Devoir surveillé de mathématiques - Durée 2h

Transcription

1 NOM :... CLASSE : Devoir surveillé de mathématiques - Durée h La calculatrice est autorisée. Le sujet doit être rendu à l intérieur de la copie. Sauf indication contraire, toutes les réponses doivent être justifiées. Exercice 1 (5 points) On a testé la consommation d essence sur un parc de voitures circulant en France : Consommation en L / 100 km [ - 3[ [3-4[ [4-5[ [5-6[ [6-7[ [7-8[ [8-9[ Effectif Quel est l'effectif total de voitures testées?. Quelle est l étendue de la série? 3. Calculer la consommation moyenne de ces voitures. (Arrondir au dixième) 4. Quel pourcentage de voitures ont une consommation inférieure à 4 litres aux 100 km? (Arrondir au dixième) 5. On a représenté ci-dessous le polygone des fréquences cumulées croissantes : a. Déterminer graphiquement la valeur du premier et du troisième quartile de cette série. (Laisser les traits de lectures visibles) b. Interpréter ces résultats.

2 Exercice (5 points) Soit ABCD un carré de centre E. On note F le milieu du segment [AB] On note G le milieu du segment [DE]. 1. Choisir un repère orthonormé d origine A. Préciser dans celui-ci et sans justifier les coordonnées des points A, B, C et D.. Calculer les coordonnées des points E, F et G. 3. Démontrer que le triangle CGF est isocèle rectangle en G. Exercice 3 (6 points) Un jardin rectangulaire mesure 50 m sur 70 m. Il est entouré d'une allée de largeur x, exprimée en mètres, comme sur le schéma ci-dessous : 1. Écrire le périmètre extérieur P de l'allée en fonction de x.

3 . On a tracé sur un graphique différentes droites : a. Laquelle correspond à la représentation graphique du périmètre P en fonction de x? b. On souhaite que le périmètre extérieur ne dépasse pas 300 mètres. Quelle est alors la largeur maximale pour l'allée? 3. Pour recouvrir l'allée de gravillons, on s'intéresse à la surface de celle-ci notée S. a. Montrer que S(x) = 4x² + 40x. b. Calculer la surface de l allée pour une largeur de celle-ci égale à 3 mètres. 4. a. Résoudre dans l inéquation x 5 < 0 b. Résoudre dans l inéquation x + 15 < 0 c. En déduire le signe du produit (x - 5)(x + 15) en fonction des valeurs prises par x. (On pourra s aider d un tableau de signes.) d. En admettant que S(x) < 65 équivaut à (x - 5)(x + 15) < 0, que peut-on déduire de la question 4.c. dans le contexte de l exercice?

4 Exercice 4 (3 points) La figure ci-dessous est formée d un carré ABCD de coté 8. A, D et E sont alignés avec DE = 5. A, B, F sont alignés avec BF =. On se place dans le repère orthonormé d origine A avec le point C de coordonnées (8 ; 8). 1. Déterminer une équation de la droite (EF).. Les points E, C et F sont-ils alignés? Exercice 5 (5 points) Le tableau suivant décrit les variations d une fonction f sur son domaine de définition. x f (x) -1 1 Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

5 Affirmation N 1 : L'antécédent de (-1) est 1 (Sans justifier la réponse) Affirmation N : f (-) < f (-3) Affirmation N 3 : f (4) > f (1) Affirmation N 4 : 3 est un minimum local sur [-4 ; 5] (Sans justifier la réponse) Affirmation N 5 : L équation f (x) = 0 a trois solutions sur l intervalle [ -4 ; 5 ] (Sans justifier la réponse) Exercice 6 (6 points) Les programmes de calculs suivants sont associés à des fonctions f, g, h et i. 1. Compléter les pointillés sur le sujet : a. x Ajouter Multiplier Soustraire f (x) =.. 4 par 5 3 b. x Élever au Multiplier g(x) = + 8 carré par 5 c. x Soustraire h(x) = x² fois le nombre x d. x i(x) = (x 3)² + 4. Quelles sont les images des nombres 0 et 5 par les fonctions h et i? 3. Que peut-on conjecturer de la question. Démontrer cette conjecture. 4. Déterminer le ou les antécédent(s) de a. (-3) par la fonction f b. (+0) par la fonction i.

6 Éléments de correction Exercice 1 (5 points) = 800 Le nombre total de voitures testées est de = 7 L / 100km 3. ( )/ 800 = 0,65 soit environ,6 % 4. On utilise les centres des classes. 5. On trouve graphiquement Q1 4,3 et Q3 6,4 5 % des voitures ont une consommation inférieure à 4,3 L / 100 km. 75 % des voitures ont une consommation inférieure à 6,4 L / 100 km Exercice (5 points) 1. On peut choisir le repère (A ; B ; D) A(0;0) B (1;0) C(1;1;) D(0;1). F (1/;0) milieu du segment [AB] E(1/;1/) milieu du segment [AC]. Les coordonnées de G, milieu de [DE] sont : 3. Pour démontrer que le triangle CGF est isocèle en G, on vérifie l'égalité des longueurs GF et GC :

7 Pour démontrer que le triangle CGF est rectangle en G, on vérifie l'égalité de Pythagore : Exercice 3 (6 points) 1. P = (50 + x) + ( 70 +x) +(50 + x) + (70 + x) = 8x a. P(x) est une fonction affine, sa représentation est donc une droite. L'ordonnée à l'origine est 40, seule la droite d convient. b. 8x <=> 8x 60 <=> x 7,5 3. On peut considérer l'allée comme la somme de 4 rectangles : S (x) = x(70 + x) + x(70+x) + 50x + 50x = 4x² + 40x. S(3) = 756 m² 4. a. x 5 < 0 x < 5/ b. x + 15 < 0 x < -15/ c. Si x < -15/ alors (x - 5)(x + 15) >0 Si -15/ < x < 5/ alors (x - 5)(x + 15) <0 Si x > 5/ alors (x - 5)(x + 15) >0 d. L'allée ne doit pas dépasser,5 m de largeur pour avoir une aire totale inférieure à 65 m².

8 Exercice 4 (3 points) 1. On détermine d abord les coordonnées des points E(0 ; 8+5) et F(8+ ; 0) Soit E(0 ; ) et F ( ; 0) Comme la droite (EF) n est pas parallèle à l axe des ordonnées son équation est de la forme y ax b On commence par calculer a y x F F y x E E On a donc y x b Comme le point F appartient à la droite ces coordonnées vérifient l équation. On remplace : 0 b donc b = Finalement l équation de (EF) est y x - Regarder si E, C et F sont alignés revient à regarder si C appartient à la droite (EF) On teste l équation de la droite (EF) avec les coordonnées de C On calcule 8 8,04 8 donc C ( EF) Les trois points ne sont pas alignés. Exercice 5 (5 points) Affirmation 1 : Vrai (Cf. tableau) Affirmation : Vrai, la fonction est décroissante sur l'intervalle [-4 ; -1], l'ordre est changé. Affirmation 3 : Vrai, f (1) 1 qui est négatif et 1 f (4) 3 donc f (4) est positif. Affirmation 4 : Faux, 3 est un maximum et non un minimum. Affirmation 5: Faux, cette équation a deux solutions sur l intervalle [-4 ; 5]

9 Exercice 6 (6 points) 1. Recopier et compléter les pointillés : a. x Ajouter 4 Multiplier par 5 Soustraire 3 f ( x) ( x 4) 5 3 b. x Élever au carré Multiplier par 5 Ajouter 8 g x ( ) 5x 8 c. x Élever au carré Soustraire 6 fois le nombre x Ajouter h x x x ( ) 6 d. x Soustraire 3 Élever au carré Ajouter 4 x i( x) 3 4. h(0) i(5) h(5) i(0) Conjecture : Preuve : Il semble que h( x) i( x). i( x) 3 4 x x² 6x 9 4 x² 6x hx ( ) 4.a. On résout f( x) 3 ( x 4) x x 0 x 4 L antécédent de -3 est -4 par la fonction f b. On résout ix ( ) 0 ( x 3) 4 0 ( x 3) 16 0 ( x 3 4)( x 3 4) 0 ( x 1)( x 7) 0 il y a donc deux antécédents pour 0 qui sont -1 et 7