P8 : Initiation à la mécanique des fluides

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1 INA de Rouen - TPI - Année P8 : Initiation à la mécanique des fluides 1 Généralités 1.1 Les définitions et propriétés des fluides Particule fluide : élément infinitésimal devant la dimension du système étudié. dm Masse volumique: ρ = lim Densité : d = ρ dv 0 dv ρ eau Continuité : la masse volumique est définie en tout point du système. Isotropie : Invariabilité des propriétés du fluide par changement de direction. Compressibilité isotherme : χ = 1 v taux de variation de volume pour une variation de pression. V p T Expérimentalement, on considère les liquides incompressibles et les gaz généralement compressibles. Viscosité dynamique η : Opposition aux déformations du fluide par l apparition de forces de frottement. 1. Les types de forces en présence Les Forces de volume : les forces usuelles gravité, inertie, magnétique... qui s appliquent en chaque point du système fluide. Notation : Force par unité de volume F V unité : N m 3 et par unité de masse f v unité : N kg 1 Les forces de surface qui s appliquent à la frontière du domaine considéré unité : Nm. Les forces intérieures : interactions moléculaires qui peuvent être considérées comme nulles pour un fluide non visqueux. 1.3 Les forces de surface Contrainte en N force surfacique : τ N = d F d Contrainte tangentielle ou scission force de viscosité : Composante tangente à la surface Fluide parfait non visqueux : η = 0 Fluide réel visqueux : d F s = η V x y d u x dans le cas d un déplacement selon u x unité de η : Poiseuille Pl = Pas Fluide au repos : V x y = 0 = d F s = 0 Contrainte normale force de pression : Composante normale à la surface Pression cinétique P c : P c = Nk B T Pression moléculaire P m : Traction exercée par les molécules extérieures sur les molécules intérieures à la surface de contrôle. Pression totale : P = P c P m Force de pression : d F P N = PNd n Force de tension de surface : oppose au déséquilibre des forces de cohésion moléculaire à l interface entre deux fluides. Expression : f = γl = σ L avec γ la tension superficielle Tension superficielle et énergie libre : σ = df avec A = Ldx l aire élémentaire de l interface. da Equation de Laplace : Variation de pression à l interface d une goutelette de rayon R : P int P ext = σ R 1

2 La tatique des fluides.1 Equation fondamentale de la statique des fludies Expression générale : F V = gradp Expression massique : ρ f V = gradp. Force de volume dérivant d un potentiel Force et potentiel : F P = gradu P Equation de la statique pour un fluide incompressible : gradp + ρu V = 0 Application dans le champ de pesanteur Pression hydrostatique : Pour un fluide incompressible à l équilibre P = P 0 + ρgh Théorème de Pascal : Au sein d un même fluide, les pressions sont intégralement transmises..3 Forces de pression exercées par un fluide sur un solide R = d F N Forces de contact entre un fluide et une paroi : {τ TP } = O M O = ON d F N Paroi plane et horizontale : d F N = PNd n = R = P 0 + ρgh n Paroi plane et inclinée : d F N =PNd P 0 n = R = ρgh P n hd h d avec la poussée h P = d et le centre de poussée à la hauteur h B = hd Poussée d Archimède : Π = ρv g Z la résultante des forces de pression d un fluide sur un corps statiquement immergé. 3 La cinématique des fluides 3.1 Définitions Trajectoire : chemin suivi par une particule fluide au cours du temps. Ligne d émission : ensemble des particules fluides ayant coïncidé à un instant antérieur avec un point particulier. Exemple : panache de fumée Ligne de courant : courbe qui, à un instant donné, admet comme tangente en chacun de ses points un vecteur vitesse. Tube de courant : surface formée par l ensemble des lignes de courant s appuyant sur une courbe fermée. Exemple : courants ascendants, Gulf tream... Champ uniforme : Champ de vecteurs identiques en tout point. Champ permanent ou stationnaire : Champ de vecteurs indépendants du temps. 3. Descriptions lagrangienne et eulerienne 3..1 Description lagrangienne Il s agit de suivre la trajectoire de chaque particule par l application t r r 0,t 0,t Expression de l accélération : a r 0,t = d r r 0,t dt

3 3.. Description eulerienne On considère un champ vectoriel ou scalaire A aux variables de position et de temps indépendantes. Variation temporelle du champ A du point de vue d une particule se déplaçant à la vitese U : d A A = dt t Dérivée particulaire Caractère non permanent + A U Caractère non uniforme Dérivée hydrodynamique d après la relation précédente considérée pour A = U : a i = U i t + U i U k k x k 3.3 Débit ou Flux au travers d une surface On considère une description eulérienne. Débit volumique : q V = U d Débit massique : q m = ρ U d Conservation du débit cas du tube de courant : Pour un même fluide dans un tube de courant, ρ 1 U 1 d 1 = ρ U d 3.4 Equation de la continuité Débit et taux de variation de masse : m t = q M,e + q M,s Equation de la continuité : ens particulaire dρ dt + ρdiv U = 0 : ens spatial : ρ t + div ρu = Ecoulement irrotationnel Définitions : rot U = 0 U = gradϕ avec ϕ un potentiel des vitesses Cas du fluide irrotationnel incompressible : ϕ = 0 Equation de Laplace 3.6 Fonction de courant Définition : Ψ fonction de courant Ψ = cste ligne de courant Ψ Equation associée : U x x +U Ψ y y +U Ψ z z = 0 Ψ Ecoulement plan : nécessairement incompressible avec U x x +U Ψ y y = 0 Ecoulement Rotationnel : rot U = Ψ z Débit volumique et fonction de courant : dq v = dψ = q v = Ψ Ψ 1 Détermination des lignes de courant : U x dx = U y dy = U z dz 3

4 4 La dynamique des fluides 4.1 Equation d Euler : Hypothèse : Fluide non visqueux Equation d Euler : U t + U U = f v 1 P ρ 4. Ecoulement parallèle Définition : Fluide aux lignes de courant parallèles Repère intrinsèque Repère de Frénet : T, N Equation d Euler : F v N = P avec n l ordonnée curviligne n 4.3 Equation de Bernoulli Enoncés : Hypothèses : Fluide non visqueux Forces de volume issues d un potentiel : f v = u v Evolution le long d un ligne de courant projection : Ecoulement stationnaire : d Fluide incompressible : d U U + u v + u v + P ρ + dp ρ = 0 = 0 U U t d l + d + u v + dp ρ = 0 Théorème de Bernoulli : uivant les hypothèses précédentes : P ρ + 1 U +U v = cte en tout point 4.3. Applications sous le seul champ de pesanteur : Equation de Bernoulli : P + 1 U + ρgz = cte Tube de Pitot : U = gz C z D Effet Venturi : P A P B = q m 1 ρ B 1 A + ρgz A z B Théorème de Torricelli Ecoulement depuis un réservoir : En négligeant la vitesse d écoulement à la surface, U = gh Effet Magnus : La rotation de la balle peut entraîner une dépression qui va emmener la balle vers le sol, au contraire du principe d Archimède. 4.4 Théorème d Euler Hypothèse : Ecoulement permanent incompressible 4

5 Théorème d Euler : F + F V = U ρ U n d Enoncé : La somme des forces extérieures appliquée à ce fluide et égale au flux de quantité de mouvement de ce fluide traversant la surface de contrôle. 4.5 Equation de Navier-tokes : On se place dans le cas d un fluide visqueux incompressible. On définir le tenseur [ϕ] des contraintes par d F = [ϕ] n d. L équation de Navier-tokes est alors celle-ci, projetée sur une dimension i : U i t +U U i k = f vi 1 P + µ U i x k ρ x i ρ xk Analyse dimensionnelle : On définit des grandeurs caractéristiques v, f 0, L, P et g pour estimer les ordres de grandeurs de l Equation par rapport à la grandeur caractéristique de la force d inertie. On obtient L f 0 v + 1 = Lg v P P 0 ρv + µ ρlv Ou encore t + 1 = 1 Fr Eu + 1 Re avec : t = L f 0 v nombre de tuart : t << 1 instationnarité négligeable. Fr = v nombre de Froude : Fr << 1 pesanteur négligeable devant l inertie. Lg Eu = P P 0 1 ρv nombre d Euler : Eu << 1 travail des fluctuations de pression négligeables devant l énergie cinétique. Re = ρlv nombre de Reynolds : Re >> 1 inertie prédominant la viscosité, tourbillon non dissipé = Ecoulement turbulent µ 5