MESURE ET INCERTITUDES Toute détermiatio expérimetale de la valeur d ue gradeur physique (métrologie) est etachée d ue erreur. Exemple : O souhaite mesurer ue résistace. Le coducteur ohmique dot o souhaite mesurer la résistace est braché aux bores d u ohmmètre. O utilise ue première techique de mesure utilisat «quatre fils» de liaiso etre le coducteur ohmique et l istrumet. Notre istrumet commuique avec u ordiateur et l o utilise u programme d acquisitio de doées. Ce programme effectue 000 mesures m de la résistace R, repère les valeurs m mi et m max, divise l itervalle [ m mi ; m max ] e 10 itervalles (classes), calcule le ombre de résultats das chaque classe et affiche les résultats sous la forme d u diagramme. O obtiet les résultats ci-dessous : Recommeços la mesure précédete e cofigurat otre istrumet e ohmmètre «deux fils», ce qui correspod à ue mesure courate de la valeur d ue résistace. O obtiet désormais les résultats suivats : 1/6
Des questios se poset au vu de ces résultats (plusieurs mesurages d ue même caractéristique doaiet souvet des valeurs différetes, la répartitio des résultats avait ue forme e cloche : les petites erreurs ot lieu plus souvet que les grades). 1. Pourquoi ue telle variabilité des résultats?. Pourquoi ces deux méthodes doet-elles des résultats différets?. Et efi, fialemet quelle est la mesure de la résistace cherchée? I La otio d erreur 1) Défiitio Vocabulaire : * Mesurage : esemble d opératios ayat pour but de détermier ue valeur d ue gradeur physique. * Mesurade : gradeur particulière soumise à mesurage (logueur, masse, itesité, ) : Y. * «Valeur vraie» d u mesurade : mesure que l o obtiedrait par u mesurage parfait. O e la coaît pas et o parle égalemet de «valeur théorique» : y 0. * Gradeur d ifluece : gradeur qui est pas le mesurade mais qui a u effet sur le résultat du mesurage : X i telle que Y = f(x 1, X,, X ). Exemple : U ou I pour le mesurade R( U,I) = U I. Pour le mesurage i d ue gradeur physique, o obtiet comme résultat : y i = y 0 + e i où y 0 est la valeur vrai (icoue) et e i l erreur commise. Cette erreur, aléatoire, explique la variabilité des résultats et a plusieurs causes : * la gradeur à mesurer est pas parfaitemet défiie : la largeur d ue table (pas parfaitemet rectagulaire, irrégularité de la surface, ), la surface d u liquide est pas plae (tesio superficielle), * les coditios eviroemetales évoluet (température, pressio, ). * l istrumet de mesure est source d erreur (temps de répose, exactitude, sesibilité). * l opérateur e refait jamais la même mesure exactemet das les mêmes coditios (fatigue, erreurs de parallaxe, ). Au total, pour l esemble du mesurage, o obtiet : Y = y 0 + E où y 0 est la valeur vrai (icoue) et E est l erreur commise. L objet du calcul d icertitude sera de détermier : * les paramètres de la loi de probabilité de E. * u itervalle dot o puisse s'attedre à ce qu'il compree ue fractio élevée des valeurs qui pourraiet raisoablemet être attribuées au mesurade. ) Les deux composates de l erreur a) La composate aléatoire Elle proviet des variatios temporelles et spatiales o prévisibles de gradeurs d ifluece. Ces derières etraîet des variatios pour les observatios répétées du mesurade (bie que le mesurage soit effectué das des coditios aussi costates que possible). L erreur aléatoire est liée aux coditios opératoires. Bie qu il e soit pas possible de compeser l erreur aléatoire d u résultat de mesure, elle peut être réduite e augmetat le ombre d observatios. b) La composate systématique Elle proviet d u effet recou d ue gradeur d ifluece, peut être quatifiée et corrigée (mais cotrairemet à la précédete e peut pas être réduite e augmetat le ombre d observatios). Sources : présece d istrumets de mesure (exemple du début : différece d eviro 0,4Ω pour la résistace etre les deux méthodes due à la résistace des fils, motages logue et courte dérivatio pour la mesure d ue résistace e TP, ), décalage de zéro (volume mort sur la loi de Mariotte e TP, ), c) Coclusio Illustratio : tir das ue cible /6
Au total : Résultat du mesurage : Y = y 0 + E avec E = Δ +ε, Δ erreur aléatoire et ε erreur systématique. E gééral, la moyee est la meilleure estimatio de la gradeur mesurée : Y = y i pour ue «ifiité» de mesures (rappel : y i = 1 y i pour mesures). ε 1 Δ i y 0 Y y i Valeur vraie Résultat d ue mesure Moyee d ue ifiité de mesures Si : ε = y i y 0 = Y y 0 soit Y = y 0 +ε. Et pour ue mesure : Δ i = y i y i = y i Y soit y i = Y + Δ i. II La otio d icertitude 1) Défiitio Sigifie doute (u pour ucertaity). Paramètre associé au résultat d u mesurage caractérisat la dispersio des valeurs qui pourraiet être raisoablemet attribuées au mesurade. ) Icertitude-type Icertitude-type sur Y otée u(y) et mesurat la dispersio des valeurs. Il existe deux modes d évaluatio suivat la maière de procéder. a) Evaluatio de type A (icertitude de répétabilité) Traitemet statistique utilisé lorsque o établit ue série de plusieurs mesures. /6
Si ue gradeur Y est estimée à partir de observatios répétées et idépedates y i, alors l icertitude-type u(y) sur so estimatio est de : N u(y) = σ 1 = 1 i=1 ( y i y ) avec y = 1 y i la moyee et σ 1 l écart type (racie carré de la variace) doé par les foctios statistiques d ue i=1 calculatrice ou d u tableur. Exemple : des mesures de résistaces ot doé R = 54, 59, 55, 57 et 50 Ω. 54 + 59 + 55+ 57 + 50 r = = 51Ω. 5 ( 54 51) + ( 59 51) + ( 55 51) + ( 57 51) + ( 50 51) σ 1 = =,9Ω et u(r) =,9 4 5 = 1,5Ω. O peut utiliser ue calculatrice ou u tableur (Excel par exemple) pour effectuer ces calculs. b) Evaluatio de type B Traitemet probabiliste utilisé lorsque l estimatio d ue gradeur e peut pas être obteue à partir d observatios répétées. Si l o sait raisoablemet que les valeurs de la gradeur X sot comprises etre M d et M + d, le choix de la loi de propagatio de X etre M d et M + d va décider de l icertitude-type reteue : 1 * Si l o suppose que la loi est ormale (gaussiee), o predra u(x) = d = 0,d. * Si l o suppose que la loi est triagulaire (uiforme), o predra u(x) = d 6 = 0,41d. * Si l o suppose que la loi est rectagulaire, o predra u(x) = d = 0,58d. Desité de probabilité (fréquece) e foctio de x Loi ormale Loi triagulaire Loi rectagulaire O remarque sur les résultats précédets que l hypothèse d ue loi triagulaire est u bo compromis etre les lois ormales et rectagulaires. Cas courats e pratique : * Echelle graduée : O peut motrer que u(y) = d = d où d est la résolutio (plus petite graduatio). 1 Exemple : u(y) = 0,9 C avec u thermomètre gradué e degré Celsius. * Appareil umérique : u(y) = p où p est la précisio, le plus souvet le derier digit plus u pourcetage de la valeur lue. 0,01+ Exemple : u(y) = 100 1,6 = 0,0mA pour u ampèremètre affichat 1,6 ma et dot la otice idique pour la précisio 1 digit + % de la valeur lue. * Istrumet de mesure de tolérace coue (t) : Si l o suppose que les valeurs affichées suivet ue loi rectagulaire (même probabilité sur l esemble de l itervalle de mesures), o predra alors : 4/6
u(y) = t. Cepedat, s il y a des raisos de peser que les valeurs situées près de 0 sot plus probables que celles situées près de t ou t o pourra peser que la loi de propagatio de l erreur est ormale ou par prudece triagulaire ; o predra alors : u(y) = t ou u(y) = t 6. Exemple : pour ue pipette jaugée de 10,0 ml de classe A dot la tolérace est de ± 0,0 ml, o a u(y) = 0,0 = 0,01mL. Exemple : Les quatre aeaux de couleur caractérisat la résistace sot Bru, Noir, Noir, Or. La résistace est doc égale à 10 5 R = 10 Ω ± 5%. L icertitude type associée est égale à : 100 = 0,9Ω. Exemple : Thermomètre : «Rage -00 to +700 C, Temperature resolutio below 700 C : 0,01 C.» O cosidère que l idicatio costructeur est l icertitude maximale liée à la résolutio. L icertitude due à la résolutio associée à ue mesure est : 0,01 = 0,0058 C. Exemple : Boîte à décades : «Rage : 1 Ω to 1,11 M Ω, umber of decades : 5, full scale accuracy 0,1 %.» O cosidère que l idicatio du costructeur est l icertitude maximale. L icertitude de type B associée à ue boîte réglée sur 10 kω est : 5/6 10000 0,1 100 = 5,8Ω. c) Cas gééral où il y a plusieurs composates idépedates de l erreur Erreur : E = E 1 + E +...+ E où les E i sot des composates idépedates de l erreur. ( ) = u ( E 1 ) + u ( E ) +...+ u ( E ). u Y Exemple : ue burette graduée de tolérace ± 0,05 ml est graduée e dixième de ml. Alors u(y) = 0,1 + 0,05 1 = 0,04mL. ) Icertitude-type composée (propagatio des icertitudes) a) Cas gééral Das le cas d u mesurade dépedat de gradeurs d ifluece : y = f(x 1, x,, x ). avec x 1, x,, x idépedates. Alors l icertitude-type composée sur y otée u c (y) est telle que: u f c (y) = u ( x i ) où u(x i ) est l icertitude-type sur x i. x i b) Cas particuliers simples * Somme z = x + y x = 1 i=1 y = 1 u c ( z) = u ( x) + u ( y) u c ( z) = u ( x) + u ( y) Exemple : pour ue double lecture : u doublelecture = ( u lecture ) = u lecture Avec ue règle graduée e millimètres, l icertitude sur ue distace d est 1 1 = 0,4mm. Exemple : deux résistors e série de résistaces R 1 = R = 1,0 kω coues à 5% près, R = R 1 + R u (R 1 ) = u (R ) = 50Ω ; u c (R) = 71Ω avec R =,0 kω ; u c (R) R =,5%. * Différece z = x y u c z * Produit x = 1 y = 1 ( ) = u ( x) + u ( y) u c ( z) = u ( x) + u ( y) z = xy x = y y = x
u c ( z) = y u ( x) + x u ( y) * Quotiet z = x y x = 1 y u c ( z) = 1 y u ( x) + x y 4 u ( y) Exemple : R = U I Icertitude relative : u c( R) u c ( z) z y = x y u c ( z) z = u ( x) x = u ( x) x + u ( y) y u c ( z) = z + u ( y) y u c ( z) = z u ( x) x u ( x) x + u ( y) y + u ( y) y avec U = 0 V ; I = 100 ma ; u(u) = 0,4 V ; u(i) = 1 ma. R = 00 Ω. ( ) + u ( I) = I,%, R = u U U soit u c (R) = 4,47Ω doc R = 00 Ω ± 4,47 Ω, soit 196 Ω < R < 04 Ω. E résumé, pour ue somme ou ue différece o ajoute les u y ( ). Pour u produit ou u quotiet, o ajoute les u ( y) * Multiplicatio par u ombre exact Ue gradeur y peut être obteue à partir d ue gradeur y 0 multipliée par u ombre exact A. O a alors y = A y 0. Das ce cas, l icertitude u(y) est doée par : u(y) = A.u(y 0 ). Ce résultat est pas le même que celui obteu pour ue somme, car, das ce cas, les gradeurs e sot pas idépedates. Exemple : si l o mesure 10 logueurs d ode λ, o a u(λ) = u(10λ). 10 c) Opératios multiples Exemple : deux résistors e dérivatio de résistaces R 1 = R = 1,0 kω coues à 5% près R = R 1 R R ( R = R 1 + R ) R 1 R R 1 + R R 1 ( R 1 + R ) = R R = 1 R 1 + R R R 1 + R u (R 1 ) = u (R ) = 50Ω ; u c (R) = R u R 1 R 1 + R 4 ( ) + R 1 R 1 + R 4 u ( R ) = 18Ω avec R = 0,5 kω ; u c (R) R =,5%. Pour les cas complexes, il existe des logiciels permettat d automatiser les calculs, comme GUM_MC utilisé e TP par exemple. 4) Icertitude élargie O cherche à défiir u itervalle dot o puisse s attedre à ce qu il cotiee ue fractio élevée de la distributio des valeurs qui pourraiet raisoablemet être attribuées à Y. Plus précisémet, o aimerait pouvoir détermier u ombre k tel que U(y) = ku c (y) de faço à pouvoir affirmer que y U(y) Y y +U(y) avec ue probabilité proche de 1. U(y) est appelée icertitude élargie, et k le facteur d élargissemet. E gééral, o cosidère ue loi ormale (gaussiee). O parle de loi ormale lorsque l o a affaire à ue variable aléatoire cotiue dépedat d u grad ombre de causes idépedates dot les effets s additioet et dot aucue est prépodérate. O pred k = pour u itervalle de cofiace de 95% : l itervalle [ y u c (y), y + u c (y)] cotiet eviro 95% des valeurs que l o peut raisoablemet associer à la gradeur Y. O pred k = pour u itervalle de cofiace de 99%. O utilise aussi la loi de Studet pour de petits échatillos : 4 5 10 15 0 5 0 40 50 100 00 k 95% 1,7 4,0,18,78,6,15,09,06,04,0,01 1,98 1,97 1,96 k 99% 6,7 9,9 5,84 4,60,5,98,86,79,76,70,68,6,60,58 Elle redoe ue loi ormale quad k ted vers l ifii e théorie, e pratique quad k deviet assez grad ( 0). y. 6/6