3 I n e n+ 3) En déduire un mjornt de I n et l convergence de l suite I n 3. EXERCICE : Soit f une fonction continue sur R, on pose : F () = + f(t) ) Montrer que F est dérivble sur R et clculer F () ) Montrer que F est constnte si et seulement si f est périodique de periode T = 3) Envisger le cs f() = cos(π)
5 CHAPITRE 4. LES EXERCICES 33. EXERCICE ) Décomposer en élements simples l frction rtionnelle f() = (+)( +) ) Clculer les primitives suivntes : 3+ ; 3) Clculer l primitive + 3 3+ 34. EXERCICE : Clculer les primitives suivntes : ) I = + ( on poser t = rcsin( ) ) ) J = e e + 35. EXERCICE : Soit F n l fonction dénie pr : R ; n N ; F n () = π 4π 6π (cos(t)) n e. cos(t) π ) Motrer que R ; n N ; F n () = π (cos(t)) n e. cos(t) ) ) Ecrire F n () et en integrnt pr prtie trouver une reltion de recurence entre n F n () et F n (), pour n. b) En deduire l vleur de F n () et celle de F (n+) () por tout 3) On suppose que por tout R et pour tout n, F n() = F n+ (). ( F n désigne l fonction dérivée de F n ) 4) Eprimer F (k) en fonction de F k pour tout k 5) En déduire le développement limité à l'ordre 7 de l fonction F u voisinge de
5 36. EXERCICE : Soit In= n + () En mjornt l fonction integrée, montrer que I n tend vers zéro (b) Clculer I n + I n+ (c) Déterminer lim ( n ( ) k+ n + k ). k= 37. EXERCICE : Soit I n = ( t ) n () Etblir une reltion de récurence entre I n et I n+ (b) Clculer I n n ( ) (c) En déduire k k+.nk k= 38. EXERCICE : Soit I n = t n e t () Clculer I, I, I I 3, I 4. (b) Etudier l suite I n 39. EXERCICE : Soient I = π () Clculer I + J (b) Clculer I J cos () et J = (c) En déduire I et J. π sin () 4. EXERCICE : On pose pour p, q N :I p,q = () Montrer que : p N; q N ; I p,q = (b) En deduire que : p, q N, I p;q = q ( ) (c) Montrer que : p, q N; k p+k+ = k= t p ( t) q q p+ I p+,q. p!q! (p+q+)! p!q! (p+q+)!
5 CHAPITRE 4. LES EXERCICES 4. EXERCICE : Soit f une fonction de clsse C sur [, b] on pose : I n = b f(t) sin(nt) J n = b f(t) cos(nt) Montrer que I n et J n tendeent vers zéro lorsque n tend vers + 4. EXERCICE : I] Soit f une fonction continue de R dns R, et soient u et v deu fonctions dérivbles sur R On dénie l fonction G de R vers R pr : G() = v() u() ] Montrer que G est dérivble sur R ]Montrer qu'on : f(t) G () = v ().f(v()) u ().f(u()) II] Soit f et F les fonctions dénies pr : () f(t) = t 4 e 4t4 et F () = + f(t) i. Donner le domine d'étude D E de f et dresser son tbleu de vrition sur D E ii. Montrer que pour tout R, f() 4e i. Clculer l fonction dérivée F de F ii. En déduire que [, ] : F () 3 4e (b) Montre que [, ] : F () < (c) On considérnt l fonction g() = F () montrer qu'il eiste ], [ tel que F ( ) = (d) Soit u n l suite dénie pr : u = ;..et;..u n+ = f(u n ) i. Montrer que u n [, ]
53 ii. En utilisnt le théoréme des Accroissement nis entre u n et, montrer que u n 3 4e u n iii. En déduire que u n converge vers 43. EXERCICE : Clculer les primitive suivntes : () I = sin 5 () sin (b) J = 3 () (cos ()+) 3 (c) K = 44. EXERCICE : cos()+sin() Clculer les primitive suivntes : 3 + () 3 8 t (b) 3 t+ (c) t t t+ (d) 3 + 3 3 (e) + 3 45. EXERCICE : Clculer les primitive suivntes on utilisnt un chngement de vrible : () I = + (b) I = (c) I 3 = 3 (+ ) (d) I 4 = ( ) 3 3 sin( ) (e) I 5 = e (f) I 6 = 3 +e
54 CHAPITRE 4. LES EXERCICES 46. EXERCICE : Clculer les intégrles et primitives suivntes on utilisnt une integrtion pr prtie : t ) I = t sin(t) ) I = +t 3) I3 = rcsin(t) 4) I4 = e t cos (t)5) I5 = sin(ln(t)) 6) I6 t e t 47. EXERCICE : Clculer les integrles et primitives des frctions rtionnelles suivntes : I = 3 3 3) I 3 = 3 + ( )( 3) 4) I 4 = 6 + 5 4 3 3 3 (+) 5) ( ) I 5 = 5 ( +)(+3) 6) I 6 = + ( ) 7) I 7 = 4 + 3 8) I 8 = 6 4 6 48. EXERCICE : () Justier l dénition de l'ppliction I de R \ {, } dns R dénie pr : R \ {, }, I() = (b) Montrer que I est pire. π ln( cos(θ). + )dθ. (c) Pour tout θ R ; décomposer le polynôme 4 cos(θ). + en produit de polynomes irreductibles dns R[X]. (d) Soit R\{ ; }clculer I() en fonction de I() ; puis I( n ) en fonction de I() pour tout n N (e) Déduire des résultts précedents l vleur de I() pour R, <. (f) Aprés voir clculer I( ) ; détérminer l vleur de I() pour R, > (g) Retrouver les résultts de 5) et 6) directement l'ide des sommes de Riemnn.
55. EXERCICE : INTEGRALES GENERALISEES Etudier l nture des intégrles suivntes à prtir de l dénition et lesclculer éventuellement : π t sin(t) t ln(t) ln(t) (+t) + e ( R). EXERCICE : + t e t Etudier l nture des intégrle suivntes : + + + ( cos()) cos() ) I = 7 ; ) + 3 3) +3 4 + + 4) 5) sin( ) + 4 3. EXERCICE : Etudier l nture des intégrles suivntes en déterminnt les limites corréspondnts : ) Ln(t) ) + 4) 4. EXERCICE : π t +t 5) tg(t) 3) + Ln(t) (+t) rctg( t ) + ) Motrer que cos(t) cos( t t ) est bsolument convergente. + ) En déduire l nture de sin(t) sin( t ) 5. EXERCICE 5 : En utilisnt l dénition, montrer que les intégrles suivntes sont convergentes et clculer leurs vleurs : + + I = t et J = +t+ t (t+)
56 CHAPITRE 4. LES EXERCICES 6. EXERCICE : Etudier l convergence des integrles suivntes : + + e ) e t +t e t ) sin(t) t t 3) ln(t) 4) t 5) rccos(t) 7. EXERCICE : Etudier l convergence des intégrles impropres suivntes et clculer leurs vleurs le cs échént : + + I =, I = (+ ; I ) 3 = e + 8. EXERCICE : + Soit l'intégrle I = +t 3 ) Montrer que I est convergente ( le clcule de I n'est ps demndé) ) ) Eectuer l decomposition en éléments simples de l frction rtionnelle +t 3 (rppel : + t 3 = ( + t)( t + t ) ). b) Soit >. Clculer +t 3 c) Endéduire l vleur de I + 3) On considere l'integrle I = (+t 3 ) Etblire une reltion entre I et I permettnt d'eprimer I en fonction de I + 4) Soit I n = (+t 3 ) n ; vec n un entier non nul. Montrer que I n est convergente 5) montrer que I n+ I n pour tout n 6) Montrer que l'on : I n I 3 n pour tout n 7) Déduire de ce qui précéde que l suite I n est convergente et clculer s limite 8) Etblire une reltion entre I n et I n+. En déduire l'epréssion de I n+ en fonction de I.
57 9. EXERCICE Clculer les intégrles génerlisées suivntes : π π () +sin(t) tg(t) (b) π 3tg(t)+. EXERCICE π 4 cos(t)ln(tg(t)) Clculer les intégrles suivntes : + + + () (+t ) t +t+ (+t ) 4 + + + t (b) + t (+t ) +t 4 +t 4 + (c) t 6 (+t ). EXERCICE Clculer les intégrles suivntes : b () (t )(b t) (b) (+t ) t + (c) te t Ln( t (d) ) t Ln(t) (e) t + t (f) 3 Ln(t) (+t 4 ) 3. EXERCICE Clculer les intégrles suivntes : + () Ln( + ) t + (b) Ln( +t t t ) ( +t ) + Ln(t) (c) +t
58 CHAPITRE 4. LES EXERCICES (d) (e) Ln(t) (+t) t +t+ t
59 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. EXERCICE On considere l'éqution diérentielle : (E) : ( )y + y =. ) Determiner les solutions dénies réspectivement sur chcun des intérvlles : I =], [; I =], [; I 3 =], + [ ) Montrer qu'il eiste une innité de solutions dénies sur I = ], [. 3) Montrer qu'il eiste une et une seule solution dénie sur R. EXERCICE Intégrer l'éqution (en précisnt les intérvllles de dénitions mimles.) ( + 4 5)y 3( + y) = ( + 5) 3 3. EXERCICE Intégrer l'éqution diérentielle : ( + )y + y + = 4. EXERCICE Intégrer les équtions diérentielles suivntes : () y sin () ytg() = tg() () y + y + y = sin() cos() 5. EXERCICE On considère l'éqution diérentielle suinte : (E) : ( )y + y = sin() + ) Résoudre (E) sur ], [ et sur ], + [ ( on lisser les solutions sous forme intégrle ). ) Soit ϕ l solution de (E) telle que ϕ() =. montrer que pour tout
6 CHAPITRE 4. LES EXERCICES n 4 on : ( )ϕ n () + ( )ϕ n () = n sin( + (n ). π ) 3) En déduire que ϕ est de clsse C sur ], [ et donner le dévelloppement limite de φ l'ordre 5 u voisinge de. 6. EXERCICE On considère l'éqution diérentielle : (E) : y (4 )y + (4 )y = Pour λ R, on pose u() = y().e ( λ.) ) Ecrire l'éqution (E λ ) que doit vérier u, sous l forme : (E λ ) : u + A()u + B()u = ou A() et B() sont des polynomes en. b) Ecrire l'éqution (E ) : que remrquez vous. c) Montrer que l'on peut choisir λ pour que B() soit de degré strictement < et résoudre l'éqution corréspondnte. d) Donner les solutions de (E)... 7. EXERCICE Intégrer les équtions diérentielles suivntes : ) ( )y = y +y ) y +( y)y = 3) y = e y 4) y = y + cos ( y ) 5) y + ytg() sin() = 6) y + y y Ln() = 8. EXERCICE Résoudre l'éqution diérentielle : y + y =. ) Montrer qu'il eiste une innité de fonctions dénie et contiues sur
6 l droite réelle qui pour < et > sont solutions de l'éqution diérentielle. b) Montrer qu'il eiste une seule qui est dérivble en. 9. EXERCICE Résoudre les équtions diérentielles suivntes : () y y y 3 = (b) y + y = 3 (c) y (y ) y = (d) y y = y. EXERCICE Soit (E) l'éqution diérentielle de Bernouilli dénie pr : y + y = y ( + 3) (E) () Résoudre (E) (b) Donner l solution prticulière y p vérint y p () = (c) Donner le développement limité à l'ordre u voisinge de zéro de y p. (d) En deduire l'éqution de l tngente en et l position de l courbe pr rpport à celle-ci.. EXERCICE Intégrer les équtions diérentielles suivntes en séprnt les vribles : y = e +y y + y y + y = yy ( y )y + y( ) =. EXERCICE Intégrer les équtions diérentielles linéires suivntes : () *) y = + y *) y = y +
6 CHAPITRE 4. LES EXERCICES (b) *) y y = Ln() *) y ycos() = sin() (c) *) (y y) = e *) y + ycotg() = e cos() vec y( π ) = 3. EXERCICE Résoudre les équtions diérentielles suivntes : () y = ( + y + ) (b) y = y + 3 + (c) y = tg ( + y) 4. EXERCICE Résoudre les équtions diérentielles suivntes( et m sont des prmétres réels) : y y + ( )y = y 3y + y = 3 y + y + y = cos(m) 5. EXERCICE Resoudre les équtions diérentielles du second ordre suivntes : y + y + y = e + e y y = e e y y + y = + e y + y + y = e sin () 6. EXERCICE Soit ϕ() = pour >. ) Clculer.ϕ + ϕ + ϕ. b) Résoudre l'éqution diérentielle suivnte : 7. EXERCICE.y + y + y = + 7 ( e ) + 3 On considére l'éqution diérentielle suivnte : y y + y = e + (E)
63 On pose z() = y()e ) Ecrire l'éqution diérentielle que vérier z si y est solution de (E). b) Résoudre l'éqution vérier pr z. c) En déduire les solutions de (E). 8. EXERCICE On considere l'éqution diérentielle suivnte : (F ) ( + )y + 4y + ( )y = On posnt z() = ( + )y() résoudre l'éqution (F ) 9. EXERCICE Considerons l'eqution dierentielle suivnte : () : y y y = 4 ) Verier que l foncyion y = est solution de l'eqution (). ) Montrer que y = y+z est solution de l'eqution () si est seulement si z est solution de l'eqution dierentielle : 3) resoudre l'eqution (). () z ( + 4)z z = 4) En deduire les solutions de ().. EXERCICE Resoudre les equtions dierentielles suivntes : () y = y( + y). (b) y = sin().sin(y). (c) yy = y. (d) + y = e y vec condition initile y() =.