Chapitre 1 : Nombres relatifs

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1 Chapitre 1 : Nombres relatifs I Nombres relatifs Définition 1. Les nombres relatifs regroupent les nombres positifs et négatifs. Ils sont composés d une distance à zéro (appelée aussi partie numérique) et d un signe (+ ou -). Remarque. Le seul nombre à la fois positif et négatif est 0. A Repérage sur une droite graduée Une droite graduée est une droite pour laquelle on a choisi un sens et une unité de longueur que l on reporte de part et d autre de l origine. L opposé d un nombre relatif est un nombre relatif de signe contraire et de même distance à 0. Exemple est l opposé de 2 ; 6,5 est l opposé de -6,5 B Comparaison Trois cas : comparaison d un nombre négatif et d un nombre positif : un nombre négatif est plus petit qu un nombre positif. comparaison de deux nombres positifs : pas de changement, le plus grand est celui dont la distance à zéro est la plus grande De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (partie numérique). C Repérage dans le plan Un repère du plan est constitué de deux droites graduées (ou axes) de même origine O. O est l origine du repère. En général, les axes sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal. 1

2 II A Calculs Addition, soustraction et simplification Propriété 1. Addition Pour calculer la somme de deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun, et on additionne les distances à zéro. Pour calculer la somme de deux nombres relatifs de signes différents, on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on calcule la différence entre les distances à zéro. Remarque. La somme de deux nombres opposés est égale à zéro Propriété 2. Soustraction Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé Exemple 2. A = 5, 6 + 1, 2 = 12, 8 B = ( 17, 5) + ( 4, 36) = (17, 5 + 4, 36) = 21, 86 C = 28, 5 + ( 14, 7) = +(28, 5 14, 7) = 13, 8 D = 2, 6 + ( 6, 5) = (6, 5 2, 6) = 3, 9 E = 13, 4 + ( 4, 9) + ( 7) + 9, 8 = 11, 3 G = 10, 5 ( 8, 4) = 10, 5 + 8, 4 = 18, 9 H = 7, 4 ( 12, 6) = 7, , 6 = 5, 2 I = 24, 2 7, 5 = 24, 2 + ( 7, 5) = 31, 7 B Distance entre deux points Définition 2. La distance entre deux points situés sur une droite graduée est égale à la différence entre la plus grande et la plus petite abscisse. 2

3 Exemple 3. On donne les abscisses suivantes : A(1,5) ; B(-3,5) ; C(5,5) ; D(2,5). Calculer les distances AB, BC, CD. AB = 1, 5 ( 3, 5) = 1, 5 + 3, 5 = 5 BC = 5, 5 ( 3, 5) = 5, 5 + 3, 5 = 9 CD = 5, 5 2, 5 = 3 Attention Il n y a pas d unité de longueur Remarque. Une distance est toujours positive. C Multiplication Remarque. Le produit d un nombre relatif par -1 et égal à son opposé. Exemple 4. ( 1) 5, 8 = 5, 8 ( 1) ( 3) = 3 4 2, 5 = 10 ( 5) 7 = 35 3 ( 1, 5) = 4, 5 ( 2) ( 3, 4) = 6, 8 Propriété 3. Le produit de plusieurs nombres relatifs est : positif s il y a un nombre pair de facteur négatifs négatif s il y a un nombre impair de facteur négatifs 3

4 D Division Quotient Soient a et b, deux nombres avec b 0. Le quotient a b est le nombre tel que b a b = a On l écrit a b ou a b Exemple 5. 7 = 1, = 4, 5 4, 5 = 0, = = 4 5 = 4 (convention d écriture, le signe 5 se place devant.) III Somme algébrique Exemple 6. (+7) ( 3) = (+7) + (+3) On peut échanger addition et soustraction. Il est donc inutile de faire la différence entre l addition et la soustraction. Définition 3. Une somme algébrique est une suite d additions et de soustractions. Cette somme algébrique peut se présenter sous forme 1. une suite d additions 2. une suite de soustractions 4

5 3. une suite d additions et de soustractions 4. une suite de nombres positifs et négatifs dans laquelle les signes d additions et les parenthèses sont sous-entendus Exemple (+24) + ( 12) + ( 9) + (+34) 2. (+24) (+12) (+9) ( 34) 3. (+24) + ( 12) (+9) ( 34) Les 4 formes sont identiques, la dernière s appelle la forme simplifiée. Attention : les additions sont "sous-entendues" dans la dernière forme, elle doit se lire de la manière suivante «j ajoute tous les nombres relatif suivants +24, -12, -9, +34» Conventions d écriture (I) : 1. On peut supprimer le signe + et les parenthèses d un nombre positif (ex (+12) devient 12) 2. on peut supprimer les parenthèses autour du premier terme (ex A = ( 24) +... devient A = ) Exemple 8. ( 2) + (+3) = ( 2) + 3 = (+3) (+6) = ( 3) + 6 = ( 2) ( 8) = 2)+(+8) = ( 2)+8 = 2+8, on transforme d abord l opération de soustraction en opération d addition. Conventions d écriture (II) : Exemple 9. +(+a) devient +a +(+3) = +3 ( a) devient +a ( 7) = +7 +( a) devient a +( 5) = 5 (+a) devient a (+8) = 8 A = (+24) + ( 12) (+9) ( 34) + ( 25) ( 42) + ( 1) = 24 + ( 12) 9 ( 34) + ( 25) ( 42) + ( 1) convention I = convention II Changement d ordre des termes 1. Dans une somme algébrique, on peut changer l ordre des termes que lorsqu elle est sous forme simplifiée 2. Lorsqu on change un terme de place, on n oublie pas de prendre son signe avec lui! Exemple 10. A = (+12) + (+5) + ( 8) + ( 15) + (+9) + ( 24 A = (par simplification) A = (déplacement des nombres relatifs avec leur signe) A = (Attention, on additionne les nombres relatifs +26 et -47 ) A = 21 5