Maîtrise de Mathématiques Travaux Pratiques
|
|
- Virginie Guérard
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Maîtrise de Mathématiques Travaux Pratiques Pedro Ferreira 4 mai 2 Le but des travaux pratiques d Analyse Numérique est de créer un premier programme de mise en œuvre de la méthode des éléments finis. On utilisera le langage C, avec le compilateur gcc. On abordera uniquement le cas unidimensionnel, mais on traitera les maillages non - uniformes. Programmation modulaire Pour tout ce projet on s efforcera de programmer d une façon structurée. Voici quelques conseils : On isolera les parties indépendantes dans des fonctions séparées, on groupera dans un même fichier source les fonctions qui ont un rapport entre elles, chaque fichier source aura un fichier en-tête (.h) associé, on s efforcera d utiliser les bibliothèques standard, on produira du code réutilisable. 2 Les étapes d un code d éléments finis Un code d éléments finis est composé de plusieurs étapes Pré-traitement : On lit les données du problème, maillage du domaine, seconds membres, conditions de frontière, etc. On vérifie la cohérence des données et on calcule des informations nécessaires au bon déroulement des calculs (par exemple dans le cas 2D la liste des voisins de chaque élément). Assemblage : Construction du système linéaire, on utilise la formulation variationnelle discrète pour calculer les coefficients de la matrice et du second membre. Résolution : On utilise une méthode de résolution du système linéaire adaptée aux propriétés de la matrice (nombre de zéros, symétrie, etc.). Post-traitement : On génère de l information exploitable par les logiciels (ou des fonctions) de visualisation à partir du vecteur solution du système linéaire. 3 Problème modèle On va discrétiser un problème du type suivant : u (x) + cu(x) = f(x) x [, L] () Condition aux bords x = et x = L où f(x) est une fonction donnée et c > une constante réelle.
2 On traitera différents types de conditions aux bords, ce qui nous permettra de voir les différentes techniques associées à ces conditions. Pour l étude mathématique de ses équations on peut regarder []. Dans le cas le plus simples, problème de Neumann homogène : u (x) + cu(x) = f(x) x [, L] (2) u () = u (L) = la formulation variationnelle est : Trouver u H (, L) : (3) a(u, v) = Lv v H (, L) où : a(u, v) = Lv = u (x)v (x) dx + c f(x)v(x) dx u(x)v(x) dx et on a existence et unicité de solution. On va utiliser une méthode d éléments finis de Lagrange P. On considère une partition du domaine : = x < x < x 2 <... < x N = L. On cherche des solutions de () qui sont localement affines, c est-à-dire : (4) u h = N u i ψ i (x) i= les ψ i (x) sont les fonctions de base et vérifient : ψ i (x) = si x [x i, x i+ ], ψ i (x i ) = et ψ i (x) est affine en [x i, x i ] et en [x i, x i+ ]. Pour une présentation complète des méthodes d éléments finis de Lagrange voir [5] et [2]. 4 Maillages et pré-traitement Comme on vient de le voir on a besoin d une discrétisation du domaine dans lequel l équation est définie. Dans le problème modèle le domaine est spécialement simples, une intervalle bornée. Pour écrire un programme suffisamment flexible on aura besoin de lire des données variables, par exemple, des informations relatives au domaine de calcul, des conditions au bord des constantes etc.. La lecture des paramètres se fait en utilisant les fonctions de la bibliothèque de lecture de paramètres. Ces fonctions, ainsi comme la doc sont disponibles dans http :// Dans le cas unidimensionnel, la discrétisation du domaine [, L] correspond au choix d une partition. Dans les cas 2D et 3D le problème devient beaucoup plus complexe, les choix sont multiples (triangles, quadrangles, tétraèdres, etc.). En ce qui concerne notre projet on aura besoin d une fonction qui puisse générer une partition de l intervalle, pour cela on aura comme entrées un tableau de points, représentant une partition grossière du domaine et un tableau d entiers représentant le nombre de sous-divisions de chaque intervalle de cette partition. Son prototype sera 2
3 double *mailseg(int nx,double *x,int *n,int *npt); cette fonction retourne un tableau de points (alloué dynamiquement), ses arguments sont : nx : Le nombre de points en entrée. x : Le tableau des points en entrée. n : Le tableau de taille nx- du nombre de points par intervalle. npt : Un pointeur vers un entier qui contient en sortie le nombre de points du maillage généré. 5 Assemblage et stockage des systèmes creux. Chaque fonction test v peut s exprimer comme combinaison linéaire des fonctions de base, c est-à-dire : N v(x) = v j ψ i (x) i= Pour que l égalité a(u, v) = Lv soit valable pour tout v, il suffit alors qu elle soit vérifiée pour toutes les fonctions ψ i (a(u, ψ i ) = Lψ i ). La représentation de la solution en termes de la base de l espace d éléments finis (4) donne alors : N u j a(ψ j, ψ i ) = Lψ i j= les u j étant les inconnues on peut récrire cette égalité en forme matricielle : où A i,j = et le second membre est : A u = b ψ j(x)ψ i(x) dx + c b i = f(x)ψ i (x) dx ψ j (x)ψ i (x) dx On peut être amené à calculer b i par une formule de quadrature, on peut, par exemple, utiliser une quadrature de Gauss à 2 points : (5) b b f(x) dx 2 (f(ξ ) + f(ξ )) où : ξ = a + b 3 (b 2) 2 6 et : ξ = a + b 3 + (b 2) 2 6 qui est exacte pour les polynômes de degré 3, pour plus de détails voir [4]. Les systèmes linéaires issus de la discrétisation des équations différentielles par des méthodes de différences finies ou d éléments finis sont, en général creux, c està-dire, ils ont une grande quantité de zéros. On va programmer quelques méthodes de résolution de systèmes linéaires avec prise en compte de la structure des matrices. Pour les méthodes d éléments finis de Lagrange P les fonctions de base ψ i et ψ j ont des supports non disjoints si et seulement si il existe un élément T k tel que x i T k et x j T k. C est cette propriété qui donne origine à des matrices creuses. 3
4 5. Matrices tridiagonales Dans le cas unidimensionnel étant données deux noeuds du maillage, x i et x j, il existe un élément T tel que x i T et x j T uniquement si j = i, j = i ou j = i +. on a alors A i,j = si i j >. Ceci implique que la matrice du système discret est tridiagonale. La symétrie de la forme bilinéaire a(.,.) implique que la matrice A est symétrique. Pour prendre en compte la structure de la matrice, c est-à-dire ne pas stocker les zéros, on gardera uniquement les diagonales non nulles dans deux vecteurs qu on note s pour la sous-diagonale et d pour la diagonale principale. On notera b le second membre du système linéaire. L assemblage de la matrice et du second membre se fait alors par l algorithme. Algorithm Assemblage de la matrice d éléments finis s d b for i de au nombre d éléments do b i b i + f(x)ψ i (x) dx x i b i b i + f(x)ψ i (x) dx x i s i s i + ψ i (x)ψ i(x) dx + c x i s i + c x i x i x i x i 6 x i ψ i (x)ψ i (x) dx = ( d i d i + ψ i (x) ) 2 dx + c (ψ i (x)) 2 dx = x i x i d i + x i x i + c xi xi 3 d i d i + (ψ i(x)) 2 dx + c (ψ i (x)) 2 dx = x i x i d i + + c x i x i x i x i 3 end for pour le calcul du second membre on utilise la quadrature de Gauss (5). 5.2 Matrices bande Les méthodes de différences finies en 2 ou 3 dimensions génèrent des matrices de type bande, ce sont des matrices on seulement quelques diagonales sont non nulles. La propriété de remplissage des méthodes directes nous obligent à garder tous les zéros de la matrice entre le premier élément non nul de chaque ligne et la diagonale (dans le cas symétrique). Pour cette raison, pour ce type de méthodes on garde la partie utile de la matrice dans une matrice rectangulaire. 5.3 Matrices profil Dans la méthode des éléments finis en 2 ou 3 dimensions on aboutit généralement à des matrices où les éléments non nuls sont groupés prés de la diagonale principale, 4
5 sans pour autant être des matrices bande. Pour ces matrices on utilise un stockage connu sous le nom de stockage profil. Les lecteurs plus curieux peuvent regarder les détails dans [3]. 5.4 Matrices morse et méthodes itératives Si on souhaite utiliser des méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires on peut garder uniquement les éléments non nuls, en effet, ces méthodes font appel uniquement à des produits matrice vecteur pour lesquels les coefficients nuls peuvent être ignorés. Le stockage adapté à ces méthodes s appelle stockage morse. Ces méthodes sont utilisées quand il y a une seule résolution des système linéaire a effectuer car il n y a pas de facturation de matrice. Ils deviennent très performants pour des problèmes de très grande taille. 6 Résolution des systèmes linéaires creux Une fois assemblée la matrice et le second membre il faut résoudre le système linéaire pour trouver la solution approchée. On utilisera la factorisation de Choleski, celle-ci correspond à une décomposition A = LL t où L est une matrice triangulaire inférieure. On trouve la solution de A u = b par descente remontée, c est-à-dire, la résolution successive de deux systèmes linéaires : L y = b L t u = y En regardant de près la décomposition de Choleski et les algorithmes de descente et remontée on se rend compte que la matrice A et le vecteur b peuvent être utilisées pour garder le facteur L, la solution u et la solution auxiliaire y. Pour une matrice pleine (sans zéros à priori) la décomposition de Choleski se calcule en utilisant l algorithme 2. La solution du système linéaire s obtient parles algorithmes 3 et 4. Algorithm 2 Décomposition de Choleski for j de à N do j L j,j Aj,j k= for i de j + à N do L 2 j,k L i,j A i,j j k= L i,kl j,k L j,j end for end for 5
6 Algorithm 3 Descente for i de à N do y i b i i j= L i,jy j L i,i end for Algorithm 4 Remontée for i de N à do u i y i N j=i+ L j,iu j L i,i end for On adaptera ces algorithmes aux matrices tridiagonales. 7 Post-traitement La solution du problème discret contient les coordonnées de la solution approchée dans la base des ψ i, les propriétés de la base dans le cas des éléments finis de Lagrange font que ces coordonnées sont les valeurs de u h (x i ). Le post-traitement est donc particulièrement simple : il suffit d écrire un fichier avec les couples (x i, u i ) dans un format utilisable par un programme de traçage de courbes. Le plus simple est un fichier texte qui contient un couple par ligne qui sera utilisée par des logiciels comme gnuplot. 8 Le problème de Neumann homogène On vient de montrer comment on fait la mise en œuvre du problème de Neumann non homogène, il nous faut maintenaient tester le programme, pour ceci on essaye de calculer la solution d un problème por lequel une solution explicite est connue. Prenons le problème suivant : u (x) + 2u(x) = 2 cos(3t) x [, 2π] (6) u () = u (L) =. Par dérivation on vérifie que la fonction : u(x) = 2 cos(3x) est solution. Il faut donc s assurer que les valeurs de u i sont des bonnes approximations de 2 cos(x i ). On pourra faire une étude d erreur, pour cella on trace la norme L 2 (, 2π) de l erreur en fonction du pas de discrétisation h en échelle logarithmique et on doit trouver une droite pente 2, ceci est conséquence du résultat théorique : u u h L2 (,2π) Ch 2. 6
7 9 Le problème de Neumann non homogène On cherche la solution de l équation différentielle : u (x) + cu(x) = f(x) x (, L) (7) u () = a, u (L) = b la fonction f : (, L) R et les constantes a, b, c et L sont données. En multipliant l équation par une fonction test et en intégrant on obtient : u (x)v(x) dx + c u(x)v(x) dx = u (x)v (x) dx u (L)v(L) + u ()v() + c u (x)v (x) dx + c u(x)v(x) dx = f(x)v(x) dx u(x)v(x) dx = f(x)v(x) dx + bv(l) av() La formulation variationnelle pour ce problème est alors : Trouver u H (, L) : (8) a(u, v) = Lv v H (, L) où : a(u, v) = Lv = u (x)v (x) dx + c u(x)v(x) dx f(x)v(x) dx + bv(l) av() f(x)v(x) dx Dans la formulation discrète ceci se traduit par l ajout au second membre de deux termes supplémentaires : aψ i () et bψ i (L). Il convient de noter que : et : ψ i () = i ψ () = ψ i (L) = i N ψ N (L) = ce qui veut dire que dans l assemblage du vecteur b on a : b = b N = f(x)ψ (x) dx a f(x)ψ N (x) dx + b tous les autres termes sont inchangés par rapport au cas Neumann homogène. Pour tester le programme dans ce cas on cherche la solution du problème : u (x) + cu(x) = x (, L) (9) u () = a, u (L) = b pour c >, L > et a et b quelconques. On peut vérifier par simples calcul que la fonction : u(x) = c e cx + c 2 e cx 7
8 est solution. Les constantes sont données par : c = a be cl ( e 2 cl ) c e ( cl b + ae ) cl c 2 = ( e 2 cl ) c On pourra faire des tests pour plusieurs valeurs des constantes c, a, b et L. On peut aussi tracer l erreur L 2 (, L). Le problème de Dirichlet homogène Pour traiter le problème de Dirichlet homogène on cherche des solutions du problème variationnel : Trouver u H (, L) : () a(u, v) = Lv v H (, L) a(.,.) et L sont définies comme dans le cas Neumann homogène. Si on considère l approximation par éléments finis P de ce problème on peut exprimer une fonction u h V h comme combinaison linéaire des mêmes fonctions de base que dans le cas Neumann moins ψ et ψ N, ce qui donne : () u h = N i= u i ψ i (x) et comme les fonctions test sont dans le même espace elles s écrivent comme combinaison linéaire des mêmes N fonctions de base. Le système linéaire a donc deux inconnues de moins que dans le cas précédent (u et u N ). Il faut noter que les intégrales à calculer sont toujours en (, L), ce qui veut dire qu on a toujours des intégrations dans les éléments (, x ) et (x N, L) même si u et u N ne sont pas des inconnues. Dans ce cas il y a un petit post-traitement à prévoir, il s agit d ajouter les valeurs aux bords avant de générer les fichiers de sortie, ceci pour que les traceurs affichent bien u h () et u h (L). Pour les tests on considère le problème : (2) de solution : u (x) + 8π2 3 u(x) = 2π2 cos(2πx) x (, ) u() =, u() = u(x) = 3 sin(2πx) Le problème de Dirichlet non homogène On va résoudre le problème aux limites suivant : u (x) + cu(x) = f(x) x (, L) (3) u() = a, u(l) = b 8
9 Soit w(x) un relèvement de la condition de frontière, c est-à-dire, une fonction de H (, L) telle que w() = a et w(l) = b. La formulation faible consiste alors à chercher une fonction u H (, L) tel que u(x) = u (x) + w(x). En multipliant par une fonction test et en intégrant on obtient : (u (x) + w(x)) v (x) dx + c f(x)v(x) dx u (x)v (x) dx + c (u (x) + w(x))v(x) dx = w (x) v (x) dx + c u (x)v(x) dx = ce qui donne la formulation variationnelle suivante : Trouver u H (, L) : (4) a(u, v) = Lv v H (, L) w(x)v(x) dx a(.,.) est définie comme dans le cas Dirichlet homogène, et Lv = f(x)v(x) dx w (x)v(x) dx c w(x)v(x) dx. f(x)v(x) dx On a, bien évidement, le choix de la fonction w. En pratique on doit choisir un relèvement le plus simple possible pour simplifier le calcul des intégrales dans le second membre. Dans la formulation discrète on peut prendre : w(x) = aψ (x) + bψ N (x) qui est, bien sûr, un relèvement et dont le support est [, x ] [x N, L]. Dans ce cas les degrés de liberté sont au nombre de N (x,... x N }) et la condition de frontière modifie deux coordonnées du vecteur second membre : et : b = b N = cb xn f(x)ψ (x) dx a x x xn f(x)ψ N (x) dx b x N ψ N (x)ψ N (x) dx ψ (x)ψ (x) dx ca x x x N ψ N(x)ψ N (x) dx On testera le programme en essayant de résoudre l équation : u (x) + cu(x) = x (, ) (5) u() =, u() = ψ (x)ψ (x) dx de solution : u(x) = e c e c ( e cx e cx ). 9
10 2 Le problème de Robin Dans cette section on traitera l équation : u (x) + cu(x) = f(x) x (, L) (6) u () + a u() = b u (L) + a 2 u(l) = b 2, en multipliant l équation par une fonction test et en intégrant en (, L), on obtient : u (x)v (x) dx u (L)v(L) + u ()v() + c u(x)v(x) dx = u (x)v (x) dx (b 2 a 2 u(l))v(l) + (b a u())v() + c la formulation variationnelle est alors : Trouver u H (, L) : (7) a(u, v) = Lv v Hper(, L) où : a(u, v) = Lv = u (x)v (x) dx + c f(x)v(x) dx + b 2 v(l) b v(). f(x)v(x) dx u(x)v(x) dx = f(x)v(x) dx u(x)v(x) dx + a 2 u(l)v(l) a u()v() Pour la formulation discrète on considère la même approximation de Galerkin que dans le cas du problème de Neumann. Les éléments de la matrice de masse et du second membre sont données par : A i,j = b i = ψ j(x)ψ i(x) dx + c f(x)ψ i (x) dx + b 2 ψ i (L) b ψ i (), d après les propriétés des fonctions de base : ψ j (x)ψ i (x) dx + a 2 ψ j (L)ψ i (L) a ψ j ()ψ i () ψ j () = j ψ j (L) = j N. Si on note Ā la matrice de masse du problème de Neumann homogène et b le second membre du même problème on aura : et dans tous les autres cas : A, = Ā, a A N,N = ĀN,N + a 2 b = b b b N = b N + b 2 A i,j = Āi,j b i = b i.
11 Pour tester ce problème on prendra : u (x) + u(x) = x (, ) (8) u () + u() = 2 u () + 2u() = de solution : u(x) = e x + (e 3e 2 )e x 3 Le problème périodique Dans cette section on cherche à résoudre le problème périodique : u (x) + cu(x) = f(x) x (, L) (9) u() = u(l) u () = u (L) on cherchera les solutions dans un espace de fonctions périodiques : H per(, L) = v H (, L) : v() = v(l)} la périodicité de la dérivée sera prise en compte dans la formulation variationnelle : Trouver u H (2) per(, L) : a(u, v) = Lv v Hper(, L) où : a(u, v) = Lv = u (x)v (x) dx + c f(x)v(x) dx. u(x)v(x) dx Dans ce problème la difficulté n est pas dans la formulation variationnelle (elle est la même que dans le problème de Neumann Homogène) mais dans le choix de la base de l espace de fonctions H per(, L). On considère l espace des fonctions localement affines V h H per(, L) associé à un maillage donné x,..., x N }. Les fonctions de base ψ i (x) qu on a définies pour le problème de Neumann homogène sont toutes périodiques sauf ψ (x) et ψ N (x). On prend alors pour base de V h les fonctions ψ i, pour i N et une fonction supplémentaire ψ N (x) (voir figure ) localement affine, qui vérifie : ψ N () =, ψ N (L) =, ψ i (x i ) = i =,..., N Le nombre de degrés de liberté est donc N à comparer avec N pour les problèmes de Dirichlet et N + pour les problèmes de Neumann. Une conséquence de la condition de périodicité est que la matrice de rigidité n est plus tridiagonale. En effet les termes A,N et A N, sont non nuls. Les termes de la matrice de raideur sont les mêmes que ceux de la matrice du problème de
12 x x x x N N Fig. La fonction de base ψ N (x). Neumann, à deux exceptions près (si on tient compte de la symétrie) : xn xn A N, = ψ (x)ψ N (x) dx + c ψ (x)ψ N (x) dx x N x N = + c x N x N x N x N 6 A N,N = = A,N = x x xn (ψ N(x)) 2 dx + c x x xn ψ N (x) 2 dx+ (ψ N(x)) 2 dx + c ψ N (x) 2 dx x N x N + c x x + + c x N x N x x 3 x N x N 3 Le matrice a la structure suivante : [ A = A A t N AN A N,N ] où A N = (A N,,,...,, A N,N ). Essayons de calculer la décomposition de Choleski A = LL t par blocs : [ ] [ ] [ ] A AN L L t = LN L N,N L N,N ainsi on aura : A t N A N,N L t N A = L L t A N = L LN A N,N = L N 2 + L 2 N,N on peut donc calculer L par le solveur de Choleski pour les systèmes tridiagonaux, puis une descente nous permet de calculer le vecteur L N et un petit calcul nous permet de calculer L N,N. 2
13 On testera le programme en résolvant le problème : u (x) + 2u(x) = 6 (cos(2x) + sin x) x (, 2π) (2) u() = u(2π) u () = u (2π) qui a pour solution : u(x) = cos(2x) + 2 sin x Références [] Haïm Brezis. Analyse fonctionnelle. MASSON, Paris, 987. [2] K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo, and C. Johnson. Computational Differential Equations. Cambridge University Press, New York, 99. [3] Pascal Joly. Mise en œuvre de la méthode des éléments finis. Ellipses, Paris, 99. [4] Jean-Claude Nédélec. Notions sur les techniques d éléments finis. Ellipses, Paris, 99. [5] P. A. Raviart and J. M. Thomas. Introduction à l analyse numérique des équations aux dérivées partielles. Masson, Paris,
Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailYves Debard. Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle. http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html
Méthode des éléments finis : élasticité à une dimension Yves Debard Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html 4 mars 6 9 mars 11
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailPremière partie. Introduction à la méthodes des différences finies
Première partie Introduction à la méthodes des différences finies 5 7 Introduction Nous allons présenter dans cettte partie les idées de base de la méthode des différences finies qui est sans doute la
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailMéthode des éléments-finis par l exemple
par l exemple Daniel Choï 1 LMNO Groupe Mécanique Modélisation Mathématique et Numérique Université de Caen, Bld Maréchal Juin, 14032 Caen Cedex, France Version Avril 2010 1. daniel.choi@unicaen.fr Ce
Plus en détailIntroduction à la méthode des éléments finis
ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS Introduction à la méthode des éléments finis Michel KERN 1 2004 2005 S3733 / S3735 1 Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Michel.Kern@inria.fr 2
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCalculs et Certificats de Quantités d Intérêts Non Linéaires d un Mousqueton Cédric Bellis
Ecole Normale Supérieure de Cachan Département de Génie Mécanique Rapport de Stage de M1 Mécanique et Ingéniérie des Systèmes Stage effectué du 10/04 au 27/08 Laboratori de Càlcul Numèric - Universitat
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailMATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailDUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées
DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Francois.Kauffmann@unicaen.fr Université de Caen Basse-Normandie 3 novembre 2014 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détail1 Introduction et modèle mathématique
Optimisation parallèle et mathématiques financières Optimisation parallèle et mathématiques financières Pierre Spiteri 1 IRIT ENSEEIHT, UMR CNRS 5505 2 rue Charles Camichel, B.P. 7122 F-31 071 Toulouse,
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailExamen d informatique première session 2004
Examen d informatique première session 2004 Le chiffre à côté du titre de la question indique le nombre de points sur 40. I) Lentille électrostatique à fente (14) Le problème étudié est à deux dimensions.
Plus en détailCours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin
Cours d initiation à la programmation en C++ Johann Cuenin 11 octobre 2014 2 Table des matières 1 Introduction 5 2 Bases de la programmation en C++ 7 3 Les types composés 9 3.1 Les tableaux.............................
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailModèles et Méthodes de Réservation
Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailIntroduction à MATLAB R
Introduction à MATLAB R Romain Tavenard 10 septembre 2009 MATLAB R est un environnement de calcul numérique propriétaire orienté vers le calcul matriciel. Il se compose d un langage de programmation, d
Plus en détailCorrection du bac blanc CFE Mercatique
Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailPremiers pas avec Mathematica
Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailFonctions linéaires et affines. 1 Fonctions linéaires. 1.1 Vocabulaire. 1.2 Représentation graphique. 3eme
Fonctions linéaires et affines 3eme 1 Fonctions linéaires 1.1 Vocabulaire Définition 1 Soit a un nombre quelconque «fixe». Une fonction linéaire associe à un nombre x quelconque le nombre a x. a s appelle
Plus en détailInitiation à l algorithmique
Informatique S1 Initiation à l algorithmique procédures et fonctions 2. Appel d une fonction Jacques TISSEAU Ecole Nationale d Ingénieurs de Brest Technopôle Brest-Iroise CS 73862-29238 Brest cedex 3 -
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailOptimisation, traitement d image et éclipse de Soleil
Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détail(51) Int Cl.: H04L 29/06 (2006.01) G06F 21/55 (2013.01)
(19) TEPZZ 8 8 4_A_T (11) EP 2 838 241 A1 (12) DEMANDE DE BREVET EUROPEEN (43) Date de publication: 18.02.1 Bulletin 1/08 (1) Int Cl.: H04L 29/06 (06.01) G06F 21/ (13.01) (21) Numéro de dépôt: 141781.4
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailImplémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications
1 Département Informatique et Mathématiques Appliquées Année Universitaire 29-21 Rapport de stage Implémentation de Nouveaux Elements Finis dans Life et Applications Présenté par Abdoulaye Samake M1 Mathématiques
Plus en détailAnalyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens
Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens Boutayeb A, Derouich M, Lamlili M et Boutayeb W. Table des matières Résolution numérique de systèmes linéaires AX = B 5. Méthodes directes de
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailCompte rendu des TP matlab
Compte rendu des TP matlab Krell Stella, Minjeaud Sebastian 18 décembre 006 1 TP1, Discrétisation de problèmes elliptiques linéaires 1d Soient > 0, a R, b 0, c, d R et f C([0, 1], R). On cerce à approcer
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailLes algorithmes de base du graphisme
Les algorithmes de base du graphisme Table des matières 1 Traçage 2 1.1 Segments de droites......................... 2 1.1.1 Algorithmes simples.................... 3 1.1.2 Algorithmes de Bresenham (1965).............
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailTP 7 : oscillateur de torsion
TP 7 : oscillateur de torsion Objectif : étude des oscillations libres et forcées d un pendule de torsion 1 Principe général 1.1 Définition Un pendule de torsion est constitué par un fil large (métallique)
Plus en détailCalculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Plus en détailLa programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique
La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailAide - mémoire gnuplot 4.0
Aide - mémoire gnuplot 4.0 Nicolas Kielbasiewicz 20 juin 2008 L objet de cet aide-mémoire est de présenter les commandes de base pour faire rapidement de très jolis graphiques et courbes à l aide du logiciel
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailCalcul Formel et Numérique, Partie I
Calcul Formel et Numérique N.Vandenberghe nvdb@irphe.univ-mrs.fr Table des matières 1 Introduction à Matlab 2 1.1 Quelques généralités.......................... 2 2 Où trouver des informations 2 3 Opérations
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCours Informatique Master STEP
Cours Informatique Master STEP Bases de la programmation: Compilateurs/logiciels Algorithmique et structure d'un programme Programmation en langage structuré (Fortran 90) Variables, expressions, instructions
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détail