TD3 EM TSI 2 > < Exercice 1 : Etude de structures simples avec le théorème de Gauss

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1 Exercice 1 : Etude de structures simples avec le théorème de Gauss 1) On va chercher à déterminer, avec un repérage sphérique (,, ), le champ électrostatique créé par une sphère, de centre, de rayon, chargée uniformément en surface avec une densité > 0. La charge totale est donc. a) Calcul du flux de : ( ) ( ) i) Faire l analyse des invariances de la fonction densité surfacique de charges et en déduire la variable dont dépend le champ électrostatique. ii) Faire l analyse des symétries de la distribution de charges et en déduire la direction du champ électrostatique. iii) Vérifier alors qu une surface de Gauss sphérique de rayon et de centre O est appropriée pour obtenir l expression de ϕ. Exprimer alors ce flux. - > alors - < alors 0 c) Appliquer le théorème de Gauss et en déduire l expression du champ en tout point de l espace. d) En utilisant la continuité du potentiel ( ) et en posant ( ) 0, donner l expression du potentiel électrostatique en tout point de l espace à l aide de ( ). e) Tracer les fonctions ( ) et ( ). f) Placer une radio ou un téléphone dans une boîte métallique. Expliquer l absence de signal transmis. L ensemble des plans de symétrie contenant le point le point et le point, où l on cherche à déterminer le champ, sont des plans de symétrie. L intersection de ces plans se fait suivant (,, ) (,, ).. Donc On applique le théorème de Gauss La distribution de charges est indépendante des paramètres et, donc (,, ) ( ). Une surface de Gauss sphérique de rayon est appropriée ici compte tenue des résultats précédents ( ) ( ). ( ). ( ) b) Détermination de i) Déterminer la charge présente à l intérieure de la surface de Gauss si < > < ( ) ( ) ( ) On peut déterminer le potentiel ( ) On en déduit le potentiel associé : En prenant ( ) 0, alors : ( ) On peut tracer les profils associés : 0 0 Le potentiel est alors constant ( ). Cette constante doit vérifier la continuité du potentiel électrique en donc : ( ) ( ) ii) Déterminer la charge présente à l intérieure de la surface de Gauss si > On peut distinguer deux cas : > < ) Un cylindre infini, de rayon, porte une charge répartie uniformément en volume avec une densité volumique positive. a) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique en un point quelconque de l espace (on dégagera donc situations et ). Représenter le graphe ( ).

2 b) Construire le potentiel électrostatique en choisissant son origine à la surface du cylindre ( ) 0. Représenter ce potentiel ( ) et donner sa valeur sur l axe de révolution du cylindre. En proposant une surface de Gauss cylindrique, on trouve l expression du champ pour donné : - ( ) pour < - ( ) pour > On trouve le potentiel associé : - ( ) ( ) pour < - ( ) ln ( ) pour > Exercice : Rayon classique de l électron 1) On considère une distribution volumique de charges de densité volumique ρ uniforme contenue dans une sphère. On note Q la charge totale. Déterminer l expression du champ électrostatique et du potentiel électrostatique en tout point en fonction de Q, R et. On utilise les coordonnées sphériques. Tous les plans contenant le point M et O sont des plans de symétrie donc le champ est radial (,, ). On a invariance pour toutes rotations autour de O de la distribution de charges : ( ) On propose très logiquement une sphère pour la surface de Gauss - > : ( ) - < : ( ) On trouve ensuite les potentiels : - > : ( ) En prenant un potentiel nul à l infini - < : ( ) : ( ) ) Einstein a postulé que l énergie d une masse au repos est égale à mc. Calculer alors l ordre de grandeur du rayon d un électron en utilisant les questions précédentes. On donne 9,1.10, 1,6.10, 3,0.10, 8,9.10 On a donc pour cette charge au repos une identification qui donne alors : Soit : ,7 Exercice 3 : Le condensateur cylindrique Un condensateur est formé de deux cylindres conducteurs très longs (on néglige les effets de bords), d axe, séparés par un matériau dont la permittivité diélectrique. Le premier cylindre plein, de rayon, au potentiel, porte la charge surfacique > 0 uniforme; le second, au potentiel < est creux et de rayon > ) On associe à une distribution de charges créant un champ électrostatique une densité volumique d énergie électrique égale à. Calculer l énergie électrostatique de cette distribution en fonction de Q, R et. On a donc une énergie électrostatique totale : a) Etude théorique 1) Déterminer le champ électrique entre les deux cylindres.

3 ) Déterminer la capacité linéique en fonction de et des caractéristiques géométriques du condensateur. 3) Donner l expression de l énergie électrostatique linéique d un tel système. Que vous évoque ce résultat si l on introduit la charge linéique? 1) Représenter le schéma électrique équivalent de l ensemble {(A),(B),(P)} entre les connexions de mesures 1 et. Quelle est l expression de la capacité électrique du capteur entre 1 et? C0. On peut alors trouver la capacité linéique en calculant la circulation pour aller de l âme à la gaine : C1(x) C(x) ln ln h Donc On a, par définition, Donc On montre rapidement que ( ) ( ) ) Exprimer et ( ) en négligeant les effets de bord. ( ) est la capacité d un condensateur plan : ( ), est la capacité d un condensateur cylindrique : On retrouve l équivalent linéique du condensateur plan b) Application : capteur de proximité Pour asservir précisément la position d un appareil de mesure à une distance microscopique d un objet métallique, ou inversement la position d une pièce de métal par rapport à un outil fixe, on peut utiliser un capteur capacitif de proximité. La tête de mesure de ce capteur comporte un cylindrique métallique (A) long de à base circulaire plane (D) de rayon, entouré d un cylindre métallique coaxial ouvert (B) plus long, de rayon intérieur dont une extrémité est exactement dans le plan (D). 3) Pour faire la mesure de, on relie la pièce (P ) et le cylindre (B) à la masse électrique. Quelle est alors l expression de la capacité en fonction de? On a donc un condensateur C équivalent à un fil et donc : ) Application 5 ; 6 ; 5 ; 0,1 ; 10.. Donner la valeur de. On obtient 8 pf Exercice : Condensateur de e espèce a) Description Soient deux fils verticaux, conducteurs, de longueur et distant de. On note et la distance radiale respective d un point avec chaque fil. Avec et on pourra négliger les effets de bords. Les fils sont chargés respectivement avec une densité linéique et et placés aux potentiels et <. La pièce métallique plane (P) est parallèle à (D) à une distance. L ensemble {(A),(B),(P)} forme une association de trois condensateurs : Le condensateur {(A),(B)} de capacité constante Le condensateur {(A),(P)} de capacité ( ) Le condensateur {(B),(P)} de capacité ( ) 1) En appliquant le théorème de Gauss, donner l expression du champ créé par chaque fil. ) En travaillant dans le plan contenant les deux fils, mesurer la circulation du champ électrique total entre les deux fils. On notera, pour les besoins du calcul, le rayon faible de ces deux fils ( et ). 3) Exprimer la capacité linéique. ) Les deux fils sont immergés sur une hauteur

4 h < dans de l eau de permittivité diélectrique (le reste des fils émergeant est dans l air assimilé à du vide). Que peut-on remarquer de notable sur la fonction (h)? ln ln b) Application : capteur de niveau D où : Proposer un protocole permettant de vérifier qu une simple nappe de fils isolés électriquement permet d obtenir un capteur linéaire de niveau de liquide (on appréciera également la pertinence de la linéarité). Matériel à disposition : - Verrerie (bécher, burette graduée ) - Multimètre avec documentation technique - Nappes de fils isolés par une gaine en plastique En présence d un liquide, on se retrouve alors avec deux condensateurs en parallèle, ce qui conduit à la capacité équivalente : ( h) h ln ln La capacité est donc une fonction linéaire de la hauteur de liquide Rq : Rappels sur les incertitudes de type B : S il s agit d un appareil analogique (règle, cadran) alors où est la graduation de l appareil S il s agit d un appareil numérique alors le constucteur donne une incertitude sous la forme d une somme de deux termes : % Avec constantes donnée par le constructeur, est la valeur unitaire du dernier digit affiché. L incertitude est alors donnée par : Une régression linéaire donne alors : ( % ) 1 ( % ) 3 Le champ électrique total est donc : La circulation du champ électrostatique est conservative et indépendante du chemin suivi. Il est pratique de la mesurer dans le plan contenant les deux fils : ( ) Cette linéarité est vérifiée mais le résidu de 0,1 montre une incertitude expérimentale notable conduisant à une incertitude sur la pente de 10%. Il s agit surtout d un effet lié à la faible valeur de la capacité. Exercice 5 : Condensateur sphérique ln ( ) a) Partie théorique On considère deux conducteurs de géométrie sphérique de même centre. Le premier est une sphère de rayon et le second une calotte sphérique de rayon (bord

5 intérieur) et (bord extérieur). L ensemble forme un condensateur sphérique. L armature interne de rayon porte une charge répartie uniformément en surface et l armature externe de rayon est reliée à la masse. négative -Q (Q > 0) uniformément répartie sur sa surface, tandis que l ionosphère représentée par une surface équipotentielle sphérique de rayon R zo, de potentiel V possède une charge totale Q. On suppose que l atmosphère possède la permittivité du vide. Des mesures à l altitude zo 60 km ont permis d évaluer le potentiel à environ 360 kv par rapport au potentiel de la Terre. 1) Justifier que le système se comporte comme un condensateur localement plan. Déterminer la valeur numérique de la capacité C. z0 << R. On retrouve le résultat précédent Application numérique : C 7, F 1) Déterminer, à l aide du théorème de Gauss, le champ entre les armatures. ) Exprimer la différence de potentiel ( ) ( ) en fonction de, et. 3) En déduire la capacité du condensateur sachant que avec. ) On souhaite obtenir la valeur de la différence de potentiel par une procédure mathématique dite «méthode des rectangle» avec le programme ci-dessous. Préciser les expressions de, et. ) Calculer l énergie électrostatique Ue du système, ainsi que la valeur du champ E au niveau du sol. On obtient,3 et, puisque l ensemble est équivalent à un condensateur plan, le champ est uniforme et donné par 6. 3) Calculer la charge -Q portée par la Terre puis donner la valeur de la densité surfacique de charge à la surface de la Terre. Puisqu il s agit d un condensateur QCV et donc Q7,kC et la densité surfacique est donc donnée par 5, D après le théorème de Gauss, le champ entre les armatures est donné par : ( ) ( ). Soit ( ). Rq : En temps normal, l atmosphère est partiellement ionisée et parcourue par de faibles courants électriques verticaux dont l effet principal est de décharger le système Terre-atmosphère. Cependant l activité orageuse et la foudre permettent de maintenir la stabilité du système. La circulation entre les deux armatures donne : soit : et et ( ) b) Application : On représente l ensemble Terre-ionosphère comme un volumineux condensateur. Exercice 6 : Problème de biologie Toutes cellules vivantes de l organisme présentent une différence de potentiel électrique transmembranaire ou potentiel de membrane. Quand la cellule est au repos, ce potentiel électrique reste stable : c est le potentiel de repos. Les parois d une membrane cellulaire sont sélectives et favorisent le passage de certains ions, par exemple. Ainsi, une membrane perméable aux ions sera le siège des phénomènes suivants : Ions K Ions Cl - La Terre, de rayon R 6380 km, se comporte comme un conducteur parfait de potentiel nul et porte une charge

6 Diffusion d ions à travers la membrane D après MG ou en appliquant le théorème de Gauss en local : ( ) ( ) ( ) Donc : ( ) Donc : ( ) 0 Limitation de la diffusion par les ions négatifs arrêtés par la membrane et restés à l intérieur de la cellule. ( ) sin ( ) 0 Il s agit là d une démarche courante : la connaissance du potentiel permet d obtenir la répartition de charge et même la densité maximale connaissant et 10 soit 10. Le voisinage de la membrane est globalement neutre et constitue un condensateur. Le potentiel, mesurable par des microélectrodes, est alors plus faible dans la cellule : Une membrane cellulaire est modélisée localement par un plan ; l axe est orienté vers l extérieur de la cellule. Une étude précise a permis de mesurer un potentiel (avec > 0) dans la cellule et un potentiel ne dépendant que de par ailleurs ( est une distance caractéristique) : ( ) ( ) sin ( ) 0 Comment un biologiste peut-il, avec la connaissance du profil ( ), obtenir l expression de la densité volumique de charge dans l espace? On obtient le champ électrostatique par : Donc : ( ) 0 ( ) cos ( ) 0