Chapitre I Nombres complexes. Revision

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1 Livret d exercices STS Chapitre I Nombres complexes Remarque : La notation i fut introduite par Euler (Bâle Saint Pétersbourg 783). Dans les exercices, on notera j à la place de i pour éviter la confusion avec la notation de l intensité utilisée en électricité. Revision Forme algébrique - trigonométrique - géométrie Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O; u, v), d unité graphique 2 cm. Le nombre j désigne le nombre complexe de module et d argument π 2.. Soit quatre nombres complexes z = 3+j ; z 2 = z2 2 et z 3 = 4 z 2 et z 4 de module 2 et d argument 5π 6. (a) Déterminer le module et un argument de z. (b) écrire sous la forme a + bj les complexes z 2 et z 3. (c) Déterminer la forme algébrique de z Soit quatre nombres complexes z A = 3 + j, z B = + j 3, z C = 3 + j et z D = j 3. (a) Montrer que les points A, B, C et D d affixes respectives z A,z B,z A et z D sont sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer le cercle dans le plan complexe et placer les points A, B, C et D. (b) Calculer z C z B et z D z A. (c) Calculer les affixes des vecteurs AB et CD ; vérifier que CD = ( ) AB. (d) Indiquer si les propositions suivantes sont justes ou fausses ; justifier vos réponses. AD = BC ; CD = 3AB ; ABCD est un trapèze isocéle.

2 Forme exponentielle 2 Linéariser chacune des expressions suivantes :. cos 3 x 3. sin x cos 2 x 2. cos x sin 2 x 4. cos 2x sin 3x Déduire une primitive de chacune des expressions données. 5. cos 3 x sin x 6. cos 2 5x cos 7x 3 Le but de cet exercice est la résolution dans l intervalle [0,2π] de l équation 2 sin x sin 3x = 0.. Linéariser sin 3 x et en déduire que : 4 sin 3 x sin x = 2 sin x sin 3x 2. Résoudre dans l intervalle [0 ; 2π] les équations suivantes : (a) sin x = 0 (b) sin x = 2 (c) sin x = 2 3. En déduire les solutions appartenant à l intervalle [0 ; 2π] de l équation 2 sin x sin 3x = 0. Complexe et électricité ( 4 Dans un circuit, deux résistances sont associées en série. On donne u (t) = 2 sin et u 2 (t) = 3 sin ( ωt π 4 ). ωt + π 4. Donner les formes trigonométriques puis algébriques des grandeurs complexes U et U 2 associées à u (t) et u 2 (t). 2. En déduire la forme algébrique de U, grandeur complexe associée à u(t). 3. Donner une valeur approchée à 0 près du module et d un argument de U. 4. En déduire l expression de u(t). 5 Trois dipoles d impédances complexes respectives Z = 75 50j, Z 2 = j et Z 3 = 00 25j sont associés en série.. Quelle est l impédance du dipôle équivalent? 2. Quelle est l impédance du dipôle équivalent si on monte les dipoles en parallèles? 6 L impédance complexe d un circuit est telle que Z = Z Z 2 Z + Z 2 + Z 3. Sachant que Z = +2j, Z 2 = +3j, Z 3 = 4+5j, calculer l impédance du circuit. 7 On considère le circuit ci-dessous. ). Montrer que l impédance complexe est Z = R + 2 ( Lω ) j Cω

3 2. Calculer l impédance du circuit sachant que R = 20Ω, Lω = 50Ω et 8 On considère le circuit ci-dessous. Cω = 50Ω.. Montrer que l impédance complexe est Z = ( R + j Cω ) Lω 2. Calculer l impédance du circuit sachant que R = 2Ω, Lω = 00Ω et Cω = 50Ω. Equation du second degré 9 Résoudre chacune des équations suivantes :. z 2 + = 0 2. z 2 + z + = 0 0 En utilisant la méthode donnée dans le cours, déterminer la racine carrée de chacun des nombres suivants : j; j; 3 + 4j; 3 + 4j En utilisant la formule donnée en cours, et les résultats de l exercice précedent, résoudre dans C, chacune des équations suivantes :. z 2 + (2 j)z 2j = 0 2. z 2 + 2z + j = 0 3. z 2 (3 + 2j)z + ( + 3j) = 0 4. z 2 + 2( + j)z 5( + 2j) = 0 5. z 4 + ( 2j)z 2 2j = 0 (poser X = z 2 ) 2 Equation bicarrée. Résoudre dans l ensemble C l équation z 2 z + = Donner les solutions sous forme trigonométrique. 3. Déduire des questions précédentes les solutions de l équation z 4 z 2 + = 0. 3

4 Ligne de niveau 3 En s inspirant de ce qui a été fait en cours :. Donner la ligne de niveau 3 pour la fonction f : z Imz. 2. Donner la ligne de niveau 4 pour la fonction f : z z. 3. Donner la ligne de niveau 0 pour la fonction f : z arg(z). 4. Donner la ligne de niveau -5 pour la fonction f : z z. 5. Donner la ligne de niveau 0 pour la fonction f : z z. 4 on considère la fonction f : z z (3 + 4j).. Interpréter géométriquement le nombre z (3 + 4j). 2. En déduire la ligne de niveau 3 de f. 5 on considère la fonction f : z arg z arg(3 + 4j).. Interpréter géométriquement le nombre arg z arg(3 + 4j). 2. En déduire la ligne de niveau π de f. 2 6 Dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct (O; u, v), déterminer et représenter l ensemble des images des nombres complexes z tels que :. z = 2. arg(z) = π 2 3. Im(z) = 2 4. z 3 = 2 5. Re(z + j) = 2 6. Im(z j) = 3. 7 On considère la transformation f qui a tout nombre complexe, z fait correspondre le nombre f(z) = jz + j Calculer f(j) ; f(); f(2 + 3j). 2. On pose z = x + jy. (a) Ecrire sous forme algébrique f(z). (b) Déterminer x et y pour que f(z) = 0. (c) Quelle condition doit-on avoir sur x pour que f(z) soit un nombre réel. (d) Quelle condition doit-on avoir sur x et y pour que f(z) soit un nombre imaginaire pur. 8 On considère la transformation f qui a tout nombre complexe z différent de 3 fait correspondre le nombre f(z) = 2 + j z 3.. Calculer f( + j) ; f(j). 2. On pose z = x + jy. (a) Ecrire en fonction de x et y la forme algébrique f(z). 4

5 (b) Quelle condition doit-on avoir sur x et y pour que f(z) soit un nombre réel. (c) Quelle condition doit-on avoir sur x et y pour que f(z) soit un nombre imaginaire pur. 9 Comment choisir z pour que z 2 + 2z 3 soit un nombre réel? 20 Déterminer z pour que z j z soit réel ; imaginaire pur Transformations géométriques 2 d après BAC Septembre 994, génie électronique et électrotechnique.. (a) Résoudre dans C l équation z 2 2 2z + 4 = 0 (b) Donner la notation exponentielle de chaque solution. 2. Le plan complexe est muni d un repère orthonormal (O; u, v), d unité graphique 2 cm. (a) Placer les points A, B, C d affixes respectives z 0 = 2j, z = 2( j) et z 2 = 2( + j) (b) Soit r la transformation géométrique du plan qui au point M d affixe z associe le point M d affixe z = e j3π 4 z. Préciser la nature de cette transformation. (c) Montrer que z 0 = e j3π 4 z. Que peut-on en déduire pour les points A et B? (d) Déterminer l affixe du point D, image du point A par r. Placer ce point D dans le plan. (e) Quelle est l image de la droite (AB) par r? 22 On considère la fonction f : z (2+2j)z et les points A, B et C d affixes respectives z A = 2 + j, z B = 2 + 3j et z C = + 2j. (a) Déterminer les affixes des images de A, B et C par f. (b) Placer ses images dans un repère orthogonal d unite cm. 2. (a) Ecrire 2 + 2j sous forme trigonométrique. (b) En déduire une vérification des images obtenues à la question précédente. 23 On considère la fonction f : z z.. En s inspirant de l exemple donné dans le cours, déterminer l image de la droite (D) d équation 4x + 6y + 4 = Vérifier votre résultat en utilisant la remarque du cours suivant l exemple. 24 On considère la fonction f : z z.. Déterrminer l image de z = 2 + 3j ; z 2 = 4 + 5j ; z 3 =. 5

6 2. Montrer que les points M, M 2 et M 3 d affixes respectives z, z 2 et z 3 appartiennent à la droite (D) d équation y = x En déduire l image de (D) par f. 25 Soit T : ω T(ω). La courbe parcourue par le point M d affixe z = T(ω) lorsque w varie de 0 à + est le diagramme de Nyquist de l application T.. Représenter le diagramme de Nyquist de l application T (ω) = + jω. 2. A partir du diagramme précedent, construire le diagramme de Nyquist de l application T 2 = + jω 3. A partir du diagramme précedent, construire le diagramme de Nyquist de l application T 3 = jω + jω (On vérifiera auparavant que jω + jω = + jω ). 26 On considère l application de C dans C définie par f(z) = z appelée transformation conforme du plan z + complexe.. Quelle est l ensemble de définition de f? 2. Déterminer les réels a et b tels que f(z) = a + b z Ecrire f comme composée de transformations simples. 4. Démontrer que l image par f de l axe des imaginaires est le cercle de centre O de rayon privé de O. 27 On bidouille un filtre en mettant deux résistances R et deux condensateurs de capacité C de manière rusée. Quand on applique à l entrée une certaine tension de pulsation ω, on recueille à la sortie un nouveau signal «filtré» mais de même pulsation. Ce filtre est caractérisé par la fonction de transfert T définie par T(ω) = + Z (ω) Z 2 (ω) avec Z ω) = R + jcω et Z 2(ω) = R + jcω e e 2 6

7 Les constantes R et C sont bien sûr strictement positives.. Montrez que T(ω) = ( 3 + j RCω ) RCω 2. (a) On considère la fonction définie sur ]0, + [ par h(ω) = RCω RCω Dressez le tableau de variation de h sur ]0, + [. (b) On considère le point m d affixe 3 + jh(ω). Quel est l ensemble (D) décrit par le point m lorsque ω parcourt ]0, + [? (c) Quelle transformation associe au point m le point M d affixe Z = T(ω)? (d) Déduisez-en l ensemble (E) décrit par le point M quand ω parcourt ]0, + [. (e) Tracez sur un même graphique les ensembles (D) et (E). Vous prendrez pour unité 6cm. Vous représenterez également le point m 0 d affixe 3+j et son image M 0 par la transformation envisagée. 7