Chapire 7: Equaions différenielles-résumé de cours Dans ce chapire I désigne un inervalle non rivial e désigne ou. Inroducion : Noion d équaions différenielles : Une équaion différenielle (E) es une équaion don l inconnue es une foncion le plus souven noée y ou z, dérivable au moins une fois sur I. Cee équaion doi nécessairemen faire apparaîre au moins une dérivée de la foncion inconnue. Résoudre ou inégrer (E) sur I c es rouver oues les foncions f soluions de (E) sur I. 1 Exemples : (E 1) : y = xln x (E 2) : y + y = e (E 3) : y = y² e y(1) = 2 (E 4) : 2y + 3y + y = (E 5) : xz + z = 1 + x² (E 6) : ²x + (1+)x 2 = dc (E 7) A : kca d Le erme ne conenan ni y, ni ses dérivées es appelé second membre de l'équaion. On di que (E) es homogène (ou sans second membre) lorsque le second membre es nul. On di que (E) es linéaire lorsque son équaion homogène associée (H) vérifie la propriéé : Si e g son soluion de (H) alors pour ous réels e, la foncion h = f + g es aussi soluion de (H). Les représenaions graphiques des soluions de (E) son appelées courbes inégrales de (E). Une soluion f de (E) es une soluion pariculière de (E). On peu de plus imposer à y ou à une de ses dérivées de prendre une valeur donnée en un poin donné : ce son les condiions iniiales. Exemple fondamenal: Déerminer les primiives de f sur I revien à résoudre l équaion différenielle y = f 1. Equaions différenielles linéaires du 1 er ordre 1.1 Généraliés Def : On appelle équaion différenielle linéaire du 1er ordre, oue équaion pouvan s'écrire sous la forme: y' + a()y = b() (E) forme normalisée où a e b désignen des foncions coninues d un inervalle I dans. Exemples : (E 1) (E 2), (E 5) e (E 7) Vocabulaire : b() es le second membre de l'équaion. L équaion homogène associée à (E) es (H) : y'+a()y = f es soluion de (E) sur I ssi f es dérivable sur I e I, f'() + a()f() = b(). Exemple fondamenal: par définiion, la foncion exponenielle es l unique soluion sur l équaion différenielle y = y e y() = 1 de 1.2 EDL du 1 er ordre à coefficiens consans Lemme 7.1: Soi a. Les soluions de l'équaion différenielle y' = ay son oues les foncions f k:x ke ax où k décri. N. Véron-LMB-nov 216
Proposiion 7.1: Soi a, b, avec a non nul. Les soluions de l'équaion y' = ay + b (E) son les foncions f k:x ke ax - b/a où k décri. Exercice: Résoudre sur : 3y'-2y = 1. Proposiion 7.2: L'équaion y' = ay + b e y'(x ) = y adme une unique soluion sur. Exercice: Un corps à empéraure T 1 es plongé à l'insan = dans un milieu à empéraure T. Les échanges hermiques qui s'ensuiven son réglés par les lois de la hermodynamique e la empéraure du corps noée T vérifie: dt k (T T ) où k es un coeff de proporionnalié qui dépend du milieu. Loi de Newon d Exprimer T en foncion de T, T 1 e de k. 1.3 EDL du 1 er ordre, cas général a) Srucure de l ensemble des soluions de (E) Proposiion 7.3: Les soluions de (E) s'obiennen en faisan la somme des soluions de l'équaion homogène associée (H) e d'une soluion pariculière. Ainsi si f es une soluion de (E), S = {f + h, h soluion de (H)} Conséquence : Pour résoudre (E) il suffi de résoudre(h) e de déerminer une soluion pariculière de (E). b) Résoluion de l'équaion homogène Théorème 7.1: Soi a une foncion coninue de I dans. Les soluions de y' + a()y = (H) son les foncions définies sur I par I, f k() = ke -A() où A es une primiive de a sur I e k décri. Remarques: A es une primiive choisie arbirairemen donc elle peu s'écrire: A() = a( x)dx où o es un réel quelconque de I. La foncion nulle es oujours soluion de l'équaion homogène. Si f es une soluion de (E ) différene de la foncion nulle alors f ne s'annule pas sur I. On appelle soluion générale de (H) la foncion f k :x ke -A(), k. Exercice: Résoudre dans : (x²+1)y' + xy = Annexe 1 c) Résoluion de l'équaion avec second membre Le problème se ramène à rouver une soluion pariculière de (E). Soluion évidene : Il fau oujours regarder si on peu rouver facilemen une soluion pariculière, en pariculier une soluion consane. Recherche direce d une soluion lorsque a es consane sur I. b() = P()e m où P es un polynôme e m un complexe, on cherche une soluion pariculière de la même forme. a es réel e b() = Re(P()e m ) ou b() = Im(P()e m ). On déermine une soluion pariculière y de y +a()y = P()e m e on prend Re(y ) ou Im(y ) N. Véron-LMB-nov 216
b() = cos( ) ou b() = sin( ) On cherche une soluion pariculière de la forme cos( ) sin( ). On peu aussi uiliser que cos() = Re( i e ) e sin() = Im( i e ). Principe de superposiion des soluions Proposiion 7.4: Si f 1 es soluion de y' + a()y = b 1() sur I e f 2 soluion de y' + a()y = b 2() sur I alors f = f 1 + f 2 es soluion de y' + a()y = b 1() + b 2() sur I. Exercice: Résoudre dans : y + y = e + 2sin² Méhode de variaion de la consane: La soluion générale de l'équaion homogène éan A ( ) A ( ) ke on cherche une soluion de la forme u: k( )e la consane devien une foncion. En injecan dans l équaion, on obien k'() = b()e A() k es donc une primiive de b()e A(), i.e. k() = A( x ) b( x)e dx où oi. Exercice: y + 2y = e -² Annexe 2 Aenion: Cee méhode es générale mais elle peu mener à une recherche de primiive difficile, il fau donc d'abord envisager les méhodes précédenes. Remarque: Noons que nous avons obenu la forme générale des soluions de (E) : f k: k b( x)e dx A ( x ) e -A() où A() = a( x)dx e oi. 1.4 Problème de Cauchy du 1 er ordre Def : Soi I e y, la condiion y( ) = y es une condiion iniiale e le sysème y' a( ) y b( ) y( ) y es appelé un problème de Cauchy. Proposiion 7.5: Soi a e b deux foncions coninues de I dans. Le sysème y' a( ) y b( ), adme une unique soluion sur I y( ) y Exercice: Résoudre dans, (x²+1)y' + xy = 2x e y() = -1. 2. Equaion différenielle linaire du second ordre à coefficiens consans On s inéresse dans ce paragraphe aux équaions différenielles du ype (E 4) : 2y + 3y + y = 2.1 Présenaion e srucure de l'ensemble des soluions : Def : On appelle équaion différenielle linéaire du 2nd ordre à coefficiens consans, oue équaion pouvan s'écrire sous la forme: ay'' + by' + cy = u() (E), où a,b e c son des complexes, a e u es une foncion coninue de I dans. N. Véron-LMB-nov 216
Vocabulaire : u() es appelé second membre de l'équaion. L équaion homogène associée à (E) es (H) :ay'' + by' + cy = f es soluion de (E) sur I ssi f es deux fois dérivable sur I e I, af''() + bf'()f'() + cf() = u(). Proposiion 7.6: La soluion générale de (E) s'obien en faisan la somme de la soluion générale de (H) e d'une soluion pariculière de (E) 2.2 Résoluion de l'équaion homogène, cas complexe Théorème 7.2: Résoluion de ay +by +cy = dans le cas complexe. Soi (H): ay'' + by' + cy =, avec a, b, c, a, on appelle équaion caracérisique de (H) l'équaion du second degré ar² + br + c = e on noe = b² - 4ac,. Si =. alors l'équaion caracérisique adme une racine double r e les soluions de (H) sur son les foncions : (A B)e où (A,B) décri ². r Si alors l'équaion caracérisique adme deux racines complexes disinces r 1 e r 2 e les 1 2 soluions de (H) sur son les foncions : Ae Be, où (A,B) décri ² Exercice: Déerminer les soluions à valeurs complexes de y + y + y = 2.3 Résoluion de l'équaion homogène, cas réel Lorsque a, b, c son réels e le second membre à valeurs dans, on se conene le plus souven de déerminer les soluions de (E) à valeurs réelles. Cela passe par donner les soluions de (H) à valeurs réelles. Théorème 7.3: Résoluion de ay + by + cy = dans le cas réel Soi (H): ay'' + by' + cy =, avec a, b, c, a. On appelle équaion caracérisique de (H) l'équaion du second degré ar² + br + c = e on noe = b²- 4ac, on a. Si > alors l'équaion caracérisique adme deux racines réelles r 1 e r 2 e les soluions réelles de (H) sur son les foncions : r r r r 1 2 Ae Be, où (A,B) décri ². Si =. alors l'équaion caracérisique adme une racine double r e les soluions réelles de (H) sur son les foncions : r A B e où (A,B) décri ². Si < alors l'équaion caracérisique adme deux soluions complexes conjuguées +i e -i e les soluions de réelles (H) sur son les foncions : e Acos( ) Bsin( ) décri ². Preuve en annexe 3 Dans la praique : On renconre en physique les équaions suivanes : y" - ²y = don la soluion générale es y() = Ae + Be - = C 1ch() + C 2sh() y" + ²y = don la soluion générale es y() = Acos() + Bsin() = Rcos(+) 2.4 Equaion avec second membre Le problème se ramène à rouver une soluion pariculière de (E). Si u es consane : on cherche une soluion consane. où (A,B) Si u() = P()e m où P es un polynôme e m un complexe, on cherche une soluion pariculière de la de la forme m Q()e où Q es aussi un polynôme. Si les coefficiens son réels e u() = Re(P()e m ) ou u() = Im(P()e m ). On déermine une soluion pariculière y de ay +by +cy = P()e m e on prend Re(y ) ou Im(y ) N. Véron-LMB-nov 216
Principe de superposiion des soluions Proposiion 7.7: Si f 1 es soluion de ay +by'+cy = u 1() sur I e f 2 soluion de ay +by +cy = u 2() sur I alors f = f 1+f 2 es soluion de ay +by +cy = u 1()+u 2() sur I. Exercice : Résoudre y + y + y = xcos(x) + 1 2.5 Problème de Cauchy du 2 nd ordre Proposiion 7.8 (Admis): Soi x I, y e y 1 fixés dans e P un polynôme. Le problème de Cauchy: soluion. ay " by ' cy P( ) e y(x ) y y '(x ) y1 m où a, b, c, m, a adme une unique Dans la praique: On écri la soluion générale de l'équaion e on déermine les consanes grâce aux condiions iniiales. N. Véron-LMB-nov 216
Annexe 1 : Quelques courbes inégrales de (x²+1)y' + xy = avec Pyhon Scrip pour racer une famille de courbes: def f(,k): reurn k/sqr(**2+1) # on défini f k impor numpy as np #on charge la bibliohèque numpy e on la nomme np impor maplolib.pyplo as pl #on charge la bibliohèque graphique e on la nomme pl x=np.linspace(-1,1,2)#on crée une lise de valeurs pour x for k in range(-5,5): y=f(x,k) #on calcule 2 valeurs de f k (x), on obien ainsi 1 lises. pl.plo(x,y) #pour chaque valeur enière de k de -5 à 5, on race le graphe de f k pl.grid() #on fai une grille, c'es plus joli pl.axhline(color='black') #race l'axe des abscisses pl.axvline(color='black') #race l'axe des ordonnées pl.savefig('courbe-inégrale-1.pdf') #on sauve le graphique au forma pdf pl.show() #on demande à Pyhon de nous monrer le résula On admire le résula Annexe 2 : Quelques courbes inégrales de y + 2y = e -² avec Pyhon On modifie le scrip (à vous...) e on obien : N. Véron-LMB-nov 216
Annexe 3 : Preuve du héorème 7.3 Lemme: Soi a, b, c réels, a e u une foncion coninue sur I à valeurs réelles. Les soluions à valeurs réelles de (E) : ay +by +cy = u son les paries réelles des soluions de () : ay +by +cy = U où U es une foncion définie sur I à valeurs dans e elle que u = Re(U). Démo: Soi f: une soluion de () : ay +by +cy = U. On a f = Re(f) + iim(f) f es deux fois dérivable e f' = (Re(f))' +i (Im(f))' e f'' = (Re(f))'' + i(im(f))'' f éan soluion de (E) on a : a[(re(f))'' + i(im(f))''] + b[(re(f))' +i (Im(f))'] + c[re(f) + iim(f)] = U. En idenifian les paries réelles e imaginaires de chaque membre, on obien : a(re(f))'' + b(re(f))' + cre(f) = Re(U) = u. Par suie, Re(f) es bien soluion de ay +by +cy = u Bilan : Les paries réelles des soluions de () fon paries des soluions à valeurs réelles de (E) Réciproquemen, si f es une foncion soluion à valeur réelle de (E), alors f es une sol à valeurs complexes de ay +by +cy = u + i. Or f = Ref e donc f es bien la parie réelle d une soluion de ay +by +cy = U avec U= u+i Bilan : Les soluions à valeurs réelles de (E) fon parie des paries réelles des soluions de (). CCl : Les paries réelles des soluions de () son exacemen les soluions à valeurs réelles de (E) On en dédui que les soluions de (H) à valeurs réelles son les paries réelles des soluions de (H) à valeurs complexes. Considérons l'équaion caracérisique e = b²-4ac. Ici, e on peu considérer 3 cas: 1 er cas: > : l'équaion caracérisique à deux racines réelles r 1 e r 2 e les soluions de (H) à 1 2 valeurs complexes son f:x e e avec e. r x 1 2 1 2 On a Re(f):x Re( )e Re( )e Ae Be avec A e B réels r x r x r x r x r x 2 ème cas: = : l'équaion caracérisique à une racine double réelle x e les soluions son r x Re(f):x Re ( x )e = (Ax + B) rx e avec A e B réel 3 ème cas : < : l'équaion caracérisique a deux racines complexes conjuguées r 1 = + i e r 2 = - i e les soluions de (H) à valeurs complexes son définies sur par x, f(x) = e (+i)x + e (-i)x avec = x+iy e = x+iy. x, Re(f)(x) =... =.. A vous de faire ces calculs = e x [(x+x)cos(x)+(y-y)sin(x)] C es-à-dire x, Re(f)(x) = e x [Acos(x)+Bsin(x)] avec A e B. On a éabli le héorème de résoluion de l équaion homogène dans le cas réel. N. Véron-LMB-nov 216