Chapitre 10 Déterminants

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1 Chapitre 0 Déterminants Introduction. Le système linéaire général d ordre n est un système ayant n équations et n inconnues, et dont les coefficients et les seconds membres sont des paramètres : X α, X α,n X n β α, X X α,n X n β α n, X α n, X α n,n X n β n. En résolvant ce système, on obtient les formules de Cramer. Exemples : n X β admet l unique solution : X β n n 3 { α, X α, X β α, X X β admet l unique solution : X α, X α,3 X 3 β α, X X α,3 X 3 β admet l unique solution : α 3, X α 3, X α 3,3 X 3 β 3 X β β α, α, α, X β α, β α, α, ( ) ( ) ( ) β α, α 3,3 α,3 α 3, β α,3 α 3, α, α 3,3 β3 α, α,3 α,3 X α 3,3 α, α,3 α 3, α,3 α, α 3, α,3 α 3, α,3 α 3, α, α, α 3,3 ( ) ( ) ( ) β α,3 α 3, α, α 3,3 β α, α 3,3 α,3 α 3, β3 α,3 α, α,3 X α 3,3 α, α,3 α 3, α,3 α, α 3, α,3 α 3, α,3 α 3, α, α, α 3,3 X 3 β ( ) ( ) ( ) α, α 3, α 3, β α, α 3, α 3, β3 α, α, α, α 3,3 α, α,3 α 3, α,3 α, α 3, α,3 α 3, α,3 α 3, α, α, α 3,3 α, α,n 3. Le dénominateur des formules de Cramer est le déterminant de la matrice : A n On le note det(a n ) ou α, α,n ou n.

2 α, α, α, α, A α, α, 3 α 3,3 α, α,3 α 3, α,3 α, α 3, α,3 α 3, α,3 α 3, α, α, α 3,3 α, α,3 α, α,3 α, Règle de Sarrus A 3 α, α,3 α, α,3 α, α 3, α 3, α 3,3 α 3, α 3, α 3, α 3, α 3,3 4. On peut deviner la formule pour n : α, α, 3 α 3,3 α, α,3 α 3, α,3 α, α 3, α,3 α 3, α,3 α 3, α, α, α 3,3 4 α,4 α,3 α 3, α 4, α,3 α,4 α 3, α 4, α,4 α 3,3 α 4, α, α,4 α 3,3 α 4, α,3 α 3,4 α 4, α, α,3 α 3,4 α 4, α,4 α,3 α 3, α 4, α,3 α,4 α 3, α 4, α,4 α, α 3,3 α 4, α,4 α 3,3 α 4, α,3 α, α 3,4 α 4, α,3 α 3,4 α 4, α,4 α 3, α 4,3 α, α,4 α 3, α 4,3 α,4 α, α 3, α 4,3 α,4 α 3, α 4,3 α, α, α 3,4 α 4,3 α 3,4 α 4,3 α,3 α 3, α 4,4 α, α,3 α 3, α 4,4 α,3 α, α 3, α 4,4 α,3 α 3, α 4,4 α, α, α 3,3 α 4,4 α 3,3 α 4,4 Formule : Si σ représente une façon de ranger les nombres,,..., n (on dit que σ est une permutation ; il y a n! permutations), si σ(i) représente le nombre rangé en i e position par σ, on aura : det(a n ) ε(σ)α,σ() α,σ() α n,σ(n) σ Le coefficient ε(σ), égal à ±, s appelle la signature de σ. Il correspond à la parité du nombre d échange de deux nombres qu il faut faire pour retrouver σ. Exemple : α, α,4 α 3, α 4,3 σ ε(σ) Propriétés du déterminant. On remarque qu il y a toujours α n,n dans det(a n ).

3 Théorème : Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux. En particulier : det(i n ) α, α,n 0 α,n 0 0 α n,n 0 0 α, 0 matrice triangulaire supérieure. Théorème : det( t A) det(a) matrice triangulaire inférieure Quand on multiplie une et une seule ligne, ou une et une seule colonne d une matrice par un nombre, son determinant est multiplié par ce nombre Quand deux matrices ne diffèrent que par une seule ligne ou par une seule colonne, le déterminant de la matrice obtnue en ajoutant ces lignes, ou ces colonnes, tout en gardant les autres coefficients intacts est la somme de leurs déterminants Quand on échange lignes ou colonnes d une matrice, le déterminant est multiplié par Théorème : Une matrice qui possède une ligne nulle, ou une colonne nulle, a un déterminant nul Une matrice qui a deux lignes égales, ou deux colonnes égales a un déterminant nul Quand on ajoute à une ligne des multiples des autres lignes ou a une colonne des multiples des autres colonnes, on obtient une matrice qui a le même déterminant. 3

4 Théorème : det(a B) det(a) det(b) 4. Théorème : Les propriétés suivantes sont équivalentes : A est singulière, det(a) 0, le système AX 0 a d autres solutions que la solution nulle. Théorème : Les propriétés suivantes sont équivalentes : A est régulière, det(a) 0, la matrice A est inversible. det(a ) det(a) 3 Calcul des déterminants. Manipulation sur les lignes ou les colonnes. a a b b c c Sarrus bc ab ca ba cb ac a a 0 b a b a a a (b a)(c a) a a 0 c a c a 0 b a (b a)(c a) 0 b a 0 c a (b a)(c a)(c b) 0 0 c b bc ab ca ba cb ac (b a)(c b)(a c). Si l on met α i,j en facteur dans tous les termes de n, qui le contiennent, on obtient un produit noté α i,j Γ i,j et Γ i,j s appelle le cofacteur de α i,j. 3 α 3,3 α, α,3 α 3, α,3 α, α 3, α,3 α 3, α,3 α 3, α, α, α 3,3 Γ, α 3,3 α,3 α 3, En faisant ces mises en facteur avec tous les coefficients d une ligne ou d une colonne, on obtient le développement du déterminant selon une ligne ou une colonne. 3 α, (α,3 α 3, α, α 3,3 ) ( α 3,3 α,3 α 3, ) α,3 (α, α 3, α 3, ) 3 α, Γ, Γ, α,3 Γ,3 4

5 Définition : i,j, le déterminant d ordre n obtenu en effaçant la i e ligne et la j e colonne de A s appelle le mineur d indices i et j. α, α,3, α, α,3 α α 3, α 3,3 3, α 3,3 α,α 3,3 α,3 α 3, On a la formule : Γ i,j ( ) ij i,j et la règle du damier : 4 Formule pour l inverse d une matrice. On appelle comatrice de A la matrice Ã, qui a pour coefficients : Ã i,j Γ j,i La comatrice s obtient en deux étapes : on remplace d abord chaque coefficient par son cofacteur, puis on transpose.. Théorème : A Ã Ã A det(a) I ( ) Si A est inversible : A Ã deta Exemple : ( ) a b c d ( ad bc d c b a ) ( A ) i,j Γ j,i det(a) 3. Formules de Cramer (version définitive) α, α,n X La solution de :. X n β n X β β est : X X X n det(a) Γ, Γ, Γ n, β β Γ, Γ, Γ n,. Γ,n Γ,n Γ n,n β n donc : X i β Γ,i β Γ,i β m Γ m,i deta 5