Loi ormale Échatilloage et estimatio Christophe ROSSIGNOL Aée scolaire 2014/2015 Table des matières 1 Rappels sur la loi biomiale 2 1.1 Épreuve de Beroulli......................................... 2 1.2 Schéma de Beroulli Loi biomiale................................ 2 2 Loi ormale 3 2.1 Courbe «e cloche»........................................... 3 2.2 Loi ormale................................................ 4 2.3 Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale........................ 5 3 Échatilloage Estimatio 5 3.1 Défiitio Utilisatio.......................................... 5 3.2 Échatilloage Prise de décisio................................... 6 3.3 Itervalle de cofiace.......................................... 6 Table des figures 1 U exemple d épreuve de Beroulli................................. 2 2 U exemple de Schéma de Beroulli................................. 3 3 Courbes «e cloche».......................................... 4 4 Loi ormale de paramètres µ et σ.................................... 4 5 Itervalle de fluctuatio......................................... 5 Liste des tableaux 1 Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi biomiale.................. 3 2 Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi ormale................... 7 Ce cours est placé sous licece Creative Commos BY-SA http://creativecommos.org/liceses/by-sa/2.0/fr/ 1
1 RAPPELS SUR LA LOI BINOMIALE 1 Rappels sur la loi biomiale 1.1 Épreuve de Beroulli Défiitio : O appelle épreuve de Beroulli toute épreuve à deux issues possibles : u succès (oté S) ou u échec (oté S). La probabilité d u succès p = P (S) est appelé paramètre de l épreuve de Beroulli. Exemple : O lace u dé équilibré à six faces, les faces état umérotés de 1 à 6. O cosidère qu il y a u succès lorsque le résultat du lacer est u 6, u échec sio. Il s agit d ue épreuve de Beroulli de paramètre 1 6. O peut la représeter par l arbre de la figure 1. Figure 1: U exemple d épreuve de Beroulli 1.2 Schéma de Beroulli Loi biomiale Défiitio : O appelle schéma de Beroulli l expériece cosistat à répéter fois de maière idépedates la même épreuve de Beroulli de paramètre p. La loi biomiale de paramètres et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X preat preat comme valeurs le ombre de succès (S) obteus au cours des épreuves du schéma de Beroulli. O dit aussi que loi loi de probabilité de la variable aléatoire X suit la loi biomiale de paramètres et p. Exemple : O répète 2 fois de maière idetiques et idépedates l épreuve de Beroulli de l exemple précédet. O ote X la variable aléatoire qui doe le ombre de 6 obteus. X suit la loi biomiale de paramètres 2 et 1 6. Le schéma de Beroulli correspodat est doé sur la figure 2. O a alors : P (X = 0) = P ( S S) = 5 6 5 6 = 25 36 P (X = 1) = P ( S S ) + ( ) SS = 1 6 5 6 + 5 6 1 6 = 5 P (X = 2) = P (SS) = 1 6 1 6 = 1 36 Remarques : 36 + 5 36 = 10 36 1. Si X suit la loi biomiale de paramètres et p, X pred les valeurs 0, 1, 2,...,. 2. O peut toujours représeter u schéma de Beroulli par u arbre pour calculer P (X = k). Mais si est grad, cela peut être fastidieux... O peut alors utiliser la calculatrice ou le tableur. Voir tableau 1. Propriété : Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale de paramètres et p. L espérace de cette variable aléatoire est E (X) = p. Exercices : Exercices 1, 2 de la feuille polycopiée «Exercices - loi biomiale». 2
2 LOI NORMALE Figure 2: U exemple de Schéma de Beroulli Table 1: Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi biomiale 2 Loi ormale Activité : Exercice 3 de la feuille polycopiée «Exercices - loi biomiale». 2.1 Courbe «e cloche» Le diagramme e bâtos d ue loi biomiale de paramètres et p, lorsque est très grad et que p est proche i de zéro i de 1, peut être approché par ue courbe «e cloche» (voir figure 3). Cette courbe «e cloche» a les propriétés suivates : Propriétés : Courbe «e cloche» C est la courbe représetative d ue foctio défiie sur R. L aire totale comprise etre la courbe «e cloche» et l axe des abscisses vaut 1. Elle déped de deux paramètres ommés µ (mu) et σ (sigma). µ est appelé espérace et σ est appelé écart-type. Elle admet comme axe de symétrie la droite d équatio x = µ (voir figure 3). Plus σ est élevé, plus la courbe est «écrasée» autour de l axe des abscisses (voir figure 3). Remarque : O va défiir, à l aide de ces courbes «e cloche», ue ouvelle loi de probabilité, pour des variables aléatoires preat toutes les valeurs réelles. 3
2.2 Loi ormale 2 LOI NORMALE Figure 3: Courbes «e cloche» 2.2 Loi ormale Défiitio : O cosidère ue courbe «e cloche» de paramètres µ et σ et X ue variable aléatoire preat toutes les valeurs réelles. O dit que X suit la loi ormale de paramètres µ et σ si, pour tout ombres a, b, avec a < b : La probabilité P (a X b) que la variable aléatoire pree des valeurs das l itervalle [a ; b] est égale à l aire du domaie compris etre l axe des abscisses, la courbe «e cloche» et les droites verticales d équatios x = a et x = b. (voir figure 4a) La probabilité P (X b) que la variable aléatoire pree des valeurs das l itervalle [b ; + [ est égale à l aire du domaie compris etre l axe des abscisses, la courbe «e cloche» et situé à gauche de la droite verticale d équatio x = b. (voir figure 4b) La probabilité P (X a) que la variable aléatoire pree des valeurs das l itervalle ] ; a] est égale à l aire du domaie compris etre l axe des abscisses, la courbe «e cloche» et situé à droite de la droite verticale d équatio x = a. (voir figure 4c) (a) P (a X b) (b) P (X b) (c) P (X a) Figure 4: Loi ormale de paramètres µ et σ Remarques : 1. La foctio dot la courbe représetative est la courbe «e cloche» est alors appelé foctio de desité. 2. O a alors P (X = a) = P (a X a) = 0 doc P (X > a) = P (X a). Les iégalités peuvet être otées idifféremmet larges ou strictes, cela e chage pas le probabilités. 3. Par u raisoemet graphique simple, o obtiet les propriétés suivates : Propriété : Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi ormale de paramètres µ et σ. P (X µ) = P (X µ) = 0, 5 P (X a) = 1 P (X < a) = 1 P (X a) P (a X b) = P (X b) P (X < a) = P (X b) P (X a) Remarque : O utilisera la calculatrice pour détermier des probabilités de variables aléatoires suivat ue loi ormale (voir tableau 2). Exercices : 2, 3 page 138 1 8, 9 page 139 2 11 page 139 ; 12 page 140 et 28, 29 page 145 3 [Itervalle] 1. Utilisatio de la courbe. 2. Utilisatio de la calculatrice. 3. Applicatios. 4
3 ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION 2.3 Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Propriété : Itervalle de fluctuatio (voir figure 5) Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi ormale de paramètres µ et σ. O a alors : P (µ 2σ X µ + 2σ) 0, 95 Figure 5: Itervalle de fluctuatio Remarque : Cela sigifie qu eviro 95 % des valeurs prises par X sot das l itervalle [µ 2σ ; µ + 2σ]. Exercices : 5, 6 page 139 4 [Itervalle] 2.3 Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale Si est très grad et que p est proche i de zéro i de 1, la loi biomiale de paramètres et p peut être approchée par la loi ormale de paramètres µ = p et σ = p (1 p). 3 Échatilloage Estimatio 3.1 Défiitio Utilisatio Rappel : O appelle échatillo de taille la série statistique formée des résultats obteus lorsqu o répète fois ue expériece das les mêmes coditios. Les distributios de fréqueces variet d u échatillo à l autre pour la même expériece. C est ce qu o appelle la fluctuatio d échatilloage. Même pour des échatillo de même taille, la distributio de fréqueces peut varier. Lorsque la taille de l échatillo augmete, les distributios de fréqueces ot tedace à se stabiliser. Remarque : Comme o répète das les mêmes coditios ue expériece fois, o peut assimiler cet échatillo à ue loi biomiale de paramètres et p, où p est la proportio du caractère étudié das la populatio totale. La distributio de fréquece de cet échatillo peut alors être assimilée à la loi de fréquece F. Défiitio : Soit X ue variable aléatoire qui suit le loi biomiale de paramètres et p et F = X la fréquece de succès. O dit que l itervalle I est u itervalle de fluctuatio de F au seuil de 95 % si : P (F I ) 0, 95 Remarque : O utilise doc les itervalles de fluctuatio das les deux cas suivats : o coaît la proportio p de présece du caractère das la populatio ; o fait ue hypothèse sur la valeur de cette proportio et o veut valider (ou ivalider) cette hypothèse (o parle alors de prise de décisio). 4. Itervalle de fluctuatio. 5
3.2 Échatilloage Prise de décisio RÉFÉRENCES 3.2 Échatilloage Prise de décisio Propriété : Soit u caractère dot la proportio das ue populatio doée est p. O cosidère u échatillo de taille. Si 30, p 5 et (1 p) 5, l itervalle : [ I = p 1 ; p + 1 ] est u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 %. O cosidère ue populatio das laquelle o suppose que la proportio d u caractère est p. O observe la fréquece f obs de ce caractère das u échatillo de taille et o cosidère l hypothèse «la proportio de ce caractère das la populatio est p». [ ] O cosidère que les coditios 30, p 5 et (1 p) 5 sot remplies et o ote I = p 1 ; p + 1 l itervalle de fluctuatio au seuil des 95 %. O a alors la règle de décisio suivate : Si f obs I : o cosidère que l hypothèse est pas remise e questio et l o accepte au seuil de risque de 5 % ; Si f obs / I : o rejette l hypothèse au seuil de risque de 5 % (ce qui sigifie que le risque d erreur par rejet à tort de l hypothèse est d eviro 5 %). Exercices : 13, 14 page 140 et 31, 32 page 145 5 [Itervalle] 3.3 Itervalle de cofiace O cosidère maiteat le cas où la proportio p du caractère das la populatio totale est icoue. O veut estimer p à l aide d u échatillo de taille, et o supposera que les coditios 30, p 5 et (1 p) 5 sot remplies. Défiitio : O observe ue fréquece f obs sur u échatillo de taille. [ O appelle itervalle de cofiace de p au iveau de cofiace de 95 % l itervalle f obs 1 ; f obs + 1 ]. Remarques : Cela sigifie que la proportio icoue a plus de 95 % de chaces de se trouver das cet itervalle. Exercices : 15, 16 page 140 ; 33 page 145 et 34 page 146 6 [Itervalle] Référeces [Itervalle] Collectio Itervalle, Mathématiques, programme 2013, Term STMG, Natha, 2013. 4, 5, 6 5. Échatilloage, prise de décisio. 6. Itervalle de cofiace. 6
RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Table 2: Utilisatio de la calculatrice ou du tableur pour ue loi ormale 7