6. Quelques lois continues

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1 6. Quelques lois continues MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: Lois continues 1/30

2 Plan 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 2/30

3 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 3/30

4 Loi uniforme On dit qu une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l intervalle [a, b] si sa fonction de densité est f X (x) = 1 b a si a x b, 0 sinon. On dénote ceci par X U(a, b). MTH2302D: Lois continues 4/30

5 Loi uniforme (suite) La fonction de répartition d une variable aléatoire X U(a, b) est F X (x) = 0 si x < a, x a b a si a x < b, 1 si x b. MTH2302D: Lois continues 5/30

6 fonction de densité de X~U(a=2,b=8) f(x) x MTH2302D: Lois continues 6/30

7 fonction de répartition de X~U(a=2,b=8) F(x) x MTH2302D: Lois continues 7/30

8 Autres caractéristiques Si X U(a, b) alors 1. µ = E(X) = a + b σ 2 = V(X) = (b a) [a; b] = [ µ 3σ; µ + 3σ ]. Exemple 1 Démontrer ces 3 points. MTH2302D: Lois continues 8/30

9 Loi uniforme : calcul avec des logiciels Excel : faire directement les calculs. R : f X (x) = dunif(x, a, b). F X (x) = punif(x, a, b). MTH2302D: Lois continues 9/30

10 Exemple 2 Un autobus passe à un arrêt donné sur sa ligne à 7h00, 7h15 et 7h30. Un passager se présente à cet arrêt entre 7h00 et 7h30. L heure exacte de son arrivée est une variable aléatoire uniforme. Quelle est la probabilité que le passager attende l autobus pendant plus de 10 minutes? MTH2302D: Lois continues 10/30

11 Exemple 3 Soit C le carré de sommets (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1) et (1, 1) dans le plan. On choisit au hasard un point à l intérieur de C. Soit d la distance de ce point à l origine. 1. Quelle est la probabilité que d soit inférieure ou égale à 1? 2. Application pratique de ce résultat? (voir code ci-après). MTH2302D: Lois continues 11/30

12 MTH2302D: Lois continues 12/30

13 nt appr. pi error CPU time e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e MTH2302D: Lois continues 13/30

14 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 14/30

15 Loi exponentielle On dit qu une variable aléatoire continue X suit une loi exponentielle de paramètre λ si sa fonction de densité est λe λx si x 0, f X (x) = 0 sinon. On dénote ceci par X Exp(λ). MTH2302D: Lois continues 15/30

16 Loi exponentielle (suite) La fonction de répartition d une variable aléatoire X Exp(λ) est 0 si x < 0, F X (x) = 1 e λx si x 0. Notons que P (X > x) = 1 F X (x) = e λx pour x 0. MTH2302D: Lois continues 16/30

17 fonction de densité de X~Exp(lambda=5) f(x) x MTH2302D: Lois continues 17/30

18 fonction de répartition de X~Exp(lambda=5) F(x) x MTH2302D: Lois continues 18/30

19 Autres caractéristiques Si X Exp(λ) alors 1. E(X) = 1 λ. 2. V(X) = 1 λ Médiane : x = ln 2/λ. 4. Mode : x = 0 (le maximum de λe λx pour x 0). 5. Si X Exp(λ), alors γ 1 = 2 et β 2 = 3 pour tout λ. Toutes les distributions exponentielles ont la même forme. Exemple 4 Démontrer ces points. MTH2302D: Lois continues 19/30

20 Loi exponentielle : calcul avec des logiciels Excel : f X (x) = LOI.EXPONENTIELLE(x, λ, 0). F X (x) = LOI.EXPONENTIELLE(x, λ, 1). R : f X (x) = dexp(x, λ). F X (x) = pexp(x, λ). MTH2302D: Lois continues 20/30

21 Lien avec la loi de Poisson Considérons un processus de Poisson où le nombre moyen de réalisations par unité de temps (i.e. t = 1) de l événement d intérêt est égal à λ. Soit X Poi(c = λt) le nombre de réalisations dans l intervalle [0, t] et T le temps d attente avant la première réalisation. Alors P (T > t) = P (X = 0) = e c c 0 /0! = e λt et donc T suit une loi exponentielle de paramètre λ. Plus généralement, soit T le temps écoulé entre deux réalisations successives. Alors T Exp(λ). MTH2302D: Lois continues 21/30

22 Absence de mémoire Si X Exp(λ) alors pour tous s, t > 0, P (X > s + t X > t) = P (X > s). MTH2302D: Lois continues 22/30

23 Exemple 5 À un poste de péage sur une autoroute, il arrive en moyenne 5 voitures par minute selon un processus de Poisson. Une voiture arrive à 12h Quelle est la probabilité que la voiture suivante arrive après 12h02? 2. Si la deuxième voiture arrive à 12h02, quelle est la probabilité qu aucune autre voiture n arrive avant 12h03? 3. Quel est le temps moyen entre deux arrivées? MTH2302D: Lois continues 23/30

24 Exemple 6 La durée de fonctionnement d un transistor suit une loi exponentielle et est en moyenne de 20,000 heures (= 1/λ). Un tel transitor, utilisé à une fin particulière, fonctionne déjà depuis 20,000 heures. Quelle est la probabilité que ce transistor fonctionne au moins 30,000 heures? MTH2302D: Lois continues 24/30

25 Fiabilité Soit T la durée de vie (durée de fonctionnement sans panne) d une pièce d équipement. Alors R(a) = P (T > a) = 1 F T (a) est la probabilité que la pièce fonctionne au temps a. On appelle R(a) la fiabilité de la pièce au temps a. MTH2302D: Lois continues 25/30

26 Exemple 7 Considérons un système constitué de deux composants A et B en parallèle fonctionnant indépendamment. Supposons que la durée de vie de A et B suive une loi exponentielle de moyenne 3 ans. Calculer la fiabilité du système pour une année. MTH2302D: Lois continues 26/30

27 1. Loi uniforme 2. Loi exponentielle 3. Lois gamma / Weibull / bêta MTH2302D: Lois continues 27/30

28 Loi gamma Fonction gamma Γ(x) = t=0 t x 1 e t dt pour x > 0. Loi gamma : X Γ(α, λ) avec α, λ > 0 f X (x) = λ Γ(α) (λx)α 1 e λx pour x > 0. MTH2302D: Lois continues 28/30

29 Loi gamma (suite) Γ ( 1 2) = π, Γ(1) = 1, Γ(i) = (i 1)! pour tout entier i > 0. Γ(x) = (x 1)Γ(x 1) pour x > 1. Si X Γ(α, λ), alors E(X) = α/λ et V(X) = α/λ 2. Si α = 1, alors X Exp(λ). Si X Γ(α = n, λ) avec n entier, alors F X (x) = 1 F Y (n 1) avec Y Poi(c = λx). Si X 1, X 2..., X n sont des v.a. indépendantes qui suivent toutes une loi Exp(λ), alors X = X 1 + X X n suit une loi Γ(α = n, λ) (loi d Erlang). Exemple 8 Calculer P (X < 5) si X Γ(α = 5, λ = 0.5). MTH2302D: Lois continues 29/30

30 Loi de Weibull : X W(λ, β) avec λ, β > 0 f X (x) = λβx β 1 e λxβ pour x > 0. Loi bêta : X Be(α, β) avec α, β > 0 f X (x) = Γ(α + β) Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 pour 0 < x < 1. Voir exercice 6.24 page 147. MTH2302D: Lois continues 30/30

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