Charles Cochet GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS

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1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS Charles Cochet

2 C. Cochet Université Paris 7 Denis Diderot, UFR de mathématiques, UMR7586, 2, place Jussieu, Paris cedex 05, France. [email protected] Url :

3 GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS Charles Cochet

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5 TABLE DES MATIÈRES 1. Fibrés Propriétés élémentaires des fibrés Des fonctions de transition au fibré Le fibré principal des cadres, ou «frame bundle» Sections d un fibré Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens Métrique sur un fibré Classification des fibrés vectoriels et des fibrés principaux Connexions linéaires Définition et premières propriétés Existence de connexions et transport parallèle Sections parallèles et équations différentielles Obstruction à l intégrabilité dans le cas d une section parallèle Courbure d une connexion Connexions induites Connexions métriques Connexions sur le fibré tangent et géodésiques Torsion d une connexion sur le fibré tangent Classes caractéristiques d un fibré vectoriel Classes caractéristiques d un fibré vectoriel Classes de Chern d un fibré vectoriel complexe Classe de Todd et caractéristique d Euler d un fibré vectoriel complexe Classes caractéristiques d un fibré vectoriel réel Classes de Pontrjagin P k (E) d un fibré vectoriel réel Classe d Euler d un fibré vectoriel réel Orientabilité et structure spinorielle Détection de l orientabilité Cohomologie de Čech Structure spinorielle Obstruction à l existence d une structure spinorielle Structure Spin C Condition d existence d une structure Spin C

6 vi Bibliographie Index des notations Index terminologique

7 CHAPITRE 1 FIBRÉS 1.1. Propriétés élémentaires des fibrés Premiers exemples et définition des fibrés. Avant de donner des définitions précises, commençons par des exemples. Exemple (Fibré tangent). Soit M une sous-variété différentiable de dimension m de R n. À chaque point x M, on peut associer un sous-espace vectoriel m-dimensionnel de R n. Noté T x M, c est l espace tangent à M en x. Supposons qu à proximité de x des coordonnées locales sur M soient données par une application G : R m R n (définie sur un voisinage U de 0 R m ). Alors T x M est le m-plan passant par x et parallèle à l image de R m sous la linéarisation de G en x, c est-à-dire sous l application linéaire définie par le jacobien [ Gi x j (x)]. En prenant la réunion sur tout les x M, on obtient le fibré tangent T M = T x M. x M On peut adapter cette construction au cas d une variété abstraite de dimension m (plutôt qu une sous-variété de R n ) si l on identifie les vecteurs de T x M avec les dérivées directionnelles en x. L espace tangent T x M est alors vu comme l espace vectoriel des dérivations sur les germes de fonctions [γ(t)] = M x en x M. Si ψ : U R m est une carte locale définie sur un ouvert U M et si p est un point de U, alors une base de T p M se décrit comme suit. Soient (x 1,..., x m ) les coordonnées sur R m et soit ψ(p) = x. Définissons des champs de vecteurs locaux e i (p) = ψ 1( x x i ) pour i = 1,..., m. Alors {e 1 (p),..., e m (p)} est une base de T p M. Comme précédemment, le fibré tangent T M est défini comme étant la réunion disjointe de tous les espaces tangents T p M (p M). Remarquons les propriétés suivantes du fibré tangent T M : 1. Il existe une projection π : T M M (définie en envoyant T p M sur p) dont les fibres sont des m-plans, c est-à-dire des copies de R m. 2. L application (p ; v 1,..., v m ) m i=1 v ie i (p) définit une identification de U R m avec T M U = p U T pm ; on dit que T M est localement trivial. Le fibré tangent d une variété lisse encode des informations sur la structure C de la variété ; c est une construction essentielle en géométrie différentielle.

8 2 Chapitre 1. Fibrés Exemple (Fibré co-tangent). Pour une variété lisse M, on construit le fibré cotangent comme étant la réunion disjointe T M = (T x M) = {(x, v) ; x M, v (T x M) }. x M Exemple (Fibré normal). Soient X Y deux variétés lisses. Pour tout x X, l espace tangent T x X est un sous-espace vectoriel de T x Y. Définissons l espace normal en x comme étant le quotient N x = T x Y/T x X. Si T x Y est muni d un produit scalaire, alors N x = (T x X), c est-à-dire que N x s identifie au complémentaire orthogonal de T x X dans T x Y. Définissons le fibré normal comme étant N = N x. x X Le fibré normal encode des informations sur l inclusion X Y. Exemple (Application de Hopf). Réalisons la 3-sphère S 3 comme étant S 3 = {(z 1, z 2 ) C 2 R 4 ; z z 2 2 = 1}. Il existe une identification lisse de la 2-sphère S 2 avec l espace complexe projectif par S 2 CP 1 = {[z 1, z 2 ] ; (z 1, z 2 ) C 2 \ {0}}, où [z 1, z 2 ] représente la classe d équivalence de (z 1, z 2 ) 0 pour la relation (z 1, z 2 ) (w 1, w 2 ) il existe λ C tel que (z 1, z 2 ) = λ(w 1, w 2 ). L identification est faite à l aide de la projection stéréographique par le pôle Nord N S 2 grâce à p N : S 2 \ {N} R 2 C. On peut également identifier CP 1 \ {[0, 1]} avec C via L identification de CP 1 et S 2 est alors CP 1 [z 1, z 2 ] [z 1, z 2 ] z 2 z 1. { p 1 N ( z2 z 1 ) si z 1 0, N si z 1 = 0. L application h : S 3 S 2 définie par h(z 1, z 2 ) = [z 1, z 2 ] est appelée application de Hopf. On démontre sans détour qu elle est bien définie, surjective et lisse. La fibre au-dessus de chaque point est h 1 ([z 1, z 2 ]) = {λ(z 1, z 2 ) ; λ C avec λ = 1} S 1. Là encore h : S 3 S 2 est localement triviale. Remarquons en effet que U i = {[z 0, z 1 ] ; z i 0} (i = 0, 1) est un ouvert de CP 1 S 2. Alors h 1 (U i ) U i S 1 via { ([1, z 1 z 0 ], z0 z ) au-dessus de U 0 0, h 1 (U i ) (z 0, z 1 ) ([z 0, z 1 ], z i z i ) = L inverse de cette application sur U 0 S 1 est ( λ ([1, z], λ), λz ), 1 + z z 2 ([ z0 z 1, 1], z1 z 1 ) au-dessus de U 1.

9 1.1 Propriétés élémentaires des fibrés 3 avec une définition similaire sur U 1 S 1. Remarquons que nous n avons pas une condition de trivialité globale puisque ceci signifierait que S 3 S 2 S 1, ce qui est faux (des invariants de topologie algébrique comme l homologie ou le groupe fondamental permettent de s en convaincre). Exemple (Fibré tautologique). Utilisons encore l application de Hopf h : S 3 S 2 définie par (z 1, z 2 ) [z 1, z 2 ]. Si (w 1, w 2 ) h 1 ([z 1, z 2 ]), alors (w 1, w 2 ) est sur la ligne complexe définie par la classe [z 1, z 2 ]. Si on oublie la restriction w w 2 2 = 1, alors on obtient un fibré vectoriel (c est-à-dire de fibre un espace vectoriel) complexe au-dessus de CP 1, noté ϑ CP 1( 1) π CP 1 où π 1 ([z 1, z 2 ]) est la ligne définie par le couple [z 1, z 2 ]. Ce fibré est appelé fibré tautologique. Remarquons que l on peut construire de même un fibré tautologique au-dessus de CP n. Exemple (Fibré homogène). Soit O(n) l ensemble des matrices réelles n n orthogonales. Remarquons que l on peut plonger O(n 1) dans O(n) par Q n 1 P n, où P n O(n) est la matrice avec 1 dans le coin supérieur gauche, zéro dans le reste des premières ligne et colonne, et Q n 1 dans le carré (n 1) (n 1) restant ; plus précisément ( ) 1 0 Q n 1. 0 Q n 1 De plus O(n) agit de façon transitive sur S n 1. Notons {e i } la base canonique de R n. Alors le stabilisateur de e 1 est O(n 1). L application O(n)/O(n 1) S n 1 définie par [A] A e 1 est un difféomorphisme entre l espace homogène O(n)/O(n 1) et S n 1. Soit π : O(n) O(n)/O(n 1) la surjection canonique. Pour tout x O(n)/O(n 1), nous avons π 1 (x) = {A O(n) ; A e 1 = x}. Puisque π 1 (e 1 ) = O(n 1), on obtient π 1 (x) = O(n 1). Ceci définit un fibré localement trivial, appelé fibré homogène. Remarque Ce dernier exemple se généralise pour donner des fibrés de la forme G π G/H de fibre H, où G est un groupe de Lie et H G est un sous-groupe fermé. Définition Un fibré («bundle») est un quadruplet ξ = (E, B, F, π), où E, B, F sont des espaces topologiques et π : E B est une application continue, vérifiant : 1. π 1 (b) F pour tout b B. 2. Pour tout b B, il existe un voisinage ouvert U B de b, appelé ouvert trivialisant, tel que π 1 (U) U F de façon à préserver π 1 (b). On dira que (E, B, F, π) est d espace total E, de base B, de fibre F et de projection π ; l application π 1 (U) U F est appelée identification ou trivialisation ; enfin E b = π 1 (b) est appelée fibre au-dessus de b.

10 4 Chapitre 1. Fibrés Bien que la définition d un fibré soit très générale, nous ne l appliquerons que dans certaines catégories spécifiques : 1. Lisse : E, B, F sont des variétés lisses et les applications sont lisses. 2. TopM : E, B, F sont des variétés et les applications sont continues. 3. Holomorphe : E, B, F sont des variétés lisses complexes et les applications sont holomorphes. Définition Si F est un espace vectoriel (par exemple R n ou C n ) et si les identifications π 1 (U) U F sont linéaires, alors (E, B, F, π) est un fibré vectoriel. De façon plus générale, si la fibre est munie d une structure algébrique (de groupe, d anneau, etc.) alors E est dit fibré en la structure. Les fibrés tangent, normal et tautologique sont tous trois des fibrés vectoriels. Définition Un quadruplet P = (E, B, F, π) est dit F -fibré principal ou fibré principal de groupe de structure F si : 1. E et B sont deux variétés lisses. 2. F est un groupe de Lie agissant de façon lisse à droite sur E. 3. L action est libre (c est-à-dire e g = e si et seulement si g est l identité). 4. L action préserve les fibres de E B. Le fibré de Hopf est un S 1 -fibré principal et le fibré homogène O(n) O(n)/O(n 1) est un O(n 1)-fibré principal Morphismes de fibrés. Définissons les applications entre fibrés conservant la structure de fibré. Définition Si π : E B et π : E B sont deux fibrés, un morphisme de fibrés est un couple d applications (u, f) tel que le diagramme suivant commute : π E u E B f B La définition dit que f b : E b E f(b) sous u. Si E = E et B = B, alors (u, f) est appelé un endomorphisme de fibré. Si les applications sont inversibles, alors (u, f) est un isomorphisme de fibrés. Remarquons que si l on considère des fibrés vectoriels, alors sur la fibre les applications doivent être linéaires. Si l on considère des G-fibrés principaux, alors nous demandons que l application sur les fibres soit un morphisme de groupes et que f soit G-équivariant (c est-à-dire f(p g) = f(p) g). Examinons le cas particulier d un endomorphisme de fibré avec f = Id B. Alors E π u π π B donc u ne fait que transformer les points dans chaque fibre. Dans le cas d un fibré vectoriel, l application u est un isomorphisme d espace vectoriel sur chaque fibre. E

11 1.2 Des fonctions de transition au fibré 5 Soit π : E B un fibré vectoriel lisse de fibre π 1 (b) R n. Pour tout b B, choisissons un voisinage U b de b au-dessus duquel E est trivialisé par ψ b : E Ub U b R n. La collection {U b } b B recouvre B. Examinons le lien entre ψ α et ψ β sur U α U β. Nous avons le diagramme suivant : E Uα U β ψ β ψ α (U α U β ) R n g βα (U α U β ) R n où g βα = ψ β ψα 1. Remarquons que g βα est linéaire puisqu elle est composée d applications linéaires. Puisque ψ α et ψ β sont inversibles, l application g βα l est également. On peut ainsi considérer g βα : U α U β GL(n, R) ; nous obtenons un tel morphisme pour tous U α, U β tels que U α U β. Nous noterons par conséquent E = ( U α R n )/{g αβ } Des fonctions de transition au fibré Étant donné un fibré vectoriel π : E B lisse de fibre R n, recouvrons B avec des ouverts trivialisants U α de trivialisations ψ α : E Uα U α R n ; nous obtenons ensuite des fonctions de transition g αβ : U α U β GL(n, R) en posant g αβ (x) = ψ α (ψ 1 β (x)). On peut se demander à quelle condition le recouvrement et les fonctions de transition sont équivalents à toute l information contenue dans le fibré. Plus précisément, on cherche à déterminer la condition à laquelle {U α } et {g βα } décrivent un fibré. avec Si le recouvrement et les fonctions de transition déterminent un fibré, nous devons avoir : 1. g αα = Id GL(n, R). 2. g αβ = g 1 βα. 3. (condition de cocycle) g αγ g γβ g βα = Id. Si l on a un morphisme de fibrés E h E π E = ( U α R n )/{g αβ } et E = ( U α R m )/{g αβ}, alors nous avons le diagramme commutatif suivant, obtenu à partir des trivialisations pour E et E : B π E Uα h E Uα ψ α U α R n ψ α h ψ 1 α ψ α =hα U α R m En fait, on peut regarder h comme h α : U α Hom(R n, R m ). En clair h peut être vue comme un élément de Mat m,n (R). Par conséquent, à h donnée on obtient un ensemble {h α : U α

12 6 Chapitre 1. Fibrés Hom(R n, R m )}. Examinons le lien entre h α et h β. À l aide des fonctions de transition pour E et E respectivement, nous exigeons que le diagramme suivant commute : R n h α R m g βα R n h β R m Considérons le cas particulier E = E. Alors h est un endomorphisme de fibré et les applications g βα h α : U α End(R n, R n ) Mat n,n (R) sont telles que h β g βα = g βα h α. Si h est un automorphisme de fibré, alors h β = g βα h α g 1 βα = g βαh α g αβ. Proposition Étant donné un recouvrement {U α } de B et {g αβ } : U α U β GL(n, R) vérifiant les trois conditions ci-dessus sur toute intersection non vide, il existe un fibré vectoriel (unique à isomorphisme de fibrés près) pour qui les {g αβ } sont les fonctions de transition. Démonstration. La démonstration est constructive. Pour tout U α, définissons Z = α A U α R n et munissons-le de la topologie produit. Définissons une relation d équivalence sur Z comme suit : (x, v) α (x, v ) β x = x et v = g βα (x)(v). Soit E = Z/ muni de la topologie quotient. Nous avons plusieurs points à démontrer. En premier lieu, nous devons vérifier que puisque les g βα sont lisses, alors E est une variété lisse. Ensuite, il faut démontrer que [(x, v) α ] x est bien définie de E dans B et est un fibré de rang n. Enfin, nous devons prouver que l ensemble de fonctions de transition pour E est précisément {g αβ }. Tout d abord E est une variété lisse si l on peut la recouvrir avec des cartes qui sont reliées de façon lisse (c est-à-dire dont les fonctions de transition sont lisses). Supposons que le recouvrement {U α } de B consiste en des coordonnées avec trivialisations φ α : U α R n (sinon, on raffine notre recouvrement de sorte à avoir cette propriété). Supposons que B est de rang m. Il nous faut définir une collection {V α } de cartes sur E et des applications φα : V α R m R n. Posons V α = [U α R n ] (image dans le quotient). Chaque V α est ouvert d après la définition de la topologie quotient. Définissons φ α en posant [(x, v) α ] (φ α (x), v). Nous avons le diagramme commutatif suivant : V α V β φ β φα (U α U β ) R n (U α U β ) R n φ β φ 1 α Sur son ensemble de définition, l application φ β φ 1 α vérifie (x, v) φ β ([(x, v) α ]) = φ β ([(x, g βα (x)(v)) β ]) = (x, g βα (x)(v)) β. Ainsi, les applications de transition sont lisses puisque les g βα le sont.

13 1.3 Le fibré principal des cadres 7 Examinons maintenant la projection π : E B définie ci-dessus par [(x, v) α ] x. Nous avons localement U α π V α φα U α R n π 1 où π 1 est la surjection canonique. On a π = π 1 φ α, donc π est lisse (bien définie, continue, etc.). Par définition φ 1 α (π 1 1 (x)) = {[(x, v) α] ; v R n } π 1 (x). Si [(x, v ) β ] est dans la fibre au-dessus de x, alors [(x, v ) β ] = [(x, g αβ (x)(v )) α ]. Ainsi, la fibre au-dessus de x est R n. On démontre ensuite que la condition de trivialité locale et les propriétés de transition sont vérifiées. Par conséquent, la notation E = ( U α R n )/{g αβ } caractérise le fibré E B ; nous l utiliserons souvent par la suite. Examinons pour finir le cas des fibrés principaux. La condition de trivialité locale affirme que la trivialisation ψ α : P Uα U α G doit préserver les fibres et être G-équivariante ; la G-action sur U α G est triviale sur la composante selon U α et est la multiplication usuelle sur la composante selon G. Ainsi sur U α U β l application ψ β ψα 1 a pour expression (x, g) = (x, 1)g (ψ β ψ 1 (x, 1))g. α Définissons g βα en posant g βα (x) = ψ β ψα 1(x, 1). Ainsi nous devons avoir (x, g) (x, g βα(x) g). Comme précédemment, on pose P = ( U α G)/, où la relation est définie de la même façon que ci-dessus à l aide de {g βα }. Nous utiliserons également cette notation, qui caractérise le G-fibré principal P Le fibré principal des cadres, ou «frame bundle» Étant donné un fibré vectoriel π : E B défini par {g αβ : U α U β GL(n, R)}, on peut construire un GL(n, R)-fibré principal en posant P = ( U α GL(n, R))/{g αβ }. On dit que P est le GL(n, R)-fibré principal associé à E ; on le note parfois P = P E. On peut légitimement se demander si la réciproque est vraie. Plus précisément, étant donné un G-fibré principal π : P B, peut-on construire un fibré vectoriel associé? Pour ce faire, nous avons besoin d une représentation ρ : G GL(V ) du groupe G dans un espace vectoriel V. Exemple Si G = GL(n, R), alors la représentation standard sur R n convient. Si G = O(n), on plonge O(n) dans GL(n, R) et on utilise la représentation composée. Si G = U(n), on obtient via le plongement de U(n) dans GL(n, C) une représentation sur C n ; on peut récupérer une représentation réelle en réalisant GL(n, C) comme sous-groupe de GL(2n, R).

14 8 Chapitre 1. Fibrés Définissons E = ( U α V )/{ρ(g αβ )}, où ρ(g αβ ) : U α U β GL(n, R). La condition de cocycle est vérifiée, puisque ρ(g αβ )ρ(g βγ )ρ(g γα ) = ρ(g αβ g βγ g γα ) = ρ(id) = Id. Jusqu à présent, nous nous sommes concentrés sur la description locale des fibrés associés. Il est utile d en avoir également une description globale. Pour ce faire, nous avons besoin de la Définition Étant donnés un G-fibré principal π : P B et une représentation ρ : G GL(V ), on définit le produit de P et V au-dessus de G en posant E = P G V, où E est le quotient de P V par la relation (p, v) (p g, ρ(g 1 )v) pour tout g G. Lemme L application [(p, v)] π(p) induit un fibré vectoriel E B de fibre V, appelé fibré vectoriel associé. De plus, si alors P = ( U α G)/{g αβ }, E = ( U α V )/{ρ(g αβ )}. En clair, les deux constructions (locale comme globale) sont les mêmes. Idée de la démonstration. On utilise l identification (U α G) G V U α V grâce à l application [((b, u) α, v)] (b, ρ(u)v) d inverse (b, v) [((b, e), v)], où e G est l élément neutre. Donnons maintenant une interprétation géométrique du GL(n, R)-fibré principal associé à un fibré vectoriel π : E B de rang n. Définition Étant donné un espace vectoriel réel V de dimension n, un cadre de V («frame») est une identification f : R n V de R n avec V. C est équivalent à choisir une base de V, puisque si {e i } est la base canonique de R n alors {f(e i )} est la base de V que nous avons choisie. Définissons F (V ) comme étant l ensemble de tous les cadres de V. Remarquons que GL(n, R) agit sur F (V ) par R n R n A f A(f)=f A Pour un fibré vectoriel π : E B et pour tout b B, nous avons E b GL(n, R). Ainsi, on obtient une copie de GL(n, R) attachée à chaque b via P b = F (E b ). Lemme Posons P b = P. b B Alors P est un GL(n, R)-fibré principal, appelé fibré principal en cadres (même construction qu auparavant). V

15 1.4 Le fibré principal des cadres 9 Idée de la démonstration. Supposons que E = ( U α R n )/{g αβ }, avec pour applications de trivialisation {ψ α : E Uα U α R n }. On utilise ψα 1 (b) : R n E b pour définir un cadre f. Nous obtenons alors P b = {f α A ; A GL(n, R)}, et par conséquent P Uα U α GL(n, R) via (b, A) f α (b)a. Remarquons que P b et P sont munis d une action à droite de GL(n, R) Sections d un fibré Rappelons qu un fibré est un quadruplet (E, B, F, π), où E, B, F sont des espaces topologiques et π : E B est une application continue, vérifiant π 1 (b) F pour tout b B et tels que pour tout b B il existe un voisinage ouvert U B de b avec π 1 (U) U F de sorte à préserver la fibre. Définition Pour un fibré π : E B, on dit qu une application s : B E est une section si π s = Id B (ceci signifie que s(b) est dans la fibre de s au-dessus de B). Nous noterons Γ(B, E) ou Ω 0 (B, E) l ensemble des sections du fibré E. Dans le cas du fibré co-tangent T B, on pose Ω p (B) = Ω 0 ( p T B, B). Un cas particulier d une section est donné par le fibré trivial π=projection E = B F Si s est une section, alors s(b) = (b, σ(b)) avec σ : B F. Réciproquement, si l on a σ : B F alors l application s : B B F définie par s(b) = (b, σ(b)) est une section. Ainsi il existe une correspondance bijective entre les sections d un fibré trivial et Hom(B, F ). Quand E n est pas le fibré trivial, on peut penser aux sections comme une sorte d application tordue de B dans F. Écrivons E U pour π 1 (U). Si ψ : E U U F est une identification, alors on obtient le diagramme suivant B ψ E U U F s ψ s=su U À l aide de la trivialisation locale, la description locale de la section est une application U F. Rappelons qu étant donné un fibré vectoriel de rang n, on a construit un GL(n, R)-fibré principal. De plus, pour un G-fibré principal P et une représentation ρ : G GL(V ), nous avons construit un fibré vectoriel E = P G V = P ρ V. Enfin, si V est de rang n alors E = ( U α R n )/{g αβ }, où les ρ g αβ : U α U β ρ(g) GL(n, R) sont les fonctions de transition. D une manière générale, on dit que le groupe de structure d un fibré principal peut être réduit si son groupe de structure G est un sous-groupe propre de GL(n, R). Ainsi un fibré vectoriel peut être réduit de

16 10 Chapitre 1. Fibrés GL(n, R) à un sous-groupe G si et seulement si on peut trouver un système de trivialisations locales tel que toutes les fonctions de transition prennent leurs valeurs dans G. Supposons qu un fibré vectoriel π : E B est décrit par E = ( U α R n )/{g αβ } et que σ : B E en est une section. Soient ψ α : E Uα U α R n les applications de trivialisation. On a déjà vu que le diagramme suivant est commutatif : U α σ E Uα σ α=ψ α σ ψ α U α R n En utilisant la propriété de préservation des fibres des applications en jeu, nous vérifions que σ α (b) = (b, s α (b)) où s α : U α R n. Maintenant σ détermine une collection de sections locales {s α : U α R n }, une pour chaque ouvert de trivialisation. Vient alors naturellement une question : une collection de sections locales {s α : U α R n } (une pour chaque ouvert de trivialisation) détermine-t-elle une section globale σ : B E avec σ Uα = σ α? Sur U α U β = U αβ, nous avons le diagramme commutatif : U αβ R n Id U αβ R n ψ β σ β E Uαβ σ U αβ ψ α U αβ R n σ α Id U αβ R n En écrivant g βα = ψ β ψα 1, nous voyons que s β = g βα s α. Par conséquent, étant donnée une collection de sections locales {σ α (b) = (b, s α (b))} telles que s β (b) = g βα s α (b), alors on définit une section globale en posant σ(b) = ψα 1 σ α(b). Nous avons ainsi démontré la Proposition La donnée d une section globale σ : B E d un fibré vectoriel équivaut à la donnée d une famille de sections locales {σ α = (Id Uα, s α ) : U α U α R n } vérifiant s β Uα U β = g βα s α Uα U β. Exemple La collection des sections locales nulles définies par s α (b) = 0 pour tout b U α se recolle pour définir la section nulle globale. Remarquons que l analyse des sections des fibrés vectoriels s applique de même aux sections des G-fibré principaux. En d autres termes, étant donné un G-fibré principal décrit par P = ( U α G)/{g αβ }, la description d une section est la même que ci-dessus, mais avec R n remplacé par G. Dans la relation s β = g βα s α, la multiplication sur le membre de droite est la multiplication du groupe. Réciproquement, en utilisant une section σ, les fonctions de transition peut être écrites sous la forme g βα = s β s 1 α.

17 1.5 Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens Construction élémentaires. Rappelons que si E et E sont deux fibrés vectoriels et si h : E E est un morphisme de fibrés, alors on construit une collection d applications locales {h α : U α Hom(R n, R m )} telles que g βα h α = h β g βα. Si h est un automorphisme, alors h β = g βα h α g αβ. Il est important de savoir quand un fibré vectoriel E au-dessus de B est isomorphe au fibré trivial E B R n. Supposons que E est donné par E = ( U α R n )/{g αβ }. Remarquons que le fibré trivial R n est donné par R n = B R n = ( U α R n )/{g αβ}, où g αβ est l identité. Une application h : E Rn est ainsi décrite par une collection d applications {h α : U α GL(n, R)} définies localement et vérifiant g βα = h β h 1 α. En clair, si on peut trouver une collection de telles h α, alors on peut trivialiser le fibré. Ceci signifie précisément que le GL(n, R)-fibré principal associé est trivial si et seulement si il admet une section. On démontre Lemme Un fibré principal est trivial si et seulement s il admet une section. Démonstration. Soit p : P B un G-fibré principal. Supposons tout d abord qu il soit trivial, c est-à-dire de la forme pr 1 : P = B G B. Alors l application s : B P définie par s(b) = (b, 1) est une section du fibré. Réciproquement, soit s une section du fibré p : P G. Définissons ϕ : B G P en posant ϕ(b, g) = s(b)g. Cette application est alors un difféomorphisme G-équivariant tel que p ϕ = pr 1, donc qui trivialise p : P B. Remarque La section nulle s : B E plonge B de façon difféomorphe dans E. De plus, cette copie de B dans E est un rétracte par déformation de E. Par conséquent B et E ont le même type d homotopie. Ainsi, l homotopie et l homologie ne sont pas d un grand secours pour classifier les fibrés. Les constructions sur les espace vectoriels sont adaptées presque directement au cas des fibrés vectoriels. Par exemple, étant donnés deux espace vectoriels V 1 et V 2, on peut former V 1 V 2, V 1 V 2, V 1, V 1 V 1, etc. Ils ont tous des analogues pour les fibrés. Si E 1 et E 2 sont deux fibrés vectoriels de rang r 1 et r 2 respectivement, alors on construit un fibré vectoriel E 1 E 2 de rang r 1 + r 2 comme suit. Supposons que E 1 et E 2 sont réalisés comme E 1 = ( U α R n1 )/{g 1 αβ} On définit la somme des deux fibrés comme étant et E 2 = ( U α R n2 )/{g 2 αβ}. E 1 E 2 = ( U α R n1+n2 )/{g αβ }, où g αβ est la matrice n 1 n 2 diagonale par blocs avec g 1 αβ dans le bloc supérieur gauche et g2 αβ dans le bloc inférieur droit. Afin de démontrer que ceci définit un fibré, nous avons besoin de vérifier la condition de cocycle. Mais ceci se voit en utilisant le fait que les deux blocs de la matrice la vérifient. On construit de même E 1 E 2.

18 12 Chapitre 1. Fibrés La construction du fibré dual E est à peine plus difficile. Nous voulons que les fibres du nouveau fibré soient E b Hom(E b, R). Si E est donné par E = ( U α R n )/{g αβ }, alors posons gαβ = (gt αβ ) 1. Les gαβ vérifient la condition de cocycle et ainsi définissent un fibré. Mais est-ce le fibré recherché? Plus précisément, avons-nous Eb Hom(E b, R n )? Supposons que ψ α : E b R n est une identification de la fibre et soit λ Hom(E b, R). Alors on obtient une application λ α : R n R d après le diagramme suivant : λ E b R λ α ψ α R n On a une correspondance λ λ α et par conséquent on obtient Eb Rn Hom(R n, R). Par ailleurs E Uα U α R n. Au-dessus de U α U β, nous avons λ β = λ ψ 1 β et λ α = λ ψα 1. Ainsi λ = λ β ψ β = λ α ψ α = λ α (ψ α ψ 1 β ) ψ β = λ α g βα ψ β. La condition de compatibilité sur les {λ α } est qu en tant qu applications R n R elles vérifient λ β = λ α g αβ. Mais ceci est en fait équivalent à E = ( U α R n )/{(g t αβ ) 1 } Le fibré Hom(E, F ). Soient deux fibrés vectoriels E = ( U α R n )/{g αβ } et F = ( U α R n )/{h αβ }. Proposition Il existe un fibré vectoriel Hom(E, F ) de rang nm tel que Hom(E, F ) b = Hom(E b, F b ). Idée de la démonstration. On peut construire Hom(E, F ) de deux façons différentes (aboutissant au même fibré). 1. Pour deux espaces vectoriels V et W, nous avons Hom(V, W ) W V. On peut définir un fibré Hom(E, F ) := F E de rang nm, de fibre (F E ) b = F b E b et dont les fonctions de transition sont h αβ (g t αβ ) Plus directement : on peut construire Hom(E, F ) en regardant ses section. Tout d abord s Γ(Hom(E, F )) si et seulement si s : E F est un morphisme de fibrés. À l aide des trivialisations locales, les morphismes de fibrés donnent la description locale s α : U α Hom(R n, R m ) du morphisme de fibrés s : E F, avec s β = h βα s α g 1 βα. Définissons deux fibrés principaux et posons P F = U α GL(m)/{h αβ } et P E = U α GL(n)/{g αβ }, P = P F P E = U α (GL(m) GL(n))/{h αβ g αβ }. Soit ρ la représentation de GL(m) GL(n) dans Hom(R n, R m ) définie par ρ : GL(m) GL(n) Ad GL(Hom(R n, R m )),

19 1.5 Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens 13 c est-à-dire telle que ρ(a, B)(U) = A U B 1. Alors le fibré recherché est Hom(E, F ) P Ad Hom(R n, R m ). On vérifie que ses sections locales sont bien les s β. Remarque On peut démontrer que End(E) = Hom(E, E) = P E Ad Mat n, où Ad : GL(n) GL(Mat n ), A (U A U A 1 ). Si on définit Aut(E) comme étant le fibré des isomorphismes de E tels que Aut(E) p = Aut(E p ), alors Aut(E) = P E Ad GL(n) est un fibré en groupes, mais pas un fibré principal (les fonctions de transition ne sont pas équivariantes). On peut munir l espace G des sections de Aut(E) d une structure de groupe à l aide des identifications Aut(E p ) GL(n). Le groupe G est dit groupe de jauge de E Les fibrés noyau, image et co-noyau. Étant donné un morphisme de fibrés définissons E f B F (Ker(f)) b = Ker(f b : E b F b ), (Im(f)) b = Im(f b : E b F b ), (Coker(f)) b = F b /(Im(f) b ) ainsi que Ker(f) = b B (Ker(f)) b, Im(f) = b B (Im(f)) b et Coker(f) = b B (Coker(f)) b. Ces trois espaces sont-ils des fibrés sur B? La réponse est non dans le cas général. Par exemple, prenons les fibrés triviaux R n R m f R n R n R m et définissons f(x) = x I n (c est clairement un morphisme de fibrés). Alors { 0 si x 0, (Ker(f)) x = R n si x = 0, et la dimension de la fibre varie. Théorème Si le rang de f b est constant, alors Ker(f), Im(f) et Coker(f) sont des fibrés de base B. On les appelle respectivement fibrés noyau, image et co-noyau. La démonstration utilise le théorème du rang constant pour les morphismes de fibrés. On se ramène à démontrer que les trivialisations pour E et F peut être choisies de sorte à ce que sur chaque Ψ U α on ait des isomorphismes E α b R n = R k R n k avec R k Φ = Ker(f α ) et F α b R m = R i R m i

20 14 Chapitre 1. Fibrés avec R i = Im(f α ). Alors sur U α U β nous avons le diagramme commutatif (pour des décompositions de R n données) : avec R k R n k f α R i R m i g βα ( ) kβα Λ g βα = βα 0 C βα h βα R k R n k f β R i R m i ( iβα Π et h βα = βα 0 D βα En fait, les {k βα } sont les fonctions de transition pour Ker(f). À l aide des cadres orthonormaux (en supposant que E et F ont une représentation matricielle), on peut suppposer que g βα O(n) et k βα O(n). On en déduit que Λ βα = 0 et Π βα = Le fibré tiré en arrière. Étant donnés un fibré vectoriel π : E B et une application lisse f : X B, on peut définir un fibré f (E) X en exigeant la commutativité du diagramme ). f (E) ˆf E p X où ˆf est un isomorphisme sur les fibres (et ainsi f (E) x E f(x) ). Pour ce faire, définissons l espace total f (E) = {(x, e) X E ; f(x) = π(e)} X E. Alors p : f (E) X est définie par (x, e) x, donc p 1 (x) = {(x, e) ; π(e) = f(x)} = E f(x). Vérifions la trivialité locale. Soient E Ψ Uα U R n la trivialisation locale et V = f 1 (U) X. Lemme Nous avons f (E) V V E U et f (E) V V R n (à l aide de Ψ). Ainbsi f (E) est un fibré sur B, appelé fibré tiré en arrière de E (ou «pull-back»). Soit {V α } un recouvrement ouvert de X tel que d une part {U α = f(v α )} est un recouvrement de B, et d autre part les fibrés sont localement triviaux ; alors les fonctions de transition de E et f (E) sont reliées par f B g f αβ (x) := (f g αβ )(x) = g αβ (f(x)). π Exemple Considérons E π E π B Alors π (E) est un fibré au-dessus de B et π (E) E E. 2. Si E = B R n est le fibré trivial et f : X B, alors f (E) = X R n.

21 1.6 Métrique sur un fibré 15 Proposition Soit (u, f) un morphisme de fibrés E u E Alors il existe une application v : E f (E) telle que f (E) v ˆf E u E 2. Si de plus u est un isomorphisme sur les fibres, alors f (E) E. Il s ensuit que f (E) est défini de façon unique. Théorème (fondamental n 1). Supposons que l on ait E B B p f f B π B X f0 f 1 B π avec f 0 f 1 (homotopes). Alors f 0 (E) f 1 (E). En d autres termes, des applications homotopes produisent des fibrés tirés en arrière isomorphes. Corollaire Si B est contractile, alors tout fibré vectoriel E B est trivial Métrique sur un fibré Soit V un espace vectoriel de base {v 1,..., v n }. La base duale {v 1,..., v n } de V = Hom(V, R) est définie par v i (v j) = δ ij. Il s ensuit que tout λ V s écrit de façon unique sous la forme i λ iv i. Rappelons qu étant donné E = ( U α R n )/{g αβ }, on peut utiliser {(g t αβ ) 1 } pour définir un fibré E = ( U α R n )/{(g t αβ ) 1 } de fibree b = Hom(E b, R). Dans le cas des fibrés complexes, nous avons E = ( U α C n )/{g αβ } et g αβ : U α U β GL(n, C). À l aide de la même démonstration, on vérifie que {g t αβ 1 } définit E, que Hom(C n, C) C n et que E b = Hom(E b, C). Remarque Il est à noter que :

22 16 Chapitre 1. Fibrés 1. On peut utiliser un produit scalaire hermitien pour identifier Hom(C n, C) C n, mais cette application n est pas C-linéaire, donc ce n est pas l identification que nous recherchons. 2. Cas réel : supposons que l on puisse trouver une trivialisation locale E Uα Uα R n telle que g αβ : U α U β O(n) GL(n, R), de sorte que le groupe de structure de E peut être réduit à O(n). Alors g t αβ g αβ = Id, donc (g t αβ ) 1 = g αβ et ainsi E E. 3. Cas complexe : même si g αβ : U α U β U(n) GL(n, C), on a g αβ t g αβ = Id et par conséquent g t αβ 1 = gαβ g αβ. Ainsi E E en tant que fibrés complexes. En fait E E. Pour un fibré E réalisé comme E = ( U α R n )/{g αβ }, supposons que les fonctions de transition vérifient g αβ : U α U β O(n). Lemme On peut définir un produit scalaire sur chaque fibre E b. Démonstration. Définissons, b sur E b pour tout b B comme suit. Soit (, ) le produit scalaire canonique sur R n, c est-à-dire (e i, e j ) = δ ij pour la la base canonique {e i } de R n. Alors on peut identifier Ψ α : E b R n pour tout α tel que b U α, puis définir e α i (b) = Ψ 1 α (b, e i). On vérifie ensuite que {e α i (b)} est une base de E b. Définissons maintenant, b en déclarant que {e α i (b)} est un cadre orthonormal, c est-à-dire avec la condition e α i (b), eα j (b) b = δ ij. Par conséquent si v = Σv i e α i (b) et u = Σu ie α i (b), alors Tout est bien défini si g αβ O(n). u, v b = (Ψ α (b, v 1 ), Ψ α (b, v 2 )) = n u i v i. Définition Un fibré dont chaque fibre est muni d un produit scalaire, b variant de façon lisse en b est dit fibré métrique lisse. On vérifie que si σ 1 et σ 2 sont des sections C, alors b σ 1 (b), σ 2 (b) b st lisse. Proposition Soit Ψ : E U U R n une trivialisation locale. Fixons b B. Alors {f i (b) = Ψ 1 (b, e i )} n i=1 est une base de E b, appelée un cadre local. Définissons également H ij (b) = f j (b), f i (b) b. Alors b H ij (b) définit une application lisse de U dans GL(n). Remarque Si E admet un fibré métrique lisse (c est-à-dire, b sur chaque E b et variant de façon lisse en b), alors on peut choisir une identification E U U R n telle que g αβ : U α U β O(n). i=1

23 1.6 Métrique sur un fibré 17 Exemple (Exemples d existence de métriques). B R n 1. Sur le fibré trivial choisissons, b = (, ) (ou n importe quel utre produit scalaire sur R n ). B 2. Sur E = ( U α R n )/{g αβ }, prenons une partition de l unité subordonnée à {U α } (on suppose {U α } localement fini dans cet exemple). Plus précisément, soit {ρ α : U α R lisse} telle que Supp(ρ α ) U α et Σ α ρ α (b) = 1 pour tout b. Pour tout b U α, on peut définir, b,α sur E Uα à l aide de Ψ α : E Uα Uα R n, puis poser, b = Σ α ρ α (b), b,α. Remarque La construction pour des métriques hermitiennes sur les fibrés vectoriels complexes est identique. En remplaçant «orthonormal» par «unitaire» et O(n) par U(n), tous les résultats restent encore valables.

24 18 Chapitre 1. Fibrés 1.7. Classification des fibrés vectoriels et des fibrés principaux Le but de la section est de construire un fibré vectoriel et un fibré principal «universels» dans un sens à préciser Un outil fondamental : la grassmannienne. La quête du fibré universel nous conduit au royaume des grassmanniennes. Définition La grassmannienne réelle G(k, m) = G R (k, m) = G k (m) est l ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de R m. On définit de même la grassmannienne complexe G C (k, m) comme étant l ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de C m. Exemple En fait G(1, m) est l ensemble des droites de R m, c est-à-dire le (m 1)-ième espace projectif RP m 1. De même G C (1, m) = CP m 1. Nous avons besoin des propriétés suivantes des grassmanniennes. Nous les citons pour G(k, m) = G R (k, m), mais leur analogue pour G C (k, m) est vrai. Proposition k(m k). 1. La grassmannienne G(k, m) est une variété lisse de dimension 2. Soit V k (m) = {(V, v) ; v V } G(k, m) R m. La projection π : G(k, m) sur la première composante munit γk m = (V k(m), p, G k (m), R k ) d une structure de fibré vectoriel de fibre de dimension k. La démonstration de cette proposition nous tiendra en haleine jusqu à la fin de cette sous-section. Rappelons que le fibré trivial est noté R m. Le fibré universel Q au-dessus de G(k, m) est défini par la suite exacte de morphismes de fibrés 0 γ m k R m Q 0. Plus précisément Q V R m /V est un (m k)-plan. Commençons par la démonstration de la première propriété. Une façon pratique d exprimer un cadre est avec la (m k)-matrice [v 1,..., v k ], où chaque v i R m est vu comme une colonne de la matrice. La condition d indépendance linéaire est équivalente au fait que cette matrice [v 1,..., v k ] est de rang k. On peut interpréter cette matrice comme une application linéaire injective R k R m. Bien sûr, chaque k-plan admet de nombreux cadres ; ainsi la description n est pas unique. En fait, pour toute matrice A GL(k) on a un nouveau cadre décrit par la matrice [v 1,..., v k ] A, c est-à-dire par l application R k A R m. Ceci conduit à la description de G k (m) comme un quotient de l espace F (k, m) des k-cadres (par GL(k)). L espace des k-cadres est appelé variété de Stiefel. On peut en fait identifier R k [v 1,...,v k ] F (k, m) = {(m k)-matrice de rang k} = {f : R k R m ; f linéaire et injective}. Ainsi G k (m) = F (k, m)/ GL(k), où GL(k) agit librement à droite sur F (k, m) comme décrit cidessus. On vérifie que F (k, m) est une variété lisse de dimension km. Supposons que [v 1,..., v k ] G k (m) est tel que le premier mineur k k soit de déterminant non nul. Alors il existe une matrice A GL(k) telle que [v 1,..., v k ] A = ( Id B ).

25 1.7 Classification des fibrés vectoriels 19 En d autres termes, les k premières lignes ont été réduites à l identité et B est un bloc (m k) k. Définissons une application ( ) Id Mat(m k, k) U {1,...,k} GL(k, m), B. B Si I = {i 1,..., i k } {1,..., m}, alors U I définit un système de coordonnées pour G k (m). En fait G k (m) est recouvert par l ensemble de ces U I et les changements de paramétrisation sont lisses. De même, sur C m, les changements de paramétrisation pour G C (k, m) sont holomorphes. Ainsi G C (k, m) est une variété complexe de dimension k(m k). Démontrons maintenant la seconde propriété. Examinons la projection π : F (k, m) G k (m), de fibre GL(k). Vérifions qu en fait (F (k, m), π, G k (m), GL(k)) est un GL(k)-fibré principal. Il nous faut établir la trivialité locale au-dessus de U I. Décrivons [v 1,..., v k ] = ( Id B ) A au-dessus de U {1,...,k}. Pour ce faire, définissons une application [v 1,..., v k ] ([v 1,..., v k ], A). C est une trivialisation, donc π : F (k, m) G k (m) est un GL(k)-fibré principal. Relions ce fibré à γ m k. Lemme Nous avons γ m k = F (k, m) GL(k) R k. Par conséquent γ m k est le fibré vectoriel associé au fibré principal F (k, m) G k(m) Classification des fibrés vectoriels de base et de rang fixés. Un des problèmes centraux des fibrés vectoriels est le suivant : étant donnés un espace topologique B et un entier k, déterminer (à isomorphisme près) tous les fibrés vectoriels de rang k sur B. L ensemble de tous ces fibrés est noté Vect k (B). L idée pour la classification est de trouver un fibré vectoriel, noté π : EG = EG k BG = BG k et appelé fibré universel de rang k de B, ayant la propriété suivante. Pour tout autre fibré E B de rang k, il existe une application f : B BG appelée application classifiante vérifiant f (EG) E. D après le premier théorème fondamental 1.5.9, des applications homotopes induisent des fibrés isomorphes. Donc si [B, BG] dénote l ensemble des classes d homotopie d applications de B dans BG, il existe une application bien définie [B, BG k ] Vect k (B), [f] [f (EG k )]. L objectif est de construire un inverse de cette application, après avoir déterminé le fibré universel. Nous verrons que la condition nécessaire à cette construction est que B soit paracompact. Définition Soit ξ k : E B un fibré vectoriel de rang k. Une application de Gauss du fibré dans R m est un morphisme de fibrés vectoriels g : E R m qui est injectif sur chaque fibre (en particulier m k). Par exemple, pour le fibré γk m : G k (m) = {(V, x) ; V G k (m), x V } G k (m) = G m k au-dessus de la grassmannienne, la seconde projection q : G k (m) R m est une application de

26 20 Chapitre 1. Fibrés Gauss. G k (m) p=pr 1 G k (m) q=pr 2 R m Proposition Soit (u, f) : ξ k γk m un morphisme de fibrés vectoriels qui est un isomorphisme sur les fibres. Alors q u : E R m est une application de Gauss. Réciproquement, soit g : E R m une application de Gauss. Alors il existe un morphisme de fibrés vectoriels (u, f) : ξ k γk m tel que q u = g. Démonstration. Seul le second point mérite une démonstration. Posons f(b) = g(p 1 (b)) G k (m) pour b B et u(x) = (f(p(x)), g(x)) G k (m) R m. Alors le couple (u, f) convient. Ainsi, il existe une application de Gauss g : E R m si et seulement s il existe une application f : B G k (m) telle que le fibré de départ ξ k : E B soit isomorphe à f (γk m ). Avant de construire une application de Gauss pour chaque fibré vectoriel de base paracompacte, nous avons besoin de la Proposition Soit E B un fibré vectoriel de base paracompacte recouvert par des ouverts trivialisants {U i } i I. Alors il existe un recouvrement dénombrable {W j } j de B tel que E Wj soit trivial. Si de plus chaque b B est contenu dans au plus n ouverts U i, alors il existe un recouvrement ouvert fini {W j } 1 j n tel que E Wj soit trivial. Démonstration. La paracompacité de B nous fournit une partition de l unité {ρ i } i subordonnée au recouvrement {U i } i (c est-à-dire Supp(ρ i ) U i ). Pour tout ensemble fini d indices S, soit W (S) l ouvert des b B tels que ρ i (b) > ρ j (b) pour tous i S et j / S. Si S et S sont deux ensembles d indices distincts à m éléments, alors W (S) W (S ) =. En effet, il existe i S et j S tels que i / S et j / S ; par conséquent pour tout b W (S) nous avons ρ i (b) > ρ j (b), et pour tout b W (S ) nous avons ρ j (b) > ρ i (b). Donc W (S) W (S ) =. Pour b B, notons S(b) l ensemble fini des indices i tels que ρ i (b) > 0 et posons W m = S(b)=m W (S(b)). Le fibré E W (S(b)) est trivial. Puisque W m est une réunion disjointe, il est également trivial. Enfin W j = lorsque j > m. Le résultat suivant nous assure de l existence d une application classifiante. Théorème (fondamental n 2). Pour tout fibré vectoriel p : E B de rang k et de base paracompacte, il existe une application de Gauss g : E R. Si de plus B admet un recouvrement ouvert fini {U i } 1 i n tel que E Ui soit trivial pour tout i, alors le fibré E B admet une application de Gauss g : E R kn. Démonstration. Soit {U i } un recouvrement ouvert trivialisant dénombrable, de trivialisations ψ i : E Ui U i R k. Choisissons une partition de l unité {ρ i } subordonnée à {U i }. Définissons des applications g i : E R k en posant g i = { (ρ i p)(pr 2 ψ i ) sur E Ui, 0 ailleurs,

27 1.7 Classification des fibrés vectoriels 21 où pr 2 : U R k R k est la seconde projection. Il nous reste à vérifier que g = i g i : E R k est bien une application de Gauss. Or les images des g i sont des sous-espaces complémentaires de R et chaque g i est injective, donc g est bien injective. S il n y a qu un nombre fini n de U i, alors n i=1 Rk = R kn. Dans le cas contraire, la somme est de dimension infinie. Nous avons ainsi construit pour chaque fibré vectoriel une application classifiante. Afin de construire [E B] [f], il nous faut maintenant démontrer que deux appplications classifiantes donnant lieu à des fibrés isomorphes sont homotopes, en d autres termes une unicité de l application classifiante. Théorème (fondamental n 3). Soient 1 m + et j : G k (m) G k (2m). Soient f 0, f 1 : B G k (R m ) telles que f 0 (γ k(m)) f 1 (γ k(m)). Alors j f 0 et j f 1 sont homotopes. Démonstration. Admise car technique (voir [4] page 33). Le théorème nous fournit une application Φ : [f] [E B]. Les théorèmes et nous permettent de construire une application Ψ : [E B] [f], inverse de Φ. D où le Corollaire Soit B une variété paracompacte. Il existe une correspondance bijective entre les (classes d isomorphismes de) fibrés vectoriels de rang k au-dessus de B et les (classes d homotopie de) fonctions lisses B G k ( ). En d autres termes Vect k (B) [B, G k ] Classification des G-fibrés principaux. Pour tout groupe de Lie G, examinons une construction pour deux espaces B G et E G ainsi qu un G-fibré principal E G B G universel. Définition Un fibré G-principal de base B est à trivialisation adaptée s il possède une trivialisation par des ouverts {U i } admettant une partition de l unité {ρ i } subordonnée. Ainsi un fibré principal localement trivial et de base paracompacte est à trivialisation adaptée. Définition Un fibré G-principal à trivialisation adaptée ω = (E 0, p 0, B 0 ) est dit universel s il vérifie les deux conditions suivantes : 1. Pour tout fibré G-principal à trivialisation adaptée ξ de base B, il existe une application f : B B 0 telle que ξ f (ω). 2. Si f 0, f 1 : B B 0 sont deux applications telles que f 0 (ω) f 1 (ω), alors f 0 et f 1 sont homotopes. Si on définit Prin G (B) comme étant l ensemble des classes d isomorphisme de G-fibrés principaux sur B, alors l existence d un fibré G-principal universel nous fournit une bijection Prin G (B) [B, B 0 ]. L espace E 0 = E G décrit ci-après est obtenu à l aide de la construction de Milnor. Définition La réunion infinie («infinite join») d un groupe G est E G = G G = {(t 1 x 0, t 1 x 1,...) ; t i [0, 1], x i G, les t i presque tous nuls, i t i = 1}.

28 22 Chapitre 1. Fibrés Un élément de E G est noté x, t. Deux éléments x, t et x, t sont identifiés dès que t i = t i pour tout i et x j = x j pour tout j tel que t j > 0. Maintenant, faisons agir G sur E G par multiplication à droite en posant x, t y = xy, t. On munit ensuite E G d une topologie compatible avec l action de G (admis). Notons BG = E G /G l espace des orbites. On définit enfin ω G = (E G, p, B G ). Proposition ([4]). Le G-fibré ω G est un G-fibré principal à trivialisation adaptée. Les espaces E G et B G sont fibrés par E G (n) E G (n + 1) E G B G (n) B G (n + 1) B G avec E G (n) = {(t 0 x 0, t 1 x 1,...) E G ; t i = 0 pour tout i > n} et B G (n) = p(e G (n)). Exemple Pour G = Z/2Z, on a E G (n) = S n. L action de Z/2Z sur S n est par l identité et l antipode, donc B G (n) = RP n. Par conséquent E G = S (la limite du système inductif S n S n+1 ) et BG = RP (la limite du système inductif RP n RP n+1 ). Le fibré (S n, p, RP n ) est universel pour toute dimension inférieure ou égale à n Pour G = S 1, on a E G (n) = S 2n+1. L action de S 1 sur S 2n+1 est (z 0, z 1,..., z n )e iθ = (e iθ z 0,..., e iθ z n ), donc B G (n) = CP n. Par conséquent E G = S et B G = CP (la limite du système inductif CP n CP n+1 ). Le fibré (S 2n+1, p, CP n ) est universel pour toute dimension inférieure ou égale à 2n. Afin de démontrer que le fibré G-principal ω G est universel, nous avons besoin de la Proposition Soit ξ un fibré G-principal à trivialisation adaptée de base B. Alors il existe une partition de l unité {ρ n } n N dénombrable telle que les U n = ρ 1 n (]0, 1]) soient des ouverts trivialisants pour ξ. Démonstration. Admise car technique (voir [4] page 56). Théorème Pour tout fibré G-principal à trivialisation adaptée, il existe une application f : B B G telle que ξ f (ω G ). Démonstration. Soit {ρ n } n N la partition de l unité fournie par la proposition Notons h n : U n G ξ Un les applications de trivialisation. Définissons une application θ : E E G en posant ( u(z) = (ρ 0 p(z))(q 0 h 1 0 (z)),..., (ρ n p(z))(q n h 1 n ), (z)),... où q n : U n G G est la seconde projection. Pour z en lequel h 1 n (z) n est pas défini, on a ρ n (p(z)) = 0. Par conséquent u est bien définie. Par ailleurs h n (zg) = h n (z)g donc u(zg) = u(z)g pour tout g G. L application u induit f : B B G et (u, f) : ξ ω G est un morphisme de G-fibrés principaux. Théorème Soient f 0, f 1 : X B G deux applications telles que f 0 (ω G ) f 1 (ω G ). Alors f 0 et f 1 sont homotopes. Démonstration.

29 CHAPITRE 2 CONNEXIONS LINÉAIRES Ce chapitre traite des connexions linéaires, c est-à-dire des connexions sur les fibrés vectoriels. Il est à noter qu il existe également des connexions sur les fibrés principaux : les connexions principales (voir à ce sujet le chapitre 6 de [2]) Définition et premières propriétés Une connexion généralise la Remarque Soit Ω 0 (B, R n ) l espace des sections du fibré trivial π : E = B R n B. On peut alors voir f Ω 0 (B, E) en tant qu application f : B R n, de section correspondante s : b (b, f(b)), et calculer les dérivées de f le long d un champ de vecteurs sur B en utilisant la différentielle df de f. Si n = 1, alors f C (B, R) et df est une 1-forme globale sur B, c est-à-dire df Ω 0 (B, T B). Si n > 1 et f : B R n, alors f(b) = (f 1 (b),..., f n (b)) donc df = (df 1,..., df n ). On vérifie que df est une section globale du fibré T B R n, c est-à-dire df = α i s i où α i Ω 0 (B, T B) et s i Ω 0 (B, R n ). Par conséquent, pensons à la différentielle d comme à une application d : Ω 0 (B, R n ) Ω 0 (B, T B R n ) = Ω 1 (B, R n ). Cet opérateur a pour propriétés : (i) d est linéaire. (ii) Si λ C (B, R), alors d(λf) = dλ f + fdλ (règle de Leibnitz). Une connexion va résoudre les trois problèmes suivants : 1. Calculer les dérivées des sections d un fibré vectoriel. 2. Décomposer l espace tangent en un point de E en : (a) La direction verticale (le long des fibres de E B). (b) La direction horizontale («parallèlement» aux directions tangentes à B). 3. Comparer les fibres de E en différents points b 1 et b 2 par «transport parallèle le long d une courbe».

30 24 Chapitre 2. Connexions 1. Le premier point est facilement descriptible en termes de cadres lo- Remarque caux. 2. Les second et troisième points s appliquent aussi bien aux fibrés principaux qu aux fibrés vectoriels. Avant de continuer, examinons de plus près les problèmes à résoudre. Problème 2.1 (différentier les sections). Pour toute fonction f C (B, R), on obtient une 1-forme globale df sur B. Plus précisément, nous avons un opérateur d : C (B, R) Ω 1 (B) = Ω 0 (B, T B) qui associe à une fonction sa différentielle. Rappelons que df b : T b B R est définie par df b (X b ) = X(f)(b) = d dt f(γ(t)) t=0 pour tout X b [γ(t)]. On peut faire de même pour f : B R n. Pour tout X b [γ(t)], on a d dt f(γ(t)) t=0 = (d(f 1 ) b (X b ),..., d(f n ) b (X b )). Ainsi df = (df 1,..., df n ) mesure les variations de f le long de γ(t), c est-à-dire df Ω 0 (B, T B R n ). D où d : C (B, R n ) Ω 0 (B, T B R n ) = Ω 1 (B, R n ). On peut se demander ce qu il en est pour une section s : B E, c est-à-dire s Ω 0 (B, E). Le problème est de donner un sens à d dt s(γ(t)) t=0. En fait s(γ(t)) E γ(t) et s(γ(0)) E γ(0) ne peuvent être identifiés, donc on ne peut pas évaluer s(γ(t)) s(γ(0)). Si nous avions une façon de relier/identifier les E γ(t) (à E γ(0) ) le long de γ(t), alors nous pourrions mesurer les variations de s le long de γ(t). Ainsi une méthode pour résoudre notre problème est de spécifier comment transporter E b le long de γ(t), c est-à-dire définir le transport parallèle. Sans entrer dans les détails (qui seront examinés dans la section 2.3), pour définir le transport parallèle le long d un chemin dans B nous avons besoin de spécifier comment un chemin dans B se remonte en un chemin dans E ; un tel relèvement est appelé relèvement horizontal. Ceci nous permet de définir un relèvement des vecteurs tangents à B en des vecteurs tangents à E. En clair, on obtient une identification de T b B avec un sous-espace H e de T e E pour tout e E b. Le sousespace H e est un complémentaire dans T e E du sous-espace V e des vecteurs verticaux, d où un scindement T e E = V e H e. Problème 2.2 (scindement de T E). Prenons un fibré vectoriel π : E B lisse et de rang n (sur C ou R). Étant donnée une trivialisation locale E U U R n, nous avons T e E = T b U R n pour tout e E U avec b = π(e). C est local mais non canonique, donc nous recherchons une règle globale pour scinder T e E = Fibre Base. Un vecteur X e T e E s identifie au germe X e [γ(t)], où γ(t) est un chemin passant en e à t = 0. Les vecteurs le long de la fibre (ou vecteurs verticaux) π 1 (b) correspondent aux chemins γ(t) à valeurs dans π 1 (b), c est-à-dire tels que π(γ(t)) = b pour tout t. Mais la projection π : E B induit l application π : T E T B définie par [γ(t)] [π(γ(t))]. Ainsi π [γ(t)] = 0 pour tout chemin γ(t) à valeurs dans la fibre π 1 (b). Par conséquent le sous-espace vectoriel V e = Ker(π : T e T b B) T e E est isomorphe à l espace des directions le long de la fibre. Continuons avec un traitement complet des connexions linéaires, en commençant par la Définition Pour un fibré vectoriel E B, une connexion est une application telle que : D : Ω 0 (B, E) Ω 0 (B, T B E) = Ω 1 (B, E)

31 2.1 Définition et premières propriétés D est linéaire. 2. D(λs) = dλ s + λds, où λ C (B, R) et s Ω 0 (B, E). Lemme Le second point garantit que D est un opérateur local, c est-à-dire que Ds(b) dépend seulement de s au voisinage de b. Démonstration. Prenons un voisinage ouvert U de b et définissons une «fonction bosse» lisse f sur U tel que f 1 sur V ( U) au voisinage de b et f 0 hors de U. Alors D(fs) = df s+fds implique D(fs)(b) = Ds(b). Mais fs est nulle hors de U, d où le résultat. Par conséquent la description locale de D est possible, c est-à-dire que l on peut utiliser des cadres locaux pour obtenir une description locale de D. Soit Ψ : E U U R n une trivialisation locale, de cadre local correspondant {e i } n i=1. Ainsi e i(b) = Ψ 1 (b, ê i ), où ê i est la base canonique de R n. Au-dessus de U, la section s a une description locale s = s i e i avec s i : U R. Les deux axiomes de la définition impliquent Ds = ds i e i + s i (De i ). Lemme La connexion D vérifie De i = j ω ji e j, où les ω ji sont des 1-formes définies sur U. Démonstration. De i est une section (locale) de T U E et toute section de T U E a pour expression j ω jie j. Remarquons que ω ji ne dépend que de D et de {e i } mais pas de s. Alors Ds = i,j (ds i + ω ji s j ) e i. Si l on identifie s = (s 1,..., s n ) t, nous voyons que s 1 D. s n = (d + ω) s 1. s n, où ω = (ω ji ) est une matrice n n de 1-formes sur U. Ainsi D = d + ω. Nous écrirons par conséquent (2.1.1) D = d + ω. Certains auteurs notent une connexion ω ou. Ici, nous utiliserons la notation uniquement dans le cas du fibré tangent T M. Remarque Si E = B R n, alors une seule carte est requise. Choisissons dans ce cas un cadre global {e i }. Tout matrice ω de 1-formes donne lieu à une connexion D = d+ω. En particulier ω = 0 implique D = d. Si le fibré E = U α R n /{g αβ } n est pas trivial et si {e α i } est un cadre local sur U α, alors on doit examiner de plus près les conditions de compatibilité de la description locale. Supposons que D = d + ω α au-dessus de U α et D = d + ω β au-dessus de U β. Alors De α i = ωji α eα j. Or eα i = g αβ ji eβ j, d où De α i = D(g αβ ji eβ j ) = dgαβ ji e β j + gαβ ji Deβ j = dgαβ = ji gβα kj ((g βα dg αβ ) li + (g βα ω β g αβ ) li ) e α l. eα k + gαβ ji ωβ kj gβα lk eα l

32 26 Chapitre 2. Connexions Les conditions de compatibilité impliquent (2.1.2) ω α = g βα ω β g αβ + g βα dg αβ. Nous avons ainsi démontré la Proposition La connexion D est déterminée par une famille {ω α } de matrices ω α de 1-formes sur U α reliées par (2.1.2) sur U α U β. Remarque On ne peut pas prendre ω α 0 puisque (2.1.2) n est pas toujours vérifiée. Par contre on peut le faire lorsque dg βα = 0, c est-à-dire lorsque g βα : U α U β GL(n) est localement constante. Définition Si le fibré π : E B admet une description E = U α R n /{g αβ } avec dg αβ = 0, alors le fibré est dit plat. Dans ce cas, on peut définir une connexion D = d avec des cadres locaux plats. Le crochet [, ] s étend aux connexions. Pour D = i ω iei, nous obtenons par exemple [D, D] = i,j (ω i ω j ω j ω i )[e i, e j ]. Lemme Toute connexion D vérifie [D, [D, D]] = 0. Démonstration. Tout d abord D i D j D k (X Y Z) = σ ε(σ)d σ(i) (X)D σ(j) (Y )D σ(k) (Z) = D i (X)D j (Y )D k (Z) D i (X)D k (Y )D j (Z) D j (X)D i (Y )D k (Z) D k (X)D j (Y )D i (Z) + D j (X)D k (Y )D i (Z) + D k (X)D i (Y )D j (Z). En omettant la somme sur i, j, k et le symbole pour les 1-formes, nous obtenons [D, [D, D]](X Y Z) = D i D j D k (X Y Z)[e i, [e j, e k ]] = D i D j D k (X Y Z) ( [e j, [e k, e i ]] + [e k, [e j, e i ]] ) ( = D j (Y )D k (Z)D i (X) + D j (Z)D k (Y )D i (X) + D j (X)D k (Z)D i (Y ) ) +D j (Y )D k (X)D i (Z) + D j (X)D k (Y )D i (Z) + D j (Z)D k (X)D i (Y ) [e j, [e k, e i ]] ( D k (Z)D j (Y )D i (X) + D k (Y )D j (Z)D i (X) + D k (Z)D j (X)D i (Y ) ) +D k (X)D j (Y )D i (Z) + D k (Y )D j (X)D i (Z) + D k (X)D j (Z)D i (Y ) [e k, [e i, e j ]] = 2(D j (Y )D k (Z)D i (X) + D j (Z)D k (Y )D i (X) + D j (X)D k (Z)D i (Y ) ) +D j (Y )D k (X)D i (Z) + D j (X)D k (Y )D i (Z) + D j (Z)D k (X)D i (Y ) [e k, [e j, e i ]] = 2[D, [D, D]](X Y Z).

33 2.2 Existence de connexions et transport parallèle Existence de connexions et transport parallèle Soit π : E B un fibré vectoriel réalisé comme E = ( U α R n )/{g αβ }. Nous allons décrire deux méthodes pour construire une connexion sur E. Ces deux méthodes utilisent des connexions D α définies sur E Uα, des trivialisations locales ψ α : E Uα U α R n et une partition de l unité {ρ α } subordonnée au recouvrement {U α }. Ces deux connexions sont définies par : (2.2.1) D 1 = α D α ρ α et D 2 = α ρ α D α La connexion D α est définie sur E Uα en choisissant une connexion D α sur U α R n puis en posant D α = ψα 1 D α ψ α, c est-à-dire D α (s) = ψα 1( D α (ψ α (s))). Remarque De façon générale, étant donnés un isomorphisme de fibrés h : E F et une connexion D sur F on définit une connexion h D sur E en posant h D = h 1 D h. Dans la définition de D 2, les termes de la somme sont de la forme { ρα (b)d (ρ α D α (s))(b) = ρ α (b)d α (s)(b) = α (s)(b) si b U α, 0 sinon. Examinons maintenant la connexion D 1. Nous avons (D α ρ α )(s) = D α (ρ α(s)) = dρ α s + ρ α D α (s), donc D 1 (s) = D 2 (s) + dρ α s, α c est-à-dire D 1 D 2 = α dρ α Id. Remarquons que hors de U α on a dρ α = 0, puisque le support de ρ α est dans U α. La différence entre D 1 et D 2 est instructive. Remarque La 1-forme D 1 D 2 est à valeurs dans End(E). Ceci illustre le fait général suivant. Proposition Si D 1 et D 2 sont deux connexions sur un fibré vectoriel π : E B, alors D 1 D 2 Ω 0 (B, T B End(E)) = Ω 1 (B, End(E)). Démonstration. La différence D 1 D 2 est linéaire pour les constantes. Elle est également linéaire pour les fonctions, puisque (D 1 D 2 )(fs) = (df s + fd 1 (s)) (df s + fd 2 (s)) = f(d 1 D 2 )(s). Remarque Pour un cadre local {e α i }n i=1 de E, une section de T M End(E) est localement une matrice de 1-formes ω α. Au-dessus de U α, les matrices ω α et ω β sont reliées par les fonctions de transition : ω α = g αβ ω β g βα. Si (D 1 D 2 )(fs) = f(d 1 D 2 )(s), alors la description locale aura également cette propriété. On a vu que D 1 D 2 Ω 1 (B, End(E)). Réciproquement, si θ Ω 1 (B, End(E)) alors on peut définir (D 1 + θ)(s) = D 1 (s) + θ(s) ; c est en fait une connexion. D où la

34 28 Chapitre 2. Connexions Proposition Si A(E) est l espace des connexions sur E, alors A(E) = D 0 + Ω 1 (B, End(E)) pour une connexion fixée D 0. Plus précisément A(E) est un espace affine de dimension infinie et d espace vectoriel sous-jacent Ω 1 (B, End(E)). Définition Pour une connexion D et un champ de vecteurs X, la dérivée covariante de la section s le long de X est D X s. Ceci signifie que localement D X s = d X s + (ω(x))s Ω 0 (B, E) ; ainsi (D X s)(b) = (d Xb s) + ω(x b )s(b), c est-à-dire que la dérivée covariante ne dépend que de X b T b B Sections parallèles et équations différentielles Soit D une connexion sur un fibré E B de rang n sur une variété B de dimension m. Définition Une section s Ω 0 (B, E) vérifiant Ds = 0 est dite parallèle. On peut légitimement se demander s il existe une solution à l équation Ds = 0. Pour un cadre local, si s = (s 1,..., s n ) t et D = d + ω, alors la condition de parallélisme est ds i + j ω ijs j = 0 pour tout i. Dans des coordonnées locales (x 1,..., x n ) sur B, cela revient à résoudre le système d équations m s i + (ωij k x s j)dx k = 0 pour tout i = 1,..., n k k=1 avec ω ij = ω k ij dx k. C est un système d équations aux dérivées partielles pour lesquelles l existence de solutions n est pas garantie. Nous allons examiner un cas particulier dans lequel une solution est possible. Étant donnée une courbe γ dans B, examinons la section le long de la courbe s(γ(t)). Rappelons que l on obtient un champ de vecteurs le long de γ, noté γ(t). C est la vitesse du champ de vecteurs, définie par γ(t)(f) = τ f(γ(τ)) τ=t. Examinons D γ s, la dérivée covariante de s le long de γ(t) ; plus précisément, étudions les solutions de D γ s(γ(t)) = 0. Lemme L équation D γ s(γ(t)) = 0 est (localement) un système d équations différentielles ordinaires linéaires et du premier ordre. Démonstration. Pour un cadre {e i } de E, on peut écrire D = d+ω et s = (s 1,..., s n ) t. Les équations en jeu deviennent ds i + j ω ijs j = 0. Ainsi D γ s = 0 s écrit d γ(t) s i + j ω ij(γ(t))s j (γ(t)) = 0. Mais d γ(t) s i = γ(t)(s i ) = τ s i(γ(τ)) τ=t. Posons s i (t) = s i (γ(t)) et ω ij (t) = ω ij (γ(t)). Alors τ s i(t) + j ω ij (t)s j (t) = 0 pour tout i = 1,..., n. Par conséquent, il y a une unique solution si l on spécifie des conditions initiales s i (0) = s i (γ(0)). Cette solution est valide partout où γ(t) est défini et reste dans une carte. Si γ change de carte, un petit argument permet de recoller les solutions. Finalement, la solution est une courbe dans E, appelée le relèvement horizontal de γ et notée γ h.

35 2.3 Sections parallèles et équations différentielles 29 Remarque On peut toujours relever un chemin de B à E. Cependant, nous avons construit un relèvement très spécial ayant certaines propriétés de parallélisme. Ceci nous conduit à la : Définition Le relèvement horizontal définit une application T b B T e E d expression X [γ(t)] [ γ h (t)] X h. Le champ de vecteurs X h est dit relèvement horizontal du vecteur X. L image H e de cette application est un sous-espace de dimension n de T e E, appelé sous-espace horizontal, complémentaire du sous-espace vertical V e = Ker(π : T e T b B) T e E. π 1 (b) relèvement π 1 (b ) horizontal e e b chemin b Figure 2.1. Relèvement horizontal d un chemin Pour b, b B, nous recherchons une façon de comparer les fibres E b et E b au-dessus de b et b respectivement. Soit γ : [0, 1] B un chemin tel que γ(0) = b et γ(1) = b. Soit γ h le relèvement horizontal de γ tel que γ h (0) = e, comme illustré sur la figure 2.1. Alors la fonction e γ h (1) dépend du choix du choix du chemin γ. π 1 (b) e e relèvement horizontal b chemin Figure 2.2. Le relèvement d un lacet n est forcément pas un lacet Par exemple, si b = b alors γ est un lacet de base b. Cependant rien n oblige le relèvement horizontal γ h à être un lacet, comme illustré sur la figure 2.2. En fait γ h (1) = T γ h (0), où T est une transformation linéaire de la fibre. Cette application linéaire est appelée la transformation d holonomie ; elle correspond à l action du groupe fondamental de la base sur un de ses revêtements.

36 30 Chapitre 2. Connexions Supposons que l on ait n solutions s 1,..., s n de l équation Ds = 0 telles que la famille {s i } définisse un cadre local au-dessus de U B. Alors pour tout e E b on peut écrire e = λ i s i (b). Posons s e = λ i s i. Considérons l application U B E définie par s e ainsi que l application (s e ) : T b B T se(b )E induite sur les espaces tangents. Lemme s e (U) est une sous-variété de E passant en e. De plus (s e ) (T b B) = H e T se(b )E. Démonstration. La première partie du lemme est en fait vraie pour toute section. Plus précisément, si s : B E est une section alors s est localement de la forme x (x, σ(x)), c est-à-dire R m R m R n. Considérons la matrice ( ) Idm s = des dérivées partielles de s. Le rang de s est toujours m et donc l image de s est une sous-variété de dimension m. Pour X [γ(t)], on a (s e ) (X) [s e (γ(t))]. Ainsi, il nous suffit de vérifier que s e (γ(t)) est un relèvement horizontal. Mais c est vrai d après la définition de s. Par conséquent, l image est contenue dans H e et l application est injective via notre description locale. Il s ensuit que les dimensions concordent et l on obtient (s e ) (T b B) = H e. Nous avons ainsi démontré que H e T e E est un sous-espace m-dimensionnel. L ensemble σ i x j H = H e T E e E définit une distribution. Puisque les n solutions s i de Ds = 0 sont linéairement indépendantes, on en déduit que H est une distribution intégrable (pour tout e E, il existe une sous-variété H passant en e telle que T H = H e ) Obstruction à l intégrabilité dans le cas d une section parallèle Rappelons qu étant donnée une section s Ω 0 (B, E) parallèle (c est-à-dire vérifiant Ds = 0) d un fibré E B, nous avons : 1. s(b) est une sous-variété de E (vrai pour tout section). 2. T s(b) (s(b)) = s (T b B) = H s(b) T s(b) E. Pour tout cadre parallèle {s 1,..., s n } (où n est le rang du fibré), on obtient une telle sous-variété en chaque point. On appelle s(b) une sous-variété intégrable pour H s(b). Par conséquent, si nous avons des cadres parallèles alors la distribution horizontale e E H e = H T E est intégrable. Remarque Réciproquement, si la distribution horizontale H est intégrable alors il existe une sous-variété intégrable en tout point. Par conséquent une base {e i (b)} de E b peut s étendre en un cadre parallèle local. Tout ce qui suit repose sur le théorème de Frobénius. Soit D T M une distribution telle que dim(d x ) = d pour tout x. On peut se demander à quelle condition D est une distribution intégrable. D après le théorème de Frobénius, une condition d intégrabilité est que pour tous X,

37 2.4 Obstruction à l intégrabilité dans le cas d une section parallèle 31 Y D, le crochet de Lie [X, Y ] de X et Y est également dans D. Nous dirons dans ce cas que D est involutive. Il existe une version plus pratique de cette condition, en termes de formes différentielles. Considérons l idéal I D annihilateur de D dans 1 T M, ainsi que I D = {β α ; α I D }. Plus précisément I D = {α 1 T M ; α(x) = 0 pour tout X D}. Exemple Si M = R n et D x = R{ x 1 } T x M, alors I D est engendré par {dx 1,..., dx n }. La condition sur I D correspondant à l involutivité de D est di D I D ; on dit alors que I D est un idéal différentiel. Le théorème de Frobénius affirme en fait que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : 1. di D I D. 2. D est involutive. 3. Pour tout x M, il existe une sous-variété intégrable passant en x ; de plus si i : S M alors i (T s S) = D x, comme illustré dans la figure 2.3. M S s D x x Figure 2.3. Sous-variété intégrable Afin d appliquer ceci à H T E, nous avons besoin de calculer I H. Lemme Fixons des coordonnées locales (y 1,..., y n ) sur les fibres. Alors I H est engendré par dy i + j ω ijy j. En fait (dy i + j ω ijy j ) e (X h ) = 0 pour tout X h H e. Ceci découle du fait que X h [ γ h (t)] pour un relèvement horizontal particulier γ h (t). Examinons ce que signifie di H I H. On a d(dy i + ω ij y j ) = d(ω ij y j ) = (dω ij )y j ω ij dy j. Écrivons dy j = (dy j + ω jk y k ) ω jk y k. On peut démontrer que d(dy i + ω ij y j ) = (dω + ω ω)y j modulo I H. Par conséquent, si dω + ω ω est nulle alors di H I H et la distribution horizontale est intégrable. Définition La matrice de 2-formes F D = F ω = dω + ω ω est appelée courbure de D. Lemme Si les {ω α } sont des 1-formes de connexion pour une trivialisation locale {U α } et si F α = dω α + ω α ω α, alors {F α } définit une section globale du fibré 2 T B End(E). Par ailleurs F D = {F α }, et ainsi F ω = F D = {F α } Ω 0 (B, 2 T M End(E)).

38 32 Chapitre 2. Connexions Démonstration. Soit {e α i } un cadre local au-dessus de U α. Notons {g βα } les fonctions de transition. Le diagramme suivant doit être commutatif : g βα R n F α R n R n F β R n D une part nous avons ω α = g αβ ω β g βα + g αβ dg βα. D autre part g αβ g βα = 1 implique dg αβ g βα + g αβ dg βα = 0. Le calcul consécutif au remplacement de ω α par sa valeur dans F α = dω α + ω α ω α achève la démonstration. Une définition alternative de la courbure d une connexion est F D = D 2. Cependant elle nécessite de donner un sens à D 2. Dans la section suivante, nous construirons plus généralement D : Ω p (B, E) Ω p+1 (B, E). g βα 2.5. Courbure d une connexion Généralisation des notions de connexion et de courbure. Rappelons que la courbure F D d une connexion D est dans Ω 0 (B, 2 T B End(E)) Ω 2 (B, End(E)). Si D = d+ω pour un cadre local, alors F D s exprime localement sous la forme F D = dω + ω ω. Proposition Une connexion D : Ω 0 (E) Ω 1 (E) sur E est l unique extension en D : Ω p (E) Ω p+1 (E) linéaire et vérifiant D(α σ) = dα σ +( 1) q α Dσ pour tous α Ω q (B) et σ Ω p (E). Lemme Nous avons F D = D D = D 2, c est-à-dire F D (s) = D(Ds) pour tout s Ω 0 (B, E). Ici le second D est l extension de D à Ω 1 (B, E) Ω 2 (B, E). Démonstration. Examinons Ω 0 D (E) Ω 1 D (E) Ω 2 (E). Pour un cadre local {e i } pour E, nous avons D = d + ω et toute section au-dessus de U α s écrit s = i s ie i. Alors Ds = i (ds i + j ω ijs j )e i, d où D(Ds) = ( ( d ds i + ) ω ij s j + ( ω ik ds k + ) ) ω kj s j e i i j k j = ( ( ) ( ) ( ) ) (dω ij )s j ω ij ds j + ω ik ds k + ω ik ω kj s j e i i j k k j = (dω ij )s j e i + ( ω ik ω kj )s j e i i j i j k = dω(s) + ω ω(s). Dans la suite Ω 0 (E) D Ω 1 (E) D Ω 2 (E) nous avons D 2 = F D 0 en général. Ainsi la courbure mesure l échec de la suite à être un complexe (à la différence du complexe de Rham C d Ω 1 d (M) Ω 2 (M) dans lequel d 2 = 0). Définition Une connexion D telle que F D = 0 est dite plate.

39 2.5 Courbure d une connexion 33 Si E admet une connexion D plate, alors on peut choisir un cadre local {e α i } tel que Deα i = 0. Ainsi ω α = 0, c est-à-dire D = d au-dessus de U α. Il s ensuit que g αβ est constante. En d autres termes existence d une connexion plate existence d une structure plate. Remarque Même si F D = 0, on peut quand même avoir de l holonomie. Cependant, si F D = 0 alors l holonomie ne dépend que du type d homotopie des lacets. Dans ce cas, on obtient une représentation du groupe fondamental π 1 (B) de B dans GL(k, R), appelée représentation d holonomie et définie par [γ] holonomie autour de γ. Remarque La réciproque est également vraie ; plus précisément, étant donnée une représentation de π 1 (B) dans GL(n, R) on obtient un fibré plat GL(n, R). Voici une seconde interprétation de la courbure. Proposition Si X et Y sont deux champs de vecteurs sur B, alors F D (X, Y ) = D X D Y D Y D X D [X,Y ]. En particulier, si [X, Y ] = 0 alors F D (X, Y ) = D X D Y D Y D X. En clair F D mesure l échec de D X et D Y à commuter lorsque [X, Y ] = 0. Démonstration. Fixons b B. La courbure F D (X, Y ) se décrit localement par F D (X, Y ) = dω(x, Y ) + ω ω(x, Y ). Pour des 1-formes α et β nous avons (2.5.1) dα(x, Y ) = X(α(Y )) Y (α(x)) α([x, Y ]) et (α β)(x, Y ) = α(x)β(y ) α(y )β(x), que nous appliquons à dω et ω ω afin d obtenir D autre part Donc F D (X, Y ) = Xω(Y ) Y ω(x) ω([x, Y ]) +ω(x)ω(y ) ω(y )ω(x). D X (D Y s) = D X (d Y s + ω(y )s) = d X (d Y s + ω(y )s) + ω(x)(d Y s + ω(y )s) = X(Y (s)) + X(ω(Y ))s + ω(y )X(s) + ω(x)y (s) + ω(x)ω(y )s. D X (D Y s) D Y (D X s) D [X,Y ] = X(Y (s)) + X(ω(Y ))s + ω(y )X(s) + ω(x)y (s) + ω(x)ω(y )s et la proposition est démontrée. On vérifie également que Y (X(s)) Y (ω(x))s ω(x)y (s) ω(y )X(s) ω(y )ω(x)s d [X,Y ] s ω([x, Y ])s = X(Y (s)) Y (X(s)) d [X,Y ] s +X(ω(Y ))s Y (ω(x))s ω([x, Y ])s +ω(x)ω(y )s ω(y )ω(x)s (2.5.2) F = dd + 1 [D, D]. 2

40 34 Chapitre 2. Connexions Identité de Bianchi. Si un fibré vectoriel E B admet une connexion plate D (c est-à-dire telle que F D = 0), alors on peut choisir un cadre local {e α i } sur U α tel que De α i = 0 (ω α = 0). Si γ(t) est une courbe dans B vérifiant γ(0) = b, soit γ e (t) son relèvement horizontal passant en γ e (0) = e E b. Remarque Pour le cadre {e α i }, on a γ e(t) = γ i α(t)eα i (γ(t)) avec ( γα i ) (t) + ωij α (γ (t)) γ j α(t) = 0. Mais ωα ij = 0, c est-à-dire ( γα i ) (t) = 0. Par conséquent γ i α (t) est constante. Soit maintenant γ(t) un lacet avec γ(1) = γ(0) = b. L holonomie autour de γ(t) provient du fait que γ e (1) n est pas forcément égal à γ e (0) (puisque γ(t) n est pas toujours d image contenue dans un ouvert trivialisant U α ). Supposons que l image de γ(t) est contenue dans les ouverts trivialisants U 0, U 1,..., U N. Fixons 0 < t 1 < t 2 < < t N+1 < 1 tels que γ(t α ) U α 1 U α pour α = 1,..., α N et γ(t N+1 ) U N U 0. Supposons que γ e (0) = γ 0 i e0 i (0), γ e(t 1 ) = γ 1 i e1 i (t 1),... γ e (t α ) = γ α i eα i (t α). Alors la condition de relèvement horizontal implique γ(t) = γ i 0e0 i (t) pour 0 < t t 1 ( γ est constant pour le cadre {e 0 i (t)}). En t 1 on change pour le cadre {e 1 i (t)}, donc γ(t 1) = (gij 10 γ0 j )e1 j (t 1), c est-à-dire ( γ i 1) = g10 ij γ0 j. Il s ensuit que γ α = g αα 1 γ α 1 à chaque changement. Donc après avoir fait le tour du lacet nous avons γ 0 [ g 0N g NN 1 g 10] γ 0. } {{ } T =holonomie Si le lacet γ(t) reste dans un seul ouvert U α, alors γ(1) = γ(0). Il s ensuit que l holonomie est triviale. Corollaire Deux chemins homotopes produisent la même holonomie. Ainsi, on obtient une représentation d holonomie ρ : π 1 (B) GL(k). Réciproquement, fixons une représentation ρ : π 1 (B) GL(k). Construisons un fibré vectoriel (plat) E B qui admet une connexion plate D produisant ρ comme représentation d holonomie. Soit p : B B le recouvrement universel de B. Puisque le groupe fondamental π 1 (B) agit sur B, posons E = B ρ R n = B R n /π 1 (B) avec ( b, v) (γ b, ρ(γ)v). Proposition L application E B est un R n -fibré plat pouvant être muni d une connexion plate qui induit ρ : π 1 (B) GL(n) en tant que représentation d holonomie. Remarque Plus généralement, pour tout représentation ρ : π 1 (B) G, on peut vérifier que P = B ρ G est un G-fibré principal plat pouvant être muni d une connexion plate. Soit une connexion D sur un fibré vectoriel E B, de courbure F D. Supposons que localement D = d + ω et F D = F ω = dω + ω ω au-dessus de U. Alors F ω est une matrice de 2-formes sur U et df ω = dω ω ω dω = (F ω ω ω) ω ω (F ω ω ω) = F ω ω ω F ω. En d autres termes F ω satisfait à l identité de Bianchi (2.5.3) df ω + ω F ω F ω ω = 0.

41 2.6 Connexions induites 35 Si on pose [ω, F ] = ω F ω F ω ω, alors cette égalité devient (2.5.4) df ω + [ω, F ] = 0. Nous pouvons donner à l identité de Bianchi une description globale, à savoir D(F D ) = 0. Cependant il nous faut déjà définir D(F D ) = 0, ce qui nécessite un détour par le domaine des connexions induites. L explication surgira au détour de la remarque Connexions induites Connexion induite sur E 1 E 2. Pour deux connexions D i sur E i (i = 1, 2), définissons D = D 1 D 2 de la façon suivante. Si localement D i = d + ω i, alors ( ) D ω1 0 = d + 0 ω 2 avec somme directe des cadres. Plus précisément, si s = s 1 s 2 Ω 0 (E 1 E 2 ) alors D (s 1 s 2 ) = D 1 (s 1 ) D 2 (s 2 ). C est une connexion de courbure locale ( ) Fω = Fω F ω Connexion induite sur E 1 E 2. Pour deux connexions D i sur E i (i = 1, 2), posons D (s 1 s 2 ) = D 1 (s 1 ) s 2 + s 1 D 2 (s 2 ), c est-à-dire C est une connexion de courbure D = D 1 I 2 + I 1 D 2. F D = F 1 I 2 + I 1 F 2, c est-à-dire F D (s 1 s 2 ) = F 1 (s 1 ) s 2 + s 2 F 2 (s 2 ) Connexion induite sur E. Fixons une connexion D sur E B. On peut définir une connexion D sur E telle que si s Ω 0 (E ) et t Ω 0 (E), alors [s (t)] b = s b (t b) est pour tout b B une fonction lisse sur la base B. On peut ainsi prendre la différentielle ds (t) = (D s )(t) + s (D(t)). Construisons D. Pour le cadre local {e i } de E, on a D = d + ω. De même, pour le cadre local dual {e i } de E nous avons D = d + ω. D où e i (b)(e j (b)) = δ ij, de i (e j ) = 0, De i = ω ji e k, D e j = ω kje k. Par conséquent il est nécessaire que 0 = de i (e j) = (ω ki e k )(e j) + e i (ω kje k ) = ω ji + ω ij, c est-à-dire ω = ω t. Réciproquement, on vérifie que { (ω α ) t } définit une connexion sur E.

42 36 Chapitre 2. Connexions Connexion induite sur Hom(E 1, E 2 ) E 2 E1. En combinant les sous-sections et 2.6.3, on peut obtenir une connexion sur E 1 E2 Hom(E 2, E 1 ). Elle est définie par D = D 2 I 1 + I 2 D 1. Décrivons-la directement. Donnons-nous h : E 1 E 2 et fixons des bases {e (1) i } et {e (2) i } de E 1 et E 2 respectivement. Dans ces bases, nous avons h = (h ij ). Soit e ij = e (2) i (e (1) ). Alors D(e ij ) = ω (2) ki e(2) k (e (1) j ) + e (1) i ω (1) kj (e (1) k ) = ω (2) ki e(2) k (e (1) j ) ω (1) jk e(2) i (e (1) k ). Mais h = h ij (e (2) i (e (1) j ) ), où {e ij } est vue en tant que base de Hom(E 1, E 2 ) via (e (2) i (e (1) j ) )(s) = (e (1) j ) (s)e (2) i. On en déduit c est-à-dire en considérant h = (h ij ) dans la base {e ij }. D(h) = (dh + ω (2) h hω (1) ) ij e (2) i (e (1) j ), D(h) = dh + ω (2) h hω (1) Exemple En particulier, si E 1 = E 2 = E alors Hom(E 1, E 2 ) = End(E). La connexion D sur E induit une connexion D sur End(E) ayant la propriété suivante. Dans un cadre local, si D = d + ω sur E et u Ω 0 (End(E)) alors sur End(E). D(u) = du + ωu uω = du + [ω, u] Remarque On peut utiliser l extension de D sur End(E) pour définir la dérivée covariante D : Ω p (End(E)) Ω p+1 (End(E)). Appliquons cette dérivée covariante à F D Ω 2 (End(E)) pour calculer D(F D ). Dans un cadre local on a D(F ω ) = df ω + [ω, F ω ] avec D = d + ω. Ainsi l identité de Bianchi affirme que D(F D ) = 0. Nous avons ainsi la clef pour comprendre la fin de la sous-section Connexion induite sur un fibré tiré en arrière. Construisons une connection sur f (E) via j E π X f B Soient D une connexion sur E et {e α i } un cadre local de E au-dessus de U α. Soit {f (e α i )} le cadre de f (E) tiré en arrière au-dessus de f 1 (U α ), défini par f (e α i )(x) = eα i (f(x)). Supposons que D = d + ω α selon {e α i }. Lemme f (ω α ) définit une 1-forme de connexion sur f 1 (U α ) (pour le cadre {f (e α i )}). Démonstration. Étant donné un champ de vecteurs Y sur f 1 (U α ) X, on a f (ω α x )(Y ) = ω α f(x) (f Y ). Plus précisément, on définit la connexion f (D) sur f (E) de sorte à avoir f (D Y )(f s) = D f Y (s).

43 2.7 Connexions induites 37 Une connexion sur E nous fournit une connexion sur End(E) = Hom(E, E) E E. Pour un choix de cadre local, on a vu que D(h) = dh + [ω, h]. On peut démontrer que si h Ω 0 (End(E)) et s Ω 0 (E), alors D(hs) = D(h)s + hd(s). Ici D(h) Ω 1 (End(E)) et D(s) Ω 1 (E). Le long d un champ de vecteurs V Ω 0 (T B), on a également D V (hs) = D V (h)(s) + hd V (s). Lemme Si s Ω 0 (E), V Ω 0 (T X) et f (V ) = W Ω 0 (T B), alors f (D) V (f s) = f (D W (s)). En outre f (D) est l unique connexion sur f (E) ayant cette propriété. Considérons le cas X =]a, b[ pour la courbe γ : ]a, b[ B. Alors γ (E) est la restriction de E à γ(t). Une section s Ω 0 (γ (E)) est une section de E le long de γ, c est-à-dire un relèvement de γ à E. Le champ de vecteurs vitesse de γ(t) est γ ( d dt ) = γ(t). Définition Effectuons un changement de notations pour ce cas particulier : γ (D) d ( s(t)) = D dt s(t). Alors D dt s(t) = D γ s(t) est la dérivée covariante le long du champ de vecteurs vitesse de γ. Remarquons que s(t) est un relèvement horizontal si et seulement si s(t) est parallèle selon γ (D) (en tant que section de γ (E)). Remarque D une manière générale, les sections f (E) ne sont pas toutes de la forme f (s) pour une section s de E. Par exemple, si l on a x 1 x 2 tels que f(x 1 ) = f(x 2 ) et si s est une section de f (E) telle que s (x 1 ) s (x 2 ), alors s n est le tiré en arrière d aucune section de E. À la différence de la remarque ci-dessus, si h : E E est un isomorphisme de fibrés vectoriels au-dessus de B E h B alors on obtient une bijection (linéaire) Ω 0 (E) Ω 0 (E ) de façon naturelle. Ainsi on peut définir une connexion h (D ) = h 1 D h sur E, c est-à-dire h (D )(h 1 (s)) = h 1 (D (s)). Si {e i } et {e i } sont deux cadres locaux pour E et E respectivement, alors h (D )(e i ) = h 1 D (h ji e j ). On vérifie que h (D ) = d + h 1 ω h + h 1 dh, F h (D ) = h 1 F ω h, où F ω est la 2-forme courbure pour ω. Si l on identifie E et E, nous avons une connexion induite sur End(E). On peut démontrer que h D = h 1 Dh = D + h 1 D(h), où le second D est la connexion induite. F dt

44 38 Chapitre 2. Connexions 2.7. Connexions métriques Définition et premières propriétés. Supposons le fibré E B muni d une métrique,. Définition Une connexion D est dite compatible avec la métrique, si pour tous s, t Ω 0 (E) nous avons On parle parfois de connexion orthogonale. d s, t = Ds, t + s, Dt. Remarque Pour s, t Ω 0 (E), on définit une fonction s, t (de classe C sur B) en posant s, t (b) = s(b), t(b). De plus, : Ω 0 (E) Ω 0 (E) C (B) est bilinéaire. On peut l étendre en une application Ω 1 (E) Ω 0 (E) Ω 1 (B) en posant α s, t α s, t. En fait, on peut même l étendre en une application Ω p (E) Ω q (E) Ω p+q (B) en posant α s, β t (α β) s, t. Définition Soit E un fibré complexe muni d une métrique hermitienne,. Une connexion D est dite compatible avec le produit hermitien ou unitaire si pour tous s, t Ω 0 (E) nous avons d s, t = Ds, t + s, Dt. Soit {e i } un cadre local pour E tel que e i, e j = δ ij. Supposons que dans ce cadre local D = d + ω. Alors 0 = d e i, e j = ω ki e k, e j + e i, ω kj e k = ω ki δ ki + ω kj δ kj. Par conséquent ω ji + ω ij = 0. Ceci signifie que pour une connexion orthogonale, la 1-forme connexion ω est anti-symétrique pour un cadre orthogonal. Remarque Dans le cas complexe, on obtient ω ji + ω ij = 0 en utilisant un produit hermitien. Pour une connexion unitaire sur un fibré complexe, une 1-forme connexion prend ses valeurs dans u(n) lorsqu on la calcule dans un cadre unitaire. Remarque On peut réaliser E en tant que O(k)-fibré principal associé. Le résultat cidessus découle alors du fait qu une 1-forme connexion sur un G-fibré principal prend ses valeurs dans Lie(G). Un calcul direct démontre que F ω = dω + ω ω vérifie F ω + F t ω = 0, toujours dans un cadre orthogonal. Ainsi pour deux champs de vecteurs X, Y T B, le morphisme de fibrés F (X, Y ) : E E est une isométrie, c est-à-dire F (X, Y ) est à valeurs dans O(n).

45 2.8 Connexions sur le fibré tangent et géodésiques Une description alternative de la condition de compatibilité. Un fibré métrique,, peut être vu comme une section de E E. Pour un espace vectoriel V, le produit scalaire, : V V R est équivalent à une application V V, donc à une section de Hom(E, E ) E E. Étant donné un cadre local {e i } de E, on définit H = H ij e i e j avec H ij = e i, e j, de sorte à avoir H(s, t) = s, t. Pour une connexion D sur E, on obtient une connexion induite sur E E encore notée D. Ainsi, on peut calculer D(H). Les deux assertions suivantes sont équivalentes : 1. d s, t = Ds, t + s, Dt. 2. D(H) = 0. La seconde condition ci-dessus est parfois appelée condition de covariance constante. Plus précisément, on dit que H est une constante covariante si D(H) = Connexions sur le fibré tangent et géodésiques Rappelons que T M M est un fibré vectoriel de rang n = m = dim(m). Choisissons une connexion D : Ω 0 (T M) Ω 0 (T M T M) = Ω 1 (T M). Les sections de T M sont les champs de vecteurs. Dans ce cas D X (s) est la dérivée covariante le long du champ de vecteurs X de la section s. Mais X et s sont tous deux des champs de vecteurs. Lorsque l on parle de connexions sur le fibré tangent, on utilise le symbole, plutôt que D. Comme précédemment F Ω 2 (End(T M)) et F (X, Y ) : T M T M pour tous X, Y Ω 0 (T M). Dans un cadre {e i }, une connexion s exprime sous la forme D = d + ω pour une matrice ω de 1-formes. Écrivons n ω = ω k dx k k=1 dans les coordonnées (x 1,..., x n ), où ω k = (ω k,ij ) ij est une matrice (application sur les fibres de E). Pour E = T M on peut prendre { } n x i i=1 pour cadre local au-dessus de la carte dans laquelle les coordonnées sont (x 1,..., x n ). Il s ensuit que ( ) = ω ji,k dx k. x i x i On note ceci sous la forme ( ) = Γ k ji x dx k, i x i où les Γ k ji sont les symboles de Cristofell. Pour ajouter à la confusion, la courbure de est notée Ω. Un relèvement à T M d une courbe γ(t) dans M est un champ de vecteurs le long de γ(t). Pour un tel relèvement γ(t), on peut calculer la dérivée covariante γ(t) γ(t) selon γ(t) le long de γ(t). Mais pour notre relèvement γ(t), on peut tout simplement prendre γ(t).

46 40 Chapitre 2. Connexions Définition On dit que γ(t) est une géodésique si γ(t) γ(t) = 0. Ceci signifie que le champ de vecteurs vitesse γ(t) est constant covariant. Dans les coordonnées locales (x 1,..., x n ), notons (x 1 (t),..., x n (t)) les composantes de la courbe γ(t). Puisque = d + Γ k ij dx k, la condition de géodésicité donne lieu à un système d équations différentielles ordinaires ẍ k (t) + Γ k ijγ(t)ẋ i (t)ẋ j (t) = 0. Une conséquence de l existence et de l unicité de la solution de cette équation différentielle implique que pour tout vecteur v T x M, il existe une unique courbe géodésique γ v (t) avec γ v (0) = x et γ v (0) = v. Cette géodésique vérifie γ λv (t) = γ v (λt) pour toute constante λ (encore une conséquence de l unicité). Corollaire Soit u T x M un vecteur unitaire (pour une métrique riemannienne). Pour λ assez petit, la géodésique γ λu (t) est définie en t = 1. Définissons une application T x M M sur un voisinage de 0 T x M en posant v γ v (1). Cette application est appelée exponentielle et notée exp(v). Un résultat de géométrie riemannienne nous assure du fait que l exponentielle réalise un difféomorphisme entre un voisinage de 0 dans T x M et un voisinage de x dans M. La démonstration repose sur le théorème des fonctions implicites. On vérifie que la différentielle de l application D 0 (exp) : T 0 (T x M) T x M est l identité. Ceci définit des coordonnées géodésiques. Lemme Γ k ij s annule en x dans les coordonnées géodésiques. Idée de la démonstration. Pour v T x M, on commence par évaluer (Γ k ij dx k)(v) en utilisant la géodésique γ v (t) le long de v. Puis on utilise l équation géodésique en remarquant que dans les coordonnées géodésiques γ v (t) = tv = (x 1 (t),..., x n (t)) Torsion d une connexion sur le fibré tangent Définition et premières propriétés. Définition La torsion d une connexion sur le fibré tangent T M d une variété M de dimension n est le champ de tenseurs τ défini par τ(x, Y ) = X Y Y X [X, Y ] Ω 0 ( 2 (T M) T M) pour tous champs de vecteurs X, Y T M. Il n est pas du tout clair que τ est bien un élément de Ω 0 ( 2 (T M) T M). En fait τ(x, Y ) b ne dépend que des valeurs de X b et Y b. Ceci prouve que τ b 2 T b M T bm. On vérifie que si f est une fonction, alors τ(fx, Y ) = fτ(x, Y ). Que mesure la torsion? Pour les cadres { x i } pour T M et {dx i } pour T M, on constate que ( ) ( ) ( ) τ, = = (Γ k ji Γ k x i x j x i x j x j x ij). i x k Donc τ s écrit τ = τijdx k i dx j x k

47 2.9 Torsion d une connexion 41 avec τ ij = Γ k ij Γk ji. Si τ = 0, alors la connexion a des symboles de Christoffel symétriques. Remarque Étant donnée une connexion, si τ 0 alors on peut modifier afin d obtenir une nouvelle connexion vérifiant τ = 0. La modification est définie comme suit. Nous avons Ω 1 (End(T M)) = Ω 0 (T M End(T M)) et T M End(T M) T M (T M T M) (T M T M ) T M. Puisque 2 (T M) T M T M, la torsion vérifie τ Ω 1 (End(T M)). Alors la connexion = 1 2τ est de torsion nulle Connexion de Levi-Civita. Soit g une métrique sur le fibré tangent T M d une variété M. On peut demander à ce qu une connexion sur T M M soit compatible avec la métrique. D après notre discussion sur les connexions orthogonales, ceci s exprime par la condition g = 0. Proposition Soit g une métrique sur le fibré tangent T M d une variété M. Il existe une unique connexion, appelée connexion de Lévi-Civita et notée lc, sans torsion et vérifiant lc g = 0. Démonstration. Plaçons-nous dans des coordonnées locales {x 1,..., x n }. Écrivons g = gij dx i dx j dans le cadre local {dx i } pour T M. En posant avec g jl,i = Γ k ij = 1 2 g 1 kl (g jl,i g ij,l + g li,j ) x i (g jl ), nous obtenons la connexion désirée. Lemme On a Alt( lc ) = d, où Alt est l opérateur «forme alternée».

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49 CHAPITRE 3 CLASSES CARACTÉRISTIQUES D UN FIBRÉ VECTORIEL 3.1. Classes caractéristiques d un fibré vectoriel Motivation. Rappelons que pour tout fibré vectoriel E B de rang n, nous avons une connexion D : Ω 0 (E) Ω 1 (E) avec D(fs) = df s + fds. Dans un cadre local {e i }, une section a pour expression s = s i (x)e i (x) (s 1,..., s n ) t et D = d + ω. Ainsi Ds = d(s 1,..., s n ) t + ω(s 1,..., s n ) t. La connexion s étend pour définir un dérivée covariante Ω 0 D (E) Ω 1 D (E) Ω 2 D (E). La courbure de D est F = D 2 et a pour expression F ω = dω + ω ω dans un cadre local. Nous allons construire les classes caractéristiques d un fibré vectoriel E B comme éléments de H (B) ; on se restreint à des classes dans H (B, R) ou H (B, C) puisqu elles seront obtenues à partir de formes différentielles. Il y a deux approches pour construire les classes caractéristiques : 1. (Abstraite) À l aide du fibré universel et de l espace classifiant, on peut écrire f (EG) = E EG B f Il suffit ensuite de définir les classes caractéristiques pour EG BG et d en prendre l image réciproque. 2. (Plus concrète) Utilisons la courbure d une connexion. On sait que localement F ω est une matrice de 2-formes. Ainsi pour une fonction polynomiale P sur les matrices, on peut calculer P (F ω ) et obtenir une forme différentielle. Si cette forme est fermée, nous obtenons une classe [P (F ω )] dans la cohomologie de B. Si de plus cette classe est indépendante du choix (de la connexion et du cadre local), alors la classe est caractéristique du fibré. BG Nous étudierons ici la seconde approche. Nous avons besoin de : 1. Comprendre quels P conviennent. 2. Vérifier que les formes P (F ω ) sont fermées (sous-section 3.1.3). 3. Démontrer que [P (F ω )] H (B, R) est indépendent du cadre local ω (sous-section 3.1.2) et de la section D (sous-section 3.1.4).

50 44 Chapitre 3. Classes caractéristiques 4. Prouver qu elles sont caractéristiques (sous-section 3.1.5), au sens où «des fibrés isomorphes ont mêmes classes caractéristiques». Plus généralement, nous verrons que les classes se comportent de façon naturelle sous les morphismes de fibrés. Plus précisément si E h E B f B (de sorte que E f (E )), alors f (classes de E dans H (B )) = classes de E dans H (B). Nous appellerons classe caractéristique la classe de cohomologie P (E) = [P (D)] pour n importe quelle connexion D de E, pour un polynôme P convenable fixé. Le choix du type de polynôme amène aux classes de Chern (sections 3.2 et 3.4), de Todd (section 3.3), de Pontrjagin (section 3.5) et d Euler (section 3.6) Indépendance par rapport au cadre. Soient ω α une 1-forme connexion et F α une 2-forme courbure locales dans {e α i } ; de même, soient ωβ une 1-forme connexion et F β une 2-forme courbure locales dans {e β i }. Les fonctions de transition dans le cadre local sont notées g αβ : U α U β G. Ici G est le groupe de structure du fibré ; c est par exemple GL(n, R) ou O(n) dans le cas de fibrés réels et GL(n, C) ou U(n) dans le cas de fibrés complexes. Ainsi e α i et F α = g αβ F β g βα. Supposons que l on ait une fonction polynomiale = (g αβ ) ji e β j P : Mat n R (ou C). Par abus de langage, nous emploierons le terme de «polynôme» pour P. Pour que P (F α ) soit indépendant du cadre local, il nous faut vérifier que P (A 1 BA) = P (B) pour tout A G. Exemple Voici des polynômes classiques sur les matrices : A det(a) = σ ( 1) σ A 1σ(1) A nσ(n) (degré n) A Tr(A) = i A ii (degré 1) A Tr(A 2 ) = i,j A ija ji (degré 2). Remarque On peut également définir P (A) pour A à valeur dans les formes quelconques à l aide du produit extérieur. Définition Soit P : Mat n C un polynôme. Si P (A 1 BA) = P (B) pour tout A GL(n, C), on dit que P est un polynôme GL(n, C)-invariant. Remarque La classification de tous ces polynômes est fondamentale dans la théorie des classes caractéristiques. Par conséquent, si P est un polynôme GL(n)-invariant et F α une description locale de la courbure, alors P (F α ) est une forme globale sur B bien définie et notée P (D). De plus P (F α ) 2m (B) si m = deg(p ).

51 3.1 Classes caractéristiques d un fibré vectoriel Les formes sont fermées. La démonstration du théorème suivant est l objet de cette sous-section. Théorème Soient P un polynôme GL(n)-invariant et D une connexion sur un fibré vectoriel E B. Alors dp (D) = 0. Supposons que P (F ) est homogène de degré m. Lemme Il existe une application multi-linéaire et symétrique Mat n Mat n F définie par (A 1,..., A m ) P (A 1,..., A m ) et appelée polarisation de P, telle que P (A) = P (A,..., A). Plus précisément, développons P ( m i=1 t ia i ). Alors la polarisation de P est P (A 1,..., A m ) = 1 m! ( coefficient du terme en t 1 t m ). Exemple Si P (A) = Tr(A 2 ), alors P (A 1, A 2 ) = 1 2 Tr(A 1A 2 + A 2 A 1 ) puisque Tr(t 1 A 1 + t 2 A 2 ) 2 = t 2 1 Tr(A2 1 ) + t 1t 2 Tr(A 1 A 2 + A 2 A 1 ) + t 2 2 Tr(A2 2 ). *****A REVOIR EN UTILISANT LE LEMME 10 DE MICHELE VERGNE***** Ainsi dp (F ) = d(p (F,..., F )) = P (df, F,..., F ) + P (F, df, F,..., F ) + + P (F,..., F, df ) = mp (df, F,..., F ). Mais l identité de Bianchi implique df + [ω, F ] = 0, donc df = [ω, F ] = [F, ω]. D où dp (F ) = mp ([ω, F ], F,..., F ). Afin d évaluer dp (D) en x 0 B, plaçons-nous dans un cadre convenable. Lemme On peut choisir un cadre tel que ω(x 0 ) = 0. Démonstration du lemme Supposons que D = d+ω et ω(x 0 ) 0 dans un cadre local {e i } défini sur U. Soit e i = h ije j un autre cadre, où (h ij ) : U GL(n). Alors ω = h 1 ω h+h 1 dh dans {e i }. Supposons que l on puisse trouver une matrice h ij telle que (3.1.1) { h(x0 ) = I, dh(x 0 ) = ω(x 0 ). Alors ω (x 0 ) = ω(x 0 ) ω(x 0 ) = 0, et le lemme est démontré. Nous devons ainsi trouver h : U GL(n) ayant les deux propriétés (3.1.1). Plaçons-nous dans des coordonnées locales (y 1,..., y n ) dans lesquelles x = (0,..., 0). Définissons h(y) = I y i ω i avec ω = ω i dy i. Alors dans un voisinage convenable de 0 nous avons det(h(y)) 0, c est-à-dire h(y) GL(n). Le lemme nous permet d affirmer que et le théorème est démontré. dp (D) = 0,

52 46 Chapitre 3. Classes caractéristiques Indépendance par rapport à la connexion. La démonstration du théorème suivant est l objet de cette sous-section. Son principe est dû à Quillen. Théorème Soit P une fonction polynomiale GL(n)-invariante de degré m sur un fibré vectoriel E B. Si D 0 et D 1 sont deux connexions, alors [P (D 0 )] = [P (D 1 )] dans H (B) ; plus précisément, il existe une forme T P (D 0, D 1 ) telle que P (D 0 ) P (D 1 ) = d(t P (D 0, D 1 )). Définissons D t = td 1 + (1 t)d 0 (t [0, 1]). C est une connexion pour tout t [0, 1], puisque si D 1 = D 0 + θ avec θ Ω 1 (End(E)) alors D t = D 0 + (tθ) = D 0 + θ t. Soient θ α et Ft α les expressions de θ et F t dans un cadre local. Ainsi θ α est une matrice de 1-formes et Ft α est une matrice de 2-formes. Remarque P (θ α, Ft α,..., F t α (2m 1)-forme. ) est bien définie pour tout expression locale ; c est une On a (3.1.2) P (D 1 ) P (D 0 ) = 1 0 d dt P (F t,..., F t ) dt et d dt P (F t,..., F t ) = mp ( F t, F t,..., F t ). La connexion D t = D 0 + tθ a pour courbure F t = D t D t = D t(d 0 θ + θd 0 ) + t 2 θ θ. En fait, on peut démontrer que F t = D 0 + td 0 θ + t 2 θ θ. Lemme Posons T P (D 0, D 1 ) = m 1 0 P (θ, F t,..., F t ) dt et θ = D 1 D 0. Alors (3.1.3) 1 0 d dt P (F t,..., F t ) dt = d(t P (D 0, D 1 )). Une fois que nous aurons démontré ce lemme, alors en comparant (3.1.2) et (3.1.3) nous aurons le théorème Remarque Puisque θ Ω 1 (End(E)), on peut évaluer P (θ, F t,..., F t ) en fixant un cadre local et en utilisant une expression locale de θ et F t. D après l invariance de P et les propriétés de transformation des sections de End(E), l expression P (θ, F t,..., F t ) est indépendante du cadre local. Démonstration du lemme Supposons que selon un cadre local D 0 = d + ω 0, D 1 = d + ω 1, θ = ω 1 ω 0. Alors D t = d + ω 0 + tθ = D + ω t pour ω t = ω 0 + tθ. Donc F t = dω t + ω t ω t et F t = d ω t + ω t ω t + ω t ω t. Afin d évaluer P ( F t, F t,..., F t ) en (t 0, x 0 ), fixons un cadre local tel que ω t0 (x 0 ) = 0. Rappelons que l identité de Bianchi nous assure également de la nullité de df t0 (x 0 ). En x 0, on obtient Par conséquent 1 0 F t0 = d ω t0 = dθ. d dt P (F t,..., F t ) dt = m 1 0 P (dθ, F t,..., F t ) dt.

53 3.2 Classes de Chern d un fibré vectoriel complexe 47 Puisque P est multi-linéaire, nous obtenons dp (θ, F t0,..., F t0 ) = P (dθ, F t0,..., F t0 ) + (m 1)P (θ, df t0,..., F t0 ). L évaluation dans le cadre spécial décrit ci-dessus implique d(p (θ, F t0,..., F t0 )) = P (dθ, F t0,..., F t0 ), d où 1 ( d 1 ) dt P (F t,..., F t ) dt = d m P (θ, F t,..., F t ) dt. 0 0 Exemple Si P 1 (A) = Tr(A), alors P (D 1 ) P (D 0 ) = d 1 0 Tr(θ) dt = d Tr(θ). 2. Si P 2 (A) = Tr(A 2 ), alors T P 2 (D 0, D 1 ) = d 1 0 Tr(θF t + F t θ) dt = 2d 1 0 Tr(θF t) dt Naturalité et homomorphisme de Chern-Weil. L ensemble I GLn des polynômes GL n -invariants sur Mat n est muni d une structure d anneau pour l addition et la multiplication, d où un morphisme d anneaux I GLn H (B; F) défini par P [P (E)] et appelé homomorphisme de Chern-Weil. Remarque Si E admet une connexion plate (c est-à-dire une connexion D telle que F D = 0), alors [P (E)] = 0 pour tout P. Puisque tout fibré trivial vérifie [P (E)] = 0 et qu il existe des fibrés plats non triviaux, il existe des fibrés ayant même classes caractéristiques mais qui sont pas isomorphes. Soient E B un fibré et f : B B une application lisse. Le fibré f (E ) = E B satisfait au diagramme E E B f B Pour tout polynôme GL n -invariant P, nous avons [P (E)] H (B; F) et [P (E )] H (B ; F) ; vérifions que ces deux classes sont reliées, c est-à-dire [P (E)] = f [P (E )]. Étant donnée une connexion D sur E, définissons la connexion tirée en arrière D = f (D ) sur E. Puisque F = f (F ), on obtient [P (E)] = f [P (E )] par définition Classes de Chern d un fibré vectoriel complexe Définition et premières propriétés. Rappelons qu étant donné un fibré vectoriel E B et un polynôme GL n -invariant P, on peut définir des classes de cohomologie [P (E)] H (B; F) (pour F = R ou F = C). Étudions de façon plus systématique les polynômes GL(n, C)-invariants. La question est de déterminer des conditions sur les polynômes P : Mat(n, C) C invariants sous la conjugaison par des éléments de GL(n, C). Considérons l ensemble des matrices diagonalisables DIAG = {A Mat(n, C) ; A est diagonalisable} = {gag 1 ; A diagonale et g GL(n, C)}. Si P est un polynôme GL(n, C)-invariant et A DIAG,

54 48 Chapitre 3. Classes caractéristiques alors par définition λ λ... 2 P (A) = P λn λ n où les λ i sont les valeurs propres de A. Ainsi P ne dépend que des λ i, et sera noté P (λ 1,..., λ n ). Lemme P (λ 1,..., λ n ) est une fonction symétrique en les λ i dès que A est diagonalisable. Démonstration. En conjugant soigneusement dans GL(n, C), on peut permuter les λ i. Puisque P est invariant par chacune de ces conjugaisons, il doit être invariant par permutation des λ i. Exemple ( λ1 0 0 λ 2 ) = ( ) ( λ2 0 0 λ 1 ) ( Les polynômes symétriques sont engendrés par les polynômes symétriques élémentaires σ 0 (λ 1,..., λ n ) = 1, n σ 1 (λ 1,..., λ n ) = λ i, i=1 σ 2 (λ 1,..., λ n ) = i j λ i λ j, ). σ n (λ 1,..., λ n ) = λ 1 λ 2 λ n. Plus précisément, tout polynôme symétrique peut s écrire Q(σ 0 (λ 1,..., λ n ),..., σ n (λ 1,..., λ n )) pour un polynôme Q. Exemple n n λ 2 i = ( i=1 i=1 λ i ) 2 2( i j. λ i ) = σ 2 1 2σ 2. Remarque Soit 1 + λ λ... 2 P (A) = det(i+a) = det = λn λ n Alors les σ i sont les composantes homogènes de P (A). Jusqu ici, le corps de base (R ou C) est indifférent. n (1+λ i ) = 1+σ 1 + +σ n. i=1

55 3.2 Classes de Chern d un fibré vectoriel complexe 49 Définition Les classes de Chern du fibré vectoriel complexe E sont définies par c k (E) = [σ k ( i 2π F )], où F est la courbure d une connexion D sur E. Ce sont les composantes homogènes de la classe de Chern totale c(e) = [det(i + i 2π F )]. La classe c k(e) est dite k-ième classe de Chern de E. Il nous reste à comprendre pourquoi on peut se ramener aux matrices diagonalisables. C est le point de divergence entre les cas réel et complexe. 1. L ensemble des matrices diagonalisables est dense dans l espace des matrices. Si A Mat n, i alors il existe une suite de matrices A i DIAG telles que A i A. Puisque les polynômes invariants sont des fonctions continues, on peut évaluer P (A i ) i P (A). 2. Tout fibré complexe E B peut être muni d un produit scalaire hermitien. Ainsi, on peut choisir une connexion compatible D et donc de courbure F anti-hermitienne (c est-àdire F + F = 0). Un résultat général d algèbre affirme que si AA = A A, alors A est diagonalisable. Par conséquent F est diagonalisable. On peut donc se restreindre aux matrices diagonalisables lorsque l on veut évaluer c k. Une matrice A u(n) = Lie(U(n)) est diagonalisable dans une base unitaire (c est-à-dire conjuguée par T U(n)), donc nous pouvons restreindre notre étude aux polynômes U(n)-invariants sur u(n). Lemme Les classes de Chern sont des classes de cohomologie réelle, c est-à-dire c j (E) H 2j (B, R). Plus précisément, pour tous X 1,..., X 2j Ω 0 (T B) on a c j (E)(X 1,..., X 2j ) R. Démonstration. Si F + F = 0, alors i 2π F = ( i 2π F ). Donc det(i + i 2π F ) = det(i + i 2π F ). Par conséquent c j (E) = c j (E) pour tout j. De façon explicite, si c j (E) = [ γ I dx i1 dx i2j ] alors γ I = γ I. 1 Remarque Nous avons incorporé des facteurs 2π valeurs entières, c est-à-dire c k (E) H 2k (B; Z) (admis). afin que les classes c k(e) soient à Exemple Pour un fibré en lignes γ P 1, la fibre γ [z0,z 1] au-dessus de [z 0, z 1 ] est la ligne passant par (z 0, z 1 ). On a c 0 (γ) = det(i) = 1 et c 1 (γ) = Tr( i 2π F ) = i 2π F H2 (P 1, R). (D une manière générale c j (E) est définie pour j min( 1 2 dim(b), Rang(E)).) Nous démontrerons plus loin que c 1 (γ) = c 1 (γ) [P 1 ] = 1. P 1 Proposition Nous avons c 0 (A) = det I = 1, ( i ) c 1 (A) = Tr 2π A,.. c n (A) = det(a).

56 50 Chapitre 3. Classes caractéristiques Esquisse de la démonstration. Si l on fait le calcul pour I + i 2π A diagonale avec I + i 1 + x 1 2π A = x n où x i = i 2π λ i et où les λ i sont les valeurs propres de A, alors ( det I + i ) n 2π A = + x i ) = 1 + i=1(1 x i + n x i x j + + x i. i i j i=1 Il s ensuit que ( det I + i ) ( i ) ( i ) 2π F = 1 + Tr 2π F + + det 2π F Caractère de Chern. Définissons le caractère de Chern ch k (E) = 1 ( i ) k k! Tr 2π F (k = 0, 1, 2,...) et le caractère de Chern total ch(e) = ch k (E) = k=0 k=0 1 ( i ) ( k k! Tr 2π F = Tr k=0 ( i 2π F )k k! Lemme Nous avons c(e 1 E 2 ) = c(e 1 ) c(e 2 ) dans H (B, R). ) ( = Tr exp( i ) 2π F ). Démonstration. Soit D i une connexion sur E i (i = 1, 2). Posons D = D 1 D 2. Dans un cadre local, on obtient ( ) ( ) ω1 0 F1 0 ω = et F =. 0 ω 2 0 F 2 Par conséquent c(e) = c(e 1 E 2 ) = det ( I + i ) 2π F ( = det I 1 + i 2π F 1 = c(e 1 ) c(e 2 ). ( I1 + i = det ) ( det I 2 + i 2π F 2 2π F I 2 + i ) 2π F 2 ) Corollaire On peut extraire la valeur de c j (E) de la formule ( n 1+n 2 n1 ) ( n2 ) c j (E) = c i (E 1 ) c k (E 2 ). Par exemple j=0 i=0 c 1 (E) = c 1 (E 2 ) + c 1 (E 1 ), k=0 c 2 (E) = c 2 (E 1 ) + c 1 (E 1 )c 1 (E 2 ) + c 2 (E 2 ),.

57 3.2 Classes de Chern d un fibré vectoriel complexe 51 Lemme Nous avons ch(e 1 E 2 ) = ch(e 1 ) + ch(e 2 ), d où ch k (E 1 E 2 ) = ch k (E 1 ) + ch k (E 2 ). Démonstration. Puisque D = D 1 + D 2, nous obtenons ( Tr exp( i ) ( exp( i 2π F ) = Tr 2π F ) 1) 0 ( 0 exp( i 2π F = Tr exp( i ) ( 2) 2π F 1) + Tr exp( i ) 2π F 2) Classes de Chern du fibré dual. Sur notre fibré vectoriel complexe E B, fixons une connexion compatible D, de courbure F. Soit E le fibré dual de E. Notons D la connexion sur E telle que ω = ω t. Ainsi F = dω + ω ω = dω t + ω t ω t. Puisque ω est une matrice de 1-formes, on a ω t ω t = (ω ω) t. Donc D a pour courbure F = F t. Il s ensuit que ( c(e ) = det I i ) t ( 2π F = det I i ) 2π F = c k (E ) = ( c k i ) 2π F = ( i ) ( 1) k c k 2π F. k k k Ainsi c k (E ) = ( 1) k c k (E) Relations entre les classes de Chern c k et les caractères de Chern ch k. On a ch k (F ) = Tr(F ) k, d où ( i ) 0 ch 0 (E) = Tr 2π F = Tr(I) = Rang(E), ( i ) 1 ch 1 (E) = Tr 2π F = c1 (E), ( i ) 2, ch 2 (E) = Tr 2π F i. Si les valeurs propres de 2π F sont x 1,..., x n, alors ch 2 (E) = 1 n x 2 i 2 = 1 ( n ) 2 ( ) x i x i x j = c 1(E) 2 c 2 (E). i=1 i=1 En utilisant ce processus, on calcule la valeur de n importe quel caractère ch k (E) en fonction des classes c j (E) D autres propriétés des caractères de Chern. Proposition Nous avons ch(e 1 E 2 ) = ch(e 1 ) ch(e 2 ). Démonstration. Étant donnée une connexion D i sur E i (i = 1, 2), on peut définir une connexion D = D 1 I 2 + I 1 D 2 de courbure F D = F 1 I 2 + I 1 F 2 sur E 1 E 2. En utilisant Tr(A B) = Tr(A) Tr(B), on obtient le résultat. i<j

58 52 Chapitre 3. Classes caractéristiques Remarque (K-théorie). Fixons une base B et soit Vect(B) l ensemble des classes d isomorphisme de fibrés complexes sur B. Les deux opérations E 1 E 2 et E 1 E 2 munissent Vect(B) d une structure d anneau. On peut démontrer qu alors ch : Vect(B) H (B, R) est un isomorphisme d anneaux. Remarque Pour un fibré en lignes complexe L B, les seules classes de Chern non nulles sont Ainsi la classe de Chern totale est c 0 (L) = 1 et c 1 (L) H 2 (B, R). c(l) = 1 + c 1 (L). Donc pour la somme E = L 1 L 2 L n de n fibrés en lignes complexes, nous avons n c(e) = c(l 1 )c(l 2 ) c(l n ) = (1 + c 1 (L i )). Nous récupérons alors les classes de Chern de E grâce aux formules n c 1 (E) = c 1 (L 1 ), c 2 (E) = c 1 (L i )c 1 (L j ),... c n (E) = i=1 i j i=1 n c 1 (L i ). Exemple Soit E = L 1 L 2 L n la somme de n fibrés en lignes complexes. Alors : 1. Si c 1 (L i ) = 0 pour un i, alors c n (E) = Si c 1 (L 1 ) = c 1 (L 2 ) = = c 1 (L k ) = 0, alors c j (E) = 0 pour tout j > n k. i= Classe de Todd et caractéristique d Euler d un fibré vectoriel complexe Classe de Todd d un fibré vectoriel complexe. La classe de Chern totale est définie à l aide du polynôme ( c(a) = det I + i ) n 2π A = (1 + x i ), où les x i sont les valeurs propres de i 2π A. Le caractère de Chern total est quant à lui défini à l aide du polynôme ( ch(a) = Tr exp( i ) n 2π A) = exp(x i ). Une autre classe importante d un fibré vectoriel complexe est définie à l aide de n x j Td(A) = 1 e. xj j=1 Cette série s achève en degré 1 2 dim(b) lorsqu on l applique à la courbure F, donc on peut définir la classe de Todd en posant Td(E) = [Td(F )]. On vérifie que l on a Td(E) = c 1(E) (c2 1 (E) + c 2(E)) + Cette classe apparaît dans le théorème de Riemann-Roch. i=1 i=1

59 3.4 Classes caractéristiques d un fibré vectoriel réel Caractéristique d Euler. Le polynôme d Euler-Poincaré d une variété M est f M (t) = p b pt p, où b p = dim(h p (M)) est le p-ième nombre de Betti. La caractéristique d Euler χ M de la variété M est alors χ M = p b p( 1) p = f M ( 1). Proposition ([2] page 415). Lorsque la base B et la fibre F d un fibré E B sont compactes, on a χ E = χ B χ F. ATTENTION : PAS DE VRAIE DEFINITION DE LA CARACTERISTIQUE D EULER. Dans [2] pages , la caractéristique d Euler de E B est définie comme étant celle de E. On peut éventuellement avoir une fibre F compacte (exercice 1 page 414). Dans le poly, elle n est pas définie explicitement ; sa définition semble (?) plus compliquée (version «fibré»). DEMANDER A MICHELE VERGNE QUELLE EST LA «VRAIE» DEFINITION. Pour un fibré holomorphe E B de rang r au-dessus d une variété complexe B, nous avons un entier χ(e) = version «fibré» de la caractéristique d Euler d une variété = indice d un opérateur différentiel. Le théorème de Riemann-Roch relie cette quantité χ(e) (globale et topologique) aux classes caractéristiques : χ(e) = T d(t B) ch(e). B C est un exemple de théorème de l indice entre l indice (entier) d un opérateur différentiel Ω 0 (E 1 ) Ω 0 (E 2 ) et B (classes caractéristiques de T B). C EST QUOI CE «T X»? LE FIBRE NORMAL? Si B = X est une surface riemannienne (c est-à-dire dim C (X) = 1), alors Rang(T X) = 1 et Td(T X) = c 1(T X). Donc ( Td(T X) ch(e) = ) 2 c 1(T X) (r + c 1 (E)), d où finalement Td(T X) ch(e) = X Définition X ( ) 2 c 1(T X) (r + c 1 (E)) = c 1 (E) + r c 1 (T X). X 2 X 1. Le degré du fibré E est deg(e) = B c 1(E). 2. Le genre de la surface riemannienne X est l entier g tel que deg(t X) = 2 2g. Le théorème de Riemann-Roch est alors χ(e) = deg(e) + (1 g) Rang(E) Classes caractéristiques d un fibré vectoriel réel Le but de cette section est de définir des classes caractéristiques pour un fibré réel E R B de rang n.

60 54 Chapitre 3. Classes caractéristiques Classes de Chern d un fibré vectoriel réel. Nous allons complexifier E R et utiliser le travail précédent pour les fibrés complexes. Rappelons que le complexifié de l espace vectoriel réel V R est le C-espace vectoriel V C = V R C. Si dim R (V R ) = n, alors dim C (V C ) = n ; plus précisément si {v 1,..., v n } est une R-base de V R alors {v 1,..., v n } est une C-base de V C. Pour un fibré réel E R de rang n, on peut construire un fibré complexifié E C := E R C comme suit. Si E R = α U α R n /{g αβ } où g αβ : U α U β GL(n, R), alors E C = E R C = α U α C n /{g αβ } où g αβ : U α U β GL(n, R) GL(n, C). En tant que fibrés réels, nous avons E C = E R E R. On peut ainsi définir les classes caractéristiques pour E R comme étant P (E R ) P (E C ) pour tout polynôme GL(n, C)-invariant P. Ainsi on définit la classe caractéristique du fibré vectoriel réel E R en posant c k (E R ) := c k (E C ) H 2k (B, R). Remarque Un fibré complexe peut se réaliser comme un fibré réel (de dimension double) ; l injection GL(n, C) GL(2n, R) le munit de fonctions de transition réelles. Lemme Pour k impair, on a c k (E R ) = 0. Démonstration. Étant donné un fibré complexe E C, construisons le fibré conjugué E C de la façon suivante. Si les fonctions de transition de E C sont notées g αβ GL(n, C), alors on définit E C à l aide des fonctions de transition g αβ GL(n, C). Le fibré conjugué jouit des propriétés suivantes. Théorème Si E C = E R C, alors E C = E C. 2. Pour tout fibré complexe E C, nous avons c k (E C ) = ( 1) k c k (E C ). Démonstration. Pour toute connexion D sur E C, on a une connexion D sur E C de courbure F D = F D. Il s ensuit que i F D = (i F D ). Ainsi c k (E R ) = ( 1) k c k (E R ) = ( 1) k c k (E R ), ce qui achève la démonstration du lemme. Donc les seules classes (éventuellement) non nulles sont les c 2k (E R ) H 4k (B, R) Polynômes GL(n, R)-invariants des classes caractéristiques réelles. Nous allons étudier les polynômes GL(n, R)-invariants sur Mat n (R). Il est plus facile d étudier les polynômes O(n)-invariants sur o(n) = {A ; A t + A = 0}. Fixons une métrique riemannienne sur E R et plaçons-nous dans un cadre orthonormal. Choisissons une connexion orthogonale D. Sa courbure F est à valeurs dans o(n) et les fonctions de transition sont à valeurs dans O(n). Par conséquent, pour tout polynôme O(n)-invariant P : o(n) R on peut définir [P ( 1 2π F )] H (B, Z). Cherchons des conditions sur ces polynômes P. Une matrice A non nulle vérifiant A + A t = 0 ne peut pas être diagonalisée. En effet, sinon ses valeurs propres λ i vérifient λ i = λ i et sont nulles (ce qui entraîne la nullité de A). Par contre A

61 3.4 Classes caractéristiques d un fibré vectoriel réel 55 est conjuguée (par une matrice T O(n)) à 0 λ 1 λ λ k λ k 0 ou à 0 λ 1 λ λ k λ k 0 (si n = 2k) (si n = 2k + 1) Il suffit donc d évaluer les polynômes P sur de telles matrices A. Écrivons P (λ 1,..., λ n ) = P 0 λ 1 λ λ 2 λ Le point essentiel est que toute matrice A o(n) est conjuguée à A 1... A k ou à A 1... A k 0 type I (n pair) type II (n impair) où A i est le bloc 2 2 A i = ( 0 λi λ i 0 ). Plus précisément, il existe T O(n) telle que T 1 AT ait la forme ci-dessus. Puisque P est invariant, nous avons P (A) = P (T 1 AT ). Donc on peut exprimer P comme polynôme en les λ i, c est-à-dire P (A) = P (λ 1,..., λ n ). Lemme Le polynôme P est invariant sous l action λ i λ i. 2. Le polynôme P est symétrique en les variables λ 1,..., λ n. Corollaire Le polynôme P est symétrique en les {λ 2 i }. Démonstration. Pour permuter λ i et λ i, il suffit de conjuguer par la matrice diagonale par blocs T = DIAG(I 2,..., I 2, J, I 2,..., I 2 ) de i-ième élément diagonal la matrice J = ( ) M 2 (R)

62 56 Chapitre 3. Classes caractéristiques et où I 2 est la matrice identité 2 2. Pour permuter les {λ 1,..., λ n }, par exemple λ 1 λ i, on utilise des matrices de permutation de blocs 2 2 : 0 I 2 I 2... T = I 2. I 2 0 I 2... Corollaire Si m = deg(p ), alors P peut s écrire P (λ 1,..., λ k ) = Q(σ 1 (λ 2 1,..., λ 2 k),..., σ m/2 (λ 2 1,..., λ 2 k)) pour un polynôme Q et où les σ i sont les polynômes symétriques élémentaires Classes de Pontrjagin P k (E) d un fibré vectoriel réel Soit E B un fibré vectoriel réel. Définition Pour une matrice A conjuguée à l une des matrices I ou II ci-dessus, définissons le polynôme P k (A) = σ k (λ 2 1,..., λ 2 k ). La k-ième classe de Pontrjagin de E est la classe P k (E) = [P k ( 1 2π F )] H4k (B; R), où F est la courbure de n importe quelle connexion sur E. On vérifie comme précédemment (c est-à-dire comme pour les classe de Chern d un fibré complexe) que P k (E) = [P k ( 1 2π F )] définit une classe caractéristique. On démontre que si F + F t = 0, alors det(i + 1 2π F ) = k P k( 1 2π F ) Relation entre les classes de Pontrjagin P k (E R ) et les classes de Chern c 2k (E C ). Soit E C = E R C la complexification de E R. Proposition P k (E R ) = ( 1) k c 2k (E C ). Démonstration. Fixons une métrique sur E R. Soit {e α i } un cadre orthonormal pour E R, dans lequel les fonctions de transition g αβ sont à valeurs dans O(n). Grâce à l inclusion GL(n, R) GL(n, C), nous avons O(n) U(n). Ainsi, on peut voir {e α i } comme un cadre unitaire pour E C. Soit D = d + ω la description locale d une connexion orthogonale D sur E R, de sorte que ω est à valeurs dans o(n). L inclusion Mat n (R) Mat n (C) implique que la matrice ω peut être vue comme anti-hermitienne, c est-à-dire à valeurs dans u(n) ; notons-la ω C. Alors d+ω C est maintenant l expression locale d une connexion unitaire sur E C. La courbure F R de ω est à valeurs dans o(n) ; elle est conjuguée par O(n) à une matrice de type I ou II. Notons F C la courbure de ω C. Alors F C est à valeurs dans u(n) et est conjuguée par U(n) à une matrice diagonale de valeurs propres complexes µ i. Par conséquent ( λ 2 ) P k (E R ) = σ 1 k 2π,..., λ2 m 2π et ( i C 2k (E C ) = σ k 2π µ i ) 1,..., 2π µ m.

63 3.6 Classes de Pontrjagin d un fibré vectoriel réel 57 Ce résultat est améliorable. Remarquons que F C est conjuguée à une matrice de la forme iλ 1 iλ iλ m iλ m Ceci découle du fait qu en rang 2 ( ) 0 λ est conjuguée à λ 0 ( iλ 0 0 iλ ) grâce à la matrice ( 1 1 i 2 i 1 ) U(2). Ainsi C 2k (E C ) = σ 2k ( i 2π (iλ 1), i 2π (iλ 1),..., i 2π (iλ m), i ) ( 2π ( iλ m) = σ 2k 1 2π λ 1, 1 2π λ 1,..., 1 2π λ m, 1 ) 2π λ m. La démonstration se ramène donc à démontrer que ( 1) k σ k (x 2 1,..., x 2 m) = σ 2k (x 1, x 1,..., x m, x m ), qui est une formule classique de théorie des polynômes symétriques Relation entre les classes de Pontrjagin P k (E r ) et les classes de Chern c k (E c ). Fixons un fibré complexe E c, de fibré réel sous-jacent E r obtenu en oubliant la structure holomorphe. Plus précisément, injectons GL(n, C) dans GL(2n, R) grâce à l identification C n R 2n. Dans le cas n = 1, ceci signifie ( ) x y (z) y x où z = x + iy. L expression est similaire en dimension supérieure. Si E c = ( U α C n )/g αβ alors E r = ( U α R 2n )/g r αβ, où g r αβ est l analogue réel de g αβ obtenu par l inclusion GL(n, C) GL(2n, R). Comme pour tout autre fibré vectoriel réel, définissons la classe de Pontrjagin de E r. Cherchons à relier les classes P k (E r ) et c k (E c ). Pour ce faire, remarquons que E r C et E c ne sont pas isomorphes, puisque E c est de rang complexe n alors que E r C est de rang complexe 2n. Par contre E r C E c Ēc en tant que fibrés complexes. Par conséquent P k (E r ) = ( 1) k c 2k (E r C) = ( 1) k c 2k (E c Ēc). Il s ensuit que ( 1) k P k (E r ) = c 2k (E c Ēc). k k Puisque c l (Ē) = ( 1)l c l (E), on obtient c 2k+1 (E Ē) = 0. Donc ( 1) k P k (E r ) = c k (E c Ēc) = c(e c Ēc) = c(e c )c(ēc). k k Cette relation permet d obtenir les classes de Pontrjagin P k (E r ) du fibré réel E r sous-jacent à E c en fonction des classes de Chern c k (E c ) de E c.

64 58 Chapitre 3. Classes caractéristiques 3.6. Classe d Euler d un fibré vectoriel réel Fibrés orientables. L image de l inclusion GL(n, C) GL(2n, R) est dans la composante connexe GL + (2n, R) de GL(2n, R) des matrices inversibles de déterminant strictement positif. Par conséquent, l image de U(n) est dans SO(2n). Exemple Le groupe U(1) s injecte dans SO(n) par ( ) cos(θ) sin(θ) e iθ. sin(θ) cos(θ) La remarque ci-dessus implique que si E c = ( U α C n )/g αβ et E r = ( U α R 2n )/gαβ r, alors det(gαβ r ) > 0. De façon similaire, si l on munit E c d une métrique alors g αβ est à valeurs dans U(n) et gαβ r est à valeurs dans SO(n). Définition Si T : R n R n est linéaire inversible et de déterminant strictement positif, on dit que c est une transformation préservant l orientation. De façon équivalente, si {e i } est un cadre de R n alors on dit que {e i } et {T e i } ont même orientation. Si det(g αβ ) > 0, alors on peut assigner une orientation aux fibres de E en utilisant les trivialisations du fibré. Par exemple, si ψ b : E b R n est un isomorphisme avec b U α alors {ψα 1 e i } est appelé un cadre de E b orienté positivement ; ici {e i } est le cadre standard de R n. Définition Un fibré E est orientable s il existe des fonctions de transition {g αβ } avec det(g αβ ) > 0. C est équivalent à trouver un cadre dans lequel les fonctions de transition sont à valeurs dans SO(n). Corollaire Le fibré réel E r (sous-jacent à un fibré complexe E c ) est toujours orientable. Supposons que E B est un fibré orientable ; ainsi les fonctions de transition peut être choisies de sorte à prendre leurs valeurs dans SO(n). Dans ce cas, il suffit de vérifier l invariance par conjugaison d un polynôme P : o(n) R uniquement pour des matrices T SO(n). Remarque Il existe des fibrés non orientables. Déterminer si un fibré donné est orientable est une question à laquelle nous nous intéresserons au chapitre 4. On peut se demander s il existe des polynômes P qui sont SO(n)-invariants mais pas O(n)- invariants. Si oui, alors ces fibrés définissent des classes caractéristiques pour les fibrés orientables que les fibrés non-orientables n ont pas. Nous allons démontrer qu en fait lorsque le rang du fibré est impair, la réponse est négative. Par contre lorsque le rang est pair il existe une nouvelle classe e(e), appelée classe d Euler. On a déjà vu que A est conjuguée sous O(n) à une matrice de l un des deux types I ou II et que P (A) = P (λ 1,..., λ n ), où P est un polynôme O(n)-invariant et symétrique en les {λ 2 i }. 1. (Cas n = 2) ( 0 λ λ 0 ) ( 0 λ λ 0 Mais det(t ) = 1, donc T O(n) \ SO(n). ) via T = ( ).

65 3.6 Classe d Euler d un fibré vectoriel réel (Cas n = 3) 0 λ 0 λ λ 0 λ Si l on choisit ε = 1, alors T SO(n). via T = ε, avec ε = ±1. D une manière générale, si n est impair alors l invariance sous SO(n) implique la symétrie sous {λ 2 i }, qui implique l invariance sous O(n). Par contre si n est pair cela n arrive pas. Lemme Si P est SO(n)-invariant, alors on peut écrire P sous la forme P = P 0 + P 1 avec des polynômes P 0 et P 1 tels que P 0 est O(n)-invariant et P 1 (gag 1 ) = (det(g))p 1 (A) pour tout g O(n) (donc P 1 est SO(n)-invariant). Démonstration. Fixons g 0 O(n) \ SO(n) et écrivons Alors P (A) = P (A) + P (g 0Ag0 1 ) 2 + P (A) P (g0ag 0 1 ). 2 P 0 (A) = 1 2 (P (A) + P (g 0Ag 1 0 )) et P 1(A) = 1 2 (P (A) P (g 0Ag 1 0 )) Classe d Euler. Commençons par examiner le cas de R 2m. Exemple Pour une matrice réelle A, définissons e(a) comme suit. Fixons une base {e i } orientée et orthonormale de R 2n. Si Ae i = A ji e j, posons α(a) = i<j A ij e i e j 2 (R 2m ). Si A est une matrice de type I, alors un calcul direct prouve que α(a) = m i=1 x ie 2i 1 e 2i. Posons e(a) = 1 m! (α(a)m, e 1 e 2m ) où (, ) est le produit scalaire sur 2m R 2m. Pour A de type I, on obtient α(a) m = m!(x 1 x 2 x m e 1 e 2m ), donc e(a) = x 1 x m. En particulier e(gag 1 ) = e(a) det(g) pour g O(n) et e 2 (A) = det(a). On peut démontrer que tout polynôme SO(n)-invariant s écrit P (A) = e(a) P (A), où P est un polynôme O(n)-invariant. Cet exemple motive la définition suivante. Définition Pour un fibré vectoriel réel orientable E B de rang n = 2m, la classe d Euler est e(e) = [e( 1 2π F )]. Ici F est la courbure de n importe quelle connexion orthogonale dans un cadre orthonormal orienté. Remarque Bien qu a priori e(e) H 2m (B; R), on a en fait e(e) H 2m (B; Z). 2. La classe d Euler se comporte bien avec la somme. Plus précisément e(e 1 E 2 ) = e(e 1 )e(e 2 ).

66 60 Chapitre 3. Classes caractéristiques Examinons maintenant le cas particulier du fibré réel E = E r sous-jacent à un fibré complexe E c. On sait que E r est orientable et que si E c est de dimension complexe m alors E r est de dimension réelle 2m. Cherchons à relier la classe d Euler e(e r ) de E r et la classe de Chern c m (E c ) de E c. Nous avons e 2 (A) = det(a) et det(i +A) = 1+ +det(a), donc e 2 (E r ) = P m (E r ). Par ailleurs m P k (E r )( 1) k = (1 + c 1 (E c ) + + c m (E c ))(1 c 1 (E c ) + + ( 1) m c m (E c )), k=0 donc P m (E r )( 1) m = ( 1) m c 2 m (E c), d où e 2 (E r ) = c 2 m (E c). Démontrons qu en fait e(e r ) = c m (E c ), où E r est muni de l orientation standard induite par E c. L orientation sur R 2m induite par une orientation de C m est obtenue comme suit. Choisissons une C-base {e a } m a=1 de Cm. Alors {e a, ie a } m a=1 est une R-base de R2m. L orientation sur R 2m est obtenue en déclarant que cette base est orientée positivement. Avec ce choix de cadres, l inclusion GL(m, C) GL(2m, R) donne lieu à Il s ensuit que iλ 1 2π... iλm 2π c m (E c ) = 0 λ1 2π λ 1 2π 0 m j=1... λ j 2π = e(e r). 0 λm 2π λ m 2π 0 Remarque Les signes ont été choisis afin que l égalité ait lieu. Si on change l orientation de E, alors e(e) change de signe. Nous étudierons ce phénomène dans la sous-section suivante Comportement de la classe d Euler lors du changement d orientation. Soit E B un fibré vectoriel réel orienté de rang n = 2m réalisé comme E = U α R n /{g αβ } avec g αβ : U α U β SO(n). Ainsi ψ α : E Uα Uα R n définit un cadre orienté. Afin de changer l orientation de E et d obtenir un fibré vectoriel Ẽ B de même rang que E, choisissons g 0 O(n) \ SO(n). Définissons un nouveau cadre ψ α : E Uα ψ α Uα R n 1 g0 U α R n. Les nouvelles fonctions de transition sont g αβ = g 0 g βα g0 1. D où le diagramme commutatif Remarque ψ α E Uα U β ψ β R n g βα g 0 R n R n g 0 R n g αβ =g 0 g βα g On a det( g βα ) = +1, donc g βα SO(n). 2. Utiliser ψ α pour définir une orientation sur les fibres donne lieu à l orientation opposée à celle obtenue par ψ α. Si F α est la courbure d une connexion D sur E pour le cadre local orienté et si F α est la courbure correspondante sur Ẽ, alors Fα = g 0 F α g0 1..

67 3.6 Classe d Euler d un fibré vectoriel réel 61 Ainsi ( 1 e(ẽ) = e 2π F ) ( α = e g 0 ( 1 ) ( 1 ) 2π F α)g0 1 = e 2π F α = e(e) Cas particulier du fibré tangent E = T M de M. Définition Une variété M est orientable si T M est orientable. 2. La classe d Euler d une variété orientable M est définie comme étant e(m) = e(t M). Remarque Soit M une variété orientable de dimension 2m et de classe d Euler e(m) H 2m (M, Z). On peut évaluer e(m) sur la classe fondamentale dans H 2m (M, Z), c est-à-dire sur la classe [M] H 2m (M, Z). Un théorème (admis) affirme que e(m)[m] = e(m) M = χ(m) = 2m k=0 ( 1) k b k (M), où χ(m) est la caractéristique d Euler de M et les b k (M) sont les nombres de Betti. C est un exemple de théorème de l index. Exemple Examinons le cas particulier dim(m) = 2. Une matrice anti-symétrique 2 2 est de la forme ( ) 0 a A =. a 0 Ainsi e(a) = (ae 1 e 2, e 1 e 2 ) = a, où {e 1, e 2 } est une base orientée de R 2. On obtient e(t M) = [e( 1 2π Ω)], où Ω est la courbure de la connexion de Lévi-Civita. Mais Ω s écrit sous la forme ( ) 0 w Ω =, w 0 où w est une 2-forme et donc un multiple de la forme de l aire sur M. Donc w = κda, d où e(t M) = 1 2π κda et ainsi 1 e(t M) = M 2π κ da. Finalement M χ(m) = 1 κ da. 2π M La fonction κ est appelée courbure de Gauss de la métrique sur M et cette équation est le théorème de Gauss-Bonet.

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69 CHAPITRE 4 ORIENTABILITÉ ET STRUCTURE SPINORIELLE 4.1. Détection de l orientabilité Soit E = U α R n /g αβ un fibré vectoriel avec pour fonctions de transition g αβ : U α U β O(n). On se demande si l on peut changer les trivialisations locales de sorte à ce que les nouvelles fonctions de transition g αβ soient dans SO(n). Pour ce faire, nous avons besoin de fonctions telles que si ψ α est définie par E Uα λ α : U α O(n) ψ α Uα R n λα U α R n, alors g βα = λ β g βα λ 1 α SO(n). Le diagramme suivant nous prouve que les g αβ sont bien des fonctions de transition : Définissons ψ α E Uα U β R n λ α ψ β g βα R n R n λ β R n g βα =λ β g βα λ 1 α { δαβ = det(g αβ ) : U α U β {±1} = Z/2Z, On constate que les {λ α } doivent vérifier Ainsi, on demande que l α = det(λ α ) : U α Z/2Z. 1 = δ αβ = det( g αβ ) = det(λ α g αβ λ 1 β ) = l α δ αβ l 1 β. δ αβ = l β l α. En écrivant δ αβ = e iπu αβ et l α = e iπvα avec u αβ, v α {0, 1} = Z/2Z, la question initiale se réduit à déterminer si étant donnée une famille {u αβ } on peut trouver une famille {v α } telle que u αβ = v β v α.

70 64 Chapitre 4. Orientabilité et structure spinorielle Remarque Nous ne nous intéressons qu à des {u αβ } qui proviennent de fonctions de transition, c est-à-dire satisfaisant à Id = g αβ g βγ g γα sur U α U β U γ, ce qui équivaut à vérifier 1 = δ αβ δ βγ δ γα, ou encore 0 = u αβ + u βγ + u γα. La question devient alors la suivante. Étant donnée {u αβ } telle que (4.1.1) u αβ + u βγ + u γα = 0 sur U α U β U γ, on recherche {v α } telle que (4.1.2) u αβ = v β v α. Nous verrons dans la section suivante que les équations (4.1.1) et (4.1.2) correspondent respectivement à la condition de fermeture et d exactitude sur une 1-cochaine de Čech Cohomologie de Čech Supposons que l on puisse trouver des transformations λ α : U α O(n) telles que sous ψ α E Uα Uα R n 1 λ α Uα R n, les nouvelles fonctions de transition g αβ = λ α g αβ λ 1 β vérifient det( g αβ ) = 1. Rappelons que la condition de cocycle u αβ + u βγ + u γα = 0 (fermé), la condition det( g αβ ) = 1 u αβ = v β v α (exact). Construisons la cohomologie de Čech à coefficients dans Z/2Z. Commençons par fixer un recouvrement {U α } α I «convenable» de B, c est-à-dire tel que toutes les intersections soient connexes et contractiles. 1. Définissons une 0-cochaine comme étant g (0) = {g α Z/2Z ; α I} (donc g (0) définit une application g (0) : I Z/2Z). 2. Définissons une 1-cochaine comme étant g (1) = {g αβ Z/2Z ; g αβ = g βα (= g βα Z/2Z) pour tous α β tels que U α U β }. 3. Définissons une j-cochaine comme étant g (j) = {g α0 α j Z/2Z ; g α0 α j antisymétrique pour les indices, pour des α i tous différents et tels que j U αi }. i=0 4. Soit Č(j) le groupe des j-cochaines pour l opération g (j) + f (j) = {(g + f) α0 α j = g α0 α j + f α0 α j }. 5. Soit enfin δ : Č(j) Č(j+1) définie en posant j+1 (4.2.1) (δg (j) ) α0 α j+1 = ( 1) i g (j) i=0 où α i signifie que l on omet α i de la liste d indices. α 0 α i α j+1,

71 4.3 Structure spinorielle 65 Par exemple Nous obtenons ainsi une suite δ : Č (0) Č (1) et (δg (0) ) αβ = g (0) β g(0) α δ : Č(1) Č(2) et (δg (1) ) αβγ = g (1) βα g(1) αγ + g (1) αβ. Č (0) δ (0) Č(1) δ (1) Č(2) δ (2) On vérifie facilement que δ est un morphisme de groupes tel que δ 2 = 0. Ainsi Im(δ (p) ) Ker(δ (p+1) ) et on peut former la cohomologie de Čech à coefficients dans Z/2Z en posant Ȟ (p) ({U α } α I, Z/2Z) = Ker(δ(p) ) Im(δ (p 1) ) pour tout p > 0 et Ȟ(0) = Ker(δ (0) ). On démontre que ce résultat est indépendant du recouvrement convenable {U α } α I. Par ailleurs Ȟ(p) (B, Z/2Z) H p (B, Z/2Z). Revenons à nos moutons, en l occurence {u αβ } et {v α } α I. La famille {u αβ } définit une 1- cochaine de Čech. La condition u αβ +u βγ +u γα = 0 signifie que δ (1) ({u αβ }) = 0 (puisque g αβ = g 1 βα, on obtient u γα = u αγ, etc.). Par conséquent {u αβ } définit une classe w 1 (E) H (1) (B, Z/2Z) = H 1 (B, Z) appelée première classe de Stiefel-Whitney. La famille {v α } α I définit v (0) Č(0) et la condition u αβ = v β v α signifie que {u αβ } = δv (0), c est-à-dire w 1 (E) = 0. D où le Lemme Si E est orientable, alors w 1 (E) = 0. La réciproque est également vraie. En effet, considérons un fibré vectoriel E = U α R n /{g αβ }. Définissons la cochaine de Čech u (1) = {u αβ } comme ci-dessus, c est-à-dire det(g αβ ) = e iπu αβ. Nous avons alors w 1 (E) = [u (1) ] H 1 (B, Z/2Z). Supposons que w 1 (E) = 0, c est-à-dire [{u αβ }] = 0 Ȟ (1) (B, Z/2Z). Il s ensuit que l on peut trouver une famille {v α } telle que u αβ = v β v α. Lemme Étant donnée {v α } telle que v α : U α Z/2Z, il existe λ α : U α O(n) tel que det(λ α ) = e iπvα. Par conséquent, en utilisant λ α pour ajuster la trivialisation locale nous obtenons g αβ SO(n) ; ainsi E est orientable. Finalement, nous avons démontré la Proposition Le fibré E est orientable si et seulement si w 1 (E) = 0. En d autres termes, l obstruction à l orientabilité d un fibré vectoriel est la première classe de Stiefel-Whitney. Dans les deux sections suivantes, nous verrons qu il existe une classe de Stiefel-Whitney en dimension 2, et qu elle est l obstruction à l existence d une structure spinorielle Structure spinorielle Soit E un fibré vectoriel tel que w 1 (E) = 0 réalisé sous la forme E = U α R n /{g αβ } avec g αβ SO(n). Nous allons munir E d une structure plus fine, appelée structure spinorielle. Remplaçons E par le SO(n)-fibré principal P SO(n) = U α SO(n)/{g αβ }.

72 66 Chapitre 4. Orientabilité et structure spinorielle Admettons la Proposition Nous avons π 1 (SO(n)) = Z/2Z pour tout n > 2. Par ailleurs, pour n 2 l exactitude de la suite (4.3.1) {1} Z/2Z Spin(n) ρ SO(n) {1} définit un groupe de Lie simplement connexe Spin(n) pour lequel ρ est un recouvrement à deux feuillets et un morphisme de groupes. Exemple Nous avons Spin(2) = S 1 grâce au recouvrement S 1 S 1 défini par z z 2. Exemple Démontrons que Spin(3) = SU(2). Pour ce faire, il nous faut un recouvrement à deux feuillets SU(3) SO(3). En fait toute matrice A SU(2) peut s écrire ( ) z1 z A = 2 z 2 z 1 avec z z 2 2 = 1. Ainsi SU(2) = {(z 1, z 1 ) ; z z 2 2 = 1} S 3 = {q = z 1 + jz 2 H ; q 2 = 1}, où C 2 H = R ir jr kr est le corps des quaternions. Définissons une action des quaternions unitaires S 3 H sur H en posant S 3 H H, (q 0, q) q 0 q q 1 0. Soit R 3 = Im(H) = ir jr kr. Les quaternions unitaires agissent par restriction sur les quaternions imaginaires Im(H) = R 3 en (q 0, x) q 0 x q0 1 = q 0 x q 0 (car q 0 2 = 1). Cette action restreinte de S 3 = SU(2) sur R 3 est unitaire, c est-à-dire A q0 : x q 0 x q0 1 est dans SO(3). Enfin, on démontre que l application A : S 3 = SU(2) SO(3), q 0 (A q0 : x q 0 x q 1 0 ) est surjective et de noyau {1, 1} est le recouvrement à deux feuillets recherché. Cette application se factorise en un difféomorphisme S 3 A SO(3) π RP(3) Exemple Afin de démontrer que Spin(4) = SU(2) SU(2) = S 3 S 3, il suffit de vérifier que l application A : (p 0, q 0 ) (A p0,q 0 : x p 0 xq0 1 ) est surjective et de noyau {(1, 1), ( 1, 1)}. En outre A se factorise en un difféomorphisme S 3 S 3 A SO(4) π Id RP(3) S 3 Exemple La surjectivité de l application ρ dans (4.3.1) nous assure de trouver pour toute matrice g SO(n) une matrice g Spin(n) telle que ρ( g) = g.

73 4.4 Obstruction à l existence d une structure spinorielle 67 Dans la situation Spin(n)ρ? g g U SO(n) on peut démontrer que si U est contractile, alors on peut trouver g. Appliquons ceci à g αβ : U α U β SO(n) dans le fibré principal P SO(n) = U α SO(n)/{g αβ } défini ci-dessus. Ainsi on peut relever g αβ en g αβ : U α U β Spin(n) si U α U β est contractile. En d autres termes, le diagramme suivant commute : Spin(n) g αβ ρ gαβ U α U β SO(n) On peut se demander si les fonctions de transition { g αβ : U α U β Spin(n)} définissent un Spin(n)-fibré, c est-à-dire P Spin(n) = U α Spin(n)/{ g αβ }. Si la réponse est oui, alors un tel relèvement définit une structure spinorielle sur ρ. Il nous faut vérifier la condition de cocycle g αβ g βγ g γα = I dans Spin(n) Obstruction à l existence d une structure spinorielle Étant donnée {g αβ }, on peut choisir un système de relèvements { g αβ }. Définissons h αβγ = g αβ g βγ g γα pour U α U β U γ. On a h αβγ Spin(n) mais ρ(h αβγ ) = g αβ g βγ g γα = I SO(n), donc h αβγ ρ 1 (I) Z/2Z. Par conséquent w (2) = {h αβγ } définit une 2-cochaine de Čech. Admettons le Théorème Nous avons δw (2) = 0, d où [w (2) ] Ȟ(2) (B, Z/2Z). Si [w (2) ] = 0, alors il existe une 1-cochaine de Čech {λ αβ } = λ (1) telle que w (2) = δ(λ (1) ). La classe [w (2) ] = w 2 (P SO(n) ) H 2 (B, Z/2Z) est dite seconde classe de Stiefel-Whitney. Proposition Le fibré P SO(n) w 2 (P SO(n) ) = 0. admet une structure spinorielle si et seulement si Définition Une variété orientable M est spinorielle si un SO(n)-fibré principal en cadres admet un relèvement en un Spin(n)-fibré principal ( w 2 (T M) w 2 (M) = 0). Exemple La sphère S m est spinorielle. 2. Une surface riemannienne orientable est spinorielle. 3. L espace projectif CP k est spinoriel si et seulement si k est impair ; en particulier CP 2 n est pas spinoriel. 4. Un groupe de Lie est spinoriel.

74 68 Chapitre 4. Orientabilité et structure spinorielle Remarque Si M est une variété orientable spinorielle et P Spin est un relèvement de SO(n), on peut lui associer un fibré vectoriel S = P Spin ρ V où ρ : Spin(n) Aut(V ) définit la représentation spinorielle ; le fibré S est appelé fibré vectoriel spinoriel associé. Nous avons un recouvrement à deux feuillets p : Spin(n) SO(n). Si P SO(n) = U α SO(n)/{g αβ } est un SO(n)-fibré principal, alors une structure spinorielle pour le fibré est P Spin(n) = U α Spin(n)/{ g αβ } avec p g αβ = g αβ. En découle un morphisme de fibrés ρ : P Spin(n) P SO(n). En particulier, si P SO(n) est le fibré des cadres orientés pour T M alors P Spin(n) définit une structure spinorielle sur M. De plus T M = P SO(n) σ R n, où σ : SO(n) Aut(R n ) = GL(n, R). Étant donné P Spin(n), notons σ : Spin(n) Aut(R n ) la représentation induite et posons V = P Spin(n) σ R n. Cherchons une relation entre les SO(n)-représentations et les Spin(n)-représentations. Puisque par définition σ = σ p : Spin(n) SO(n) Aut(R n ), une représentation de SO(n) donne lieu à une représentation de Spin(n). Réciproquement, remarquons que σ( I) = σ(i) = I. Donc si une représentation σ de Spin(n) vérifie σ( I) = σ(i), on peut définir une représentation de SO(n) de façon naturelle. Cependant, il existe des représentations de Spin(n) qui n ont pas cette propriété. En fait, on peut identifier ces représentations pathologiques ; ceci conduit à des fibrés spinoriels sur M, dont les sections sont appelée spineurs Structure Spin C Le fibré spinoriel Spin(n) est défini à l aide de la suite exacte {1} Z/2Z Spin(n) SO(n) {1}. Examinons le recouvrement à deux feuillets de SO(n) S 1 = SO(n) U(1). Le cercle S 1 est un recouvrement à deux feuillets de S 1 grâce à l application z z 2. Étudions par conséquent l application Spin(n) S 1 SO(n) S 1 définie par le produit des deux applications des recouvrements. Nous obtenons alors un recouvrement à quatre feuillets de SO(n) S 1. Remarquons que Z/2Z agit à la fois sur Spin(n) et S 1 (action antipodale). L espace des orbites de cette action sur Spin(n) S 1 est Spin(n) Z/2Z S 1 = {[ g, λ] ; [ g, λ] = [ g, λ]}. Définition Notons Spin C (n) = Spin(n) Z/2Z S 1. Définissons une application Spin C (n) SO(n) S 1 en posant [ g, λ] (g, λ). Alors Spin C (n) est un recouvrement à deux feuillets de SO(n) S 1. Cherchons un analogue au fibré P Spin(n) P SO(n). Partons de P SO(n) L = U α (SO(n) U(1))/{g αβ, l αβ },

75 4.6 Condition d existence d une structure Spin C 69 pour un fibré vectoriel complexe L muni d un produit scalaire hermitien et de fonctions de transition {l αβ }. Étudions à quelle condition on peut relever P SO(n) L en un Spin C (n)-fibré. Localement, il n existe aucun problème puisque Spin C (n) g αβ l 1/2 αβ (g αβ,l αβ ) U α U β SO(n) U(1) Cependant, rien n affirme que l on peut prendre les relèvements g αβ et l 1/2 αβ de façon à satisfaire la condition de cocycle. Plus précisément, on doit choisir les relèvements tels que pour tous α, β, γ avec U α U β U γ on ait c est-à-dire égal à [1, 1] ou [ 1, 1]. [ g αβ g βγ g γα, l 1/2 αβ l1/2 βγ l1/2 γα ] = 1 Spin C(n), 4.6. Condition d existence d une structure Spin C L espace Spin C (n) est un recouvrement à deux feuillets de SO(n) S 1 grâce à [ g, λ] (g, λ 2 ). Fixons P SO(n) (du fibré vectoriel associé E) et L (un fibré vectoriel complexe muni d un produit scalaire hermitien) au-dessus de B, avec pour fonctions de transition {g αβ } et {l αβ }. Si U α U β est contractile, alors on peut relever et Spin(n) g αβ g αβ U α U β SO(n) S 1 l 1/2 αβ l αβ U α U β U(1) = S 1 Écrivons l αβ = e iπx αβ. Alors la condition de cocycle pour les l αβ affirme que x αβ +x βγ +x γα 2Z pour tous α, β, γ tels que U α U β U γ. Par ailleurs l αβ = e iπx αβ/2. D où avec Définissons et Pour que l 1/2 αβ l1/2 βγ l1/2 γα = e iπw αβγ/2 w αβγ = x αβ + x βγ + x γα. Γ αβγ = g αβ g βγ g γα Z/2Z c αβγ = w αβγ 2 Z. [ g αβ, l 1/2 αβ ] Spin C(n)

76 70 Chapitre 4. Orientabilité et structure spinorielle définisse un Spin C (n)-fibré P SpinC (c est-à-dire un recouvrement à deux feuillets P SpinC P SO(n) L), il faut que [Γ αβγ, c αβγ ] = 1 Spin C (n) c est-à-dire Γ αβγ = 1 et c αβγ 0 mod 2 ou Γ αβγ = 1 et c αβγ 1 mod 2. Mais Γ = {Γ αβγ } définit une Z/2Z-cochaine de Čech et C = {c αβγ } définit une Z-cochaine de Čech. Si c αβγ désigne la réduction de c αβγ modulo 2, alors C = {c αβγ } définit une Z/2Z-cochaine de Čech. La condition que nous voulons est Γ + C = 0. Par conséquent, ces cochaines définissent des classes de cohomologie vérifiant [Γ] = [C] H 2 (B; Z). Lemme Nous avons [Γ] = w 2 (E). 2. La classe [C] H 2 (B; Z) est la première classe de Chern c 1 (L). La condition d existence d une structure Spin C est donc c 1 (L) w 2 (E) mod 2. Par conséquent Proposition Soit M une variété orientée. Si l on peut trouver un fibré vectoriel complexe L M tel que c 1 (L) w 2 (M) mod 2, alors (M, L) admet une structure Spin C (c est-à-dire T M L admet un relèvement). En particulier, si M est une variété spinorielle on peut prendre L = M C et utiliser le relèvement P Spin pour construire P SpinC.

77 BIBLIOGRAPHIE [1] W. Greub, S. Halperin & R. Vanstone Connections, curvature, and cohomology. Vol. I : De Rham cohomology of manifolds and vector bundles, Academic Press, New York, 1972, Pure and Applied Mathematics, Vol. 47. [2], Connections, curvature, and cohomology. Vol. II : Lie groups, principal bundles, and characteristic classes, Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1973, Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-II. [3], Connections, curvature, and cohomology, Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1976, Volume III : Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces, Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-III. [4] D. Husemoller Fibre bundles, third éd., Springer-Verlag, New York, 1994.

78

79 INDEX DES NOTATIONS (E, B, F, π), 3 (, ), 13 (u, f), 4 A i, 44 B, 3 B G, 18 B G (n), 18 C, 56 D, 20, 26 D, 29 D, 29 D, 29 D 1, 22 D 2, 22 D X s, 23 D α, 22 D t, 37 E, 3 E, 10 E 1 E 2, 10 E G, 18 E G (n), 18 E C, 43 E R, 43 E b, 3 E b, 10 F, 3 F (V ), 7 F (k, m), 15 F, 29 F D, 26 F, 32 F ω, 26 F ω, 29 G, 1 G(k, m), 15 G C (k, m), 15 G k (m), 15 H, 25 H e, 24 H ij, 14 I, 15 I GLn, 38 I D, 25 J, 44 L, 55 N, 2 NX, 2 N x, 2 P, 3, 36 P (D), 36 P (E), 36 P (F α ), 36 P (λ 1,..., λ n), 38 P G V, 7 P ρ V, 7 P 0, 47 P 1, 47 P E, 6 P k (A), 45 P k (E), 45 Q, 15, 39 S, 25, 55 S, 18 T, 24 T M, 1 T P (D 0, D 1 ), 37 T xm, 1 U, 1 U I, 15 U α, 4 U n, 18 V, 55 V C, 43 V R, 43 V e, 20 V k (m), 15 X b, 19 Z, 5 [B, BG], 16 [γ(t)], 1 [v 1,..., v k ], 15

80 74 Index des notations Ad, 11 Alt, 33 Aut(E), 11 Coker(f), 11 End(E), 11 Γ, 56 Γ(B, E), 8 Γ αβγ, 56 Γ k ji, 32 Hom(E, F ), 10 Im(f), 11 Ker(f), 11 O(n), 3 Ω, 32 Ω 1 (B, End(E)), 22 Ω 0 (B, E), 8 Ω p (B), 8 Prin G (B), 17 Spin(n), 53 Td(E), 42 Vect k (B), 16 α(a), 47 φ α, 5 Č (j), 52 Ȟ (p), 52 χ(e), 43 χ(m), 42, 49 CP, 18 deg(e), 43 δ, 52 δ αβ, 51 γ(t), 23 l α, 51 exp(v), 32 D s(t), 30 dt γ(t), 1 γk m, 15 κ, 49 λ, 10 λ α, 10 λ i, 38 s, t, 31 x, t, 18, b, 13 A(E), 23 D x, 25 I D, 25 G, 11, 32 lc, 33 ω, 21 ω α, 21 ω ij (t), 23 ω ji, 20 ω G, 18 φ α, 5 π, 3 ψ, 1 ρ, 6 ρ α, 14 ρ n, 18 σ, 8 σ i, 39 Spin C (n), 55 τ, 33 DIAG, 38 θ, 37 γ h, 23 R n, 9 ϑ, 2 P, 47 Ẽ, 48 F α, 48, 33 ψ α, 48 g αβ, 48 ξ, 3 b k (M), 49 b p, 42 c(e), 39 c k (E), 39 c k (E R ), 43 c αβγ, 56 ch(e), 40 ch k (E), 40 d, 19 df, 19 df b, 19 e(a), 47 e(e), 47 e(m), 49 e i, 1, 7 f (D), 30 f M, 42 f b, 4 g, 43 g αβ, 10 g αβ, 10 g f αβ, 12 g 0, 48 g βα, 4 h, 2, 5 h α, 5 h αβγ, 54 i, 25 rp, 18 s, 8 s α, 8 s i (t), 23 w (2), 54 w 1 (E), 52 w 2 (P SO(n) ), 54 w αβγ, 56

81 INDEX TERMINOLOGIQUE adaptée (trivialisation), 17 application classifiante, 16 de Hopf, 2 préservant l orientation, 46 associé (fibré principal), 6 (fibré vectoriel), 7 base, 3 Betti (nombre de), 49 Bianchi (identité de), 28 cadre (fibré en), 7 d un espace vectoriel, 7 local, 14 orienté, 46 tiré en arrière, 30 caractéristique (classe), 36, 43 d Euler, 42 caractère de Chern, 40 total, 40 Čech (cohomologie de), 52 Chern (caractère de), 40 (classe de), 39 Chern-Weil (homomorphisme de), 38 classe caractéristique, 36, 43 d Euler d un fibré, 47 d une variété, 49 de Chern, 39 totale, 39 de Stiefel-Whitney, 52 de Todd, 42 classifiante (application), 16 co-noyau (fibré), 11 co-tangent (fibré), 1 cocycle (condition de), 4 cohomologie de Čech, 52 compatible (connexion), 31 complexe de de Rham, 26 complexifié espace, 43 fibré, 43 condition de cocycle, 4 de constante covariante, 31 connexion, 20 compatible, 31 de Lévi-Civita, 33 orthogonale, 31 plate, 27 unitaire, 31 constante covariante, 31 construction de Milnor, 17 courbure, 26 de Gauss, 49 covariante (constante), 31 (dérivée), 23, 30 Cristofell (symbole de), 32 dérivée covariante, 23, 30 de Rham (complexe de), 26 degré d un fibré, 43 différentiel idéal, 25 distribution, 25 intégrable, 25 involutive, 25 élémentaire (polynôme symétrique), 39 endomorphisme de fibré, 4 espace complexifié, 43 normal, 2 total, 3 Euler (caractéristique d ), 42 (classe d ), 47 Euler-Poincaré (polynôme de), 42

82 76 Index terminologique exponentielle, 32 fibré, 3 (degré d un), 43 (endomorphisme de), 4 (morphisme de), 4 à trivialisation adaptée, 17 co-noyau, 11 co-tangent, 1 complexifié, 43 en cadre, 7 homogène, 3 image, 11 localement trivial, 1 métrique, 14 normal, 2 noyau, 11 orientable, 46 plat, 21 principal, 3 associé, 6 tangent d une variété, 1 tautologique, 2 tiré en arrière, 12 trivial, 8 universel, 16, 17 vectoriel, 3 associé, 7 fibre, 3 (vecteur le long de la), 20 au-dessus d un point, 3 Frobénius (théorème de), 25 géodésique, 32 Gauss (courbure de), 49 Gauss-Bonet (théorème de), 49 genre d une surface riemannienne, 43 G-invariant (polynôme), 36 grassmannienne, 15 groupe de jauge, 11 de structure, 3 réduit, 8 holonomie (représentation d ), 27 (transformation d ), 24 homogène (fibré), 3 homomorphisme de Chern-Weil, 38 Hopf (application de), 2 horizontal (sous-espace), 24 idéal différentiel, 25 identification, 3 identité de Bianchi, 28 image (fibré), 11 index (théorème de l ), 43, 49 infinie (réunion), 18 intégrable (sous-variété), 25 involutive (distribution), 25 Jacobien, 1 jauge (groupe de), 11 j-cochaine, 52 k-ième classe de Chern, 39 Lévi-Civita (connexion de), 33 Leibnitz (règle de), 19 local (cadre), 14 localement trivial (fibré), 1 métrique (fibré), 14 matrice orthogonale, 3 Milnor (construction de), 17 morphisme de fibrés, 4 nombre de Betti, 49 normal (espace), 2 (fibré), 2 noyau (fibré), 11 nulle (section), 9 orienté (cadre), 46 orientable (fibré), 46 (variété), 49 orientation (application préservant l ), 46 orthogonale (connexion), 31 (matrice), 3 ouvert trivialisant, 3 parallèle (section), 23 (transport), 20 partition de l unité, 14 plat(e) connexion, 27 fibré, 21 polarisation d un polynôme, 36 polynôme G-invariant, 36 (polarisation d un), 36 symétrique élémentaire, 39 polynôme d Euler-Poincaré, 42 principal (fibré), 3 produit au-dessus d un groupe, 7 projection, 3 stéréographique, 2 pull-back, 12 réduit (groupe), 8 réunion infinie, 18 règle de Leignitz, 19 relèvement horizontal d un chemin, 23 d un vecteur, 24 représentation d holonomie, 27 spinorielle, 55 Riemann-Roch (théorème de), 43 riemannienne (surface), 43 section, 8 nulle, 9 parallèle, 23 sous-espace horizontal, 24 sous-variété intégrable, 25 spinorielle

83 77 (représentation), 55 (variété), 54 stéréographique (projection), 2 Stiefel (variété de), 15 Stiefel-Whitney (classe de), 52 surface riemannienne, 43 symbole de Cristofell, 32 tangent fibré, 1 tautologique (fibré), 2 théorème de Frobénius, 25 de Gauss-Bonet, 49 de l index, 43, 49 de Riemann-Roch, 43 tiré en arrière (cadre), 30 (fibré), 12 Todd (classe de), 42 torsion, 33 total (caractère de Chern), 40 (espace), 3 totale (classe de Chern), 39 transformation d holonomie, 24 transport parallèle, 20 trivial (fibré), 8 trivialisant (ouvert), 3 trivialisation, 3 unité (partition de), 14 unitaire (connexion), 31 universel (fibré), 16, 17 variété de Stiefel, 15 orientable, 49 spinorielle, 54 vecteur le long de la fibre, 20 vertical, 20 vectoriel (fibré), 3 vertical (vecteur), 20 vitesse d un champ de vecteurs, 23