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1 Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012

2 1 Rappel de l épisode précédent sur l inverse d une application linéaire/matrice Notion d inverse d une application linéaire 2 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général

3 1 Rappel de l épisode précédent sur l inverse d une application linéaire/matrice Notion d inverse d une application linéaire 2 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général

4 Rappel : Notion d application bijective Definition Soit f : U V une application linéaire. On dit que f est bijective si pour tout y de V, il existe un unique x dans U tel que f (x) = y.

5 Rappel : Notion d application bijective Definition Soit f : U V une application linéaire. On dit que f est bijective si pour tout y de V, il existe un unique x dans U tel que f (x) = y.

6 Notion d inverse d un application linéaire bijective Dans le cas où f est bijective, on peut lui fabriquer une application inverse notée f 1 f 1 : V U qui à chaque y de V associe l unique x de U tel que y = f (x).

7 Notion d inverse d un application linéaire bijective Dans le cas où f est bijective, on peut lui fabriquer une application inverse notée f 1 f 1 : V U qui à chaque y de V associe l unique x de U tel que y = f (x).

8 Propriétés évidentes de l inverse On a : f 1 est bijective (f 1 ) 1 = f pour tout x dans U, f 1 (f (x)) = x, ie : f 1 of = Id U pour tout y dans V, f (f 1 (y)) = y, ie : fof 1 = Id V si f est linéaire, alors f 1 l est aussi.

9 Propriétés évidentes de l inverse On a : f 1 est bijective (f 1 ) 1 = f pour tout x dans U, f 1 (f (x)) = x, ie : f 1 of = Id U pour tout y dans V, f (f 1 (y)) = y, ie : fof 1 = Id V si f est linéaire, alors f 1 l est aussi.

10 Propriétés évidentes de l inverse On a : f 1 est bijective (f 1 ) 1 = f pour tout x dans U, f 1 (f (x)) = x, ie : f 1 of = Id U pour tout y dans V, f (f 1 (y)) = y, ie : fof 1 = Id V si f est linéaire, alors f 1 l est aussi.

11 Propriétés évidentes de l inverse On a : f 1 est bijective (f 1 ) 1 = f pour tout x dans U, f 1 (f (x)) = x, ie : f 1 of = Id U pour tout y dans V, f (f 1 (y)) = y, ie : fof 1 = Id V si f est linéaire, alors f 1 l est aussi.

12 Propriétés évidentes de l inverse On a : f 1 est bijective (f 1 ) 1 = f pour tout x dans U, f 1 (f (x)) = x, ie : f 1 of = Id U pour tout y dans V, f (f 1 (y)) = y, ie : fof 1 = Id V si f est linéaire, alors f 1 l est aussi.

13 Propriétés évidentes de l inverse On a : f 1 est bijective (f 1 ) 1 = f pour tout x dans U, f 1 (f (x)) = x, ie : f 1 of = Id U pour tout y dans V, f (f 1 (y)) = y, ie : fof 1 = Id V si f est linéaire, alors f 1 l est aussi.

14 Propriétés évidentes de l inverse On a : f 1 est bijective (f 1 ) 1 = f pour tout x dans U, f 1 (f (x)) = x, ie : f 1 of = Id U pour tout y dans V, f (f 1 (y)) = y, ie : fof 1 = Id V si f est linéaire, alors f 1 l est aussi.

15 Définition de l inverse d une matrice Puisque une matrice est une représentation d une application linéaire (dans de certaines bases), la notion d inverse d une application linéaire se translate aux matrices...

16 Définition de l inverse d une matrice On considère une application linéaire bijective f : R n R m Soit B d et B a des bases respectives de R n et R m. Soit A la matrice de f dans les bases B d et B a Soit B la matrice de f 1 dans les bases B a et B d

17 Définition de l inverse d une matrice On considère une application linéaire bijective f : R n R m Soit B d et B a des bases respectives de R n et R m. Soit A la matrice de f dans les bases B d et B a Soit B la matrice de f 1 dans les bases B a et B d

18 Définition de l inverse d une matrice On considère une application linéaire bijective f : R n R m Soit B d et B a des bases respectives de R n et R m. Soit A la matrice de f dans les bases B d et B a Soit B la matrice de f 1 dans les bases B a et B d

19 Définition de l inverse d une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f 1 of = Id R n fof 1 = Id R m on déduit : BA = Id n AB = Id m, 1 0 où Id p =..... (de taille p) 0 1 Definition La matrice B s appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A 1.

20 Définition de l inverse d une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f 1 of = Id R n fof 1 = Id R m on déduit : BA = Id n AB = Id m, 1 0 où Id p =..... (de taille p) 0 1 Definition La matrice B s appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A 1.

21 Définition de l inverse d une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f 1 of = Id R n fof 1 = Id R m on déduit : BA = Id n AB = Id m, 1 0 où Id p =..... (de taille p) 0 1 Definition La matrice B s appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A 1.

22 Définition de l inverse d une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f 1 of = Id R n fof 1 = Id R m on déduit : BA = Id n AB = Id m, 1 0 où Id p =..... (de taille p) 0 1 Definition La matrice B s appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A 1.

23 Déterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans le cadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours. A chaque matrice A, on associe un nombre appelé determinant de A et noté det(a). det : M n R A det(a). Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible det(a) 0.

24 Déterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans le cadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours. A chaque matrice A, on associe un nombre appelé determinant de A et noté det(a). det : M n R A det(a). Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible det(a) 0.

25 Déterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans le cadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours. A chaque matrice A, on associe un nombre appelé determinant de A et noté det(a). det : M n R A det(a). Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible det(a) 0.

26 Calcul de déterminants de matrices d ordre 2 et 3 ( ) a b det( ) = ad bc c d a 1 a 2 a 3 det( b 1 b 2 b 3 ) = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (a 3 b 2 c 1 + b 3 c 2 a 1 + c 3 a 2 b 1 )

27 Calcul de déterminants de matrices d ordre 2 et 3 ( ) a b det( ) = ad bc c d a 1 a 2 a 3 det( b 1 b 2 b 3 ) = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (a 3 b 2 c 1 + b 3 c 2 a 1 + c 3 a 2 b 1 )

28 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Pour s en souvenir, on peut écrire : c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 et b 1 b 2 b 3 remarquer que le déterminant est la différence entre la somme des diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut. a 1 a 2 a 3 det( b 1 b 2 b 3 ) = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (a 3 b 2 c 1 + b 3 c 2 a 1 + c 3 a 2 b 1 )

29 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Pour s en souvenir, on peut écrire : c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a 3 et b 1 b 2 b 3 remarquer que le déterminant est la différence entre la somme des diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut. a 1 a 2 a 3 det( b 1 b 2 b 3 ) = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (a 3 b 2 c 1 + b 3 c 2 a 1 + c 3 a 2 b 1 )

30 Quelques exemples ( ) 4 3 det( ) = 11, donc la matrice est inversible. 1 2 ( ) 4 1 det( ) = 0, donc la matrice n admet pas 1 1/4 d inverse det( ) = 2, donc la matrice est inversible

31 Quelques exemples ( ) 4 3 det( ) = 11, donc la matrice est inversible. 1 2 ( ) 4 1 det( ) = 0, donc la matrice n admet pas 1 1/4 d inverse det( ) = 2, donc la matrice est inversible

32 Quelques exemples ( ) 4 3 det( ) = 11, donc la matrice est inversible. 1 2 ( ) 4 1 det( ) = 0, donc la matrice n admet pas 1 1/4 d inverse det( ) = 2, donc la matrice est inversible

33 Calcul de déterminant de matrices d ordre supérieur A l aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peut calculer le déterminant d une matrice d ordre 4, à l aide des déterminants de matrices d ordre 3. Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer le déterminant d une matrice d ordre n à l aide des déterminants de matrices d ordre n 1. Voir poly pour plus de détails

34 Calcul de déterminant de matrices d ordre supérieur A l aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peut calculer le déterminant d une matrice d ordre 4, à l aide des déterminants de matrices d ordre 3. Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer le déterminant d une matrice d ordre n à l aide des déterminants de matrices d ordre n 1. Voir poly pour plus de détails

35 Quelques propriétés des déterminants det(id) = 1 det(ab) = det(a)det(b) det(a 1 ) = 1 det(a).

36 Quelques propriétés des déterminants det(id) = 1 det(ab) = det(a)det(b) det(a 1 ) = 1 det(a).

37 Quelques propriétés des déterminants det(id) = 1 det(ab) = det(a)det(b) det(a 1 ) = 1 det(a).

38 Comment calculer l inverse d une matrice Il existe diverses méthodes pour calculer l inverse d une matrice A. Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diverses sous matrices de A. Avec un logiciel... (voir poly...) Algorithme du pivot de Gauss. Objet des sections suivantes

39 Comment calculer l inverse d une matrice Il existe diverses méthodes pour calculer l inverse d une matrice A. Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diverses sous matrices de A. Avec un logiciel... (voir poly...) Algorithme du pivot de Gauss. Objet des sections suivantes

40 Comment calculer l inverse d une matrice Il existe diverses méthodes pour calculer l inverse d une matrice A. Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diverses sous matrices de A. Avec un logiciel... (voir poly...) Algorithme du pivot de Gauss. Objet des sections suivantes

41 Comment calculer l inverse d une matrice Il existe diverses méthodes pour calculer l inverse d une matrice A. Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diverses sous matrices de A. Avec un logiciel... (voir poly...) Algorithme du pivot de Gauss. Objet des sections suivantes

42 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général 1 Rappel de l épisode précédent sur l inverse d une application linéaire/matrice Notion d inverse d une application linéaire 2 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général

43 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Soit A une matrice carré (supposée inversible), on cherche à obtenir la matrice : A 1

44 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Soit A une matrice carré (supposée inversible), on cherche à obtenir la matrice : A 1

45 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Rappel sur la représentation d une application linéaire par une matrice Rappel : Si A représente la matrice d un application linéaire f (bijective) dans une certaine base B = (e 1, e 2,..., e n ), les colonnes de A sont les f (e i ), A = M B (f ) = f (e 1 ) f (e 2 ) f (e n ) a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,ṇ... a n,1 a n,2 a n,n e 1 e 2. e n

46 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Rappel sur la représentation d une application linéaire par une matrice Rappel : Si A représente la matrice d un application linéaire f (bijective) dans une certaine base B = (e 1, e 2,..., e n ), les colonnes de A sont les f (e i ), A = M B (f ) = f (e 1 ) f (e 2 ) f (e n ) a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,ṇ... a n,1 a n,2 a n,n e 1 e 2. e n

47 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Rappel sur la représentation d une application linéaire par une matrice Rappel : Si A représente la matrice d un application linéaire f (bijective) dans une certaine base B = (e 1, e 2,..., e n ), les colonnes de A sont les f (e i ), A = M B (f ) = f (e 1 ) f (e 2 ) f (e n ) a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,ṇ... a n,1 a n,2 a n,n e 1 e 2. e n

48 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Donc, en notant A 1 = B, on a : A 1 = B = M B (f 1 ) = f 1 (e 1 ) f 1 (e 2 ) f 1 (e n ) b 1,1 b 1,2 b 1,n b 2,1 b 2,2 b 2,ṇ... b n,1 b n,2 b n,n e 1 e 2. e n

49 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Donc, en notant A 1 = B, on a : A 1 = B = M B (f 1 ) = f 1 (e 1 ) f 1 (e 2 ) f 1 (e n ) b 1,1 b 1,2 b 1,n b 2,1 b 2,2 b 2,ṇ... b n,1 b n,2 b n,n e 1 e 2. e n

50 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Trouver la matrice A 1 revient donc à calculer les f 1 (e i ) pour i = 1..n Trouver la matrice A 1 revient donc à résoudre les n systèmes linéaires f (x) = e i pour i = 1..n On va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dans la section précédente pour chacun de ces n sytèmes. Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne les calculs simultanément en les présentant ainsi :

51 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Trouver la matrice A 1 revient donc à calculer les f 1 (e i ) pour i = 1..n Trouver la matrice A 1 revient donc à résoudre les n systèmes linéaires f (x) = e i pour i = 1..n On va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dans la section précédente pour chacun de ces n sytèmes. Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne les calculs simultanément en les présentant ainsi :

52 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Trouver la matrice A 1 revient donc à calculer les f 1 (e i ) pour i = 1..n Trouver la matrice A 1 revient donc à résoudre les n systèmes linéaires f (x) = e i pour i = 1..n On va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dans la section précédente pour chacun de ces n sytèmes. Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne les calculs simultanément en les présentant ainsi :

53 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Trouver la matrice A 1 revient donc à calculer les f 1 (e i ) pour i = 1..n Trouver la matrice A 1 revient donc à résoudre les n systèmes linéaires f (x) = e i pour i = 1..n On va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dans la section précédente pour chacun de ces n sytèmes. Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne les calculs simultanément en les présentant ainsi :

54 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général On veut calculer l inverse de la matrice suivante : A = On commence par présenter les choses sous la forme "Gauss" Au lieu de mettre à droite de la matrice un seul vecteur Y comme pour les sytèmes linéaires de la section précédente, on a mis cette fois, tous les vecteurs e i (dont on cherche les antécédants) Remarque : On peut retenir que l on met la matrice Id à droite de A.

55 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général On veut calculer l inverse de la matrice suivante : A = On commence par présenter les choses sous la forme "Gauss" Au lieu de mettre à droite de la matrice un seul vecteur Y comme pour les sytèmes linéaires de la section précédente, on a mis cette fois, tous les vecteurs e i (dont on cherche les antécédants) Remarque : On peut retenir que l on met la matrice Id à droite de A.

56 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général On veut calculer l inverse de la matrice suivante : A = On commence par présenter les choses sous la forme "Gauss" Au lieu de mettre à droite de la matrice un seul vecteur Y comme pour les sytèmes linéaires de la section précédente, on a mis cette fois, tous les vecteurs e i (dont on cherche les antécédants) Remarque : On peut retenir que l on met la matrice Id à droite de A.

57 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 1,1 est non nul on effectue donc L 2 L 2 L 1 et L 3 L 3 2L 1. On obtient, Le coefficient a 2,2 est non nul on effectue donc L L 2 pour simplifier la suite des calculs. On obtient,

58 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 1,1 est non nul on effectue donc L 2 L 2 L 1 et L 3 L 3 2L 1. On obtient, Le coefficient a 2,2 est non nul on effectue donc L L 2 pour simplifier la suite des calculs. On obtient,

59 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 1,1 est non nul on effectue donc L 2 L 2 L 1 et L 3 L 3 2L 1. On obtient, Le coefficient a 2,2 est non nul on effectue donc L L 2 pour simplifier la suite des calculs. On obtient,

60 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 1,1 est non nul on effectue donc L 2 L 2 L 1 et L 3 L 3 2L 1. On obtient, Le coefficient a 2,2 est non nul on effectue donc L L 2 pour simplifier la suite des calculs. On obtient,

61 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 2,2 vaut 1 on effectue donc L 3 L 3 9L 2. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul. La matrice est donc inversible! On pourrait alors résoudre chaque système en "remontant" les équations comme dans la section précédente...là encore, on peut mener directement ces calculs sur ces "tableaux".

62 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 2,2 vaut 1 on effectue donc L 3 L 3 9L 2. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul. La matrice est donc inversible! On pourrait alors résoudre chaque système en "remontant" les équations comme dans la section précédente...là encore, on peut mener directement ces calculs sur ces "tableaux".

63 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 2,2 vaut 1 on effectue donc L 3 L 3 9L 2. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul. La matrice est donc inversible! On pourrait alors résoudre chaque système en "remontant" les équations comme dans la section précédente...là encore, on peut mener directement ces calculs sur ces "tableaux".

64 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 2,2 vaut 1 on effectue donc L 3 L 3 9L 2. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul. La matrice est donc inversible! On pourrait alors résoudre chaque système en "remontant" les équations comme dans la section précédente...là encore, on peut mener directement ces calculs sur ces "tableaux".

65 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Le coefficient a 2,2 vaut 1 on effectue donc L 3 L 3 9L 2. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul. La matrice est donc inversible! On pourrait alors résoudre chaque système en "remontant" les équations comme dans la section précédente...là encore, on peut mener directement ces calculs sur ces "tableaux".

66 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue donc L 3 4L 3 et L L 1. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul on effectue donc L 2 L L 3 et L 1 L 1 2L 3. On obtient,

67 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue donc L 3 4L 3 et L L 1. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul on effectue donc L 2 L L 3 et L 1 L 1 2L 3. On obtient,

68 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue donc L 3 4L 3 et L L 1. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul on effectue donc L 2 L L 3 et L 1 L 1 2L 3. On obtient,

69 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue donc L 3 4L 3 et L L 1. On obtient, Le coefficient a 3,3 est non nul on effectue donc L 2 L L 3 et L 1 L 1 2L 3. On obtient,

70 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Enfin, on fait L 1 L 1 + 2L 2 et on obtient, On a réussi à obtenir l identité à gauche, la matrice de droite est donc A 1. ie : A 1 =

71 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Enfin, on fait L 1 L 1 + 2L 2 et on obtient, On a réussi à obtenir l identité à gauche, la matrice de droite est donc A 1. ie : A 1 =

72 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Enfin, on fait L 1 L 1 + 2L 2 et on obtient, On a réussi à obtenir l identité à gauche, la matrice de droite est donc A 1. ie : A 1 =

73 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Notation de l algo général On notera : L k i la ligne i de la matrice A à l itération k, a k i,j le scalaire a i,j de la matrice A à l itération k.

74 But de l algorithme Présentation de la méthode Diposition des calculs : un exemple L algorithme général Algo général L algorithme de Gauss-Jordan (pour aller jusqu à une matrice triangulaire) est le suivant : Pour k allant de 1 à n S il existe une ligne i k telle que a k 1 i,k 0, échanger cette ligne i et la ligne k : L i L k L k k 1 a k 1 k,k L k 1 k Pour i allant de 1 à n et i k L k i L k 1 i a k 1 i,k L k k Sinon A n est pas inversible, abandonner. Après l étape k de l algorithme, la colonne k a tous ses coefficients nuls sauf celui de la diagonale qui vaut 1 et ceux en dessous de la diagonale...

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