TEST DE DDS

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1 TEST DE DDS Calculatrice et tous documents autorisés. Téléphone et autres appareils électroniques interdits. La clarté des explications sera prise en compte Durée h Note I II III IV V /,5 /5 /7,5 /,5 /,5 /0 EXERCICE 1 (15 min) : Une éprouvette de traction en acier (Caractéristiques : E= MPa ; = 0,3) de section circulaire Ø = 15 mm et de longueur L = 100 mm est soumise à un effort normal de N. Calculez la contrainte I et les déformations I, II, III. Déterminez la longueur et la taille de la section après déformation. Conclusions. σ I = F S = π = 339,53 MPa ε I = σ I E = 339,53 = 1, ε II = ε III = ν. ε I = 0,3 1, = 0, L après défo = L. 1 + ε I = , = 100,1616 mm d après défo = d. 1 + ε II = , = 14,997 mm σ I = 339, 53 MPa ε I = 1, ε II = 0, ε III = 0, L après défo = 100, 1616 mm d après défo = 14, 997 mm Mathieu Rossat ITI RAN /

2 EXERCICE (30 min) : Pour cette section droite de poutre (cote en mm), déterminez la position du centre de gravité, l orientation du repère principal puis calculez les moments quadratiques principaux IZ et IY. On notera OA le centre de A et A et OB celui de B et B. A A Y B B Z N Dim Si Yi Yi.Si Zi Zi.Si Carré A coté Carré A coté Carré B coté Carré B coté Somme En fonction de la géométrie, tout ou partie des cases ne sont pas à remplir YG = 0 mm ZG = -,15 mm A A' c= 0 mm c = 16 mm Y_YG= 0 mm Y_YG= 0 mm Z_ZG= mm Z_ZG= mm IY= mm^4 IY= mm^4 IZ= mm^4 IZ= mm^4 MsY= 0 mm^3 MsY= 0 mm^3 MsZ= 0 mm^3 MsZ= 0 mm^3 IYG= mm^4 IYG= mm^4 IZG= mm^4 IZG= mm^4 B B' c= 16 mm c = 1 mm Y_YG= 0 mm Y_YG= 0 mm Z_ZG= mm Z_ZG= mm IY= mm^4 IY= 1 7 mm^4 IZ= mm^4 IZ= 1 7 mm^4 MsY= 0 mm^3 MsY= 0 mm^3 MsZ= 0 mm^3 MsZ= 0 mm^3 IYG= mm^4 IYG= mm^4 IZG= mm^4 IZG= mm^4 N IY IZ Carré A Carré A Carré B Carré B Total IY = mm 4 IZ = mm 4 Mathieu Rossat ITI RAN /

3 EXERCICE 3 (45 min) : Pour cette poutre à section carrée (de coté de 0mm), de module d élasticité MPa, calculez les actions à l encastrement en A. Y p = 100 N/m A L = 1m B L = 1m C X (= 1 /.p.l) X A = 0 Y A = 1. p. L = 50 N N A = 1. p. L = 50 N. m Pour la suite on prendra : XA = 0 YA = 50 N NA = - 50 N.m Déterminez les équations des efforts tranchants et des moments fléchissant sur chaque zone. Zone [AB[ L Ty x = p. dλ + F x Ty x = p. L x + 1. p. L Ty x = p. x 1. p. L L Mfz x = p. λ x. dλ + F.. L x x L x Mfz x = p p. L.. L x Mfz x = 1. p. x + 1. p. L. x + 1. p. L Zone [BC[ Ty x = F Ty x = 1. p. L Mfz x = F.. L x Mfz x = 1. p. L.. L x Mathieu Rossat ITI RAN /

4 Tracez les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissant à partir de leurs équations en précisant les valeurs particulières. Vérifiez la cohérence des résultats. Y p = 100 N/m X Tracez les diagrammes sans les équations si vous n êtes pas parvenus à les obtenir. A L = 1m B L = 1m C (= 1 /.p.l) Ty x 1.p.L 1.p.L 1.p.L Mfz x 5.p.L 1.p.L Précisez le lieu et la valeur de la contrainte maxi En = L, Ty est nul. Mfz est donc maxi à cette abscisse. σ max = ± Mfz x max. c 5 I Gz = ±. p. L. c 15. p. L = ± c 4 4. c 3 = ±46, MPa 1 La contrainte maxi est positive sur la fibre supérieure (fibre en traction) et négative sur la fibre inférieure (fibre en compression). Lieu de la contrainte maxi : x = L Valeur de la contrainte maxi : σ max = ±46, MPa Mathieu Rossat ITI RAN /

5 La flèche maxi se situe à l extrémité de la poutre. Déterminer la valeur de la flèche maxi. Zone [AB[ E. I Gz. v = Mfz x = p. L x + 1. p. L.. L x E. I Gz. v = p. E. I Gz. v = p. L x p. L.. L x + C 4 1 L x p. L.. L x 3 + C C Zone [BC[ E. I Gz. v = Mfz x = 1. p. L.. L x E. I Gz. v = 1 4. p. L.. L x + C 3 E. I Gz. v = 1 1. p. L.. L x 3 + C 3. x + C 4 Conditions aux limites : En x = 0 pas de pente : v = 0 C = 15. p. L4 4 En x = 0 pas de dplct : v = 0 C 1 = 5. p. L3 6 En x = L pas de dplct : v AB = v BC et v AB = v BC C 3 = 5. p. L3 6 C 4 = 5. p. L4 Valeur de la flèche maxi : E. I Gz. v = 1. p. L.. L x p. L3. x 5. p. L4 v = 1. 1 E. I. p. L.. L x Gz 6. p. L3. x 5. p. L4 v max = E. I Gz 6. p. L3. x 5. p. L4 5. p. L4 v max = 4. E. I Gz Lieu de la flèche maxi : Valeur de la flèche maxi : x = m v max = 37, 0 mm Mathieu Rossat ITI RAN /

6 EXERCICE 4 (15 min) : Pour cette poutre, sans calcul préalable, tracez le diagramme des actions de cohésions de Ty et Mfz en précisant (avec explications) les valeurs particulières. L étude statique donne YA = 1 /.p.l et YC = 5 /.p.l Mathieu Rossat ITI RAN /

7 EXERCICE 5 (15 min): Soit l état de contrainte suivant. Calculer la position du repère principal et la valeur des contraintes principales de manière analytique. Retrouver ces valeurs par le tracé du cercle de Mohr. X σ = -00 MPa σ1 = -350 MPa σ1 = -350 MPa x1 P σ11 = 50 MPa tan. α 0 = σ I = σ 11 + σ σ II = σ 11 + σ. τ σ 11 σ = 16,5 + σ 11 σ. cos. α 0 + τ. sin. α 0 = 955,97 MPa + σ 11 σ. cos. α 0 + π + τ. sin. α 0 + π = 305,97 MPa Attention! Dans l équation ci-dessus, il faut mettre l angle en radian!! Mathieu Rossat ITI RAN /

8 1 carreau = 50MPa Analytique σ I = 955,97 MPa σ II = 305,97 MPa θ = 16,5 Graphique σ I = 960 MPa σ II = 310 MPa θ = 17 Mathieu Rossat ITI RAN /