MECA 1855 Thermodynamique et Energétique Solutions de la séance 2

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1 MECA 855 hermodynamique et Energétique Solutions de la séance Exercice - Variation d entropie d un solide Le corps analysé étant un solide, il n y a pas de distinction entre chaleur spécifique à pression constante et chaleur spécifique à volume constant en première approximation. En effet, la pression d un solide se ramène uniquement à l application de forces par unité de surface. Imposer ainsi une augmentation de température en contraignant le volume à rester constant ou la pression à rester constante revient exactement au même pour des corps solides indilatables et incompressibles. En toute rigueur, il faudrait cependant tenir compte de la légère dilatation du solide et différencier légèrement les C p et C v mais la différence est vraiment négligeable. En conséquence, C p = C v = C. Donc, le processus de chauffe d un solide peut être considéré tant isobare qu isochore, ce qui permet le calcul suivant : ds = dh v dp ds = du + p dv ds = dh = du = c d ds = dh = du = C d S = C d = 5.48 ln 7 = 9 [J/K] 7 Exercice - Calculs d entropie Questions a : Un gaz parfait est caractérisé par le fait que les chaleurs spécifiques c p et c v ne varient pas avec la température et la pression. Par conséquent, on peut au moins affirmer que ce gaz n est pas parfait mais est soit idéal, soit quelconque! Il vous faut une seconde affirmation pour montrer que ce gaz est idéal : h h dh = d + dp p p u u du = d + dv v v Il faut que les seconds termes de ces deux équations soient nuls simultanément pour pouvoir affirmer que ce gaz quelconque répond en plus à la loi des gaz parfaits valable tant pour les gaz idéaux que pour les gaz parfaits. h p = 0 u v La loi d évolution du C v est évidememnt de la forme suivante avec le R molaire : C v = a n R + b = 0

2 ou, avec le R massique : C v = a M R + b Questions b : S = S = S = 7.95 ds = a d + [ ] J K dh V dp = b d = a ln d C p + b Questions c : C p 0 = C p 0 = 0 0 C p d C p d C p = [ ] J = 8.95 K C p d Questions d : du C p moyen. On peut soit utiliser la définition de l enthalpie soit passer par l utilisation Définition de l enthalpie H = Utilisation du C p moyen C p d = a d + = a + b =.5 [kj] H = C p t 0 t C p t 0 t =.5 [kj] Exercice - ransformations en système fermé b d Il est important de se rappeler la différence entre les équations d état et les équations de transformation. Les équations d état sont des relations qui relient entre elles les propriétés thermodynamiques d un corps à un équilibre donné, tandis que les équations de transformation informe sur le chemin suivi pour passer d un état d équilibre à un autre.

3 L équation d état la plus connue est celle des gaz parfaits qui exprime une relation entre les variables de pression, volume massique et température : p V = M R p v = R Un état thermodynamique monophasique étant entièrement défini par deux variables grâce aux relations d états un couple p, ou p,v ou,s, les équations de transformation expriment simplement une relation entre ces deux variables au cours de la transformation. Par exemple, les transformations de type polytropiques sont données par la relation suivante, si les chaleurs massiques peuvent être considérées comme constantes : p v m = constante où m est le coefficient polytropique. Une transformation polytropique répond à l hypothèse suivante : l augmentation d entropie est proportionnelle à l augmentation d énergie interne ou d enthalpie. Dans le cas où l augmentation d entropie est nulle, m est égal au coefficient de Poisson ; il est unitaire quand la transformation est isotherme, etc etc. Le coefficient de Poisson se définit comme suit : Coefficient de Poisson = γ C p C v = c p c v = 7 R 5 R =.4 pour tout Gaz Parfait diatomique Et en rappelant la relation entre les chaleurs spécifiques et la constante des Gaz Parfaits : R = c p c v = R [ ] J M m K. ransformation - : m = isotherme Pression [bar] empérature [K] v [m /] s [J/ K] Détermination des caractéristiques du point Par la loi des gaz parfaits : = p v R = 48 [K] Détermination des caractéristiques du point La transformation est isochore : v = v. De plus, on nous donne la chaleur apportée au système durant la transformation. Du premier principe de la thermodynamique, on tient : U = Q + W e = Q M p dv + W f = Q

4 en supposant que la transformation se fait en système fermé sans travaux de frottement. Il est très important de faire attention à ne pas utiliser le raccourci : H = Q provenant des simplifications de l équation du travail en système ouvert! = Q = q = 67 [K] M c v c v La loi des gaz parfaits nous permet de trouver la pression au point : p = R v =.8 [bar] Détermination des caractéristiques du point La transformation - étant isotherme : = et la transformation - étant isobare : p = p. On complète le tableau via la loi des gaz parfaits : v = R p =.85 [m /] Détermination des variations d entropie En partant des relations de l entropie ransformation - isochore : ds = ds = du + p dv et ds = dh v dp du + p dv ransformation - isotherme : ds = dh v dp = ransformation - isobare : ds = dh v dp v dp = c v d = R dp p = c p d s = +8.4 [ J ] K s = +.5 s = 9.9 [ J ] K [ J ] K La détermination du travail moteur est faite légèrement plus loin dans l exercice.. ransformation - : m =. Les caractéristiques des états et ne sont pas modifiées par la transformation - qui les suit. Par contre, les caractéristiques thermodynamiques suivantes seront affectées par le changement de transformation. La loi de transformation d une transformation polytropique s écrit : p v m = cste Donc pour la transformation -, on trouve : [ ] p v. = p v. p. m v = v =.74 p

5 La température au point s obtient par la loi des gaz parfaits. = p v R = 485 K Le calcul d entropie au point se fait à partir des nouvelles caractéristiques calculées et via la transformation isobare - : s = c p d v dp = c p ln = 8. Pression [bar] empérature [K] v [m /] s [kj/ K] ransformation - : m = 0.8 Le raisonnement est identique : [ J ] K [ ] p v 0.8 = p v 0.8 p 0.8 m v = v =.0 p La température au point s obtient par la loi des gaz parfaits. = p v R = 68 K Le calcul d entropie au point se fait à partir des nouvelles caractéristiques calculées et via la transformation isobare - : s = 4. Justification graphique c p d v dp = c p ln = 49.4 Pression [bar] empérature [K] v [m /].5.5. s [kj/ K] [ J ] K Calculs des travaux moteurs des trois cycles Le travail moteur peut être calculé comme l aire enfermée dans le diagramme p-v ou dans le diagramme -s. On peut cependant aussi simplement calculer le travail moteur associé à chaque transformation : Pour le cycle de base avec m = soit la transformation isotherme : w m,tot. = w m, + w m, + w m,

6 w m,tot. = p dv = 0 Pour le cycle avec m =. : p dv p dv car isochore v p dv = R dv v = R ln p dv = p v v = 48 v w m,tot./m= = = 0 p dv = 58 p dv = 0 pdv = m p v car isochore [ v,m=. v pdv = p v v,m=. = 8.6 Pour le cycle avec m = 0.8 : m ] w m,tot./m=. = = 8. = 46.8 p dv = 0 pdv = m p v car isochore [ v,m=0.8 v pdv = p v v,m=0.8 = 6. m ] w m,tot./m=0.8 = = = 76. La comparaison de résultats du travail moteur montre que c est lors de la transformation avec m = 0.8 que le fluide fournit le travail moteur le plus important. Ceci est confirmé visuellement par l analyse graphique : Lorsqu on regarde les aires parcourues par les trois cycles, on se rend immédiatement compte que l aire parcourue lors de la transformation à m =. courbes rouges est inférieure à celle parcourue lors de la transformation isotherme et l est encore plus comparée

7 Fig. : Représentation des transformations dans un diagramme p-v Fig. : Représentation des transformations dans un diagramme -s

8 à la transformation à m = 0.8 courbes vertes. Le cas m = correspond au cycle qui permet de produire le plus de travail moteur à partir d un environnement à température constante. Le cas m = 0.8 permet de produire plus de travail, mais moyennant l accès à une source de chaleur de température supérieure à. Dans ce cas, le travail fourni aurait pu être plus grand, en prolongeant la compression isochore jusqu à une plus haute température, et en effectuant ensuite une détente isotherme. Notons qu on n a pas considéré ici les rendements des cycles proposés, mais uniquement le travail moteur produit.

9 Exercice 4 - Cycle de transformations en système fermé Dans cet exercice, des transformations en système fermé sont réalisées dans un cycle. On rappèle les différences que cela implique sur le calcul du travail moteur la démonstration a été effectuée dans le cours de FSAB0 - Chimie : Cycles fermés de systèmes fermés : w m = p dv Cycles fermés de systèmes ouverts : w m = + v dp Etape - calcul de la masse de fluide L application de la loi des gaz parfaits au point du cycle nous permet de trouver la masse de fluide piégée dans chaque transformation. Ce fluide étant un gaz parfait air, sa masse molaire vaut approximativement : [/mol] : p V = M R M = p V R = Etape - calcul des caractéristiques en 4 p V R M m =.6 [] L objectif de cet exercice est de montrer que les calculs du cycle peut se réalisé autant dans le sens horlogique qu anti-horlogique. Ainsi, on conseille de commencer les calculs par la détermination de la pression au point 4 : V 4 = p 4 = R 4 M V 4 =. [bar] Etape - calcul des caractéristiques en La transformation étant isotherme en système fermé et le gaz parfait, le premier principe se réduit à : U = C v = 0 = Q + W m = Q p dv Q = p dv La transformation étant isotherme, la loi d évolution s exprime simplement comme pv = constante v. L application de cette loi d évolution nous donne : Q = M R dv V = M V R ln Q V = V exp M R = 0.56 [m ] On aurait aussi pu commencer le calcul par la détermination de la pression en partant d un raissonnement basé sur la définition de l enthalpie : On tire la différentielle suivante : H = U + p V dh = du + p dv + V dp Couplée à l équation du premier principe en système fermé : V du = dq + dw e = dq p dv + dw f

10 Et comme, la transformation est isotherme en gaz parfait, la variation d enthalpie est nulle. En supposant les frottements négligeables : dh = dq + V dp M c p d = dq + V dp 0 = M R dp p 0 = M R ln On peut facilement en déduire la pression au point de ce cycle : p 8000 ln = p p =.975 [bar] La loi des gaz parfaits permet le calcul du volume : V = M R p = 0.56 [m ] Etape 4 - calcul des caractéristiques en La transformation - étant isochore et connaissant la température au point, on détermine facilement p via la loi des gaz parfaits : p p V = 0.56 [m ] p = R v = 5.99 [bar] Etat p [bar] [K] V [m ] S [J/K] ? ? ?

11 Etape 5 - calcul des variations d entropie Pour une transformation isotherme : dh = ds + V dp ds = R dp p s = 96 [J/ K] s 4 = +96 [J/ K] S = 96.6 = 460[J/K] S 4 = = 460[J/K] Pour une transformation isochore : du = ds p dv ds = c v d s = 06.6 [J/ K] s 4 = 06.6 [J/ K] S = = 40 [J/K] S 4 = = 40 [J/K] Etat p [bar] [K] V [m ] s [J/ K] S [J/K] Etape 6 - calcul du travail du cycle Le travail moteur dans un cycle fermé s exprime de la façon suivante : w m,tot. = p dv Le travail effectué par le cycle est la somme des contributions des quatre transformations : W m, = M W m, = M W m, 4 = M W m,4 = M 4 4 p dv = M R ln p dv = 0 [kj] p dv = M R ln p dv = 0 [kj] v v v4 v = 8 [kj] = 85 [kj] Le travail moteur vaut donc : W m = 47 [kj]. Du premier principe de la thermodynamique :

12 W + Q = U p dv + q + w f = u Q = p dv = V dp = M R ln Q = U = C v = 8. [kj] Q 4 = M R p4 ln = 85 [kj] p Q 4 = C v 4 = 8. [kj] p p = 8 [kj] Etape 7 - calcul du rendement du cycle Le rendement du cycle représente ce que l on a retiré du cycle pour la quantité d énergie qu on lui a fournie. Dans notre cas, en ayant fourni des apports de chaleur lors des transformations - et -4, on récupère le travail moteur du cycle. On a donc transformé de l énergie d une source chaude en de l énergie sous forme de travail moteur et sous forme de pertes à la source froide. η = Q c Q f = = 0.75 Q c Ce résultat est comparé au rendement de Carnot qui représente le meilleur résultat qu un cycle aurait pu réaliser en travaillant entre ces températures. On voit immédiatement que notre rendement lui est bien inférieur ce qui nous rassure immédiatement sur la validité de nos calculs. η c = f c = 0.5