ANALYSE DE FOURIER (768-83)
ANALYSE DE FOURIER Séries
.Défiitio Série de Fourier: Soit f ue foctio périodique de période π/ω, so développemet e série de Fourier est doé par: Les coefficiets a et b dépedet de f selo: + + + si cos si cos x b x a a x b x a ω ω ω ω + + + dx x x f b dx x x f a dx x f a α α α α α α ω ω )si ( )cos ( ) (
. Défiitio Série de Fourier complexe: Les formules d Euler permettet de trasposer l écriture précédete sous forme complexe cos ωx exp i [ exp( iωx) + exp( iωx) ] si ωx [ exp( iωx) ( iωx) ] L écriture complexe de la série de Fourier est: a cos ωx + b si ωx c exp ( iωx) O peut motrer que c ( a ib )
. Propriétés héorème de covergece: Soit ue foctio f périodique de période π / ω vérifiat les hypothèses suivates : f est cotiue sur tout itervalle [a, a+] sauf évetuellemet e u ombre fii de poits de discotiuité. f admet e tout poit de cet itervalle ue dérivée à droite et ue dérivée à gauche Das ce cas, la série de Fourier de f est covergete sur R et a pour somme, e tout poit où f est cotiue : ( a cos ωx + b ωx) f ( x) a + si
. Propriétés f est alors décomposée e la somme : d u terme costat, valeur moyee de f sur l itervalle cosidéré. d ue ifiité de termes siusoïdaux appelés harmoiques. Pour les poits de discotiuité, la série de Fourier coverge vers : f ( x + ) + f ( x ) Les quatités f(x±) correspodet aux limites à droite et à gauche du poit x.
. Propriétés Propriétés des coefficiets: Soit f ue foctio développable e série de Fourier : O vérifie alors les propriétés suivates : les limites de suites de terme gééral a et b tedet vers quad ted vers l ifii. les coefficiets de Fourier sot idépedats de l itervalle [a, a+] choisi. f ( x) a cos ωx + b si ωx c exp( iωx)
. Propriétés das le cas où f est paire, la série de Fourier est ue série de cosius. f ( x) a cos ωx Si f est impaire, la série de Fourier est ue série de sius. a a 4 f f ( x) ( x) dx cos ωx dx 4 f ( x) b si ωx b f ω ( x) si x dx
3. Formule de Bessel-Parseval Aspects d algèbre liéaire: Soit f ue foctio de période développable e série de Fourier f ( x) c exp( iωx) Cette écriture peut s iterpréter comme l expressio de f e combiaiso liéaire ifiie de foctios ϕ : ϕ( x ) exp( i ω x ) avec Le développemet de Fourier de f représete la décompositio de f selo la base orthoormée exp( iωx), Z
3. Formule de Bessel-Parseval Coséqueces: Le coefficiet c est la composate de f selo soit c f ) ( x) exp( iωx dx ϕ exp( iωx) E associat le produit scalaire gééralisé, o motre que: f c soit f ( x) dx a + a + b
4. Sigificatio physique U sigal temporel de période π/ω est développable e série de Fourier: ( a cos ωt + b ωt) f ( t) a + si Il s agit de la somme : d u terme costat a qui correspod à la valeur moyee de f sur ue période D u ombre ifii de termes siusoïdaux de périodes,/,, / Le terme de période est appelé le fodametal, les termes suivats harmoiques
4. Sigificatio physique L harmoique de rag s écrit: a A correspod à l amplitude π/ω est la période ω est la pulsatio u u A cos ωt + b cos ( ωt ϕ ) si ωt avec A ta a + b b ϕ a ϕ la phase Das la pratique, la somme des premiers harmoiques suffit à représeter la foctio de maière satisfaisate
4. Sigificatio physique Applicatio de la formule de Bessel-Parseval: Si f représete u sigal périodique, l éergie de f est équivalete à: L éergie au rag est doc: La formule de Bessel-Parseval peut doc s écrire: ( ) ( )dt t f f E ( ) [ ] ( ) si cos b a u E dt t b t a u E + + ω ω ( ) [ ] K +K + + + + + A A A a E a f E
4. Sigificatio physique f ( t) ( a cos ωt + b ωt) a + si
4. Sigificatio physique f ( t) ( a cos ωt + b ωt) a + si
4. Sigificatio physique Aspect spectral:
4. Sigificatio physique Aspect spectral:
ANALYSE DE FOURIER rasformées
.Défiitio rasformée de Fourier: Soit f ue foctio défiie sur R vérifiat: f cotiue et dérivable sur tout [-a,+a] f absolumet itégrable sur R Sa trasformée de Fourier est: F : f ( x) a F [ f ( x) ] R C F( ν ) f ( x)exp( iπνx) dx Différetes écritures sot possibles selo la spécialité: F[ f ( x) ] F f ( k) f ( x)exp( ikx) dx F[ f ( x)] π f ( x)exp( ikx) dx
. Défiitio Sigificatio physique: La trasformée de Fourier correspod au spectre bilatéral de la foctio Il s agit de la gééralisatio du développemet e série de Fourier pour des foctios quelcoques
. Défiitio Sigificatio physique: Il s agit du passage d ue représetatio spatiale e ue représetatio fréquetielle
. Défiitio rasformée de Fourier iverse: La F peut être iversée c est à dire qu il existe ue trasformatio otée F - telle que: f ( x) F [ F( ν )] ( x) exp( iπν ) xdx f ( x) F( ν ) exp( i πνx) dν F( ν ) f O passe doc de F à F - e échageat f e F, x e ν et i e i. oute propriété vérifiée par la F l est égalemet pour la F -
. Propriétés F ( ν ) f ( x) exp( iπνx) dx f ( x) cos( πνx) i si( πνx) Foctio paire: La F d ue foctio paire est ue foctio réelle: F Foctio impaire: [ ]dx La F d ue foctio impaire est ue foctio imagiaire: ( ν ) f ( x) cos( πνx)dx F ( ν ) i f ( x) si( πνx)dx
. Propriétés Liéarité: L itégrale état liéaire, o a: F λ f x + µ g x λf f x + µ F raslatio: Propriété très simple aux multiples applicatios F f Modulatio: [ ( ) ( )] [ ( )] [ g( x) ] [ ( x a) ] exp( iπνa) F[ f ( x) ] Ue modulatio das l espace direct reviet à ue traslatio das l espace réciproque F [ exp( iπν x) f ( x) ] F f ( ν ν )
. Propriétés Chagemet d échelle: U chagemet d échelle das l espace direct correspod égalemet à u chagemet d échelle das le ses iverse das l espace réciproque Dérivatio: F λ [ f ( λx) ] F f Il existe u lie direct etre la F d ue foctio et celle de ses dérivées. Cette propriété est utilisée pour la résolutio de système d équatios différetielles liéaires. F f x iπν F f x F ν λ [ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )] f x ( iπν ) F[ f ( x) ]
. Propriétés F de x m f(x): O motre que: F m [ x f ( x) ] Covolutio: i ( m) F[ f ( x) ] Produit de covolutio: o défiit la covolutio de foctios f et g par l opératio suivate: F du produit de covolutio m d dν ( * g)( x) f ( x ) g( x x ) dx f m [( f * g)( x) ] F[ f ( x) ] F[ g( x) ] F
3. Aspects physiques Formule de Parseval: Elle traduit la coservatio de l éergie à travers la F f ( x) dx F( ν ) dν L itrégrale temporelle représete doc l éergie totale. L itégrale au secod membre de l équatio correspod à ue décompositio e vibratios harmoiques. Elle exprime le fait que l éergie totale est la somme des éergies de chacue des composates. Cette relatio a été utilisée pour la première fois par u physicie (Lord Rayleigh, 889).
3. Aspects physiques Fréquece d échatilloage: Elle doit être telle égale ou supérieure à F M avec F M tel que: ν F( ν ) F M Iversemet, o peut recostituer ue foctio à partir de ses échatillos pourvu que la fréquece d échatilloage soit supérieure ou égale à fois la plus haute fréquece cotiue das le spectre