Avant-propos Tout est nombre... iii Réflexions sur l enseignement des mathématiques... iii L approche du livre... v Le contenu du livre...

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1 Table des matières Avant-propos iii Tout est nombre iii Réflexions sur l enseignement des mathématiques iii L approche du livre v Le contenu du livre vi 1 Les nombres Introduction Desentiersnaturelsauxnombresréels Plan du chapitre Les nombres entiers positifs Premiers comptages Systèmes de numération sans principe de position Systèmes de numération avec principe de position Les quatre opérations fondamentales Les nombres rationnels Pourquoi des nombres rationnels? Addition et multiplication de nombres rationnels Diviseur d un nombre entier Plus grand commun diviseur Plus petit commun multiple Nombres premiers et factorisation Le développement décimal des fractions Les nombres irrationnels Mesures de longueurs et nombres irrationnels Discussion Les nombres négatifs Pourquoi des nombres négatifs? Les règles de calcul pour les nombres négatifs Les ensembles de nombres La notation scientifique, ou comment écrire de très grands et très petits nombres Particularités des systèmes de numération Propriétés intrinsèques et non intrinsèques

2 512 TABLE DES MATIÈRES La base 10 est-elle la meilleure? Perspectives Annexe L algorithme d Euclide Règles d écriture des nombres dans le système romain Exercices Algèbre : équations linéaires et quadratiques Introduction Plions une feuille A Plan du chapitre Principes fondamentaux et équations linéaires Qu est-ce que l algèbre? La démarche algébrique Règles de priorité Équations linéaires quelconques Deux équations linéaires à deux inconnues Forme développée d une expression algébrique et produits remarquables Équations quadratiques Le format A Problème du rectangle de périmètre et surface donnés Solution de l équation quadratique quelconque Racines carrées Développement décimal du quotient de deux nombres Développementdécimaldelaracinecarrée Méthode de Héron de calcul des racines carrées Propriétés D autres notions d algèbre Moyenne et moyenne pondérée Propriétés des puissances entières Inéquations à une inconnue Propriétés de la valeur absolue Perspectives Annexe : associativité de l addition et de la multiplication Exercices Premiers résultats de géométrie Introduction Motivation Plan du chapitre Surfaces des figures rectilignes Propriétés des triangles Somme des angles d un triangle La méthode de Thalès, ou comment déterminer une hauteur sans la mesurer

3 TABLE DES MATIÈRES Le problème de la fermière, la rivière et la vache Les pavages du plan Angles des polygones réguliers Pavages du plan avec des polygones réguliers Le théorème de Pythagore Un cas particulier Le cas général Le théorème de Pythagore dans les mathématiques babyloniennes Périmètre et surface du cercle Perspectives Exercices Géométrie euclidienne : les quatre premiers postulats Introduction Motivation Plan du chapitre Le début des Éléments Définitions Axiomes Les premières propositions Commentaires et critiques Définitions Axiomes et propositions Propriétés d invariance du plan euclidien La sphère Théorèmes de congruence et applications Des théorèmes de congruence des triangles Constructions géométriques Médiatrices d un triangle Inégalités et applications Égalités et inégalités entre angles Distance minimale entre deux points Distance minimale entre un point et une droite Tangentes à un cercle D autresthéorèmesdecongruencedestriangles Bissectrices d un triangle Hauteurs d un triangle Perspectives Annexe Démonstration du théorème des hauteurs Médianes d un triangle Exercices

4 514 TABLE DES MATIÈRES 5 Géométrie euclidienne : le cinquième postulat Introduction Motivation Plan du chapitre Les parallèles et le cinquième postulat d Euclide Existence de droites parallèles Cinquième postulat Théorème des angles alternes-internes Unicité de la parallèle menée par un point extérieur Angles des figures géométriques Somme des angles d un triangle Les quadrilatères Angles dans un cercle Surfaces et applications Surface du triangle Rayon du cercle inscrit dans un triangle Théorème de Pythagore Triangles semblables et théorème de Thalès Figures semblables Théorème de Thalès Théorèmes de similitude Applications Rayon du cercle circonscrit à un triangle Médianes d un triangle Hauteurs d un triangle Quel est le meilleur endroit pour transformer un essai au rugby? Parallélisme et géométries non euclidiennes Perspectives Exercices Géométrie analytique Introduction Motivation Plan du chapitre Résultats fondamentaux Coordonnées cartésiennes d un point Distance entre deux points Milieu d un segment Équation de la droite passant par deux points donnés La forme standardisée de l équation d une droite Droite parallèle à une droite, et passant par un point Droitesperpendiculairesàunedroite Intersection de deux droites Distance entre un point et une droite Demi-droites

5 TABLE DES MATIÈRES Bissectrices Équation du cercle Les droites remarquables d un triangle Utilisation des propriétés d invariance de la géométrie du plan Intersection des trois médianes Intersection des trois bissectrices Comparaison des méthodes Surfaces du triangle et du parallélogramme en fonction des positions des sommets Surface du triangle Surface du parallélogramme Le cercle Tangentes au cercle Surface du cercle et approximations de π Périmètre du cercle Axiomatique de la géométrie Perspectives Exercices Fonctions d une variable Introduction Motivation Plan du chapitre Concepts fondamentaux et fonctions simples Définition et représentation graphique Fonctions linéaires Fonctions puissances entières Fonctions racines Racines et puissances fractionnaires Fonctionsquadratiques Fonctions polynomiales Fonctions rationnelles Fonctions signe et valeur absolue Propriétés générales des fonctions Quelques critères de classification Domaine d une fonction Somme, produit et quotient de fonctions Remarques sur la notion de fonction Interpolation et approximation Interpolation linéaire Interpolation quadratique Remarques sur les méthodes d interpolation Perspectives Exercices

6 516 TABLE DES MATIÈRES 8 Techniques algébriques Introduction Surface d un triangle en termes de ses côtés Plan du chapitre Résolution d équations Équations qu on peut transformer en équations linéaires Surface d un triangle en fonction de ses côtés Vérification de calculs algébriques Équations impliquant des racines carrées Technique de changement d inconnue Comptages Somme des N premiers entiers Somme des carrés des N premiers entiers Suites arithmétiques et polynomiales Systèmes d inéquations linéaires à deux inconnues La factorisation À quoi sert la factorisation? Méthodes de factorisation Divers Conventions d écriture Calcul numérique des valeurs d un polynôme Programmation Comment éliminer les racines au dénominateur? Inéquations avec valeur absolue Perspectives Exercices Méthodes numériques de résolution des équations Introduction Motivation Plan du chapitre Valeurs approximatives des solutions Les racines p a Les fonctions polynômes Les fonctions quelconques Méthode de bissection de l intervalle Méthode de la sécante Propriétés générales de la méthode Le cas particulier de la racine carrée Le cas des racines d ordre supérieur à deux Bilan Méthodes analytiques ou numériques? Perspectives Exercices

7 TABLE DES MATIÈRES Fonctions exponentielles et logarithmes Introduction Motivation Plan du chapitre Les fonctions exponentielles Remboursement d un emprunt après un nombre entier d années Remboursement d un emprunt après un nombre non entier d années D autres situations décrites par les mêmes formules Les fonctions exponentielles Invariancesoustranslation Comparaison des fonctions exponentielles et puissances lorsque x est grand Les fonctions logarithmes Datation d objets par la méthode du carbone La notion de fonction inverse Fonctions inverses des fonctions exponentielles Les logarithmes décimaux Changement de base Comparaison des fonctions logarithmes et puissances lorsque x est grand Suites et séries géométriques Suites géométriques Séries géométriques Remboursement d un emprunt en plusieurs paiements Perspectives Annexe Moyenne géométrique Fabriquer une table de logarithmes Exercices Trigonométrie Introduction Comment déterminer une longueur sans la mesurer? Plan du chapitre Triangles rectangles et fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques d un angle aigu Propriétés élémentaires des fonctions trigonométriques Relations d addition et conséquences Relations d addition Conséquences des relations d addition Autres conséquences des relations d addition Remarques Solutionduproblèmedugéomètre Résolution des triangles quelconques

8 518 TABLE DES MATIÈRES Un côté et deux angles sont connus Deux côtés et l angle qui les sépare sont connus Deux côtés et un angle opposé sont connus Trois côtés sont connus Trois angles sont connus Approximation de π Des bornes sur π Le calcul d Archimède Perspectives Exercices Fonctions trigonométriques et phénomènes périodiques Introduction Le diapason Plan du chapitre Points sur un cercle Notion de coordonnée angulaire Fonctions trigonométriques d une coordonnée angulaire Points en rotation sur un cercle Coordonnée angulaire d un point en rotation Les coordonnées cartésiennes en fonction du temps Fonctions trigonométriques définies pour tous les réels Application : les ondes sonores et le diapason Rareté des fonctions périodiques et douces Formulation mathématique des ondes sonores Superposition de deux ondes de même fréquence Superposition de deux ondes de fréquences légèrement différentes Formules trigonométriques Fonctions trigonométriques inverses Équations trigonométriques Définition des fonctions trigonométriques inverses Solutions des équations trigonométriques en termes de fonctions trigonométriques inverses Le radian Perspectives Annexe Liens entre fonctions trigonométriques Les fonctions sécante, cosécante et cotangente Exercices Coniques Introduction Des courbes remarquables Plan du chapitre Définition des coniques

9 TABLE DES MATIÈRES Définition des ellipses par les distances aux foyers Définition des hyperboles par les distances aux foyers Définition des ellipses, hyperboles et paraboles par un foyer et une directrice Définition des coniques comme intersections d un cône par un plan Propriétés des foyers des coniques Tangentes à une conique Source lumineuse et foyers de l ellipse Source lumineuse et foyer de la parabole Source lumineuse et foyers de l hyperbole Coniques et équations quadratiques Équation des coniques en position quelconque Courbes correspondant aux équations quadratiques Coniques passant par cinq points donnés Perspectives Annexe : équations des tangentes aux coniques Exercices Résolution des systèmes d équations linéaires par élimination gaussienne Introduction Ellipse passant par cinq points donnés Qu est-ce qu un algorithme? Plan du chapitre Systèmes de deux équations à deux inconnues Interprétation géométrique Résolution algébrique Une notation plus compacte Systèmes de trois équations à trois inconnues Interprétation géométrique Résolution algébrique Systèmes de n équations à n inconnues Interprétation géométrique Résolution algébrique des systèmes réguliers Résolution algébrique des systèmes singuliers Systèmes de p équations à n inconnues Perspectives Annexe : temps de calcul de l algorithme gaussien Exercices A Pavages archimédiens 409 A.1 Le problème A.2 La solution A.2.1 Combinaisons de polygones réguliers autour d un sommet 409 A.2.2 Juxtapositions de polygones autour d un sommet

10 520 TABLE DES MATIÈRES A.2.3 Pavages s étendant au plan tout entier A.3 Exercices B Remarques sur la nature des mathématiques 419 B.1 Langage et mode de pensée mathématiques B.2 Que signifie le signe = en mathématiques? C Centre de gravité 423 C.1 Centre de gravité de masses ponctuelles C.2 Centredegravitédefiguresplanescontinues D Changements de variables et troisième loi de Kepler 431 D.1 Introduction D.2 Changement de variable logarithmique D.2.1 Les lois de Kepler D.2.2 Legraphiquelog/log et la troisième loi de Kepler D.2.3 Les graphiques log/lin et lin/log D.3 Perspectives D.4 Exercices E Solutions des exercices 439 E.1 Les nombres E.2 Algèbre : équations linéaires et quadratiques E.3 Premiers résultats de géométrie E.4 Géométrie euclidienne : les quatre premiers postulats E.5 Géométrie euclidienne : le cinquième postulat E.6 Géométrie analytique E.7 Fonctions d une variable E.8 Techniques algébriques E.9 Méthodes numériques de résolution des équations E.10 Fonctions exponentielles et logarithmes E.11 Trigonométrie E.12 Fonctions trigonométriques et phénomènes périodiques E.13 Coniques E.14 Résolution des systèmes d équations linéaires par élimination gaussienne E.15 Pavages archimédiens E.16 Changements de variables et troisième loi de Kepler Bibliographie 499 Index 501