Statistiques à deux variables

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1 On dispose de données (âge noté a i et exprimé en années, taille notée t i et exprimée en mètres et masse notée m i exprimée en kilogrammes) correspondant à un échantillon de vingt hommes de morphologie «normale». On cherche à savoir de quelle manière la masse est liée à l âge et à la taille. 1. Les graphiques 1 et 2 donnés en dessous du tableau sont appelés nuages de points. Expliquer comment ont été obtenus ces graphiques. 2. D après l aspect des deux nuages, peut-on considérer que, sur cet échantillon, la masse est liée à l âge? Que la masse est liée à la taille? 3. Selon la tendance observée, et en supposant l échantillon représentatif, proposer une méthode permettant d estimer la masse d un homme mesurant 1,85 mètre. Activité 1 4. Bien qu imparfaite, puisqu elle ne tient compte ni de l âge, ni de la morphologie, la formule de Lorentz est souvent utilisée pour estimer la masse idéale d un adulte. ( Formule de Lorentz : m = 100 t 1 t 1,5 ) s où m désigne la masse (en kg), t la taille (en m) et s un coefficient correctif égal à 2,5 pour les femmes et à 4 pour les hommes. a) Établir que, pour un homme, la formule de Lorentz s écrit m = 75t 62,5. b) Que fournit cette formule pour un homme de1,85 m? Comparer le résultat obtenu à celui de la question 3. Numéro Âge a i Taille t i 1,82 1,71 1,72 1,75 1,77 1,97 1,94 1,76 1,68 1,98 1,79 1,82 1,80 1,87 1,72 1,65 1,90 1,81 1,75 1,68 Masse m i ,4 74,2 70,5 93,2 90,4 71,5 59,8 95,2 73,1 74, ,8 75,4 68,7 75, ,6 64 Le tableau suivant donne, sur les six dernières années, la dépense publicitaire et le chiffre d affaires d une entreprise du secteur de la parapharmacie. Les données sont exprimées en millions d euros. Dépense publicitaire x i Chiffre d affaires y i 2 4,3 6 7,6 9, Représenter ces données par six points M i de coordonnées (x i ;y i ) dans un repère orthogonal aux unités bien choisies. Que peut-on dire de la forme du nuage de points? Nous allons procéder à un ajustement affine, c est à dire rechercher une droite qui passe au plus près des points de ce nuage. Cet ajustement permettra de faire des prévisions ou des estimations des valeurs d un des deux caractères de la série en fonction de l autre. 2. Un premier ajustement a) Au jugé, tracer une droite qui approche au mieux le nuage de points. Activité 2 b) En déduire une estimation de la dépense publicitaire à engager afin d atteindre un chiffre d affaires de 14,1 millions d euros. 3. Un second ajustement On noteg 1 le point moyen du sous-nuage formé des trois premiers points du nuage, c est-à-dire le point dont les coordonnéesx G1 ety G1 sont les moyennes arithmétiques respectives des abscisses et des ordonnées des points M 1, M 2 et M 3. Ainsi, x G1 = = 2 et y G1 = 2+4,3+6 3 = 4,1. a) Calculer les coordonnées du point G 2, point moyen du sous-nuage formé des points M 4, M 5 et M 6. b) Placer ces points et tracer la droite (G 1 G 2 ) sur le graphique de la question 1 puis estimer graphiquement le chiffre d affaires correspondant à une dépense publicitaire de 7 millions d euros. c) Déterminer par le calcul l équation réduite de (G 1 G 2 ) puis retrouver par le calcul le résultat de la question précédente.

2 4. Afin de juger de la qualité de l ajustement affine correspondant à la droite (G 1 G 2 ), on calcule les distances M i P i où P i est le point de la droite d ajustement de même abscisse que M i et on note S la somme des carrés des distances M i P i. y i z i M i P i On donne ci-dessous l écran d un tableur (fig. 1, p. 2). Donner successivement les valeurs à entrer dans les cellules C1 et E1, les formules à entrer en B4, B5 et J5 et le résultat obtenu pour S. x i 5. On propose les valeurs de a et b consignées dans le tableau ci-dessous. a 1,7 1,8 1,9 1,9 2 2,1 b 0,7 0,6 0,3 0 0,3 0,5 S 1,55 0,58 0,35 0,71 0,68 0,91 De ces six ajustements, lequel vous semble être le meilleur? Justifier la réponse. 6. On admet que la droite, notée, qui minimise la somme S est la droite d équation z = 1,92x + 0,18. a) Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage puis vérifier que G appartient à. b) Utiliser ce dernier ajustement pour répondre à la question 2b. A B C D E F G H I J 1 Droite z = ax+b a = b = 2 Abscisse de M i (x i ) Ordonnée de M i (y i ) 2 4,3 6 7,6 9, Ordonnée de P i (z i ) 5 M i P 2 i S = Figure 1 Écran d un tableur Considérons une série statistique double où les deux variables X et Y sont quantitatives. À chaque individu de la population, on associe un couple (x i ;y i ) où x i et y i désignent les valeurs respectives de X et Y correspondant à cet individu. Nuage de points, point moyen L ensemble des points M i de coordonnées (x i ;y i ) dans un repère orthogonal du plan est appelé nuage de points. On nomme point moyen, le point de coordonnées (x;y) où x et y désignent les moyennes respectives des valeurs x i et y i. Effectuer un ajustement d un nuage de points consiste à trouver une fonction dont la courbe représentative «approche» au mieux la forme du nuage de points, c est à dire une fonction dont la courbe passe au plus près de chacun des points du nuage. Lorsque le nuage présente une forme rectiligne, la courbe cherchée est une droite. Dans ce cas, la fonction associée est une fonction affine d où le nom d ajustement affine. Méthode des moindres carrés Pour chaque point M i du nuage, on considère le point P i de la droite d équation y = ax+b de même abscisse que M i. La distance M i P i est alors donnée par y i (ax i +b). y 2 On pose S = M 1 P1 2 +M 2P M npn 2. On recherche les réels a et b pour lesquels la somme S des carrés des ax 2 +b distances M i P i est minimale. P 1 L unique droite qui minimise la somme S est nommée droite de régression ax 1 +b de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. y 1 M 1 Cette droite passe par le point moyen du nuage. Par la méthode des moindres carrés, on peut déterminer deux droites de régression : la droite de régression de y en x, d équation réduite y = ax+b ; la droite de régression de x en y, d équation réduite x = my +p. Ces droites passent par le point moyen du nuage, et on obtient leurs équations respectives à l aide de la calculatrice graphique. Ajuster un nuage de points permet de réaliser des estimations (interpolations, extrapolations). Pour «quantifier» la qualité d un ajustement on utilise le coefficient de corrélation linéaire, fourni par la calculatrice. Coefficient de corrélation linéaire Le coefficient de corrélation linéaire, noté ρ, est un réel appartenant à [ 1;1] et qui est, en valeur absolue, d autant plus proche de 1 que le nuage de points est concentré autour d une droite. x 1 M 2 P 2 x 2

3 Dans un certain pays, le nombre de personnes tuées sur les routes a considérablement diminué lors des dernières années. Le tableau ci-dessous (tab.1, p.3) présente le bilan de l année 2005 à l année Le nuage de points correspondant est donné ci-contre. En observant la forme de ce nuage, on décide de procéder à un ajustement affine du sous-nuage formé des cinq derniers points (points correspondant à la période « »). 1. On choisit pour droite d ajustement la droite D obtenue par la méthode des moindres carrés. Déterminer l équation réduite de D. 2. L objectif est d obtenir en 2014 une baisse de 40% du nombre de tués par rapport à l année Exercice 1 Si l on se réfère au modèle proposé, l objectif pourra-t-il 3000 être atteint? Rang de l année Année Rang de l année x i Nb. de personnes y i Table 1 Évolution du nombre de personnes tuées sur les routes entre 2005 et 2011 Nombre de personnes tuées sur la route Exercice 2 On soumet un litre de sang à différentes valeurs de pression partielle en dioxygène (PO 2 ), on mesure alors le volume de dioxygène fixé sur l hémoglobine. Les résultats sont reproduits dans le tableau ci-dessous. PO 2 (en kpa) 1,4 3 4,2 5,6 7,4 8,4 Volume d O 2 fixé sur l hémoglobine (en ml par litre de sang) 16,5 56,3 95, Construire dans un repère orthogonal le nuage de points associé à ce tableau statistique. Unités graphiques : 1 cm pour 1 kpa en abscisse, et 1 cm pour 20 ml de dioxygène par litre de sang en ordonnée. 2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage. 3. On choisit d ajuster le nuage de points par la droite D obtenue par la méthode des moindres carrés. a) Déterminer, en utilisant la calculatrice, l équation réduite de la droite D. b) Tracer la droite D dans le repère de la question En utilisant le modèle précédent, déterminer par deux méthodes différentes le volume de dioxygène fixé sur l hémoglobine là où la pression partielle en dioxygène est de 6,2 kpa. Exercice 3 Un paysan a relevé à plusieurs dates le nombre x i d oiseaux migrateurs qui ont survolé sa forêt et la quantité de cêpes y i, en kilogrammes, ramassés dans sa forêt le même jour. Dates 09/08 10/09 21/09 07/10 21/10 13/11 21/11 x i y i Afficher à l écran de la calculatrice le nuage formé des points de coordonnées(x i ;y i ), puis indiquer pourquoi un ajustement affine de ce dernier semble pertinent. 2. Déterminer une équation de la droite d ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés. On arrondira les valeurs obtenues à la calculatrice à 10 1 près. 3. Donner le coefficient de corrélation linéaire lié à cet ajustement. Que peut-on en déduire concernant la quantité de cèpes ramassés et le nombre d oiseaux migrateurs aperçus? 4. La question «déterminer le nombre d oiseaux migrateurs aperçus quand le paysan a ramassé 60 kg de cèpes?» a-t-elle un sens? Quel commentaire peut-on faire à l issue de cet exercice?

4 On s intéresse à l évolution du nombre d individus d une population de bactéries en période de reproduction. On désigne par x la variable dont les valeurs sont les numéros des jours et par y la variable dont les valeurs sont les nombres de bactéries. Partie A 1. Reproduire la feuille de calcul ci-dessous. 2. Proposer une formule : a) à entrer en D4 et à recopier jusqu en D8 ; b) à entrer en E4 et à recopier jusqu en E8. 3. Quelle valeur obtient-on en E8? Interpréter ce résultat. Partie B 1. Sélectionner la plage de cellules allant de B2 à C8 puis afficher à l écran le nuage de points M i de coordonnées (x i ;y i ). Exercice 4 Un ajustement affine de ce nuage est-il envisageable? Pourquoi? 2. Proposer une formule à entrer en B10. La recopier en C10 puis relever les valeurs obtenues dans ces cellules. 3. À quoi correspondent les valeurs calculées en B10 et C10 pour le nuage de points? 4. Cliquer sur le graphique, sélectionner l option «Insérer une courbe de tendance.» et cocher la case «Afficher l équation.». Donner l équation réduite de la droite d ajustement proposée par le tableur. 5. Proposer une formule à entrer en G3 et à recopier vers le bas permettant d estimer le nombre de bactéries au cours des jours suivants. 6. Selon le modèle retenu, au cours de quel jour le nombre de bactéries dépassera-t-il 10000? A B C D E F G 1 Expérimentation Modélisation 2 n o jour Nb. bactéries Pourcentage d évolution Pourcentage d évolution n o jour Nb. bactéries par rapport au jour précédent (à 0,1% près) par rapport au premier jour (à 0,1% près) Moyenne 14 On étudie l évolution, en fonction du temps, d une population de bactéries dans un environnement limité. y désigne le nombre de bactéries à un instant donné t, exprimé en heures. On a observé et relevé y toutes les demi-heures et on a obtenu le tableau ci-dessous : t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 y Exercice 5 1. a) Représenter le nuage de points de coordonnées (t i ;y i ) dans un repère orthogonal, en choisissant comme unités : 3 cm pour une heure sur l axe des abscisses, que l on graduera de 0 jusqu à 6 ; 1 cm pour 50 bactéries sur l axe des ordonnées, que l on graduera de 0 jusqu à 900. b) On nomme D la droite d ajustement de y en t obtenue par la méthode des moindres carrés et f la fonction affine dont D est la représentation graphique. Déterminer l équation réduite de D, puis tracer cette droite dans le même repère que le nuage de points. On arrondira le coefficient directeur et l ordonnée à l origine à l unité près. c) Justifier que, selon ce modèle, le nombre de bactéries augmentera de 346% au cours des quatre premières heures. d) La fonction f permet-elle de modéliser de manière satisfaisante l évolution de la population de bactéries au-delà des trois premières heures? 2. Soit g la fonction définie sur [0;+ [ par g(t) = e t. a) g désignant la fonction dérivée de la fonction g, établir que : t [0;+ [ g (t) = 2400e t (1+3e t ) 2 b) En déduire le sens de variation de g sur [0;+ [. c) Déterminer la limite en + de la fonction g puis interpréter graphiquement le résultat. d) Réaliser un tableau de valeurs de g sur [0;6], au pas de 1. On arrondira les valeurs de g(t) à l unité près. e) Tracer soigneusement la courbe représentative de g dans le même repère que le nuage de points. f) On admet maintenant que la fonction g permet de modéliser de manière satisfaisante l évolution de la population de bactéries au-delà des trois premières heures. Comment cette population va-t-elle évoluer?

5 Au cours d une séance d essai, un pilote d automobile doit, quand il reçoit un signal sonore dans son casque, arrêter le plus rapidement possible son véhicule. Au moment du top sonore, on mesure la vitessev i, exprimée en kilomètres par heure, de l automobile puis la distance y i, exprimée en mètres, nécessaire pour arrêter le véhicule. Pour six expériences avec un équipement en bon état et sur route sèche, on a obtenu les résultats suivants : v i (km/h) y i (m) 6,9 20,5 35,9 67,8 101,2 135,2 1. On donne le nuage de points associé à la série (v i ;y i ). Calculer les coefficients directeurs respectifs des droites (M 1 M 2 ) et (M 5 M 6 ) en indiquant la formule utilisée. Est-il pertinent de procéder à un ajustement affine de ce nuage? 2. On pose x i = vi 2. Compléter le tableau ci-dessous puis placer (fig.2, p.5) les points P i de coordonnées (x i ;y i ) Exercice 6 Quelle relation liant y et v peut-on en déduire? 4. Calculer la distance d arrêt estimée correspondant à une vitesse de 90 km/h. 5. Déterminer algébriquement la vitesse du véhicule correspondant à une distance d arrêt de 168,7 m. 6. Proposer une formule d évaluation simple de la distance d arrêt d un véhicule M 4 M 5 M 6 x i y i 6,9 20,5 35,9 67,8 101,2 135,2 3. On décide de réaliser un ajustement affine de ce nuage. Déterminer l équation réduite de la droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. 40 M 3 M 1 20 M Figure 2 Nuage de points P i (x i ;y i ) Exercice 7 À la suite d un accident nucléaire, on relève, à chaque heure, avec un appareil de mesure de radioactivité, le nombre x i de particules recueillies en une seconde. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant : t i x i z i 1. On pose z i = ln(x i 2). Calculer, puis reporter dans le tableau, les valeurs de z i arrondies au millième. 2. Un ajustement affine du nuage de points M i (t i ;z i ) semble-t-il justifié? 3. Donner l équation de la droite d ajustement de z en t obtenue par la méthode des moindres carrés, ainsi que le coefficient de corrélation linéaire correspondant. On arrondira les coefficients à 10 3 près. 4. En déduire une expression de x en fonction de t, puis déterminer le relevé à partir duquel on obtient une valeur de x inférieure ou égale à 3. Exercice 8 Dans chaque cas, exprimer y en fonction de x. 1. y = 3z +2 et z = e x 2. z = 3x 2 et z = ln(2y +3) 3. z = 1 4x et z = e 5y 2

6 On étudie l évolution d une population de bactéries en fonction du temps, dans un milieu clos. N désigne le nombre de bactéries en milliers par millilitre à un instant donné t exprimé en heures. On a observé et relevé N toutes les demi-heures et on a obtenu le tableau ci-dessous : Exercice 9 t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 N 11,02 12,80 14,87 17,30 20,11 23,31 27,11 31,52 36,59 42,49 49,41 y Pour étudier l évolution de cette population, on effectue le changement de variable y = ln(n). 1. Compléter la dernière ligne du tableau ci-dessus en arrondissant les résultats obtenus à 10 2 près. 2. Représenter le nuage de points de coordonnées (t i ;y i ) sur la calculatrice. Que peut-on remarquer? 3. Un technicien de laboratoire propose de retenir comme modèle la relation N = e 0,3t+2,4. Justifier son choix. 4. En utilisant ce modèle : a) estimer le nombre de bactéries par millilitre au bout de 6 heures. b) déterminer au bout de combien de temps on comptera plus de bactéries par millilitre (on arrondira à la minute près par excès). 5. Le modèle proposé est-il plausible à long terme? Justifier. Exercice 10 On réalise des expériences dans lesquelles un substrat se transforme en un produit sous l action d une enzyme. Le but de l expérience est de trouver une relation liant la concentration du substrat en début d expérience et la vitesse initiale d apparition du produit. On note c la concentration initiale du substrat, exprimée en mmol dm 3 et v la vitesse initiale de l apparition du produit en µmol s 1 dm 3. Les résultats d une série de six expériences sont résumés dans le tableau ci-dessous : x = 1/c 0,02 0,04 0,2 0,4 0,8 1,6 y = 1/v 3,33 3,57 8,33 12, ,48 1. a) Indiquer les étapes permettant d afficher le nuage de points de coordonnées (x; y) sur l écran de la calculatrice. Que peut-on dire de ce nuage? b) Déterminer l équation réduite de la droite d ajustement de ce nuage par la méthode des moindres carrés, notée D. c c) En déduire la relation v = 24,94+2,48c. 2. Estimer la vitesse initiale correspondant à une concentration de 12,5 mmol dm Déterminer la concentration permettant d obtenir une vitesse v égale à 0,2µmol s 1 dm Peut-on dire que la vitesse v est fonction croissante de la concentration c? Justifier. 5. Que peut-on dire de la vitesse v pour de grandes valeurs de la concentration c? Dans cet exercice, les résultats seront, au besoin, arrondis au centième. On injecte dans le sang d un malade un médicament à l aide d une perfusion. L efficacité de ce médicament est optimale lorsque le débit de la perfusion est stable et que la concentration du produit ne dépasse pas 250 microgrammes (µg) par cm 3, seuil au-delà duquel des effets indésirables et toxiques apparaissent. On effectue différents relevés de la concentration de ce médicament, les résultats sont consignés dans le tableau cidessous. 1. a) On posey i = ln(250 c i ). Compléter la dernière ligne du tableau ci-dessous. b) Dans un repère orthogonal d unités 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée, représenter le nuage de points M i, de coordonnées (t i ;y i ). c) Déterminer une équation de la droite D d ajustement affine de y en t obtenue par la méthode des moindres carrés puis tracer cette droite. Exercice 11 d) En déuire une relation entre la concentration c et le temps t sous la forme c = A+Be kt. 2. On considère la fonction f, définie sur l intervalle [0;+ [, par f(t) = ,29e 0,17t. On admet que la fonction f donne une bonne approximation de la concentration du médicament. a) Justifier que la concentration du médicament ne dépasse pas 250µg par cm 3. b) Déterminer le sens de variation def sur[0;+ [ ainsi que la limite de f en +. c) Interpréter concrètement les résultats de la question précédente. d) Résoudre sur [0;+ [ l inéquation f(t) > 180. e) En déduire, à une minute près, le temps nécessaire pour atteindre la dose efficace de 180µg par cm 3. Temps t i en minutes Concentration c i en µg par cm Valeur de y i (à 10 2 près)