Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien

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1 . Marches aléatoires & Théorie du mouvement Brownien Pablo Crotti Séminaire Automne 009 Sous la direction du Professeur Christian Mazza

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3 Table des matières Introduction 4 1 Marches aléatoires & Mouvement Brownien La marche aléatoire sur Z Le mouvement Brownien Marches aléatoires comme solutions d EDP 9.1 Présentation du problème Marche aléatoire d une particule libre Marche aléatoire d une particule barrée Marche aléatoire d une particule élastique Le modèle d Ehrenfest Conclusion 1 Bibliographie 1 3

4 4 TABLE DES MATIÈRES Introduction En 187, le botaniste Robert Brown a remarqué qu en mettant des particules de pollen dans un milieu liquide, celles-ci possédaient des trajectoires aléatoires et non prévisibles. Plus tard, ce type de comportement a été aussi été remarqué lors d échanges gazeux dans divers milieux. Dès lors, il est apparut que ce comportement appelé Mouvement Brownien (en l honneur du botaniste) pouvait répondre à bon nombre de questions liées à la physique, la chimie ou encore l économie. La théorie du mouvement Brownien a été en partie améliorée par Robert Einstein qui a considéré le mouvement d une particule se déplaçant sur un axe et subissant diverses forces (par exemple la gravité ou la viscosité). La théorie du mouvement Brownien peut être vue de plusieurs manière différentes. D une part, de manière complètement formelle où l on définit les accroissement indépendants puis les propriétés du mouvement. D autre part nous pouvons le voir comme une marche aléatoire discrète que l on rend continue. Nous allons aborder ici la deuxième manière de voir le problème. En effet, nous considérons des marches aléatoires discrètes sur Z que nous rendons continues. Nous allons aussi montrer comment en partant d une marche aléatoire symétrique simple puis en passant au mouvement Brownien, nous arrivons à déterminer la solution d une équation au dérivées partielles.

5 Chapitre 1 Marches aléatoires & Mouvement Brownien Dans ce chapitre nous allons brièvement expliquer ce qu est une marche aléatoire discrète et établir certaines propriétés importantes les concernants puis nous expliquerons le mouvement brownien vu sous un angle mathématique tout en restant dans un cadre simple. 1.1 La marche aléatoire sur Z Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Soient la suite (ǫ t ) t I de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes telles que P(ǫ t = 1) = p = 1 p = P(ǫ t = 1), t et où I est un ensemble dénombrable. Soient maintenant le suite (X t ) t I des variables aléatoires indépendantes. On définit la relation X t+1 = X t + ǫ t+1, X 0 = 0 = ǫ 0 Définition. On appel Marche aléatoire sur Z la suite de variables aléatoires (X t ) t I lorsque I = N et quand X t Z, t. Les différentes valeurs que peut prendre nos variables aléatoires sont appelés des états de la marche et on regroupe en général ces états dans un ensemble qu on appel ensemble des états de la marche aléatoire. Définition. Pour un ω Ω fixé et pour tout t, on appel X t (ω) la trajectoire de la marche aléatoire. 5

6 LA MARCHE ALÉATOIRE SUR Z Voici une trajectoire possible pour une marche aléatoire où p = 1 de la marche est t = 100 et le nombre de pas Fig Marche aléatoire symétrique sur Z Proposition. La marche aléatoire sur Z est une chaîne de Markov,i.e, P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,...,X 0 = 0) = P(X t+1 = j X t = i) Démonstration. En réécrivant X t+1 = X t + ǫ t+1 puis en isolant ǫ t+1, on obtient, grâce à leur indépendance P(X t+1 = j X t = i, X t 1 = i t 1,..., X 0 = 0) = P(ǫ t+1 = j i ǫ t = i i t 1,...,X 0 = 0) = P(ǫ t+1=j i,ǫ t=i i t 1,...,X 0 =0) P(ǫ t=i i t 1,...,X 0 =0) = P(ǫ t+1=j i)p(ǫ t=i i t 1 ) P(X 0 =0) P(ǫ t=i i t 1 ) P(X 0 =0) = P(ǫ t+1 = j i) P(ǫt=i i t 1) P(ǫ t=i i t 1 ) = P(X t+1 = j X t = i) On sait donc maintenant que la chaîne peut être représentée par une matrice stochastique en fonction des différents états quels va parcourir. Ici l ensemble des états est infini dénombrable (car sur Z). Définition. Soit T i = inf {X t = i}, t le temps de premier passage de la chaîne sur l état i. On dit que l état i est positivement récurrent si E(T i ) <. Si tous les états sont positivement récurrents, on dit que la chaîne est positivement récurrente. Définition. Soit (X t ) t 0 une chaîne positivement récurrente de noyau P de loi stationnaire π (i.e, πp = π). On dit que la chaîne est réversible si π i P ij = π j P ji

7 CHAPITRE 1. MARCHES ALÉATOIRES & MOUVEMENT BROWNIEN 7 1. Le mouvement Brownien Pour introduire le mouvement brownien, nous donnons ici toutes les définitions nécessaires pour travailler avec. Définition. Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Une suite (F t ) t 0 de σ algèbres est appelée une filtration si F t F, t et si t 1 t F t1 F t Définition. Un processus stochastique (X t ) t 0 est dit adapté à la filtration (F t ) t 0 si pour chaque t 0, X t est F t -mesurable. En considérant ces deux premières définition nous pouvons maintenant donner la définition du mouvement brownien. Définition. Un mouvement Brownien (standard uni-dimensionnel) est un processus stochastique adapté B = {B t, F t ; 0 t } définit sur un espace de probabilité (Ω, F, P) avec les propriétés suivantes : 1. B 0 = 0 p.s. L accroissement B t B s est indépendant de F s et possède une distribution normale d espérance nulle et de variance t s La définition précise que le mouvement brownien que nous étudions est uni-dimensionnel. En effet, on pourrait considérer des vecteurs aléatoires comme processus stochastiques mais nous ne nous intéresserons ici qu au cas simple. Définition. On appel l application t B t (ω) une trajectoire du mouvement brownien pour un ω fixé. On peut voir le mouvement brownien comme une marche aléatoire sur laquelle, quand on effectue une zoom on aura toujours un chemin en "dents de scie". De ce phénomène on donne une propriété importante sur la dérivabilité du mouvement Fig Mouvement Brownien sur R

8 8 1.. LE MOUVEMENT BROWNIEN Définition. Pour une fonction continue f : [0, + ] R, on définit D ± f(t) = lim h 0 ± f(t + h) f(t) h f(t + h) f(t) D ± f(t) = lim h 0 ± h comme la dérivée haute (resp. basse) de Dini de f en t. La fonction f est dite différentiable à droite si D + = D < et différentiable à gauche si D = D <. La fonction est différentiable en t si elle est différentiable à gauche et à droite. Une fois la notion de différentiabilité définie, on donne le théorème de Poley, Wiener & Zygmund Théorème. Pour presque tous les ω Ω, la trajectoire du mouvement brownien est nulle part différentiable. Démonstration. Pour une démonstration détaillée, voir ([], pp.110)

9 Chapitre Marches aléatoires comme solutions d EDP.1 Présentation du problème On considère une particule libre (i.e sans aucune force appliquée dessus) en mouvement sur une ligne droite que nous appelons "axe x". Nous cherchons maintenant une fonction P(x 0 x; t) telle que x x 1 P(x 0 x; t)dx soit la probabilité que notre particule soit entre x 1 et x si elle se trouve en x 0 au temps t = 0. Nous appelons cette probabilité, la probabilité de transition conditionnelle. On note au passage que notre probabilité est une densité. Ici intervient le travail d Einstein, en effet, il a réussi à démontrer que notre densité doit satisfaire P t = P D (.1.1) x avec comme conditions initiales 1. P 0. R Pdx = 1 3. lim t 0 P(x 0 x; t) = 0 et où D est une constante à déterminer. On remarque déjà que les conditions 1 et sont les conditions nécessaires à une densité de probabilité et que la condition 3 nous donne l information que la particule était effectivement en x 0 au temps t = 0. Compte tenu du fait que nous cherchons une densité de probabilité, la théorie des distributions nous donne 1 P(x 0 x; t) = πdt exp (x x 0) 4Dt pour D = RT où R est la constante universelle du gaz, T la température absolue, N le Nf nombre d Avogadro et f le coefficient de friction. On doit la découverte de la constante 9

10 10.. MARCHE ALÉATOIRE D UNE PARTICULE LIBRE D à Einstein. Une fois que le problème de la particule libre a été posé, il est intéressant de regarder ce qui se passe lorsque celle-ci est soumise à des forces externes (par exemple la gravité). En considérant une force externe F(x), Smoluchowski a montré que notre équation.1.1 devait être améliorée ainsi On traitera ici deux cas de figures : P t = 1 (PF) + D P f x x. (.1.) 1. F(x) = a (force constante, par exemple la gravité).. F(x) = bx (particule élastique) Dans la suite de ce séminaire, nous allons aborder différents types de marches aléatoires discrètes que nous allons rendre continues pour déterminer des solutions de.1.1 et.1... Marche aléatoire d une particule libre On considère ici le cas d une particule qui se promène le long de l axe x. La particule peut se déplacer d une distance à gauche ou à droite et met à chaque fois un temps τ pour effectuer le déplacement. La probabilité que la particule aille à gauche ou à droite est la même dans les deux cas, soit 1. 1/ 1/ Fig...1 Marche aléatoire libre On définit la probabilité d aller en m après un temps s depuis n par : P(n m ; sτ) = P(n m; s). On sait que notre marche aléatoire peut être vue comme combinaison de variables aléatoires suivant une loi Bernoulli( 1 ). On peut donc déjà dire que P(n m; s) = { 1 s s!, si v s et v + s est pair ( s+ v )( s v ) 0 sinon On voit cependant que ce type de formulation peut devenir assez compliqué et long à calculer lorsque nous avons de grandes valeurs pour n, m, s. Nous allons donc chercher une formulation de notre probabilité en faisant tendre et τ vers 0 de sorte à avoir τ = D, n x 0 et sτ t

11 CHAPITRE. MARCHES ALÉATOIRES COMME SOLUTIONS D EDP 11 La probabilité de passer de n à m en un temps s+1 est donnée par la loi des probabilités totales. P(n m; s + 1) = 1 P(n m 1; s) + 1 P(n m + 1; s). (..1) En effet, on peut être en m 1 et aller en m avec une probabilité 1 ou être en m + 1 et aller en m avec une probabilité 1. En soustrayant P(n m ; sτ) à..1 et en divisant par τ, nous obtenons l équation aux différences P(n m ;(s+1)τ) P(n m ;sτ) = 1 P(n (m 1) ;sτ) + 1 P(n (m+1) ;sτ) P(n m ;sτ) τ ( τ ) = P(n (m 1) ;sτ) P(n m ;sτ) + P(n (m+1) ;sτ) τ Lorsqu on prend les formes de Taylor, on reconnaît ici une dérivée du second ordre. En faisant tendre, τ vers 0 obtient finalement P t = P D x qui est bien l équation.1.1 que nous avions au départ. Remarque. Premièrement, la valeur représente la vitesse instantanée. Deuxièmement, τ on voit qu il n y a pas de condition aux limites pour cette EDP. En effet, le domaine sur lequel se promène notre particule est l axe x et donc, est infini.

12 1.3. MARCHE ALÉATOIRE D UNE PARTICULE BARRÉE.3 Marche aléatoire d une particule barrée Nous considérons à nouveau une particule se déplaçant sur l axe x à gauche ou à droite mais nous rajoutons en x = 0 une barrière de sorte que dès que la particule atteint cet obstacle, elle est immédiatement renvoyée en x = 1. Ici le temps de renvoi est considéré comme instantané. Comme précédemment, nous considérons un pas de temps τ et un déplacement de longueur. Les probabilités sont désormais P(déplacement à gauche) = p = 1 + β, P(déplacement à droite) = q = 1 β avec β une constante physique et où est suffisamment petit pour que q > 0 et p+q = 1. p q 0 1 (a) q 0 1 (b) Fig..3.1 Marche aléatoire barrée Nous allons à nouveau chercher une manière d exprimer la probabilité de transition conditionnelle. Nous allons reprendre la même méthode que nous avons utilisé dans la section précédente en utilisant une équation aux différences et en faisant tendre, τ vers 0. Nous reprenons donc notre équation de base pour la transition qui est ici : P(n m; s + 1) = qp(n m 1; s) + pp(n m + 1; s). Comme la particule ne peut pas dépasser la valeur x = 0 et se retrouver dans des valeurs négatives de x on aura ici des conditions aux limites. On détermine ces conditions dans les cas m = 0 et m = 1 : 1. P(n 1; s + 1) = P(n 0; s) + pp(n ; s). P(n 0; s + 1) = pp(n 1; s).

13 CHAPITRE. MARCHES ALÉATOIRES COMME SOLUTIONS D EDP 13 On remarque aussi qu au temps t = 0, la probabilité d aller de n à m est nulle si n m et vaut 1 si n = m, donc P(n m; 0) = δ nm où δ nm est le symbole de Kronecker. On écrit maintenant notre équation aux différences avec nos nouvelles données : P(n m ;(s+1)τ) P(n m ;sτ) τ = qp(n (m 1) ;sτ) + pp(n (m+1) ;sτ) P(n m ;sτ) τ = (1 β )P(n (m 1) ;sτ)+(1 +β )P(n (m+1) ;sτ) P(n m ;sτ) τ = τ ( ) P(n (m 1) ;sτ) + P(n (m+1) ;sτ) P(n m ;sτ) En faisant tendre, τ vers 0 on obtient donc + τ (β ) [P(n (m + 1) ; sτ) P(n (m 1) ; sτ)] P t = D P x + 4βD P x qui a la même forme que.1.. On a ici déterminé l équation de Fokker-Planck. Nous allons maintenant déterminer P(n m; s). Comme nous l avons vu au chapitre précédent, les marches aléatoires sont des chaînes de Markov, ainsi elles possèdent une matrice de transition stochastique. Comme nous travaillons dans les limites du continue, notre matrice sera de taille infinie. Ceci rend le problème un peu plus difficile à traiter mais nous allons d abord commencer avec une matrice finie puis l étendre en passant à la limite. Soit donc P(n 0; s) (p) s = P(n 1; s). le vecteur infini de position de la particule et soit 0 p p 0 0 A = 0 q 0 p q 0 p.... la matrice de transition stochastique (ici infinie). En utilisant la propriété de Markov, on voit que (p) s+1 = A(p) s et donc (p) s = A s (p) 0

14 14.3. MARCHE ALÉATOIRE D UNE PARTICULE BARRÉE avec (p) 0 comme vecteur indiquant la position de la particule au temps 0. De cette manière on peut maintenant dire que P(n m; s) = élément (m, n) de la matrice A s Nous considérons la sous-matrice A R située en haut à gauche de la matrice A où R > n+s. De cette manière par passage à la limite on aura (A s ) mn = lim R (As R ) mn La marche étant réversible (voir [3]), sa matrice est auto-adjointe, ainsi, en utilisant le théorème spectrale, on sait qu il existe deux matrices P R et Q R telles que λ 0 λ 1 A R = P R Q R... λ R 1 où les λ k, k = 0,...,R 1 sont les valeurs propres de la matrice A R et avec la propriété P R Q R = I. En utilisant ceci, on voit clairement que A s R = P R λ s 0 λ s 1... Q R. λ s R 1 Nous allons maintenant pouvoir déterminer les coefficients (A R ) mn en calculant les valeurs propres λ k ainsi que les vecteurs propres à droite x k et les vecteurs propres à gauche y k. Par définition des valeurs propres et vecteurs propres, on a A R x k = λ k x k A T R y k = λ k y k On émet l hypothèse que les vecteurs sont normés (dans le cas contraire on les normalises avec la méthode de notre choix) de sorte que < x k, y k >= 1 < x k, y j >= 0 k j Nous pouvons maintenant dire, en connaissant les valeurs propres et vecteurs propres que la probabilité de transition conditionnelle est donnée par P(n m; s) = (A s ) mn = k=0 Par passage à la limite, nous avons le théorème suivant : λ s k x(m) k y (n) k.

15 CHAPITRE. MARCHES ALÉATOIRES COMME SOLUTIONS D EDP 15 Théorème. Soit la marche aléatoire barrée définie comme précédemment. Alors, et P(x 0 x; t) = 4βe 4βx + e β(x x 0) e 4β Dt π g(x, y) = cos xy π 0 e Dy t y 4β + y g(x, y)g(x 0, y)dy β(sin xy) y Démonstration. On regarde tout d abord que pour une valeur propre λ de notre matrice on a le système linéaire (infnini) associé px 1 = λx 0 x 0 + px = λx 1 qx R = λx R 1.. En déterminant une solution non triviale du système linéaire pour laquelle x R = 0, on trouve les valeurs et vecteurs propres recherchés. Ainsi, nous aurons exactement R racines. Nous utilisons maintenant une mise en série pour déterminer nos solutions. Nous multiplions la première ligne de l équation par 1, la seconde par z, la troisième par z et ainsi de suite. Puis nous sommons chaque ligne pour obtenir x 0 z + q x k z k+1 + p 1 x k z k 1 = λ 1 x k z k. 0 En introduisant la fonction f(z) = 0 x kz k notre formule devient x 0 + qz[f(z) x 0 ] + p z [f(z) x 0] = λf(z) En isolant f(z) on obtient une formule explicite pour la fonction, soit f(z) = p [ ] q x 1 λz qz λz + p Nous introduisant les réciproques ρ 1, ρ des racines de qz λz + p on obtient f(z) = p [ ] q x 1 λz p(1 ρ 1 z)(1 ρ z) Une fois la fonction f(z) déterminée, nous pouvons (sachant que c est une série qui converge), déterminer les valeurs de x k. Celles-ci sont données par x k = x 0 p ( λ ρ1 ρ k 1 ρ ρ + ρ ) λ ρ k 1 ρ ρ 1

16 16.3. MARCHE ALÉATOIRE D UNE PARTICULE BARRÉE Nous avions précédemment donné une condition pour la résolution du système, qui était que x R = 0. De cette manière, on a l équation pour λ λ ρ 1 ρ ρ 1 ρ R 1 + ρ λ ρ ρ 1 ρ R = 0. En supposant maintenant que R est pair, nous cherchons des solutions pour λ de la forme Il nous faut maintenant résoudre l équation λ = pq cos θ, 0 θ π tanrθ tan θ = 1 p 1. (.3.1) On remarque que si R > (p 1) 1, cette équation équation possède R racines distinctes θ 1, θ,..., θ R se trouvant dans l intervalle ( jπ π, jπ + π R R R R), j = 1,..., R 1 avec l exception j = R/. On donne maintenant, les valeurs propres en utilisant les racines θ k, λ k = pq cosθ k. On peut désormais donner la valeur des vecteurs propres à droite sous la forme x (m) k = a k ( q p ) m ( cosmθ k β sin mθ ) k cos θ k, sin θ k où ( ) µ { q ( q = p )µ, si µ > 0 p q, si µ = 0 avec a k une constante de normalisation que l on fixera plus tard. Pour une valeur de R suffisamment grande, λ 0, λ R 1 peuvent être données par λ 0 = pq cosh θ 0 et λ R 1 = λ 0, où θ 0 est la seule solution positive de.3.1. Ainsi les composantes x 0, x R 1 sont données par ( ) m ( q x (m) 0 = a 0 cosh mθ 0 β sinh mθ ) 0 cosh θ 0 p sinh θ 0 ( q x (m) R 1 = a R 1 p ) m ( cosh mθ R 1 β sinh mθ R 1 cosh θ R 1 sinh θ R 1 On va maintenant déterminer les vecteurs propres à gauche de la même manière. Les calculs étant les mêmes, nous ne donnons que les valeurs de y (m) k, ainsi ( ) m ( p y (m) k = b k cosmθ k β sin mθ ) k cosθ k, m = 0, 1,..., R 1, k = 1,,..., R q sin θ k y (m) 0 = b 0 ( p q ) m ( cosh mθ 0 β sinh mθ ) 0 cosh θ 0 sinh θ 0 ).

17 CHAPITRE. MARCHES ALÉATOIRES COMME SOLUTIONS D EDP 17 ( y (m) p R 1 = b R 1 q ) m ( cosh mθ R 1 β sinh mθ ) R 1 cosh θ R 1. sinh θ R 1 On détermine maintenant les constantes de normalisations a k, b k en utilisant le produit scalaire ) a k b k (q + R 1 m=1 a k b k (q + f m(θ k ) R 1 m=1 F m (θ k) = 1, k = 1,,..., R ) = 1, k = 0, R 1 où sin mθ f m (θ) = cosmθ β sin θ cos θ sinh mθ F m (θ) = cosh mθ β sinh θ cosh θ Nous avons maintenant tous les éléments pour donner explicitement notre probabilité de transition conditionnelle lorsque R est fixé. P(n m; s) = b 0 ( pq cosh θ 0 ) s ( p q + ( ) n p q ( q p ) m ) n ( q p ) m F m θ 0 F n (θ 0 )[1 + ( 1) m+n+s ] ( R pq) s b k cos s θ k f m (θ k )f n (θ k ) Nous passons à une forme continue en faisant tendre R vers et on montre que P(n m; s) = p q pq ( ) m q p [1+( 1) m+n+s ]+ π Si on fait le passage à la limite pour ( k=1 ) m p q ( pq) π 0 coss θ tan θ (p q) +tan θ f n(θ)f m (θ)dθ on obtient 0, τ 0, τ = D, n x 0 sτ t et P(x 0 x; t) = 4βe 4βx + e β(x x 0) e 4β Dt π g(x, y) = cos xy π 0 e Dy t y 4β + y g(x, y)g(x 0, y)dy β(sin xy) y

18 18.4. MARCHE ALÉATOIRE D UNE PARTICULE ÉLASTIQUE.4 Marche aléatoire d une particule élastique A nouveau, nous considérons une particule pouvant se déplacer de droite à gauche sur l axe x d une distance en un temps τ. Nous considérons une particule "élastique" c est à dire que si elle se trouve à gauche de zéro, elle aura tendance à aller à droite et vice versa. On peut visualiser la particule comme si elle était attachée à un ressort qui se détend et se retend. Ainsi, si la particule se trouve en position k, nous aurons les probabilités de déplacement suivantes q = 1 ( 1 k ) R, p = 1 ( 1 + k ) R avec R un entier délimitant une borne pour le déplacement : R k R. La probabilité de transition de n a m en un temps s est donnée par P(n m; s + 1) = R + m + 1 R avec comme condition initiale P(n m + 1; s) + R m + 1 P(n m 1; s) R P(n m; 0) = δ mn. Nous pouvons maintenant à nouveau former une équation aux différences et utiliser que 0, τ 0, R, pour obtenir une EDP de la forme τ = D, 1 Rτ γ sτ t, n x 0, m x, P t = γ (xp) x + P D x Nous déterminons la probabilité de transition conditionnelle en procédant de la même manière que pour la marche aléatoire classique ou barrée. Théorème. La probabilité de transition conditionnelle pour une marche aléatoire d une particule élastique est donnée par P(x 0 x; t) = γ πd(1 e γt ) e γ(x x 0 e γt ) γ(1 e γt ) Démonstration. La démonstration est similaire au cas de la particule barrée. Pour plus de précisions, voir [1].

19 CHAPITRE. MARCHES ALÉATOIRES COMME SOLUTIONS D EDP 19.5 Le modèle d Ehrenfest Jusqu à présent, nous avons considéré plusieurs modèles de marches aléatoires où la probabilité de transition conditionnelle était une solution d une équation aux dérivées partielles. La question qui se pose à juste titre ici est : "Quelle est la signification physique de telles EDP et pourquoi la marche aléatoire ainsi que le mouvement brownien sont-ils de bons exemples pour donner une explication à ce phénomène?" Il est intéressant de se plonger dans le monde de la Physique et plus particulièrement dans la thermodynamique pour donner une réponse à cette question. Sans entrer trop en profondeur dans la théorie des gaz, nous pouvons examiner l expérience suivante : Soient deux récipients A, B reliés par un tuyau initialement fermé. Le récipient A contient un gaz (nous ne considérons pas si le gaz est parfait ou non) et le récipient B est vide. Au temps t = 0, le tuyau de liaison est ouvert de sorte à laisser les récipients communiquer. A B A B Liaison fermée Liaison ouverte Fig..5.1 Modèle d Ehrenfest On peut, dès lors, se poser la question : "A partir de quel instant les deux récipients auront la même quantité de gaz?" Il faut donc regarder le processus de diffusion du gaz et d établir certaines règles de transition. Le couple Ehrenfest a créé un modèle permettant d expliquer ce processus : Soient R boules numérotées consécutivement de 1 à R, distribuées dans deux boîtes A et B. Au départ, il y a R+n boules ( R n R) dans la boîte A. Pour chaque pas de temps, on choisit aléatoirement un entier entre 1 et R puis la boule correspondant au numéro tiré est déplacée dans la boîte complémentaire à la sienne. Par exemple, on tire le numéro n, si la boule est dans la boîte A on la déplace en B et vice versa. On répète le processus s fois et on cherche la probabilité Q(R + n R + m; s) qu il y ait R + m boules dans la boîte A après un temps s. Ce problème est en fait une autre formulation du problème de la particule élastique (avec ici = 1). Ainsi Q(R + n R + m; s) = P(n m; s)

20 0.5. LE MODÈLE D EHRENFEST

21 Chapitre 3 Conclusion La résolution d équations aux dérivées partielles est souvent délicate ou coûteuse en temps de calculs. Ici, nous avons vu comment utiliser dans un premier temps, les marches aléatoires et le mouvement brownien puis la probabilité de transition conditionnelle pour donner une solution à nos EDP. Après avoir vu un formalisme mathématique de résolution, il est intéressant de donner une explication physique du phénomène observé. En effet, on a pu montré (en utilisant le modèle d Ehrenfest) que notre probabilité de transition conditionnelle était en fait la solution du déplacement d un gaz dans un système fermé qui se détend pour arriver à un état d équilibre. De manière équivalente, les autres marches aléatoires peuvent aussi être vues comme solutions particulières de la diffusion de la chaleur (équation de Fokker-Planck). Ici, le problème n a été traité que dans le cas de la dimension 1 mais il serait aussi intéressant de traiter ces problèmes dans des dimensions supérieures. 1

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23 Bibliographie [1] Kac Mark, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly, Vol 54, No.7 [] Karatzas I, Shreve S., Brownian Motion and Stochastic Calculs (1998), Springer, New York. [3] Mazza C., Cours avancé de Probabilité (009), Fribourg 3