TD : théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT)

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Antoine Rochette
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1 D : hé la c la sé (D). héèms Hhbg Kh O csè l équa Schög pu ux élcs ˆ Ŵ ˆV 2 0(X,X 2 )=E 0 0 (X,X 2 ), ù la c mé 0 éc l éa amal, X (, ), X 2 ( 2, 2 ), ˆV =ˆv()ˆv(2) s l péau ég p ac s élcs avc ls yaux qu s é pa l ég p cspa mécaqu classqu v(). Das l am hélum, pa xmpl, v() = 22 4Á 0 als qu as la mlécul H 2, v() = 4Á 0 R A 4Á 0 R B ù R A R B s ls vcus ps s ux hygès. O app qu, pu u c à ux élcs, ù () =2 ÿ =, È ˆV Í = v() (), X 2 2 (,,X 2 ) s la sé élcqu asscé à. a) O 0 () = 0 () la sé xac l éa amal. O supps qu l xs u au ég p v (), la éc avc v() s pas u csa, qu s qu la c mé 0 écva l éa amal l haml ˆ Ŵ ˆV, ù ˆV = ˆv () ˆv (2), a xacm la mêm sé 0 (). M, écva l équa Schög sasa pa 0,qu 0 pu ê égal à 0. b) O supps qu ls cs 0 0 s pas égééés. E éu ls égalés suvas, È 0 ˆ Ŵ 0Í < È 0 ˆ Ŵ 0Í È 0 ˆ Ŵ 0Í < È 0 ˆ Ŵ 0Í, pus cclu. Vus vz ém l pm héèm Hhbg Kh (HK). c) D apès l héèm émé à la qus. b), pu é la c HK, [] =È [] ˆ Ŵ []Í, ù () s u sé élcqu qulcqu [] s la c mé écva l éa

2 amal l haml ˆ Ŵ ˆV [] qu a pu sé (). Explqu puqu [] s applé c "uvs" HK pus ém l sc héèm HK : ; < E 0 =m [] v() () = [ 0 ] v() 0 (). 2. D Kh Sham a) O csè u sysèm élcqu c ù ls élcs agss pas (Ŵ =0). L pm héèm HK sl ujus val as c cas b) S la c Kh Sham (KS) s [] =È [] ˆ []Í, ù () s u sé élcqu qulcqu [] s la c mé écva l éa amal l haml ˆ ˆV [] qu a pu sé (). Explqu puqu [] s u éma Sla. c) S la c échag céla, E xc [] = [] s [] 2 4Á 0 ()( ) C c s uvs M, ulsa l sc héèm HK, qu l ég. l éa amal pu ê calculé xacm à pa u sul éma Sla KS,qu l app éma KS, cmm su E 0 = È KS ˆ ˆV KS Í 2 4Á 0 0() 0 ( ) E xc [ 0 ]. ) Qul s l l l éma KS la c xac 0 écva l éa amal u sysèm él 2

3 u.3 :., -..l -3.l - _c ; L :}- y" 3 (> (> (- - -*..,( -L.Y ( b L - " :": :_- A*'L ", <:,A } ).. (>.'l u - l& <>] u (- -l :--,,a -" * x ' - l x )a l ul,b )- <:* (,- -b. = l ;a.) ) :l -,,,( a' ).,, -- a', cl ' s : _) l( z x. l -L,.a )- * ( (- ; )- (:,_ -l U,A - l l' 'c -l Eau s.= = 4- l -/ = l l -b s cv -A " * : E ;s- L, S"l b--:-. A / -' l.< '). "' - -, 'v ;,. *. '3 < - u ca -9 q, *D. -a ( > '<- ><, -,..-,j *ls: 7 -: (> Lj (l < j( -/ (. l*, (., l a < -,l < -" )< jl - - -) _,z), s ",'. ".: s- '..,;l g, ' *V b &.) s =s )- j

4 q l- c c, V l j-p g 6 -< s". L v--- E l u -. ', -: ( vl - ac s / q.- (( -Y ly - g,. ', s': -:^( L-g - * A,l l(>' * l. ('. : *L'', E 9(> '(, l - g " j.q7 ' Lg l,-( c " l.g l E 6 -.l L- ' v -aa9 3 ^lj -- 'l a-, ; L- s *':] ' ( x * ) -<. / ^-3 u' :' -." l v 'l -.^ -] [ '=l.... ^l -' ;--.^- - v.,..-" l., l-(.'l G [ g -,," /.=. "l. ;" AV.y -L v 9 - ' Q- G.,'( a A- -u :Y ) '- - a -- )'.. ",: a- s -.. L* l E., 6..6 j ' l" ; -., -. -:'- _.}, - l- ' '.. '6p a l- <( -c 3l _: ' - &&, U ' _ -, ul l - L >" ) (> " E.l ) a..l ; ' '( A - E u".--,' a s3 'C E.l '., ', ('z. x* q*':, E- 4 : s y. g3 L =u,,,, l qq

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