Universié Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Tecnologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialié Maémaiques 696 Villeurbanne cedex, France Opion: MAO 007-008 Série n : Résoluion numériques des EDO. Exercice 1. Propriéés de sabilié du scéma d Euler a) Un scéma d Euler implicie Monrer que le scéma suivan es convergen e d ordre un u n+1 = u n + f( n+1, u n+1 ), b) Un scéma d Euler modifié Monrer que le scéma suivan es convergen e d ordre deux u n+1/ = u n + f(n, u n ), u n+1 = u n + f( n+1/, u n+1/ ), c) Applicaion. Soi l équaion différenielle (k > 0) y + k y = 0, y(0) = 1. n+1/ = n + /, (i) Résoudre cee équaion différenielle. Quelle es sa limie en? (ii) Écrire le scéma d Euler explicie e éudier le comporemen de la soluion lorsque n end vers l infini. (iii) On considère le scéma y n+1 y n ( y n+1 + y n ) + k = 0. Calculer la soluion y n+1 en foncion de y n k e e en déduire une condiion sur pour que le comporemen de la soluion numérique soi correc lorsque n. Monrer que le scéma es consisan d ordre deux. Exercice. Un nouveau scéma d ordre élevé Soi f une foncion de classe C (IR + IR, IR). Nous considérons l équaion différenielle ordinaire suivane avec une donnée iniiale u(0) = u 0. Nous définissons f (m) C (IR + IR, IR) par f (0) (, u()) = f(, u()) f (m+1) (, u())) = (m) u () = f(, u()) ( ) (m) (, u()) + (, u()) f(, u()), m 0. 1
a) Monrer par récurrence que u (m+1) () = f (m) (, u()). b) Nous posons ψ p (, u, ) = j (j + 1)! f (j) (, u) e définissons le scéma suivan Monrer que ce scéma es consisan d ordre p u 0 = u 0 u n+1 = u n + ψ p ( n, u n, ) c) Monrer que le scéma es sable e en déduire que le scéma es convergen d ordre p, c es-à-dire, il exise C > 0 elle que u( n ) u n C p. Exercice 3. Un scéma d ordre deux Soi f une foncion de classe C (IR + IR, IR). Nous considérons l équaion différenielle ordinaire suivane u () = f(, u()) avec une donnée iniiale u(0) = u 0. Nous nous proposons d éudier le scéma suivan u 0 = u 0 u n+1 = u n + a) Monrer que ce scéma es consisan d ordre deux. ( f( n, u n ) + f( n+1, u n + f( n, u n )) ). b) Monrer que le scéma es sable e en déduire que ce scéma es convergen d ordre deux. Exercice 4. Les scémas de ype Runge-Kua Nous considérons b 1, b, c 1, c, a IR avec 0 c 1 c 1. Puis nous inroduison des poins inermédiaires: n,i = n + c i, i = 1, e des valeurs inermédiaires u n,1 = u n, u n, = u n + a f( n,1, u n,1 ) Considérons alors le scéma suivan de Runge-Kua explicie à deux poins inermédiaires: u n+1 = u n + b j f( n,j, u n,j ), a) Quelles valeurs de coefficiens fau-il coisir pour avoir un scéma d ordre un e deux? b) Le scéma d Euler modifié enre--il dans ce cadre?
1 Correcion des exercices Exercice 1. Soi un sysème différeniel de la forme u(0) = u0, u () = f(, u()), (1) La soluion u vi sur l inervalle [0, T ]. Nous décomposons en N peis sous-inervalles [ n, n+1 ] avec n = n e = T/N. On noe v n la soluion approcée de u( n ); les scémas à un pas s écriven Nous définissons un scéma à un pas pour la résoluion numérique de (1) de la manière suivane : v 0 = u( 0 ) v n+1 = v n + φ( n, v n (), ), où φ es une foncion de IR + IR d IR + à valeur dans IR d e es obenue en cercan une approximaion de f( n, u( n )). Nous cercerons de plus à évaluer l erreur de discréisaion e n = u( n ) v n, e plus précisémen, à obenir des esimaions d erreur de la forme e n = u( n ) v n C α, où C ne dépend que de la soluion exace, du emps final T mais surou pas du pas de emps ; andis que α donne l ordre de la convergence. Proposiion 1 (Caracérisaion de la consisance) Considérons le scéma à un pas () associé à l équaion différenielle (1). Si la foncion φ C(IR + IR d IR +, IR d ) e si Alors, le scéma () es consisan. φ(, u, 0) = f(, u), [0, T ]. Proposiion (Caracérisaion de la sabilié) Considérons le scéma à un pas () associé à l équaion différenielle (1). Si la foncion φ C(IR + IR d IR +, IR d ) e si Alors, le scéma () es sable. φ(, u, ) φ(, v, ) Γ u v Téorème 1 (Consisance + Sabilié Convergence) Nous supposons que le scéma () es consisan d ordre p : il exise une consane C > 0 ne dépendan que de f, T, u 0 (e surou pas de ) elle que R(, u, ) C p, pour ou 0. De plus, le scéma () es sable par rappor aux erreurs. Alors, la soluion numérique fournie par le scéma converge vers la soluion exace de (1). De plus, l erreur vérifie l esimaion e n ( ) C [ p + e 0 ( ) ], pour ou n = 0,..., N. Exercice. 1. Nous vérifions que u (1) () = u () = f(, u()) = f (0) (, u()). Nous supposons que l asserion es vraie à l ordre m c es-à-dire que u (m) () = f (m 1) (, u()). 3
Monrons alors que u (m+1) () = f (m) (, u()). Pour cela, nous écrivons que Ainsi par composiion des dérivées u (m+1) () = (u (m) ()) = d d u(m) () = d d u (m+1) () = e puisque u () = f(, u()), nous obenons (m 1) (, u()) + u () u (m+1) () = f (m) (, u()). ( ) f (m 1) (, u()) (m 1) (, u()). Nous posons φ(, u, ) = ψ p (, u, ), c es un scéma à un pas explicie. Pour démonrer la consisance nous vérifions que φ es coninue e φ(, u, 0) = f(, u). En effe, puisque f es de classe C (IR + IR, IR), la foncion φ qui conien les dérivées jusqu à l ordre p de f es bien coninue. Ensuie Le scéma es bien consisan. Pour l ordre, nous calculons φ(, u, 0) = 00 1! f (0) (, u) = f(, u). R(, u, ) = En remplaçan φ par son expression, nous avons φ(, u(), ) = u( + ) u() φ(, u(), ) j (j + 1)! f (j) (, u()) Or, nous avons vu que pour la soluion exace u (m+1) () = f (m) (, u()), donc en remplaçan, nous obenons E donc φ(, u(), ) = 1 R(, u, ) = 1 u( + ) u() j+1 (j + 1)! u(j+1) () p j j! u(j) (). Ceci représene un développemen de Taylor ronquée de u e nous savons que u( + ) = u() p En remplaçan dans l expression de R, nous avons donc R(, u, ) = j j! u(j) () + p+1 (p + 1)! u(p+1) (ξ). p (p + 1)! u(p+1) (ξ), En supposan que u (p+1) es bornée, nous avons donc: il exise une consane C > 0 elle que le scéma es d ordre p. R(, u, ) C p, 4
. Pour la sabilié, il fau supposer que f es de classe C e que oues ses dérivées son bornées. Ainsi, oues les foncions f (j), pour j = 0,..., p son Lipsciziennes e donc φ es Lipscizienne par rappor à la variable u. Le scéma es donc sable. En appliquan le éorème du cours, le scéma es convergen d ordre p, il exise une consane C > 0 elle que u( n ) u n C p. Exercice 3. 1. Pour la consisance, nous appliquons le même raisonnemen que dans l exercice précéden. Pour monrer que le scéma es d ordre deux, c es différen. C es aussi un scéma à un pas vérifie Le scéma es d ordre deux lorsque R(, u, ) = φ(, u, ) = 1 (f(, u) + f( +, u + f(, u))). u( + ) u() 1 (f(, u()) + f( +, u() + f(, u()))) R(, u, ) C. Pour monrer cela nous rappelons que puisque u es la soluion exace u( + ) u() = 1 + f(s, u(s))ds. Or, nous avons vu que nous pouvons consruire un scéma à parir d une méode de quadraure. exemple ici nous reconnaissons presque la méode des rapèzes, d après un résula du cours : 1 + f(s, u(s))ds 1 (f(, u() + f( +, u( + ))) C Par Or, ce n es pas exacemen le scéma proposé car il fau encore approcer f( +, u( + )). À l aide d un développemen de Taylor, nous obenons e donc u( + ) = u() + f(, u()) + u (ξ), ξ [, + ] f( +, u( + )) = f( +, u() + f(, u()) + Finalemen, nous avons 1 + f(s, u(s))ds 1 ( ( +, α) u (ξ). f(, u() + f( +, u() + f(, u()) + ( +, α) u (ξ) Nous reconnaissons le erme d erreur de consisance R(, u, ) ( +, α) u (ξ) C e donc en suppsoan que f es Lipscizienne e u es bornée, nous obenons le résula R(, u, ) C.. Nous appliquons le même raisonnemen que dans l exercice précéden. ) C. 5