MATHÉMATIQUES DEVOIR SURVEILLÉ n 6

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1 Samedi 11 mars h30-12h30 Duré : 4 heures MATHÉMATIQUES DEVOIR SURVEILLÉ n 6 Sujet CCP-E3A Si, au cours de l épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d énoncé, d une part vous le signalez au surveillant, d autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre L usage de calculatrice est interdit AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies En particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte Tournez la page SVP

2 Dans tout le problème : SUJET E3A Mathématiques 2 - PSI E est un espace euclidien de dimension p 1 dans lequel le produit scalaire sera noté ( ) et la norme associé - S(E) désigne le sous-espace vectoriel de L(E) constitué des endomorphismes symétriques de E - T (E) désigne l ensemble des éléments u de S(E) de rang inférieur ou égal à 1 et qui vérifient x E, (u(x) x) 0 PRÉLIMINAIRES 1 Justifier que T (E) n est pas un sous-espace vectoriel de L(E) 2 Si M est une matrice de M p (R), on notera Tr(M) sa trace Soient A, B M p (R) (a) Prouver que Tr(AB) = Tr(BA) (b) On suppose que B est semblable à A Comparer Tr(A) et Tr(B) (c) Donner la définition de la trace d un endomorphisme de E 3 Rappeler la définition d un hyperplan de E On se donne alors un tel hyperplan H et on note G son complémentaire dans E Déterminer (en justifiant) si les assertions suivantes sont vraies ou fausses (a) G est un sous-espace vectoriel supplémentaire de H (b) Pour tout vecteur a de G, Vect(a) est supplémentaire de H dans E (c) Pour tout vecteur a non nul et orthogonal à H, Vect(a) est supplémentaire de H dans E (d) Le noyau de l application Tr est un hyperplan de M p (R) (e) Un endomorphisme de E est de rang 1 si et seulement si son noyau est un hyperplan de E 4 Montrer que l application (f, g) S(E) 2 f, g >= Tr(f g) est un produit scalaire On notera pour la suite N la norme associé à ce produit scalaire Soit A = et f A l endomorphisme de R 3 qui lui est canoniquement associé Donner les éléments propres de la matrice A Soit a E et u a l endomorphisme de E défini par 1 Montrer que u a T (E) 2 On suppose dans cette question que a 0 PARTIE 1 x E, u a (x) = (x a)a (a) Écrire la matrice de u a dans une base B de E constitué du vecteur a et d une base de Vect(a) (b) Déterminer alors Tr(u a ) et Tr(u a u a ) en fonction de a (c) Soit f un endomorphisme de E Déterminer les éléments diagonaux de la matrice f u a dans la base B définie précédemment (d) Calculer alors Tr(f u a ) en fonction de a PSI Lycé de L essouriau - Les Ulis

3 3 Soit u T (E), u non nul et b un vecteur non nul de Im(u) (a) Montrer que b est un vecteur propre de u associé à une valeur propre µ positive (b) Prouver que x E, u(x) = µ b 2 (x b)b (c) En déduire que µ > 0 (d) Montrer qu il existe au moins un vecteur a de E tel que u = u a 4 L application ϕ : a E ϕ(a) = u a T (E) est-elle injective? Surjective? PARTIE 2 Pour cette partie du problème, f est un endomorphisme de S(E) qui est fixé Pour tout vecteur x E, on pose Φ(x) = [N(f u x )] 2 et m(f) = inf x E Φ(x) Pour tout vecteur x de E et tout vecteur y de E tel que y = 1, on pose h x : t R h x (t) = Φ(x + ty) 1 Justifier l existence de m(f) 2 Prouver que x E, Φ(x) = [N(f)] 2 2(x f(x)) + x 4 3 Montrer que h x est une fonction polynomiale dont on précisera les coefficients 4 justifier l existence d une base orthonormale C = (e 1,, e p ) de E et de réels (λ i ) i [1,p] vérifiant i [1, p], f(e i ) = λ i e i et λ 1 λ 2 λ p 5 Calculer alors N(f) à l aide des réels λ i, 1 i p 6 Exprimer α = sup z E, z =1 (z f(z)) à l aide des λ i Déterminer l ensemble des vecteurs z E unitaires tels que (z f(z)) = α 7 On suppose que m(f) est atteint en a E (a) Déterminer h a(0) (b) Prouver que f(a) = a 2 a (c) Prouver que pour tout réel t et tout vecteur y de norme 1, (d) Prouver que Φ(a + ty) Φ(a) = t 2 [(t + 2(y a)) 2 + 2( a 2 (y f(y)))] m(f) = Φ(a) { f(a) = a 2 a y E tel que y = 1, (y f(y)) a 2 8 On suppose que λ p 0 (a) Prouver que m(f) = Φ(a) si et seulement si a = 0 (b) Déterminer m(f A ) où f A est l endomorphisme de la question 5 des préliminaires 9 On suppose que λ p > 0 p 1 (a) Démontrer que m(f) = λ 2 i i=1 (b) Prouver que m(f) = Φ(x) { x ker(f λp Id E ) x = λ p PSI Lycé de L essouriau - Les Ulis

4 Dans cette partie, on prend E = R p euclidien usuel PARTIE 3 1 Soit M = (m i,j ) M p (R) symétrique et telle que i, j [1, p] 2, m i,j 0 p i [1, p], m i,j = 1 On note f M l endomorphisme de R p canoniquement associé à la matrice M (a) Prouver que λ = 1 est valeur propre et donner un vecteur propre associé (b) Soit λ une valeur propre de M et X = x 1 x p j=1 un vecteur propre associé Soit k [1, p] tel que x k = max{ x j, 1 j p} En considérant la k-ième ligne du système MX = λx, prouver que λ 1 (c) Déterminer alors un vecteur a de R p tel que Φ(a) = m(f M ) (On ne cherchera pas à calculer la valeur de m(f M )) (d) En déduire l existence d un endomorphisme v de T (E) tel que [N(f M v)] 2 = m(f M ) (e) Reconnaître la nature géométrique de l endomorphisme v et donner ses éléments remarquables 2 Soit B M p (R) la matrice dont tous les coefficients valent 1 et f B l endomorphisme de R p qui lui est canoniquement associé Calculer m(f B ) Trouver un vecteur b R p tel que [N(f B u b )] 2 = m(f B ) 3 On prend dans cette question p > 1 Soit C = 1 M p (R) et f C l endomorphisme de R p qui lui est canoniquement associé (a) Déterminer les éléments propres de la matrice C (b) Calculer m(f C ) (c) Trouver un vecteur c de R p tel que Φ(c) = m(f C ) et un endomorphisme w T (E) tel que m(f C ) = [N(f C w)] 2 (d) Cet endomorphisme w est-il unique? PSI Lycé de L essouriau - Les Ulis

5 Samedi 11 Mars h30-12h30 Duré : 4 heures MATHÉMATIQUES DEVOIR SURVEILLÉ n 6 Sujet Centrale Si, au cours de l épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d énoncé, d une part vous le signalez au surveillant, d autre part vous le signalez sur votre copie et vous poursuivez la composition en indiquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre L usage de calculatrice est interdit AVERTISSEMENT La présentation, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies En particulier, les résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte Tournez la page SVP

6 SUJET CENTRALE 2 - PSI NOTATIONS On note R le corps des nombres réels Si n est un entier positif, on munit l espace vectoriel R n du produit scalaire canonique, noté (X, Y ) pour X, Y R n On note X = (X, X) la norme associée On note M n (R) l algèbre des matrices carrées d ordre n à coefficients réels On assimile R n à l espace des vecteurs colonnes d ordre n et M n (R) à son algèbre d endomorphismes Ainsi, (X, Y ) = t XY On note I n la matrice unité de M n (R) Si A = (a i,j ) 1 i,j n M n (R), on note Tr(A) la somme de ses éléments diagonaux : Tr(A) = n a i,i On rappelle que Tr(A) est égale à la somme des valeurs propres complexes de A comptées avec leurs ordres de multiplicité Si A M n (R), le polynôme caractéristique de A est P A (X) = det(a XI n ) et on définit R(A) = { t XAX/ X R n, X = 1} qui est une partie de R Les parties ainsi que les questions ne sont pas indépendantes Soit A = (a i,j ) 1 i,j n M n (R) I - GÉNÉRALITÉS IA Démontrer que les valeurs propres réelles de A sont dans R(A) IB IB1) Démontrer que les éléments a i,i (1 i n) de la diagonale de A sont dans R(A) ( ) 0 1 IB2) En considérant la matrice A =, montrer que les éléments a 1 0 i,j avec i j ne sont pas nécessairement dans R(A) IC On considère deux nombres réels a R(A) et b R(A), avec a < b Soient X 1 et X 2 deux vecteurs de norme 1 tels que t X 1 AX 1 = a, t X 2 AX 2 = b IC1) Démontrer que X 1 et X 2 sont linéairement indépendants IC2) On pose X λ = λx 1 + (1 λ)x 2 pour 0 λ 1 t X λ AX λ Démontrer que la fonction φ : λ X λ 2 est définie et continue sur l intervalle [0, 1] IC3) En déduire que le segment [a, b] est inclus dans R(A) ID Démontrer que si Tr(A) = 0 alors 0 R(A) IE Soit Q une matrice orthogonale réelle Démontrer que R(A) = R( t QAQ) IF On considère les conditions suivantes : (C 1 ) Tr(A) R(A) (C 2 ) il existe une matrice orthogonale réelle Q telle que la diagonale de la matrice t QAQ soit de la forme (Tr(A), 0,, 0) IF1) Démontrer que la condition (C 2 ) entraine la condition (C 1 ) IF2) On suppose que x R(A) Démontrer qu il existe une matrice Q 1 orthogonale telle que ( ) t x L Q 1 AQ 1 = C B où B est une matrice de format (n 1, n 1) (B M n 1 (R)), C un vecteur colonne à n 1 éléments (C M n 1,1 (R)) et L un vecteur ligne à n 1 éléments (L M 1,n 1 (R)) IF3) Démontrer que si la matrice A est symétrique, il en est de même pour la matrice B ci-dessus IF4) Démontrer que Tr(A) = Tr( t Q 1 AQ 1 ) IF5) En déduire que si A est symétrique, la condition (C 1 ) entraîne la condition (C 2 ) On pourra raisonner par récurrence sur n PSI Lycé de L essouriau - Les Ulis i=1

7 II - MATRICES SYMÉTRIQUES DE FORMAT (2, 2) Dans toute cette partie A et B désignent des matrices symétriques réelles de M 2 (R) On note λ 1 λ 2 (resp µ 1 µ 2 ) les valeurs propres de A (resp B) De plus, on dira qu une matrice symétrique S est positive, ce que l on notera S 0, si et seulement si toutes ses valeurs propres sont 0 IIA Démontrer que R(A) = [λ 1, λ 2 ] IIB On considère l ensemble Γ R 2 défini par l équation (AX, X) = 1 IIB1) Caractériser les conditions sur les λ i pour lesquelles cet ensemble est a) vide ; b) la réunion de deux droites ; c) un cercle IIB2) Représenter sur une même figure les ensembles Γ obtenus pour A diagonale avec λ 1 { 1, 0, 1} et λ 2 = 1 IIC Démontrer que Tr(AB) λ 1 µ 1 + λ 2 µ 2 On pourra utiliser une matrice orthogonale P telle que t P BP soit une matrice diagonale, pour obtenir t P AP = A = (a i,j ) avec Tr(A) = λ 1 + λ 2 = a 1,1 + a 2,2 ( ) a b IID On pose A = et on suppose A 0 b d IID1) Démontrer que det(a) 0 IID2) Démontrer que t XAX 0 pour tout vecteur X IID3) Démontrer que a 0 et d 0 IID4) Soit S M 2 (R) symétrique Démontrer que : S 0 si et seulement si (Tr(S) 0 et det(s) 0) ( ) ( ) a1 b IIE On pose A = 1 a2 b et B = 2 b 1 d 1 b 2 d 2 On suppose dans cette section que A 0 et B 0 IIE1) En appliquant l inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs (b 1, det(a)) et (b 2, det(b)), démontrer que b 1 b 2 a 1 a 2 d 1 d 2 det(a) det(b) IIE2) En calculant det(a + B) det(a) det(b), en déduire que det(a + B) det(a) + det(b) + 2 det(a) det(b) IIF On suppose dans cette sous-partie que A 0, B 0, det(a) det(b) 0 et b 1 b 2 0 IIF1) Démontrer que l on a l égalité dans la formule de la question IIE2 si et seulement si les vecteurs (a 1, d 1 ) et (a 2, d 2 ) sont liés, ainsi que les vecteurs (b 1, det(a)) et (b 2, det(b)) IIF2) Démontrer alors que l on a l égalité dans la formule de la question IIE2 si et seulement si les matrices A et B sont proportionnelles (A = λb pour un λ R, λ > 0) IIG On considère la relation suivante sur l ensemble des matrices symétriques réelles de format (2, 2) : on dit que S S si et seulement si la matrice symétrique S S vérifie S S 0 Démontrer que la relation ci-dessus est bien une relation d ordre (réflexive, antisymétrique et transitive) sur les matrices symétriques réelles de format (2, 2) Soient (A, B, C) des matrices symétriques réelles de format (2, 2) On rappelle que : est réflexive lorsque A, A A est antisymétrique lorsque (A, B), A B et B A A = B est transitive lorsque (A, B, C), A B et B C = A C PSI Lycé de L essouriau - Les Ulis

8 ( ) an b IIH On considère une suite (A n ) n 0 avec A n = n qui est symétrique pour tout n On suppose b n que la suite (A n ) n 0 est croissante et majorée pour la relation d ordre définie à la question précédente IIH1) Démontrer que pour tout vecteur X ; la suite ( t XA n X) n 0 est croissante et majorée IIH2) Démontrer que les suites (a n ) n 0 et (d n ) n 0 sont croissantes et majorées IIH3) En considérant le vecteur X = (1, 1), démontrer que la suite de matrices (A n ) n 0 est convergente dans M 2 (R), c est à dire que les suites (a n ) n 0, (b n ) n 0 et (d n ) n 0 sont convergentes dans R d n III - MATRICES SYMÉTRIQUES DÉFINIES POSITIVES Dans cette partie toutes les matrices sont de format (n, n) où n est un entier 2 On dit qu une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives IIIA Soit A une matrice symétrique définie positive Démontrer qu il existe une matrice inversible Y telle que A = t Y Y IIIB Soient A une matrice symétrique définie positive et B une matrice symétrique Démontrer qu il existe une matrice inversible T telle que t T AT = I n et t T BT = D où D est une matrice diagonale (et I n est la matrice identité) IIIC Soient A et B deux matrices symétriques définies positives IIIC1) Démontrer que det(i n + B) 1 + det(b) IIIC2) En déduire que det(a + B) det(a) + det(b) IIID Soient x un nombre réel > 0, β un nombre réel tel que 0 < β < 1 Démontrer que x β βx + 1 β IIIE Soient A et B deux matrices symétriques définies positives, α et β deux nombres réels > 0 tels que α + β = 1 ; démontrer que : det(αa + βb) (det(a)) α (det(b)) β IIIF Pour 1 i k, soient A i des matrices symétriques définies positives et α i des réels > 0 tels que α α k = 1 Démontrer que : On pourra raisonner par récurrence sur k det(α 1 A α k A k ) (det(a 1 )) α 1 (det(a k )) α k PSI Lycé de L essouriau - Les Ulis