Charles Cochet GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS

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1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS Charles Cochet

2 C. Cochet Université Paris 7 Denis Diderot, UFR de mathématiques, UMR7586, 2, place Jussieu, Paris cedex 05, France. cochet@math.jussieu.fr Url :

3 GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS Charles Cochet

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5 TABLE DES MATIÈRES 1. Fibrés Propriétés élémentaires des fibrés Des fonctions de transition au fibré Le fibré principal des cadres, ou «frame bundle» Sections d un fibré Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens Métrique sur un fibré Classification des fibrés vectoriels et des fibrés principaux Connexions linéaires Définition et premières propriétés Existence de connexions et transport parallèle Sections parallèles et équations différentielles Obstruction à l intégrabilité dans le cas d une section parallèle Courbure d une connexion Connexions induites Connexions métriques Connexions sur le fibré tangent et géodésiques Torsion d une connexion sur le fibré tangent Classes caractéristiques d un fibré vectoriel Classes caractéristiques d un fibré vectoriel Classes de Chern d un fibré vectoriel complexe Classe de Todd et caractéristique d Euler d un fibré vectoriel complexe Classes caractéristiques d un fibré vectoriel réel Classes de Pontrjagin P k (E) d un fibré vectoriel réel Classe d Euler d un fibré vectoriel réel Orientabilité et structure spinorielle Détection de l orientabilité Cohomologie de Čech Structure spinorielle Obstruction à l existence d une structure spinorielle Structure Spin C Condition d existence d une structure Spin C

6 vi Bibliographie Index des notations Index terminologique

7 CHAPITRE 1 FIBRÉS 1.1. Propriétés élémentaires des fibrés Premiers exemples et définition des fibrés. Avant de donner des définitions précises, commençons par des exemples. Exemple (Fibré tangent). Soit M une sous-variété différentiable de dimension m de R n. À chaque point x M, on peut associer un sous-espace vectoriel m-dimensionnel de R n. Noté T x M, c est l espace tangent à M en x. Supposons qu à proximité de x des coordonnées locales sur M soient données par une application G : R m R n (définie sur un voisinage U de 0 R m ). Alors T x M est le m-plan passant par x et parallèle à l image de R m sous la linéarisation de G en x, c est-à-dire sous l application linéaire définie par le jacobien [ Gi x j (x)]. En prenant la réunion sur tout les x M, on obtient le fibré tangent T M = T x M. x M On peut adapter cette construction au cas d une variété abstraite de dimension m (plutôt qu une sous-variété de R n ) si l on identifie les vecteurs de T x M avec les dérivées directionnelles en x. L espace tangent T x M est alors vu comme l espace vectoriel des dérivations sur les germes de fonctions [γ(t)] = M x en x M. Si ψ : U R m est une carte locale définie sur un ouvert U M et si p est un point de U, alors une base de T p M se décrit comme suit. Soient (x 1,..., x m ) les coordonnées sur R m et soit ψ(p) = x. Définissons des champs de vecteurs locaux e i (p) = ψ 1( x x i ) pour i = 1,..., m. Alors {e 1 (p),..., e m (p)} est une base de T p M. Comme précédemment, le fibré tangent T M est défini comme étant la réunion disjointe de tous les espaces tangents T p M (p M). Remarquons les propriétés suivantes du fibré tangent T M : 1. Il existe une projection π : T M M (définie en envoyant T p M sur p) dont les fibres sont des m-plans, c est-à-dire des copies de R m. 2. L application (p ; v 1,..., v m ) m i=1 v ie i (p) définit une identification de U R m avec T M U = p U T pm ; on dit que T M est localement trivial. Le fibré tangent d une variété lisse encode des informations sur la structure C de la variété ; c est une construction essentielle en géométrie différentielle.

8 2 Chapitre 1. Fibrés Exemple (Fibré co-tangent). Pour une variété lisse M, on construit le fibré cotangent comme étant la réunion disjointe T M = (T x M) = {(x, v) ; x M, v (T x M) }. x M Exemple (Fibré normal). Soient X Y deux variétés lisses. Pour tout x X, l espace tangent T x X est un sous-espace vectoriel de T x Y. Définissons l espace normal en x comme étant le quotient N x = T x Y/T x X. Si T x Y est muni d un produit scalaire, alors N x = (T x X), c est-à-dire que N x s identifie au complémentaire orthogonal de T x X dans T x Y. Définissons le fibré normal comme étant N = N x. x X Le fibré normal encode des informations sur l inclusion X Y. Exemple (Application de Hopf). Réalisons la 3-sphère S 3 comme étant S 3 = {(z 1, z 2 ) C 2 R 4 ; z z 2 2 = 1}. Il existe une identification lisse de la 2-sphère S 2 avec l espace complexe projectif par S 2 CP 1 = {[z 1, z 2 ] ; (z 1, z 2 ) C 2 \ {0}}, où [z 1, z 2 ] représente la classe d équivalence de (z 1, z 2 ) 0 pour la relation (z 1, z 2 ) (w 1, w 2 ) il existe λ C tel que (z 1, z 2 ) = λ(w 1, w 2 ). L identification est faite à l aide de la projection stéréographique par le pôle Nord N S 2 grâce à p N : S 2 \ {N} R 2 C. On peut également identifier CP 1 \ {[0, 1]} avec C via L identification de CP 1 et S 2 est alors CP 1 [z 1, z 2 ] [z 1, z 2 ] z 2 z 1. { p 1 N ( z2 z 1 ) si z 1 0, N si z 1 = 0. L application h : S 3 S 2 définie par h(z 1, z 2 ) = [z 1, z 2 ] est appelée application de Hopf. On démontre sans détour qu elle est bien définie, surjective et lisse. La fibre au-dessus de chaque point est h 1 ([z 1, z 2 ]) = {λ(z 1, z 2 ) ; λ C avec λ = 1} S 1. Là encore h : S 3 S 2 est localement triviale. Remarquons en effet que U i = {[z 0, z 1 ] ; z i 0} (i = 0, 1) est un ouvert de CP 1 S 2. Alors h 1 (U i ) U i S 1 via { ([1, z 1 z 0 ], z0 z ) au-dessus de U 0 0, h 1 (U i ) (z 0, z 1 ) ([z 0, z 1 ], z i z i ) = L inverse de cette application sur U 0 S 1 est ( λ ([1, z], λ), λz ), 1 + z z 2 ([ z0 z 1, 1], z1 z 1 ) au-dessus de U 1.

9 1.1 Propriétés élémentaires des fibrés 3 avec une définition similaire sur U 1 S 1. Remarquons que nous n avons pas une condition de trivialité globale puisque ceci signifierait que S 3 S 2 S 1, ce qui est faux (des invariants de topologie algébrique comme l homologie ou le groupe fondamental permettent de s en convaincre). Exemple (Fibré tautologique). Utilisons encore l application de Hopf h : S 3 S 2 définie par (z 1, z 2 ) [z 1, z 2 ]. Si (w 1, w 2 ) h 1 ([z 1, z 2 ]), alors (w 1, w 2 ) est sur la ligne complexe définie par la classe [z 1, z 2 ]. Si on oublie la restriction w w 2 2 = 1, alors on obtient un fibré vectoriel (c est-à-dire de fibre un espace vectoriel) complexe au-dessus de CP 1, noté ϑ CP 1( 1) π CP 1 où π 1 ([z 1, z 2 ]) est la ligne définie par le couple [z 1, z 2 ]. Ce fibré est appelé fibré tautologique. Remarquons que l on peut construire de même un fibré tautologique au-dessus de CP n. Exemple (Fibré homogène). Soit O(n) l ensemble des matrices réelles n n orthogonales. Remarquons que l on peut plonger O(n 1) dans O(n) par Q n 1 P n, où P n O(n) est la matrice avec 1 dans le coin supérieur gauche, zéro dans le reste des premières ligne et colonne, et Q n 1 dans le carré (n 1) (n 1) restant ; plus précisément ( ) 1 0 Q n 1. 0 Q n 1 De plus O(n) agit de façon transitive sur S n 1. Notons {e i } la base canonique de R n. Alors le stabilisateur de e 1 est O(n 1). L application O(n)/O(n 1) S n 1 définie par [A] A e 1 est un difféomorphisme entre l espace homogène O(n)/O(n 1) et S n 1. Soit π : O(n) O(n)/O(n 1) la surjection canonique. Pour tout x O(n)/O(n 1), nous avons π 1 (x) = {A O(n) ; A e 1 = x}. Puisque π 1 (e 1 ) = O(n 1), on obtient π 1 (x) = O(n 1). Ceci définit un fibré localement trivial, appelé fibré homogène. Remarque Ce dernier exemple se généralise pour donner des fibrés de la forme G π G/H de fibre H, où G est un groupe de Lie et H G est un sous-groupe fermé. Définition Un fibré («bundle») est un quadruplet ξ = (E, B, F, π), où E, B, F sont des espaces topologiques et π : E B est une application continue, vérifiant : 1. π 1 (b) F pour tout b B. 2. Pour tout b B, il existe un voisinage ouvert U B de b, appelé ouvert trivialisant, tel que π 1 (U) U F de façon à préserver π 1 (b). On dira que (E, B, F, π) est d espace total E, de base B, de fibre F et de projection π ; l application π 1 (U) U F est appelée identification ou trivialisation ; enfin E b = π 1 (b) est appelée fibre au-dessus de b.

10 4 Chapitre 1. Fibrés Bien que la définition d un fibré soit très générale, nous ne l appliquerons que dans certaines catégories spécifiques : 1. Lisse : E, B, F sont des variétés lisses et les applications sont lisses. 2. TopM : E, B, F sont des variétés et les applications sont continues. 3. Holomorphe : E, B, F sont des variétés lisses complexes et les applications sont holomorphes. Définition Si F est un espace vectoriel (par exemple R n ou C n ) et si les identifications π 1 (U) U F sont linéaires, alors (E, B, F, π) est un fibré vectoriel. De façon plus générale, si la fibre est munie d une structure algébrique (de groupe, d anneau, etc.) alors E est dit fibré en la structure. Les fibrés tangent, normal et tautologique sont tous trois des fibrés vectoriels. Définition Un quadruplet P = (E, B, F, π) est dit F -fibré principal ou fibré principal de groupe de structure F si : 1. E et B sont deux variétés lisses. 2. F est un groupe de Lie agissant de façon lisse à droite sur E. 3. L action est libre (c est-à-dire e g = e si et seulement si g est l identité). 4. L action préserve les fibres de E B. Le fibré de Hopf est un S 1 -fibré principal et le fibré homogène O(n) O(n)/O(n 1) est un O(n 1)-fibré principal Morphismes de fibrés. Définissons les applications entre fibrés conservant la structure de fibré. Définition Si π : E B et π : E B sont deux fibrés, un morphisme de fibrés est un couple d applications (u, f) tel que le diagramme suivant commute : π E u E B f B La définition dit que f b : E b E f(b) sous u. Si E = E et B = B, alors (u, f) est appelé un endomorphisme de fibré. Si les applications sont inversibles, alors (u, f) est un isomorphisme de fibrés. Remarquons que si l on considère des fibrés vectoriels, alors sur la fibre les applications doivent être linéaires. Si l on considère des G-fibrés principaux, alors nous demandons que l application sur les fibres soit un morphisme de groupes et que f soit G-équivariant (c est-à-dire f(p g) = f(p) g). Examinons le cas particulier d un endomorphisme de fibré avec f = Id B. Alors E π u π π B donc u ne fait que transformer les points dans chaque fibre. Dans le cas d un fibré vectoriel, l application u est un isomorphisme d espace vectoriel sur chaque fibre. E

11 1.2 Des fonctions de transition au fibré 5 Soit π : E B un fibré vectoriel lisse de fibre π 1 (b) R n. Pour tout b B, choisissons un voisinage U b de b au-dessus duquel E est trivialisé par ψ b : E Ub U b R n. La collection {U b } b B recouvre B. Examinons le lien entre ψ α et ψ β sur U α U β. Nous avons le diagramme suivant : E Uα U β ψ β ψ α (U α U β ) R n g βα (U α U β ) R n où g βα = ψ β ψα 1. Remarquons que g βα est linéaire puisqu elle est composée d applications linéaires. Puisque ψ α et ψ β sont inversibles, l application g βα l est également. On peut ainsi considérer g βα : U α U β GL(n, R) ; nous obtenons un tel morphisme pour tous U α, U β tels que U α U β. Nous noterons par conséquent E = ( U α R n )/{g αβ } Des fonctions de transition au fibré Étant donné un fibré vectoriel π : E B lisse de fibre R n, recouvrons B avec des ouverts trivialisants U α de trivialisations ψ α : E Uα U α R n ; nous obtenons ensuite des fonctions de transition g αβ : U α U β GL(n, R) en posant g αβ (x) = ψ α (ψ 1 β (x)). On peut se demander à quelle condition le recouvrement et les fonctions de transition sont équivalents à toute l information contenue dans le fibré. Plus précisément, on cherche à déterminer la condition à laquelle {U α } et {g βα } décrivent un fibré. avec Si le recouvrement et les fonctions de transition déterminent un fibré, nous devons avoir : 1. g αα = Id GL(n, R). 2. g αβ = g 1 βα. 3. (condition de cocycle) g αγ g γβ g βα = Id. Si l on a un morphisme de fibrés E h E π E = ( U α R n )/{g αβ } et E = ( U α R m )/{g αβ}, alors nous avons le diagramme commutatif suivant, obtenu à partir des trivialisations pour E et E : B π E Uα h E Uα ψ α U α R n ψ α h ψ 1 α ψ α =hα U α R m En fait, on peut regarder h comme h α : U α Hom(R n, R m ). En clair h peut être vue comme un élément de Mat m,n (R). Par conséquent, à h donnée on obtient un ensemble {h α : U α

12 6 Chapitre 1. Fibrés Hom(R n, R m )}. Examinons le lien entre h α et h β. À l aide des fonctions de transition pour E et E respectivement, nous exigeons que le diagramme suivant commute : R n h α R m g βα R n h β R m Considérons le cas particulier E = E. Alors h est un endomorphisme de fibré et les applications g βα h α : U α End(R n, R n ) Mat n,n (R) sont telles que h β g βα = g βα h α. Si h est un automorphisme de fibré, alors h β = g βα h α g 1 βα = g βαh α g αβ. Proposition Étant donné un recouvrement {U α } de B et {g αβ } : U α U β GL(n, R) vérifiant les trois conditions ci-dessus sur toute intersection non vide, il existe un fibré vectoriel (unique à isomorphisme de fibrés près) pour qui les {g αβ } sont les fonctions de transition. Démonstration. La démonstration est constructive. Pour tout U α, définissons Z = α A U α R n et munissons-le de la topologie produit. Définissons une relation d équivalence sur Z comme suit : (x, v) α (x, v ) β x = x et v = g βα (x)(v). Soit E = Z/ muni de la topologie quotient. Nous avons plusieurs points à démontrer. En premier lieu, nous devons vérifier que puisque les g βα sont lisses, alors E est une variété lisse. Ensuite, il faut démontrer que [(x, v) α ] x est bien définie de E dans B et est un fibré de rang n. Enfin, nous devons prouver que l ensemble de fonctions de transition pour E est précisément {g αβ }. Tout d abord E est une variété lisse si l on peut la recouvrir avec des cartes qui sont reliées de façon lisse (c est-à-dire dont les fonctions de transition sont lisses). Supposons que le recouvrement {U α } de B consiste en des coordonnées avec trivialisations φ α : U α R n (sinon, on raffine notre recouvrement de sorte à avoir cette propriété). Supposons que B est de rang m. Il nous faut définir une collection {V α } de cartes sur E et des applications φα : V α R m R n. Posons V α = [U α R n ] (image dans le quotient). Chaque V α est ouvert d après la définition de la topologie quotient. Définissons φ α en posant [(x, v) α ] (φ α (x), v). Nous avons le diagramme commutatif suivant : V α V β φ β φα (U α U β ) R n (U α U β ) R n φ β φ 1 α Sur son ensemble de définition, l application φ β φ 1 α vérifie (x, v) φ β ([(x, v) α ]) = φ β ([(x, g βα (x)(v)) β ]) = (x, g βα (x)(v)) β. Ainsi, les applications de transition sont lisses puisque les g βα le sont.

13 1.3 Le fibré principal des cadres 7 Examinons maintenant la projection π : E B définie ci-dessus par [(x, v) α ] x. Nous avons localement U α π V α φα U α R n π 1 où π 1 est la surjection canonique. On a π = π 1 φ α, donc π est lisse (bien définie, continue, etc.). Par définition φ 1 α (π 1 1 (x)) = {[(x, v) α] ; v R n } π 1 (x). Si [(x, v ) β ] est dans la fibre au-dessus de x, alors [(x, v ) β ] = [(x, g αβ (x)(v )) α ]. Ainsi, la fibre au-dessus de x est R n. On démontre ensuite que la condition de trivialité locale et les propriétés de transition sont vérifiées. Par conséquent, la notation E = ( U α R n )/{g αβ } caractérise le fibré E B ; nous l utiliserons souvent par la suite. Examinons pour finir le cas des fibrés principaux. La condition de trivialité locale affirme que la trivialisation ψ α : P Uα U α G doit préserver les fibres et être G-équivariante ; la G-action sur U α G est triviale sur la composante selon U α et est la multiplication usuelle sur la composante selon G. Ainsi sur U α U β l application ψ β ψα 1 a pour expression (x, g) = (x, 1)g (ψ β ψ 1 (x, 1))g. α Définissons g βα en posant g βα (x) = ψ β ψα 1(x, 1). Ainsi nous devons avoir (x, g) (x, g βα(x) g). Comme précédemment, on pose P = ( U α G)/, où la relation est définie de la même façon que ci-dessus à l aide de {g βα }. Nous utiliserons également cette notation, qui caractérise le G-fibré principal P Le fibré principal des cadres, ou «frame bundle» Étant donné un fibré vectoriel π : E B défini par {g αβ : U α U β GL(n, R)}, on peut construire un GL(n, R)-fibré principal en posant P = ( U α GL(n, R))/{g αβ }. On dit que P est le GL(n, R)-fibré principal associé à E ; on le note parfois P = P E. On peut légitimement se demander si la réciproque est vraie. Plus précisément, étant donné un G-fibré principal π : P B, peut-on construire un fibré vectoriel associé? Pour ce faire, nous avons besoin d une représentation ρ : G GL(V ) du groupe G dans un espace vectoriel V. Exemple Si G = GL(n, R), alors la représentation standard sur R n convient. Si G = O(n), on plonge O(n) dans GL(n, R) et on utilise la représentation composée. Si G = U(n), on obtient via le plongement de U(n) dans GL(n, C) une représentation sur C n ; on peut récupérer une représentation réelle en réalisant GL(n, C) comme sous-groupe de GL(2n, R).

14 8 Chapitre 1. Fibrés Définissons E = ( U α V )/{ρ(g αβ )}, où ρ(g αβ ) : U α U β GL(n, R). La condition de cocycle est vérifiée, puisque ρ(g αβ )ρ(g βγ )ρ(g γα ) = ρ(g αβ g βγ g γα ) = ρ(id) = Id. Jusqu à présent, nous nous sommes concentrés sur la description locale des fibrés associés. Il est utile d en avoir également une description globale. Pour ce faire, nous avons besoin de la Définition Étant donnés un G-fibré principal π : P B et une représentation ρ : G GL(V ), on définit le produit de P et V au-dessus de G en posant E = P G V, où E est le quotient de P V par la relation (p, v) (p g, ρ(g 1 )v) pour tout g G. Lemme L application [(p, v)] π(p) induit un fibré vectoriel E B de fibre V, appelé fibré vectoriel associé. De plus, si alors P = ( U α G)/{g αβ }, E = ( U α V )/{ρ(g αβ )}. En clair, les deux constructions (locale comme globale) sont les mêmes. Idée de la démonstration. On utilise l identification (U α G) G V U α V grâce à l application [((b, u) α, v)] (b, ρ(u)v) d inverse (b, v) [((b, e), v)], où e G est l élément neutre. Donnons maintenant une interprétation géométrique du GL(n, R)-fibré principal associé à un fibré vectoriel π : E B de rang n. Définition Étant donné un espace vectoriel réel V de dimension n, un cadre de V («frame») est une identification f : R n V de R n avec V. C est équivalent à choisir une base de V, puisque si {e i } est la base canonique de R n alors {f(e i )} est la base de V que nous avons choisie. Définissons F (V ) comme étant l ensemble de tous les cadres de V. Remarquons que GL(n, R) agit sur F (V ) par R n R n A f A(f)=f A Pour un fibré vectoriel π : E B et pour tout b B, nous avons E b GL(n, R). Ainsi, on obtient une copie de GL(n, R) attachée à chaque b via P b = F (E b ). Lemme Posons P b = P. b B Alors P est un GL(n, R)-fibré principal, appelé fibré principal en cadres (même construction qu auparavant). V

15 1.4 Le fibré principal des cadres 9 Idée de la démonstration. Supposons que E = ( U α R n )/{g αβ }, avec pour applications de trivialisation {ψ α : E Uα U α R n }. On utilise ψα 1 (b) : R n E b pour définir un cadre f. Nous obtenons alors P b = {f α A ; A GL(n, R)}, et par conséquent P Uα U α GL(n, R) via (b, A) f α (b)a. Remarquons que P b et P sont munis d une action à droite de GL(n, R) Sections d un fibré Rappelons qu un fibré est un quadruplet (E, B, F, π), où E, B, F sont des espaces topologiques et π : E B est une application continue, vérifiant π 1 (b) F pour tout b B et tels que pour tout b B il existe un voisinage ouvert U B de b avec π 1 (U) U F de sorte à préserver la fibre. Définition Pour un fibré π : E B, on dit qu une application s : B E est une section si π s = Id B (ceci signifie que s(b) est dans la fibre de s au-dessus de B). Nous noterons Γ(B, E) ou Ω 0 (B, E) l ensemble des sections du fibré E. Dans le cas du fibré co-tangent T B, on pose Ω p (B) = Ω 0 ( p T B, B). Un cas particulier d une section est donné par le fibré trivial π=projection E = B F Si s est une section, alors s(b) = (b, σ(b)) avec σ : B F. Réciproquement, si l on a σ : B F alors l application s : B B F définie par s(b) = (b, σ(b)) est une section. Ainsi il existe une correspondance bijective entre les sections d un fibré trivial et Hom(B, F ). Quand E n est pas le fibré trivial, on peut penser aux sections comme une sorte d application tordue de B dans F. Écrivons E U pour π 1 (U). Si ψ : E U U F est une identification, alors on obtient le diagramme suivant B ψ E U U F s ψ s=su U À l aide de la trivialisation locale, la description locale de la section est une application U F. Rappelons qu étant donné un fibré vectoriel de rang n, on a construit un GL(n, R)-fibré principal. De plus, pour un G-fibré principal P et une représentation ρ : G GL(V ), nous avons construit un fibré vectoriel E = P G V = P ρ V. Enfin, si V est de rang n alors E = ( U α R n )/{g αβ }, où les ρ g αβ : U α U β ρ(g) GL(n, R) sont les fonctions de transition. D une manière générale, on dit que le groupe de structure d un fibré principal peut être réduit si son groupe de structure G est un sous-groupe propre de GL(n, R). Ainsi un fibré vectoriel peut être réduit de

16 10 Chapitre 1. Fibrés GL(n, R) à un sous-groupe G si et seulement si on peut trouver un système de trivialisations locales tel que toutes les fonctions de transition prennent leurs valeurs dans G. Supposons qu un fibré vectoriel π : E B est décrit par E = ( U α R n )/{g αβ } et que σ : B E en est une section. Soient ψ α : E Uα U α R n les applications de trivialisation. On a déjà vu que le diagramme suivant est commutatif : U α σ E Uα σ α=ψ α σ ψ α U α R n En utilisant la propriété de préservation des fibres des applications en jeu, nous vérifions que σ α (b) = (b, s α (b)) où s α : U α R n. Maintenant σ détermine une collection de sections locales {s α : U α R n }, une pour chaque ouvert de trivialisation. Vient alors naturellement une question : une collection de sections locales {s α : U α R n } (une pour chaque ouvert de trivialisation) détermine-t-elle une section globale σ : B E avec σ Uα = σ α? Sur U α U β = U αβ, nous avons le diagramme commutatif : U αβ R n Id U αβ R n ψ β σ β E Uαβ σ U αβ ψ α U αβ R n σ α Id U αβ R n En écrivant g βα = ψ β ψα 1, nous voyons que s β = g βα s α. Par conséquent, étant donnée une collection de sections locales {σ α (b) = (b, s α (b))} telles que s β (b) = g βα s α (b), alors on définit une section globale en posant σ(b) = ψα 1 σ α(b). Nous avons ainsi démontré la Proposition La donnée d une section globale σ : B E d un fibré vectoriel équivaut à la donnée d une famille de sections locales {σ α = (Id Uα, s α ) : U α U α R n } vérifiant s β Uα U β = g βα s α Uα U β. Exemple La collection des sections locales nulles définies par s α (b) = 0 pour tout b U α se recolle pour définir la section nulle globale. Remarquons que l analyse des sections des fibrés vectoriels s applique de même aux sections des G-fibré principaux. En d autres termes, étant donné un G-fibré principal décrit par P = ( U α G)/{g αβ }, la description d une section est la même que ci-dessus, mais avec R n remplacé par G. Dans la relation s β = g βα s α, la multiplication sur le membre de droite est la multiplication du groupe. Réciproquement, en utilisant une section σ, les fonctions de transition peut être écrites sous la forme g βα = s β s 1 α.

17 1.5 Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens Construction élémentaires. Rappelons que si E et E sont deux fibrés vectoriels et si h : E E est un morphisme de fibrés, alors on construit une collection d applications locales {h α : U α Hom(R n, R m )} telles que g βα h α = h β g βα. Si h est un automorphisme, alors h β = g βα h α g αβ. Il est important de savoir quand un fibré vectoriel E au-dessus de B est isomorphe au fibré trivial E B R n. Supposons que E est donné par E = ( U α R n )/{g αβ }. Remarquons que le fibré trivial R n est donné par R n = B R n = ( U α R n )/{g αβ}, où g αβ est l identité. Une application h : E Rn est ainsi décrite par une collection d applications {h α : U α GL(n, R)} définies localement et vérifiant g βα = h β h 1 α. En clair, si on peut trouver une collection de telles h α, alors on peut trivialiser le fibré. Ceci signifie précisément que le GL(n, R)-fibré principal associé est trivial si et seulement si il admet une section. On démontre Lemme Un fibré principal est trivial si et seulement s il admet une section. Démonstration. Soit p : P B un G-fibré principal. Supposons tout d abord qu il soit trivial, c est-à-dire de la forme pr 1 : P = B G B. Alors l application s : B P définie par s(b) = (b, 1) est une section du fibré. Réciproquement, soit s une section du fibré p : P G. Définissons ϕ : B G P en posant ϕ(b, g) = s(b)g. Cette application est alors un difféomorphisme G-équivariant tel que p ϕ = pr 1, donc qui trivialise p : P B. Remarque La section nulle s : B E plonge B de façon difféomorphe dans E. De plus, cette copie de B dans E est un rétracte par déformation de E. Par conséquent B et E ont le même type d homotopie. Ainsi, l homotopie et l homologie ne sont pas d un grand secours pour classifier les fibrés. Les constructions sur les espace vectoriels sont adaptées presque directement au cas des fibrés vectoriels. Par exemple, étant donnés deux espace vectoriels V 1 et V 2, on peut former V 1 V 2, V 1 V 2, V 1, V 1 V 1, etc. Ils ont tous des analogues pour les fibrés. Si E 1 et E 2 sont deux fibrés vectoriels de rang r 1 et r 2 respectivement, alors on construit un fibré vectoriel E 1 E 2 de rang r 1 + r 2 comme suit. Supposons que E 1 et E 2 sont réalisés comme E 1 = ( U α R n1 )/{g 1 αβ} On définit la somme des deux fibrés comme étant et E 2 = ( U α R n2 )/{g 2 αβ}. E 1 E 2 = ( U α R n1+n2 )/{g αβ }, où g αβ est la matrice n 1 n 2 diagonale par blocs avec g 1 αβ dans le bloc supérieur gauche et g2 αβ dans le bloc inférieur droit. Afin de démontrer que ceci définit un fibré, nous avons besoin de vérifier la condition de cocycle. Mais ceci se voit en utilisant le fait que les deux blocs de la matrice la vérifient. On construit de même E 1 E 2.

18 12 Chapitre 1. Fibrés La construction du fibré dual E est à peine plus difficile. Nous voulons que les fibres du nouveau fibré soient E b Hom(E b, R). Si E est donné par E = ( U α R n )/{g αβ }, alors posons gαβ = (gt αβ ) 1. Les gαβ vérifient la condition de cocycle et ainsi définissent un fibré. Mais est-ce le fibré recherché? Plus précisément, avons-nous Eb Hom(E b, R n )? Supposons que ψ α : E b R n est une identification de la fibre et soit λ Hom(E b, R). Alors on obtient une application λ α : R n R d après le diagramme suivant : λ E b R λ α ψ α R n On a une correspondance λ λ α et par conséquent on obtient Eb Rn Hom(R n, R). Par ailleurs E Uα U α R n. Au-dessus de U α U β, nous avons λ β = λ ψ 1 β et λ α = λ ψα 1. Ainsi λ = λ β ψ β = λ α ψ α = λ α (ψ α ψ 1 β ) ψ β = λ α g βα ψ β. La condition de compatibilité sur les {λ α } est qu en tant qu applications R n R elles vérifient λ β = λ α g αβ. Mais ceci est en fait équivalent à E = ( U α R n )/{(g t αβ ) 1 } Le fibré Hom(E, F ). Soient deux fibrés vectoriels E = ( U α R n )/{g αβ } et F = ( U α R n )/{h αβ }. Proposition Il existe un fibré vectoriel Hom(E, F ) de rang nm tel que Hom(E, F ) b = Hom(E b, F b ). Idée de la démonstration. On peut construire Hom(E, F ) de deux façons différentes (aboutissant au même fibré). 1. Pour deux espaces vectoriels V et W, nous avons Hom(V, W ) W V. On peut définir un fibré Hom(E, F ) := F E de rang nm, de fibre (F E ) b = F b E b et dont les fonctions de transition sont h αβ (g t αβ ) Plus directement : on peut construire Hom(E, F ) en regardant ses section. Tout d abord s Γ(Hom(E, F )) si et seulement si s : E F est un morphisme de fibrés. À l aide des trivialisations locales, les morphismes de fibrés donnent la description locale s α : U α Hom(R n, R m ) du morphisme de fibrés s : E F, avec s β = h βα s α g 1 βα. Définissons deux fibrés principaux et posons P F = U α GL(m)/{h αβ } et P E = U α GL(n)/{g αβ }, P = P F P E = U α (GL(m) GL(n))/{h αβ g αβ }. Soit ρ la représentation de GL(m) GL(n) dans Hom(R n, R m ) définie par ρ : GL(m) GL(n) Ad GL(Hom(R n, R m )),

19 1.5 Construction de nouveaux fibrés à partir d anciens 13 c est-à-dire telle que ρ(a, B)(U) = A U B 1. Alors le fibré recherché est Hom(E, F ) P Ad Hom(R n, R m ). On vérifie que ses sections locales sont bien les s β. Remarque On peut démontrer que End(E) = Hom(E, E) = P E Ad Mat n, où Ad : GL(n) GL(Mat n ), A (U A U A 1 ). Si on définit Aut(E) comme étant le fibré des isomorphismes de E tels que Aut(E) p = Aut(E p ), alors Aut(E) = P E Ad GL(n) est un fibré en groupes, mais pas un fibré principal (les fonctions de transition ne sont pas équivariantes). On peut munir l espace G des sections de Aut(E) d une structure de groupe à l aide des identifications Aut(E p ) GL(n). Le groupe G est dit groupe de jauge de E Les fibrés noyau, image et co-noyau. Étant donné un morphisme de fibrés définissons E f B F (Ker(f)) b = Ker(f b : E b F b ), (Im(f)) b = Im(f b : E b F b ), (Coker(f)) b = F b /(Im(f) b ) ainsi que Ker(f) = b B (Ker(f)) b, Im(f) = b B (Im(f)) b et Coker(f) = b B (Coker(f)) b. Ces trois espaces sont-ils des fibrés sur B? La réponse est non dans le cas général. Par exemple, prenons les fibrés triviaux R n R m f R n R n R m et définissons f(x) = x I n (c est clairement un morphisme de fibrés). Alors { 0 si x 0, (Ker(f)) x = R n si x = 0, et la dimension de la fibre varie. Théorème Si le rang de f b est constant, alors Ker(f), Im(f) et Coker(f) sont des fibrés de base B. On les appelle respectivement fibrés noyau, image et co-noyau. La démonstration utilise le théorème du rang constant pour les morphismes de fibrés. On se ramène à démontrer que les trivialisations pour E et F peut être choisies de sorte à ce que sur chaque Ψ U α on ait des isomorphismes E α b R n = R k R n k avec R k Φ = Ker(f α ) et F α b R m = R i R m i

20 14 Chapitre 1. Fibrés avec R i = Im(f α ). Alors sur U α U β nous avons le diagramme commutatif (pour des décompositions de R n données) : avec R k R n k f α R i R m i g βα ( ) kβα Λ g βα = βα 0 C βα h βα R k R n k f β R i R m i ( iβα Π et h βα = βα 0 D βα En fait, les {k βα } sont les fonctions de transition pour Ker(f). À l aide des cadres orthonormaux (en supposant que E et F ont une représentation matricielle), on peut suppposer que g βα O(n) et k βα O(n). On en déduit que Λ βα = 0 et Π βα = Le fibré tiré en arrière. Étant donnés un fibré vectoriel π : E B et une application lisse f : X B, on peut définir un fibré f (E) X en exigeant la commutativité du diagramme ). f (E) ˆf E p X où ˆf est un isomorphisme sur les fibres (et ainsi f (E) x E f(x) ). Pour ce faire, définissons l espace total f (E) = {(x, e) X E ; f(x) = π(e)} X E. Alors p : f (E) X est définie par (x, e) x, donc p 1 (x) = {(x, e) ; π(e) = f(x)} = E f(x). Vérifions la trivialité locale. Soient E Ψ Uα U R n la trivialisation locale et V = f 1 (U) X. Lemme Nous avons f (E) V V E U et f (E) V V R n (à l aide de Ψ). Ainbsi f (E) est un fibré sur B, appelé fibré tiré en arrière de E (ou «pull-back»). Soit {V α } un recouvrement ouvert de X tel que d une part {U α = f(v α )} est un recouvrement de B, et d autre part les fibrés sont localement triviaux ; alors les fonctions de transition de E et f (E) sont reliées par f B g f αβ (x) := (f g αβ )(x) = g αβ (f(x)). π Exemple Considérons E π E π B Alors π (E) est un fibré au-dessus de B et π (E) E E. 2. Si E = B R n est le fibré trivial et f : X B, alors f (E) = X R n.

21 1.6 Métrique sur un fibré 15 Proposition Soit (u, f) un morphisme de fibrés E u E Alors il existe une application v : E f (E) telle que f (E) v ˆf E u E 2. Si de plus u est un isomorphisme sur les fibres, alors f (E) E. Il s ensuit que f (E) est défini de façon unique. Théorème (fondamental n 1). Supposons que l on ait E B B p f f B π B X f0 f 1 B π avec f 0 f 1 (homotopes). Alors f 0 (E) f 1 (E). En d autres termes, des applications homotopes produisent des fibrés tirés en arrière isomorphes. Corollaire Si B est contractile, alors tout fibré vectoriel E B est trivial Métrique sur un fibré Soit V un espace vectoriel de base {v 1,..., v n }. La base duale {v 1,..., v n } de V = Hom(V, R) est définie par v i (v j) = δ ij. Il s ensuit que tout λ V s écrit de façon unique sous la forme i λ iv i. Rappelons qu étant donné E = ( U α R n )/{g αβ }, on peut utiliser {(g t αβ ) 1 } pour définir un fibré E = ( U α R n )/{(g t αβ ) 1 } de fibree b = Hom(E b, R). Dans le cas des fibrés complexes, nous avons E = ( U α C n )/{g αβ } et g αβ : U α U β GL(n, C). À l aide de la même démonstration, on vérifie que {g t αβ 1 } définit E, que Hom(C n, C) C n et que E b = Hom(E b, C). Remarque Il est à noter que :

22 16 Chapitre 1. Fibrés 1. On peut utiliser un produit scalaire hermitien pour identifier Hom(C n, C) C n, mais cette application n est pas C-linéaire, donc ce n est pas l identification que nous recherchons. 2. Cas réel : supposons que l on puisse trouver une trivialisation locale E Uα Uα R n telle que g αβ : U α U β O(n) GL(n, R), de sorte que le groupe de structure de E peut être réduit à O(n). Alors g t αβ g αβ = Id, donc (g t αβ ) 1 = g αβ et ainsi E E. 3. Cas complexe : même si g αβ : U α U β U(n) GL(n, C), on a g αβ t g αβ = Id et par conséquent g t αβ 1 = gαβ g αβ. Ainsi E E en tant que fibrés complexes. En fait E E. Pour un fibré E réalisé comme E = ( U α R n )/{g αβ }, supposons que les fonctions de transition vérifient g αβ : U α U β O(n). Lemme On peut définir un produit scalaire sur chaque fibre E b. Démonstration. Définissons, b sur E b pour tout b B comme suit. Soit (, ) le produit scalaire canonique sur R n, c est-à-dire (e i, e j ) = δ ij pour la la base canonique {e i } de R n. Alors on peut identifier Ψ α : E b R n pour tout α tel que b U α, puis définir e α i (b) = Ψ 1 α (b, e i). On vérifie ensuite que {e α i (b)} est une base de E b. Définissons maintenant, b en déclarant que {e α i (b)} est un cadre orthonormal, c est-à-dire avec la condition e α i (b), eα j (b) b = δ ij. Par conséquent si v = Σv i e α i (b) et u = Σu ie α i (b), alors Tout est bien défini si g αβ O(n). u, v b = (Ψ α (b, v 1 ), Ψ α (b, v 2 )) = n u i v i. Définition Un fibré dont chaque fibre est muni d un produit scalaire, b variant de façon lisse en b est dit fibré métrique lisse. On vérifie que si σ 1 et σ 2 sont des sections C, alors b σ 1 (b), σ 2 (b) b st lisse. Proposition Soit Ψ : E U U R n une trivialisation locale. Fixons b B. Alors {f i (b) = Ψ 1 (b, e i )} n i=1 est une base de E b, appelée un cadre local. Définissons également H ij (b) = f j (b), f i (b) b. Alors b H ij (b) définit une application lisse de U dans GL(n). Remarque Si E admet un fibré métrique lisse (c est-à-dire, b sur chaque E b et variant de façon lisse en b), alors on peut choisir une identification E U U R n telle que g αβ : U α U β O(n). i=1

23 1.6 Métrique sur un fibré 17 Exemple (Exemples d existence de métriques). B R n 1. Sur le fibré trivial choisissons, b = (, ) (ou n importe quel utre produit scalaire sur R n ). B 2. Sur E = ( U α R n )/{g αβ }, prenons une partition de l unité subordonnée à {U α } (on suppose {U α } localement fini dans cet exemple). Plus précisément, soit {ρ α : U α R lisse} telle que Supp(ρ α ) U α et Σ α ρ α (b) = 1 pour tout b. Pour tout b U α, on peut définir, b,α sur E Uα à l aide de Ψ α : E Uα Uα R n, puis poser, b = Σ α ρ α (b), b,α. Remarque La construction pour des métriques hermitiennes sur les fibrés vectoriels complexes est identique. En remplaçant «orthonormal» par «unitaire» et O(n) par U(n), tous les résultats restent encore valables.

24 18 Chapitre 1. Fibrés 1.7. Classification des fibrés vectoriels et des fibrés principaux Le but de la section est de construire un fibré vectoriel et un fibré principal «universels» dans un sens à préciser Un outil fondamental : la grassmannienne. La quête du fibré universel nous conduit au royaume des grassmanniennes. Définition La grassmannienne réelle G(k, m) = G R (k, m) = G k (m) est l ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de R m. On définit de même la grassmannienne complexe G C (k, m) comme étant l ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de C m. Exemple En fait G(1, m) est l ensemble des droites de R m, c est-à-dire le (m 1)-ième espace projectif RP m 1. De même G C (1, m) = CP m 1. Nous avons besoin des propriétés suivantes des grassmanniennes. Nous les citons pour G(k, m) = G R (k, m), mais leur analogue pour G C (k, m) est vrai. Proposition k(m k). 1. La grassmannienne G(k, m) est une variété lisse de dimension 2. Soit V k (m) = {(V, v) ; v V } G(k, m) R m. La projection π : G(k, m) sur la première composante munit γk m = (V k(m), p, G k (m), R k ) d une structure de fibré vectoriel de fibre de dimension k. La démonstration de cette proposition nous tiendra en haleine jusqu à la fin de cette sous-section. Rappelons que le fibré trivial est noté R m. Le fibré universel Q au-dessus de G(k, m) est défini par la suite exacte de morphismes de fibrés 0 γ m k R m Q 0. Plus précisément Q V R m /V est un (m k)-plan. Commençons par la démonstration de la première propriété. Une façon pratique d exprimer un cadre est avec la (m k)-matrice [v 1,..., v k ], où chaque v i R m est vu comme une colonne de la matrice. La condition d indépendance linéaire est équivalente au fait que cette matrice [v 1,..., v k ] est de rang k. On peut interpréter cette matrice comme une application linéaire injective R k R m. Bien sûr, chaque k-plan admet de nombreux cadres ; ainsi la description n est pas unique. En fait, pour toute matrice A GL(k) on a un nouveau cadre décrit par la matrice [v 1,..., v k ] A, c est-à-dire par l application R k A R m. Ceci conduit à la description de G k (m) comme un quotient de l espace F (k, m) des k-cadres (par GL(k)). L espace des k-cadres est appelé variété de Stiefel. On peut en fait identifier R k [v 1,...,v k ] F (k, m) = {(m k)-matrice de rang k} = {f : R k R m ; f linéaire et injective}. Ainsi G k (m) = F (k, m)/ GL(k), où GL(k) agit librement à droite sur F (k, m) comme décrit cidessus. On vérifie que F (k, m) est une variété lisse de dimension km. Supposons que [v 1,..., v k ] G k (m) est tel que le premier mineur k k soit de déterminant non nul. Alors il existe une matrice A GL(k) telle que [v 1,..., v k ] A = ( Id B ).

25 1.7 Classification des fibrés vectoriels 19 En d autres termes, les k premières lignes ont été réduites à l identité et B est un bloc (m k) k. Définissons une application ( ) Id Mat(m k, k) U {1,...,k} GL(k, m), B. B Si I = {i 1,..., i k } {1,..., m}, alors U I définit un système de coordonnées pour G k (m). En fait G k (m) est recouvert par l ensemble de ces U I et les changements de paramétrisation sont lisses. De même, sur C m, les changements de paramétrisation pour G C (k, m) sont holomorphes. Ainsi G C (k, m) est une variété complexe de dimension k(m k). Démontrons maintenant la seconde propriété. Examinons la projection π : F (k, m) G k (m), de fibre GL(k). Vérifions qu en fait (F (k, m), π, G k (m), GL(k)) est un GL(k)-fibré principal. Il nous faut établir la trivialité locale au-dessus de U I. Décrivons [v 1,..., v k ] = ( Id B ) A au-dessus de U {1,...,k}. Pour ce faire, définissons une application [v 1,..., v k ] ([v 1,..., v k ], A). C est une trivialisation, donc π : F (k, m) G k (m) est un GL(k)-fibré principal. Relions ce fibré à γ m k. Lemme Nous avons γ m k = F (k, m) GL(k) R k. Par conséquent γ m k est le fibré vectoriel associé au fibré principal F (k, m) G k(m) Classification des fibrés vectoriels de base et de rang fixés. Un des problèmes centraux des fibrés vectoriels est le suivant : étant donnés un espace topologique B et un entier k, déterminer (à isomorphisme près) tous les fibrés vectoriels de rang k sur B. L ensemble de tous ces fibrés est noté Vect k (B). L idée pour la classification est de trouver un fibré vectoriel, noté π : EG = EG k BG = BG k et appelé fibré universel de rang k de B, ayant la propriété suivante. Pour tout autre fibré E B de rang k, il existe une application f : B BG appelée application classifiante vérifiant f (EG) E. D après le premier théorème fondamental 1.5.9, des applications homotopes induisent des fibrés isomorphes. Donc si [B, BG] dénote l ensemble des classes d homotopie d applications de B dans BG, il existe une application bien définie [B, BG k ] Vect k (B), [f] [f (EG k )]. L objectif est de construire un inverse de cette application, après avoir déterminé le fibré universel. Nous verrons que la condition nécessaire à cette construction est que B soit paracompact. Définition Soit ξ k : E B un fibré vectoriel de rang k. Une application de Gauss du fibré dans R m est un morphisme de fibrés vectoriels g : E R m qui est injectif sur chaque fibre (en particulier m k). Par exemple, pour le fibré γk m : G k (m) = {(V, x) ; V G k (m), x V } G k (m) = G m k au-dessus de la grassmannienne, la seconde projection q : G k (m) R m est une application de

26 20 Chapitre 1. Fibrés Gauss. G k (m) p=pr 1 G k (m) q=pr 2 R m Proposition Soit (u, f) : ξ k γk m un morphisme de fibrés vectoriels qui est un isomorphisme sur les fibres. Alors q u : E R m est une application de Gauss. Réciproquement, soit g : E R m une application de Gauss. Alors il existe un morphisme de fibrés vectoriels (u, f) : ξ k γk m tel que q u = g. Démonstration. Seul le second point mérite une démonstration. Posons f(b) = g(p 1 (b)) G k (m) pour b B et u(x) = (f(p(x)), g(x)) G k (m) R m. Alors le couple (u, f) convient. Ainsi, il existe une application de Gauss g : E R m si et seulement s il existe une application f : B G k (m) telle que le fibré de départ ξ k : E B soit isomorphe à f (γk m ). Avant de construire une application de Gauss pour chaque fibré vectoriel de base paracompacte, nous avons besoin de la Proposition Soit E B un fibré vectoriel de base paracompacte recouvert par des ouverts trivialisants {U i } i I. Alors il existe un recouvrement dénombrable {W j } j de B tel que E Wj soit trivial. Si de plus chaque b B est contenu dans au plus n ouverts U i, alors il existe un recouvrement ouvert fini {W j } 1 j n tel que E Wj soit trivial. Démonstration. La paracompacité de B nous fournit une partition de l unité {ρ i } i subordonnée au recouvrement {U i } i (c est-à-dire Supp(ρ i ) U i ). Pour tout ensemble fini d indices S, soit W (S) l ouvert des b B tels que ρ i (b) > ρ j (b) pour tous i S et j / S. Si S et S sont deux ensembles d indices distincts à m éléments, alors W (S) W (S ) =. En effet, il existe i S et j S tels que i / S et j / S ; par conséquent pour tout b W (S) nous avons ρ i (b) > ρ j (b), et pour tout b W (S ) nous avons ρ j (b) > ρ i (b). Donc W (S) W (S ) =. Pour b B, notons S(b) l ensemble fini des indices i tels que ρ i (b) > 0 et posons W m = S(b)=m W (S(b)). Le fibré E W (S(b)) est trivial. Puisque W m est une réunion disjointe, il est également trivial. Enfin W j = lorsque j > m. Le résultat suivant nous assure de l existence d une application classifiante. Théorème (fondamental n 2). Pour tout fibré vectoriel p : E B de rang k et de base paracompacte, il existe une application de Gauss g : E R. Si de plus B admet un recouvrement ouvert fini {U i } 1 i n tel que E Ui soit trivial pour tout i, alors le fibré E B admet une application de Gauss g : E R kn. Démonstration. Soit {U i } un recouvrement ouvert trivialisant dénombrable, de trivialisations ψ i : E Ui U i R k. Choisissons une partition de l unité {ρ i } subordonnée à {U i }. Définissons des applications g i : E R k en posant g i = { (ρ i p)(pr 2 ψ i ) sur E Ui, 0 ailleurs,

27 1.7 Classification des fibrés vectoriels 21 où pr 2 : U R k R k est la seconde projection. Il nous reste à vérifier que g = i g i : E R k est bien une application de Gauss. Or les images des g i sont des sous-espaces complémentaires de R et chaque g i est injective, donc g est bien injective. S il n y a qu un nombre fini n de U i, alors n i=1 Rk = R kn. Dans le cas contraire, la somme est de dimension infinie. Nous avons ainsi construit pour chaque fibré vectoriel une application classifiante. Afin de construire [E B] [f], il nous faut maintenant démontrer que deux appplications classifiantes donnant lieu à des fibrés isomorphes sont homotopes, en d autres termes une unicité de l application classifiante. Théorème (fondamental n 3). Soient 1 m + et j : G k (m) G k (2m). Soient f 0, f 1 : B G k (R m ) telles que f 0 (γ k(m)) f 1 (γ k(m)). Alors j f 0 et j f 1 sont homotopes. Démonstration. Admise car technique (voir [4] page 33). Le théorème nous fournit une application Φ : [f] [E B]. Les théorèmes et nous permettent de construire une application Ψ : [E B] [f], inverse de Φ. D où le Corollaire Soit B une variété paracompacte. Il existe une correspondance bijective entre les (classes d isomorphismes de) fibrés vectoriels de rang k au-dessus de B et les (classes d homotopie de) fonctions lisses B G k ( ). En d autres termes Vect k (B) [B, G k ] Classification des G-fibrés principaux. Pour tout groupe de Lie G, examinons une construction pour deux espaces B G et E G ainsi qu un G-fibré principal E G B G universel. Définition Un fibré G-principal de base B est à trivialisation adaptée s il possède une trivialisation par des ouverts {U i } admettant une partition de l unité {ρ i } subordonnée. Ainsi un fibré principal localement trivial et de base paracompacte est à trivialisation adaptée. Définition Un fibré G-principal à trivialisation adaptée ω = (E 0, p 0, B 0 ) est dit universel s il vérifie les deux conditions suivantes : 1. Pour tout fibré G-principal à trivialisation adaptée ξ de base B, il existe une application f : B B 0 telle que ξ f (ω). 2. Si f 0, f 1 : B B 0 sont deux applications telles que f 0 (ω) f 1 (ω), alors f 0 et f 1 sont homotopes. Si on définit Prin G (B) comme étant l ensemble des classes d isomorphisme de G-fibrés principaux sur B, alors l existence d un fibré G-principal universel nous fournit une bijection Prin G (B) [B, B 0 ]. L espace E 0 = E G décrit ci-après est obtenu à l aide de la construction de Milnor. Définition La réunion infinie («infinite join») d un groupe G est E G = G G = {(t 1 x 0, t 1 x 1,...) ; t i [0, 1], x i G, les t i presque tous nuls, i t i = 1}.

28 22 Chapitre 1. Fibrés Un élément de E G est noté x, t. Deux éléments x, t et x, t sont identifiés dès que t i = t i pour tout i et x j = x j pour tout j tel que t j > 0. Maintenant, faisons agir G sur E G par multiplication à droite en posant x, t y = xy, t. On munit ensuite E G d une topologie compatible avec l action de G (admis). Notons BG = E G /G l espace des orbites. On définit enfin ω G = (E G, p, B G ). Proposition ([4]). Le G-fibré ω G est un G-fibré principal à trivialisation adaptée. Les espaces E G et B G sont fibrés par E G (n) E G (n + 1) E G B G (n) B G (n + 1) B G avec E G (n) = {(t 0 x 0, t 1 x 1,...) E G ; t i = 0 pour tout i > n} et B G (n) = p(e G (n)). Exemple Pour G = Z/2Z, on a E G (n) = S n. L action de Z/2Z sur S n est par l identité et l antipode, donc B G (n) = RP n. Par conséquent E G = S (la limite du système inductif S n S n+1 ) et BG = RP (la limite du système inductif RP n RP n+1 ). Le fibré (S n, p, RP n ) est universel pour toute dimension inférieure ou égale à n Pour G = S 1, on a E G (n) = S 2n+1. L action de S 1 sur S 2n+1 est (z 0, z 1,..., z n )e iθ = (e iθ z 0,..., e iθ z n ), donc B G (n) = CP n. Par conséquent E G = S et B G = CP (la limite du système inductif CP n CP n+1 ). Le fibré (S 2n+1, p, CP n ) est universel pour toute dimension inférieure ou égale à 2n. Afin de démontrer que le fibré G-principal ω G est universel, nous avons besoin de la Proposition Soit ξ un fibré G-principal à trivialisation adaptée de base B. Alors il existe une partition de l unité {ρ n } n N dénombrable telle que les U n = ρ 1 n (]0, 1]) soient des ouverts trivialisants pour ξ. Démonstration. Admise car technique (voir [4] page 56). Théorème Pour tout fibré G-principal à trivialisation adaptée, il existe une application f : B B G telle que ξ f (ω G ). Démonstration. Soit {ρ n } n N la partition de l unité fournie par la proposition Notons h n : U n G ξ Un les applications de trivialisation. Définissons une application θ : E E G en posant ( u(z) = (ρ 0 p(z))(q 0 h 1 0 (z)),..., (ρ n p(z))(q n h 1 n ), (z)),... où q n : U n G G est la seconde projection. Pour z en lequel h 1 n (z) n est pas défini, on a ρ n (p(z)) = 0. Par conséquent u est bien définie. Par ailleurs h n (zg) = h n (z)g donc u(zg) = u(z)g pour tout g G. L application u induit f : B B G et (u, f) : ξ ω G est un morphisme de G-fibrés principaux. Théorème Soient f 0, f 1 : X B G deux applications telles que f 0 (ω G ) f 1 (ω G ). Alors f 0 et f 1 sont homotopes. Démonstration.