Chap. 6 PROBLEMES D'ELECTROMAGNETISME Poblème 1 Condensateu en égime vaiable (extait de l'examen S3SMPE 2002-2003) On considèe un condensateu plan à amatues ciculaies, de ayon a, distantes de d, alimenté pa une tension sinusoïdale u(t)=u 0 cos(ωt), de féquence 50Hz. Le champ électique céé pa cette tension ente les amatues est unifome et diigé suivant z, sa valeu est : E = E 0 cos(ωt). Dans ce poblème, on néglige les effets de bod. u a z d 1- Expime la elation ente u 0 et E 0 donnée pa l électostatique. 2- Expime l énegie électique Ue emmagasinée pa le condensateu, sachant que 1 2 l énegie électique pa unité de volume est égale à ε 0E. Donne la valeu 2 moyenne Ue de Ue dans le temps. 3- Le caactèe sinusoïdal de la tension d alimentation conduit à l existence d un champ magnétique ente les amatues. * Monte pa des aguments de symétie que ce champ B est diigé suivant le vecteu unitaie e θ ; on utilisea les coodonnées cylindiques (,θ,z) autou de l axe Oz. * De quelle(s) vaiable(s) (,θ,z) dépend-il à pioi? * En utilisant l équation Rot B E = ε o µ o que l on justifiea, monte que le champ magnétique B ε 0µ 0ω vaut B = E0 sin( ωt) eθ. 2 (Rot B ) = 1 B z θ B θ z On donne : Rot B = (Rot B ) θ = B z B z (Rot B ) z = 1 (B θ ) 1 B θ 4- Expime l énegie magnétique U emmagasinée dans le condensateu sachant que l énegie magnétique pa unité de volume est égale à 1 1 B 2. 2 µ 0 Monte que : Um = a 2 ω 2 Ue. 8c 2 Monte qu à la féquence de 50Hz l énegie électomagnétique totale se éduit à l énegie électique. On penda a=10cm. 5- Rappele la définition du vecteu de Poynting et expime le. 6- Expime son flux à taves la suface latéale du condensateu (bande cylindique de hauteu d) Ondes OEM 6-1
7- Monte que ce flux est égal à Ue. 8- Ce champ magnétique vaiable peut lui aussi induie un champ électique induit E diigé suivant z dont nous n avons pas tenu compte dans ce qui pécède. En utilisant l équation Rot E = B, monte que le champ induit E est tel que : E ' = 2 ω 2 E et qu il est bien négligeable dans un condensateu usuel à 50 Hz. 4c 2 A quelles féquences n est-il plus négligeable? (on penda a=10cm). Poblème 2 ***** Un solénoïde de longueu b tès gande devant son ayon compote n spies jointives pa unité de longueu. 1- Il est pacouu pa un couant continu d intensité I. 2- Quel est le champ magnétique en tout point de l espace? le champ électique? 3- Quel est le coefficient d auto-induction pa unité de longueu du solénoïde? On place une petite bobine de ayon compotant N spies à l intéieu du solénoïde de façon à ce que les axes du solénoïde et de la bobine soient paallèles. 4- Quel est le flux du champ magnétique à taves la bobine? 5- Quel est le coefficient de mutuelle induction solénoïde-bobine? 6- Le solénoïde est maintenant pacouu pa un couant sinusoïdal de pulsation ω et d amplitude Io. On suppose que l expession du champ magnétique statique este valable. 7- Expime le f.e.m. induite dans la bobine ainsi que le couant qui pacout sachant que sa ésistance est R. 8- Quel est le champ électique induit dans la bobine? 9- On va etouve cette expession à pati de l une des équations de Maxwell, celle de Maxwell.Faaday 10- Pa des considéations de symétie, indique dans quelle diection est le champ électique induit? De quelles vaiables dépend-il? 11- En utilisant les coodonnées cylindiques (,θ,z) et : 1 E z θ E θ z E Rot E = z E z, monte que E θ = B 2. 1 (E θ ) 1 E θ 12- On place un baeau métallique de longueu L, de ayon b, de conductivité γ le long de l axe du solénoïde, les axes du cylinde et du solénoïde étant confondus. Monte qu il appaaît un couant induit dont la densité est notée j. 13- La puissance électique pa unité de volume dissipée dans le baeau étant 1 j. E = 1 2 2 γe2, en déduie la puissance électique n moyenne dans le temps dissipée dans le baeau. Ces couants s appellent des couants de Foucault. AN : L=10cm, R=1cm, ν=50hz, γ=5.8 10 7 Ω -1 m -1, Bo=10 mt Ondes OEM 6-2
14- Qu en est-il des couants induits dans le cylinde quand l axe de celui-ci ne coïncide plus avec l axe du solénoïde? 15- On emplace le cylinde plein pa des tiges de diamète 10 fois plus petits ecouvetes d une pellicule isolante, seées les unes contes les autes, la section totale étant la même que celle du cylinde. Quel est le nombe de tiges? Que devient la puissance dissipée pa les couants de Foucault? 16- On considèe toujous le même solénoïde et on place dedans un aute solénoïde de même longueu, avec le même nombe de spies pa unité de longueu mais de diamète d plus petit. Les extémités de ce deuxième solénoïde dont on négligea la ésistance sont eliées pa une ésistance R. 17- Rappele l expession du champ magnétique Be céé pa le pemie solénoïde. Il va cicule dans le second solénoïde un couant I. Quel est le champ magnétique Bi céé pa ce couant? 18- Expime le champ magnétique total Be+Bi. En déduie la f.e.m. induite dans le second solénoïde en fonction notamment de di'. En appliquant la loi d Ohm au dt second solénoïde, établi l équation difféentielle à laquelle satisfait I. La ésoude en égime pemanent. 19- Que vaut le champ magnétique total au sein du second solénoïde? Dans quelle condition, ce solénoïde peut-il joue le ôle d une cage de Faaday magnétique? ***** Poblème 3: Popagation d onde dans une ligne coaxiale -I I z 1 Dans ce poblème, on étudie la popagation d ondes dans une ligne coaxiale cylindique d axe Oz constitué d un conducteu cental plein de ayon 1, l âme, sépaé pa le vide d un conducteu ceux de ayon 2 (la gaine). On utilisea les coodonnées cylindique (ρ,θ,z) et le epèe local associé. L âme est pacouue pa un couant I(z,t) et la gaine pa I(z,t). Au couant I(z,t) on associe une chage Λ(z,t) pa unité de longueu du conducteu. La loi de consevation de la chage se taduit pa une elation ente I et Λ. 2 1. Monte que : Λ = I z 2. Monte pa des considéations de symétie que le champ magnétique est diigé suivant e θ et que le champ électique est dans le plan (ρ,z). De quelles vaiables dépendent-ils? 3. On admet que la composante du champ électique suivant z est nulle. 17- Tace les lignes de champ électique et magnétique dans un plan z=constante. 18- Détemine la valeu du champ électique ente les conducteus (on utilisea le théoème de Gauss). 19- Enonce le théoème d Ampèe généalisé et détemine B. 4. Rappele l équation locale de l induction (Maxwell Faaday). Ecie l équation eliant E et B. en déduie une seconde elation ente I et Λ. 5. A pati des ésultats pécédents, établi l équation de popagation du couant dans la ligne. Ondes OEM 6-3
Donne la fome généale de la fonction I(z,t) et la valeu de la vitesse de popogation c de l onde de couant. Véifie que Λ, E et B véifient la même équation. Calcule le appot E/B pou une onde pogessive. Monte que E et B coespondent aux champs électique et magnétique d une onde plane se popageant dans le vide. Est-elle homogène. 6) On étudie une solution de la fome I(z,t)=I o cos(ωt)cos(kz). Pécise la signification de ω et k. Est-ce une onde pogessive? Si non, quelle est sa natue? Calcule Λ(z,t), donne l expession de E et B. Détemine le vecteu de Poynting P (ρ,z,t) ainsi que sa valeu moyenne dans le temps. Conclusion? Calcule la densité d énegie électomagnétique ainsi que sa valeu moyenne dans le temps. En déduie l énegie moyenne emmagasinée pa unité de longueu ente l âme et la gaine. AN : Io=0.15 A et 2/1=10. ******* 4- Poblème 4: Détection d une onde adio (extait du patiel SM nov 2000) Une onde électomagnétique sinusoïdale généée pa un émetteu adio a une pulsation ω. On l assimilea à une onde plane pogessive homogène dans ce poblème se popageant dans la diection Oz. Cette onde est polaisée ectilignement dans la diection Ox. Au point oigine O, le champ électique est E o cos(ωt). On supposea que la popagation dans l ai est semblable à celle dans le vide. 9- Donne l expession éelle du champ électique et du champ magnétique au cous du temps en un point (x,y,z) quelconque. Les epésente su un schéma. 10- Expime la densité d énegie associée à l onde ainsi que sa valeu moyenne dans le temps, le vecteu de Poinyting associé ainsi que l intensité de l onde. Calcule l intensité de l onde pou Eo=5 10-3 Vm -1 1. Rappel : ε o =. 9 36π10 11- Cette onde est détectée à l aide d une bobine plate compotant N spies ciculaies de ayon. Cette bobine centée en O est pependiculaie à l axe Oy. Le sens de pacous positif est le sens diect autou de Oy. Quelle est la f.e.m. induite pa l onde adio dans cette bobine? Calcule l amplitude de vaiation de cette f.e.m. pou : ν=1mhz, N=30,=10cm. Que devient cette f.e.m. si on incline la bobine d un angle θ ves la diection Oz? Pou quelle valeu de θ, la f.e.m. est-elle maximale? Monte qu en plaçant une plaque métallique plane conductice de façon judicieuse, il est possible d accoîte le niveau du signal dans la bobine. 12- Cette bobine fait patie d un cicuit dans laquelle la f.e.m. fait cicule un couant i(t). Ce couant génèe dans la bobine un champ magnétique B. Calcule ce champ au point O, cente de la bobine, en supposant que toutes les spies sont situées dans le même plan. Quel est le flux de ce champ à taves la bobine en supposant que le champ magnétique a la même valeu en tout point du disque limité pa la spie que celle calculée en O? Quel est le coefficient d auto-induction de la bobine? (µo=4π10-7 SI) Ondes OEM 6-4
13- Pou détecte le signal de l onde adio, la bobine est femée su un condensateu dont la capacité est C. le cicuit ainsi constitué est un cicuit RLC : R est la ésistance de la bobine, L son inductance. Le signal détecté est maximal quand : LCω 2 = 1. Tout se passe alos comme si on pouvait néglige l auto-induction et le condensateu : ceci evient à die que seule la ésistance R compte. Que vaut alos l amplitude Io des oscillations du couant dans le cicuit? 14- Quelle est la valeu de C pou que le cicuit soit accodé? Que vaut Io si C=10Ω? Ondes OEM 6-5