Lycée Max Lider Termiale S Exercices: suites umériques Exercice: Étudier le sesde variatiode la suite(u ) : u = ( 0) 2 u =2 ( 0) 3 u =2 ( ) 4 u =2 ( 0) u = 2 4+3( 0) 6 u = 3 ( ) 7 u =( 0,8) ( 0) 8 u = 0,8 ( 0) 9 u = 0 u = k= k=0 k ( ) ( ) k 2k+ ( 0) Exercice2: Odéfiit lasuite (u ) par : 0 = u + = 2 u +3=f (u ) où f (x)= 2 x+3 Représeter lafoctiof et la droited équatio y =x sur u même graphique Costruire les premiers termes de la suite sur l axe des abscisses 2 Motrerpar récurrece que pour tout N, u <u + Qu edéduit-o pour la suite(u )? Exercice3: Odéfiit (u ) la suitedéfiiesurnpar : u =2 Cojecturer à l aidede la calculatrice la limitede la suite (u ) quad tedvers + 2 Résoudre l iéquatiou >Ad icoue où Aest u ombreréel cou 3 Justifier que (u ) a pour limite+ e + Exercice4: Odéfiit (v ) lasuite défiiesurnpar : v = 4+ Cojecturer à l aidede la calculatrice la limitede la suite (v ) quadted vers + 2 Résoudre l iéquatiov <Ad icoueoù Aest u ombreréel cou 3 Justifier que (v ) a pour limite e + Exercice:Le derier mot z Détermierla limitede la suite(z ) défiiepar : =( ) si 00 z = 2 si>00 k Détermierla limitede la suite(k ) défiiepar : = si 0 6 k = si >06 P Flambard Page sur 6 Aée scolaire 20-206
Lycée Max Lider Termiale S Exercice6: (u ) est la suitedéfiie par u = pour >0 À partir de quel etier, u appartiet-il à l itervalle: (a) ] 0,;0,[ (b) ] 0,0;0,0[ (c) ] 0 6 ;0 6[ 2 Illustrer par u schéma à mai levée 3 Quelle est lalimitede lasuite (u )? 4 Repredre l exercice pour la suitev défiie par : v = ( ) Exercice7: Doerla limite,sielle existe,de la suite de terme gééral: 2,3 2 ( 0,9) 3 2,7 4 3 ( ) 7 6 ( 2) 7 π ) 8 ( 4 9,2 0 0,99 3 2 2 4 ( 2 3 ) 3 2 4 si(2 ) 2 6 3 7 2 8 (3+4)( 2 +) 9 4 cos() 20 + 2 ( + 22 2 2 23 ) 3 2 + 4 2 + 24 ( 2 ++3) Exercice8: Détermierlalimitede la suite (u ) défiiesurnpar u = Exercice9: Motrerque lasuite (u ) défiiesurnpar : u = 2 3 + 3 +4 ( ) 2 k 3 k= coverge vers 2 Exercice 0: Détermier la limite des suites suivates, défiies par leur expressio u = 2 +cos() v = +( ) w = 3 +4 2 2 + z = 3+ 2 2 + r = 2 ( 3+) a = 2 b = ( ) + c = +( ) 2 ( ) ( 2+ ) α = β = 2 2 +3 γ =4 +( 2) +4 δ = 2 3 4 + Exercice : Démostratios & cotre-exemples Existe-t-il des suites(u ) et (v ) tellesque : lim + u =+ et lim + v =+ et lim + 2 lim + u =+ et lim + v =+ et lim + u =+? v u =0? v 3 lim u =+ et lim v =0 et lim u v =+? + + + 4 lim u =+ et lim v =0 et lim u v =0? + + + lim u =+ et lim v =0 et lim u v =3? + + + P Flambard Page 2 sur 6 Aée scolaire 20-206
Lycée Max Lider Termiale S Exercice 2: D après ce graphique, proposer trois miorats et trois majorats évetuels de la suite représetée ci-dessous: 2 3 4 6 7 8 9 0 Exercice 3: Motrerdaschaque cas suivatque lasuite (u ) est mioréepar m et majorée par M : u =2 pour ; m=0; M=2 2 u =+si()pour 0; m=0; M=2 3 u = 2+ 3 pour 0; m= ; M=2 4 u = + 3 pour ;m=0; M=2 2 u = + pour 0;m=0; M= 6 u = 0 =4 u + = 3 u 2 ; m= 3; M=4 Exercice4:Êtreou e pasêtre borée L affirmatio suivate est-elle vraie ou fausse? «La suite ( +( ) ) estborée par et +» Exercice : 0 =0 Odéfiit lasuite (u ) par u + = u2 8 +2 Motrerque pour tout N, 0 u 2 Qu edéduit-o pour lasuite (u )? Exercice 6: Motrerque lasuite (u ) défiiepar 0 = 2 u + = 2 u +3 sur sa limite est majorée par 8 et est croissate Coclure Exercice 7: La foctiof est défiiesur ] ;6[par f (x)= 9 6 x et lasuite (u ) par Motrerque six<3, alors 9 6 x <3 2 E déduire que pour tout N, u <3 3 Étudier le sesde variatiode la suite (u ) 4 Que peut-o e déduire pour la suite (u )? Opose pour tout, v = u 3 Démotrerque la suite(v ) est ue suite arithmétiquede raiso 3 2 Détermierl expressioexplicite de (v ) puis de (u ) 3 Détermierla limitede lasuite (u ) 0 = 3 u + =f (u ) P Flambard Page 3 sur 6 Aée scolaire 20-206
Lycée Max Lider Termiale S Exercice 8: (u ) est la suite défiie par so premier terme u 0 et par la relatio u + = f (u ) où f est la foctio défiie sur [ ;+ [ représetée ci-cotre Oareprésetéeoutreladroited équatioy =x Émettre des cojectures sur la suite (u ) quad : 4 3 2 u 0 = 0, 2 u 0 =0 3 u 0 =4 4 u 0 =2 u 0 [ ;2[ 6 u 0 ]2;+ [ - - 2 3 4 Exercice 9: 4 3 (u ) est la suite défiie par so premier termeu 0 etparlarelatiou + =f (u )où f estlafoctiodéfiiesurrreprésetée ci-cotre Oareprésetéeoutreladroited équatioy =x Émettredescojecturessurlesesdevariatio et la limite de la suite (u ) suivatles valeursde u 0 : - -4-3 α - 2 - β 2 3 4-3 Exercice 20: O a représeté ci-cotre les premiers termes de la 0 = suite (u ) défiie par u + = 4u aisi que la u +2 courbe représetative de la foctiox 4x x+2 Émettre ue cojecture sur le ses de variatio et la limitede cette suite u u 2 u 3 2 Démotrer par récurrece que pour tout, u >0Démotrerlescojectures 3 Démotrer que la suite (v ) défiie pour tout par v = u est arithmétique E déduire u e foctiode u 3 u 2 u u 0 P Flambard Page 4 sur 6 Aée scolaire 20-206
Lycée Max Lider Termiale S Exercice 2: La suite (u ) est croissateet o majorée (a) Pour u ombreréel A>0 doé,justifierqu il existe u terme u N vérifiatu N >A (b) E déduire que la suite (u ) a pour limite+ v 2 La suite (v ) est défiiepar 0 =3 v + =v 3v 2 +4 (a) Motrerque la suite(v ) est croissate (b) Motrerque la suite(v ) coverge, alorselle covergevers 2 (c) La suite (v ) peut-elle être majorée? E déduire salimite Exercice 22: Suite factorielle Pour u etieraturel,le ombre! («factorielle») est défiipar!= 2 avec la covetio0!=(! est docle produit des premiers etierspositifs) (a) Détermierlesvaleurs!; 2!; ; 6! (b) Justifier pour tout la formulede récurrece :! (+)=(+)! (c) Estimeràl aidede lacalculatrice (meumath, ogletprb, «!») lesvaleurs de 69! et 70! Que costate-t-o? (d) Justifier la limitede la suite(!) 2 O pose g = 2! (a) Détermier les six premiers termes de cette suite (b) Doer u miorat de cette suite (c) Motrerque pour tout 2, u + 3 4 u ( ) 3 (d) Motrerque pour tout 2, u 4 E déduire la limitede la suite(u ) Exercice 23: ( ) 3 ( ) +3 (u ) est la suitedéfiie pour tout etieraturel >0 par u = 4 4 Vérifier que pour tout >0, u + = 3 ( + ) u 4 +3 2 E déduire qu il existeu rag N tel que pour tout N, u + u 3 4 + 8 3 E déduire que la suite (u ) coverge Oote l sa limite 4 Si l >0,motrerque ) l oaboutit à ue cotradictioose servirade la limitede la suite ( u+ u E déduire la limitede la suite(u ) P Flambard Page sur 6 Aée scolaire 20-206
Lycée Max Lider Termiale S Exercice 24: Flux de liquidités U baquierrecevatu dépôt iitialde S =0000e, eremet 80%e circulatiosous formede prêts et e coserve 20%sous formede réserveo ote E le motatde cette première réserve Du fait de l activité écoomique, les sommes prêtées reviet vers la baque où elles apparaisset comme u ouveaudépôt S 2 qui seratraitéselole même processus : 80%remise circulatio,20% e réserve Le dépôt iitialegedreue suite (S ) de dépôts successifset ue suite(e ) de misese réserve (a) Calculer S 2 ; S 3 ; E ; E 2 (b) Exprimer S e foctiode S pour 2 (c) E déduire S efoctiode 2 O faitle bilaaprès misese dépôt (a) Exprimer e foctiode la sommetotale D que labaque a reçue (b) Calculer la réserve totale que la baque a iscrite e réserve 3 (a) Motrerque la limiter de la suite(r ) est égale au dépôt S (b) Détermierla limited de la suite (D ) Quelle est l iterprétatioécoomiquede la différeced S? Exercice 2: Divergece Doerue valeur approchée à 0 3 près de cos()et si() 2 Motrerque pour tout N, si(+)=si()cos()+cos()si(); cos(+)=cos()cos() si()si() 3 O pose pour tout N, u =cos() et v =si() et o suppose que lasuite (cos()) coverge vers l (a) À l aidede la questioprécédete, motrerque la suite (v ) coverge aussiet préciser sa limite (b) E déduire alorsque l =0 (c) E utilisatlarelatiofodametalede latrigoométrie,motrerque l 2 = (d) Que peut-o alors coclure? 4 Motrerque lessuites (si()) et (cos()) divergetsaslimite Exercice26: O pose 0 = 2 u + =0,u +2+2, O suppose que lasuite (u ) coverge vers u ombreréel l (a) Quelle est alorsla limitede (u + )? Et celle de (u + 0,u )? (b) coclure sur la covergecede lasuite (u ) 2 O pose v =u 4+3pour tout (a) Motrerque la suite(v ) est géométrique (b) Exprimer v puis u efoctiode (c) E déduire la limitede la suite(u ) P Flambard Page 6 sur 6 Aée scolaire 20-206