Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance

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1 Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance Damien Lamberton Bernard Lapeyre

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3 Avant-Propos Pour cette seconde édition, nous avons apporté quelques modifications au texte primitif. Les premières concernent la correction d erreurs plus ou moins importantes. L erreur la plus sérieuse était une affirmation fausse concernant les intégrales stochastiques voir le résumé des propriétés de l intégrale stochastique à la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et l exercice 15, qui nous a été inspiré par Marc YOR. Nous avons ajouté quelques sujets de problèmes à la fin du chapitre 4. Ces problèmes permettent d introduire et de traiter divers exemples d options exotiques. Nous avons complété la bibliographie de quelques titres récents, en particulier sur le thème des marchés incomplets, le chapitre 7 ne faisant qu effleurer le sujet. Enfin, nous avons récrit les programmes de simulation et d analyse numérique dans le langage C qui se répand de plus en plus dans les banques. Nous remercions les collègues qui nous ont signalé des erreurs ou des coquilles. Il en reste hélas sûrement et nous espérons que les lecteurs de cette nouvelle édition voudront bien nous les signaler. Damien Lamberton et Bernard Lapeyre.

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5 Table des matières Introduction 9 1 Le problème des options La notion d arbitrage et la relation de parité call-put Le modèle de Black-Scholes et ses extensions Plan du livre Remerciements Modèles discrets 13 1 Le formalisme des modèles discrets Les actifs financiers Les stratégies Stratégies admissibles et arbitrage Martingales et arbitrages Martingales et transformées de martingales Marchés financiers viables Marchés complets et évaluation des options Marchés complets Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchés complets Première approche des options américaines Problème corrigé : le modèle de Cox, Ross et Rubinstein Problème d arrêt optimal et options américaines 27 1 Notion de temps d arrêt Enveloppe de Snell Décomposition des surmartingales Enveloppe de Snell et chaînes de Markov Application aux options américaines Exercice et couverture des options américaines Options américaines et options européennes Exercices Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques 39 1 Généralités sur les processus à temps continu Le mouvement brownien Martingales à temps continu Intégrale stochastique et calcul d Itô Construction de l intégrale stochastique Calcul d Itô

6 6 TABLE DES MATIÈRES 4.3 Exemples d utilisation de la formule d Itô Formule d Itô multidimensionnelle Equations différentielles stochastiques Théorème d Itô Le processus d Ornstein-Ulhenbeck Equations différentielles stochastiques à valeurs vectorielles Propriété de Markov des solutions d équations différentielles stochastiques Exercices Modèle de Black et Scholes 67 1 Description du modèle L évolution des cours Les stratégies autofinancées Changement de probabilité. Théorème de représentation des martingales Probabilités équivalentes Théorème de Girsanov Théorème de représentation des martingales browniennes Evaluation et couverture des options dans le modèle de Black et Scholes Une probabilité sous laquelle S t est une martingale Pricing Couverture des calls et des puts Options américaines dans le modèle de Black-Scholes Evaluation des options américaines Puts perpétuels, prix critique Exercices Evaluation des options et équations aux dérivées partielles 95 1 Calculs de prix d options européennes pour les modèles de diffusion Générateur infinitésimal d une diffusion Calculs d espérances et équations aux dérivées partielles Le cas du modèle de Black et Scholes Equation aux dérivées partielles sur un ouvert borné et calcul d espérance11 2 Résolution numérique des équations paraboliques Localisation La méthode des différences finies Le problème des options américaines Formulation du problème Le put américain dans le modèle de Black et Scholes La méthode binomiale pour le calcul du put américain Exercices Modèles de taux d intérêt Principes de la modélisation Notion de courbe des taux Courbe des taux en avenir incertain Options sur obligations Quelques modèles usuels Le modèle de Vasicek

7 TABLE DES MATIÈRES Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross Autres modèles Exercices Modèles d actifs avec sauts Processus de Poisson Description de l évolution de l actif risqué Evaluation et couverture des options Les stratégies admissibles Pricing Prix des calls et des puts Couverture des calls et des puts Exercices Simulation et alogrithmes pour les modèles financiers Simulation et modèles financiers La méthode de Monte Carlo Simulation d une loi uniforme sur [, 1] Simulation des variables aléatoires Simulation de processus stochastiques Quelques algorithmes utiles Approximation de la fonction de répartition d une gaussienne Implémentation informatique de la méthode de Brennan et Schwartz L algorithme de Cox Ross pour le calcul du prix d une option américaine Exercices Appendice Variables aléatoires gaussiennes Gaussiennes réelles Vecteurs gaussiens Espérance conditionnelle Exemples de sous-tribus Propriétés de l espérance conditionnelle Calculs d espérances conditionnelles Théorème de séparation des convexes Bibliographie 167

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9 Introduction Si, à l égard de plusieurs questions traitées dans cette étude, j ai comparé les résultats de l observation à ceux de la théorie, ce n était pas pour vérifier des formules établies par les méthodes mathématiques, mais pour montrer seulement que le marché, à son insu, obéit à une loi qui le domine : la loi de la probabilité. L. BACHELIER, Théorie de la Spéculation 19 Le but de ce livre est de fournir une introduction aux techniques probabilistes nécessaires à la compréhension des modèles financiers les plus courants. Les spécialistes de la finance ont en effet recours, depuis quelques années, à des outils mathématiques de plus en plus sophistiqués martingales, intégrale stochastique pour la description des phénomènes et la mise au point de méthodes de calcul. En réalité, l intervention du calcul des probabilités en modélisation financiére n est pas récente : c est en tentant de bâtir une théorie de la spéculation que Bachelier [Bac] a découvert, au début du siècle, l objet mathématique appelé aujourd hui mouvement brownien. Mais elle a pris une dimension nouvelle à partir de 1973, avec les travaux de Black-Scholes [BS73] et Merton [Mer73] sur l évaluation pricing en anglais et la couverture des options. Depuis, tandis que se développaient les marchés d options, les méthodes de Black-Scholes et Merton ont été perfectionnées, tant au niveau de la généralité que de la clarté et de la rigueur mathématique et la théorie paraît suffisamment avancée pour tenter de la rendre accessible à des étudiants. 1 Le problème des options Notre exposé est principalement centré sur le problème des options, qui a été le moteur de la théorie et reste l exemple le plus frappant de la pertinence des méthodes de calcul stochastique en finance. Une option est un titre donnant à son détenteur le droit, et non l obligation d acheter ou de vendre selon qu il s agit d une option d achat ou de vente une certaine quantité d un actif financier, à une date convenue et à un prix fixé d avance. La description précise d une option se fait à partir des éléments suivants : la nature de l option : on parle, suivant la terminologie anglo-saxonne, de call pour une option d achat et de put pour une option de vente. l actif sous-jacent, sur lequel porte l option : dans la pratique, il peut s agir d une action, d une obligation, d une devise etc. le montant, c est-à-dire la quantité d actif sous-jacent à acheter ou à vendre. l échéance ou date d expiration, qui limite la durée de vie de l option ; si l option peut être exercée à n importe quel instant précédant l échéance, on parle d option américaine, si l option ne peut être exercée qu à l échéance, on parle d option européenne.

10 1 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE le prix d exercice, qui est le prix fixé d avance auquel se fait la transaction en cas d exercice de l option. L option, elle même, a un prix, appelé la prime. Lorsque l option est cotée sur un marché organisé, la prime est donnée par le marché. En l absence de cotation, le problème du calcul de la prime se pose. Et, même pour une option cotée, il peut être intéressant de disposer d une formule ou d un modèle permettant de détecter d éventuelles anomalies de marché. Examinons, pour fixer les idées, le cas d un call européen, d échéance T, sur une action, dont le cours à la date t est donné par S t. Soit K le prix d exercice. Il est clair que si, à l échéance T, le prix K est supérieur au cours S T, le détenteur de l option n a pas intérêt à exercer. Par contre, si S T > K, l exercice de l option permet à son détenteur de réaliser un profit égal à S T K, en achetant l action au prix K et en la revendant sur le marché au cours S T. On voit qu à l échéance, la valeur du call est donnée par la quantité : S T K + = maxs T K,. Pour le vendeur de l option, il s agit, en cas d exercice, d être en mesure de fournir une action au prix K, et, par conséquent de pouvoir produire à l échéance une richesse égale à S T K +. Au moment de la vente de l option, qu on prendra pour origine des temps, le cours S T est inconnu et deux questions se posent : 1. Combien faut-il faire payer à l acheteur de l option, autrement dit comment évaluer à l instant t = une richesse S T K + disponible à la date T? C est le problème du pricing. 2. Comment le vendeur, qui touche la prime à l instant, parviendra-t-il à produire la richesse S T K + à la date T? C est le problème de la couverture. 2 La notion d arbitrage et la relation de parité call-put La réponse aux deux questions qui précèdent ne peut se faire qu à partir d un minimum d hypothèses de modélisation. L hypothèse de base, retenue dans tous les modèles, est que, dans un marché suffisamment fluide, il n y a pas d opportunité d arbitrage, c est-à-dire qu il est impossible de faire des profits sans prendre de risques. Nous traduirons cette hypothèse en termes mathématiques dans le chapitre 1. Pour l instant, nous nous contenterons de montrer comment, à partir de cette simple hypothèse, on peut établir des relations entre les prix d un call et d un put européen de même échéance T et de même prix d exercice K, sur une action de cours S t à l instant t. Nous supposerons qu il est possible d emprunter ou de placer de l argent à un taux constant r. Désignons par C t et P t les prix respectifs du call et du put à l instant t. En l absence d opportunité d arbitrage, on a la relation suivante, valable à tout instant t < T et appelée relation de parité call-put : C t P t = S t Ke rt t. Pour faire comprendre la notion d arbitrage, montrons comment on pourrait réaliser un profit sans risque si on avait, par exemple : C t P t > S t Ke rt t. A l instant t, on achète une action et un put et on vend un call. Cette opération dégage, à l instant t, un profit net égal à C t P t S t.

11 INTRODUCTION 11 Si cette somme est positive, on la place au taux r jusqu à la date T, sinon, on l emprunte au même taux. A la date T, deux cas peuvent se présenter : S T > K : alors, le call est exercé, on livre l action, on encaisse la somme K et on solde l emprunt ou le prêt, de sorte qu on se retrouve avec une richesse égale à : K+e rt t C t P t S t >. S T K : alors, on exerce son put et on solde comme précédemment, de sorte qu on se retrouve encore avec une richesse égale à : K + e rt t C t P t S t. Dans les deux cas, on a réalisé un profit positif sans mise de fond initiale : c est un exemple d arbitrage. On trouvera de nombreux exemples de relations d arbitrage telles que la relation de parité ci-dessus dans le livre de Cox et Rubinstein [CR85]. Nous ne passerons pas en revue toutes ces relations d arbitrage, mais nous montrerons comment on peut caractériser mathématiquement les marchés où il n y a pas d arbitrage. 3 Le modèle de Black-Scholes et ses extensions Si les raisonnements par arbitrage fournissent de nombreuses relations intéressantes, ils ne sont pas suffisants pour obtenir des formules de prix. Pour cela, on a besoin de modéliser de façon plus précise l évolution des cours. Black et Scholes ont été les premiers à proposer un modèle conduisant à une formule explicite pour le prix d un call européen sur une action ne donnant pas de dividendes et à une stratégie de gestion qui, dans le cadre du modèle, permet au vendeur de l option de se couvrir parfaitement, c est à dire d éliminer totalement le risque. Le prix du call est, dans le modèle de Black-Scholes, la somme d argent dont on doit disposer initialement pour pouvoir suivre la stratégie de couverture et produire ainsi exactement la richesse S T K + à l échéance. De plus, la formule obtenue ne dépend que d un paramètre non directement observable sur le marché et appelé volatilité par les praticiens. C est le recours à la notion d intégrale stochastique pour exprimer les gains et les pertes dans les stratégies de gestion de portefeuille qui permet d utiliser le calcul stochastique et, en particulier, la formule d Itô, et conduit à des expressions calculables. De nombreuses extensions des méthodes de Black et Scholes ont été développées ces dernières années. Nous nous efforcerons, à partir d une étude approfondie du modèle de Black-Scholes sous sa forme la plus simple, de donner au lecteur les moyens de comprendre ces diverses extensions. 4 Plan du livre Les deux premiers chapitres sont consacrés à l étude des modèles discrets. On y voit le lien entre la notion mathématique de martingale et la notion économique d arbitrage, la notion de marché complet et l évaluation des options dans le cadre des marchés complets. Le formalisme adopté est celui de Harrison et Pliska [HP81] et nous avons repris l essentiel des résultats de [HP81] dans le chapitre 1 en prenant comme exemple le modèle de Cox-Ross-Rubinstein. Le chapitre 2 traite des options américaines à l aide de la théorie de l arrêt optimal à temps discret qui relève de méthodes élémentaires et contient toutes les idées à transposer dans le cas continu. Le chapitre 3 introduit le lecteur aux principales notions de calcul stochastique utilisées dans le modèle de Black-Scholes, qui est étudié en détail au chapitre 4. Ce modèle donne, pour les options européennes, des formules explicites. Mais, pour traiter les options américaines ou faire des calculs dans des modèles plus sophistiqués, on doit avoir recours à des méthodes numériques fondées sur le lien entre évaluation des options et équations aux dérivées partielles

12 12 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE : ces questions font l objet du chapitre 5. Le chapitre 6 est une introduction assez succinte aux principaux modèles de taux d intérêt et le chapitre 7 examine les problèmes d évaluation et de couverture des options dans le cadre de modèles avec sauts très simples. Dans ces modèles, il n y a plus de couverture parfaite des options, mais seulement une couverture optimale, en un sens à préciser. De tels modèles, moins optimistes que le modèle de Black-Scholes, semblent souvent rendre mieux compte de la réalité des marchés. Enfin, pour permettre aux étudiants d appliquer la théorie de façon plus concrète, nous avons inclu un chapitre sur la simulation des modèles financiers et l usage qu on peut faire de l informatique dans les questions d évaluation et de couverture des options. On trouvera également, dans chaque chapitre un certain nombre d exercices ou de problèmes. Ce livre n est qu une introduction à un domaine qui a déjà suscité une abondante littérature. Les indications bibliographiques données à la fin de certains chapitres suggèrent au lecteur des pistes de lectures complémentaires sur les sujets traités. Mais certains aspects importants des mathématiques de la finance ne sont pas abordés, notamment les questions d optimisation et les problèmes d équilibre, pour lesquels on pourra se reporter à [Duf88]. Nous avons placé quelques rappels mathématiques en appendice. La lecture de ce livre suppose de toute façon de bonnes connaissances en probabilités correspondant essentiellement aux sept premiers chapitres de [Bou86]. 5 Remerciements Ce livre est issu d un cours enseigné à l Ecole Nationale des Ponts et Chaussées depuis La mise en œuvre de ce cours n aurait pas été possible sans les encouragements de N. Bouleau. Sous son impulsion, le CERMA centre de mathématiques appliquées de l E.N.P.C. s était engagé dans l étude des modèles financiers dès 1987, avec le soutien de la Banque Indosuez, et, plus récemment, de la Banque Internationale de Placement. Nous avons bénéficié, depuis, de discussions nombreuses et stimulantes avec G. Pagès, ainsi qu avec d autres chercheurs du CERMA, en particulier O. Chateau et G. Caplain. Plusieurs personnes ont bien voulu lire les premières versions de notre travail et nous faire part de leurs remarques : S. Cohen, O. Faure, C. Philoche, M. Picqué, X. Zhang. Enfin, nous remercions les collègues de l université ou de l I.N.R.I.A. qui nous ont aidés de leurs conseils ou de leurs encouragements : N. El Karoui, T. Jeulin, J.F. Le Gall, D. Talay.

13 Chapitre 1 Modèles discrets Le but de ce chapitre est de présenter les principales idées de la théorie des options dans le cadre mathématiquement très simple des modèles discrets. Nous y reprenons essentiellement la première partie de [HP81]. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein est présenté en fin de chapitre sous forme de problème corrigé, pour illustrer la théorie de façon plus concrète. 1 Le formalisme des modèles discrets 1.1 Les actifs financiers Un modèle de marché financier discret est construit sur un espace probabilisé fini Ω, F, P, muni d une filtration, c est-à-dire d une suite croissante de sous-tribus de F : F, F 1,..., F N ; F n représente les informations disponibles à l instant n et est appelée, tribu des événements antérieurs à l instant n. L horizon N sera le plus souvent, dans la pratique, la date d échéance des options. On supposera dans la suite que F = {, Ω}, F N = F = PΩ et ω Ω P {ω} >. On suppose qu il y a sur le marché d + 1 actifs financiers, dont les prix à l instant n sont donnés par des variables aléatoires S n, S 1 n,..., S d n à valeurs strictement positives, mesurables par rapport à la tribu F n les investisseurs ont connaissance des cours actuels et passés, mais pas des cours futurs. Le vecteur S n = S n, S1 n,..., Sd n est le vecteur des prix à l instant n. L actif numéroté représente les placements sans risque et on posera S = 1. Si le taux d intérêt des placements sans risque sur une période est constant et égal à r on aura S n = 1 + rn. Le coefficient β n = 1/S n apparaît comme le coefficient d actualisation de la date n à la date : c est la somme d argent qui, investie à l instant dans l actif sans risque, permet de disposer de 1 franc à l instant n si on compte les prix en francs. Les actifs numérotés de 1 à d seront appelés actifs à risques. 1.2 Les stratégies Une stratégie de gestion est définie par un processus simplement une suite dans le cas discret aléatoire φ = φ n, φ 1 n,..., φ d n à valeurs dans n N Rd+1, donnant à chaque instant n les quantités φ n, φ1 n,..., φd n des divers actifs, détenues en portefeuille. On impose au processus φ d être prévisible au sens suivant : φ i est F -mesurable i {, 1,..., d} et, pour n 1 : φ i n est F n 1 -mesurable. La signification de cette hypothèse est la suivante : le portefeuille à la date n : φ n, φ 1 n,..., φ d n, est constitué au vu des informations disponibles à la date n 1 et conservé tel quel au moment des cotations à la date n.

14 14 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE La valeur du portefeuille à l instant n est donnée par le produit scalaire : la valeur actualisée est : V n φ = φ n.s n = d φ i n Si n, i= Ṽ n φ = β n φ n.s n = φ n. S n, où β n = 1/S n et S n = 1, β n S 1 n,..., β n S d n est le vecteur des prix actualisés. On dira qu une stratégie est autofinancée si la relation suivante est réalisée pour tout n {, 1,..., N 1} : φ n.s n = φ n+1.s n. Cette relation s interprète de la façon suivante : à l instant n, après avoir pris connaissance des cours S n,...,s d n, l investisseur réajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition φ n à la composition φ n+1, le réajustement se faisant aux cours de la date n en réinvestissant la valeur totale du portefeuille et rien de plus. Il n y a donc ni apports, ni retraits de fonds en particulier, il n y a pas de consommation. Remarque 1.1 L égalité φ n.s n = φ n+1.s n est évidemment équivalente à φ n+1.s n+1 S n = φ n+1.s n+1 φ n.s n, ou encore à V n+1 φ V n φ = φ n+1.s n+1 S n. A l instant n + 1, la valeur du portefeuille est φ n+1.s n+1 et la différence φ n+1.s n+1 φ n+1.s n représente le gain net dû à la variation des cours entre les instants n et n + 1. Une stratégie autofinancée est donc une stratégie pour laquelle les variations de valeur du portefeuille viennent uniquement des gains dûs à l agitation des cours. La proposition suivante permet de préciser cette remarque en termes de quantités actualisées. Proposition 1.2 Les conditions suivantes sont équivalentes : i La stratégie φ est autofinancée. ii Pour tout n {1,..., N}, où S j est le vecteur S j S j 1. iii Pour tout n {1,..., N}, V n φ = V φ + n φ j S j, j=1 Ṽ n φ = V φ + n φ j S j, j=1 où S j est le vecteur S j S j 1 = β j S j β j 1 S j 1. Démonstration : L équivalence entre i et ii résulte de la remarque 1.1. L équivalence entre i et iii s obtient en remarquant que φ n.s n = φ n+1.s n si et seulement si φ n. S n = φ n+1. S n.

15 Ch.1 MODÈLES DISCRETS 15 Cette proposition montre que, pour une stratégie autofinancée, la valeur actualisée et, donc, la valeur tout court du portefeuille est complètement déterminée par la richesse initiale et le processus φ 1 n,..., φ d n des quantités d actifs à risques détenues cela vient simplement du fait que S j n N =. Plus précisément, on peut énoncer la proposition suivante : Proposition 1.3 Pour tout processus prévisible φ 1 n,..., φ d n V F -mesurable, il existe un et un seul processus prévisible φ n φ = φ, φ 1,..., φ d soit autofinancée et de valeur initiale V. n N n N et pour toute variable tel que la stratégie Démonstration : La condition d autofinancement entraîne : Ṽ n φ = φ n + φ 1 S n 1 n + + φ d S n d n n = V + φ 1 j S 1 j + + φd j S d j j=1 Ce qui détermine φ n. La seule chose à vérifier est la prévisibilité de φ, qui est immédiate à partir de l égalité : n 1 φ n = V + φ 1 j S 1 j + + φ d j S d j + φ 1 n S 1 n φ d n S n 1 d j=1 1.3 Stratégies admissibles et arbitrage Nous n avons pas imposé de condition sur les signes des quantités φ i n. Dire que φ n <, signifie que l on a emprunté la quantité φ n sur le marché des placements sans risques. Dire que φ i n < pour un i 1, c est dire qu on a des dettes libellées en actifs à risques par suite de ventes à découvert. Les emprunts et les ventes à découvert sont donc permis, mais nous imposerons à la valeur du portefeuille d être positive ou nulle à tout instant. Définition 1.4 Une stratégie φ est dite admissible si elle est autofinancée et si V n φ pour tout n {, 1,..., N}. L investisseur doit donc être en mesure de rembourser ses emprunts à tout instant. La notion d arbitrage réalisation d un profit sans prendre de risques est alors formalisée de la façon suivante : Définition 1.5 Une stratégie d arbitrage est une stratégie admissible de valeur initiale nulle et de valeur finale non nulle. La plupart des modèles excluent toute possibilité d arbitrage et l objet de la section suivante est de donner une caractérisation de ces modèles grâce à la notion de martingale.

16 16 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 2 Martingales et arbitrages Afin d examiner les liens entre martingales et arbitrage, nous allons tout d abord introduire la notion de martingale sur un espace de probabilité fini. Pour cela, l usage de l espérance conditionnelle est indispensable et nous renvoyons le lecteur à l appendice pour un exposé des principales propriétés de cet outil. 2.1 Martingales et transformées de martingales Dans ce paragraphe, on considère un espace de probabilité fini Ω, F, P, avec F = PΩ et ω Ω, P {ω} >, muni d une filtration F n n N sans supposer F N = F, ni F = {, Ω}. On dira qu une suite X n n N de variables aléatoires est adaptée à la filtration si pour tout n, X n est F n -mesurable. Définition 2.1 Une suite adaptée M n n N de variables aléatoires réelles est : une martingale si E M n+1 F n = M n pour tout n N 1. une surmartingale si E M n+1 F n M n pour tout n N 1. une sousmartingale si E M n+1 F n M n pour tout n N 1. Ces définitions s étendent aux variables aléatoires vectorielles : on dit par exemple qu une suite M n n N de variables aléatoires à valeurs dans R d est une martingale si chaque composante du vecteur M n définit une martingale réelle. Dans un modèle financier, dire que le cours S i n n N de l actif i est une martingale revient à dire que, à tout instant n, la meilleure estimation au sens des moindres carrés que l on puisse faire de S i n+1, à partir des informations disponibles à la date n, est donnée par Si n. Les propriétés suivantes, qui se déduisent aisément de la définition qui précède, constitueront pour le lecteur de bons exercices de maniement de l espérance conditionnelle. 1. M n n N est une martingale si et seulement si : E M n+j F n = M n j 2. Si M n n est une martingale, on a pour tout n : E M n = E M. 3. La somme de deux martingales est une martingale. 4. On a évidemment des propriétés analogues pour les surmartingales et les sousmartingales. Définition 2.2 Une suite adaptée H n n N de variables aléatoires est prévisible si, pour tout n 1, H n est F n 1 mesurable. Proposition 2.3 Soit M n n N une martingale et soit H n n N une suite prévisible par rapport à la filtration F n n N. On pose M n = M n M n 1. La suite X n n N définie par : X = H M X n = H M + H 1 M H n M n pour n 1 est une martingale par rapport à F n n N. X n est parfois appelée transformée de la martingale M n par la suite H n. Une conséquence de cette proposition et de la proposition 1.2 est que, dans les modèles financiers où les prix actualisés des actifs sont des martingales, toute stratégie autofinancée conduit à une valeur

17 Ch.1 MODÈLES DISCRETS 17 finale actualisée égale, en moyenne, à la richesse initiale. Démonstration : Il est clair que X n est une suite adaptée. De plus, pour n, on a : D où : E X n+1 X n F n = E H n+1 M n+1 M n F n = H n+1 E M n+1 M n F n car H n+1 est F n -mesurable =. ce qui prouve que X n est une martingale. E X n+1 F n = E X n F n = X n La proposition suivante donne une caractérisation des martingales qui nous sera utile par la suite. Proposition 2.4 Une suite adaptée de variables aléatoires réelles M n est une martingale si et seulement si pour toute suite prévisible H n, on a : N E H n M n = n=1 Démonstration : Si M n est une martingale, il en est de même, par la proposition 2.3, de la suite X n définie par : X = et, pour n 1, X n = N n=1 H n M n, pour toute suite prévisible H n. On a donc EX N = EX =. Réciproquement, on remarque que si j {1,..., N}, à tout événement F j -mesurable A, on peut associer la suite H n définie par H n = pour n j+ 1 et H j+1 = 1 A. Il est clair que la suite H n est prévisible et l égalité E N n=1 H n M n = donne : E 1 A M j+1 M j = et par conséquent E M j+1 F j = M j. 2.2 Marchés financiers viables Nous revenons maintenant aux modèles de marchés discrets introduits au paragraphe 1. Définition 2.5 On dit que le marché est viable s il n existe pas de stratégie d arbitrage. Théorème 2.6 Le marché est viable si, et seulement si, il existe une probabilité P équivalente 1 à P sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Démonstration : a Supposons qu il existe une probabilité P équivalente à P sous laquelle les actifs actualisés sont des martingales. Alors, pour toute stratégie autofinancée φ n, on a, d après la proposition 1.2 : n Ṽ n φ = V φ + φ j. S j. 1 Rappellons que deux probabilités P 1 et P 2 sont équivalentes si et seulement si, pour tout événement A, P 1 A = P 2 A =. Ici, P équivalente à P signifie simplement que, pour tout ω Ω, P {ω} >. j=1

18 18 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE On en déduit, grâce à la proposition 2.3, que Ṽ n φ est une martingale sous P. Donc Ṽ N φ a même espérance sous P que V φ : E Ṽ N φ = E Ṽ φ. Si la stratégie est admissible et de valeur initiale nulle, on a donc E Ṽ N φ =, avec Ṽ N φ. D où, Ṽ N φ = puisque P {ω} >, pour tout ω Ω. b La démonstration de la réciproque est plus délicate. Soit Γ le cône convexe des variables aléatoires positives et non nulles. Le marché est viable si et seulement si pour toute stratégie admissible φ on a : V φ = Ṽ N φ / Γ. b1 A tout processus prévisible φ 1 n,..., φ d n, on associe le processus défini par : n G n φ = φ 1 j S 1 j + + φd j S d j. j=1 C est le processus des gains actualisés cumulés dans toute stratégie autofinancée suivant les quantités d actifs risqués φ 1 n,..., φ d n. D après la proposition 1.3, il existe un unique processus φ n tel que la stratégie φ n, φ1 n,..., φd n soit autofinancée et de valeur initiale nulle. G n φ est alors la valeur actualisée à l instant n de cette stratégie et l hypothèse de viabilité du marché entraîne que si cette valeur est positive à tout instant, c est-à-dire si G n φ, pour tout n = 1,..., N, alors G N φ =. Le lemme suivant montre que, même sans l hypothèse de positivité des G n φ, on a encore G N φ / Γ. Lemme 2.7 Si le marché est viable, tout processus prévisible φ 1,..., φ d vérifie : G N φ / Γ. Démonstration : Supposons G N φ Γ. On a clairement une contradiction de la viabilité si G n φ pour { tout n {,..., N}. Si cette dernière propriété n a pas lieu, introduisons l entier n = sup k P G k φ < } >. On a : n N 1, P G n φ < > et m > n G m φ. On définit alors un nouveau processus ψ en posant : { si j n ψ j ω = 1 A ωφ j ω si j > n où A est l événement { G n φ < }. En utilisant la prévisibilité de φ et le fait que A est F n - mesurable on voit que ψ est aussi prévisible. D autre part : { si j n G j ψ = 1 A G j φ G n φ si j > n Alors, on voit que G j ψ pour tout j {,..., N} et que G N ψ > sur A ce qui contredit la viabilité et achève la démonstration du lemme. b2 Il est clair que l ensemble V des variables aléatoires de la forme G N φ, avec φ prévisible à valeurs dans R d, est un sous-espace vectoriel de l espace R Ω de toutes les variables aléatoires réelles définies sur Ω. D après le lemme 2.7, le sous-espace V ne rencontre pas Γ, ni le convexe compact K = {X Γ ω Xω = 1}, qui est contenu dans Γ. Il en résulte, par le théorème de séparation des convexes voir l appendice, qu il existe λ ω ω Ω tel que :

19 Ch.1 MODÈLES DISCRETS X K, λωxω > ω 2. Pour tout φ prévisible : λω G N φ ω = ω De la propriété 1, on déduit que λω > pour tout ω Ω, de sorte que la probabilité P définie par : P λω {ω} = ω Ω λω est équivalente à P. De plus, si on note E l espérance par rapport à la probabilité P, la propriété 2 signifie que, pour tout processus prévisible φ n à valeurs dans R d : E N φ j S j =. j=1 On en déduit immédiatement que pour tout indice i {1,..., d} et toute suite prévisible φ i n, à valeurs réelles, on a : N E φ i j S i j =, j=1 ce qui entraîne, grâce à la proposition 2.4 que, sous P, les prix actualisés S 1 n,..., S d n sont des martingales. 3 Marchés complets et évaluation des options 3.1 Marchés complets Nous définirons une option 2 européenne d échéance N par la donnée d une variable aléatoire h, F N -mesurable, représentant le profit que permet l exercice de l option. Ainsi, pour une option d achat ou call sur une unité d actif 1, au prix d exercice K, on a : h = S 1 N K et, pour une option de vente ou put sur une unité d actif 1 au prix d exercice + K : h = K S 1 N. Dans ces deux exemples les plus importants dans la pratique, la variable + aléatoire h est une fonction de S N seulement. Il existe des options pour lesquelles h dépend de toutes les valeurs des cours jusqu à l échéance : S, S 1,..., S N. C est le cas des options dites asiatiques, dont le prix d exercice est égal à la moyenne des cours observés sur une période donnée, précédant l échéance. Définition 3.1 On dit que l actif conditionnel défini par h est simulable ou atteignable 3 s il existe une stratégie admissible dont la valeur à l instant N est égale à h. 2 ou plus généralement un bien contingent contingent claim ou actif conditionnel. 3 attainable dans certains articles américains.

20 2 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Remarque 3.2 Dans un marché viable, pour que l option h soit simulable, il suffit qu il existe une stratégie autofinancée de valeur égale à h à l instant N. En effet, si φ est une stratégie autofinancée et si P est une probabilité équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales, alors, sous P, Ṽ n φ est une martingale en tant que transformée de martingale. On a donc, pour n {,..., N} Ṽ n φ = E Ṽ N φ F n. Il est clair alors que, si ṼN φ en particulier si V N φ = h, la stratégie φ est admissible. Définition 3.3 On dit que le marché est complet si tout actif conditionnel est simulable. Supposer qu un marché financier est complet est une hypothèse restrictive dont la justification économique est moins claire que celle de l hypothèse de viabilité. L intérêt des marchés complets est qu ils se prêtent à une théorie très simple de l évaluation et de la couverture des actifs conditionnels. Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein, que nous étudierons plus loin, fournit un exemple de modèle de marché complet d une grande simplicité. Le théorème suivant donne une caractérisation des marchés viables et complets. Théorème 3.4 Un marché viable est complet si, et seulement si, il existe une seule probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs soient des martingales. La probabilité P apparaîtra dans la suite comme l outil de calcul des formules de prix et de couverture. Démonstration : a Supposons le marché viable et complet. Alors, toute variable aléatoire h F N -mesurable et positive peut s écrire h = V N φ où φ est une stratégie admissible, qui simule l actif conditionnel h. Puisque φ est une stratégie autofinancée on a : h S N = Ṽ N φ = V φ + N φ j. S j. j=1 Alors, si P 1 et P 2 sont deux probabilités sous lesquelles les prix actualisés sont des martingales, Ṽn φ n N est une martingale à la fois sous P 1 et sous P 2. D où pour i = 1 ou 2 : E i ṼN φ = E i V φ = V φ, la dernière égalité venant du fait que F = {, Ω}. On a donc : h h E 1 = E S 2 N S N et, comme h est arbitraire, P 1 = P 2 sur la tribu F N, que l on a supposée égale à F. b Supposons le marché viable et non complet. Alors il existe une variable aléatoire h non simulable. Notons Ṽ l espace des variables aléatoires de la forme : U + N φ n. S n, 1.1 n=1 avec U F -mesurable et φ 1 n,..., φd n prévisible, à valeurs dans n N Rd. Il résulte de la proposition 1.3 et de la remarque 3.2 que la variable aléatoire h/s n n appartient pas à Ṽ. Ṽ est donc un sous-espace strict de l espace de toutes les variables aléatoires définies sur Ω, F.

21 Ch.1 MODÈLES DISCRETS 21 Alors, si P est une probabilité équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales et si l on munit l espace des variables aléatoires du produit scalaire X, Y E XY, on voit qu il existe une variable aléatoire X non nulle et orthogonale au sous-espace Ṽ. Posons alors : P {ω} = 1 + Xω P {ω} 2 X où X = sup ω Ω Xω. On définit ainsi une probabilité car E X = qui est équivalente à P, et distincte de P. On a de plus N E φ n. S n = n=1 pour tout processus prévisible φ 1 n,..., φ d n que S n n N est une P -martingale. n N, ce qui entraîne, par la proposition 2.4, 3.2 Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchés complets On suppose le marché viable et complet et on note P l unique probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Soit un actif conditionnel défini par une variable aléatoire F N -mesurable h et soit φ une stratégie admissible simulant h, c est-àdire vérifiant : V N φ = h. La suite Ṽ n n N est une martingale sous P et par conséquent, V φ = E Ṽ N φ, d où V φ = E h et plus généralement S N h V n φ = S n E F S n, n =, 1,..., N. N La valeur à tout instant de toute stratégie admissible simulant h est donc complètement déterminée par h. Il est naturel d appeler V n φ la valeur de l option : c est la richesse qui, détenue à l instant n, permet, en suivant la stratégie φ à partir de l instant n, de produire exactement la richesse h à l instant N. Si, à l instant, un investisseur vend l option au prix h E, S N il a la possibilité, en suivant une stratégie simulante φ, de restituer la richesse promise h à l instant N ; c est à dire qu il peut se couvrir parfaitement. Remarque 3.5 Il est important de noter que le calcul du prix nécessite seulement la connaissance de P pas celle de P. On aurait pu se contenter de partir de l espace probabilisable Ω, F, muni de la filtration F n, c est-à-dire, concrètement, de définir tous les états possibles et l évolution de l information disponible au cours du temps. Dès que l espace Ω, F et la filtration sont spécifiés, il est inutile, pour évaluer des options par simulation, de déterminer les vraies probabilités des divers états possibles en utilisant notamment une approche statistique. L étude du modèle de Cox-Ross-Rubinstein montrera comment, dans la pratique, les calculs de prix et de couverture peuvent être menés à bien.

22 22 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 3.3 Première approche des options américaines Une option américaine pouvant être exercée à n importe quel instant entre et N, nous la définirons comme une suite Z n positive et adaptée à la filtration F n, Z n représentant le profit que permet l exercice de l option à l instant n. Dans le cas d un call américain sur une unité d actif 1 au prix d exercice K, Z n = S 1 n K ; dans le cas d un put américain, Z n = + K S 1. Pour définir la valeur de l option américaine associée au processus Z n n n N, + nous allons raisonner par récurrence en marche arrière à partir de l échéance N. Il est clair que la valeur de l option à l instant N est U N = Z N. A quel prix vendre l option à l instant N 1? Si l acheteur exerce immédiatement, il fera le profit Z N 1, sinon il exercera éventuellement à l instant N et le vendeur doit être prêt à payer la richesse Z N à l instant N. Le vendeur doit donc encaisser à l instant N 1 une somme au moins égale à Z N 1 et lui permettant de fournir la richesse Z N à l instant N. La somme qui, disponible à l instant N 1, permet d obtenir la richesse Z N à l instant N, c est la valeur à l instant N 1 d une stratégie admissible de valeur finale Z N, c est-à-dire S N 1 E Z N F N 1, avec Z N = Z N /S N. Il est donc naturel de prendre pour valeur de l option américaine à l instant N 1 la quantité : U N 1 = max Z N 1, S N 1 E Z N FN 1. De proche en proche, on définit la valeur de l option américaine à l instant n par la relation de récurrence suivante, valable pour n = 1,..., N : U n 1 = max Z n 1, S n 1E Un S F n 1. n et : Dans le cas d un taux d intérêt constant égal à r sur chaque période, Soit Ũ n = Un S n U n 1 = max S n Z n 1, = 1 + rn la valeur actualisée de l option américaine r E U n F n 1. Proposition 3.6 La suite Ũ n n N est une P -surmartingale. C est la plus petite P - surmartingale majorant la suite Z n n N. Noter que, contrairement au cas européen, la valeur actualisée de l option américaine ne définit pas nécessairement une martingale sous P. Démonstration : De la relation : Ũ n 1 = max Zn 1, E Ũ n F n 1, on déduit que Ũ n n N est une surmartingale majorant Z n n N. Soit maintenant une surmartingale T n n N majorant Z n n N. Alors T N Ũ N et si T n Ũ n on a : T n 1 E T n F n 1 E Ũ n F n 1 et donc : T n 1 max Z n 1, E Ũ n F n 1 = Ũn 1. Ce qui démontre que T n majore Ũ n, par récurrence descendante sur n.

23 Ch.1 MODÈLES DISCRETS 23 4 Problème corrigé : le modèle de Cox, Ross et Rubinstein Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein est une version discrétisée du modèle de Black-Scholes qui sera étudié au chapitre 4, dans laquelle il y a un seul actif à risque, de prix S n à l instant n, n N, et un actif sans risque de rendement certain r sur une période, de sorte que, avec les notations des paragraphes précédents : S n = 1 + rn On fait les hypothèses suivantes sur l évolution du cours de l actif risqué : entre deux périodes consécutives, la variation relative des cours est soit a, soit b, avec 1 < a < b : { Sn 1 + a S n+1 = S n 1 + b Le cours initial S est donné. L espace naturel des résultats possibles est donc Ω = {1 + a, 1 + b} N, chaque N-uple représentant les valeurs successives de S n+1 /S n, n =, 1,..., N 1. On prend naturellement : F = {, Ω}, et F = PΩ. La tribu F n sera, pour n = 1,..., N, la tribu σs 1,..., S n engendrée par les variables aléatoires S 1,...,S n. L hypothèse définissant P à une équivalence près est que tous les singletons de Ω ont une probabilité non nulle. Introduisons les variables aléatoires T n = S n /S n 1, pour n = 1,..., N. Si x 1,..., x N est un élément de Ω, on a P{x 1,..., x N } = PT 1 = x 1,..., T N = x N. La connaissance de P équivaut donc à celle de la loi du N-uple T 1, T 2,..., T N. Notons aussi que, pour n 1, F n = σt 1,..., T n. 1. Montrer que le prix actualisé S n est une martingale sous P si et seulement si ET n+1 F n = 1 + r, n {, 1,..., N 1}. La relation E S n+1 F n = S n est équivalente à E S n+1 / S n F n = 1, puisque S n est F n - mesurable et cette dernière égalité équivaut à ET n+1 F n = 1 + r. 2. En déduire que, pour que le marché soit viable, il est nécessaire que r appartienne à l intervalle ]a, b[. Si le marché est viable, il existe une probabilité P équivalente à P, sous laquelle S n est une martingale. On a donc, d après la question 1 : E T n+1 F n = 1 + r et par conséquent E T n+1 = 1 + r. Comme T n+1 est à valeurs dans {1 + a, 1 + b} et prend ces deux valeurs avec une probabilité non nulle, on a nécessairement : 1 + r ]1 + a, 1 + b[. 3. Donner des exemples d arbitrages possibles si la condition nécessaire de viabilité obtenue en 2 n est pas vérifiée. Supposons par exemple r a. En empruntant une somme S à l instant, on peut acheter une unité d actif risqué. A la date N, on rembourse l emprunt et on revend l actif risqué. Le profit réalisé S N S 1 + r N est toujours positif ou nul, puisque S N S 1 + a N, et strictement positif avec une probabilité non nulle. On a donc bien un arbitrage. Quand r b, l arbitrage s obtient en vendant l actif risqué à découvert. 4. Pour toute la suite, on suppose que r ]a, b[ et on pose p = b r/b a. Montrer que S n est une martingale sous P si et seulement et si les variables aléatoires T 1, T 2,..., T N sont indépendantes équidistribuées, leur loi commune étant donnée par : PT 1 = 1 + a = p = 1 PT 1 = 1 + b. En déduire que le marché est viable et complet. Si les T i sont indépendantes et vérifient PT i = 1 + a = p = 1 PT i = 1 + b, on a : ET n+1 F n = ET n+1 = p1 + a + 1 p1 + b = 1 + r et S n est une martingale sous P, d après la question 1.

24 24 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Réciproquement, si, pour n =, 1,..., N 1, ET n+1 F n = 1 + r, on peut écrire : 1 + ae 1 {Tn+1 =1+a} F n be 1 {Tn+1 =1+b} F n = 1 + r On en déduit, en utilisant l égalité E 1 {Tn+1 =1+a} F n + E 1 {Tn+1 =1+b} F n = 1 que E 1 {Tn+1 =1+a} F n = p et E 1 {Tn+1 =1+b} F n = 1 p.on voit alors, en raisonnant par récurrence sur n que, pour tous x i {1 + a, 1 + b}, P T 1 = x 1,..., T n = x n = où p i = p si x i = 1 + a et p i = 1 p si x i = 1 + b, ce qui prouve que les T i sont indépendantes équidistribuées sous P et vérifient PT i = 1 + a = p. Ainsi, on voit que la condition que S n soit une martingale sous P détermine la loi du N-uple T 1, T 2,..., T N sous P, et donc la probabilité P elle-même, de façon unique. Le marché est donc viable et complet. 5. On note C n resp. P n la valeur, à l instant n, d un call resp. d un put européen sur une unité d actif risqué au prix d exercice K et d échéance N. a Retrouver, à partir des formules de prix sous forme d espérances conditionnelles, la relation de parité call-put : n i=1 p i C n P n = S n K1 + r N n. Notant E l espérance par rapport à l unique probabilité P sous laquelle S n est une martingale, on a : C n P n = 1 + r N n E S N K + K S N + F n = 1 + r N n E S N K F n = S n K1 + r N n, la dernière égalité résultant du fait que S n est une martingale sous P. b Montrer que C n peut s écrire sous la forme : C n = cn, S n, où c est une fonction que l on explicitera à l aide de K, a, b, r et p. En écrivant S N = S N n i=n+1 T i, on obtient : N C n = 1 + r N n E S n T i K F n i=n+1 Comme, sous la probabilité P, la variable aléatoire N i=n+1 T i est indépendante de F n et que S n est F n -mesurable, on peut écrire, en utilisant la proposition 2.5 de l appendice : C n = cn, S n, où c est la fonction définie par : cn, x 1 + r N n N = E x = N n j= i=n+1 T i K + N n! N n j!j! pj 1 p N n j x1 + a j 1 + b N n j K + +

25 Ch.1 MODÈLES DISCRETS Montrer que la stratégie de couverture parfaite d un call est définie par une quantité d actif risqué H n = n, S n 1 à détenir à l instant n, où est une fonction que l on exprimera à partir de la fonction c. Notant H n la quantité d actif sans risque dans le portefeuille simulant le call, on a : H n 1 + rn + H n S n = cn, S n Puisque H n et H n sont F n 1 -mesurables, ce sont des fonctions de S 1,...,S n 1 seulement et, S n étant égal à S n a ou S n b, l égalité ci-dessus implique : et D où, par soustraction, H n1 + r n + H n S n a = cn, S n a H n1 + r n + H n S n b = cn, S n b n, x = cn, x1 + b cn, x1 + a. xb a 7. On utilise maintenant le modèle pour pricer un call ou un put d échéance T sur une action. Pour cela, on fait tendre N vers l infini en imposant les relations suivantes : r = RT/N, log1 + a/1 + r = σ/ N et log1 + b/1 + r = σ/ N. Le réel R s interprète comme le taux d intérêt instantané entre les instants et T, puisque e RT = lim N 1 + r N, et σ 2 comme la variance limite, sous la probabilité P, de la variable aléatoire logs N, quand N tend vers l infini, S N représentant le cours de l action à la date T. a Montrer que si Y N N 1 est une suite de variables aléatoires de la forme : Y N = X N 1 + XN XN N où, pour chaque N, les variables aléatoires X N i sont indépendantes équidistribuées, à valeurs dans : { σ σ, }, N N et de moyenne µ N, avec lim N Nµ N = µ, alors la suite Y N converge en loi vers une gaussienne de moyenne µ et de variance σ 2. Il suffit d étudier la convergence de la fonction caractéristique φ YN de Y N. Le calcul donne : φ YN u = E e iuy N D où : lim N φ YN u = exp = N j=1 E e iuxn j N e iuxn 1 = E = 1 + iuµ N σ2 u 2 N 2N + o1/n. iuµ σ2 u 2 2, ce qui prouve la convergence demandée. b Expliciter les valeurs limites du put, puis du call à l instant. Pour N fixé, le prix du put à l instant est donné par : = 1 + RT/N N E K S P N N T n n=1 = E 1 + RT/N N K S e Y N + +

26 26 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE où Y N = N n=1 logt n/1 + r. Avec les hypothèses de l énoncé, les variables aléatoires X N j = logt j /1 + r sont à valeurs dans { σ/ N, σ/ N}, et indépendantes équidistribuées sous la probabilité P. On a de plus : E X N j σ = 1 2p = 2 eσ/ N e σ/ N σ N e σ/ N e σ/ N N La suite Y N est donc du type étudié dans la question 7a, avec µ = σ 2 /2. Si on pose ψy = Ke RT S e y +, on peut écrire : P N E ψy N = E 1 + RT/N N K S e Y N + Ke RT S e Y N + K 1 + RT/N N e RT D où, en utilisant la convergence en loi de Y N et le fait que la fonction ψ est continue bornée c est précisément pour avoir une fonction bornée que nous avons étudié le put d abord : lim N PN = lim N E ψy N = 1 + Ke RT S e σ2 /2+σy + e y2 /2 dy. 2π L intégrale obtenue s exprime, après un calcul élémentaire, à l aide de la fonction de répartition F de la loi normale centrée réduite, de sorte que : lim N PN = Ke RT F d 2 S F d 1, où d 1 = logx/k + RT + σ 2 /2/σ, d 2 = d 1 σ et Fd = 1 2π d e x2 /2 dx. Pour le call, on obtient, en utilisant la relation de parité put-call : lim N C N = S Fd 1 Ke RT Fd 2. Remarque 4.1 Dans les formules obtenues, le seul paramètre qui n est pas directement observable sur le marché est σ. L interprétation de σ comme variance suggère de l estimer par des voies statistiques. Nous reviendrons sur cette question dans le chapitre 4. Indications bibliographiques Nous avons supposé, dans ce chapitre, qu il n y avait pas de distribution de dividendes. En fait, on peut utiliser les mêmes idées pour traiter les marchés avec dividendes cf. [HL88], chapitre 8. Le théorème de caractérisation des marchés complets peut être étendu à des espaces de probabilité infinis cf. [DMW9], [Mor89]. A temps continu, la formulation du problème est délicate cf. [HK79], [Str9] et [DS94]. La théorie des marchés complets à temps continu est développée dans [HP81] et [HP83]. On trouvera une présentation élémentaire du modèle de Cox-Ross-Rubinstein dans [CR85].

27 Chapitre 2 Problème d arrêt optimal et options américaines Le but de ce chapitre est de traiter l évaluation et la couverture des options américaines et de faire apparaître le lien entre ces questions et le problème d arrêt optimal. Pour cela, nous aurons besoin de la notion de temps d arrêt, qui permet de modéliser les stratégies d exercice d une option américaine, et de la notion d enveloppe de Snell, qui est la clé de la résolution du problème d arrêt optimal. L application de ces notions aux options américaines sera précisée dans le paragraphe 5 de ce chapitre. 1 Notion de temps d arrêt Le détenteur d une option américaine peut l exercer à tout moment, jusqu à la date d échéance. La décision d exercer ou de ne pas exercer à l instant n se fera au vu des informations disponibles à l instant n. Si on se place dans un modèle discret construit sur un espace probabilisé filtré Ω, F, F n n N, P fini, on est conduit à décrire la date d exercice par une variable aléatoire appelée temps d arrêt : Définition 1.1 Une variable aléatoire ν, à valeurs dans {, 1, 2,..., N} est un temps d arrêt si, pour tout n {, 1,, N} : {ν = n} F n. Remarque 1.2 Comme dans le chapitre précédent, nous supposerons que F = PΩ et P{ω} >, ω Ω. Cette hypothèse n est d ailleurs pas essentielle : si elle n est pas vérifiée, les résultats exposés dans ce chapitre restent vrais à condition de prendre les égalités au sens presque sûr. Par contre, nous ne ferons pas les hypothèses F = {, Ω} et F N = F, sauf dans le contexte purement financier du paragraphe 5. Remarque 1.3 On pourra vérifier, à titre d exercice, que ν est un temps d arrêt si et seulement si, pour tout n {, 1,, N} : {ν n} F n. Cette définition équivalente du temps d arrêt est celle qui se généralise au temps continu. Introduisons maintenant la notion de suite arrêtée à un temps d arrêt. Soit X n n N une suite adaptée à la filtration F n n N et soit ν un temps d arrêt. La suite arrêtée à l instant ν est définie par : X ν n ω = X νω n ω c est à dire que, sur l ensemble {ν = j} on a : { X ν Xj si j n n = X n si j > n. Noter que X ν N ω = X νω ω = X j sur {ν = j}. Proposition 1.4 Soit X n une suite adaptée et soit ν un temps d arrêt. La suite arrêtée X ν n n N est adaptée. Si, de plus, X n est une martingale resp. une surmartingale, alors X ν n est une martingale resp. une surmartingale.

28 28 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Démonstration : On remarque que, pour n 1, on a : X ν n = X + n φ j X j X j 1, j=1 où φ j = 1 {j ν}. Puisque {j ν} est le complémentaire de l ensemble {ν < j} = {ν j 1}, le processus φ n n N est prévisible. Il est clair alors que X ν n n N est adaptée à la filtration F n n N. De plus, si X n est une martingale, X ν n est aussi une martingale par rapport à F n, en tant que transformée de la martingale X n. On montre de même que si la suite X n est une surmartingale resp. une sousmartingale, la suite arrêtée est encore une surmartingale resp. une sousmartingale en utilisant la prévisibilité et la positivité de φ j j N. 2 Enveloppe de Snell Dans ce paragraphe, on se donne une suite Z n n N adaptée, et on se propose d étudier la suite U n n N définie par les relations : { UN = Z N U n = max Z n, E U n+1 F n n N 1. Cette étude est motivée par notre première approche des options américaines paragraphe 3.3 du chapitre 1. Nous savons déjà, par la proposition 3.6 du chapitre 1, que U n n N est la plus petite surmartingale majorant la suite Z n n N. On l appelle enveloppe de Snell de la suite Z n n N. La relation de récurrence définissant U n montre qu à chaque instant, U n est au dessus de Z n avec égalité pour n = N et que, tant que l inégalité est stricte, U n = EU n+1 F n. Cela suggère qu en arrêtant convenablement la suite U n, on puisse obtenir une martingale, comme le montre la proposition suivante. Proposition 2.1 La variable aléatoire définie par : ν = inf {n U n = Z n } est un temps d arrêt et la suite arrêtée U n ν n N est une martingale. Démonstration : Puisque U N = Z N, ν définit bien un élément de {, 1,, N} et l on a : et pour k 1 : {ν = } = {U = Z } F, {ν = k} = {U > Z } {U k 1 > Z k 1 } {U k = Z k } F k. Pour montrer que U ν n est une martingale, on écrit, comme dans la démonstration de la proposition 1.4 : U ν n = U n ν = U + n φ j U j j=1

29 Ch.2 PROBLÈME D ARRÊT OPTIMAL ET OPTIONS AMÉRICAINES 29 où φ j = 1 {ν j}. D où, pour n {, 1,, N 1} : U ν n+1 Uν n = φ n+1 U n+1 U n = 1 {n + 1 ν } U n+1 U n On a, par définition, U n = max Z n, E U n+1 F n et sur l ensemble {n + 1 ν }, U n > Z n et par conséquent U n = E U n+1 F n. D où : et, en conditionnant : U ν n+1 Uν n = 1 {n + 1 ν } U n+1 E U n+1 F n E U ν n+1 Uν n Fn = 1{n + 1 ν } E U n+1 E U n+1 F n F n car {n + 1 ν } F n puisque le complémentaire de {n + 1 ν } est {ν n}. D où : E U ν n+1 Uν n Fn, = ce qui prouve que U ν est une martingale. Dans la suite, nous noterons T n,n l ensemble des temps d arrêt qui prennent leurs valeurs dans {n, n + 1,, N}. Remarquons que, puisque Ω est supposé fini, T n,n est un ensemble fini. La propriété de martingale de la suite U ν permet de montrer le résultat suivant, qui fait le lien entre enveloppe de Snell et problème d arrêt optimal. Corollaire 2.2 Le temps d arrêt ν vérifie : U = E Z ν F = sup ν T,N E Z ν F. Si Z n s interprète comme la somme des gains d un joueur après n parties d un jeu de hasard, on voit que s arrêter de jouer à l instant ν permet de maximiser le gain moyen sachant F. Démonstration : Puisque U ν est une martingale, on a : U = U ν = E U ν N F = E U ν F = E Z ν F. Par ailleurs, si ν T,N la suite arrêtée U ν est une surmartingale. D où : ce qui donne le résultat. U E U ν N F = E U ν F E Z ν F, Remarque 2.3 Une généralisation immédiate du corollaire 2.2 donne : où ν n = inf {j n U j = Z j }. U n = sup ν T n,n E Z ν F n = E Z νn F n,

30 3 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Définition 2.4 On appelle temps d arrêt optimal pour la suite Z n n N tout temps d arrêt ν tel que : E Z ν F = sup T,N E Z ν F Il résulte de ce qui précéde que ν est un temps d arrêt optimal. Le résultat suivant donne une caractérisation des temps d arrêt optimaux qui montre que ν est le plus petit temps d arrêt optimal. Théorème 2.5 Un temps d arrêt ν est optimal si et seulement si : { Zν = U ν et U ν n n N est une martingale. 2.1 Démonstration : Si la suite arrêtée U ν est une martingale, on a U = EU ν F et par conséquent, si 2.1 est vérifié, U = EZ ν F, ce qui, compte tenu du corollaire 2.2, entraîne l optimalité de ν. Réciproquement, si ν est optimal, on a : Mais, puisque U ν est une surmartingale : D où : U = E Z ν F E U ν F. E U ν F U. E U ν F = E Z ν F et puisque U ν Z ν, U ν = Z ν. De l égalité E U ν F = U et des inégalités : U E U ν n F E U ν F qui résultent du fait que U ν n est une surmartingale on déduit aussi : E U ν n F = E U ν F = E E U ν F n F. Mais on a U ν n E U ν F n, d où U ν n = E U ν F n, ce qui prouve que U ν n est une martingale. 3 Décomposition des surmartingales La décomposition suivante classiquement appelée décomposition de Doob permet, dans les modèles de marchés viables et complets, d associer à toute surmartingale une stratégie de gestion dans laquelle la consommation est autorisée voir à ce sujet l exercice 5. Proposition 3.1 Toute surmartingale U n n N peut s écrire de façon unique sous la forme : U n = M n A n où M n est une martingale et A n un processus croissant, prévisible, nul en.

31 Ch.2 PROBLÈME D ARRÊT OPTIMAL ET OPTIONS AMÉRICAINES 31 Démonstration : Il est clair que le seul choix possible pour n = est M = U et A =. On doit ensuite avoir : U n+1 U n = M n+1 M n A n+1 A n. D où, en conditionnant par rapport à F n et en utilisant les propriétés de M et A : et A n+1 A n = E U n+1 F n U n M n+1 M n = U n+1 E U n+1 F n. M n et A n sont ainsi déterminés de manière unique et on voit que M n est bien une martingale et que A n est bien prévisible et croissant parce que U n est une surmartingale. Supposons maintenant que U n soit l enveloppe de Snell d une suite adaptée Z n. On peut alors caractériser le plus grand temps d arrêt optimal pour Z n à l aide du processus croissant A n intervenant dans la décomposition de Doob de U n : Proposition 3.2 Le plus grand temps d arrêt optimal pour Z n est donné par : { N si AN = ν max = inf {n, A n+1 } si A N. Démonstration : On voit facilement que ν max est un temps d arrêt en utilisant le fait que A n n N est prévisible. De l égalité U n = M n A n et du fait que A j =, pour j ν max, on déduit que U νmax = M νmax ce qui entraîne que U νmax est une martingale. Pour avoir l optimalité, il suffit par conséquent de montrer l égalité : U νmax = Z νmax. Or : U νmax = = N 1 1 {νmax = j} U j + 1 {νmax = N} U N j= N 1 1 {νmax = j} max Z j, E U j+1 F j + 1 {νmax = N} Z N, j= On a E U j+1 F j = M j A j+1 et, sur l ensemble {ν max = j}, A j = et A j+1 >, donc U j = M j et E U j+1 F j = M j A j+1 < U j. Par suite U j = max Z j, E U j+1 F j = Z j. D où finalement : U νmax = Z νmax. Il reste à démontrer que c est le plus grand temps d arrêt optimal. Cela résulte du fait que si ν est un temps d arrêt vérifiant ν ν max et Pν > ν max >, alors EU ν = EM ν EA ν = EU EA ν < EU et par conséquent U ν ne peut pas être une martingale.

32 32 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 4 Enveloppe de Snell et chaînes de Markov Le but de ce paragraphe est de montrer comment, dans un cadre markovien, les calculs d enveloppes de Snell peuvent être menés à bien. Une suite X n n de variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini E est appelée chaîne de Markov si, pour tout entier n 1 et pour tous éléments x, x 1,..., x n 1, x, y de E, on a : P X n+1 = y X = x,..., X n 1 = x n 1, X n = x = P X n+1 = y X n = x La chaîne est dite homogène si le nombre Px, y = P X n+1 = y X n = x ne dépend pas de n. La matrice P = Px, y x,y E E, indexée par E E, est alors appelée matrice de transition de la chaîne. La matrice P a des coefficients positifs ou nuls et vérifie : y E Px, y = 1, pour tout x E ; on dit que c est une matrice stochastique. Lorsqu on travaille sur un espace de probabilité filtré Ω, F, F n n N, P, on définit la notion de chaîne de Markov par rapport à la filtration : Définition 4.1 Une suite X n n N de variables aléatoires à valeurs dans ensemble E est une chaîne de Markov homogène de matrice de transition P par rapport à la filtration F n n N si X n est adaptée et si pour toute fonction f de E dans R, on a : E f X n+1 F n = Pf X n où Pf désigne la fonction qui à x E associe Pfx = y E Px, yfy. Noter que si l on interprète les fonctions de E dans R comme des matrices unicolonnes indexées par E, Pf est bien le produit des deux matrices P et f. On vérifie façilement qu une chaîne de Markov au sens élémentaire est une chaîne de Markov par rapport à sa filtration naturelle, définie par : F n = σx,..., X n. La proposition suivante est une conséquence immédiate de la définition précédente et de la définition de l enveloppe de Snell. Proposition 4.2 Soit Z n une suite adaptée définie par Z n = ψn, X n, où X n est une chaîne de Markov homogène de matrice de transition P, à valeurs dans E et ψ une fonction de N E dans R. Alors, l enveloppe de Snell U n de la suite Z n est donnée par U n = un, X n, où la fonction u est définie par les relations suivantes : un, x = ψn, x x E et, pour n N 1, un, = max ψn,, Pun + 1,. 5 Application aux options américaines Nous nous plaçons maintenant dans un modèle de marché viable et complet, construit sur l espace Ω, F, F n n N, P et, comme dans les paragraphes 3.1 et 3.3 du chapitre 1, nous noterons P l unique probabilité sous laquelle les actifs actualisés sont des martingales.

33 Ch.2 PROBLÈME D ARRÊT OPTIMAL ET OPTIONS AMÉRICAINES Exercice et couverture des options américaines Dans le paragraphe 3.3 du chapitre 1, nous avons défini la valeur U n d une option américaine décrite par une suite Z n, par les relations : { UN = Z N U n = max Z n, S n E U n+1 S n+1 F n n N 1. La suite Ũ n définie par Ũ n = U n /S n valeur actualisée de l option est donc l enveloppe de Snell sous P de la suite Z n. Il résulte du paragraphe 2 ci-dessus que l on a : et par conséquent : Ũ n = D après le paragraphe 3, on peut écrire : sup E Z ν F n ν T n,n U n = S n sup E ν T n,n Zν Ũ n = M n à n, F S n. ν où M n est une P martingale et à n est un processus croissant prévisible nul en. Puisque le marché est complet, il existe une stratégie autofinancée φ telle que : V N φ = S N M N, c est à dire Ṽ N φ = M N. Comme la suite Ṽ n φ est une P -martingale, on a : et, par conséquent : D où : Ṽ n φ = E Ṽ N φ F n = E M N F n = M n, Ũ n = Ṽ n φ à n. U n = V n φ A n, où A n = S nãn. Il est clair sur cette expression que le vendeur de l option peut se couvrir parfaitement puisque, en encaissant la prime U = V φ, il peut produire une richesse égale à l instant n à V n φ qui majore U n donc Z n. Quelle est la date d exercice optimale pour l acheteur de l option? La date d exercice est à choisir parmi tous les temps d arrêt. Le détenteur de l option n a pas intérêt à exercer à un instant n où U n > Z n, car il perdrait un actif de valeur U n l option contre une richesse égale à Z n venant de l exercice de l option. Donc une date τ d exercice optimal vérifie U τ = Z τ. Par ailleurs, il n a pas intérêt à exercer après l instant ν max = inf {j, A j+1 } qui est égal à inf { j, à j+1 }, car, à cet instant, en vendant l option, il peut se constituer une richesse égale à U νmax = V νmax φ et, en suivant à partir de cet instant la stratégie φ, il se

34 34 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE constitue un portefeuille dont la valeur est strictement plus grande que celle de l option aux instants ν max + 1, ν max + 2,, N. On impose donc, comme seconde condition τ νmax, ce qui permet de dire que Ũ τ est une martingale. La conclusion de ce qui précède est que les dates d exercice optimales sont les temps d arrêt optimaux pour la suite Z n, sous la probabilité P. Pour préciser ce point, reprenons le point de vue du vendeur de l option. Si celui-ci se couvre suivant la stratégie φ définie plus haut et si l acheteur exerce à un instant τ qui n est pas optimal, on a U τ > Z τ ou A τ >. Dans les deux cas, le vendeur réalise un profit V τ φ Z τ = U τ + A τ Z τ, qui est strictement positif. 5.2 Options américaines et options européennes Proposition 5.1 Soit C n la valeur à l instant n d une option américaine décrite par une suite adaptée Z n n N et soit c n la valeur à l instant n de l option européenne définie par la variable aléatoire F N -mesurable h = Z N. Alors, on a : C n c n. De plus, si c n Z n, pour tout n, alors : c n = C n n {, 1,..., N}. L inégalité C n c n est bien naturelle puisque l option américaine donne plus de droits que l option européenne. Démonstration : Puisque la valeur actualisée C n est une surmartingale sous P, on a : C n E C N F n = E c N F n = c n D où, l inégalité : C n c n. Si on a c n Z n, pour tout n, alors la suite c n, qui est une martingale sous P, apparaît comme une surmartingale sous P majorant la suite Z n et par conséquent : D où l égalité. C n c n n {, 1,..., N} Remarque 5.2 On vérifiera sans peine que si les relations de la proposition 5.1 n étaient pas vérifiées, il y aurait des opportunités d arbitrage par des transactions sur les options. Pour illustrer la proposition qui précède, plaçons-nous dans le cas d un marché avec un seul actif risqué, de prix S n à l instant n et un taux d intérêt sans risque constant, égal à r sur chaque période, de sorte que S n = 1 + r n. Alors si, avec les notations de la proposition 5.1, on prend Z n = S n K +, c n est le prix, à la date n, d un call européen d échéance N et de prix d exercice K sur une unité d actif risqué et C n est le prix du call américain correspondant. On a : c n = 1 + r N E S N K + F n E S N K1 + r N F n = S n K1 + r N, en utilisant la propriété de martingale de S n. D où : c n S n K1 + r N n S n K, puisque r. Comme c n, on a aussi c n S n K + et par la proposition 5.1, C n = c n. Il y a donc égalité entre le prix du call européen et le prix du call américain correspondant.

35 Ch.2 PROBLÈME D ARRÊT OPTIMAL ET OPTIONS AMÉRICAINES 35 Cette propriété n est pas vérifiée dans le cas du put, ni dans le cas de calls sur devises ou sur actions distribuant des dividendes. Remarque bibliographique : Pour des compléments sur l enveloppe de Snell et l arrêt optimal, on pourra consulter [Nev72] chapitre VI et [DCD83] chapitre 5, paragraphe 1. Pour la théorie de l arrêt optimal à temps continu, voir [Kar81]. 6 Exercices Exercice 1 Soit ν un temps d arrêt par rapport à une filtration F n n N. On note F ν l ensemble des événements A tels que A {ν = n} F n, pour tout n {,..., N}. 1. Montrer que F ν est une sous-tribu de F N. F ν est souvent appelée tribu des événements antérieurs à ν. 2. Montrer que la variable aléatoire ν est F ν -mesurable. 3. Soit X une variable aléatoire réelle. Montrer l égalité : EX F ν = N 1 {ν = j} EX F j 4. Soit τ un temps d arrêt tel que τ ν. Montrer que F ν F τ. 5. Sous les mêmes hypothèses, montrer que si M n une martingale, on a On pourra traiter le cas τ = N d abord. j= M ν = EM τ F ν. Exercice 2 Soit U n l enveloppe de Snell d une suite adaptée Z n. Montrer, sans supposer F triviale que : E U = sup E Z ν, ν T,N et plus généralement que : E U n = sup E Z ν. ν T n,n Exercice 3 Montrer que ν est optimal au sens de la définition 2.4 si et seulement si : E Z ν = sup E Z τ. τ T,N Exercice 4 L objet de cet exercice est d étudier le put américain dans le modèle de Cox-Ross- Rubinstein. Les notations sont celles du chapitre Montrer que le prix P n, à l instant n, du put américain d échéance N, de prix d exercice K sur une action peut s écrire : P n = P am n, S n où P am n, x est définie par P am N, x = K x + et, pour n N 1 fn + 1, x P am n, x = max K x +,, 1 + r avec fn + 1, x = pp am n + 1, x1 + a + 1 pp am n + 1, x1 + b et p = b r b a.

36 36 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 2. Montrer que la fonction P am,. peut se mettre sous la forme : P am, x = sup ν T,N E 1 + r ν K xv ν +, où la suite de variables aléatoires V n n N est définie par : V = 1 et, pour n 1, V n = n i=1 U i, où les U i sont des variables aléatoires dont on précisera la loi conjointe sous P. 3. A partir de la formule de la question précédente, montrer que la fonction x P am, x est convexe et décroissante. 4. On suppose a <. Montrer qu il existe un réel x [, K] tel que, pour x x, P am, x = K x + et, pour x ]x, K/1 + a N [, P am, x > K x Un agent détient le put américain à l instant. Pour quelles valeurs du cours spot S a-t-il intérêt à exercer immédiatement son option? 6. Montrer que la stratégie de couverture du put américain est définie par une quantité d actif risqué H n = n, S n 1 à détenir à l instant n, où est une fonction que l on exprimera à partir de la fonction P am. Exercice 5 Stratégies de consommation. Les stratégies autofinancées définies au chapitre 1 excluent toute possibilité de consommation. On peut introduire des stratégies de consommation de la façon suivante : à l instant n, après avoir pris connaissance des cours S n,...,sd n, l investisseur réajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition φ n à la composition φ n+1 et décide de la richesse γ n+1 qui sera consommée à la date n + 1. Le réajustement se faisant aux cours de la date n, s il n y a pas d apports de fonds extérieurs, on doit avoir : φ n+1.s n = φ n.s n γ n Une stratégie de gestion avec consommation sera donc définie par un couple φ, γ, où φ est un processus prévisible à valeurs dans R d+1, représentant les quantités d actifs détenues en portefeuille et γ = γ n 1 n N un processus prévisible à valeurs dans R +, représentant la richesse consommée à chaque instant, les processus φ et γ étant liés par la relation 2.2, qui remplace la condition d autofinancement du chapitre Soit φ un processus prévisible à valeurs dans R d+1 et soit γ un processus prévisible à valeurs dans R +. On pose V n φ = φ n.s n et Ṽ n φ = φ n. S n. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : a Le couple φ, γ définit une stratégie de gestion avec consommation. b Pour tout n {1,..., N}, V n φ = V φ + n φ j. S j j=1 n γ j. j=1 c Pour tout n {1,..., N}, Ṽ n φ = V φ + n φ j. S j j=1 n γ j /S j 1. j=1 2. Dans toute la suite, on suppose le marché viable et complet et on note P l unique probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Montrer que si le couple φ, γ définit une stratégie de gestion avec consommation, alors Ṽ n φ est une surmartingale sous P.

37 Ch.2 PROBLÈME D ARRÊT OPTIMAL ET OPTIONS AMÉRICAINES Soit U n une suite adaptée telle que Ũ n soit une surmartingale sous P. Montrer, en utilisant la décomposition de Doob, qu il existe une stratégie de gestion avec consommation φ, γ telle que V n φ = U n, pour tout n {,..., N}. 4. Soit Z n, une suite adaptée. On dit qu une stratégie de gestion avec consommation φ, γ couvre l option américaine définie par Z n si V n φ Z n, pour tout n {, 1,..., N}. Montrer que la valeur U n de l option américaine est la valeur d au moins une stratégie de gestion avec consommation qui couvre Z n et que toute stratégie de gestion avec consommation φ, γ qui couvre Z n vérifie V n φ U n, pour tout n {, 1,..., N}. 5. Soit x un nombre positif, représentant la richesse initiale d un investisseur et soit γ = γ n 1 n N une suite prévisible à valeurs dans R +. On dira que le processus de consommation γ n est finançable à partir de la richesse initiale x s il existe un processus prévisible φ à valeurs dans R d+1 tel que le couple φ, γ définisse une stratégie de gestion avec consommation, avec, de plus : V φ = x et V n φ, pour tout n {,..., N}. Montrer que γ n est finançable à partir de la richesse initiale x, si et seulement si : E N j=1 γ j/s j 1 x.

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39 Chapitre 3 Mouvement brownien et équations différentielles stochastiques Les deux premiers chapitres de ce livre ont été consacrés à l étude de modèles à temps discret. On a vu à cette occasion l importance des notions de martingales, de stratégies autofinancées... Nous allons étendre ces notions au cas du temps continu. En particulier, nous introduirons les outils mathématiques permettant de construire des modèles d évolution d actif et de calculer les prix d options. Les outils techniques sont plus délicats à utiliser en temps continu mais les idées essentielles différent peu de celles du temps discret. Pourquoi considère-t-on des modèles à temps continu? La première motivation vient des phénomènes que l on veut modéliser : les variations des cotations sur les marchés organisés sont en pratique tellement fréquentes qu un modèle à temps discret peut difficilement en rendre compte. D autre part les modèles continus conduisent à des méthodes de calcul plus explicites que les modèles discrets, même s il faut parfois avoir recours à des méthodes numériques. Ainsi, le modèle le plus utilisé dans la pratique le modèle de Black et Scholes est un modèle à temps continu qui conduit à une formule simple. Comme nous l avons signalé dans l introduction, les liens entre processus stochastiques et finance ne sont pas nouveaux : en 191, Bachelier voir [Bac] dans un mémoire intitulé Théorie de la spéculation est, non seulement l un des premiers à s intéresser mathématiquement aux propriétés du mouvement brownien, mais aussi à donner des formules de calcul de prix pour certaines options. Nous donnons quelques éléments mathématiques nécessaires à la compréhension des modèles à temps continu. En particulier, nous introduirons le mouvement brownien, qui est l outil majeur du modèle de Black et Scholes et sert à construire la plupart des modèles d actifs en finance. Puis nous étendrons la notion de martingale au cas du temps continu, enfin nous construirons l intégrale stochastique d Itô et nous introduirons le calcul différentiel qui lui est associé : le calcul d Itô. Certaines démonstrations sont rédigées en petits caractères, ce sont des démonstrations techniques qu il est conseillé de sauter lors d une première lecture. 1 Généralités sur les processus à temps continu Commen cons par préciser ce que l on entend par processus à temps continu. Définition 1.1 On appelle processus stochastique à temps continu et à valeurs dans un espace E muni d une tribu E, une famille X t t R + de variables aléatoires sur un espace de probabilité Ω, A, P à valeurs dans E, E. Remarque 1.2 Dans la pratique l indice t représente le temps. Un processus peut aussi être vu comme une fonction aléatoire : à chaque ω dans Ω on associe la fonction de R + dans E, t X t ω, appelée trajectoire du processus. Un processus peut être considéré comme une application de R + Ω dans E, nous supposerons toujours que cette application est mesurable lorsque l on munit R + Ω de la tribu BR + A et E de la tribu E. On considérera aussi des processus indexés par un intervalle de temps [, T] borné.

40 4 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Comme dans le cas discret, on introduit la notion de filtration. Définition 1.3 Soit Ω, A, P un espace de probabilité, une filtration F t t est une famille croissante de sous tribus de A. Le tribu F t représente l information dont on dispose à l instant t. On dit qu un processus X t t est adapté à F t t, si pour chaque t, X t est F t -mesurable. Remarque 1.4 Dans la suite, les filtrations que l on considérera, auront la propriété suivante : Si A A et si PA =, alors pour tout t, A F t. Ceci exprime que F t contient tous les ensembles de mesure nulle de A. Le but de cette hypothèse technique est de permettre d affirmer que si X = Y P p.s. et que Y est F t -mesurable alors X est aussi F t -mesurable. On peut construire une filtration à partir d un processus X t t en posant F t = σx s, s t. Cette filtration ne vérifie pas, en général, l hypothèse précédente. Cependant si on remplace la tribu F t par la tribu F t engendrée par F t et N, l ensemble des ensembles de probabilité nulle on dit aussi négligeables de A, on obtient une filtration vérifiant la condition souhaitée. On appelle cette filtration la filtration naturelle du processus X t t. Quand on parle de filtration pour un processus sans autres précisions, il s agit de sa filtration naturelle. Un processus est bien sûr adapté à sa filtration naturelle. La notion de temps d arrêt nous sera utile comme dans le cas discret. Un temps d arrêt modélise un temps aléatoire qui dépend du processus de fa con non anticipante à un instant donné t on sait si un temps d arrêt est plus petit que t. Formellement, la définition est la suivante : Définition 1.5 On appelle temps d arrêt par rapport à une filtration F t t une variable aléatoire τ à valeurs dans R + {+ } telle que, pour tout t : {τ t} F t On associe à un temps d arrêt τ une tribu que l on note F τ, définie par : F τ = {A A, pour tout t, A {τ t} F t }. Cette tribu représente les informations disponibles avant l instant aléatoire τ. On démontre que voir exercices 8,9,1, 11,14 : Proposition 1.6 Si S est un temps d arrêt, S est F S mesurable. Si S est un temps d arrêt, fini presque sûrement, et X t t est un processus adapté continu, alors X S est F S mesurable. Si S et T sont deux temps d arrêt tels que S T P p.s., alors F S F T. Si S et T sont deux temps d arrêt alors S T = infs, T est un temps d arrêt. En particulier si S est un temps d arrêt et t est un temps déterministe S t est un temps d arrêt.

41 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 41 2 Le mouvement brownien Un exemple particulièrement important de processus stochastique est le mouvement brownien. Il servira de base pour la construction de la plupart des modèles d actifs financiers et de taux d intérêt. Définition 2.1 On appelle mouvement brownien un processus stochastique X t t à valeurs réelles, qui est un processus à accroissements indépendants et stationnaires dont les trajectoires sont continues. Ce qui signifie que : continuité : P p.s. la fonction s X s ω est une fonction continue. indépendance des accroissements : Si s t, X t X s est indépendant de la tribu F s = σx u, u s. stationnarité des accroissements : si s t, la loi de X t X s est identique à celle de X t s X. Cette définition permet de caractériser la loi de la variable aléatoire X t. Ce résultat est délicat à établir, nous renvoyons à [GS8] pour sa démonstration. Théorème 2.2 Si X t t est un mouvement brownien, alors X t X est une variable aléatoire gaussienne de moyenne rt et de variance σ 2 t, r et σ étant des constantes réelles. Remarque 2.3 Un mouvement brownien est dit standard si : X = P p.s. E X t =, E X 2 t = t. Dans la suite, lorsque l on parlera de mouvement brownien, sans autre précision, il s agira d un mouvement brownien standard. Dans ce cas, la loi de X t prend la forme : dx étant la mesure de Lebesgue sur R. 1 2πt e x2 2t dx, On peut démontrer une propriété précisant le caractère gaussien du mouvement brownien. On vient de voir que pour tout t, X t est une variable aléatoire gaussienne. On a une propriété plus forte : Théorème 2.4 Si X t t est un mouvement brownien, si t 1 <... < t n alors X t1,..., X tn est un vecteur gaussien. On pourra consulter l appendice page 161 pour des précisions sur les vecteurs gaussiens. Démonstration : Soit t 1 <... < t n, alors le vecteur aléatoire X t1, X t2 X t1,, X tn X tn 1 est composé de variables aléatoires gaussiennes d après le théorème 2.2 et indépendantes par définition du mouvement brownien, ce vecteur est donc un vecteur gaussien. Il en est donc de même pour X t1,..., X tn. On aura besoin d une définition légèrement plus précise d un mouvement brownien par rapport à une tribu F t. Définition 2.5 On appellera F t mouvement brownien un processus stochastique à valeurs réelles et à trajectoires continues qui vérifie : Pour tout t, X t est F t -mesurable. Si s t, X t X s est indépendant de la tribu F s. Si s t, la loi de X t X s est identique à celle de X t s X. Remarque 2.6 Le premier point de la définition précédente prouve que σx u, u t F t. De plus, il est facile de vérifier qu un F t -mouvement brownien est un mouvement brownien par rapport à sa filtration naturelle.

42 42 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 3 Martingales à temps continu Comme dans le cas des modèles à temps discret, la notion de martingale est un outil essentiel pour expliciter la notion d arbitrage. La définition suivante est une extension de celle du temps discret. Définition 3.1 Soit Ω, A, P un espace probabilisé et F t t une filtration de cet espace. Une famille adaptée M t t de variables aléatoires intégrables, c est-à-dire vérifiant E M t < + pour tout t est : une martingale si, pour tout s t, E M t F s = M s. une surmartingale si, pour tout s t, E M t F s M s. une sousmartingale si, pour tout s t, E M t F s M s. Remarque 3.2 On déduit de cette définition que, si M t t est une martingale, alors EM t = EM, pour tout t. Donnons des exemples de martingales que l on peut construire à partir du mouvement brownien. Proposition 3.3 Si X t t est un F t -mouvement brownien standard : 1. X t est une F t -martingale. 2. X 2 t t est une F t -martingale. 3. exp σx t σ 2 /2t est une F t -martingale. Démonstration : Si s t alors X t X s est indépendante de la tribu F s. Donc EX t X s F s = EX t X s. Mais un mouvement brownien standard est centré, donc EX t X s =. On en déduit le premier point. Pour démontrer le deuxième, remarquons que : E X 2 t X 2 s F s = E Xt X s 2 + 2X s X t X s F s = E X t X s 2 F s + 2Xs E X t X s F s, mais comme X t t est une martingale E X t X s F s =, et donc : E X 2 t X2 s F s = E Xt X s 2 F s. La stationnarité et l indépendance des accroissements du mouvement brownien permettent de plus d affirmer que : E X t X s 2 F s = E X 2 t s = t s. La dernière égalité est due au fait que X t suit une loi gaussienne centrée de variance t. On en déduit que E X 2 t t F s = X 2 s s, si s < t. Pour démontrer le dernier point, rappelons, tout d abord, que, si g est une gaussienne centrée réduite, on a : E + e λg = e λx e x2 dx 2 = e λ2 /2. 2π De plus, si s < t : E e σxt σ2 t/2 F s = e σx s σ 2 t/2 E e σxt Xs F s

43 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 43 car X s est F s -mesurable, et comme X t X s est indépendante de F s, on a : E e σxt Xs F s = E e σx t X s Ce qui donne le résultat annoncé. = E e σxt s = E e σg t s = e σ2 t s 2 Si M t t est une martingale, la relation E M t F s = M s, peut être étendue à des temps aléatoires si ces temps sont des temps d arrêt bornés. Ce résultat est une extension de l exercice 1 du chapitre 2 au cas continu et porte le nom de théorème d arrêt. Nous admettons ce théorème et renvoyons à [KS88] page 19 pour sa démonstration. Théorème 3.4 Théorème d arrêt. Si M t t est une martingale continue par rapport à une filtration F t t, et si τ 1 et τ 2 sont deux temps d arrêt tels que τ 1 τ 2 K, K étant une constante réelle finie, alors M τ2 est intégrable et : E M τ2 F τ1 = M τ1 P p.s.. Remarque 3.5 Ce résultat entraîne que, si τ est un temps d arrêt borné, alors EM τ = EM il suffit d appliquer le théorème d arrêt avec τ 1 =, τ 2 = τ et de prendre l espérance des deux membres. Si M t est une sousmartingale, on a le même théorème en rempla cant l égalité précédente par : E M τ2 F τ1 M τ1 P p.s. Nous allons donner un exemple d application de ce résultat au calcul des temps d atteinte d un point par le mouvement brownien. Proposition 3.6 Soit X t t un F t -mouvement brownien. Notons, si a est un nombre réel, T a = inf {s, X s = a}, ou + si cet ensemble est vide. Alors, T a est un temps d arrêt fini presque sûrement, dont la loi est caractérisée par sa transformée de Laplace : E e λta = e 2λ a. Démonstration : Nous supposerons que a. T a est un temps d arrêt, en effet, comme X s est continue : { } {T a t} = ɛ Q + sup X s > a ɛ s t = ɛ Q + s Q +,s t {X s > a ɛ}. Ce dernier ensemble est dans F t, ce qui prouve le résultat. On notera dans ce qui suit x y = infx, y. Nous allons appliquer le théorème d arrêt à la martingale M t = exp σx t σ 2 /2t. On ne peut pas appliquer le théorème d arrêt à T a qui n est pas borné. Cependant, si n est un entier positif, T a n est encore un temps d arrêt voir proposition 1.6, qui est borné, on peut donc appliquer le théorème d arrêt. On obtient ainsi : E M Ta n = 1.

44 44 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Mais M Ta n = e σx Ta n σ2 2 Ta n expσa. De plus, si T a < +, lim n + M Ta n = M Ta et si T a = +, on a pour tout t, X t a, d où lim n + M Ta n =. Le théorème de Lebesgue donne donc E1 {Ta < + } M T a = 1, soit, comme X Ta = a si T a < + : σ2 E 1 e 2 {Ta < + } Ta = e σa. En faisant tendre σ vers on obtient que PT a < + = 1 ce qui signifie que le mouvement brownien atteint la valeur a presque sûrement puis : E e σ2 2 Ta = e σa. On traite le cas a < en remarquant que : T a = inf {s, X s = a}, avec X t t qui est un F t -mouvement brownien car c est un processus continu à accroissements indépendants et stationnaires de moyenne nulle et de variance t. Le théorème d arrêt permet aussi d obtenir des estimations pour le maximum d une martingale. Si M t est une martingale, on peut borner le moment d ordre 2 de sup t T M t. Cette inégalité est connue sous le nom d inégalité de Doob. Théorème 3.7 Inégalité de Doob Si M t t T est une martingale continue, on a : E sup M t 2 4E M T 2. t T La démonstration de ce résultat est donnée dans l exercice Intégrale stochastique et calcul d Itô Dans le cas des modèles à temps discret, la valeur actualisée d un portefeuille de valeur initiale V et géré selon la stratégie autofinancée φ = H n n N s écrit : V + n H j S j S j 1. j=1 Cette valeur apparaît comme une transformée de martingale sous une probabilité pour laquelle le prix de l actif actualisé S n n N est une martingale. Dans le cas des modèles à temps continu, nous allons généraliser cette formule à l aide d intégrales du type H sd S s. Cependant les modèles utilisés couramment pour décrire l actif sont obtenus à partir du mouvement brownien. Or, une des propriétés importantes du mouvement brownien est que presque sûrement ses trajectoires sont nulle part différentiables. Autrement dit, si X t est un mouvement brownien, il n existe pas de points t de R + tels que dxt ait un sens. On ne peut dt donc pas définir l intégrale précédente par : fsdx s = fs dx s ds ds. On peut donner, cependant, un sens précis à ce type d intégrales par rapport au mouvement brownien. C est ce que nous allons faire dans ce paragraphe. On appelle ces intégrales des intégrales stochastiques.

45 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES Construction de l intégrale stochastique Soit W t t un F t -mouvement brownien standard sur un espace probabilisé filtré Ω, A, F t t, P. Nous allons donner un sens à fs, ωdw s pour une classe de processus fs, ω adaptés à la filtration F t t. On va commencer par construire l intégrale stochastique sur un ensemble de processus dits élémentaires. Dans toute la suite, on fixe T un réel strictement positif et fini. Définition 4.1 On appelle processus élémentaire H t t T un processus de la forme : p H t ω = φ i ω1 ]ti 1,t i ]t où = t < t 1 <... < t p = T et φ i est F ti 1 -mesurable et bornée. i=1 L intégrale stochastique d un processus élémentaire H est alors, par définition, le processus continu IH t t T défini par, si t ]t k, t k+1 ] : IH t = φ i W ti W ti 1 + φ k+1 W t W tk. 1 i k Notons que IH t peut s écrire : IH t = 1 i p φ i W ti t W ti 1 t, ce qui prouve la continuité de la fonction t IH t. On notera H sdw s pour IH t. On a alors le résultat essentiel suivant : Proposition 4.2 Si H t t T est un processus élémentaire : H sdw s t T est une F t-martingale continue, 2 E H s dw s = E H 2 sds, E sup t T 2 H s dw s 4E T H 2 s. ds Démonstration : Pour démontrer cette proposition nous allons utiliser des processus à temps discret. En effet, t pour établir que H sdw s est une martingale, il suffit de prouver que, pour tout t > s : s E H u dw u F s = H u dw u Si l on ajoute s et t à la subdivision t = < t 1 <... < t p = T, et si on pose M n = n H sdw s et G n = F tn pour n p, il suffit de vérifier que M n est une G n -martingale. Pour démontrer ceci, remarquons que : n n M n = H s dw s = φ i W ti W ti i avec φ i qui est G i 1 -mesurable. D autre part X n = W tn est une G n -martingale en effet, W t t est un mouvement brownien. M n n [,p] apparaît donc comme une transformée de la martingale X n n [,p]. La proposition 2.3 du chapitre 1 prouve alors que c est une martingale. Le deuxième point s obtient, en remarquant que : n 2 EM 2 n = E φ i X i X i 1 = n i=1 j=1 i=1 i=1 n E φ i φ j X i X i 1 X j X j 1

46 46 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE De plus, si i < j, on a : E φ i φ j X i X i 1 X j X j 1 = = E E φ i φ j X i X i 1 X j X j 1 G j 1 = E φ i φ j X i X i 1 E X j X j 1 G j 1. Comme X j est une martingale, on a EX j X j 1 G j 1 =. On en déduit que, si i < j : E φ i φ j X i X i 1 X j X j 1 =. Si j > i on obtient le même résultat. Enfin si i = j, on a : E φ 2 i X i X i 1 2 = E E φ 2 i X i X i 1 2 Gi 1 = E φ 2 i E X i X i 1 2 Gi 1, et finalement : E X i X i 1 2 Gi 1 = E Wti W ti 1 2 = t i t i 1. En regroupant ces résultats on obtient : n 2 n E φ i X i X i 1 = E φ 2 i t i t i 1. i=1 i=1 La continuité de t H sdw s est claire sur sa définition. Le troisième point est une conséquence de l inégalité t de Doob 3.7 appliquée à la martingale continue H sdw s t. Remarque 4.3 On pose par définition : T t H s dw s = T H s dw s H s dw s Si t T, et si A F t, alors s 1 A 1 {t < s} H s reste un processus élémentaire et il est facile de vérifier, sur la définition de l intégrale, que : T 1 A H s 1 {t < s} dw s = 1 A T t H s dw s. 3.1 On vient de définir et donner des propriétés de l intégrale stochastique pour les processus élémentaires, nous allons maintenant étendre cette intégrale à une classe de processus adaptés : { T } H = H t t T, processus adapté à F t t, E H 2 s ds < +. Proposition 4.4 Soit W t t un F t -brownien. Alors il existe une unique application linéaire J de H dans l espace des F t -martingales continues définies sur [, T], telle que : 1. Si H t t T est un processus élémentaire, P p.s. pour tout t T JH t = IH t. 2. Si t T, E JH 2 t = E H 2 sds. Cette application linéaire est unique au sens suivant, si J et J sont deux prolongements linéaires vérifiant les propriétés précédentes alors : P p.s. t T, JH t = J H t On note, si H H, H s dw s = JH t.

47 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 47 De plus cette intégrale stochastique vérifie les propriétés suivantes : Proposition 4.5 Si H t t T un processus de H alors : 1. On a : E sup t T 2. Si τ est un F t -temps d arrêt : P p.s. τ 2 T H s dw s 4E H 2 s ds H s dw s = T {s τ} H s dw s 3.3 Démonstration : Nous admettrons que si H s s T est dans H, il existe une suite H n s s T de processus élémentaires tels que : T lim E H s H n n + s 2 ds =. On trouvera une démonstration de ce résultat dans [KS88] page 134 problème 2.5. Si H H et H n n est une suite de processus élémentaires convergeant vers H, au sens précédent, on a : T E sup IH n+p t IH n t 2 4E H n+p s H n 2 s ds. 3.4 t T Il existe donc une sous suite H φn telle que : E sup IH φn+1 t IH φn t 2 1 t T 2 n La série de fonctions de terme général IH φn+1 IH φn est donc, presque sûrement, uniformément convergente, d où IH φn t converge vers une fonction continue qui sera par définition t JH t. En passant à la limite dans 3.4, on obtient : T E sup JH t IH n t 2 4E H s H n s 2 ds. 3.5 t T Ceci entraîne que JH t t T ne dépend pas de la suite approximante. JH t t T est une martingale, en effet : E IH n t F s = IH n s. De plus pour tout t lim n + IH n t = JH t en norme L 2 Ω, P et la continuité dans L 2 Ω, P de l espérance conditionnelle permet de conclure. T T De 3.5 et de EIH n 2 t = E Hn s 2 ds on déduit que EJH 2 t = E H s 2 ds. De même de 3.5 T et de Esup t T IH n 2 t 4E Hn s 2 ds, on déduit 3.2. L unicité du prolongement résulte de la densité des processus élémentaires dans H. Nous allons maintenant démontrer 3.3. On remarque d abord que 3.1 reste valable si H H. Il suffit pour cela d utiliser la densité des processus élémentaires dans H et 3.5. On va ensuite démontrer le résultat pour des temps d arrêt de la forme τ = 1 i n t i1 Ai, où < t 1 < < t n = T, les A i étant disjoints et F ti mesurables. On a dans ce cas : T T 1 {s > τ} H s dw s = 1 Ai 1 {s > ti } H s dw s, 1 i n mais chaque 1 {s > ti } 1 A i H s est adapté Ce processus est nul si s t i et vaut 1 Ai H s sinon et donc dans H. On en déduit que : T 1 {s > τ} H T sdw s = 1 Ai 1 {s > ti } H sdw s = 1 i n 1 i n 1 Ai T t i H s dw s = T τ H s dw s,

48 48 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE puis que T 1 {s τ} H sdw s = τ H sdw s. Pour généraliser ce résultat, remarquons qu un temps d arrêt quelconque τ peut être approximé par une suite décroissante de temps d arrêt du type précédent en posant : τ n = k + 1T 2 n 1 { } kt k + 1T. i 2 n τ < 2n 2 n τ n converge presque sûrement vers τ en décroissant. On en déduit que presque sûrement τ n H sdw s tend vers τ H sdw s par continuité de t H sdw s. D autre part : E T T 2 T 1 {s τ} H s dw s 1 {s τn } H sdw s = E 1 {τ < s τn } H2 s ds Ce dernier terme tend vers par convergence dominée, donc T 1 {s τ n } H sdw s tend dans L 2 Ω, P et presque sûrement pour une sous suite vers T 1 {s τ} H sdw s. Ceci permet d obtenir l égalité 3.3 pour tout temps d arrêt. Nous aurons besoin d un résultat permettant de relaxer l hypothèse d intégrabilité portant sur H s. Posons : H = { H s s T est un processus adapté à F t t, T H 2 s ds < + P p.s. }. La proposition suivante permet de prolonger l intégrale stochastique de H à H. Proposition 4.6 Il existe une unique application linéaire J de l espace H dans l espace vectoriel des processus continus définis sur [, T], telle que : 1. Propriété de prolongement. Si H t t T est un processus élémentaire alors : P p.s., t T, JH t = IH t. 2. Propriété de continuité : Si H n n est une suite de processus de H telle que T Hn 2 s ds tend vers en probabilité alors sup t T JH n t tend vers en probabilité. On note toujours H sdw s pour JH t. n est pas néces- Remarque 4.7 Il est important de noter que dans ce cas H sdw s t T sairement une martingale. Démonstration : Il est facile de déduire de la propriété de prolongement et de la propriété de continuité que, si H H alors P p.s., t T, JH t = JH t. Soit H H, posons T n = inf { s T, s H2 udu n } + si cet ensemble est vide, et H n s = H s 1 {s Tn }. Montrons, tout d abord, que T n est un temps d arrêt. Comme {T n t} = { H2 udu n}, il nous suffit de prouver que H2 u du est une variable aléatoire F t-mesurable. Mais ce résultat est vrai si H est un processus élémentaire, et donc par densité si H H. Enfin si H H, H2 udu qui est la limite presque sûre, lorsque K tend vers +, de H2 u Kdu est aussi F t -mesurable. Il est alors facile de voir que les processus H n s sont adaptés et bornés donc dans H. De plus : H n s dw s = 1 {s Tn } Hn+1 s dw s.

49 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 49 L égalité 3.3 prouve alors que : H n s dw s = Tn H n+1 s dw s. Donc sur l ensemble { T H2 u du < n}, pour tout t T, JHn t = JH n+1 t. Comme n { T H2 udu < n} = { T H2 udu < + }, on peut définir presque sûrement un processus JH t en posant sur { T H2 udu < n} : t T JH t = JH n t. Le processus t JH t est presque sûrement continu, par définition. La propriété de prolongement est vérifiée par construction. Il reste donc à prouver la propriété de continuité de J. Pour cela remarquons que : P sup t T JH t ɛ T P H2 s ds 1 N +P 1{ } T H 2 udu < 1 supt T JH t ɛ. N Si l on note τ N = inf { s T, { s T } H2 u du N} 1 + si cet ensemble est vide, alors sur H2 u du < 1 N, l égalité 3.3 prouve que, pour tout t T : H s dw s = JH t = JH 1 t = D où, en utilisant 3.2 pour le processus s H s 1 {s τn } : P sup t T JH t ɛ H 1 s 1 {s τ N } dw s = H s 1 {s τn } dw s. T P H 2 s ds 1 N T + 4 E ɛ 2 H2 s 1 {s τ N } ds T P H 2 s ds N Nɛ 2 On en déduit que si T Hn2 s ds tend vers en probabilité, alors sup t T JH n t tend vers en probabilité. Pour prouver la linéarité de J, considérons deux processus de H, H et K et les deux suites H n t et K n t définies comme au début de la démonstration, telle que T Hn s H s 2 ds et T Kn s K s 2 ds tendent en probabilité vers. On peut alors passer à la limite dans l égalité JλH n + µk n t = λjh n t + µjk n t, grâce à la propriété de continuité de J. On obtient ainsi la linéarité de J. Enfin, le fait que si H H alors T H t H n t 2 dt tend vers en probabilité et la propriété de continuité prouvent l unicité du prolongement. Nous allons résumer les conditions d existence de l intégrale stochastique par rapport à un mouvement brownien, et les hypothèses qui permettent d affirmer qu il s agit d une martingale. Résumé : Soit W t t un F t -mouvement brownien et H t t T un processus F t -adapté. On peut définir l intégrale stochastique H sdw s t T dès que T H2 sds < + P p.s.. Le processus H sdw s t T est une martingale si E T H2 s ds < +. Cette condition n est cependant pas nécessaire. Remarquons, toutefois, que la condition E T H2 sds < + est équivalente à : E sup t [,T] H s dw s 2 < +,

50 5 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE et que, dans ce cas on a l égalité : T E Ces propriétés sont démontrées dans l exercice T H s dw s = E H 2 sds Calcul d Itô Nous allons maintenant introduire un calcul différentiel sur ces intégrales stochastiques. On appelle ce calcul calcul d Itô et l outil essentiel en est la formule d Itô. La formule d Itô donne, en particulier, la fa con de différencier t fw t si f est une fonction deux fois continûment différentiable. L exemple suivant prouve que le prolongement naïf du calcul différentiel usuel est voué à l échec. Supposons que l on veuille différencier t Wt 2 et l exprimer en fonction de dw t. Pour une fonction ft différentiable nulle en fsdfs. Dans les cas du mouvement brownien et de = 2 W sdw s. En, on a ft 2 = 2 fsḟsds = 2 l intégrale stochastique on ne peut avoir une formule du même type : Wt 2 effet, d après ce qui précéde, W sdw s est une martingale car E W2 s ds < +, nulle en zéro. Si elle était égale à W 2 t elle serait positive, et une martingale nulle en ne peut être positive que si elle est nulle. Commen cons par préciser la définition de la classe de processus pour laquelle on peut énoncer la formule d Itô. Définition 4.8 Soient Ω, F, F t t, P un espace probabilisé muni d une filtration et W t t un F t mouvement brownien. On appelle processus d Itô, un processus X t t T à valeurs dans R tel que : P p.s. t T X t = X + K s ds + avec : X F -mesurable. K t t T et H t t T des processus adaptés à F t. T K s ds < + P p.s. T H s 2 ds < + P p.s. H s dw s, On peut démontrer voir exercice 16 le résultat suivant, qui précise l unicité de la décomposition précédente. Proposition 4.9 Soit M t t T est une martingale continue telle que : M t = T K s ds, avec P p.s., K s ds < +, alors : P p.s. t T, M t =. Ceci entraîne que :

51 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 51 La décomposition d un processus d Itô est unique. Ce qui signifie que si : alors : X t = X + K s ds + H s dw s = X + K s ds + H s dw s X = X dp p.s. H s = H s ds dp p.p. K s = K s ds dp p.p. Si X t t T est une martingale de la forme X + K sds + H sdw s, alors K t = dt dp p.p.. La formule d Itô prend la forme suivante nous l admettons sans démonstration et nous renvoyons à [Bou88] pour une démonstration élémentaire dans le cas du brownien ou à [KS88] pour une démonstration complète : Théorème 4.1 Soit X t t T un processus d Itô : X t = X + K s ds + H s dw s, et f une fonction deux fois continûment différentiable, on a : où, par définition : et : fx t = fx + f X s dx s = f X s dx s < X, X > t = f X s K s ds + H 2 s ds, f X s d < X, X > s f X s H s dw s. De même si t, x ft, x est une fonction deux fois différentiable en x et une fois différentiable en t, ces dérivées étant continues en t, x on dit dans ce cas que f est de classe C 1,2, on a : ft, X t = f, X + + f ss, X s ds f x s, X sdx s Exemples d utilisation de la formule d Itô f xx s, X sd < X, X > s. Commen cons par traiter un exemple élémentaire. Si fx = x 2 et X t = W t, on a K s = et H s = 1, donc : On obtient : Wt 2 = 2 W s dw s W 2 t t = 2 W s dw s. 2ds. Comme E W2 s ds < +, on retrouve le fait que Wt 2 t est une martingale.

52 52 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Nous allons maintenant nous intéresser aux solutions S t t de : S t = x + On écrit souvent ce type d équation sous la forme : S s µds + σdw s. 3.7 ds t = S t µdt + σdw t, S = x. 3.8 Cela signifie que l on cherche un processus adapté S t t tel que les intégrales S sds et S sdw s aient un sens, et qui vérifie, pour chaque t : P p.s. S t = x + µs s ds + σs s dw s. Faisons tout d abord un calcul formel, posons Y t = logs t où S t est une solution de l équation précédente. S t est un processus d Itô avec K s = µs s et H s = σs s. Appliquons la formule d Itô à fx = logx au moins formellement car fx n est pas de classe C 2!. On obtient en supposant que S t est positif : ds s logs t = logs σ 2 S 2 S s 2 S sds, 2 s soit, en utilisant 3.8 : On en déduit que : Y t = Y + µ σ 2 /2 dt + σdw t. Il semble donc que : Y t = logs t = logs + µ σ 2 /2 t + σw t. S t = x exp µ σ 2 /2 t + σw t soit une solution de l équation 3.7. Vérifions rigoureusement cela. S t = ft, W t où : La formule d Itô donne : S t = ft, W t = f, W + + ft, x = x exp µ σ 2 /2 t + σx. Mais, comme < W, W > t = t : f ss, W s ds f x s, W sdw s f xx s, W sd < W, W > s. et finalement : S t = x + S s µ σ 2 /2 ds + S t = x + S s µds + S s σdw s S s σdw s. S s σ 2 ds,

53 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 53 Remarque 4.11 On aurait pu obtenir exercice le résultat précédent en appliquant la formule d Itô à S t = φz t, avec Z t = µ σ 2 /2t + σw t qui est un processus d Itô et φx = x expx. On vient donc de démontrer l existence d une solution de 3.7. Nous allons maintenant prouver que cette solution est unique. Pour cela, nous allons utiliser une propriété généralisant la formule d intégration par parties dans le cas des processus d Itô. Proposition 4.12 Formule d intégration par parties. Soient X t et Y t deux processus d Itô, X t = X + K sds + H sdw s et Y t = Y + K s ds + H s dw s. Alors : avec la convention que : X t Y t = X Y + X s dy s + < X, Y > t = Démonstration : On a, d après la formule d Itô : X t + Y t 2 = X + Y 2 Y s dx s + < X, Y > t H s H s ds. +2 X s + Y s dx s + Y s + H s + H s 2 ds X 2 t = X X sdx s + H2 s ds Y 2 t = Y Y sdy s + H 2 s ds. D où, en faisant la différence entre la première ligne et les deux suivantes : X t Y t = X Y + X s dy s + Y s dx s + H s H s ds. Montrons, maintenant, l unicité d une solution de l équation 3.7. Notons que : S t = x exp µ σ 2 /2 t + σw t est une solution de 3.7 et supposons que X t t en soit une autre. On va chercher à exprimer la différentielle stochastique de X t S 1 t. Posons : Z t = S S t = exp µ + σ 2 /2 t σw t, µ = µ + σ 2 et σ = σ. Alors Z t = exp µ σ 2 /2 t + σ W t et le calcul fait précédemment prouve que : Z t = 1 + Z s µ ds + σ dw s = 1 + Z s µ + σ 2 ds σdw s. On peut alors exprimer la différentielle de X t Z t grâce à la formule d intégration par parties pour les processus d Itô : dx t Z t = X t dz t + Z t dx t + d < X, Z > t.

54 54 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Ici, on a : On en déduit que : < X, Z > t =<.. X s σdw s, Z s σdw s > t = σ 2 X s Z s ds. dx t Z t = X t Z t µ + σ 2 dt σdw t + Xt Z t µdt + σdw t X t Z t σ 2 dt = X t Z t est donc égal à X Z, ce qui entraîne que : t, P p.s. X t = x Z 1 t = S t. Les processus X t et Z t étant continus, ceci prouve que : P p.s. t, X t = x Z 1 t = S t. On vient ainsi de démontrer la proposition suivante : Théorème 4.13 σ, µ étant deux nombres réels, W t t étant un mouvement brownien et T un réel strictement positif, ll existe un processus de Itô unique S t t T qui vérifie, pour tout t T : Ce processus est donné par : S t = x + S s µds + σdw s. S t = x exp µ σ 2 /2 t + σw t. Remarque 4.14 Le processus S t que l on vient d expliciter servira de modèle standard pour le prix d un actif financier. On l appelle modèle de Black et Scholes. Lorsque µ =, S t est une martingale voir proposition 3.3, ce type de processus porte le nom de martingale exponentielle. Remarque 4.15 Soit Θ un ouvert de R et X t t T un processus d Itô qui vérifie, pour tout t T, X t Θ. Si, de plus, f est une fonction deux fois continûment différentiable de l ouvert Θ dans R, on peut justifier rigoureusement l extension de la formule d Itô dans ce cas : fx t = fx + f X s dx s f X s H 2 s ds. Ce résultat permet en particulier de justifier l application de la formule d Itô, pour un processus strictement positif et pour la fonction log. 4.4 Formule d Itô multidimensionnelle La formule d Itô se généralise aux cas où la fonction f dépend de plusieurs processus d Itô et lorsque ces processus d Itô s expriment en fonction de plusieurs mouvements browniens. Cette généralisation se révèle utile, par exemple, pour les modèles de taux d intérêt sophistiqués. Définition 4.16 On appelle F t -mouvement brownien p-dimensionnel un processus à valeurs dans R p, W t t adapté à F t, avec W t = W 1 t,..., W p t, où les W i t t sont des F t - mouvements browniens standards indépendants. On généralise dans ce cadre la notion de processus d Itô.

55 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 55 Définition 4.17 On dit que X t t T est un processus d Itô si : X t = X + où : K t et les H i t sont adaptés à F t. T K s ds < + P p.s.. T 2 H i s ds < + P p.s.. K s ds + La formule d Itô prend alors la forme suivante : p i=1 H i sdw i s Proposition 4.18 Soient X 1 t,..., Xn t n processus d Itô : p X i t = X i + K i sds + H i,j s dws j alors si f est une fonction deux fois différentiable en x et une fois différentiable en t, ces dérivées étant continues en t, x : ft, X 1 t,..., Xn t = f, X1,..., Xn + f s s, X1 s,..., Xn s ds n f + s, X 1 s x,..., Xn s dxi s i où : dx i s = Ki s ds + p j=1 Hi,j s dwj s, d < X i, X j > s = p i= m=1 Hi,m s H j,m s ds. n i,j=1 j=1 2 f x i x j s, X 1 s,..., X n s d < X i, X j > s Remarque 4.19 Si X s t T et Y s t T sont deux processus d Itô, on peut définir formellement le crochet de X et Y que l on a noté < X, Y > s par les règles suivantes : < X, Y > t est bilinéaire et symétrique. <. K sds, X. > t = si X t t T est un processus d Itô. <. H sdwt, i. H sdw j t > t = si i j <. H sdwt i,. H s dwi t > t= H sh s ds Cette définition permet de retrouver la formule du crochet donnée dans la proposition précédente. 5 Equations différentielles stochastiques Nous avons étudié en détail, au paragraphe 4.2 les solutions de l équation : X t = x + X s µds + σdw s. On peut considérer des équations d une forme plus générales : X t = Z + bs, X s ds + σs, X s dw s. 3.9

56 56 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE On appelle ces équations des équations différentielles stochastiques. Une solution de 3.9 porte le nom de diffusion. Ces équations permettent de construire la plupart des modèles d actifs utiles en finances, aussi bien lorsque l on cherche à modéliser des actifs que des taux d intérêt. Nous allons étudier quelques propriétés des solutions de ces équations. 5.1 Théorème d Itô Précisons, tout d abord, ce que l on entend par une solution de 3.9. Définition 5.1 On se place sur un espace de probabilité Ω, A, P muni d un filtration F t t. On se donne, b : R + R R, σ : R + R R, Z une variable aléatoire F -mesurable et W t t un F t -mouvement brownien. Trouver une solution à l équation 3.9 signifie trouver un processus stochastique X t t continu F t -adapté, qui vérifie : Pour tout t, les intégrales bs, X sds et σs, X sdw s ont un sens : bs, X s ds < + et σs, X s 2 ds < + P p.s.. X t t vérifie 3.9 c est-à-dire : t P p.s. X t = Z + b s, X s ds + Remarque 5.2 On note formellement 3.9 sous la forme : σ s, X s dw s. { dxt = b t, X t dt + σ t, X t dw t X = Z Le théorème suivant donne des conditions suffisantes sur b et σ pour avoir un résultat d existence et d unicité pour 3.9. Théorème 5.3 Si b et σ sont des fonctions continues, telles qu il existe K < +, avec : 1. bt, x bt, y + σt, x σt, y K x y 2. bt, x + σt, x K1 + x 3. EZ 2 < + alors, pour tout T, 3.9 admet une solution unique dans l intervalle [, T]. De plus cette solution X s s T vérifie : E sup X s 2 < + s T L unicité signifie que si X t t T et Y t t T sont deux solutions de 3.9, alors : P p.s. t T, X t = Y t. Démonstration : Posons : { E = X s s T, processus continu et F t -adapté, tel que E sup X s 2 < + s T }

57 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 57 E muni de la norme X = E sup s T X s 2 est un espace vectoriel normé complet. Pour démontrer l existence nous allons utiliser un argument d existence d un point fixe pour une application contractante. Soit Φ l application qui à un processus X s s T associe un processus ΦX s s T défini par : ΦX t = Z + bs, X s ds + σs, X s dw s. Si X est dans E, ΦX est bien définie, de plus si X et Y sont deux éléments de E en utilisant le fait que, a + b 2 2a 2 + b 2 on obtient : ΦX t ΦY t 2 2 sup t T bs, X s bs, Y s ds 2 t + sup t T σs, X 2 s σs, Y s dw s donc en utilisant l inégalité 3.2 : E sup s T ΦX t ΦY t 2 t 2 2E sup t T bs, X s bs, Y s ds T +8E σs, X s σs, Y s 2 ds 2K 2 T 2 + 4K 2 TE sup t T X t Y t 2 D où ΦX ΦY 2K 2 T 2 + 4K 2 T X Y. De plus, on a on note pour le processus identiquement nul : 2 2 Φ t 2 3 Z 2 + sup bs, ds + sup σs, dw s t T t T en remarquant que a + b + c 2 3a 2 + b 2 + c 2. Et donc : E sup Φ t 2 3EZ 2 + K 2 T 2 + 4K 2 T < +. t T On en déduit que Φ est une application de E dans E de norme de Lipschitz majorée par kt = 2K 2 T 2 + 4K 2 T. Nous commen cons par supposer que T est suffisamment petit pour que kt < 1. Φ est alors une application contractante de E dans E. Elle admet donc un point fixe unique dans E. De plus, si X est un point fixe de Φ, c est une solution de 3.9. Ceci prouve l existence. D autre part, une solution de 3.9 qui est dans E est un point fixe de Φ. Ceci prouve l unicité d une solution de 3.9 dans E. Pour démontrer l unicité dans la classe de tous les processus de Itô, il suffit de prouver qu une solution de 3.9 est forcément dans E. Soit X une solution de 3.9, nous noterons T n = inf{s, X s > n} et f n t = E sup s t Tn X s 2. Il est facile de vérifier que f n t est une fonction finie et continue. En faisant le même genre d estimation que précédemment on obtient : E sup u t Tn X u 2 3 EZ 2 + E 3 Cela donne l estimation suivante : t Tn K1 + X s ds 2 t Tn + 4E K X s 2 ds. EZ 2 + 2K 2 T + 4K E sup u s Tn X u 2 ds f n t a + b f n sds. Nous allons maintenant utiliser une version du lemme de Gronwall. Lemme 5.4 Lemme de Gronwall Si f est une fonction continue, telle que pour tout t T, ft a + b fsds, alors ft a1 + ebt. Démonstration : Posons ut = e bt fsds. On a u t = e bt fs b fsds ae bt. Par intégration, on obtient ut a/b et ft a1 + e bt. On en déduit ici que f n T < K < +, K étant une constante fonction de T mais indépendante de n. Le lemme de Fatou donne alors, en passant à la limite en n, que pour tout T : E sup X s 2 < K < +. s T

58 58 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE X est donc dans E. Ceci termine la démonstration dans le cas où T est petit. Pour conclure pour T quelconque, il suffit de prendre n assez grand et de raisonner successivement sur les intervalles [, T/n], [T/n, 2T/n],,[n 1T/n, T]. 5.2 Le processus d Ornstein-Ulhenbeck Le processus d Ornstein-Ulhenbeck est la solution unique de l équation suivante : { dxt = cx t dt + σdw t X = x On peut expliciter cette solution. En effet, posons Y t = X t e ct et écrivons la formule d intégration par parties : dy t = dx t e ct + X t de ct + d < X, e c. > t. Mais < X, e c. > t = car de ct = ce ct dt. On en déduit que dy t = σe ct dw t puis que : X t = xe ct + σe ct e cs dw s. On peut calculer la moyenne et la variance de X t : EX t = xe ct + σe ct E e cs dw s = xe ct en effet E ecs 2 ds < +, et donc ecs dw s est une martingale nulle à l instant donc de moyenne nulle. De même : VarX t = E X t EX t 2 = 2 σ 2 E e 2ct e cs dw s = σ 2 e 2ct E e 2cs ds = σ 2 1 e 2ct 2c On peut démontrer que X t est une variable aléatoire gaussienne, en effet X t s écrit fsdw s où f. est une fonction déterministe du temps et f2 sds < + voir exercice 12. Plus précisément, le processus X t t est un processus gaussien. Cela signifie que si λ 1,, λ n sont des réels et si t 1 < < t n, la variable aléatoire λ 1 X t1 + + λ n X tn est une variable aléatoire gaussienne. Pour se convaincre de ceci, il suffit de remarquer que : X ti = xe ct i {s ti } ecs dw s = m i + f i sdw s. Alors λ 1 X t1 + + λ n X tn = n i=1 λ im i + n i=1 λ if i s dw s est bien une variable aléatoire gaussienne car c est, comme précédemment, une intégrale stochastique d une fonction déterministe du temps.

59 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES Equations différentielles stochastiques à valeurs vectorielles On peut généraliser l étude des équations différentielles stochastiques aux cas où le processus évolue dans R n. Cette généralisation est utile, dans les applications à la finance, lorsque l on cherche à construire des modèles pour des paniers d actions ou de devises. On se donne : W = W 1,..., W p un F t -mouvement brownien p dimensionnel. b : R + R n R n, bs, x = b 1 s, x,, b n s, x. σ : R + R n R n p l ensemble des matrices n p, σs, x = σ i,j s, x 1 i n,1 j p. Z = Z 1,..., Z n une variable aléatoire F -mesurable à valeur dans R n. et l on considère l équation différentielle stochastique : X t = Z + b s, X s ds + σ s, X s dw s, 3.1 où il faut comprendre que l on cherche un processus X t t T à valeurs dans R n adapté à F t t et tel que P p.s., pour tout t et pour tout i n, on a presque sûrement : X i t = Zi + b i s, X s ds + p j=1 σ i,j s, X s dw j s. Le théorème d existence et d unicité se généralise de la fa con suivante : Théorème 5.5 Si x R n, x est la norme euclidienne de x et si σ R n p, σ 2 =. On suppose que : 1 i n, 1 j p σ2 i,j 1. bt, x bt, y + σt, x σt, y K x y 2. bt, x + σt, x K1 + x 3. E Z 2 < + alors il existe une solution unique à l équation 3.1. De plus cette solution vérifie, pour tout T : E sup X s 2 < + s T La démonstration est identique à celle du cas à valeurs dans R. 5.4 Propriété de Markov des solutions d équations différentielles stochastiques La propriété de Markov pour un processus X t t signifie que le comportement futur de ce processus après t dépend uniquement de X t et non de ce qui s est passé avant t. Ce point est essentiel dans les calculs de prix d options. Il permet de prouver que le prix d une option sur un actif markovien ne dépend que du prix de l actif à l instant t. Mathématiquement, on dira qu un processus X t t vérifie la propriété de Markov par rapport à une filtration F t t pour laquelle il est adapté, si pour toute fonction f borélienne bornée et pour tous s et t, tels que s t : E f X t F s = E f X t X s.

60 6 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Nous allons énoncer dans ce paragraphe la propriété de Markov pour une solution de 3.9. On notera X t,x s, s t la solution de l équation 3.9 partant de x à l instant t et Xx = X,x la solution de l équation partant de x à l instant. X t,x vérifie pour s t : s X t,x s = x + t b s u, X t,x u du + t σ u, X t,x u dwu. A priori, X t,x. est défini pour tout t, x presque sûrement. On peut cependant, sous les hypothèses du théorème 5.3, construire un processus dépendant de t, x, s qui est P p.s. continu en ces trois variables et tel que X t,x s soit solution de l équation précédente. C est un résultat délicat à démontrer on trouvera sa démonstration dans [RW87] que nous allons admettre. La propriété de Markov est une conséquence d une propriété de flot vérifiée par les solutions d une équation différentielle stochastique. C est une généralisation de la propriété de flot des équations différentielles ordinaires. Lemme 5.6 Sous les conditions du théorème 5.3, si s t : X,x s = X t,xx t s P p.s. Démonstration : Nous ne donnons que l idée générale de cette démonstration. On a, pour tout x : P p.s. X t,x s = x + s t b u, X t,x u On en déduit, successivement, que P p.s. pour tout y R : puis que : X t,xx t s X t,y s = y + s = X x t + s t t b u, X t,y u b u, X t,xx t u du + s du + s du + t s t σ u, X t,x u dwu. σ u, X t,y u dwu, t σ u, X t,xx t u dw u. Ces résultats sont intuitifs, mais pour les justifier en détail il faut utiliser la continuité de y X t,y.. Nous laissons de coté les détails de leurs démonstrations. Cela admis, on remarque que X x s est aussi solution de l équation précédente, en effet, si t s : X x s = x + s b u, Xx u du + s σ u, Xx u dw u = X x t + s t b u, Xx u du + s t σ u, Xx u dw u. L unicité des solutions de cette équation prouve, alors, que X,x s La propriété de Markov prend dans ce cas la forme suivante : = X t,xt s pour t s. Théorème 5.7 Soit X t t une solution de 3.9. C est un processus de Markov par rapport à la filtration F t t du mouvement brownien. Plus précisément, on a, pour toute fonction borélienne bornée f : P p.s. E f X t F s = φx s, où φx = E fx s,x t. Remarque 5.8 On note souvent l égalité précédente sous la forme : E f X t F s = E fx s,x t x=xs.

61 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES 61 Démonstration : Nous ne donnerons qu une esquisse de la démonstration. Pour une démonstration complète on pourra consulter [Fri75]. La propriété de flot prouve que, si s t, X x t = X s,xx s t. D autre part, on peut démontrer que X s,x t s exprime de fa con mesurable en fonction des accroissements du brownien W s+u W s, u et de x ce résultat est naturel mais délicat à justifier en détail voir [Fri75]. Si l on admet ce résultat, pour un s et un t fixés on a X s,x t = Φx, W s+u W s ; u et donc : X x t = ΦXx s, W s+u W s ; u, avec X x s qui est F s mesurable et W s+u W s u qui est indépendant de F s. Si on applique le résultat de la proposition 2.5 de l appendice à X s, W s+u W s u, Φ et F s, on obtient : E f ΦX x s, W s+u W s ; u F s = E f Φx, W s+u W s ; u x=x x s = E f X s,x t x=x x s Le résultat précédent se généralise à des fonctions des trajectoires de la diffusion après l instant s. En particulier, le théorème suivant est utile dans les calculs liés aux taux d intérêt. Théorème 5.9 Soit X t t une solution de 3.9 et rs, x une fonction mesurable positive. On a, si t > s : P p.s. E e s ru,xudu f X t F s = φxs avec : φx = E e On écrit aussi cette égalité sous la forme : s ru,xs,x u du fx s,x E e s ru,xudu f X t F s = E e t. s ru,xs,x u du fx s,x t x=xs. Remarque 5.1 On peut en fait démontrer un résultat plus général que celui énoncé précédemment. Si on omet les détails techniques, on peut affirmer que, si φ est une fonction de toute la trajectoire de X t après s : P p.s. E φ X x t, t s F s = E φx s,x t, t s x=xs. Remarque 5.11 Lorsque b et σ ne dépendent que de x on dit que la diffusion est homogène dans ce cas, on peut montrer que la loi de X s,x s+t est identique à celle de X,x t, ce qui signifie que si f est une fonction mesurable et bornée : E fx s,x s+t = E fx,x t. On peut étendre ce résultat et montrer que, si r est une fonction de x uniquement : E e s+t s rx s,x u du fx s,x s+t = E e rx,x u du fx,x t. On en déduit que, dans ce cas, le théorème 5.9 s exprime sous la forme : E e s rxudu f X t F s = E e s rx,x u du fx,x t s x=xs.

62 62 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 6 Exercices Exercice 6 Soit M t t une martingale, telle que pour tout t, EM 2 t < +. Démontrer que si s t : E M t M s 2 F s = E M 2 t M 2 s F s. Exercice 7 Soit X t un processus à accroissements indépendants et stationnaires nul en l instant et tel que, pour tout t, E X 2 t < +. On supposera, de plus, que la fonction t E X 2 t est continue. Démontrer que E X t = ct et que VarX t = c t, c et c étant des constantes. Exercice 8 Démontrer que, si τ est un temps d arrêt : définit une tribu. F τ = {A A, pour tout t, A {τ t} F t } Exercice 9 Soit S un temps d arrêt, démontrer que S est F S mesurable. Exercice 1 Soit S et T deux temps d arrêt, tels que S T P p.s.. Démontrer que F S F T. Exercice 11 Soient S un temps d arrêt, fini presque sûrement, et X t t un processus adapté et presque sûrement continu. 1. Démontrer que, P p.s., pour tout s : X s = 1 [k/n,k+1/n[ sx k/n ω 2. Prouver que l application : est mesurable. lim n + k [, t] Ω, B[, t] F t R, BR s, ω X s ω 3. En déduire que si S t, X S est F t mesurable, puis que X S est F S mesurable. Exercice 12 Cette exercice est une introduction à l intégrale stochastique. Il s agit de construire une intégrale du type + fsdx s, où X t t est un F t -mouvement brownien et fs est une fonction mesurable de R +, BR + dans R, BR telle que : + f 2 sds < +. Ce type d intégrale s appelle intégrale de Wiener et c est un cas particulier de l intégrale d Ito qui est introduite au paragraphe 4. On rappelle que l ensemble H des fonctions de la forme i N 1 a i1 ]ti,t i+1 ], avec a i R, et t = t 1 t N est dense dans L 2 R +, dx muni de la norme f L 2 = + f 2 sds. 1. Soit a i R, et = t t 1 t N, et f = i N 1 a i1 ]ti,t i+1 ]. On pose : I e f = a i X ti+1 X ti. i N 1 Démontrer que I e f est une variable aléatoire gaussienne dont on calculera la moyenne et la variance. Démontrer en particulier que : EI e f 2 = f 2 L 2.

63 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES En déduire qu il existe une unique application linéaire de L 2 R +, dx à valeurs dans L 2 Ω, F, P, I, telle que If = I e f, si f est dans H et EIf 2 = f L 2, pour tout f dans L 2 R Démontrer que, si X n n est une suite de variables aléatoires gaussiennes centrées qui convergent dans L 2 Ω, F, P vers X, alors X est une variable aléatoire gaussienne centrée. En déduire que si f L 2 R +, dx alors If est une variable aléatoire gaussienne centrée de variance + f 2 sds. 4. Soit f L 2 R +, dx, on note Z t = fsdx s = 1 ],t] sfsdx s, démontrer que Z t est un processus adapté à F t, et que Z t Z s est indépendant de F s commencer par traiter le cas f H. 5. Démontrer que les processus Z t, Z 2 t f2 sds, expz t 1/2 f2 sds sont des F t -martingales. Exercice 13 Soient T un réel positif et M t t T une F t -martingale continue. On suppose que EM 2 T est fini. 1. Démontrer que M t t T une sous-martingale. 2. Montrer que, si M = sup t T M t : λp M λ E M T 1 {M λ} Utiliser le théorème d arrêt pour la sous-martingale M t entre τ T où τ = inf{t T, M t λ} si cet ensemble est non vide, + sinon et T. 3. Déduire du résultat précédent que, si A est positif : EM A 2 2EM A M T. Utiliser le fait que M A p = M A px p 1 dx pour p = 1, Démontrer que, EM est fini et que : E sup M t 2 4E M T 2. t T Exercice Démontrer que si S et S sont deux F t -temps d arrêt alors S S = infs, S et S S = sups, S sont des F t -temps d arrêt. 2. En utilisant le temps d arrêt S s et le théorème d arrêt démontrer que : E M S 1 {S > s} F s = M s 1 {S > s} 3. En déduire que, si s t : E M S t 1 {S > s} F s = M s 1 {S > s}, 4. En utilisant le fait que M S s est F s mesurable, montrer que t M S t est une F t martingale.

64 64 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Exercice Soit H t t T un processus mesurable adapté tel que T H2 tdt <, p.s.. On pose M t = H sdw s, où W t t T est un mouvement brownien standard. Montrer que si E sup t T Mt 2 T <, alors E H2 tdt <. On pourra introduire la suite de temps d arrêt définie par τ n = inf{t H2 sds = n} et montrer que EM 2 T τ n = E T τn H 2 s ds. 2. On pose pt, x = 1 1 t exp x 2 /21 t, pour t < 1 et x R, et p1, x =. Soit M t t 1 le processus défini sur [, 1] par M t = pt, W t. a Montrer que M t = M + p x s, W sdw s. b Soit H t = p/ xt, W t. Montrer que 1 H2 t dt <, p.s. et E 1 H2 t dt = +. Exercice 16 Soit M t t T une F t -martingale continue telle que M t = K sds, où T K t t T est un processus F t -adapté tel que P p.s. K s ds < +. T 1. On suppose, de plus, que P p.s. K s ds C < +. Démontrer que si t n i = Ti/n pour i n, alors : n lim Mt n M 2 t i n =. i 1 n + E 2. Sous les hypothèses de la question précédente, démonter que : n E Mt n M 2 i t n = E M 2 i 1 T M 2. i=1 En déduire M T = P p.s., puis que P p.s. t T, M t =. i=1 3. On ne suppose plus que T K s ds soit borné mais seulement que cette variable aléatoire est finie presque sûrement. On admettra que la variable aléatoire K s ds est F t - mesurable. Montrer que T n = inf{ s T, K s ds n} T si cet ensemble est vide est un temps d arrêt. Prouver que P p.s. lim n + T n = T. En déduire, en utilisant la suite de martingales M t Tn t, que P p.s. t T, M t =. 4. Soit M t une martingale de la forme H sdw s + K sds avec H2 sds < + P p.s. et K s ds < + P p.s.. En utilisant la suite de temps d arrêt T n = inf{t T, H2 sds n}, démontrer que K t = dt P p.s.. Exercice 17 On s intéresse à la solution X t de l équation différentielle stochastique : { dxt = µx t + µ dt + σx t + σ dw t X =. On pose S t = exp µ σ 2 /2t + σw t. 1. Ecrire l équation différentielle stochastique dont est solution S 1 t. 2. Démontrer que : dx t S 1 t = S 1 t µ σσ dt + σ dw t.

65 Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQU. DIFF. STOCHASTIQUES En déduire une expression pour X t. Exercice 18 Soit W t t un F t -mouvement brownien. Le but de cet exercice est de calculer la loi du couple W t, sup s t W s. 1. Soit S un temps d arrêt borné. En utilisant le théorème d arrêt pour la martingale M t = expizw t + z 2 t/2, où z est un nombre réel, démontrer que, si u v : E e izw v+s W u+s F u+s = e z2 2 v u. 2. En déduire que W S u = W u+s W S est un F S+u -mouvement brownien indépendant de la tribu F S. 3. Soit Y t t est un processus aléatoire continu indépendant de la tribu B tel que Esup s K Y s < +. Soit T une variable aléatoire B-mesurable bornée par K, montrer que : E Y T B = E Y t t=t. On commencera par traiter le cas où T est de la forme 1 i n t i1 Ai, où < t 1 < < t n = K, les A i étant disjoints et B mesurables. 4. On pose τ λ = inf{s, W s > λ}, démontrer que, si f est une fonction borélienne bornée : fw t 1 { τ λ t } E = E 1 { τ λ t } φt τ λ où φu = EfW u +λ. En déduire, en utilisant le fait que EfW u +λ = Ef W u + λ que : fw t 1 f2λ { τ λ t } W t 1 { τ λ t } E = E 5. Montrer que si W t = sup s t W s et si λ : PW t λ, W t λ = PW t λ, W t λ = PW t λ. En déduire que W t suit la même loi que W t. 6. Démontrer que si λ µ et λ : PW t µ, W t λ = PW t 2λ µ, W t λ = PW t 2λ µ. et que si λ µ et λ : PW t µ, W t λ = 2PW t λ PW t µ. 7. Vérifier que la loi du couple W t, W t est donnée par : 1 { y} 1 {x y} 22y x 2πt 3 exp 2y x2 dxdy. 2t,.

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67 Chapitre 4 Modèle de Black et Scholes Le problème traité par Black et Scholes dans [BS73] est l évaluation et la couverture d une option de type européen call ou put sur une action ne distribuant pas de dividendes. La méthode utilisée, qui repose sur des idées analogues à celles déjà présentées dans le cadre des modèles discrets dans le chapitre 1 de ce livre, conduit à des formules aujourd hui couramment utilisées par les praticiens, malgré le caractère simplificateur du modèle. Dans ce chapitre, nous donnons une présentation actualisée des travaux de Black et Scholes. Le cas des options américaines est abordé et des extensions du modèle sont présentées dans les problèmes. 1 Description du modèle 1.1 L évolution des cours Le modèle proposé par Black et Scholes pour décrire l évolution des cours est un modèle à temps continu avec un actif risqué une action de prix S t à l instant t et un actif sans risque de prix S t à l instant t. On suppose l évolution de S t régie par l équation différentielle ordinaire suivante : ds t = rs tdt 4.1 où r est une constante positive. Cela signifie que le taux d intérêt sur le marché des placements sans risque est constant et égal à r noter que r est ici un taux d intérêt instantané, à ne pas confondre avec le taux sur une période des modèles discrets. On posera S = 1, de sorte que S t = ert, pour t. On suppose que l évolution du cours de l action est régie par l équation différentielle stochastique suivante : ds t = S t µdt + σdb t 4.2 où µ et σ sont deux constantes et B t un mouvement brownien standard. Le modèle est étudié sur l intervalle [, T] où T est la date d échéance de l option à étudier. Comme nous l avons vu cf. chapitre 3, paragraphe 4.3, l équation 4.2 se résout, explicitement : S t = S exp µt σ2 2 t + σb t, où S est le cours observé à la date. Il en résulte en particulier que, selon ce modèle, la loi de S t est une loi log-normale c est à dire que son logarithme suit une loi normale. Plus précisément, on voit que le processus S t vérifie une équation du type 4.2 si et seulement si le processus logs t est un mouvement brownien non nécessairement standard. Compte tenu de la définition 2.1 du chapitre 3, cela signifie que le processus S t vérifie les propriétés suivantes : continuité des trajectoires, indépendance des accroissements relatifs : si u t, S t /S u ou ce qui revient au même, l accroissement relatif S t S u /S u est indépendant de la tribu σs v, v u, stationnarité des accroissements relatifs : si u t, la loi de S t S u /S u est identique à celle de S t u S /S.

68 68 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Ces trois propriétés traduisent de fa con concrète les hypothèses de Black et Scholes sur l évolution du cours de l action. 1.2 Les stratégies autofinancées Une stratégie sera définie par un processus φ = φ t t T = H t, H t, à valeurs dans R 2, adapté à la filtration naturelle F t du mouvement brownien, les composantes H t et H t de φ t donnant, à l instant t, les quantités d actif sans risque et d actif risqué respectivement détenues en portefeuille. La valeur du portefeuille à l instant t est alors donnée par : V t φ = H t S t + H ts t. Dans les modèles discrets, nous avons caractérisé les stratégies autofinancées par l égalité : V n+1 φ V n φ = φ n+1.s n+1 S n cf. chapitre 1, remarque 1.1. La transposition de cette égalité à temps continu conduit à écrire la condition d autofinancement sous la forme suivante : dv t φ = H t ds t + H tds t. Pour que cette égalité ait un sens on imposera la condition : Alors l intégrale : T H t dt < + p.s. et T T H t ds t = H t rert dt est bien définie, ainsi que l intégrale stochastique : T T H t ds t = T H t S t µ dt + H 2 tdt < + p.s. T σh t S t db t, puisque la fonction t S t est continue, donc bornée sur [, T], presque sûrement. Définition 1.1 Une stratégie autofinancée est définie par un couple φ de processus adaptés H et H t t t T vérifiant : t T 1. T H t dt + T H 2 tdt < + p.s. 2. H t S t + H ts t = H S + H S + H u ds u + H u ds u p.s., pour tout t [, T]. Nous noterons S t = e rt S t le cours actualisé de l actif risqué. La proposition suivante est l analogue de la proposition 1.2 du chapitre 1. Proposition 1.2 Soit φ = H t, H t t T un processus adapté à valeurs dans R 2, vérifiant T H t dt + T H2 t dt < + p.s. On pose : V tφ = H t S t + H ts t et Ṽ t φ = e rt V t φ. Alors, φ définit une stratégie autofinancée si et seulement si : pour tout t [, T]. Ṽ t φ = V φ + H u d S u p.s. 4.3

69 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 69 Démonstration : Supposons la stratégie φ autofinancée. De l égalité : dṽ t φ = rṽ t φdt + e rt dv t φ qui résulte de la différenciation du produit des processus e rt et V t φ noter que le terme de crochets d < e r., V. φ > t est nul, on déduit : dṽ t φ = re rt H t ert + H t S t dt + e rt H t dert + e rt H t ds t = H t re rt S t dt + e rt ds t = H t d S t. D où l égalité 4.3. La démonstration de la réciproque repose sur un raisonnement analogue. Remarque 1.3 Nous n avons pas imposé de condition de prévisibilité sur les stratégies, contrairement à ce que nous avons fait dans le chapitre 1. En fait, on peut définir une notion de processus prévisible à temps continu mais, dans le cas de la filtration d un mouvement brownien, cela ne restreint pas la classe des processus adaptés de fa con significative en raison de la continuité des trajectoires du mouvement brownien. Dans notre étude des modèles discrets complets, nous avons été amenés à nous placer sous une loi de probabilité équivalente à la probabilité initiale et sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales, puis nous avons construit des stratégies autofinancées simulant les options. Le paragraphe suivant présente les outils qui permettent de transposer ces méthodes au temps continu. 2 Changement de probabilité. Théorème de représentation des martingales 2.1 Probabilités équivalentes Soit Ω, A, P un espace probabilisé. Une probabilité Q sur Ω, A est dite absolument continue par rapport à P si : A A P A = Q A =. Théorème 2.1 Q est absolument continue par rapport à P si, et seulement si, il existe une variable aléatoire Z à valeurs positives ou nulles sur Ω, A telle que : A A QA = ZωdPω, Z est appelée densité de Q par rapport à P et parfois notée dq dp. L équivalence à démontrer est évidente dans un sens, la réciproque est une version du théorème de Radon-Nikodym cf. par exemple [DCD82], tome 1. Les probabilités P et Q sont dites équivalentes si chacune d elles est absolument continue par rapport à l autre. Noter que si Q est absolument continue par rapport à P, de densité Z, alors P et Q sont équivalentes si et seulement si P Z > = 1. A

70 7 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 2.2 Théorème de Girsanov Soit Ω, F, F t t T, P un espace probabilisé filtré, dont la filtration est la filtration naturelle d un mouvement brownien standard B t t T, indexé par l intervalle de temps [, T]. Le théorème suivant, que nous admettrons, est connu sous le nom de théorème de Girsanov cf. [KS88], [DCD83], chapitre 8. Théorème 2.2 Soit θ t t T un processus adapté vérifiant T processus L t t T défini par : L t = exp θ s db s 1 2 θ2 s θ 2 s ds ds < p.s. et tel que le soit une martingale. Alors, sous la probabilité P L de densité L T par rapport à P, le processus W t t T défini par W t = B t + θ sds, est un mouvement brownien standard. Remarque 2.3 Une condition suffisante pour que L t t T soit une martingale est que l on ait : E exp 1 T 2 θ2 t dt < cf. [KS88], [DCD82]. La démonstration du théorème de Girsanov dans le cas où θ t est constant fait l objet de l exercice Théorème de représentation des martingales browniennes Soit B t t T un mouvement brownien standard construit sur un espace probabilisé Ω, F, P et soit F t t T sa filtration naturelle. Rappelons cf. chapitre 3, proposition 4.4 que si H t t T est un processus adapté tel que E T H2 t dt <, le processus H sdb s est une martingale de carré intégrable, nulle en. Le théorème suivant montre que toutes les martingales browniennes peuvent se représenter à l aide d une intégrale stochastique. Théorème 2.4 Soit M t t T une martingale de carré intégrable, par rapport à la filtration F t t T. Il existe un processus adapté H t t T tel que E T H2 sds < + et : t [, T] M t = M + H s db s p.s Noter que cette représentation n est possible que pour les martingales de la filtration naturelle du mouvement brownien cf. exercice 26. Il résulte du théorème que si U est une variable aléatoire F T -mesurable de carré intégrable, on peut l écrire sous la forme : U = E U + T H s db s p.s. où H t est une processus adapté tel que E T H2 tds < +. Il suffit pour cela de considérer la martingale M t = E U F t. On démontre aussi cf., par exemple [KS88] que si M t t T est une martingale non nécessairement de carré intégrable il existe une représentation du type 4.4 mais avec un processus vérifiant seulement T H2 tds <, p.s. Nous utiliserons d ailleurs ce résultat dans le chapitre 6.

71 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 71 3 Evaluation et couverture des options dans le modèle de Black et Scholes 3.1 Une probabilité sous laquelle S t est une martingale Nous reprenons maintenant le modèle introduit au paragraphe 1. Nous allons montrer qu il existe une probabilité équivalente à la probabilité initiale P, sous laquelle le prix actualisé S t = e rt S t de l action est une martingale. Utilisant l équation différentielle stochastique vérifiée par S t on a : et par conséquent, si on pose W t = B t + µ r σ t, d S t = re rt S t dt + e rt ds t = S t µ rdt + σdb t d S t = S t σdw t. 4.5 D après le théorème 2.2, appliqué en prenant θ t = µ r, il existe une probabilité σ P équivalente à P sous laquelle W t t T est un mouvement brownien standard. On admettra, par la suite, que la définition de l intégrale stochastique est invariante par changement de probabilité équivalente cf. exercice 25. Alors, si on se place sous la probabilité P, on déduit de l égalité 4.5 que S t est une martingale et que : S t = S expσw t σ 2 t/ Pricing Dans ce paragraphe, nous nous limiterons aux options européennes. Une option européenne sera définie par une variable aléatoire F T -mesurable, positive h. Le plus souvent, h est de la forme fs T, fx = x K +, dans le cas d un call, fx = K x + dans le cas d un put. Comme dans le cas discret, nous allons définir la valeur de l option en la simulant. Pour des raisons techniques, nous limiterons la classe des stratégies admissibles de la fa con suivante : Définition 3.1 Une stratégie φ = H t, H t t T est admissible si elle est autofinancée et si la valeur actualisée Ṽ t φ = H t + H t S t du portefeuille correspondant est, pour tout t, positive et telle que sup t [,T] Ṽ t est de carré intégrable sous P. On dira qu une option est simulable si sa valeur à l échéance est égale à la valeur finale d une stratégie admissible. Il est clair que pour que l option définie par h soit simulable, il est nécessaire que h soit de carré intégrable sous P. Dans le cas du call h = S T K +, cette propriété est bien vérifiée puisque E S 2 T < ; notons que dans le cas du put, h est même bornée. Théorème 3.2 Dans le modèle de Black et Scholes, toute option définie par une variable aléatoire h, positive, F T -mesurable et de carré intégrable sous la probabilité P est simulable et la valeur à l instant t de tout portefeuille simulant est donnée par : V t = E e rt t h F t.

72 72 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE La valeur de l option à l instant t est donc définie de fa con naturelle par l expression E e rt t h F t. Démonstration : Supposons tout d abord qu il existe une stratégie admissible H, H, simulant l option. La valeur à l instant t du portefeuille H t, H t est donnée par : V t = H t S t + H ts t et l on a, par hypothèse, V T = h. Soit Ṽ t = V t e rt, la valeur actualisée : V t = H t + H t St. Puisque la statégie est autofinancée, on a, d après la proposition 1.2 et l égalité 4.5 : Ṽ t = V + = V + H u d S u H u σ S u dw u. Sous la probabilité P, sup t [,T] Ṽ t est de carré intégrable, d après la définition des stratégies admissibles, et l égalité qui précède fait apparaître le processus Ṽ t comme une intégrale stochastique par rapport à W t. Il en résulte cf. chapitre 3, équation 3.6 et proposition 4.4 que Ṽ t est, sous P, une martingale de carré intégrable. D où : et par conséquent : Ṽ t = E Ṽ T F t, V t = E e rt t h F t. 4.6 Nous avons ainsi montré que si le portefeuille H, H simule l option définie par h, sa valeur est donnée par l égalité 4.6. Pour achever la démonstration du théorème, il reste à démontrer que l option est bien simulable, c est-à-dire à trouver des processus H t et H t définissant une stratégie admissible et tels que : H t S t + H ts t = E e rt t h F t. Or, sous la probabilité P, le processus défini par M t = E e rt h F t est une martingale de carré intégrable. La filtration F t, filtration naturelle de B t, est aussi la filtration naturelle de W t et, d après le théorème de représentation des martingales browniennes, il existe un processus adapté K t t T tel que E T K2 s ds < + et : t [, T] M t = M + K s dw s p.s.. La stratégie φ = H, H, avec H t = K t /σ S t et H t = M t H t S t, est alors, d après la proposition 1.2 et l égalité 4.5, une stratégie autofinancée, dont la valeur à l instant t est donnée par : V t φ = e rt M t = E e rt t h F t et il est clair sur cette expression que V t φ est une variable aléatoire positive, que sup t [,T] V t φ est de carré intégrable sous P et que V T φ = h. On a donc bien une stratégie admissible simulant h.

73 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 73 Remarque 3.3 Lorsque la variable aléatoire h est de la forme h = fs T, on peut expliciter la valeur V t de l option à l instant t comme une fonction de t et S t. On a en effet : V t = E e rt t fs T F t = E e rt t f S t e rt t e σw T W t σ 2 /2T t Ft La variable aléatoire S t est F t -mesurable et, sous P, W T W t est indépendante de F t. On a donc, en utilisant la proposition 2.5 de l appendice, avec : V t = Ft, S t, Ft, x = E e rt t f xe rt t e σw T W t σ 2 /2T t 4.7 et comme, sous P, W T W t est une gaussienne centrée de variance T t : Ft, x = e rt t + f xe r σ2 /2T t+σy T t e y2 /2 dy 2π. Le calcul de F peut être poussé plus loin dans le cas du call et du put. Si l on prend l exemple du call, avec fx = x K +, on a, d après l égalité 4.7 : Ft, x = E e rt t xe r σ2 /2T t+σw T W t K + = E xe σ θg σ 2 θ/2 Ke rθ + où g est une gaussienne centrée réduite et θ = T t. Introduisons les quantités : d 1 = log x K + r + σ 2 2 θ σ et d 2 = d 1 σ θ. θ Avec ces notations, on a Ft, x = [ xe σ E θg σ 2θ/2 Ke rθ 1 {g + d2 }] = = + d 2 d2 xe σ θy σ 2 θ/2 Ke rθ e y2 /2 2π dy xe σ θy σ 2 θ/2 Ke rθ e y2 /2 2π dy. En écrivant cette expression comme la différence de deux intégrales et en faisant dans la première le changement de variable z = y + σ θ, on obtient : Ft, x = xnd 1 Ke rθ Nd 2, 4.8 avec : Nd = 1 2π d e x2 /2 dx. Pour le put, un calcul analogue donne, avec les mêmes notations : Ft, x = Ke rθ N d 2 xn d Pour des méthodes de calcul efficaces de Nd on pourra se reporter au chapitre 8.

74 74 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Remarque 3.4 Un des traits majeurs du modèle de Black-Scholes et une des raisons de son succès est que les formules de prix obtenues, de même que les formules de couverture que nous donnerons plus loin, dépendent d un seul paramètre non directement observable : le paramètre σ, appelé volatilité par les praticiens le paramètre de dérive µ disparaît sous l effet du changement de probabilité. Dans la pratique, deux méthodes sont utilisées pour évaluer σ : 1. la méthode historique : dans le cadre du modèle, σ 2 T est la variance de logs T et les variables logs T /S, logs 2T /S T,..., logs NT /S N 1T sont indépendantes équidistribuées. Dès lors, on peut, à partir des valeurs du cours observées dans le passé, estimer σ par des voies statistiques par exemple à l aide de variances empiriques ; cf. [DCD82], chapitre la méthode implicite : certaines options sont cotées sur des marchés organisés et le prix des options calls et puts étant une fonction strictement croissante de σ cf. exercice 21, à chaque option cotée, on peut associer une volatilité implicite, par inversion de la formule de Black-Scholes. Le modèle ainsi identifié peut ensuite être utilisé pour les calculs de couverture. Dans ces questions de volatilité, on se heurte vite aux imperfections du modèle de Black- Scholes : on constate des différences importantes entre volatilité historique et volatilité implicite et la volatilité implicite semble dépendre du prix d exercice et de l échéance. Malgré ces incohérences, le modèle constitue une référence indispensable pour les praticiens. 3.3 Couverture des calls et des puts Dans la démonstration du théorème 3.2, nous avons invoqué le théorème de représentation des martingales browniennes pour montrer l existence d un portefeuille simulant. Dans la pratique, il importe de pouvoir construire effectivement le portefeuille simulant pour couvrir une option et on ne peut pas se contenter d un simple théorème d existence. Nous allons voir comment, dans le cas où l option est définie par une variable aléatoire de la forme h = fs T, on peut expliciter le portefeuille de couverture. Un portefeuille simulant doit avoir, à chaque instant t, une valeur actualisée égale à : Ṽ t = e rt Ft, S t, où F est la fonction définie par l égalité 4.7. Sous des hypothèses très larges sur f et, en particulier, dans les cas du call et du put où on dispose des formules explicites de la remarque 3.3, on voit que la fonction F est de classe C sur [, T[ R. Si on pose : Ft, x = e rt F t, xe rt. on a : Ṽ t = Ft, S t et, pour t < T, d après la formule d Ito : F t, S t = F F, S + u, S u d S u x F 1 2 F + u, Su du + u, t 2 x 2 Su d < S, S >u De l égalité d S t = S t σdw t, on déduit : d < S, S > u = σ 2 S 2 u du,

75 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 75 ce qui fait apparaître F t, S t sous la forme suivante : F t, S t = F, S + σ F u, S u S u dw u + K u du. x Comme on sait que Ft, S t est une martingale sous P, le processus K u est nécessairement nul cf. chapitre 3, exercice 16. D où : F t, S t = F, S + σ F u, S u S u dw u x = F F, S + u, S u d S u. x Le candidat naturel pour le processus de couverture H t est alors : H t = F F t, St = x x t, S t. Si on pose H t = F t, S t Ht S t, le portefeuille H t, H t est autofinancé et sa valeur actualisée est bien Ṽ t = F t, S t. Remarque 3.5 Le raisonnement qui précède montre qu on peut traiter les options de la forme fs T sans utiliser le théorème de représentation des martingales browniennes. Remarque 3.6 Dans le cas du call, on a, avec les notations de la remarque 3.3, F x t, x = Nd 1. et dans le cas du put : F x t, x = N d 1. On pourra le vérifier en exercice la fa con la plus simple de faire le calcul est de dériver sous le signe d espérance. Cette quantité est souvent appelée le delta de l option par les praticiens. Plus généralement, lorsque la valeur à l instant t d un portefeuille peut s écrire Ψt, S t, la quantité Ψ/ xt, S t, qui mesure la sensibilité du portefeuille aux variations du cours à l instant t, est appelée le delta du portefeuille. On parle de gamma pour la dérivée seconde 2 Ψ/ x 2 t, S t, de thêta pour la dérivée par rapport au temps et de véga pour la dérivée de Ψ par rapport à la volatilité σ. 4 Options américaines dans le modèle de Black-Scholes 4.1 Evaluation des options américaines Nous avons vu, dans le chapitre 2, les liens entre l évaluation des options américaines et le problème d arrêt optimal dans le cadre de modèles discrets. La théorie de l arrêt optimal en temps continu repose sur les mêmes idées qu en temps discret, mais la mise en œuvre de ces idées soulève, dans ce cadre, de sérieuses difficultés techniques. En ce qui concerne les options américaines, il est clair que l approche que nous avons utilisée dans le paragraphe 3.3 du chapitre 2, basée sur une relation de récurrence, n est pas directement transposable. L exercice

76 76 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 5 du chapitre 2 montre que, dans un modèle discret, à toute option américaine peut être associée une stratégie de couverture dans laquelle une certaine consommation est autorisée. C est à partir de stratégies de gestion avec consommation que nous allons étudier les options américaines dans le modèle de Black-Scholes. Définition 4.1 Une stratégie de gestion avec consommation est la donnée d un processus adapté φ = H t, H t t T, à valeurs dans R 2, vérifiant les propriétés suivantes : 1. T H t dt + T H 2 tdt < + p.s. 2. H t S t + H ts t = H S + H S + H u ds u + H u ds u C t pour tout t [, T], où C t t T est un processus croissant continu adapté nul en t =, C t représentant la consommation cumulée jusqu à l instant t. Une option américaine est naturellement définie par un processus adapté, à valeurs positives h t t T. Pour simplifier, nous nous limiterons à des processus de la forme h t = ψs t, où ψ est une fonction continue de R + dans R +, vérifiant : ψx A + Bx, x R +, pour des constantes A et B positives. Pour un call, on a : ψx = x K + et pour un put : ψx = K x +. Nous dirons que la stratégie de gestion avec consommation φ = H t, H t t T couvre l option américaine définie par h t = ψs t si, en notant V t φ = H t S t + H ts t, on a : t [, T] V t φ ψs t p.s. Notons Φ ψ l ensemble des stratégies de gestion avec consommation qui couvrent l option américaine définie par h t = ψs t. Si le vendeur de l option suit une stratégie φ Φ ψ, il dispose, à chaque instant t, d une richesse au moins égale à ψs t, qui est la somme à fournir en cas d exercice de l option à l instant t. L énoncé suivant fait apparaître la valeur minimale d une stratégie de couverture d une option américaine : Théorème 4.2 Soit u l application de [, T] R + dans R définie par : [ ut, x = sup E e rτ t ψ x exp r σ 2 /2τ t + σw τ W t ] τ T t,t où T t,t désigne l ensemble des temps d arrêt à valeurs dans [t, T]. Il existe une stratégie φ Φ ψ telle que V t φ = ut, S t, pour tout t [, T]. De plus, pour toute stratégie φ Φ ψ, on a : V t φ ut, S t, pour tout t [, T]. Pour éviter les difficultés techniques, nous donnerons seulement le schéma de la démonstration de ce théorème, renvoyant à [Kar88, Kar89] pour les détails. On montre d abord que le processus e rt ut, S t est l enveloppe de Snell du processus e rt ψs t, c est-à-dire la plus petite surmartingale qui le majore, sous P. Or, on peut montrer que la valeur actualisée d une stratégie de gestion avec consommation est une surmartingale sous P. On a donc l inégalité : V t φ ut, S t, pour toute stratégie φ Φ ψ. L obtention d une stratégie φ telle que V t φ = ut, S t repose sur un théorème de décomposition des surmartingales analogue à la proposition 3.1 du chapitre 2 et sur le théorème de représentation des martingales browniennes. Il est naturel de considérer que ut, S t représente la valeur de l option américaine à l instant t, puisque c est la valeur minimale d une stratégie qui couvre l option.

77 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 77 Remarque 4.3 Soit τ un temps d arrêt à valeurs dans [, T]. La valeur à l instant d une stratégie admissible au sens de la définition 3.1 et de valeur ψs τ à l instant τ est donnée par E e rτ ψs τ, puisque la valeur actualisée de toute stratégie admissible est une martingale sous P. La quantité u, S = sup τ T,T E e rτ ψs τ est donc bien la richesse initiale permettant de couvrir exactement tous les exercices possibles. Comme dans les modèles discrets, on constate que le prix du call américain sur une action ne distribuant pas de dividende est égal au prix du call européen : Proposition 4.4 Si, dans le théorème 4.2, ψ est donnée par ψx = x K +, pour tout réel x, alors on a : ut, x = Ft, x où F est la fonction définie par la relation 4.8 donnant le prix du call européen. Démonstration : Supposons pour simplifier t = le raisonnement est le même pour t >. Alors, il suffit de démontrer que pour tout temps d arrêt τ, E e rτ S τ K + E e rt S T K + = E S T e rt K + Or, on a : E S T e rt K + F τ E S T e rt K F τ = S τ e rt K puisque S t est une martingale sous P. D où : E S T e rt K + F τ S τ e rτ K puisque r et, puisque le membre de gauche est positif, E S T e rt K + F τ S τ e rτ K. + D où l inégalité annoncée en prenant l espérance. 4.2 Puts perpétuels, prix critique Dans le cas du put, le prix de l option américaine n est pas égal à celui de l option européenne et il n existe pas de formule explicite donnant la fonction u. On doit donc recourir à des méthodes de calcul approché qui seront abordées dans le chapitre 5. Dans ce paragraphe nous nous contenterons de déduire de la formule : ut, x = sup τ T t,t E Ke rτ t x exp σ 2 τ t/2 + σw τ W t quelques propriétés de la fonction u. Nous supposerons, pour simplifier, t =. En fait, on peut toujours se ramener à ce cas-là, quitte à changer T en T t. L équation 4.1 devient alors : u, x = sup τ T,T E Ke rτ x exp σw τ σ 2 τ/

78 78 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Considérons un espace de probabilité Ω, F, P, sur lequel est défini un mouvement brownien standard B t t< défini sur R +. Alors, on a : u, x = sup E Ke rτ x exp σb τ σ 2 τ/2 + τ T,T [ Ke sup E rτ x exp σb τ σ 2 τ/2 ] 1 τ T + {τ < }, 4.12 en notant T, l ensemble de tous les temps d arrêt de la filtration de B t t et T,T l ensemble des éléments de T, à valeurs dans [, T]. Le membre de droite de l inégalité 4.12 s interprète naturellement comme la valeur d un put perpétuel c est-à-dire exeŗcable à tout moment sans limite d échéance. La proposition suivante permet d expliciter la majoration Proposition 4.5 La fonction : u x = [ Ke sup E rτ x exp σb τ σ 2 τ/2 ] 1 τ T + {τ < }, 4.13 est donnée par les formules suivantes : avec x = Kγ 2r et γ =. 1+γ σ 2 u x = K x pour x x x γ u x = K x x pour x > x Démonstration : On déduit de la formule 4.13 que la fonction u est convexe, décroissante sur [, [ et vérifie : u x K x + et, pour tout T >, u x EKe rt xe σb T σ 2 T/2 +, ce qui implique : u x >, pour tout x. Notons maintenant x = sup{x u x = K x}. Les propriétés de u que nous venons d énumérer entraînent : x x u x = K x et x > x u x > K x Par ailleurs, la théorie de l enveloppe de Snell à temps continu cf. [Kar81], [Kus77], ainsi que le chapitre 5 permet de montrer que : [ Ke u rτ x = E x x exp σb τx σ 2 τ x /2 ] 1 + {τ x < } où τ x est le temps d arrêt défini par τ x = inf{t e rt u X x t = e rt K X x t + } avec inf =, le processus X x t étant défini par : Xx σ2 t = xer 2 t+σbt. Le temps d arrêt τ x est donc un temps d arrêt optimal noter l analogie avec les résultats du chapitre 2. Il résulte des relations 4.14 que } τ x = inf{t X x t x } = inf {t r σ2 2 t + σb t logx /x Introduisons, pour tout nombre z R +, le temps d arrêt τ x,z défini par : τ x,z = inf{t X x t z}.

79 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 79 Avec ces notations, le temps d arrêt optimal est donné par τ x = τ x,x. Le nombre x étant fixé, notons φ la fonction de z définie par : φz = E e rτx,z 1 {τx,z < } K X x τx,z. + Puisque τ x,x est optimal, la fonction φ admet son maximum au point z = x. Nous allons calculer φ explicitement, puis nous la maximiserons pour déterminer x et u x = φx. Si z > x, on a évidemment τ x,z = et φz = K x +. Si z x, on a, en utilisant la continuité des trajectoires de X x t t, τ x,z = inf{t X x t = z} et par conséquent φz = K z + E e rτx,z 1 {τx,z < } = K z + E e rτx,z avec, par convention, e r =. En reprenant l expression de X x t en fonction de B t, on voit que, pour z x, { } τ x,z = inf t r σ2 t + σb t = logz/x 2 = inf {t µt + B t = 1σ } logz/x, en posant µ = r σ. Donc, si on note, pour tout réel b, σ 2 on a : T b = inf{t µt + B t = b}, K x + si z > x φz = K ze e rt logz/x/σ si z [, x] [, K] si z [, x] [K, + [. Le maximum de φ est donc atteint sur l intervalle [o, x] [, K]. En utilisant la formule suivante démontrée dans l exercice 24 : E e αt b = exp µb b µ 2 + 2α, on voit que z γ z [, x] [, K] φz = K z, x en posant γ = 2r σ 2. La dérivée de cette fonction est donnée par φ z = zγ 1 Kγ γ + 1z. xγ Il en résulte que si x Kγ γ+1, max z φz = φx = K x et si x > Kγ γ+1, max z φz = φ Kγ γ+1, ce qui donne les formules annoncées.

80 8 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Remarque 4.6 Revenons au put américain d échéance T finie. En raisonnant comme au début de la démonstration de la proposition 4.5, on voit que, pour chaque t [, T[, il existe un réel st vérifiant : x st ut, x = K x et x > st ut, x > K x Compte-tenu de l inégalité 4.12, on a st x, pour tout t [, T[. Le réel st s interprète comme le prix critique à l instant t : si le prix de l actif sous-jacent à l instant t est inférieur à st, le détenteur de l option a intérêt à exercer immédiatement son option ; dans le cas contraire, il a intérêt à la conserver. Remarque bibliographique : La présentation que nous avons utilisée, basée sur le théorème de Girsanov, est inspirée de [HP81] voir aussi [Ben84], et le paragraphe 5.8 de [KS88]. L approche historique de [BS73] et [Mer73] consistait à dégager, à partir d un raisonnement d arbitrage et de la formule d Itô, une équation aux dérivées partielles vérifiée par la fonction donnant le prix du call en fonction du temps et du cours spot. Pour les méthodes statistiques de détermination des paramètres des modèles, on pourra se référer à [DCD82] et [DCD83] et à la bibliographie de ces ouvrages. 5 Exercices Exercice 19 Le but de l exercice est de montrer le théorème de Girsanov 2.2 dans le cas où le processus θ t est constant. Soit B t t T un mouvement brownien standard par rapport à une filtration F t t T et soit µ un nombre réel. On pose, pour t T, L t = e µbt µ2 /2t. 1. Montrer que L t t T est une martingale par rapport à la filtration F t et que EL t = 1, pour tout t [, T]. 2. On note P Lt la probabilité de densité L t par rapport à la probabilité initiale P. Montrer que les probabilités P L T et P Lt coïncident sur la tribu F t. 3. Soit Z une variable aléatoire bornée F T -mesurable. Montrer que l espérance conditionnelle de Z, sous la probabilité P L T, sachant F t, est donnée par : E L T Z F t = E ZL T F t L t. 4. On pose W t = µt + B t, pour tout t [, T]. Montrer que pour tout réel u et pour tous s et t dans [, T], avec s t, on a : E L T e iuwt Ws Fs = e u 2 t s/2 Conclure en utilisant la proposition 2.2 de l appendice. Exercice 2 Montrer qu il y a unicité en précisant en quel sens du portefeuille simulant une option européenne dans le modèle de Black-Scholes. Exercice 21 On considère une option de la forme h = fs T et on note F la fonction donnant le prix de l option en fonction du temps et du cours spot cf. équation Montrer que si f est croissante resp. décroissante, Ft, x est une fonction croissante resp. décroissante de x.

81 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES On suppose f convexe. Montrer que Ft, x est une fonction convexe de x, une fonction décroissante de t si r = et une fonction croissante de σ dans tous les cas partir de l équation 4.7 et utiliser l inégalité de Jensen : ΦEX E ΦX, valable pour toute fonction Φ convexe et pour toute variable aléatoire X telle que X et ΦX soient intégrables. 3. On note F c resp. F p la fonction F obtenue quand fx = x K + resp. fx = K x +. Montrer que F c t,. et F p t,. sont strictement positives pour t < T. Etudier les fonctions F c t,. et F p t,. au voisinage de et +. Exercice 22 Calculer, sous la probabilité initiale P, la probabilité qu un call européen soit exercé. Exercice 23 Justifier les formules 4.8 et 4.9 et calculer, pour un call et un put le delta, le gamma, le thêta et le véga cf. remarque 3.6. Exercice 24 Soit B t t un mouvement brownien standard. Pour tous nombres réels µ et b, on pose : T µ b = inf{t µt + B t = b} avec la convention : inf =. 1. En utilisant le théorème de Girsanov, montrer l égalité suivante : α, t > E e αt µ t b = E e αt b t e µb T b t µ 2 2 T b t 2. Montrer l inégalité : α, t > E e αt b t e µb T b t µ 2 2 T b t 1 { t < Tb} e αt. 3. Déduire de ce qui précède et des résultats du chapitre 3 proposition 3.6 que : α > E e αt µ b 1{T 2α+µ µ b < } = e µb b Calculer P T µ b <. Exercice Soient P et Q deux probabilités équivalentes sur un espace probabilisable Ω, A. Montrer que si une suite X n de variables aléatoires converge en probabilité sous P, elle converge en probabilité sous Q vers la même limite. 2. Les notations et les hypothèses sont celles du théorème 2.2. Soit H t t T un processus adapté tel que T H2 s ds < P-p.s.. L intégrale stochastique de H t par rapport à B t est bien définie sous la probabilité P. On pose X t = H s db s + H s θ s ds. Puisque P L et P sont équivalentes, on a T H2 s ds < PL -p.s. et on peut donc définir, sous P L, le processus Y t = H s dw s. On demande de montrer que les processus X et Y sont égaux. Pour cela, on traitera d abord le cas des processus élémentaires et on utilisera le fait que si H t t T est un processus adapté vérifiant T H2 s ds < p.s., il existe une suite Hn de processus élémentaires telle que T H s H n s 2 ds converge vers en probabilité..

82 82 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Exercice 26 Soit B t t 1 un mouvement brownien standard défini sur l intervalle de temps [, 1]. On note F t t 1 sa filtration naturelle et on suppose donnée une variable aléatoire τ de loi exponentielle de paramètre λ, indépendante de F 1. Pour t [, 1], on note G t la tribu engendrée par F t et la variable aléatoire τ t. 1. Montrer que G t t 1 est une filtration et que B t t 1 est un mouvement brownien par rapport à G t. 2. Pour t [, 1], on pose M t = E 1 {τ > 1} G t. Montrer que : M t = e λ1 t 1 {τ > t} p.s.. On pourra utiliser le fait suivant : si B 1 et B 2 sont deux sous-tribus et X une variable aléatoire positive telle que la tribu engendrée par B 2 et X soit indépendante de la tribu B 1, alors E X B 1 B 2 = E X B 2, où B 1 B 2 désigne la tribu engendrée par B 1 et B Montrer qu il n existe pas de processus à trajectoires continues X t tel que pour tout t [, 1] : P M t = X t = 1, remarquer que l on aurait nécessairement P t [, 1] M t = X t = 1. En déduire que la martingale M t ne peut pas se représenter comme une intégrale stochastique par rapport à B t. Exercice 27 On utilisera librement les résultats de l exercice 18 du chapitre 3. Soit W t t un F t -mouvement brownien. 1. Démontrer que si µ λ et si Nd = d exp x2 /2dx/ 2π : E eαw T 1 { } = e α W T µ, sup W s λ s T En déduire que si λ µ : E eαw T 1 { } W T µ, inf W = e α s λ s T 2 T 2 +2αλ N 2 T 2 +2αλ N 2. Soit H K, on cherche à trouver une expression explicite pour : C = E e rt X T K + 1 { } inf X, s H s T µ 2λ αt. T 2λ µ + αt. T r où X t = xe σ2 t+σw 2 t. Donner une interprétation financiére de cette valeur et expliciter la probabilité P qui fait de W t = 1 σ r σ 2 2 t + Wt un mouvement brownien standard. 3. Ecrire C sous la forme d une espérance sous P d un variable aléatoire fonction uniquement de W T et sup s T W s.

83 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES En déduire une formule explicite pour C. Problème 1 Modèle de Black-Scholes avec paramètres dépendant du temps On reprend le modèle de Black-Scholes, en supposant que les prix des actifs vérifient les équations suivantes, avec les notations du cours : { ds t = rts tdt ds t = S t µtdt + σtdb t où rt, µt, σt sont des fonctions déterministes du temps, continues sur [, T]. On suppose, de plus, inf t [,T] σt > 1. Montrer que : S t = S exp µsds + On pourra considérer le processus : Z t = S t exp µsds + σsdb s 1 2 σsdb s 1 2 σ 2 sds σ 2 sds 2. a Soit X n une suite de variables aléatoires réelles, gaussiennes, centrées, convergeant en moyenne quadratique vers X. Montrer que X est gaussienne. b Montrer, en approchant σ par des fonctions en escalier, que σsdb s est une gaussienne et calculer sa variance. 3. Montrer qu il existe une probabilité P équivalente à P, sous laquelle le prix actualisé de l action est une martingale et donner sa densité par rapport à P 4. Dans la suite, on se propose d évaluer et de couvrir un call d échéance T et de prix d exercice K sur une action. a Soit H t, H1 t une stratégie autofinancée, de valeur V t à l instant t. Montrer que si V t /S t est une martingale sous P avec, de plus, V T = S T K +, alors : où F est la fonction définie par : t [, T] V t = Ft, S t T Ft, x = E x exp σsdw s 1 T σ 2 sds Ke T t rsds t 2 t + où W t est, sous P, un mouvement brownien standard. b expliciter la fonction F et faire le lien avec la formule de Black-Scholes. c Construire une stratégie de couverture du call expliciter H t et H t et vérifier la condition d autofinancement. Problème 2 Modèle de Garman-Kohlhagen Le modèle de Garman-Kohlhagen est le modèle le plus couramment utilisé pour l évaluation et la couverture des options de change. Il est directement inspiré du modèle de Black-Scholes. Pour fixer les idées, nous nous intéresserons à des options dollar contre franc. Par exemple,

84 84 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE un call européen, d échéance T, sur un dollar au cours d exercice K, est le droit d acheter, à la date T, un dollar pour K francs. Nous noterons S t le cours du dollar à l instant t, c est-à-dire le nombre de francs nécessaires à l achat d un dollar. L évolution de S t au cours du temps est modélisée par l équation différentielle stochastique suivante : ds t S t = µdt + σdw t où W t t [,T] est un mouvement brownien standard sur un espace de probabilité Ω, F, P, µ et σ des nombres réels, avec σ >. On notera F t t [,T] la filtration engendrée par W t t [,T] et on considèrera que F t représente l ensemble des informations disponibles à la date t. Partie I 1. Expliciter S t en fonction de S, t et W t. Calculer l espérance de S t. 2. Montrer que si µ >, le processus S t t [,T] est une sous-martingale. 3. Soit U t = 1/S t le taux de conversion des francs en dollars. Montrer que U t vérifie l équation différentielle stochastique suivante : du t U t = σ 2 µdt σdw t En déduire que si < µ < σ 2, les processus S t t [,T] et U t t [,T] sont, l un et l autre, des sous-martingales. En quoi cela peut-il sembler paradoxal? Partie II On se propose d évaluer et de couvrir un call européen, d échéance T, sur un dollar, au cours d exercice K, par une démarche analogue à celle du modèle de Black-Scholes. Le vendeur de l option, à partir de la richesse initiale que représente la prime, va construire une stratégie, définissant à chaque instant t un portefeuille contenant H t francs et H t dollars, de fa con à produire, à la date T, une richesse égale en francs à S T K +. A une date t, la valeur, en francs, d un portefeuille contenant H t francs et H t dollars est évidemment V t = H t + H t S t 4.16 Nous supposerons que les francs sont placés ou empruntés au taux r taux domestique et les dollars au taux r 1 taux étranger. Une stratégie autofinancée sera donc définie par un processus H t, H t t [,T] adapté, tel que où V t est défini par l équation dv t = r H t dt + r 1H t S t dt + H t ds t Quelles conditions d intégrabilité doit-on imposer aux processus H t et H t pour que l égalité différentielle 4.17 ait un sens? 2. Soit Ṽ t = e r t V t la valeur actualisée du portefeuille autofinancé H t, H t. Démontrer l égalité : dṽ t = H t e r t S t µ + r 1 r dt + H t e r t S t σdw t 3. a Montrer qu il existe une probabilité P, équivalente à P, sous laquelle le processus est un mouvement brownien standard. W t = µ + r 1 r t + W t σ

85 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 85 b On dira d une stratégie autofinancée qu elle est admissible si sa valeur actualisée Ṽ t est, pour tout t, positive et si sup t [,T] Ṽt est de carré intégrable sous P. Montrer que la valeur actualisée d une stratégie admissible est une martingale sous P. 4. Montrer que si une stratégie admissible simule le call, c est-à-dire a pour valeur à l instant T, V T = S T K +, alors pour tout t T la valeur de la stratégie à l instant t est donnée par : V t = Ft, S t où 1 Ft, x = Ē xe r 1+σ 2 /2T t+σ W T W t Ke r T t 5. Montrer par un calcul détaillé que Ft, x = e r 1T t xnd 1 Ke r T t Nd 2 où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et : d 1 = logx/k + r r 1 + σ 2 /2T t σ T t d 2 = logx/k + r r 1 σ 2 /2T t σ T t 6. On demande maintenant de montrer que l option est effectivement simulable. a On pose S t = e r 1 r t S t. Montrer l égalité : d S t = σ S t d W t b Soit F la fonction définie par Ft, x = e r t Ft, xe r r 1 t F désignant la fonction définie dans la question 4. On pose C t = Ft, S t et C t = e r t C t = Ft, S t. Montrer l égalité : d C t = F x t, S tσe r t S t d W t c En déduire que le call est simulable et expliciter le portefeuille H t, H t simulant cette option. 7. Ecrire une relation de parité call-put, analogue à celle vue en cours pour les actions et donner un exemple d arbitrage possible lorsque cette relation n est pas vérifiée. Problème 3 Options d échange On considère un marché financier dans lequel il y a deux actifs risqués de prix respectifs S 1 t et S 2 t à l instant t et un actif sans risque de prix S t = ert à l instant t. L évolution des prix S 1 t et S 2 t au cours du temps est modélisée par les équations différentielles stochastiques suivantes : { ds 1 t = S 1 t µ1 dt + σ 1 dbt 1 ds 2 t = S 2 t µ2 dt + σ 2 dbt 2 où B 1 t t [,T] et B 2 t t [,T] sont deux mouvements browniens standards indépendants définis sur un espace de probabilité Ω, F, P, µ 1, µ 2, σ 1 et σ 2 des nombres réels, avec σ 1 > et σ 2 >. On notera F t la tribu engendrée par les variables aléatoires B 1 s et B2 s pour s t. Les processus B 1 t t [,T] et B 2 t t [,T] sont alors des F t -mouvements browniens et, pour t s, le vecteur B 1 t B1 s, B2 t B2 s est indépendant de F s. Nous allons étudier l évaluation et la couverture d une option donnant le droit d échanger, à la date T, un des actifs risqués contre l autre. 1 Le symbole Ē désigne l espérance sous la probabilité P. +

86 86 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Partie I 1. On pose θ 1 = µ 1 r/σ 1 et θ 2 = µ 2 r/σ 2. Montrer que le processus défini par : M t = e θ 1B 1 t θ 2B 2 t 1 2 θ2 1 +θ2 2 t, est une martingale par rapport à la filtration F t t [,T]. 2. Soit P la probabilité de densité M T par rapport à P. On introduit les processus W 1 et W 2 définis par Wt 1 = B 1 t + θ 1 t et Wt 2 = B 2 t + θ 2 t. Calculer, sous la probabilité P, la fonction caractéristique du couple Wt 1, W2 t. En déduire que, pour tout t [, T], les variables aléatoires Wt 1 et W2 t sont, sous P des gaussiennes centrées indépendantes, de variance t. Pour la suite, on pourra admettre que, sous la probabilité P, les processus Wt 1 t T et Wt 2 t T sont des F t -mouvements browniens standards indépendants et que, pour t s, le vecteur Wt 1 W1 s, W2 t W2 s est indépendant de F s. 3. Exprimer S 1 t et S 2 t en fonction de S 1, S 2 Wt 1 et Wt 2 et montrer que, sous P, les prix actualisés S 1 t = e rt S 1 t et S 2 t = e rt S 2 t sont des martingales. Partie II On se propose d évaluer et de couvrir un option européenne, d échéance T, donnant à son détenteur le droit d échanger une unité de l actif 2 contre une unité de l actif 1. Pour cela, on reprend la démarche du modèle de Black-Scholes. Le vendeur de l option, à partir de la richesse initiale que représente la prime, va construire une stratégie, définissant à chaque instant t un portefeuille contenant H t unités d actif sans risque, et H1 t et H2 t unités des actifs 1 et 2 respectivement, de façon à produire, à la date T, une richesse égale à S 1 T S 2 T +. Une stratégie de gestion sera définie par les trois processus adaptés H, H 1 et H Définir de façon précise les stratégies autofinancées et montrer que si Ṽ t = e rt V t est la valeur actualisée d une stratégie autofinancée, on a dṽt = H 1 te rt S 1 tσ 1 dw 1 t + H 2 te rt S 2 tσ 2 dw 2 t. 2. Montrer que si les processus H 1 t t T et H 2 t t T d une stratégie autofinancée sont uniformément bornés ce qui signifie : C >, t, ω [, T] Ω, H i t ω C, pour i = 1, 2, alors la valeur actualisée de la stratégie est une martingale sous P. 3. Montrer que si une stratégie autofinancée vérifie les hypothèses de la question précédente et a pour valeur terminale V T = S 1 T S2 T +, sa valeur à tout instant t < T est donnée par où la fonction F est définie par Ft, x 1, x 2 = Ẽ V t = Ft, S 1 t, S2 t, x 1 e σ 1WT 1 W1 t σ 2 T t x 2 e σ 2WT 2 W2 t σ2 2 2 T t +, 4.19 le symbole Ẽ désignant l espérance sous P. L existence d une stratégie ayant cette valeur sera démontrée dans ce qui suit. On considèrera dans la suite que la valeur de l option S 1 T S2 T + à l instant t est donnée par Ft, S 1 t, S2 t. 4. Montrer une relation de parité entre la valeur de l option S 1 T S 2 T + et celle de l option symétrique S 2 T S1 T +, analogue à la relation de parité call-put vue en cours et donner un exemple d arbitrage possible lorsque cette relation n est pas vérifiée.

87 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 87 Partie III Le but de cette partie est d expliciter la fonction F définie par 4.19 et de construire une stratégie simulant l option. 1. Soient g 1 et g 2 deux variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes et soit λ un nombre réel. a Montrer que sous la probabilité P λ, de densité par rapport à P donnée par : dp λ dp = λ eλg 1 2 2, les variables aléatoires g 1 λ et g 2 sont des gaussiennes centrées réduites indépendantes. b En déduire que pour tous réels y 1, y 2, λ 1 et λ 2, on a E e y 1+λ 1 g 1 e y 2+λ 2 g 2 + = = e y 1+ λ N y 1 y 2 +λ 2 1 λ 2 1 +λ 2 2 e y 2+ λ2 2 2 N y 1 y 2 λ 2 2 λ 2 1 +λ 2 2 où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. 2. Déduire de la question précédente une expression de F à partir de la fonction N. 3. On pose C t = e rt Ft, S 1 t, S 2 t. En remarquant que : montrer l égalité : C t = Ft, S 1 t, S 2 t = Ẽ e rt S 1 T S 2 T F t, + d C t = F x 1 t, S 1 t, S 2 t σ 1e rt S 1 t dw1 t + F x 2 t, S 1 t, S 2 t σ 2e rt S 2 t dw2 t. On pourra utiliser le fait que si X t est un processus d Itô de la forme X t = X + t J1 s dw1 s + J2 s dw2 s + K sds et est une martingale sous P, alors K t =, dtd Ppresque partout. 4. Construire une stratégie de couverture de l option d échange. Problème 4 Etude de stratégies avec consommation On considère un marché financier dans lequel il y a un actif sans risque, de prix S t = e rt à l instant t avec r et un actif risqué, de prix S t à l instant t. Le modèle est étudié sur l intervalle de temps [, T] T <. Dans ce qui suit, S t t T est un processus stochastique défini sur un espace de probabilité Ω, F, P, muni d une filtration F t t T. On suppose que F t t T est la filtration naturelle d un mouvement brownien standard B t t T et que le processus S t t T est adapté à cette filtration. Nous allons étudier des stratégies dans lesquelles la consommation est autorisée. L évolution de S t t T est régie par le modèle de Black-Scholes : ds t = S t µdt + σdb t, avec µ R et σ >. On note P la probabilité de densité e θb T θ2 T 2 par rapport à P, avec θ = µ r/σ. Sous P, le processus W t t T, défini par W t = µ r t+b σ t, est un mouvement brownien standard.,

88 88 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Une stratégie de consommation est définie par trois processus stochastiques : H t t T, H t t T et ct t T. H t et H t représentent respectivement les quantités d actif sans risque et d actif risqué détenues à l instant t et ct représente le taux de consommation à l instant t. On dira qu une telle stratégie est admissible si les conditions suivantes sont réalisées : i Les processus H t t T, H t t T et ct t T sont adaptés et vérifient T H t + H 2 t + ct dt <, p.s. ii Pour tout t [, T], H ts t + H t S t = H S + H S + iii Pour tout t [, T], ct, p.s. H uds u + H u ds u iv Pour tout t [, T], la variables aléatoire H t S t + H ts t est positive et : sup t [,T] H t S t + H ts t + est de carré intégrable sous la probabilité P. csds cudu, p.s. Partie I 1. Soient H t t T, H t t T et ct t T, trois processus adaptés vérifiant la condition i ci-dessus. On pose V t = H ts t + H t S t et Ṽ t = e rt V t. Montrer qu alors la condition ii est vérifiée si et seulement si on a, pour tout t [, T], Ṽ t = V + avec S u = e ru S u et cu = e ru cu. H u d S u cudu, 2. On suppose que les conditions i à iv sont vérifiées et on note encore Ṽ t = e rt V t = e rt H t S t + H ts t. Montrer que le processus Ṽt t T est une surmartingale sous la probabilité P. 3. Soit ct t T un processus adapté, à valeurs positives tel que E T ctdt 2 < et soit x >. On dira que ct t T est un processus de consommation finançable à partir de la richesse initiale x s il existe des processus H t t T et H t t T tels que les conditions i à iv soient vérifiées, avec, de plus V = H S + H S = x. a Montrer que si le processus ct t T est finançable à partir de la richesse initiale x, alors E T e rt ctdt x. p.s. b Soit ct t T un processus adapté, à valeurs positives tel que : E T 2 T ctdt < et E e rt ctdt x. Montrer que ct t T est un processus de consommation finançable à partir de la richesse initiale x. On introduira la martingale M t t T définie par M t = E x + T e rs csds F t et on lui appliquera le théorème de représentation des martingales.

89 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 89 c Un investisseur disposant d une richesse initiale x souhaite consommer, une richesse correspondant à la vente de ρ actifs risqués par unité de temps, à chaque instant où S t dépasse un certain niveau K. ce qui correspond à ct = ρs t 1 {St > K}. A quelle condition sur ρ et x cette consommation est-elle finançable? Partie II On suppose, maintenant, que la volatilité est stochastique, c est-à-dire que le processus S t t T est solution d une équation différentielle stochastique du type suivant : où µ R et σt t T est un processus adapté, vérifiant ds t = S t µdt + σtdb t, 4.2 t [, T] σ 1 σt σ 2, avec des constantes σ 1 et σ 2 telles que < σ 1 < σ 2. On considère un call européen d échéance T et de prix d exercice K sur une unité d actif risqué. On sait que si le processus σt t T est constant avec σt = σ pour tout t le prix du call à l instant t est Ct, S t, où la fonction Ct, x vérifie C t t, x + σ2 x 2 2 C t, x + rx Ct, x rct, x = sur [, T[ ], [ 2 x2 x CT, x = x K + On notera C 1 la fonction C correspondant à σ = σ 1 et C 2 la fonction C correspondant à σ = σ 2. Nous allons montrer que le prix du call à l instant dans le modèle à volatilité stochastique cidessus est compris entre C 1, S et C 2, S. On rappelle que si θ t t T est un processus adapté borné, le processus L t t T défini par L t = exp θ sdb s 1 t 2 θ2 s ds est une martingale. 1. Montrer en utilisant les formules de prix sous forme d espérance que les fonctions x C 1 t, x et x C 2 t, x sont convexes. 2. Montrer que la solution de l équation 4.2 est donnée par S t = S e µt+ σsdbs 1 2 σ2 sds. 3. Déterminer une probabilité P équivalente à P sous laquelle le processus défini par W t = B t + µ r ds soit un mouvement brownien standard. σs 4. Expliquer pourquoi le prix à l instant du call est donné par : C = E e rt S T K On pose S t = e rt S t. Montrer que E S 2 t S 2 e σ2 2 t. 6. Montrer que le processus défini par : M t = est une martingale sous la probabilité P. e ru C 1 x u, S uσus u dw u 7. En utilisant la formule d Itô et les questions 1 et 6, montrer que e rt C 1 t, S t est une sousmartingale sous la probabilité P. En déduire que C 1, S C.

90 9 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 8. Démontrer l inégalité C C 2, S. Problème 5 Option sur option On considère un marché financier dans lequel il y a un actif sans risque, de prix S t = e rt à l instant t avec r et un actif risqué, de prix S t à l instant t. Le modèle est étudié sur l intervalle de temps [, T] T <. Soit S t t T un processus stochastique défini sur un espace de probabilité Ω, F, P, muni d une filtration F t t T. On suppose que F t t T est la filtration naturelle d un mouvement brownien standard B t t T et que l évolution du processus S t t T est régie par le modèle de Black-Scholes : ds t = S t µdt + σdb t, avec µ R et σ >. Nous alllons étudier un exemple d option sur option. On considère une option d achat d échéance T 1 ], T[ et de prix d exercice K 1 sur un call d échéance T et de prix d exercice K sur une unité d actif risqué. La valeur de cette option à l échéance T 1 est donc : h = CT 1, S T1 K 1 +, où Ct, x est le prix du call sous-jacent donné par la formule de Black-Scholes. 1. a Dessiner la représentation graphique de la fonction x CT 1, x. On montrera que la droite y = x Ke rt T 1 est une asymptote utiliser la formule de parité call-put. b Montrer que l équation CT 1, x = K 1 admet une unique solution x Montrer que la valeur, à un instant t < T 1, de l option définie par h est égale à GT 1 t, S t, la fonction G étant définie par Gθ, x = E e C rθ T 1, xe r σ2 2 θ+σ + θg K 1, où g est une gaussienne centrée réduite. 3. a Montrer que la fonction x Gθ, x est croissante, convexe. b On cherche maintenant à expliciter G. On note N la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Montrer l égalité [ Gθ, x = E e rθ r C T 1, xe σ2 θ+σ ] θg 2 1 {g> d} K 1 e rθ Nd, où d = logx/x 1 + r σ2 2 θ σ. θ c Montrer que, si g 1 est une gaussienne centrée réduite indépendante de g, on a, en posant θ 1 = T T 1, Gθ, x + K 1 e rθ Nd = E [xe σ θg+ ] θ 1 g 1 σ2 2 θ+θ1 Ke rθ+θ 1 1 A, où l événement A est défini par { A = σ θg + θ 1 g 1 > logx/k 1 + r σ2 θ + θ 1 2 } et g > d.

91 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES 91 d Déduire de ce qui précède une expression de Gθ, x à l aide de N et de la fonction N 2 définie par N 2 y, y 1, ρ = Pg < y, g + ρg 1 < y 1 pour y, y 1, ρ R. 4. Montrer que l on peut couvrir parfaitement l option sur option étudiée à l aide d un portefeuille ne contenant que des actifs sans risque et des calls sur l actif risqué sous-jacent. Problème 6 Comportement du prix critique près de l échéance On considère un put américain d échéance T et de prix d exercice K sur une unité d actif risqué. Dans le modèle de Black-Scholes, le prix à un instant t < T de cette option est égal à Pt, S t, la fonction P étant définie par Pt, x = sup E Ke rτ σ2 + σwτ xe 2 τ, τ T,T t où T,T t est l ensemble des temps d arrêt à valeurs dans [, T t] et W t t T est, sous P, un mouvement brownien standard. On suppose r >. Pour t [, T[, on note st le prix critique à l instant t, défini par st = inf{x > Pt, x > K x}. On rappelle que lim t T st = K. 1. Soit P e la fonction donnant le prix du put européen d échéance T et de prix d exercice K : + P e t, x = E e rt t K xe σ T tg σ2 2 T t, où g est une gaussienne centrée réduite. Montrer que, si t [, T[, l équation P e t, x = K x a une unique solution dans ]O, K[. On note s e t cette solution. 2. Montrer que st s e t, pour tout t [, T[. 3. Montrer que lim inf t T K s e t T t E lim inf t T K s e t T t σkg +. On utilisera le lemme de Fatou : pour toute suite X n n N de variables aléatoires positives, Elim inf n X n lim inf n EX n. 4. a Montrer que, pour tout nombre réel η, Eη Kσg + > η. b En déduire que K s e t K st lim = lim = +. t T T t t T T t Problème 7 Option sur moyenne On considère un marché financier dans lequel il y a un actif sans risque, de prix S t = ert à l instant t avec r et un actif risqué, de prix S t à l instant t. Le modèle est étudié sur l intervalle de temps [, T] T <. Le processus stochastique S t t T est défini sur un espace de probabilité Ω, F, P, muni d une filtration F t t T. On suppose que F t t T est la filtration naturelle d un mouvement brownien standard B t t T et que l évolution du processus S t t T est régie par le modèle de Black-Scholes : ds t = S t µdt + σdb t,

92 92 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE avec µ R et σ >. On notera P la probabilité de densité e θb T θ2 T 2 par rapport à P, avec θ = µ r/σ. Sous P, le processus W t t T, défini par W t = µ r t+b σ t, est un mouvement brownien standard. Nous allons étudier une option dont la valeur à la date d échéance T est donnée par h = 1 T T S t dt K +, où K est une constante positive. Une telle option est appelée option asiatique. Partie I 1. Rappeler brièvement pourquoi la valeur à un instant t t T de l option asiatique cidessus est donnée par 2. Montrer que sur l événement 1 V t = E e rt t T V t = e rt t T { 1 t S T udu K}, on a 3. On pose S t = e rt S t, pour t [, T]. a Démontrer l inégalité Conditionner par F t. b En déduire que T + S t dt K F t. S u du + 1 e rt t S t Ke rt t. rt E S t Ke rt + E [ e rt S T K +]. V E [ e rt S T K +], c est-à-dire que la valeur de l option asiatique à l instant est plus petite que celle d un call européen d échéance T et de prix d exercice K. c Pour t u, on note C t,u la valeur à l instant t d un call européen d échéance u et de prix d exercice K. Montrer l inégalité : V t e rt t t T 1 t + S u du K + 1 T e rt u C t,u du. t T t Partie II On note ξ t t T le processus défini par ξ t = 1 S t 1 T S u du K. 1. Montrer que ξ t t T est solution de l équation différentielle stochastique dξ t = 1 T + σ2 rξ t dt σξ t dw t.

93 Ch.4 MODÈLE DE BLACK ET SCHOLES a Montrer que V t = e rt t S t E ξ t + 1 T T t + S t u du F t, avec S t u = exp r σ 2 /2u t + σw u W t. b En déduire que V t = e rt t S t Ft, ξ t, avec Ft, ξ = E ξ + 1 T T t S t u du Déterminer une stratégie de couverture parfaite de l option étudiée. On admettra que la fonction F introduite précédemment est de classe C 2 sur [, T[ R et on utilisera la formule d Itô. Partie III L objet de cette partie est de proposer une approximation par défaut de V consistant à remplacer la moyenne arithmétique par la moyenne géométrique. On pose ainsi : 1. Montrer que V ^V. ^V = e rt E exp 1 T + lns t dt K. T 2. a Montrer que, sous P, la variable aléatoire T W tdt est une gaussienne centrée de variance T 3 3. b En déduire que + ^V = e rt E S exp r σ 2 /2T/2 + σ T/3g K, où g est une gaussienne centrée réduite, et expliciter ^V à l aide de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. 3. Démontrer l inégalité : V ^V S e rt e rt 1 rt exp rt/2 σ 2 T/12.

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95 Chapitre 5 Evaluation des options et équations aux dérivées partielles Nous avons vu, au chapitre précédent, que l on pouvait obtenir une formule explicite du prix d une option européenne, dans le cadre du modèle de Black et Scholes. Lorsque l on s intéresse à des modèles plus complexes ou que l on veut calculer des prix d options américaines, on ne connait pas de formule explicite. On a, dans ce cas, le plus souvent recours à des méthodes numériques. L objectif de ce chapitre est de donner une introduction à ces moyens de calcul. On commence par établir le lien entre le problème du calcul du prix des options européennes et une équation aux dérivées partielles de type parabolique. Ce lien est fondé sur la notion de générateur infinitésimal d une diffusion. On montre comment résoudre numériquement le problème parabolique ainsi obtenu. Le problème du calcul des prix d options américaines est plus délicat, nous ne l abordons pas dans sa généralité, mais uniquement dans le cadre du modèle de Black et Scholes. On montre en particulier le lien naturel entre la notion d enveloppe de Snell et un système d inéquations aux dérivées partielles de type parabolique, et l on indique comment traiter numériquement ce type d inéquations. Les méthodes d analyse numérique employées dans ce chapitre étant classiques, nous n avons fait que rappeler les résultats qui nous sont utiles sans chercher à les justifier en détail. On trouvera une introduction à la résolution numérique des équations aux dérivées partielles dans [RT83]. 1 Calculs de prix d options européennes pour les modèles de diffusion Dans le modèle de Black et Scholes, la valeur d une option européenne est donnée par : V t = E e rt t fs T F t avec fx = x K + pour un call et K x + pour un put et : S T = x e r σ 2 /2T+σW T Le calcul du prix d une option européenne est un cas particulier du problème suivant. Soit X t t une diffusion à valeurs dans R, solution de : dx t = b t, X t dt + σ t, X t dw t 5.1 où b et σ sont des fonctions à valeurs réelles vérifiants les hypothèses du théorème 5.3 du chapitre 3 et rt, x une fonction continue bornée modélisant le taux d intérêt sans risque. On cherche à calculer : V t = E e T t rs,xsds fx T F t. Comme dans le cas du modèle de Black et Scholes V t s écrit : V t = Ft, X t

96 96 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE où : Ft, x = E e T t rs,xt,x s ds fx t,x T avec X t,x s qui est la solution de 5.1 issue de x à l instant t. Intuitivement on a : Ft, x = E e T t rs,xsds fx T X t = x. Mathématiquement, ce résultat est conséquence du théorème 5.9 du chapitre 3. Le calcul de V t se ramène ainsi au calcul de la fonction Ft, x. Cette fonction Ft, x peut sous certaines hypothèses de régularité à préciser s exprimer comme la solution unique de l équation aux dérivées partielles : { x R ut, x = fx u + A t tu ru 5.2 t, x = t, x [, T] R où : A t f x = σ2 t, x f x + bt, xf x. 2 Avant de prouver ce résultat, nous commençons par indiquer pourquoi l opérateur A t intervient de façon naturelle lorsque l on étudie des solutions d équations différentielles stochastiques. 1.1 Générateur infinitésimal d une diffusion Nous supposons que b et σ ne dépendent pas du temps. On note X t t une solution de : dx t = b X t dt + σ X t dw t 5.3 Proposition 1.1 Soient f une fonction de classe C 2 à dérivées bornées et A l opérateur différentiel qui à une fonction f de classe C 2 associe : Af x = σ2 x f x + bxf x. 2 Alors, le processus M t = fx t AfX sds est une F t -martingale. Démonstration : La formule d Itô donne : D où : fx t = fx + fx t = fx + + f X s dx s + 1 2, f X s σ 2 X s ds. f X s σx s dw s t [ ] 1 2 σ2 X s f X s + bx s f X s ds, et la proposition résulte du fait que l intégrale stochastique f X s σx s dw s est une martingale. En effet, si l on tient compte du théorème 5.3 du chapitre 3 et du fait que σx est majoré par K1 + x, on obtient : E f X s 2 σx s 2 ds KT sup f x E x R sup X s 2 < +. s T

97 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 97 Remarque 1.2 Si on note X x t la solution de l équation différentielle stochastique 5.3 telle que X x = x, on déduit de la proposition 1.1 que : E f X x t = fx + E Af X x s ds. De plus, comme les dérivées de f sont bornées par une constante K f et que bx + σx K1 + x on a : E sup AfX x s s T K f 1 + E sup X x s 2 < +. s T On peut donc appliquer le théorème de Lebesgue x Afx et s X x s sont des fonctions continues pour en déduire que : d 1 t dt E f Xx t t= = lim E AfX x s t t ds = Afx. L opérateur différentiel A est appelé le générateur infinitésimal de la diffusion. Pour des compléments sur le générateur infinitésimal d une diffusion on pourra consulter [Bou88] chapitre 8. La proposition 1.1 se généralise au cas dépendant du temps. On suppose que b et σ vérifient les hypothèses du théorème 5.3 du chapitre 3 assurant l existence et l unicité des solutions de l équation différentielle stochastique 5.1. Proposition 1.3 Si ut, x est une fonction de classe C 1,2 en t, x à dérivée en x bornée, et X t est une solution de 5.1, le processus : M t = ut, X t u t + A su s, X s ds est une martingale, où A s est l opérateur agissant sur la variable x défini par : A s u x = σ2 s, x 2 2 u + bs, x u x2 x. La démonstration est analogue à celle de la proposition 1.1 : on utilise, cette fois, la formule d Itô pour une fonction du temps et d un processus d Itô voir le théorème 4.1 du chapitre 3. Pour étudier des quantités actualisées, on étend légèrement le résultat précédent. Proposition 1.4 Sous les hypothèses de la proposition 1.3, si rt, x est une fonction continue, bornée sur R + R, le processus : M t = e t rs,xsds ut, X t e s u rv,xvdv t + A su ru s, X s ds est une martingale. Démonstration : Cette proposition se démontre en différenciant le produit e rs,xsds ut, X t,

98 98 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE grâce à la formule d intégration par parties voir la proposition 4.12 du chapitre 3, puis en appliquant, comme précédemment, la formule d Itô au processus ut, X t. Ce résultat se généralise aux cas des diffusions à valeurs vectorielles. Soit l équation différentielle stochastique : dx 1 t = b 1 t, X t dt + p j=1 σ 1j t, X t dw j t... dx n t = b n t, X t dt + p j=1 σ nj t, X t dwt. j On suppose que les hypothèses du théorème 5.5 du chapitre 3 sont vérifiées. On introduit, pour chaque t l opérateur différentiel A t qui à une fonction f de classe C 2 de R n dans R associe la fonction : A t f x = 1 n a i,j t, x 2 f n x + b j t, x f x, 2 x i x j x j i,j=1 j=1 5.4 où a ij t, x est la matrice définie par a ij t, x = p k=1 σ ikt, xσ jk t, x. Avec des notations matricielles at, x = σt, xσ t, x où σ est la transposée de la matrice σt, x = σ ij t, x i,j. Proposition 1.5 Si X t est une solution du système 5.4, si ut, x est une fonction à valeur réelle de classe C 1,2 en t, x à dérivée en x bornée sur R + R n et si rt, x est une fonction continue bornée sur R + R, le processus : M t = e rs,xsds ut, X t est une martingale. e s rv,xvdv u t + A su ru s, X s ds La démonstration de la proposition 1.5 repose sur la formule d Itô multidimensionnelle énoncée page 55. Remarque 1.6 L opérateur différentiel / t + A t est parfois appelé opérateur de Dynkin de la diffusion. 1.2 Calculs d espérances et équations aux dérivées partielles Nous allons, maintenant, établir le lien entre le calcul du prix d une option européenne et une équation aux dérivées partielles de type parabolique. On se donne X t t une diffusion à valeurs dans R n, solution du système 5.4, fx une fonction de R n dans R, rt, x une fonction continue et bornée. On cherche à évaluer : V t = E e T t rs,xsds fx T F t On peut prouver de façon analogue à ce que nous avons vu au début de ce chapitre, lorsque n = 1, que : V t = Ft, X t, avec, si l on note X t,x la solution unique de 5.4 issue de x à l instant t : Ft, x = E e T t rs,xt,x s ds fx t,x T. Le résultat suivant permet de relier la fonction F à une équation aux dérivées partielles parabolique.

99 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 99 Théorème 1.7 Soit u une fonction de classe C 1,2 en t, x à dérivée en x bornée sur [, T] R n, vérifiant : x R n ut, x = fx, et Alors : u t + A tu ru t, x = t, x [, T] R n t, x [, T] R n ut, x = Ft, x = E e T t rs,xt,x s ds fx t,x T. Démonstration : Prouvons l égalité ut, x = Ft, x pour t =. Par la proposition 1.5, on sait que le processus : M t = e rs,x,x s ds ut, X,x t est une martingale. En écrivant EM = EM T on obtient : u, x = E = E e T rs,x,x s ds ut, X,x T e T rs,x,x s ds fx,x T puisque ut, x = fx. La démonstration est similaire lorsque t >. Remarque 1.8 Le théorème 1.7 suggère la méthode suivante pour calculer : Ft, x = E e T f étant donnée, il suffit de résoudre le problème : t rs,xt,x s ds fx t,x T. { u t + A tu ru = dans [, T] R n ut, x = fx, x R n. 5.5 Le problème 5.5 est une équation de type parabolique avec condition terminale la fonction ut,. étant donnée. Pour que ce problème soit bien posé, il faut se placer dans un espace fonctionnel adéquat voir [RT83]. Une fois ce cadre défini, il existe des théorèmes d existence et d unicité et on pourra affirmer que la solution u de 5.5 est égale à F si on peut prouver que cette solution est suffisamment régulière pour que l on puisse appliquer la proposition 1.4. Ce genre de résultats s obtient généralement sous une hypothèse d ellipticité pour l opérateur A t, de la forme : C >, t, x [, T] R n n ξ 1,, ξ n R n a ij t, xξ i ξ j C et des hypothèses de régularité sur b et σ. ij i=1 ξ 2 i, 5.6

100 1 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 1.3 Le cas du modèle de Black et Scholes On se place sous la probabilité P pour laquelle le processus W t t est un mouvement brownien standard et telle que le prix de l actif S t risqué vérifie : ds t = S t rdt + σdw t. L opérateur A t est alors indépendant du temps et vaut : A t = A bs = σ2 2 x2 2 x + rx 2 x. On peut vérifier par un calcul direct que le prix du call donné par la formule Ft, x = xnd 1 Ke rt t Nd 1 σ T t avec : est solution de l équation : d 1 = logx/k + r + σ2 /2T t σ T t Nd = 1 d /2 2π dx, e x2 { u t + Abs u ru = dans [, T] ], + [ ut, x = x K +, x ], + [. On a un résultat analogue pour le put. L opérateur A bs ne vérifie pas la condition d ellipticité 5.6. On peut, cependant, se ramener à un opérateur elliptique en introduisant le processus X t = log S t, qui est solution de : dx t = r σ2 2 dt + σdw t, puisque S t = S e r σ2 /2t+σW t. Le générateur infinitésimal du processus X t, s écrit : A bs log = σ2 2 2 x + r σ2 2 2 x. Il est manifestement elliptique σ 2 > et, de plus, à coefficients constants. On note : Ã bs log = σ2 2 2 x + r σ2 r x Le lien entre le problème parabolique associé à Ã bs log et le calcul du prix d une option dans le modèle de Black et Scholes s exprime de la façon suivante. Si l on cherche à calculer le prix d une option sur fs T à l instant t et pour un cours x : Ft, x et si v est une solution régulière de : { v t t, x + Ãbs log vt, x = dans [, T] R 5.8 vt, x = fe x, x R, alors, on a Ft, x = vt, logx.

101 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Equation aux dérivées partielles sur un ouvert borné et calcul d espérance Nous allons supposer, dans tout ce qui suit, que l actif évolue dans R et que bx, σx et rx ne dépendent pas du temps. rx est le taux d intérêt sans risque et A est l opérateur différentiel : Afx = 1 2 fx 2 σx2 + bx fx x 2 x. On note Ãfx = Afx rxfx. L équation 5.5 s écrit : { u t, x + Ãut, x = t ut, x = fx, x R. dans [, T] R 5.9 Lorsque l on se pose le problème 5.9 non plus sur R tout entier mais sur O =]a, b[, il faut alors imposer des conditions aux limites en a et b. Nous allons nous intéresser plus particulièrement au cas où l on impose des conditions aux limites nulles on appelle ce type de condition aux limites condition de Dirichlet. On cherche, alors, à résoudre : u t, x + Ãut, x = dans [, T] O t ut, a = ut, b = t T ut, x = fx x O. 5.1 Une solution régulière de 5.1 peut aussi s interpréter en terme de diffusion. On note X t,x la solution de 5.3 issue de x à l instant t. Théorème 1.9 Soit u une fonction de classe C 1,2 en t, x à dérivée en x bornée de l équation 5.1, alors : t, x [, T] O ut, x = E 1 { s [t, T], X t,x s O } e T t rxt,x s ds fx t,x T. Démonstration : Nous démontrons le résultat lorsque t =, la démonstration est similaire dans les autres cas. On peut prolonger u de [, T] O à [, T] R, en conservant le caractère C 1,2 de u. On continue à noter u un tel prolongement. Par la proposition 1.4, on sait que le processus : M t = e rx,x s u ds ut, X,x t dv + Au ru s, X,x s ds t est une martingale. De plus : τ x = inf { s T, X,x s e s rx,x v s / O } ou T si cet ensemble est vide est un temps d arrêt borné, car τ x = Ta x T b x T où T l x = inf { s T, X t,x s = l} et les Tl x sont des temps d arrêt la démonstration est identique à celle de la proposition 3.6 du chapitre 3. En écrivant, le théorème d arrêt entre et τ x, on obtient EM = EM τ x, soit en tenant compte du fait que si s [, τ x ], AfX,x s = : u, x = E e τ x rs,x,x s ds uτ x, X,x τ x = E 1 { s [t, T], X t,x O } e T rs,x,x s ds ut, X,x T +E 1 { s [t, T], X t,x s O } e τ x rs,x,x s ds uτ x, X,x τ x.

102 12 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Mais, d une part fx = ut, x et d autre part, sur l événement { s [t, T], X t,x s uτ x, X,x τx =, donc : u, x = E 1 { s [t, T], X t,x s O } e T rs,x,x s ds fx,x T. Ceci prouve le résultat pour t =. Remarque 1.1 Une option sur la variable aléatoire F T -mesurable : 1 { s [t, T], X t,x s O } e T t rxt,x s ds fx t,x T, O}, porte le nom d option extenguishable au sens propre que l on autorise à disparaître. En effet, dès que le cours sort de l ouvert O, la valeur de l option est nulle : l option disparaît. Lorsque l actif suit le modèle de Black et Scholes et que O est de la forme ], l[ ou ]l, + [, on connait des formules explicites pour ces options voir [CR85], dans ce livre ce type d options porte le nom d option down and out, voir aussi l exercice 27 du chapitre 4. 2 Résolution numérique des équations paraboliques. Nous avons vu que l on peut interpréter le prix d une option européenne comme la solution de l équation aux dérivées partielles 5.9. Nous allons maintenant, introduire une méthode de calcul numérique qui permet d approcher une solution de 5.9 : la méthode des différences finies. Cette méthode n est évidemment pas utile dans le cas du modèle de Black et Scholes puisque il y a une formule explicite mais elle est indispensable pour des modèles de diffusion plus généraux. Nous ne ferons qu énoncer les résultats importants. Pour une étude détaillée on consultera [GLT76] et [RT83]. 2.1 Localisation Le problème 5.9 se pose sur R. Pour le discrétiser on va devoir se restreindre tout d abord à un ouvert borné du type O l =] l, l[, l étant une constante à choisir soigneusement si l on veut que l algorithme soit efficace. Il faut de plus imposer des conditions aux limites au bord i.e. en l et l. On utilise soit des conditions de type Dirichlet i.e. on impose ul = u l = ou une autre valeur plus pertinente soit des conditions de type Neumann i.e. on impose u/ xl = u/ x l = ou, là aussi, toute autre valeur non nulle pertinente. On obtient, par exemple, dans le cas où l on impose des conditions de type Dirichlet l équation aux dérivées partielles suivante : ut, x + t Ãut, x = dans [, T] O l ut, l = ut, l = si t [, T] ut, x = fx si x O l Nous allons montrer comment on peut estimer l erreur commise lorsque l on se restreint à O l. Nous nous intéresserons uniquement au modèle de Black et Scholes après changement de variable logarithmique, l actif X t est donc solution de l équation : dx t = r σ 2 /2dt + σdw t. On cherche à calculer le prix d une option sur une variable aléatoire de la forme fs T = fs e X T. On note fx = fe x. On impose, pour simplifier, des conditions de type Dirichlet.

103 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 13 On peut prouver que, dans ce cas, la solution u de 5.9 et les solutions u l de 5.1 sont suffisamment régulières pour que l on puisse affirmer que : et ut, x = E e rt t fx t,x T u l t, x = E 1 { s [t, T], X t,x s < l} e rt t fx t,x T. où X t,x s = x expr σ 2 /2s t + σw s W t. Nous supposons, enfin, que la fonction f et donc f est bornée par une constante M et que r. Il est alors facile de se convaincre que : Mais, si r = r σ 2 /2 : ut, x u l t, x MP s [t, T], X t,x s l. { s [t, T], X t,x s l} { sup t s T x + r s t + σw s W t l } { sup t s T x + σw s W t l r T }. Donc : ut, x u l t, x MP sup t s T x + σw s W t l r T = MP sup s T t x + σw s l r T MP sup s T x + σw s l r T. Or on a établi à la proposition 3.6 que si T a = inf {s >, W s = a}, alors Eexp λt a = exp 2λ a, on en déduit que si a >, pour tout λ : P sup W s a s T = P T a T e λt E e λta e λt e a 2λ. En minimisant en λ, cela donne : P sup W s a s T e a2 T. On en déduit facilement que : P supx + σw s a s T e a x 2 σ 2 T, puis que, comme W s s est encore un mouvement brownien : P inf x + σw s a = P sup x σw s a s T s T Ces deux résultats donnent P sup s T x + σw s a e a x 2 σ 2 T affirmer que : ut, x u l t, x M e l r T x 2 e a+x 2 σ 2 T. + e a+x 2 σ 2 T. On peut donc σ 2 T + e l r T +x 2 σ 2 T Ceci prouve que pour t et x fixés lim l + u l t, x = ut, x. La convergence est même uniforme en t et en x si x reste dans une partie compacte de R.

104 14 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Remarque 2.1 On peut montrer que Psup s T W s a = 2PW T a voir exercice 18 du chapitre 3, ceci permet d obtenir une estimation légèrement meilleure que celle calculée plus haut. L intérêt de la méthode de localisation pour les calculs d options décrite ici réside dans le fait qu elle peut se généraliser au cas américain et dans ce cas cette étape est incontournable. L estimation précédente permet alors de choisir de façon pertinente le domaine dans lequel on résoudra numériquement le problème. Ce choix est crucial dans l efficacité de l algorithme de calcul. 2.2 La méthode des différences finies Une fois le problème localisé on obtient, par exemple, dans le cas où l on impose des conditions de type Dirichlet le système différentiel suivant : E ut, x + Ãut, x = dans [, T] O l t ut, l = ut, l = si t [, T] ut, x = fx si x O l La méthode des différences finies réalise une discrétisation en temps et en espace de l équation E. On commence par discrétiser l opérateur différentiel à sur O l. Pour cela on remplace une fonction fx x Ol appartenant à un espace de dimension infinie, par un vecteur f i 1 i N de dimension finie. On procède de la façon suivante, on pose x i = l + 2il/N + 1, pour i N + 1, chaque f i est censé approximer fx i. On approxime les conditions aux limites par f =, f N+1 = dans le cas de conditions de Dirichlet et f = f 1, f N = f N+1 dans le cas de conditions de Neumann. On note h = 2l/N + 1 et u h = u i h 1 i N un vecteur de R N. Pour discrétiser l opérateur à par un opérateur à h sur R N, on substitue à : bx i ux i x : bx i ui+1 h u i 1 h 2h et à : σ 2 x i 2 ux x 2 : σ 2 x i On obtient ainsi un opérateur à h sur R N. u i+1 h ui h h ui h ui 1 h h h = ui+1 h 2u i h + ui 1 h h 2. Remarque 2.2 Pour le modèle de Black et Scholes après changement de variable logarithmique : à bs log ux = σ2 2 ux + r σ2 ux 2 x 2 2 x rux, on obtient : à h u h i = σ2 u i+1 2h 2 h 2u i h + ui 1 h + r σ2 2 1 u i+1 h 2h u i 1 h. ru i h à h est donc représenté par la matrice tridiagonale suivante, en tenant compte des conditions

105 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 15 aux limites de type Dirichlet : où : Ãh ij 1 i N, 1 j N = β γ α β γ α β γ α β γ α β α = σ2 1 2h 2 2h r σ 2 2 β = σ2 r h 2 γ = σ h 2 2h r σ 2 2 Si on impose des conditions de type Neumann à h prend la forme : β + α γ α β γ α β γ α β γ α β + γ Cette discrétisation en espace permet de ramener E à une équation différentielle ordinaire E h : { duh t E h + à h u h t = si t T dt u h T = f h où f h = f i h 1 i N est le vecteur f i h = fx i. On discrétise alors cette équation en temps grâce à ce que l on appelle des θ-schémas. Cela signifie que l on se donne θ [, 1], k un pas de temps tel que T = Mk et que l on approxime la solution u h de E h à l instant nk par u h,k solution de : u M h,k = f h n décroissant, on résout pour chaque n : E h,k u n+1 h,k un h,k k Remarque 2.3 car u n h,k + θãhu n h,k + 1 θãhu n+1 h,k = si n M 1 Lorsque θ = le schéma précédent porte le nom de schéma explicite, se calcule en fonction de un+1 h,k. Lorsque θ >, par contre, on doit résoudre à chaque étape un système du type Tu n h,k = b, avec : { T = I θkãh b = I + 1 θ kã h u n+1 h,k où T est une matrice tridiagonale. Ceci est évidemment plus complexe et donc plus long informatiquement. Cependant ces schémas sont les plus utilisés dans la pratique, car ils ont de bonnes propriétés de convergence comme on le verra plus tard. Lorsque θ = 1/2, on parle de schéma de Crank et Nicholson. Ce schéma est souvent utilisé pour la résolution de systèmes de type E lorsque b = et σ est constante.

106 16 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Lorsque θ = 1, on parle de schéma totalement implicite. Donnons maintenant des résultats de convergence de la solution u h,k de E h,k vers ut, x solution de E sous hypothèse d ellipticité. Nous renvoyons à [RT83] et à [GLT76] pour une démonstration. On notera u k h t, x la fonction : M n=1 i=1 N u n h,k i 1 ]xi h/2,x i +h/2] 1 ]n 1k,nk]. Et δφ l opérateur de dérivation approchée défini par : δφx = 1 φx + h/2 φx h/2 h Théorème 2.4 On suppose que b et σ sont lischitziennes et que r est une fonction continue et positive. Rappelons que Ãfx vaut dans ce cas 1/2σx 2 2 fx/ x 2 + bx fx/ x rxfx. On suppose que l opérateur à est elliptique : Ãu, u L 2 O l ɛ u L 2 O l + u L 2 O l avec ɛ >. Alors : lorsque 1/2 θ 1 si h, k tendent vers on a : lim u k h = u dans l espace L2 [, T] O l lim δu k h = u x dans l espace L 2 [, T] O l lorsque θ < 1/2, si h, k tendent vers et si de plus lim k/h 2 = on a : lim u k h = u dans l espace L 2 [, T] O l lim δu k h = u x dans l espace L 2 [, T] O l Remarque 2.5 Dans le cas θ < 1/2 on parle de schéma conditionnellement convergent, la convergence n ayant lieu que si l on fait tendre h et k et k/h 2 vers. Ces schémas sont numériquement délicats à exploiter. Ils sont peu utilisés dans la pratique, sauf lorsque θ =. Dans le cas 1/2 θ 1 on parle de schéma inconditionnellement convergent, la convergence ayant lieu sans restriction, si l on fait tendre h et k vers. Nous allons maintenant voir comment on résout algorithmiquement l équation E h,k. A chaque pas de temps n on cherche une solution de TX = G où : X = u n h,k G = I + 1 θkã h u n+1 h,k T = I kθã h. T est une matrice tridiagonale. L algorithme suivant il s agit en fait de la méthode de Gauss permet de résoudre ce système en utilisant un nombre de multiplications proportionnel à N. Posons X = x i 1 i N, G = g i 1 i N et : T = b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c a N 1 b N 1 c N 1 a N b N

107 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 17 On procède alors de la façon suivante : on rend la matrice T triangulaire inférieure par la méthode du pivot en partant du bas de la matrice. Remontée : b N = b N g N = g N Pour 1 i N 1, i décroissant : b i = b i c i a i+1 /b i+1 g i = g i c i g i+1 /b i+1 Après cette transformation on obtient un système équivalent de la forme T X = G, avec : T = b 1 a 2 b 2 a 3 b a N 1 b N 1 a N b N Il suffit, alors, de calculer X en partant du haut de la matrice. Descente : x 1 = g 1/b 1 Pour 2 i N, i croissant x i = g i a ix i 1 /b i Remarque 2.6 La matrice T n est pas forcément inversible. Cependant, si elle vérifie, pour tout i, a i + c i b i, on peut prouver qu elle l est. Lorsque T n est pas inversible, l algorithme précédent peut conduire à des résultats erronés. Il est facile de vérifier que la condition précédente d inversibilité est remplie, dans le cas du modèle de Black et Scholes si r σ 2 /2 σ 2 /h, c est à dire si h est suffisamment petit. 3 Le problème des options américaines 3.1 Formulation du problème La théorie des options américaines pour les modèles à temps continu est délicate. Pour le modèle de Black et Scholes, on a obtenu la formule suivante pour la valeur d un call f = x K + ou d un put f = K x + américain : où : V t = Φt, S t Φt, x = sup E e rτ t f xe r σ2 /2τ t+σw τ W t τ T t,t où, sous P, W t t est un mouvement brownien standard et T t,t l ensemble des temps d arrêt à valeurs dans [t, T]. Dans le cas du call américain sur une action sans dividende, on obtient la même expression que pour le call européen, mais, pour le put américain, il n y a pas de formule explicite et les méthodes numériques sont inévitables.

108 18 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Le problème à résoudre est un cas particulier du problème suivant : étant donnée une bonne fonction f et une diffusion X t t à valeurs dans R n, solution du système 5.4, calculer la fonction : Φt, x = sup E e τ t rs,xt,x s ds f X t,x τ. τ T t,t Notons que l on a Φt, x fx et en prenant t = T ΦT, x = fx. Remarque 3.1 On peut alors démontrer voir chapitre le 2 pour l analogie avec les modèles discrets et le chapitre 4 dans le cas du modèle de Black et Scholes que le processus : e rs,xsds Φ t, X t est la plus petite surmartingale majorant à tout instant le processus fx t. On a vu que le calcul du prix d une option européenne est relié à une équation aux dérivées partielles de type parabolique. Dans le cas d une option américaine, on a un résultat similaire, mais qui fait intervenir un système d inéquations aux dérivées partielles parabolique. Le théorème suivant précise ce lien. Il est énoncé de fa con volontairement informelle. Théorème 3.2 Supposons que u soit une solution régulière du système d inéquations aux dérivées partielles suivant : u t + A tu ru, u f dans [, T] R n u t + A tu ru f u = dans [, T] R n 5.13 ut, x = fx dans R n Alors ut, x = Φt, x = sup τ Tt,T E e τ t rs,xt,x s ds f X t,x τ. Démonstration : Nous n allons pas donner une démonstration précise de ce résultat, mais simplement ses grandes lignes. Pour une démonstration détaillée, on consultera [BL78] chapitre 3 section 2 et [JLL9] section 3. On se ramène au cas où t = la démonstration étant pratiquement identique lorsque t >. On note X x t la solution de 5.4 issue de x en. La proposition 1.3 permet d affirmer que le processus : M t = e rs,xx s ds ut, X x t e s rv,xx v u dv t + A su ru s, X x sds est une martingale. En appliquant le théorème d arrêt théorème 3.4 du chapitre 3 à cette martingale entre et τ, un temps d arrêt plus petit que T on obtient EM τ = EM, et comme u + A t su ru : u, x E e τ rs,xx s ds uτ, X x τ. Mais ut, x fx, donc u, x E e τ rs,xx sds fx x τ. Ce qui prouve que : u, x sup E e τ rs,xxsds fx x τ = F, x. τ T,T Maintenant, si on pose τ opt = inf{ s T, us, X x s = fxx s }, on peut montrer que τ opt est un temps d arrêt. D autre part, pour s entre et τ opt, on a : u t + A su ru s, X x s =.

109 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 19 On en déduit, grâce au théorème d arrêt, que : u, x = E e τ opt rs,x x s ds uτ opt, X x τ opt. Mais à l instant τ opt, uτ opt, X x τ opt = fx x τ opt, d où : u, x = E e τ opt rs,x x s ds fx x τ opt. Ce qui prouve que u, x F, x, puis que u, x = F, x. On a même démontré que τ opt est un temps d arrêt optimal i.e. qui réalise le supremum parmi tous les temps d arrêt. Remarque 3.3 La formulation précise du système 5.13 est délicate, car même pour f régulière, la solution u n est pas de classe C 2 en général. La bonne méthode consiste à introduire une formulation variationnelle du problème voir [BL78]. La démonstration qui est esquissée plus haut est rendue difficile par le fait que l on ne peut pas appliquer directement la formule de Itô à une solution de l inéquation précédente. 3.2 Le put américain dans le modèle de Black et Scholes Nous quittons le cas général pour nous occuper du calcul du put américain dans le cas du modèle de Black et Scholes. On se place sous la probabilité P pour laquelle le processus W t t est un mouvement brownien standard, et telle que le prix de l actif S t vérifie : ds t = S t rdt + σdw t. On a vu au paragraphe 1.3 que l on peut se ramener à un opérateur elliptique en introduisant le processus : X t = log S t = log S + r σ2 t + σw t, 2 Le générateur infinitésimal de X t, A est alors indépendant du temps et : Ã bs log = A bs log r = σ2 2 2 x + r σ2 2 2 x r. Si l on note φx = K e x +, l inéquation au dérivées partielles associée au calcul du prix de put américain s écrit : v t t, x + Ãbs log vt, x p.p. dans [, T] R v t, x φx p.p. dans [, T] R v 5.14 vt, x φx t t, x + Ãbs log vt, x = p.p. dans [, T] R vt, x = φx. Le théorème suivant donne un résultat d existence et d unicité pour cette inéquation aux dérivées partielles et établit le lien avec le prix du put américain Φt, x. Théorème 3.4 L inéquation 5.14 admet une solution unique vt, x continue et bornée telle que les dérivées au sens des distributions v, v, 2 v soient localement bornées. De plus cette x t x 2 solution vérifie : vt, logx = Φt, x = sup E e rτ t f xe r σ2 /2τ t+σw τ W t. τ T t,t Pour une démonstration de ce résultat on consultera [JLL9].

110 11 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Résolution numérique de l inéquation Nous allons voir comment on peut résoudre l inéquation 5.14 par une méthode numérique. On procède essentiellement de la même fa con que dans le cas européen. On commence par localiser le problème pour se ramener à une inéquation dans O l =] l, l[. On doit alors imposer des conditions aux limites en ±l. Par soucis de simplicité, nous écrivons, ici, l inéquation avec des conditions de type Neumann en annulant les dérivées en x en ±l 1 : v t t, x + Ãbs log vt, x p.p. dans [, T] O l v t, x φx p.p. dans [, T] O l v A v φ t t, x + Ãbs log vt, x = p.p. dans [, T] O l vt, x = φx v t, ±l =. x Nous allons maintenant discrétiser l inéquation A à l aide de la méthode des éléments finis. On reprend les notations du paragraphe 2.2. En particulier M est un nombre entier tel que Mk = T, f h est le vecteur donné par f i h = φx i où x i = l + 2il/N + 1 et à h est donné par On note, si u et v sont deux vecteurs de R n, u v pour 1 i n, u i v i. La démarche est alors formellement similaire à celle du cas européen : par discrétisation en espace et en temps, on se ramène à l inéquation en dimension finie A h,k : A h,k u M h,k = f h Et si n M 1 u n h,k f h u n+1 h,k un h,k + k θã h u n h,k + 1 θã h u n+1 h,k u n+1 h,k u n h,k + k θã h u n h,k + 1 θã h u n+1 h,k, u n h,k f h = où x, y est le produit scalaire de R N et à h est donnée par Si on note : T = I kθã h X = u n h,k G = I + k1 θã h u n+1 h,k F = f h, on a à résoudre à chaque pas de temps n, le système d inéquations : TX G AD X F TX G, X F =. T est la matrice tridiagonale : T = a + b c a b c a b c a b c a b + c 1 En pratique on impose plutot les conditions aux limites suivantes, plus naturelles, v t, l = et vt, l = x φ l.

111 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 111 avec : a = θk σ h 2 2h r σ 2 2 b = 1 + θk σ 2 + r h 2 c = θk σ h 2 2h r σ 2 2 AD est une inéquation en dimension finie. On sait résoudre de tels systèmes d inéquations à la fois théoriquement et algorithmiquement, si la matrice T est coercive c est à dire si X.TX αx.x, avec α >. On peut d autre part vérifier que, dans notre cas, T vérifie cette hypothése si r σ2 σ2 et si k r σ2 < 1. En effet, cette condition implique que a et c sont négatifs, 2 h 2h 2 et donc, en utilisant que 2 xy x 2 + y 2 : x.tx = n ax i 1 x i + i=2 n n 1 bx 2 i + cx i x i+1 + ax cx2 n i=1 i=1 n n n 1 a/2 x 2 i 1 + x 2 i + bx 2 i + c/2 x 2 i + x 2 i+1 + ax cx 2 n i=2 i=1 i=1 a + b + c 1 n 2 a c x 2 i 1 k 2h r σ2 n x 2 2 i. i=1 i=1 Sous cette hypothése de coercivité on peut prouver qu il existe une solution unique pour le problème A h,k voir exercice 28. Le théorème suivant précise la nature de la convergence d une solution de A h,k vers la solution de A. On note : u k h t, x = M n=1 i=1 Théorème 3.5 Si u est une solution de A, N u n h,k i1 ]xi h/2,x i +i/2] 1 ]n 1k,nk]. 1. si θ < 1 la convergence est conditionnelle : si h et k tendent vers et si k/h 2 tend vers alors : lim u k h = u dans l espace L 2 [, T] O l lim δu k h = u x dans l espace L 2 [, T] O l 2. si θ = 1 la convergence est inconditionnelle : la convergence précédente a lieu si h et k tendent vers sans restriction. On trouvera la démonstration de ce résultat dans [GLT76] et [Zha97]. Remarque 3.6 Dans la pratique on utilise surtout θ = 1, à cause de ses propriétés de convergence inconditionnelle. Résolution algorithmique de l inéquation en dimension finie Dans le cas du put américain, et lorsque le pas h est suffisamment petit, on sait résoudre le système AD très efficacement en modifiant l algorithme de résolution des systèmes d équa-

112 112 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE tions tridiagonaux. On procède comme suit on note b le vecteur a + b, b,..., b + c : Remontée : b N = b N g N = g N Pour 1 i N 1, i décroissant b i = b i ca/b i+1 g i = g i cg i+1 /b i+1 Descente américaine : x 1 = g 1/b 1 Pour 2 i N, i croissant x i = g i ax k 1/b i x i = sup x i, f i On trouvera la preuve que, sous les hypothèses précédentes, cet algorithme calcule bien une solution de l inéquation AD dans [JLL9]. Remarque 3.7 L algorithme est exactement le même que dans le cas européen en dehors de l étape x i = sup x i, f i. Ceci le rend très efficace. Il existe d autres algorithmes permettant de résoudre les inéquations en dimension finie, on trouvera une description de certaines de ces méthodes dans [JLL9] pour des méthodes exactes et [GLT76] pour des méthodes itératives. Remarque 3.8 Lorsque l on fait θ = 1 dans A h,k, que l on impose des conditions aux limites du type Neumann et que l on applique l algorithme de résolution précédent, la méthode de résolution porte le nom d algorithme de Brennan et Schwartz [BS77]. Il faut bien noter que l algorithme précédent ne calcule la solution correcte du système d inéquations AD, que sous les hypothèses soulignées plus haut, en particulier, il est spécifique au cas du put américain. Il existe des cas où le résultat calculé par cet algorithme n est pas la solution de AD, comme on s en convainc aisément sur l exemple suivant : M = 1 1 ɛ 1 1, F = La solution calculée par l algorithme vaut alors : qui n est pas solution de AD. X = 1 2, G = Remarque 3.9 On pourra trouver une implémentation de l algorithme de Brennan et Schwartz décrit dans ce paragraphe au chapitre , 1.

113 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES La méthode binomiale pour le calcul du put américain Nous allons présenter une autre méthode d approximation du prix du put américain pour le modèle de Black et Scholes. Soient r, a, b des nombres réels, tels que 1 < a < r < b. Soit S n n le modèle binomial défini par, S = x et S n+1 = S n T n, où T n n est une suite de variables aléatoires indépendantes et équidistribuées, telles que PT n = 1 + a = p = b r/b a et PT n = 1 + b = 1 p. On a vu au chapitre 2 paragraphe 4 que le prix du put américain, dans ce modèle, s écrivait sous la forme : P n = P am n, S n, et que la fonction P am n, x pouvait se calculer à l aide de la relation de récurrence : P am n, x = max K x +, pp am n + 1, 1 + ax + 1 pp am n + 1, 1 + bx. 1 + r 5.15 et de la valeur en N, P am N, x = K x +. D autre part, le problème corrigé du chapitre 1 paragraphe 4 prouve que si : r = RT N 1 + a = e T σ N b = e + T σ N p = b r le prix d une option européenne dans ce modèle binomial approxime le prix pour le modèle de Black et Scholes, pour un taux d intérêt R et une volatilité σ. Cela suggère la méthode de calcul suivante pour le calcul du put américain. On se donne une valeur de N, on fixe les valeurs de r, a, b, p à l aide de 5.16 et on utilise la relation de récurrence 5.15 pour calculer le prix associé à cette discrétisation Pamn, N. aux points x1 + a n i 1 + b i, i n. Il semble maturel de penser que Pam N, x est une approximation du prix américain dans le modèle de Black et Scholes P, x. On peut, effectivement, démontrer que lim N + P am, x = P, x. Le résultat précédent est délicat à justifier voir [Kus77] et [LP9], nous ne chercherons pas à le démontrer. La méthode que nous venons de décrire porte le nom de méthode de Cox Ross Rubinstein. Elle est décrite dans [CR85]. 4 Exercices Exercice 28 On note X, Y le produit scalaire de deux vecteurs X = x i 1 i n et Y = y i 1 i n de R n. La notation X Y signifie que pour tout i entre 1 et n, x i y i. On suppose que M vérifie, pour tout X de R n X, MX αx, X avec α >. Nous allons étudier le système : MX G X F MX G, X F = b a, 1. Démontrer que ce problème est équivalent à trouver X F tel que : 2. Démontrer l unicité d une solution de V F MX G, V X. 5.17

114 114 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 3. Démontrer que si M est la matrice identité, alors il existe une solution unique à Soit ρ un nombre positif, on note S ρ X l unique Y F tel que : V F Y X + ρmx G, V Y. Montrer que, si ρ est assez petit, S ρ est une application contractante. 5. En déduire l existence d une solution de Exercice 29 On cherche à approximer le prix du put américain dans le modèle de Black et Scholes ut, x. On rappelle que u est solution de l inéquation aux dérivées partielles : u t t, x + Ãbs ut, x p.p. dans [, T] ], + [ u t, x K x + u K x + ut, x = K x + p.p. dans [, T] ], + [ u t t, x + Ãbs ut, x = p.p. dans [, T] ], + [ où : Ã bs = σ2 x x + rx 2 x r. 1. On note u e t, x la valeur du put européen pour le modèle de Black Scholes. Ecrire le système d inéquations vérifié par v = u u e. 2. On va approximer la solution v = u u e de cette inéquation en la discrétisant uniquement en temps et en utilisant un seul pas de temps. Lorsque on utilise une méthode totalement implicite, montrer que l approximation ṽx de v, x vérifie : ṽx + TÃ bs ṽx p.p. dans ], + [ ṽ ṽx t, x ψx = K x + u e, x p.p. dans ], + [ ψx ṽx + TÃ bs ṽx = p.p. dans ], + [ 3. Trouver l unique valeur de α telle que vx = x α soit solution de vx + TÃ bs vx = et telle que lim x + ux = 4. On va chercher une solution continue à dérivée continue de 5.18 sous la forme :. { λx ṽx = α si x x ψx sinon Ecrire les équations que doivent vérifier λ et α pour que ṽ soit continue et à dérivée continue en x. En déduire, que si ṽ est continue et à dérivée continue, alors x est solution de fx = x où : K u e, x fx = α, x α, et u e t, x = u et, x/ x. u e 5. En utilisant la formule explicite de u e, x voir chapitre 4 équation 4.9 démontrer que f >, que fk < K on pourra utiliser la convexité de la fonction u e et que fx x est décroissante. En déduire qu il existe une solution unique à fx = x. 6. Démontrer que ṽx définie par 5.19 où x est la solution unique de fx = x est une solution de 5.18.

115 Ch.5 EVALUATION DES OPTIONS ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Proposer un algorithme itératif utilisant une méthode de dichotomie permettant de calculer x, avec une précision arbitraire. 8. Ecrire un algorithme en Pascal implémentant une approximation du put américain à partir de ce qui précéde. L algorithme que nous venons de décrire est une version légèrement différente de l algorithme de Mac Millan [Mil86] voir également Barone-Adesi et Waley [BAW87].

116

117 Chapitre 6 Modèles de taux d intérêt Les modèles de taux d intérêt sont utilisés principalement pour pricer et couvrir des obligations et des options sur obligations. Jusqu à présent, aucun modèle n a pu s imposer comme modèle de référence au même titre que le modèle de Black-Scholes pour les options sur actions. Dans ce chapitre, nous tentons de présenter les principes de base de la modélisation en suivant essentiellement [AD89] puis, nous illustrons la théorie par l étude de trois modèles particuliers. 1 Principes de la modélisation 1.1 Notion de courbe des taux Dans la plupart des modèles que nous avons introduits jusqu à présent, le taux d intérêt est supposé constant. Dans la réalité, on observe que le taux d intérêt d un prêt dépend à la fois de la date t d émission du prêt et de la date T d échéance ou de maturité du prêt. Une personne empruntant 1 franc à l instant t, jusqu à l échéance T, devra rembourser une somme Ft, T à la date T, ce qui équivaut à un taux d intérêt moyen Rt, T donné par l égalité Ft, T = e T trt,t. Si on se place en environnement certain, c est à dire si on suppose que tous les taux d intérêt Rt, T t T sont connus, alors, en l absence d opportunité d arbitrage, la fonction F doit vérifier : t < u < s Ft, s = Ft, ufu, s. Il est facile en effet d exhiber des arbitrages possibles lorsque cette égalité n est pas vérifiée exercice!. Cette relation, jointe à l égalité Ft, t = 1, entraîne, si F est régulière, l existence d une fonction rt telle que : et, par conséquent : t < T T Ft, T = exp rsds Rt, T = 1 T rsds. T t t La fonction rs s interprète comme le taux d intérêt instantané. En environnement incertain, ce raisonnement n est plus possible. A la date t, les taux d intérêt futurs Ru, T pour T > u > t, ne sont pas connus. Néanmoins, on con coit qu il y ait des liaisons entre les différents taux, le but de la modélisation étant de les préciser. Le problème se pose concrètement en terme de pricing des obligations. Nous appellerons obligation zéro-coupon un titre donnant droit à 1 franc à une date d échéance T et nous noterons Pt, T la valeur de ce titre à l instant t. On a évidemment PT, T = 1 et, en environnement certain : Pt, T = e T t rsds. 6.1 t

118 118 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 1.2 Courbe des taux en avenir incertain En avenir incertain, il faut penser le taux instantané comme un processus aléatoire : entre les instants t et t + dt, on peut emprunter au taux rt dans la pratique c est un taux à court terme, par exemple le taux au jour le jour. Pour préciser la modélisation, nous nous placerons sur un espace probabilisé filtré Ω, F, P, F t t T et nous supposerons que la filtration F t t T est la filtration naturelle d un mouvement brownien standard W t t T et que F T = F. Comme dans les modèles étudiés précédemment, nous introduisons un actif dit sans risque, dont le prix à l instant t est donné par : S t = t e rsds où rt t T est un processus adapté vérifiant : T rt dt <, presque sûrement. L appellation d actif sans risque peut sembler étrange pour un actif dont le prix dépend du hasard ; nous verrons plus loin en quoi cet actif est moins risqué que les autres. Les actifs risqués sont ici les obligations zéro-coupon d échéance inférieure ou égale à l horizon T. Pour chaque instant u T, nous introduisons donc un processus adapté Pt, u t u, vérifiant Pu, u = 1 et donnant le prix du zéro-coupon d échéance u en fonction du temps. Dans le chapitre 1, nous avons caractérisé, dans le cadre des modèles discrets, l absence d opportunité d arbitrage par l existence d une probabilité équivalente sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. L extension de ce type de résultat à des modèles à temps continu est délicate cf. [HK79], [Str9], [AD89] et [DS94], mais nous avons pu constater, dans le chapitre 4, que l existence d une telle probabilité était vérifiée dans le modèle de Black-Scholes. En nous appuyant sur ces exemples, nous allons ici prendre comme point de départ de la modélisation l hypothèse suivante : H Il existe une probabilité P équivalente à P, sous laquelle, pour tout réel u [, T], le processus Pt, u t u défini par : est une martingale. Pt, u = e rsds Pt, u Cette hypothèse entraîne un certain nombre de conséquences intéressantes. En effet, la propriété de martingale sous P donne, en utilisant l égalité Pu, u = 1 : et, en supprimant l actualisation, Pt, u = E Pu, u F t = E e u rsds Ft Pt, u = E e u t rsds Ft. 6.2 Cette égalité, qu il est intéressant de comparer à la formule 6.1, montre que les prix Pt, u ne dépendent que du comportement du processus rs s T sous la probabilité P. L hypothèse que nous avons faite sur la filtration F t t T permet de préciser la forme de la densité de la probabilité P par rapport à P. Notons L T cette densité. Pour toute variable aléatoire positive X, on a : E X = EXL T et, si X est F t -mesurable : E X = EXL t, en posant L t = EL T F t. La variable aléatoire L t est donc la densité de la restriction de P à F t par rapport à P. Proposition 1.1 Il existe un processus adapté qt t T tel que, pour tout t [, T], L t = exp qsdw s 1 qs 2 ds p.s

119 Ch.6 MODÈLES DE TAUX D INTÉRÊT 119 Démonstration : Le processus L t t T est une martingale par rapport à F t, qui est la filtration naturelle du mouvement brownien W t. Il en résulte cf. paragraphe 2.3 du chapitre 4 qu il existe un processus adapté H t t T vérifiant T H2 tdt < p.s. et, pour tout t [, T] : L t = L + H s dw s p.s. Puisque L T est une densité de probabilité, on a EL T = 1 = L et, puisque P est équivalente à P, on a L T > p.s. et plus généralement PL t > = 1 quel que soit t. Pour obtenir la formule 6.3, on est tenté d appliquer la formule d Ito avec la fonction log. Pour cela, on a besoin de vérifier que P t [, T], L + H sdw s > = 1. Cette vérification qui utilise de manière cruciale la propriété de martingale fait l objet de l exercice 3. Ce point étant acquis, la formule d Ito donne : log L t = ce qui entraîne l égalité 6.3 avec qt = Ht L t. 1 H s dw s 1 L s 2 1 H 2 s ds Corollaire 1.2 Le prix à l instant t de l obligation zéro-coupon d échéance u t peut s écrire : Pt, u = E e u t rsds+ u t qsdws 1 u 2 t qs2 ds Ft. 6.4 L 2 s p.s. Démonstration : Cela résulte immédiatement de la proposition 1.1 et de la formule suivante, facile à vérifier pour toute variable aléatoire positive X : E X F t = E XL T F t L t. 6.5 La proposition suivante permet de donner une interprétation économique du processus qt cf. remarque 1.4 ci-dessous. Proposition 1.3 Pour chaque échéance u, il existe un processus adapté σ u t t u tel que, sur [, u] : dpt, u Pt, u = rt σu t qtdt + σu t dw t 6.6 Démonstration : Puisque le processus Pt, u t u est une martingale sous P, Pt, ul t t u est une martingale sous P cf. exercice 31. De plus, on a : Pt, ul t > p.s., pour tout t [, u]. Alors, par le même raisonnement que dans la démonstration de la proposition 1.1, on voit qu il existe un processus adapté θ u t t u tel que u θu t 2 dt < et : Pt, ul t = P, ue θu s dws 1 2 θu s 2ds. D où, en explicitant L t et en supprimant l actualisation : Pt, u = P, u exp rsds + θ u s qsdw s 1 2 θ u s 2 qs 2 ds.

120 12 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE En appliquant la formule d Ito avec la fonction exponentielle, on obtient : dpt, u Pt, u = rtdt + θ u t qtdw t 1 2 θu t 2 qt 2 dt θu t qt 2 dt = rt + qt 2 θ u t qtdt + θu t qtdw t, ce qui donne l égalité 6.6 en posant : σ u t = θ u t qt. Remarque 1.4 La formule 6.6 est à rapprocher de l égalité ds t = rtdt, vérifiée par l actif S t dit sans risque. C est la présence du terme en dw t qui rend les obligations plus risquées. De plus, pour l intuition, l expression rt σ u t qt apparaît comme le rendement moyen i.e. en espérance de l obligation à l instant t car les accroissements du mouvement brownien sont de moyenne nulle et l expression σ u t qt exprime la différence entre le rendement moyen de l obligation et le taux sans risque. D où l interprétation de qt comme une prime de risque. Sous la probabilité P, le processus W t défini par : W t = W t qsds est un mouvement brownien standard théorème de Girsanov et on a : dpt, u Pt, u = rtdt + σu t d W t. 6.7 Pour cette raison la probabilité P est souvent appelée probabilité corrigée du risque ou probabilité risque-neutre. 1.3 Options sur obligations Pour fixer les idées, considérons d abord une option européenne d échéance θ sur l obligation zéro-coupon d échéance égale à l horizon T. S il s agit d un call de prix d exercice K, la valeur de l option à l instant θ est évidemment Pθ, T K + et on peut espérer couvrir ce call avec un portefeuille constitué de certaines quantités d actif sans risque et d obligations. Pour préciser cela, nous allons définir des stratégies de gestion, en nous limitant à des portefeuilles constitués, à chaque instant, d actifs sans risque et de zéro-coupons d échéance T. Une stratégie est alors définie par la donnée d un processus adapté H t, H t t T à valeurs dans R 2, H t représentant la quantité d actif sans risque et H t le nombre d obligations d échéance T détenues en portefeuille à l instant t. La valeur du portefeuille à l instant t est donnée par : V t = H t S t + H tpt, T = H t e rsds + H t Pt, T et la condition d autofinancement s écrit, comme dans le chapitre 4, sous la forme : dv t = H t ds t + H tdpt, T. Pour que cette égalité ait un sens, on impose, compte tenu de la proposition 1.3, les conditions d intégrabilité suivantes : T H t rt dt < et T H tσ u t 2 dt < p.s.. Comme dans le chapitre 4, nous définissons les stratégies admissibles de la fa con suivante : Définition 1.5 Une stratégie φ = H t, H t est admissible si elle est autofinancée et si t T la valeur actualisée Ṽ t φ = H t + H Pt, t T du portefeuille correspondant est, pour tout t, positive et si sup t [,T] Ṽ t est de carré intégrable sous P. La proposition suivante montre que sous des hypothèses convenables, on peut couvrir toutes les options européennes d échéance θ < T.

121 Ch.6 MODÈLES DE TAUX D INTÉRÊT 121 Proposition 1.6 On suppose sup t T rt < p.s. et σ T t p.s., pour tout t [, θ]. Soit θ < T et soit h une variable aléatoire F θ mesurable telle que he θ rsds soit de carré intégrable sous P. Alors, il existe une stratégie admissible dont la valeur à l instant θ est égale à h. La valeur à un instant t θ d une telle stratégie est donnée par : V t = E e θ t rsds h F t. Démonstration : La méthode est la même que dans le chapitre 4. On observe d abord que si Ṽ t est la valeur actualisée à l instant t d une stratégie admissible H t, H t t T, on a, en utilisant la condition d autofinancement, la formule d intégration par parties et la remarque 1.4 cf. équation 6.7 : dṽ t = H t d Pt, T = H t Pt, Tσ T t d W t. On en déduit, compte tenu du fait que sup t [,T] Ṽ t est de carré intégrable sous P, que Ṽ t est une martingale sous P. On a donc : t θ Ṽ t = E Ṽ θ Ft et, si on impose la condition V θ = h, on obtient V t = e rsds E e θ rsds h F t. Pour achever la démonstration, il suffit de construire une stratégie admissible ayant à chaque instant cette valeur. Pour cela, on montre qu il existe un processus J t t θ tel que θ J2 t <, p.s. et : he θ rsds = E he θ θ rsds + J s d W s. Noter que cette propriété n est pas une conséquence triviale du théorème de représentation des martingales car on ne sait pas si he θ rsds est dans la tribu engendrée par les W t, t θ on sait seulement qu elle est dans la tribu F θ qui peut être plus grande ; voir à ce sujet l exercice 32. Ce point étant acquis, il suffit de poser : H t = J t Pt, Tσ T t et H t = E he θ rsds F t J t σ T t pour t θ. On vérifie aisément que H t, H t t θ définit une stratégie admissible l hypothèse sup t T rt < p.s. permet d assurer la condition θ rsh s ds < dont la valeur à l instant θ est bien égale à h. Remarque 1.7 Nous ne nous sommes pas posés la question de l unicité de la probabilité P et il n est pas clair que le processus de risque qt soit défini sans ambiguïté. En fait, on peut montrer cf. [AD89] que P est l unique probabilité équivalente à P sous laquelle Pt, T t T soit une martingale si et seulement si le processus σ T t vérifie : σt t, dtdp presque partout. Cette condition, un peu plus faible que l hypothèse de la proposition 1.6, est exactement ce qu il faut pour pouvoir couvrir les options avec des obligations d échéance T, ce qui n est pas étonnant si l on songe à la caractérisation des marchés complets que nous avons donnée dans le chapitre 1.

122 122 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 2 Quelques modèles usuels Les équations 6.2 et 6.4 montrent que pour calculer le prix des obligations, on a besoin de connaître soit l évolution de rt sous P, soit l évolution du couple rt, qt sous P. Les premiers modèles que nous allons examiner décrivent l évolution de rt sous P par une équation de diffusion et choisissent la forme de qt de fa con à conserver le même type d équation sous P. Les prix des obligations et des options dépendent alors explicitement de paramètres de risque difficiles à estimer. Une des vertus du modèle de Heath-Jarrow-Morton, que nous présentons brièvement dans le paragraphe 2.3 est de fournir des formules de prix d options dépendant uniquement de paramètres régissant l évolution des taux sous P. 2.1 Le modèle de Vasicek Dans ce modèle, on suppose que le processus rt vérifie : drt = a b rt dt + σdw t 6.8 où a, b, σ sont des constantes positives. On suppose aussi que le processus qt est une constante qt = λ, avec λ R. Alors : drt = a b rt dt + σd W t 6.9 où b = b λσ/a et W t = W t + λt. Avant de calculer le prix des obligations selon ce modèle, donnons quelques conséquences de l équation 6.8. Si on pose : X t = rt b, on voit que X t est solution de l équation différentielle stochastique : dx t = ax t dt + σdw t, ce qui signifie que X t est un processus d Ornstein-Uhlenbeck cf. chapitre 3, paragraphe 5.2. On en déduit que rt peut s écrire : rt = re at + b 1 e at + σe at e as dw s 6.1 et que rt suit une loi normale dont la moyenne est donnée par Ert = re at + b 1 e at et la variance par Varrt = σ 2 1 e 2at 2a. Cela entraîne que Prt < >, ce qui pour la pratique n est pas très satisfaisant sauf si cette probabilité reste très faible. Noter que, quand t tend vers l infini, rt converge en loi vers une gaussienne de moyenne b et de variance σ2. 2a Pour calculer le prix des zéro-coupons, on se place sous la probabilité P et on utilise l équation 6.9. D après l égalité 6.2, Pt, T = E e T t rsds F t = e b T t E e T t X s ds F t 6.11 en posant : X t = rt b. Comme X t est solution de l équation de diffusion à coefficients indépendants du temps dx t = ax t dt + σd W t, 6.12

123 Ch.6 MODÈLES DE TAUX D INTÉRÊT 123 on peut écrire : E e T t X sds F t = FT t, X t = FT t, rt b 6.13 où F est la fonction définie par : Fθ, x = E e θ Xxds s, X x t étant l unique solution de l équation 6.12 qui vérifie : X x = x cf. chapitre 3, remarque Le calcul de Fθ, x peut se faire complètement. En effet, on sait cf. chapitre 3 que le processus X x t est gaussien, à trajectoires continues. Il en résulte que θ Xx sds est une gaussienne, puisque l intégrale est limite de sommes de Riemann, qui sont gaussiennes. On a donc, d après l expression de la transformée de Laplace d une gaussienne, E e θ Xx sds De l égalité : E X x s = xe as, on déduit : Pour le calcul de la variance, on écrit : θ Var X x s ds θ E X x s ds = e E θ Xx s ds+ 1 2 Var θ Xx s ds. = x 1 e aθ. a θ θ = Cov X x s ds, X x s ds = θ θ Puisque X x t = xe at + σe at eas d W s, on a : Cov X x t, Xx u dudt u Cov X x t, X x u = σ 2 e at+u E e as d W s e as d W s et, en reportant dans l égalité 6.14, θ Var X x sds = σ2 θ a 2 u = σ 2 e at+u e 2as ds = σ 2 e at+u e 2at u 1 2a σ2 a 3 1 e aθ σ2 2a 3 1 e aθ 2. En revenant aux équations 6.11 et 6.13, on obtient la formule suivante : Pt, T = exp [ T trt t, rt], où RT t, rt, qui s interprète comme le taux d intérêt moyen sur la période [t, T], est donné par la formule : Rθ, r = R 1 [ R r 1 e aθ σ2 ] 1 e aθ 2 aθ 4a 2 avec R = lim θ Rθ, r = b σ2 2a 2. Le taux R s interprète comme un taux à long terme ; notons qu il ne dépend pas du taux instantané spot r. Cette dernière propriété est considérée comme un défaut du modèle par les financiers.

124 124 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Remarque 2.1 Dans la pratique, se pose le problème de l estimation des paramètres et du choix de la valeur de r. Pour r on choisira un taux court par exemple le taux au jour le jour ou jj, on pourra alors caler les paramètres b, a, σ par des méthodes statistiques sur les données historiques du taux instantané. Puis on détermine λ à partir des données de marché en inversant la formule de Vasicek. En fait les praticiens déterminent souvent les paramètres, y compris r, en ajustant au mieux la formule de Vasicek sur les données de marché. Remarque 2.2 Le calcul des options sur obligations se fait facilement dans le modèle de Vasicek, grâce au caractère gaussien du processus d Ornstein-Uhlenbek cf. exercice Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross Dans [CIR85], Cox, Ingersoll et Ross proposent de modéliser l évolution du taux instantané par l équation suivante : drt = a brtdt + σ rtdw t 6.15 avec σ et a positifs, b R, le processus qt étant pris de la forme : qt = α rt, avec α R. Notons qu on ne peut pas appliquer à cette équation le théorème d existence et d unicité que nous avons donné au chapitre 3, puisque la fonction racine carrée n est définie que sur R + et n est pas lipschitzienne. Cependant, grâce au caractère hölderien de la fonction racine carrée, on peut montrer le résultat suivant. Théorème 2.3 On suppose que W t est un mouvement brownien standard défini sur [, [. Pour tout réel x, il existe un unique processus continu adapté X t, à valeurs dans R +, vérifiant X = x et dx t = a bx t dt + σ X t dw t sur [, [ Pour une démonstration de ce résultat, nous renvoyons à [IW81], p Pour permettre l étude du modèle de Cox-Ingersoll-Ross, nous allons donner quelques propriétés de cette équation. Nous noterons X x t la solution de 6.16 issue de x et τx le temps d arrêt défini par : avec, comme d habitude, inf =. τ x = inf{t Xx t = } Proposition Si a σ 2 /2, on a Pτ x = = 1, pour tout x >. 2. Si a < σ 2 /2 et b, on a Pτ x < = 1, pour tout x >. 3. Si a < σ 2 /2 et b <, on a Pτ x < ], 1[, pour tout x >. La démonstration de cette proposition fait l objet de l exercice 34. La proposition suivante, qui permet de caractériser la loi du couple X x t, Xx s ds, est la clé de tous les calculs de prix dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross. Proposition 2.5 Pour tous réels positifs λ et µ, on a : E e λxx t e µ Xx s ds = e aφ λ,µt e xψ λ,µt,

125 Ch.6 MODÈLES DE TAUX D INTÉRÊT 125 où les fonctions φ λ,µ et ψ λ,µ sont données par : et avec γ = φ λ,µ t = 2 σ log 2γe tγ+b 2 2 σ 2 λe γt 1 + γ b + e γt γ + b ψ λ,µ t = λ γ + b + eγt γ b + 2µ e γt 1 σ 2 λ e γt 1 + γ b + e γt γ + b b 2 + 2σ 2 µ. Démonstration : Le fait que l espérance à calculer puisse se mettre sous la forme e aφt xψt résulte d une propriété d additivité du processus X x t par rapport au paramètre a et à la condition initiale x cf. [IW81], p.225, [RY9]. Si, fixant λ et µ, on considère la fonction Ft, x définie par : Ft, x = E e λxx t e µ Xxds s, 6.17 il est naturel de chercher F comme solution du problème : F t = σ2 F 2 x 2 + a bx F x2 x µxf F, x = e λx En effet, si F vérifie ces équations et a des dérivées bornées, la formule d Itô montre que, pour tout T, le processus M t t T, défini par : M t = e µ Xx sds FT t, X x t est une martingale et l égalité EM T = M donne Si F est de la forme : Ft, x = e aφt xψt les équations ci-dessus se traduisent par : φ =, ψ = λ et { ψ t = σ2 2 ψ2 t + bψt µ φ t = ψt La résolution de ces deux équations différentielles donne les expressions de φ et ψ. X x t Quand on applique la proposition 2.5 avec µ =, on obtient la transformée de Laplace de sous la forme : E 2a/σ2 b e λxx t = σ 2 λ1 exp x 2 e bt + b 1 = exp λlζ 2λL + 1 2a/σ2 2λL + 1 λ σ2 λbe bt 1 2 e bt + b en posant : L = σ2 4b 1 e bt et ζ = 4xb. Avec ces notations, la transformée de Laplace σ 2 e bt 1 de X x t/l est donnée par la fonction g 4a/σ,ζ, où g 2 δ,ζ est définie par : g δ,ζ λ = 1 2λ + 1 δ/2 exp λζ. 2λ + 1

126 126 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Cette fonction est la transformée de Laplace d une loi connue sous le nom de loi du chi-deux décentrée à δ degrés de liberté, de paramètre de décentrage ζ voir à ce sujet l exercice 35. La densité de cette loi est donnée par la fonction f δ,ζ, définie par : f δ,ζ x = e ζ/2 e x δ 2ζ δ x I δ xζ où I ν est la fonction de Bessel modifiée d ordre ν, définie par : 2n x ν x 2 I ν x = 2 n!γν + n + 1. n= pour x >, On trouvera de nombreuses propriétés des fonctions de Bessel et des formules d approximation des fonctions de répartition de lois du chi-deux décentrées dans [AS7], chapitres 9 et 26. Revenons maintenant au modèle de Cox-Ingersoll-Ross. Avec les hypothèses faites sur les processus rt et qt, on a : drt = a b + σαrt dt + σ rtd W t, où, sous la probabilité P, le processus W t t T est un mouvement brownien standard. Le prix d une obligation zéro-coupon d échéance T est alors donné, à l instant, par : P, T = E e T rsds = e aφt rψt 6.18 où les fonctions φ et ψ sont données par les formules suivantes : φt = 2 σ log 2γ e tγ +b 2 2 γ b + e γ t γ + b et 2 e γ t 1 ψt = γ b + e γ t γ + b avec b = b + σα et γ = b 2 + 2σ 2. Le prix à l instant t est donné par : Pt, T = exp aφt t rtψt t. Calculons maintenant le prix, à l instant, d un call européen d échéance θ, de prix d exercice K, sur un zéro-coupon d échéance T. On peut montrer que les hypothèses de la proposition 1.6 sont vérifiées ; le prix à l instant du call est donc donné par : [ C = E e ] θ rsds Pθ, T K + [ = E e θ rsds e aφt θ rθψt θ K ] + = E e θ rsds Pθ, T1 {rθ < r } KE e θ rsds 1 {rθ < r } où r est défini par : r = aφt θ + logk. ψt θ

127 Ch.6 MODÈLES DE TAUX D INTÉRÊT 127 Remarquons que E e θ rsds Pθ, T = P, T, par la propriété de martingale des prix actualisés. De même, E e θ rsds = P, θ. On peut donc écrire le prix de l option sous la forme : C = P, TP 1 rθ < r KP, θp 2 rθ < r en notant P 1 et P 2 les probabilités dont les densités par rapport à P sont données respectivement par : θ dp 1 dp = e rsds θ Pθ, T dp 2 et P, T dp = e rsds P, θ. On démontre cf. exercice 36 que, si on pose et L 1 = σ2 2 e γ θ 1 γ e γ θ σ 2 ψt θ + b e γ θ 1 L 2 = σ2 2 e γ θ 1 γ e γ θ b e γ θ 1, la loi de rθ L 1 sous P 1, resp. de rθ L 2 sous P 2 est une loi du chi-deux décentrée à 4a/σ 2 degrés de liberté et de paramètre de décentrage égal à ζ 1 resp. ζ 2, avec et ζ 1 = 8rγ 2 e γ θ σ 2 e γ θ 1 γ e γ θ σ 2 ψt θ + b e γ θ 1 ζ 2 = 8rγ 2 e γ θ σ 2 e γ θ 1 γ e γ θ b e γ θ 1. Avec ces notations, en introduisant la fonction de répartition F δ,ζ de la loi du chi-deux décentrée à δ degrés de liberté de paramètre de décentrage ζ, on a donc : r r C = P, TF 4a/σ 2,ζ 1 KP, θf 4a/σ 2,ζ2 L 1 L Autres modèles Le modèle de Vasicek et le modèle de Cox-Ingersoll-Ross ont pour principal défaut de donner des prix qui sont des fonctions explicites du taux d intérêt instantané spot et ne permettent donc pas d intégrer, dans la structure des prix, l observation de toute la courbe des taux. Certains auteurs ont introduit des modèles bidimensionnels pour mieux rendre compte des disparités entre taux court et taux long cf. [BS79], [SS84], [Cou82]. Ces modèles plus complexes ne débouchent pas sur des formules explicites et nécessitent la résolution d équations aux dérivées partielles. Plus récemment, Ho et Lee [HL86] ont proposé un modèle à temps discret décrivant l évolution de l ensemble de la courbe des taux. Un modèle à temps continu basé sur la même idée a été introduit par Heath, Jarrow et Morton dans [HJM87], [Mor89]. C est ce modèle que nous allons présenter brièvement. On définit tout d abord les taux d intérêt forward ft, s, pour t s, caractérisés par l égalité suivante : Pt, u = exp u t ft, sds 6.19

128 128 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE pour toute échéance u. Le nombre ft, s représente donc le taux d intérêt instantané à la date s tel que le marché le voit à la date t. Pour chaque u, le processus ft, u t u doit donc être un processus adapté et il est naturel de poser : ft, t = rt. On impose également à l application t, s ft, s, définie pour t s, d être continue. La modélisation consiste ensuite à supposer que, pour chaque échéance u, le processus ft, u t u vérifie une équation de la forme : ft, u = f, u + αv, udv + σfv, udw v, 6.2 avec un processus αt, u t u adapté, l application t, u αt, u étant continue et σ étant une application continue de R dans R on peut aussi prendre σ dépendant du temps, cf. [Mor89]. Il faut alors s assurer que ce modèle est compatible avec l hypothèse H. Cela impose des conditions sur les coefficients α et σ du modèle. Pour les faire apparaître, on calcule la différentielle dpt,u Pt,u Pt, u = e Xt et, d après l équation 6.2, u et on la compare à l équation 6.6. Posons : X t = u t ft, sds. On a X t = fs, s + fs, s ft, s ds t u u s u s = fs, sds + αv, sdv ds + σfv, sdw v ds t t t t t u u u u u = fs, sds + αv, sds dv + σfv, sds dw v 6.21 t t v t v u u = X + fs, sds αv, sds dv σfv, sds dw v. v Noter que l interversion d intégrales apparaissant dans l équation 6.21 est justifiée par l exercice 37. On a donc : u u dx t = ft, t αt, sds dt σft, sds dw t et, par la formule d Ito : t t v dpt, u Pt, u = dx t d <X, X> t u = ft, t αt, sds + 1 u 2 σft, sds dt t 2 t u σft, sds dw t. t Si l hypothèse H est vérifiée, on doit avoir, d après la proposition 1.3 et l égalité ft, t = rt, u σ u t qt = αt, sds 1 u 2 σft, sds, 2 avec σ u t = u t σft, sds. D où : u t αt, sds = 1 2 t u t t 2 u σft, sds qt σft, sds t

129 Ch.6 MODÈLES DE TAUX D INTÉRÊT 129 et, en dérivant par rapport à u : u αt, u = σft, u σft, sds qt L équation 6.2 s écrit alors, sous forme différentielle : t u dft, u = σft, u σft, sds dt + σft, ud W t 6.22 t Le théorème suivant, dû à Heath, Jarrow et Morton [HJM87], [Mor89] donne des conditions suffisantes pour que l équation 6.22 ait une solution unique. Théorème 2.6 Si la fonction σ est lipschitzienne et bornée, pour toute fonction continue φ de [, T] dans R + il existe un unique processus continu à deux indices ft, u t u T tel que, pour tout u, le processus ft, u t u soit adapté et vérifie 6.22, avec f, u = φu. On voit que, pour tout processus continu qt, on peut alors construire un modèle de la forme 6.2. Il suffit de prendre une solution de 6.22 et de poser ensuite : u αt, u = σft, u σft, sds qt. t Ce qui est remarquable dans ce modèle, c est que la loi des taux forward sous P ne dépend que de la fonction σ. C est une conséquence de l équation 6.22, qui ne fait apparaître que σ et W t. Il en résulte que le prix des options ne dépendra que de la fonction σ. On est ainsi dans une situation analogue à celle du modèle de Black-Scholes. Le cas où σ est une constante est étudié dans l exercice 38. Noter que la condition de bornitude sur σ est essentielle puisque, pour σx = x, il n y a pas de solution cf. [HJM87], [Mor89]. Remarque bibliographique : Pour l évaluation des options sur obligations avec coupons, on pourra consulter [Jam89] et [KR89]. 3 Exercices Exercice 3 Soit M t t T une martingale continue telle que, pour tout t [, T], PM t > = 1. On pose : τ = inf{t [, T] M t = } T. 1. Montrer que τ est un temps d arrêt. 2. Montrer, en utilisant le théorème d arrêt, que E M T = E que P { t [, T] M t > } = 1. M T 1 {τ = T}. En déduire Exercice 31 Soit Ω, F, F t t T, P un espace probabilisé filtré et soit Q une probabilité absolument continue par rapport à P. On note L t la densité de la restriction de Q à F t. Soit M t t T un processus adapté. Montrer que M t t T est une martingale sous Q si et seulement si le processus L t M t t T est une martingale sous P.

130 13 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Exercice 32 Les notations sont celles du paragraphe 1.3. Soit M t t T un processus adapté à la filtration F t. On suppose que M t est une martingale sous P. Montrer, en utilisant l exercice 31, qu il existe un processus adapté H t t T tel que T H2 tdt < p.s. et pour tout t [, T]. M t = M + H s d W s Exercice 33 On se propose de calculer le prix, à l instant, d un call d échéance θ et de prix d exercice K sur une obligation zéro-coupon d échéance T > θ, dans le modèle de Vasicek. 1. Montrer que les hypothèses de la proposition 1.6 sont bien vérifiées. 2. Montrer que l option est exercée si et seulement si rθ < r, où r at θ = R 1 σ2 1 e at θ logk 1 e at θ 4a 2 p.s. a. 1 e at θ 3. Soit X, Y un vecteur gaussien à valeurs dans R 2 sous une probabilité P et soit P la probabilité absolument continue par rapport à P, de densité d P dp = e λx E e λx. Montrer que, sous P, Y est une gaussienne, dont on précisera la moyenne et la variance. 4. En utilisant la question précédente, montrer que sous les probabilités de densités respectives e θ rsds P,θ T et e rsds P,T par rapport à P, la variable aléatoire rθ est une gaussienne. En déduire une expression du prix de l option sous la forme C = P, Tp 1 KP, θp 2, avec des paramètres p 1 et p 2 que l on explicitera. Exercice 34 Le but de cet exercice est de démontrer la proposition 2.4. Pour x, M >, on note τ x M le temps d arrêt défini par τ x M = inf{t X x t = M}. 1. Soit s la fonction définie sur ], [ par sx = x 1 e y 2b σ 2 y 2a/σ2 dy. Montrer que s vérifie : σ2 x d2 s + a bx ds =. 2 dx 2 dx 2. Pour ε < x < M, on pose : τ x ε,m = τx ε τx M. Montrer que, pour tout t >, on a : s τ x X x ε,m t τ = sx + s X x x s X σ x s dw s. ε,m En déduire, en prenant les variances et en utilisant le fait que s est bornée inférieurement sur l intervalle [ε, M], que E τ x ε,m <, ce qui entraîne que τx ε,m est fini p.s. 3. Montrer que si ε < x < M, sx = sεp τ x ε < τx M + smp τx ε > τx M. 4. On suppose a σ 2 /2. Montrer qu alors lim x sx =. En déduire que : P τ x < τx M =, pour tout M >, puis que P τ x < =.

131 Ch.6 MODÈLES DE TAUX D INTÉRÊT On suppose maintenant a < σ 2 /2 et on pose s = lim x sx. Montrer que, pour tout M > x, on a : sx = sp τ x < τx M + smp τx > τx M et achever la démonstration de la proposition 2.4. Exercice 35 Soit d un entier strictement positif et soient X 1, X 2,..., X d, d gaussiennes indépendantes de variance 1 et de moyennes respectives m 1, m 2,...,m d. Montrer que la variable aléatoire X = d i=1 X2 i suit une loi du chi-deux décentrée à d degrés de liberté, de paramètre de décentrage ζ = d i=1 m2 i. Exercice 36 En utilisant la proposition 2.5, calculer, dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross, la loi de rθ sous les probabilités P 1 et P 2 introduites à la fin du paragraphe 2.2. Exercice 37 Soit Ω, F, F t t T, P un espace probabilisé filtré et soit W t t T un mouvement brownien standard par rapport à F t. On considère un processus à deux indices Ht, s t,s T vérifiant les propriétés suivantes : pour tout ω, l application t, s Ht, sω est continue et, pour tout s [, T], le processus Ht, s t T est adapté. On se propose de justifier l égalité T T Ht, sdw T T t ds = Ht, sds dw t. On supposera pour simplifier que T E T H2 t, sdt ds < ce qui est suffisant pour justifier l égalité Montrer que T T E Ht, sdw t ds T Ht, sdw t T [ T 1/2 E H 2 t, sdt] ds. En déduire que l intégrale T ds a un sens. 2. Soit = t < t 1 < < t N = T une subdivision de l intervalle [, T]. Remarquer que T N 1 Ht i, s W ti+1 W ti ds = i= N 1 et justifier le passage à la limite conduisant à l égalité souhaitée. i= T Ht i, sds Wti+1 W t i Exercice 38 Dans le modèle de Heath-Jarrow-Morton, on prend pour fonction σ une constante strictement positive, encore notée σ. On se propose de calculer le prix d un call d échéance θ, de prix d exercice K, sur un zéro-coupon d échéance T > θ. 1. Montrer que les hypothèses de la proposition 1.6 sont vérifiées. 2. Montrer que la solution de l équation 6.22 est donnée par ft, u = f, u + σ 2 t u t 2 + σ W t. En déduire que Pθ, T = P, T P, θ exp σt θ W θ σ2 θtt θ Calculer, pour λ R, E e σ θ W sds e λ W θ. En déduire la loi de W θ sous les probabilités P 1 et P 2 de densités par rapport à P respectivement données par θ dp 1 dp = e rsds Pθ, T P, T et θ dp 2 dp = e rsds. P, θ

132 132 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 4. Montrer que le prix du call à l instant est donné par C = P, TNd KP, θn d σ θt θ, où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et d = σ θt θ 2 log K P,θ P,T σ θt θ.

133 Chapitre 7 Modèles d actifs avec sauts Dans le modèle de Black-Scholes, le prix de l action est une fonction continue du temps et cette propriété est une des caractéristiques du modèle. Or, certains événements rares publication d un chiffre économique, modification de la conjoncture internationale peuvent entraîner des variations brutales des cours. Pour modéliser ce genre de phénomènes, on est amené à introduire des processus stochastiques à trajectoires discontinues. Ces modèles avec sauts ont, pour la plupart, une caractéristique marquante qui les différencie du modèle de Black-Scholes : ce sont des modèles de marchés non complets, dans lesquels il n y a pas de couverture parfaite des options. L évaluation des options par construction d un portefeuille simulant n y est donc plus possible. Un approche possible de l évaluation et de la couverture des options consiste à définir une notion de risque et à choisir le prix et la couverture de façon à minimiser ce risque. Dans ce chapitre, nous nous limitons aux modèles avec sauts les plus simples. La description de ces modèles nécessite un exposé des principales propriétés du processus de Poisson, qui fait l objet du premier paragraphe. 1 Processus de Poisson Définition 1.1 Soit T i i 1 une suite de variables aléatoires indépendantes équidistribuées de loi commune la loi exponentielle de paramètre λ, c est à dire de loi : 1 {x > } λe λx dx. On pose τ n = n i=1 T i. On appelle processus de Poisson d intensité λ le processus N t défini par : N t = 1 {τn t} = n1 {τn t < τ n+1 }. n 1 n 1 Remarque 1.2 N t représente le nombre de points de la suite τ n n 1 qui sont inférieurs ou égaux à t. On a : τ n = inf{t, N t = n}. La proposition suivante explicite la loi de N t pour un t fixé. Proposition 1.3 Si N t t est un processus de Poisson d intensité λ alors, pour tout t > la variable aléatoire N t suit une loi de Poisson de paramètre λ : On a en particulier : λt λtn PN t = n = e. n! EN t = λt, VarN t = EN 2 t EN t 2 = λt. De plus, pour s > : E s Nt = exp {λt s 1}.

134 134 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Démonstration : On remarque tout d abord que la loi de τ n est : λx λxn 1 1 {x > } λe n 1! dx. C est à dire une loi gamma de paramètres λ et n. En effet, la transformée de Laplace de T 1 est : donc celle de τ n = T T n vaut : E e αt λ 1 = λ + α, E e ατn = E n e αt n 1 λ =. λ + α On reconnaît la tranformée de Laplace de la loi gamma de paramètres λ et n cf. [Bou86], chapitre VI, paragraphe On a alors, pour n 1 : P N t = n = P τ n t P τ n+1 t = λx λxn 1 λe n 1! dx = λtn e λt. n! λx λxn λe dx n! Proposition 1.4 Soient N t t un processus de Poisson d intensité λ et F t = σn s, s t. Le processus N t t est un processus à accroissements indépendants et stationnaires, c est à dire : indépendance : si s >, N t+s N t est indépendant de la tribu F t. stationnarité : la loi de N t+s N t est identique à celle de N s N = N s. Remarque 1.5 Il est facile de voir que les temps de sauts τ n sont des temps d arrêt. En effet, {τ n t} = {N t n} F t. Une variable aléatoire T de loi exponentielle vérifie PT t+s T t = PT s. On dit que les variables exponentielles n ont pas de mémoire. L indépendance des accroissements est une conséquence de cette propriété des lois exponentielles. Remarque 1.6 La loi d un processus de Poisson d intensité λ est caractérisée par l une des deux propriétés suivantes : N t t est un processus de Markov homogéne continu à droite et limité à gauche, tel que : λt λtn PN t = n = e, n! N t t est un processus à accroissements indépendants et stationnaires, continu à droite, croissant, ne croissant que par sauts de 1. Pour la première caractérisation, cf. [Bou88], chapitre III, pour la seconde, cf. [DCD83], paragraphe 6.3.

135 Ch.7 MODÈLES D ACTIFS AVEC SAUTS Description de l évolution de l actif risqué Le but de ce paragraphe est de modéliser un marché financier dans lequel il y a un actif sans risque de prix S t = ert, à l instant t et un actif à risque dont le prix présente des sauts de valeurs relatives U 1,..., U j,..., à des instants τ 1,..., τ j,... et qui, entre deux instants de saut, suit le modèle de Black et Scholes. Nous supposerons de plus que les τ j sont les temps de saut d un processus de Poisson. Pour préciser cela, plaçons-nous sur un espace de probabilité Ω, A, P sur lequel sont définis un mouvement brownien standard W t t, un processus de Poisson d intensité λ N t t et une suite U j j 1 de variables aléatoires indépendantes équidistribuées, à valeurs dans ] 1, + [. Nous supposerons les tribus engendrées respectivement par W t t, N t t, U j j 1 indépendantes. Pour tout t, notons F t la tribu engendrée par les variables aléatoires W s, N s pour s t et U j 1 {j Nt } pour j 1. On vérifie que W t t est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration F t t, que N t t est un processus adapté à cette filtration et que, pour tout t > s, N t N s est indépendant de la tribu F s. La prise en compte des variables aléatoires U j 1 {j Nt } dans F t signifie qu à l instant t, les valeurs relatives des sauts ayant eu lieu avant t sont connues. Notons aussi que les τ j sont des temps d arrêt de F t t, puisque {τ j t} = {N t j} F t. L évolution de X t, prix de l actif risqué à l instant t peut maintenant être décrite de la façon suivante. Le processus X t t est un processus continu à droite adapté vérifiant : Sur les intervalles de temps [τ j, τ j+1 [ : A l instant τ j, le saut de X t est donné par : dx t = X t µdt + σdw t. X τj = X τj X τ j = X τ j U j, donc X τj = X τ j 1 + U j. On a donc, pour t [, τ 1 [ : X t = X e µ σ2 /2t+σW t, et par conséquent, la limite à gauche en τ 1 est donnée par : X τ1 = X e µ σ2 /2τ 1 +σw τ1 et Puis, pour t [τ 1, τ 2 [, X τ1 = X 1 + U 1 e µ σ2 /2τ 1 +σw τ1. On obtient ainsi de proche en proche que : avec la convention j=1 = 1. X t = X τ1 e µ σ2 /2t τ 1 +σw t W τ1 = X τ 1e µ σ2 /2t τ 1 +σw t W τ1 1 = X 1 + U 1 e µ σ2 /2t+σW t. N t X t = X 1 + U j e µ σ2 /2t+σW t, j=1

136 136 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Le processus X t t ainsi défini est évidemment continu à droite adapté et n a qu un nombre fini de discontinuités sur chaque intervalle [, t]. On peut démontrer qu il vérifie, pour tout t, P p.s. X t = X + N t X s µds + σdw s + j=1 X τ j U j 7.1 Nous verrons que, pour ce type de modèles, on ne peut pas, en général, couvrir parfaitement les options. Cette difficulté est liée au fait que pour T < +, il existe une infinité de probabilités équivalentes à P sur F T sous lesquelles le prix actualisé e rt X t t T est une martingale. Dans la suite, nous ferons l hypothèse que, sous P, le processus e rt X t t T est une martingale. C est une hypothèse contraignante, mais elle nous permettra de déterminer simplement des stratégies de couverture à risque minimal. L étude de la couverture des options, quand cette hypothèse n est pas vérifée, est délicate voir [Sch89]. Pour calculer EX t F s nous aurons besoin du lemme suivant, dont la signification intuitive est que les amplitudes relatives des sauts qui ont lieu après l instant s sont indépendantes de la tribu F s. Lemme 2.1 Pour tout s, les tribus σ U Ns+1, U Ns+2,, U Ns+k, et F s sont indépendantes. Démonstration : Comme les tribus W = σw s, s, N = σn s, s et U = σu i, i 1 sont indépendantes, il suffit de prouver que la tribu σ U Ns+1, U Ns+2,, U Ns+k, est indépendante de la tribu engendrée par les variables aléatoires N u, u s et U j 1 {j Ns }. Soit A un borélien de Rk, B un borélien de R d et C un événement de la tribu σn u, u s. On a, en utilisant l indépendance de U et N et le fait que les U j sont indépendantes et équidistribuées, P {U Ns+1,, U Ns+k A} C {U 1,, U d B} {d N s } = P {U p+1,, U p+k A} {U 1,, U d B} C {N s = p} = p=d P U p+1,, U p+k A P U 1,, U d B P C {N s = p} p=d = P U 1,, U k A P U 1,, U d B P C {N s = p}. p=d De cette égalité, on déduit en prenant C = Ω et B = R d que le vecteur U Ns+1,, U Ns+k a même loi que U 1,, U k, puis que P {U Ns+1,, U Ns+k A} C {U 1,, U d B} {d N s } = P U Ns+1,, U Ns+k A P C {U 1,, U d B} {d N s }. D où l indépendance annoncée. Supposons maintenant que E U 1 < + et posons X t = e rt X t. Alors : N t E X t F s = X s E e µ r σ2 /2t s+σw t W s 1 + U j F s = X s E = X s E j=n s+1 N t N s e µ r σ2 /2t s+σw t W s j=1 N t N s e µ r σ2 /2t s+σw t W s j=1 1 + U Ns+j Fs 1 + U Ns+j,

137 Ch.7 MODÈLES D ACTIFS AVEC SAUTS 137 en utilisant le lemme 2.1 et le fait que W t W s et N t N s sont indépendants de la tribu F s. D où : E X t F s = X s e µ rt s E N t j=n s+1 = X s e µ rt s e λt seu 1, en utilisant l exercice 39. Il est clair alors que X t est une martingale si et seulement si µ = r λeu U j Pour traiter les termes dus aux sauts dans les stratégies de couvertures, nous aurons encore besoin de deux lemmes, dont les démonstrations peuvent être sautées en première lecture. On notera ν la loi commune des variables aléatoires U j. Lemme 2.2 Soit Φy, z une fonction mesurable de R d R dans R, telle que pour tout réel z la fonction y Φy, z soit continue sur R d, et soit Y t t un processus continu à gauche, à valeur dans R d, adapté à la filtration F t t. On suppose que, pour tout t > : E Alors le processus M t défini par : j=1 est une martingale de carré intégrable et : est une martingale. ds νdzφ 2 Y s, z < +. N t M t = ΦY τj, U j λ ds νdzφy s, z, M 2 t λ ds νdzφ 2 Y s, z Noter que par convention j=1 = 1. Démonstration : On suppose d abord Φ bornée et on pose : C = On a alors N t j=1 ΦY τ j, U j CN t et et t, avec s < t, et posons : sup Φy, z. y,z R d R Ct. Donc M t est de carré intégrable. Fixons s o νdzφys, z Z = N t j=n s+1 ΦY τj, U j A une sudivision ρ = s = s < s 1 < < s m = t de l intervalle [s, t] associons : Z ρ = m 1 N si+1 i= j=n si +1 ΦY si, U j. La continuité à gauche de Y t t et la continuité de Φ par rapport à y impliquent que Z ρ converge presque sûrement vers Z quand le pas de la subdivision ρ tend vers. On a de plus Z ρ CN t N s, ce qui entraîne que la convergence a lieu aussi dans L 1 et même dans L 2.

138 138 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE On a : en posant : Z i+1 = EZ ρ F s = E N si+1 j=n si +1 m 1 i= ΦY si, U j = EZ i+1 F si F s N si+1 N si j=1 ΦY si, U Nsi +j. En utilisant le lemme 2.1 et le fait que Y si est F si -mesurable, et en appliquant la proposition 2.5 de l appendice, on voit que : EZ i+1 F si = Φ i Y si, où Φ i y est définie par : Φ i y = E N si+1 N si j=1 Φy, U Nsi +j. La quantité Φ i y est donc l espérance d une somme aléatoire et, d après l exercice 4 : Φ i y = λs i+1 s i dνzφy, z. En revenant à l équation 7.2, on a donc : m 1 EZ ρ F s = E Φ i Y si F s = E i= j=n s+1 m 1 i= En faisant tendre le pas de ρ vers, on obtient : N t E ΦY τj, U j F s = E λ λs i+1 s i s du dνzφy si, z F s. dνzφy u, z F s, ce qui prouve que M t est une martingale. Posons maintenant Z ρ = m 1 i= EZ i+1 F si. On peut écrire : On a de plus : Z ρ = m 1 i= i= m 1 Φ i Y si = m 1 i= λs i+1 s i dνzφy si, z. E Z ρ Z ρ 2 Fs m 1 2 = E Fs [Z i+1 EZ i+1 F si ] = E [Z i+1 EZ i+1 F si ] 2 Fs i= +2 i<j E Z i+1 EZ i+1 F si Z j+1 EZ j+1 F sj Fs. En conditionnant par rapport à F sj et en utilisant le fait que Z i+1 est F si+1 donc F sj -mesurable, on voit que la deuxième somme est nulle. D où : m 1 E Z ρ Z ρ 2 Fs = E Z i+1 EZ i+1 F si 2 Fs = E i= m 1 i= E [Z i+1 EZ i+1 F si ] 2 Fs Fsi. En utilisant de nouveau le lemme 2.1, on voit que : E [Z i+1 EZ i+1 F si 2 ] Fsi = VY si, 7.2

139 Ch.7 MODÈLES D ACTIFS AVEC SAUTS 139 où la fonction V est définie par : et, d après l exercice 4, Vy = Var N si+1 N si j=1 Φy, U Nsi +j Vy = λs i+1 s i dνzφ 2 y, z. On a donc : m 1 E Z ρ Z ρ 2 Fs = E λs i+1 s i dνzφ 2 Y si, z F s, i= d où, en faisant tendre le pas de la subdivision ρ vers : ] [ E [M t M s 2 F s = E λ s du Puisque M t t est une martingale de carré intégrable, on a : ] dνzφ 2 Y u, z F s. 7.3 ] E [M t M s 2 F s = E M 2 t + M2 s 2M tm s F s = E M 2 t M 2 s F s et l égalité 7.3 entraîne donc que M 2 t λ du dνzφ 2 Y u, z est une martingale. t Si on ne suppose plus Φ bornée, mais E ds dνzφ 2 Y s, z < +, pour tout t, on peut introduire les fonctions bornées Φ n définies par Φ n y, z = infn, sup n, Φy, z, et les martingales M n t t définies par : N t M n t = Φ n Y τj, U j λ ds νdzφ n Y s, z. j=1 t On voit facilement que E ds νdz Φ n Y s, z ΦY s, z 2 tend vers lorsque n tend vers l infini. Il en résulte que la suite M n t n 1 est une suite de Cauchy dans L 2 et comme M n t tend vers M t p.s., M t est de carré intégrable et par passage à la limite, le lemme est vérifié pour Φ. Lemme 2.3 On conserve les hypothèses et les notations du lemme 2.2. Soit A t t un processus adapté tel que E A2 s ds < + pour tout t. On pose L t = A sdw s et comme dans le lemme 2.2 : N t M t = ΦY τj, U j λ ds νdzφy s, z. j=1 Alors le produit L t M t est une martingale. Démonstration : Il suffit de démontrer le lemme pour Φ borné le cas général se traitant en approchant Φ par des Φ n = infn, sup n, Φ, comme dans la démonstration du lemme 2.2. Fixons s < t et notons ρ = s = s < s 1 < < s m = t une subdivision de l intervalle [s, t]. On a : E [L t M t L s M s F s ] = E [ m 1 i= Or, puisque L t t et M t t sont des martingales : ] E L si+1 M si+1 L si M si F si F s. E L si+1 M si+1 L si M si F si = E L si+1 L si M si+1 M si F si. D où : E L t M t L s M s F s = EΛ ρ F s.

140 14 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE avec : Mais, on a : m 1 Λ ρ = L si+1 L si M si+1 M si. i= Λ ρ sup i m 1 L si+1 L si m 1 i= M s i+1 M si sup i m 1 L si+1 L si Nt j=n ΦY s+1 τ j, U j + λ s du dνz ΦY s, z sup i m 1 Lsi+1 L si CN t N s + λct s, avec C = sup y,z Φy, z. En utilisant la continuité de t L t, on voit que Λ ρ tend presque sûrement vers quand le pas de la subdivision ρ tend vers. On a, de plus : Λ ρ 2 sup L u CN t N s + λct s. s u t La variable aléatoire sup s u t L u est dans L 2 par l inégalité de Doob, cf. chapitre 3, proposition 3.7, ainsi que N t N s. On en déduit que Λ ρ tend vers dans L 1 et par conséquent : E [L t M t L s M s F s ] =. 3 Evaluation et couverture des options 3.1 Les stratégies admissibles Nous reprenons le modèle introduit au début du paragraphe précédent, en supposant que les U i sont de carré intégrable et que µ = r λeu 1 = r λ zνdz, 7.4 ce qui entraîne que le processus X t t = e rt X t t est une martingale. Remarquons que et par conséquent, en utilisant l exercice 39, E N t Xt 2 σ2 = X 2 µ E e 2 t+σwt 1 + U j j=1 E X 2 t = X 2 e σ2 +2rt e λteu2 1. Le processus X t est donc une martingale de carré intégrable. t Pour toute la suite, nous fixons un horizon T fini. Une stratégie de gestion sera définie, comme dans le modèle de Black-Scholes, par un processus adapté φ = H t, H t t T, à valeurs dans R 2, représentant les quantités d actifs détenues au cours du temps, mais, pour tenir compte des sauts, nous imposerons aux processus H t et H t d être continus à gauche. Comme le processus X t est, lui, continu à droite, cela signifie, intuitivement, qu on ne peut réagir aux sauts qu après coup. Cette condition est à rapprocher de la condition de prévisibilité qui intervient dans les modèles discrets cf. chapitre 1 et qui est un peu plus délicate à définir en temps continu. 2

141 Ch.7 MODÈLES D ACTIFS AVEC SAUTS 141 La valeur à l instant t de la stratégie φ est donnée par V t = H te rt + H t X t et nous dirons que la stratégie est autofinancée si dv t = H t rert dt + H t dx t, la différentielle par rapport à X t signifiant, compte tenu de l équation 7.1 que dv t = H t rert dt + H t X t µdt + σdw t entre les instants de saut et qu à un instant de saut τ j, V t saute d une quantité V τj = H τj X τj = H τj U j X τ. De façon précise, la condition d autofinancement s écrit j : V t = H t ert + H t X t = V + j=1 H s rers ds + H s X s µds + σdw s N t + H τj U j X τ. 7.5 j Pour que cette équation ait un sens, il suffit d imposer la condition T H s ds + T H2 sds <, p.s. il est facile de voir que s X s est presque sûrement borné. En fait, pour des raisons qui apparaîtront plus loin, nous allons imposer une condition d intégrabilité plus forte sur le processus H t t T, en restreignant la classe des stratégies admissibles de la façon suivante : Définition 3.1 Une stratégie admissible est définie par un processus : φ = H t, H t t T adapté, continu à gauche à valeurs dans R 2 tel que T H s ds < + P p.s. et E T H2 s X2 s ds < +, vérifiant l égalité 7.5 p.s., pour tout t [, T]. Noter que nous n imposons pas de condition de positivité sur la valeur des stratégies admissibles. La proposition suivante est l analogue de la proposition 1.2 du chapitre 4. Proposition 3.2 Soit H t t T un processus continu à gauche adapté tel que : T E H 2 s X2 s ds <, et soit V R. Il existe un et un seul processus H t t T tel que le couple H t, H t t T définisse une stratégie admissible de valeur initiale V. La valeur actualisée à l instant t de cette stratégie est donnée par Ṽ t = V + N t H s X s σdw s + H τj U j X τ j j=1 λ dsh s X s νdzz. Démonstration : Si le couple H t, H t t T définit une stratégie admissible, sa valeur à l instant t est donnée par V t = Y t + Z t, avec Y t = V + H sre rs ds + H sx s µds + σdw s et Z t = N t j=1 H τ j U j X τ. On a donc, en différenciant le produit e rt Y j t, e rt V t = V + re rs Y s ds + e rs dy s + e rt Z t. 7.6

142 142 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE De plus, le produit e rt Z t peut s écrire sous la forme suivante : e rt Z t = = = = = N t j=1 N t j=1 N t j=1 N t + j=1 N t j=1 N t j=1 e rt H τj U j X τ j e rτ j + e rτ j H τj U j X τ j τ j re rs ds H τj U j X τ j ds1 {τj s} re rs H τj U j X τ j e rτ j H τj U j X τ j e rτ j H τj U j X τ j + + N s ds re rs H τj U j X τ j j=1 re rs Z s ds. En reportant dans 7.6 et en explicitant dy s, on obtient : Ṽ t = V + N t + = V j=1 N t + = V + re rs V s ds + H τj U j Xτ j j=1 N t + j=1 H srds + r H s + H s Xs ds + H srds + H τj U j X τ j H s X s µ rds + σdw s H τj U j X τ j, ce qui, compte tenu de l égalité 7.4, donne Ṽ t = V + N t H s X s σdw s + H τj U j X τ j j=1 λ H s X s µds + σdw s H s Xs µds + σdw s dsh s X s νdzz. Il est clair alors que si on se donne V et H t, l unique processus H t possible pour que H t, H t t T soit une stratégie admissible de valeur initiale V est donné par : H t = Ṽ t H t X t = H t X t + V + N t H s X s σdw s + j=1 H τj U j X τ j λ dsh s X s νdzz.

143 Ch.7 MODÈLES D ACTIFS AVEC SAUTS 143 Sur cette formule, on voit que le processus H t est adapté et admet une limite à gauche en tout point et que l on a H t = H t. C est clair en effet si t n est pas un des instants de saut τ j et si t est un des τ j, on a H τ j H τ = H τj X τj + H τj U j Xτ =. j j Il est clair aussi que T H t dt < presque sûrement. De plus, en écrivant H t ert + H t X t = e rt H t + H t X t et en intégrant par parties comme ci-dessus on voit que H t, H t t T définit une stratégie admissible de valeur initiale V. Remarque 3.3 La condition E T H2 s X 2 sds < entraîne que la valeur actualisée Ṽ t d une stratégie admissible est une martingale de carré intégrable. Cela résulte de l expression obtenue dans la proposition 3.2 et du lemme 2.2, appliqué avec le processus continu à gauche défini par Y t = H t, X t noter que dans l intégrale par rapport à ds, on peut remplacer X s par X s car il n y a qu un nombre fini de discontinuités. 3.2 Pricing Considérons une option européenne d échéance T, définie par une variable aléatoire h F T - mesurable et de carré intégrable. Prenons, pour fixer les idées, le point de vue du vendeur de l option. Il vend l option à un prix V à l instant et suit ensuite une stratégie admissible entre les instants et T. D après la proposition 3.2, cette stratégie est complètement déterminée par le processus H t t T des quantités d actif à risque. Si V t désigne la valeur de cette stratégie à l instant t, le défaut de couverture à l échéance est donné par la quantité h V T. Si cette quantité est positive, le vendeur perd de l argent, sinon il en gagne. Une façon d évaluer le risque consiste à introduire la quantité : R T = E e rt h V T 2. Puisque, d après la remarque 3.3, la valeur actualisée Ṽ t est une martingale, on a E e rt V T = V. Appliquant l identité EZ 2 = EZ 2 + E [Z EZ] 2 à la variable aléatoire Z = e rt h V T, on obtient : R T = Ee rt h V 2 + E e rt h Ee rt h Ṽ T V La proposition 3.2 montre que la quantité Ṽ T V ne dépend que de H t et pas de V. Si le vendeur cherche à minimiser le risque R T, il est amené à faire payer V = Ee rt h. La grandeur Ee rt h apparaît ainsi comme la valeur initiale de toute stratégie visant à minimiser le risque à l échéance et c est cette grandeur que nous prendrons comme définition du prix de l option associée à h. Par un raisonnement analogue, on voit que si on se place à un instant t >, un agent qui vend l option à l instant t, s il cherche à minimiser la quantité R T t = e E rt t h V T 2 Ft, la vendra au prix V t = E e rt t h F t. C est cette quantité que nous prendrons comme définition du prix de l option à l instant t. 3.3 Prix des calls et des puts Avant d aborder le problème de la couverture, nous allons tenter d expliciter le prix d un call ou d un put de prix d exercice K. Nous supposerons donc que h est de la forme fx T, avec

144 144 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE fx = x K + ou fx = K x +. D après ce qui précède, le prix de l option à l instant t est donné par : E e rt t fx T F t = = E e rt t f X t e µ σ2 /2T t+σw T W t N T j=n 1 + U t+1 j Ft = E e rt t f X t e µ σ2 /2T t+σw T W t N T N t j=1 1 + U Nt+j Ft. Du lemme 2.1 et de cette égalité, on déduit que E e rt t fx T F t = Ft, Xt, avec Ft, x = E e rt t f xe µ σ2 /2T t+σw T t NT t j=1 1 + U j = E e rt t f xe r λeu 1 σ 2 /2T t+σw T t NT t j=1 1 + U j. Notons que si l on introduit la fonction : F t, x = E e rt t f xe r σ2 /2T t+σw T t, qui donne le prix de l option suivant le modèle de Black-Scholes, on a : N T t Ft, x = E F t, xe λt teu U j. 7.8 Puisque N T t est une variable aléatoire indépendante des U j et de loi poissonienne de paramètre λt t on peut aussi écrire : Ft, x = E F t, xe λt teu 1 n= j=1 n 1 + U j e λt t λ n T t n. n! Chaque terme de cette série peut se calculer numériquement dès que l on sait simuler la loi des U j. Pour certaines lois, l espérance mathématique qui intervient dans la formule peut être calculée explicitement cf. exercice 42. j=1 3.4 Couverture des calls et des puts Examinons maintenant le problème de la couverture d une option h = fx T, avec fx = x K + ou fx = K x +. Nous avons vu que la valeur initiale de toute stratégie admissible visant à minimiser le risque R T à l échéance était donnée par V = Ee rt h = F, X. Pour une telle stratégie, l égalité 7.7 donne : R T = E e rt h Ṽ T 2. Nous allons maintenant déterminer un processus H t t T des quantités d actif à risque détenues en portefeuille permettant de minimiser R T. Pour cela, nous nous appuierons sur la proposition suivante.

145 Ch.7 MODÈLES D ACTIFS AVEC SAUTS 145 Proposition 3.4 Soit V t la valeur à l instant t d une stratégie admissible de valeur initiale V = E e rt fx T = F, X, déterminée par un processus H t t T des quantités d actif à risque. Le risque quadratique à l échéance R T = E e rt fx T V T 2 est donné par la formule suivante : R T T = E F s, X 2 x s H s X 2 sσ 2 ds + T λ νdze 2rs Fs, X s 1 + z Fs, X s H s zx s 2 ds. Démonstration : D après la proposition 3.2, on a, pour t T, Ṽ t = F, X + N t σh s X s dw s + H τj U j X τj λ j=1 ds X s H s EU On a, d autre part, h = e rt fx T = e rt FT, X T. Introduisons la fonction F définie par Ft, x = e rt Ft, xe rt, de sorte que Ft, X t = E h F t. La quantité Ft, X t apparaît ainsi comme le prix actualisé de l option à l instant t. On déduit facilement exercice de la formule 7.8 que Ft, x est de classe C 2 sur [, T[ R + et, en écrivant la formule d Itô entre les instants de sauts, on obtient : Ft, X t = F, X F t s s, X s ds + 2 F x 2 s, X s σ 2 X 2 sds + F x s, X s X s λeu 1 ds + σdw s Fτ j, X τj Fτ j, X τ. 7.1 j N t Remarquons que la fonction Ft, x est lipschitzienne de rapport 1 par rapport à x, puisque : Il en résulte que : j=1 Ft, x Ft, y E e rt t f xe r λeu 1 σ 2 /2T t+σw T t NT t j=1 1 + U j f ye r λeu 1 σ 2 /2T t+σw T t NT t j=1 1 + U j x y E e λeu1t t e σw T t σ 2 /2T t N T t j=1 1 + U j = x y. E ds νdz Fs, X s 1 + z Fs, X s 2 E ds X 2 s νdzz 2 < +, ce qui, d après le lemme 2.2, implique que le processus : M t = N t j=1 Fτ j, X τj Fτ j, X τj λ ds Fs, X s 1 + z Fs, X s dνz

146 146 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE est une martingale de carré intégrable. On sait aussi que Ft, X t est une martingale. Le processus Ft, X t M t est donc aussi une martingale et, d après l égalité 7.1, c est un processus d Itô. Il s écrit donc, d après l exercice 16 du chapitre 3, comme une intégrale stochastique. D où : F Ft, X t M t = F, X + x s, X s X s σdw s En réunissant les égalités 7.9 et 7.11, on obtient : avec : M 1 t = et M 2 t = h Ṽ T = M 1 T + M 2 T, F x s, X s H s σ X s dw s N t Fτ j, X τj Fτ j, X τj H τj U j X τj j=1 λ ds dνz Fs, X s 1 + z Fs, X s H s z X s. D après le lemme 2.3, M 1 t M 2 t est une martingale et par conséquent E M 1 t M 2 t = M 1 M2 =. D où : E 1 h Ṽ T = EM T 2 + EM 2 T 2 T = E F s, 2 X x s H s X 2 s σ2 ds + EM 2 T 2, et par une nouvelle application du lemme 2.2 : T EM 2 T 2 = E λ ds νdz Fs, 2 X s 1 + z Fs, X s H s z X s. Le risque à l échéance est donc donné par : R T T = E F s, 2 X x s H s X 2 sσ 2 ds + T λ νdz Fs, 2 X s 1 + z Fs, X s H s z X s ds. Il résulte de ce qui précède que le risque minimal est obtenu quand H s vérifie P p.s. : F x s, X s H s X 2 sσ 2 +λ νdz Fs, X s 1 + z Fs, X s H s z X s z X s =. Il suffit en effet de minimiser la quantité intégrée par rapport à ds. Cela donne, puisque H t t doit être continu à gauche : H s = s, X s, avec : 1 s, x = σ 2 + λ σ 2 F Fs, x1 + z Fs, x s, x + λ νdzz. νdzz 2 x x

147 Ch.7 MODÈLES D ACTIFS AVEC SAUTS 147 On obtient ainsi un processus qui vérifie E T H2 X s 2 s ds < + et qui détermine donc une stratégie admissible minimisant le risque à l échéance. Noter que s il n y a pas de sauts λ =, on retrouve la formule de couverture déjà obtenue dans le modèle de Black-Scholes et on sait que dans ce cas, la couverture est parfaite, c est-à-dire que R T =. Mais, quand il y a des sauts, le risque minimal est en général strictement positif cf. exercice 43 et [Cha9]. Remarque 3.5 Les formules obtenues montrent que les modèles avec sauts se prêtent assez bien au calcul. Il reste le problème de l identification des paramètres et de la loi des U i. Comme dans le cas de la volatilité pour le modèle de Black-Scholes, deux approches sont possibles : 1 une approche statistique, à partir des données historiques 2 une approche implicite, à partir des données de marché, c est-à-dire des prix des options quand elles sont cotées sur un marché organisé. Dans cette deuxième approche, les modèles avec sauts, qui font intervenir plusieurs paramètres, permettent de coller davantage aux prix de marché. Remarque bibliographique :Les modèles financiers avec sauts ont été introduits par Merton dans [Mer76]. L approche adoptée dans ce chapitre est basée sur [FS86], [CER88] et [BL89]. La méthode d évaluation que nous avons presentée dans ce chapitre repose de manière cruciale sur l hypothèse que le prix actualisé de l actif sous-jacent est une martingale. Cette hypothèse a un caractère assez arbitraire, même si certaines justifications sont possibles. De plus, l utilisation de la variance comme mesure du risque est discutable. Ces problèmes ont donné lieu à d actives recherches dans les années récentes. Le lecteur pourra notamment consulter [FS91, Sch92, Sch94, Sch95, KQ95]. 4 Exercices Exercice 39 Soit V n n 1 une suite de variables aléatoires positives indépendantes équidistribuées et soit N une variable aléatoire à valeur dans N, suivant une loi de Poisson de paramètre λ, indépendante de la suite V n n 1. Montrer que : N E n=1 V n = e λev 1 1. Exercice 4 Soit V n n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes, équidistribuées, intégrables et soit N une variable aléatoire à valeurs dans N, intégrable et indépendante de la suite V n. On pose S = N n=1 V n avec la convention n=1 =. 1. Montrer que S est intégrable et que ES = ENEV On suppose N et V 1 de carré intégrable. Montrer qu alors S est de carré intégrable et que sa variance est donnée par VarS = ENVarV 1 + VarN EV En déduire que si N suit une loi de Poisson de paramètre λ, ES = λev 1 et VarS = λe V 2 1. Exercice 41 Les hypothèses et les notations sont celles de l exercice 4. On suppose que les V j sont à valeurs dans {α, β}, avec α, β R et on pose p = PV 1 = α = 1 PV 1 = β. Montrer que S a même loi que αn 1 + βn 2 où N 1 et N 2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λp et 1 pλ.

148 148 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Exercice On suppose, avec les notations du paragraphe 3, que U 1 est à valeurs dans {a, b}, avec p = PU 1 = a = 1 PU 1 = b. Mettre la formule de prix 7.8 sous la forme d une série double dont chaque terme se calcule à partir des formules de Black- Scholes on pourra utiliser l exercice On suppose maintenant que U 1 a même loi que e g 1, où g est une gaussienne de moyenne m et de variance σ 2. Mettre la formule de prix 7.8 sous la forme d une série dont chaque terme se calcule à partir des formules de Black-Scholes avec des taux d intérêt et des volatilités que l on précisera. Exercice 43 Le but de cet exercice est de montrer que, dans les modèles avec sauts étudiés dans ce chapitre, il n y a pas de couverture parfaite pour les calls et les puts. On considère un modèle dans lequel σ >, λ > et P U 1 >. 1. A partir de la proposition 3.4, montrer que, s il existe une stratégie de couverture parfaite, alors, pour ds presque tout s et pour ν presque tout z, on a : P p.s. zx s F x s, X s = F s, X s 1 + z Fs, X s. 2. Montrer que la loi de X s admet pour s > une densité strictement positive sur ], [. On pourra remarquer que si Y admet une densité g et si Z est une variable aléatoire indépendante de Y à valeurs dans ], [, la variable aléatoire YZ admet pour densité dµz1/zgy/z, où µ est la loi de Z. 3. Sous les mêmes hypothèses qu à la première question, montrer qu il existe z tel que pour s [, T[ et x ], [, F F s, x1 + z Fs, x s, x =. x zx En déduire en utilisant la convexité de F par rapport à x que, pour s [, T], la fonction x Fs, x est affine. 4. Conclure. On pourra remarquer que, dans le cas du put, la fonction x Fs, x est positive et décroissante sur ], [.

149 Chapitre 8 Simulation et alogrithmes pour les modèles financiers 1 Simulation et modèles financiers Nous allons décrire, dans ce chapitre, des méthodes permettant la simulation des modèles financiers. Ces méthodes sont souvent utiles, dans le contexte des mathématiques financières, car elles permettent de calculer le prix de n importe quelle option pour peu que l on sache l exprimer sous forme de l espérance d une variable aléatoire que l on sait simuler. Dans ce cas, la méthode de Monte Carlo décrite plus loin permet alors d écrire très rapidemment un algorithme permettant l évaluation de cette option. Ces méthodes sont malheureusement peu efficaces et on ne les utilise que si l on ne sait expliciter le prix de l option sous forme analytique. De même, quand on se pose des questions complexes sur une stratégie de gestion de portefeuille par exemple, quelle sera la loi dans un mois d un portefeuille couvert tous les 1 jours en delta neutre, la réponse exacte est inaccessible analytiquement. Les méthodes de simulation sont alors incontournables. 1.1 La méthode de Monte Carlo Le problème de la simulation se pose de la fa con suivante. On se donne une variable aléatoire de loi µdx et l on cherche à réaliser sur un ordinateur une suite de tirages X 1,..., X n,... à priori infinie telle que les X n suivent la loi µdx et que la suite X n n 1 soit une suite de variables aéatoires indépendantes. Si ces hypothèses sont satisfaites, on peut appliquer la loi forte des grands nombres pour affirmer que, si f est une fonction µ-intégrable : lim N + 1 N 1 n N fx n = fxµdx. 8.1 Pour implémenter cette méthode sur un ordinateur, on procède de la fa con suivante. On suppose que l on sait construire une suite de nombres U n n 1 qui réalise une suite de variables aléatoires uniformes sur l intervalle [, 1], indépendantes, et on cherche une fonction u 1,..., u p Fu 1,, u p telle que la loi de la variable aléatoire FU 1,, U p soit la loi cherchée µdx. La suite de variables aléatoires X n n 1 où X n = FU n 1p+1,, U np est alors une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi voulue µ. On peut, par exemple, appliquer 8.1, aux fonctions fx = x et fx = x 2 pour estimer les moments d ordre 1 et 2 de X sous réserve que E X 2 soit fini. La suite U n n 1 est réalisée concrétement par des appels successifs à un générateur de nombres pseudo-aléatoires. La plupart des langages disponibles sur les ordinateurs modernes possédent une fonction aléatoire, déja programmée, qui retourne soit un nombre pseudo aléatoire compris entre et 1, soit un entier aléatoire dans un intervalle fixé cette fonction porte le nom de rand en C ANSI, de random en Turbo Pascal. Remarque 1.1 La fonction F peut dans certain cas en particulier lorsque l on cherche à simuler des temps d arrêt, dépendre de toute la suite U n n 1, et non plus d un nombre fixe de U i. La méthode précédente est encore utilisable si l on sait simuler X à l aide d un nombre presque sûrement fini de U i, ce nombre pouvant dépendre du hasard. C est le cas, par exemple, de l algorithme de simulation d une variable aléatoire poissonienne voir page 151.

150 15 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 1.2 Simulation d une loi uniforme sur [, 1] Nous allons montrer comment l on peut construire des générateurs de nombres aléatoires au cas où les générateurs de la machine ne donneraient pas entière satisfaction. La méthode la plus simple et la plus souvent utilisée est la méthode des congruences linéaires. On génére une suite x n n de nombres entiers compris entre et m 1 de la fa con suivante : { x = valeur initiale {, 1,, m 1} x n+1 = ax n + b modulo m a, b, m étant des entiers qu il faut choisir soigneusement si l on veut que les caractéristiques statistiques de la suite soient satisfaisantes. Sedgewick dans [Sed87] préconise le choix suivant : a = b = 1 m = 1 8 Cette méthode permet de simuler des entiers pseudo aléatoires entre et m 1 ; pour obtenir un nombre réel aléatoire entre et 1 on divise l entier aléatoire ainsi généré par m. #define m 1 #define m1 1 #define b long Multlong p, long q /* Multiplie p par q en evitant les "overflows" */ { long p1 = p / m1; long p = p % m1; long q1 = q / m1; long q = q % m1; return p*q1 + p1*q % m1*m1 + p*q % m; } double Random { static long a; a = Multa, b + 1 % m; Random = a/m; } Le générateur précédent fournit des résultats acceptables dans les cas courants. Cependant sa période ici m = 1 8 peut se révéler parfois insuffisante. On peut, alors, obtenir des générateurs de nombres aléatoires de période arbitrairement longue en augmentant m. Le lecteur intéressé trouvera des nombreux renseignements sur les générateurs de nombres aléatoires et la fa con de les programmer sur un ordinateur dans [Knu81] et [L E9]. 1.3 Simulation des variables aléatoires Les lois que nous avons utilisées pour les modélisations financières sont essentiellement des lois gaussiennes dans le cas des modèles continus et des lois exponentielles et poissoniennes dans le cas des modèles avec sauts. Nous allons donner des méthodes permettant de simuler chacune de ces lois.

151 Ch.8 SIMULATION ET ALOGRITHMES POUR LES MODÈLES FINANCIERS 151 Simulation de variables gaussiennes Une méthode classique pour simuler les variables alétoires gaussiennes repose sur la constatation voir exercice 44 que, si U 1, U 2 sont deux variables aléatoires uniformes sur [, 1] indépendantes : 2 logu 1 cos2πu 2 suit une loi gaussienne centrée et réduite i.e. de moyenne nulle et de variance 1. Pour simuler des gaussiennes de moyenne m et de variance σ il suffit de poser X = m+σg, où g est une gaussienne centrée réduite. double gaussiennedouble m,double sigma { returm m + sigma * sqrt-2. * lograndom * cos2. * pi * Random; } Simulation d une loi exponentielle Rappellons qu une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre µ si sa loi vaut : 1 {x } µe µx dx On peut simuler X en constatant que, si U suit une loi uniforme sur [, 1] : logu µ suit une loi exponentielle de paramètre µ. double exponentielledouble mu { return - lograndom / mu ; } Remarque 1.2 Ce moyen de simulation de la loi exponentielle est une cas particulier de la méthode de la fonction de répartition voir à ce sujet l exercice 45. Simulation d une variable aléatoire poissonienne Une variable aléatoire poissonienne est une variable à valeurs dans N telle que : λ λn PX = n = e n!, si n On a vu au chapitre 7 que si T i i 1 est une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre λ, alors la loi de N t = n 1 n1 {T T n t < T T n+1 } est un loi de Poisson de paramètre λt. N 1 a donc même loi que la variable X que l on cherche à simuler. D autre part, on peut toujours mettre les variables exponentielles T i sous la forme logu i /λ, où les U i i 1 sont des variables aléatoires suivant la loi uniforme sur [, 1] et indépendantes. N 1 s écrit alors : N 1 = n 1 n1 { U 1 U 2 U n+1 e λ < U 1 U 2 U n }. Cela conduit à l algorithme suivant pour simuler une variable aléatoire de Poisson.

152 152 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE double Poissondouble lambda { double u = Random; double a = exp-lambda; int n = ; } whileu > a{ u = u * Random; n++; } return n; Pour la simulation d autres lois que nous n avons pas citées, ou pour d autres méthodes de simulation des lois précédentes, on pourra consulter [Bou86]. Simulation de vecteurs gaussiens Lorsque l on construit des modèles où interviennent plusieurs actifs par exemple lorsque l on cherche à modéliser des paniers d actifs comme l indice boursier CAC4, on est amené à considérer des processus gaussiens à valeurs dans R n. Le problème de la simulation des vecteurs gaussiens voir le paragraphe 1.2 de l appendice pour la définition d un vecteur gaussien est alors essentiel. Nous allons donner une méthode de simulation de ce type de variables aléatoires. Nous supposerons que l on cherche à simuler un vecteur gaussien X 1,, X n dont la loi est caractérisée par le vecteur des moyennes m = m 1,, m n = EX 1,, EX n et la matrice de covariance Γ = σ ij 1 i n,1 j n où σ ij = EX i X j EX i EX j. La matrice Γ est définie positive et nous supposerons, de plus, qu elle est inversible. On peut trouver une racine carrée de Γ, c est à dire une matrice A, telle que A t A = Γ. Comme Γ est inversible, A l est également, et on peut considérer le vecteur Z = A 1 X m. Il est facile de vérifier que ce vecteur est un vecteur gaussien, centré. De plus sa matrice de covariance vaut : EZ i Z j = 1 k n,1 l n E A 1 ik X k m k A 1 jl X l m l = 1 k n,1 l n E A 1 ik A 1 jl σ kl = A 1 Γ t A 1 ij = A 1 A t A t A 1 ij = Id. Z est donc un vecteur gaussien centré de matrice de covariance identité. La loi du vecteur Z est celle de n gaussiennes centrées réduites indépendantes. La loi du vecteur X = m + AZ, peut donc être simulée de la fa con suivante : On calcule une racine carrée de la matrice Γ, A. On simule n gaussiennes centrées réduites indépendantes G = g 1,, g n. On calcule m + AG. Remarque 1.3 Pour calculer la racine carrée de Γ, on peut supposer A triangulaire supérieure, il y a alors une seule solution à l équation A t A = Γ. En explicitant cette équation, on obtient facilement les coefficients de A. Cette méthode de calcul de la racine carrée s appelle la méthode de Cholevsky pour un alogrithme complet voir [Cia88]. 1.4 Simulation de processus stochastiques Les méthodes décrites précédemment permettent de simuler une variable aléatoire, en particulier la valeur d un processus stochastique à un instant donné. On a parfois besoin de savoir simuler toute la trajectoire d un processus par exemple, lorsque on étudie l évolution au cours

153 Ch.8 SIMULATION ET ALOGRITHMES POUR LES MODÈLES FINANCIERS 153 du temps de la valeur d un portefeuille d option, voir l exercice 47. Ce paragraphe propose quelques procédés élementaires permettant de simuler des trajectoires de processus. Simulation du mouvement brownien On peut citer deux méthodes permettant de simuler un mouvement brownien W t t. La première consiste à renormaliser une marche aléatoire. Soit X i i une suite de variables aléatoires indépendantes et équidistribuées de loi P X i = 1 = 1/2, P X i = 1 = 1/2. On a alors E X i = et E X 2 i = 1. On pose Sn = X X n, on peut alors approximer le mouvement brownien par le processus X n t t où : X n t = 1 n S [nt] où [x] désigne la partie entière de x. On trouvera un début de justification à cette fa con de simuler le mouvement brownien dans l exercice 48. Dans la deuxième méthode, on remarque que, si g i i est une suite de gaussiennes centrées réduites indépendantes, si t > et si l on pose : { S = S n+1 S n = g n alors la loi de ts, ts 1,, ts n est identique à celle de : W, W t, W 2 t,, W n t. On peut approximer le mouvement brownien par X n t = ts [t/ t]. Simulation des équations différentielles stochastiques Il existe de nombreuses méthodes, certaines très sophistiquées, pour simuler la solution d un équation différentielle stochastique, on pourra consulter, pour un panorama de ces méthodes [PT85]. Nous ne parlerons ici que de la méthode la plus élémentaire : la méthode d Euler aléatoire. Le principe en est le suivant : considérons une équation différentielle stochastique : { X = x dx t = bx t dt + σx t dw t. On se fixe un pas de discrétisation en temps t. On peut alors construire un procesus à temps discrêt S n n approximant la solution de l équation différentielle stochastique aux instant n t, en posant : { S = x S n+1 S n = {bs n t + σs n } W n+1 t W n t Si X n t = S [t/ t], X n t t approxime X t t au sens suivant : Théorème 1.4 Pour tout T > : E sup X n t X t 2 C T t, t T C T étant une constante dépendant uniquement de T.

154 154 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE On trouvera la démonstration de ce résultat ainsi que d autres schémas de discrétisation des équations différentielles stochastiques dans le chapitre 7 de [Gar88]. La loi de de la famille W n+1 t W n t est identique à celle d une famille de n gaussiennes indépendantes centrées et de variance t. Dans une simulation, on remplace Wn+1 t W n t par gn t, où gn n est une suite de gaussiennes centrées réduites indépendantes. La suite approximante S n n est dans ce cas définie par : { S = x S n+1 = S n + t bs n + σs n g n t Remarque 1.5 On peut substituer à la suite de variables aléatoires gaussiennes indépendantes g i i une suite de variables aléatoires indépendantes U i i, telle que PU i = 1 = PU i = 1 = 1/2. Il faut, cependant, noter que, dans ce cas, on n a pas le même type de convergence que dans le théorème 1.4. On peut démontrer un théorème de convergence, mais sur les lois des processus. On pourra consulter [Kus77], [PT85], [Tal95] et [KP92] pour des précisions sur ce type de convergence et de nombreux résultats sur les discrétisations en loi des équations différentielles stochastiques. Une application au modèle de Black et Scholes Dans le cas du modèle de Black et Scholes, il s agit de simuler la solution de l équation : { X = x dx t = X t rdt + σdw t. On peut procéder de deux fa cons. La première consiste à utiliser la méthode d Euler aléatoire. On pose : { S = x S n+1 = S n 1 + r t + σg n t, et à simuler X t par X n t solution : = S [t/ t]. L autre méthode consiste à utiliser la forme explicite de la X t = x exp rt σ2 2 t + σw t et à simuler le mouvement brownien par une des méthodes citées précédemment. Dans le cas où l on simule le mouvement brownien par t n i=1 g i, on obtient S n = x exp r σ 2 /2n t + σ t On approxime toujours X t par X n t = S [t/ t]. n i=1 g i. 8.2 Remarque 1.6 On peut aussi substituer aux variables aléatoires gaussiennes g i des variables de Bernouilli valant +1 ou 1 avec probabilité 1/2 dans 8.2, on obtient un modèle de type binomial proche du modèle de Cox Ross Rubinstein utilisé dans le paragraphe 3.3 du chapitre 5.

155 Ch.8 SIMULATION ET ALOGRITHMES POUR LES MODÈLES FINANCIERS 155 Simulation des modèles avec sauts On a considéré au chapitre 7 une extension du modèle de Black et Scholes comportant des sauts, nous allons décrire une méthode permettant de simuler ce processus. On reprend les notations et les hypothèses du chapitre 7 paragraphe 2. Le processus X t t servant de modèle d actif s écrit : N t X t = x 1 + U j e µ σ2 /2t+σW t, 8.3 j=1 où W t t est un mouvement brownien standard, N t t est un processus de Poisson d intensité λ, et U j j 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes équidistribuées, à valeurs dans ] 1, + [ de loi µdx. Les tribus engendrées par W t t, N t t, U j j 1 sont supposées indépendantes. Pour simuler ce processus aux instants n t, notons que l on a : X n t = x X t /x X 2 t /X t... X n t /X n 1 t. Si l on note Y k = X k t /X k 1 t, on peut prouver, à l aide des propriétés de N t t, W t t et U j j 1 que la suite des Y k k 1 forme une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. Comme X n t = xy 1... Y n, la simulation de X aux instants n t se ramène à celle de la suite Y k k 1. Cette suite étant indépendante équidistribuée, il suffit de savoir simuler Y 1 = X t /x. On procède, alors, comme suit : On simule une variable aléatoire gaussienne centrée réduite g. On simule une variable aléatoire poissonienne de paramètre λ t : N. Si N = n, on simule n variables aléatoires selon la loi µdx : U 1,..., U n. Toutes ces variables sont supposées indépendantes. Alors, il est facile de se convaincre en utilisant l équation 8.3 que la loi de : est identique à celle de Y 1. N 1 + U j e µ σ2 /2 t+σ tg j=1 2 Quelques algorithmes utiles Nous avons rassemblé ici quelques algorithmes d usage courant lorsque l on cherche à calculer des prix d options. 2.1 Approximation de la fonction de répartition d une gaussienne On a vu au chapitre 4 que le calcul du prix des nombreuses options classiques se ramène à l évaluation de : x Nx = PX x = e x2 dx 2. 2π où X est une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. Vu l importance de cette fonction pour les cacluls d option, nous en donnons deux formules d approximation tirées de [AS7].

156 156 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE La première approximation est précise à 1 7 près, mais elle utilise un appel à la fonction exponentielle. Si x > : p = b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = b 5 = t = 1/1 + px Nx 1 1 2π e x2 2 b1 t + b 2 t 2 + b 3 t 3 + b 4 t 4 + b 5 t 5. La deuxième approximation est précise à 1 3 près mais elle ne fait intervenir qu une fraction rationnelle. Si x > : c 1 = c 2 = c 3 =.344 c 4 = Nx c 1x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x Implémentation informatique de la méthode de Brennan et Schwartz Le programme suivant implémente le calcul du prix d un put américain en utilisant la méthode décrite au chapitre 5 paragraphe 3.2. On effectue un changement de variable logarithmique, on discrétise l inéquation parabolique par une méthode totalement implicite et l on résout l inéquation en dimension infinie à l aide de l agorithme décrit page 112. #include <math.h> #include <stdio.h> #define NbrePasPrix 2 #define NbrePasTemps 2 #define Precision.1 #define NbreDeJoursDansAnnee 36 typedef long Date; typedef double Montant; typedef struct PutAmericain { Date DateContrat; /* en jours */ Date DateEcheance; /* en jours */ Montant PrixExercice; } PutAmericain; typedef double vecteur[nbrepasprix]; typedef struct Modele { double r; /* taux d interet annuel sans risque */ double sigma; /* volatilite annuelle */ double x; /* Valeur initiale de l EDS */ } Modele; double ObstaclePutdouble x, PutAmericain Opt { double u = Opt.PrixExercice - expx; if u > return u; else return.; } double Prixlong t, double x, PutAmericain option, Modele modele /* Calcule le prix de l "option" dans le "modele" a l instant "t" si le prix du sous jacent a cet instant est "x". */

157 Ch.8 SIMULATION ET ALOGRITHMES POUR LES MODÈLES FINANCIERS 157 { } vecteur Obst, A, B, C, G; double alpha, beta, gamma, h, k, vv, temp, r, y, delta, Temps; long Indice, IndicePrix, IndiceTemps; double l = 2.;/* largeur de l intervalle a considerer */ Temps = doubleoption.dateecheance - t / NbreDeJoursDansAnnee; k = Temps / NbrePasTemps; r = modele.r; vv = modele.sigma * modele.sigma; h = 2 * l / NbrePasPrix; alpha = k * r - vv / 2. / 2. * h - vv / 2. * h * h; beta = 1 + k * r + vv / h * h; gamma = k * vv / 2. - r / 2. * h - vv / 2. * h * h; for IndicePrix = ; IndicePrix < NbrePasPrix; IndicePrix++ { A[IndicePrix] = alpha; B[IndicePrix] = beta; C[IndicePrix] = gamma; } B[] = beta + alpha; B[NbrePasPrix - 1] = beta + gamma; G[IndicePrix - 1] =.; for IndicePrix = NbrePasPrix - 1; IndicePrix >= 1; IndicePrix-- B[IndicePrix - 1] -= C[IndicePrix - 1] * A[IndicePrix] / B[IndicePrix]; for IndicePrix = ; IndicePrix < NbrePasPrix; IndicePrix++ A[IndicePrix] /= B[IndicePrix]; for IndicePrix = 1; IndicePrix < NbrePasPrix; IndicePrix++ C[IndicePrix - 1] /= B[IndicePrix]; y = logx; for IndicePrix = 1; IndicePrix <= NbrePasPrix; IndicePrix++ Obst[IndicePrix - 1] = ObstaclePuty - l + IndicePrix * h, option; for IndicePrix = ; IndicePrix < NbrePasPrix; IndicePrix++ G[IndicePrix] = Obst[IndicePrix]; for IndiceTemps = 1; IndiceTemps <= NbrePasTemps; IndiceTemps++ { for IndicePrix = NbrePasPrix - 1; IndicePrix >= 1; IndicePrix-- G[IndicePrix - 1] -= C[IndicePrix - 1] * G[IndicePrix]; G[] /= B[]; for IndicePrix = 2; IndicePrix <= NbrePasPrix; IndicePrix++ { G[IndicePrix - 1] = G[IndicePrix - 1] / B[IndicePrix - 1] - A[IndicePrix - 1] * G[IndicePrix - 2]; temp = Obst[IndicePrix - 1]; if G[IndicePrix - 1] < temp G[IndicePrix - 1] = temp; } } Indice = NbrePasPrix / 2; delta = G[Indice] - G[Indice - 1] / h; return G[Indice - 1] + delta * Indice * h - l; /* Exemple : PutAmericain contrat = {,36,45}; Modele modele = {.9,.3,45}; printf"%f\n",prix,45,contrat,modele;*/ 2.3 L algorithme de Cox Ross pour le calcul du prix d une option américaine Une autre fa con courante de calculer le prix du put américain est la méthode de Cox Ross Rubinstein voir le paragraphe 3.3 du chapitre 5. Nous en donnons ici une implémentation informatique. #include <math.h> #include <stdio.h> #define Taille 1 typedef double Etat[Taille + 1]; typedef struct Option {

158 158 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE double TauxAnnuel; double Sigma; double T; double ValeurInitiale; double K; } Option; double plusdouble x { return x>?x:; } double PrixOption opt { double r, a, b, proba, p1, p2, tmp, ro, xmax; Etat P, roi; long i, j, N; /* Calcul des parametres de Cox Ross */ N = 5; r = opt.tauxannuel * opt.t / N; a = 1 + r * exp-opt.sigma * sqrtopt.t / N - 1; b = 1 + r * expopt.sigma * sqrtopt.t / N - 1; proba = b - r / b - a; /* par souci d efficacite on calcule le maximum de choses en dehors de la boucle principale */ ro = 1 + a / 1 + b; roi[] = 1.; for i = 1; i <= N; i++ roi[i] = ro * roi[i - 1]; p1 = 1 - proba / 1 + r; p2 = proba / 1 + r; /* A un instant j, P[i] approxime Pj,x1+a^i 1+b^N-j-i */ /* en N : P[i] = K-x1+a^i 1+b^N-i+ */ xmax = opt.valeurinitiale * pow1 + b, N; for i = ; i <= N; i++ P[i] = plusopt.k - xmax * roi[i]; for j = 1; j <= N; j++ { xmax /= 1 + b; for i = ; i <= N - j; i++ { P[i] = p1 * P[i] + p2 * P[i + 1]; tmp = plusopt.k - xmax * roi[i]; if tmp > P[i] P[i] = tmp; } } return P[]; } 3 Exercices Exercice 44 Soit X et Y deux variables aléatoires gaussiennes centrées réduites, calculer la loi du couple de variables aléatoires X 2 + Y 2, arctgy/x. En déduire que si U 1 et U 2 sont deux variables aléatoires uniformes sur [, 1] et indépendantes, les variables aléatoires 2 logu 1 cos2πu 2 et 2 logu 1 sin2πu 2 sont indépendantes et suivent une loi gaussienne centrée réduite. Exercice 45 Soit f une fonction de R dans R, telle que fx > pour tout x, et telle que + fxdx = 1. On veut simuler une variable aléatoire X de loi fxdx. On pose Fu = u fxdx. Démontrer que si U est une variable aléatoire uniforme sur [, 1], alors la loi de F 1 U est fxdx. En déduire une méthode de simulation de X. Exercice 46 On modélise un actif à risque S t par l équation différentielle stochastique : { dst = S t µdt + σdw t, S = x,

159 Ch.8 SIMULATION ET ALOGRITHMES POUR LES MODÈLES FINANCIERS 159 où W t t est un mouvement brownien standard, σ la volatilité et r est le taux d intérêt sans risques. Proposer une méthode de simulation permettant d approcher : E e rt 1 T Interpréter la valeur précédente en terme d option. T S s ds S T Exercice 47 Le but de cet exercice est d étudier l influence de la fréquence de couverture sur la variance d un portefeuille d options. L actif par rapport auquel on considère les options est décrit par le modèle de Black et Scholes : { dst = S t µdt + σdw t S = x W t t désigne un mouvement brownien standard, σ la volatilité annuelle et r désigne le taux d intérêt annuel sans risques. On prendra par la suite r = 1%/année, σ = 2%/ année =.2 et x = 1. Se couvrir à delta nul à l instant t signifie que l on calcule la quantité d actif risqué nécessaire à la couverture et que l on effectue les transactions adéquates achat ou vente d actif pour réaliser cette couverture. Dans la suite, toutes les options décrites auront une échéance de 3 mois et porteront sur une unité d actif. On choisira l une des combinaisons d options suivantes : Bull spread : constituée de l achat d un call de prix d exercice 9 abrégé en call 9 et de la vente d un call 11 de même échéance. Strangle : constituée de la vente d un put 9 et de la vente d un call 11. Condor : constituée de la vente d un call 9, de l achat d un call 95 et d un call 15 et de la vente d un call 11. Put ratio backspread : constituée de la vente d un put 11 et de l achat de 3 puts 9. On considérera que, à l instant, l opérateur encaisse ou décaisse les primes et qu il doit par la suite constituer un portefeuille autofinancé. On suppose d abord que µ = r. On demande d écrire un programme qui : simule l actif décrit précédemment calcule la moyenne et la variance de la valeur finale actualisée du portefeuille dans les cas suivants : On ne se couvre pas du tout : on vend l option, on touche la prime, on attend 3 mois, on tient compte de l exercice de l option vendue et on calcule la valeur du portefeuille. On se couvre immédiatement après la vente de l option, puis on ne fait rien. On se couvre immédiatement après la vente, puis tous les mois. On se couvre immédiatement après la vente, puis tous les 1 jours. On se couvre immédiatement après la vente, puis tous les jours. Etudier l influence de la fréquence de discrétisation. On reprendra la simulation précédente en supposant que µ r prendre des valeurs de µ supérieures et inférieures à r. Y a-t-il des opportunités d arbitrage? Exercice 48 On suppose que W t t est un mouvement brownien standard et que U i i 1 est une suite de variables aléatoires indépendantes valant +1 ou 1 avec probabilité 1/2. On pose S n = X X n. 1. Démontrer que, si que X n t = 1 n S [nt], X n t tend en loi vers W t. +.

160 16 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE 2. Soient t et s deux réels positifs, en utilisant le fait que la variable aléatoire X n t+s X n t est indépendante de X n t, démontrer que le couple Xn t+s, Xn t tend, en loi, vers W t+s, W t. 3. Si < t 1 < < t p, démontrer que X n t 1,, X n t p tend en loi vers W t1,, W tp.

161 Appendice 1 Variables aléatoires gaussiennes Dans ce paragraphe, nous rappelons les principales propriétés des gaussiennes. On trouvera les démonstrations des résultats dans [Bou86], chapitre VI, paragraphe Gaussiennes réelles Une variable aléatoire réelle X est appelée gaussienne centrée réduite si elle admet pour densité la fonction nx = 1 exp x2. 2π 2 La loi de X est alors appelée loi normale centrée réduite. Si X est une gaussienne centrée réduite et si m et σ sont des nombres réels, la variable aléatoire Y = m + σx est appelée gaussienne de paramètres m et σ 2. La loi de Y est la loi normale de paramètres m et σ 2, notée N m, σ 2 cette loi ne dépend pas du signe de σ car X et X ont même loi. Les paramètres m et σ 2 sont respectivement la moyenne et la variance de 1 Y. Si σ, la densité de Y est donnée par la fonction exp 2πσ x m2 2 2σ. Si σ =, la loi 2 de Y est la mesure de Dirac en m et n a donc pas de densité ; on parle parfois, dans ce cas, de gaussienne dégénérée. Si X est une gaussienne centrée réduite, pour tout nombre complexe z, on a E e zx = e z2 2. La fonction caractéristique de X est donc donnée par φ X u = e u2 /2 et celle d une gaussienne de moyenne m et de variance σ 2 par φ Y u = e ium e u2 σ 2 /2. Il est utile de savoir que si X suit la loi normale centrée réduite, on a P X > 1, =, 5 et P X > 2, 6... =, 1. Pour les grandes valeurs de t >, l estimation suivante est intéressante : PX > t = 1 2π t e x2 /2 dx 1 t 2π t xe x2 /2 dx = e t2 /2 t 2π. Rappelons qu il existe de très bonnes approximations de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite cf. chapitre 8 ainsi que des tables statistiques cf. par exemple [Bou86]. 1.2 Vecteurs gaussiens Définition 1.1 Une variable aléatoire X = X 1,..., X d à valeurs dans R d est appelée vecteur gaussien, si pour tous réels a 1,..., a d, la variable aléatoire réelle d i=1 a ix i est une gaussienne. Les composantes X 1,..., X d d un vecteur gaussien sont évidemment des gaussiennes, mais il ne suffit pas que les coordonnées d un vecteur soient gaussiennes pour que le vecteur soit gaussien. Par contre, si X 1, X 2,..., X d sont des gaussiennes réelles indépendantes, alors le vecteur X 1,..., X d est gaussien. 161

162 162 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE La matrice de variance-covariance d un vecteur aléatoire X = X 1,..., X d est la matrice ΓX = σ ij 1 i,j d dont les coefficients sont donnés par : σ ij = covx i, X j = E [X i EX i X j EX j ]. On sait que, si les variables aléatoires X 1,..., X d sont indépendantes, la matrice ΓX est diagonale, et que la réciproque est fausse en général, mais vraie dans le cas gaussien : Théorème 1.2 Soit X = X 1,..., X d un vecteur gaussien à valeurs dans R d. Les variables aléatoires X 1,..., X d sont indépendantes si et seulement si la matrice de variance-covariance du vecteur X est diagonale. On trouvera une démonstration de ce résultat dans [Bou86], chapitre VI, p Remarque 1.3 L importance des gaussiennes pour la modélisation vient notamment du théorème central-limite cf. [Bou86], chapitre VII, paragraphe 4. Pour l estimation statistiques des gaussiennes, on pourra se reporter à [DCD82] chapitre 5 et, pour leur simulation, au chapitre 8. 2 Espérance conditionnelle 2.1 Exemples de sous-tribus Soit Ω, A un espace probabilisable et soient B 1, B 2,..., B n, n éléments de la tribu A formant une partition de Ω. La famille B des éléments de A qui sont vides ou de la forme B i1 B i1 B ik, avec i 1,..., i k {1,..., n}, forme une sous-tribu finie B de A, qui n est autre que la tribu engendrée par les B i. Réciproquement, à toute sous-tribu finie B de A, on peut associer une partition finie B 1,..., B n de Ω par des éléments de A, qui engendrent B : les B i sont les éléments non vides de B qui ne contiennent pas d autre élément de B qu eux-mêmes et la partie vide. On les appelle les atomes de B. Il y a donc une correspondance biunivoque entre sous-tribus finies de A et partitions finies de Ω par des éléments de A. Noter que si B est une sous-tribu finie de A, une application de Ω dans R muni de sa tribu borélienne est B-mesurable si et seulement si elle est constante sur chacun des atomes de B. Soit maintenant une variable aléatoire X définie sur Ω, A, à valeurs dans un espace mesurable E, E. La tribu engendrée par X est la plus petite tribu rendant l application X mesurable : on la note σx. C est évidemment une sous-tribu de A et il est facile de voir que σx = { A A B E, A = X 1 B = {X B} }. On démontre qu une variable aléatoire Y définie sur Ω, A, à valeurs dans un espace mesurable F, F est σx-mesurable, si et seulement si elle est de la forme Y = f X, où f est une application mesurable de E, E dans F, F cf. [Bou86], p Autrement dit, les variables aléatoires σx-mesurables sont exactement les fonctions mesurables de X.

163 Ch.8 APPENDICE Propriétés de l espérance conditionnelle Soit Ω, A, P un espace de probabilité et soit B une sous-tribu de A. La définition de l espérance conditionnelle repose sur le théorème suivant pour une démonstration, cf. [Bou86], chapitre 8. Théorème 2.1 Pour toute variable aléatoire réelle intégrable X, il existe une variable aléatoire réelle, intégrable B-mesurable, Y, unique aux ensembles négligeables près, telle que : B B EX1 B = EY1 B. Y est appelée espérance conditionnelle de X sachant B et notée EX B. EX1 Bi Si B est une sous tribu finie, d atomes B 1,..., B n, on a EX B = i 1 PB i B i, la somme étant limitée aux atomes de probabilité non nulle. Ainsi, sur chaque atome B i, la valeur de EX B est la valeur moyenne de X sur B i. Dans le cas de la tribu grossière B = {, Ω}, on a EX B = EX. Le maniement des espérances conditionnelles repose sur les propriétés suivantes. 1. Si X est B-mesurable, EX B = X, p.s.. 2. E E X B = E X. 3. Pour toute variable aléatoire Z B-mesurable et bornée, E ZEX B = EZX. 4. Linéarité : E λx + µy B = λe X B + µe Y B p.s.. 5. Positivité : si X, alors EX B p.s. et, plus généralement, X Y EX B EY B p.s.. De cette propriété, on déduit que et donc que EX B L 1 Ω X L 1 Ω, 6. Si C est une sous-tribu de B, alors : E X B E X B p.s. E E X B C = E X C p.s.. 7. Si Z est B-mesurable et bornée, E ZX B = ZE X B p.s.. 8. Si X est indépendante de B alors, E X B = E X p.s.. La réciproque de cette propriété est fausse, mais on a le résultat suivant. Proposition 2.2 Soit X une variable aléatoire réelle. X est indépendante de la tribu B si et seulement si : u R E e iux B = E e iux p.s Démonstration : Compte tenu de la propriété 8 ci-dessus, il suffit de montrer que 8.4 entraîne l indépendance. Or, si E e iux B = E e iux, on a, pour tout B B, E e iux 1 B = E e iux PB, par définition de l espérance conditionnelle. Si PB, on peut écrire que E e iux 1 B PB = E e iux.

164 164 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Cette égalité signifie que la fonction caractéristique de X est la même sous la probabilité P et sous la probabilité de densité 1 B par rapport à P. L égalité des fonctions caractéristiques PB entraîne l égalité des lois et, par conséquent, E fx 1 B = E fx, PB pour toute fonction borélienne bornée, ce qui entraîne l indépendance. Remarque 2.3 Si X est de carré intégrable, il en est de même de EX B et EX B coïncide avec la projection orthogonale de X sur L 2 Ω, B, P, considéré comme sous-espace fermé de L 2 Ω, A, P, muni du produit scalaire X, Y EXY cf. [Bou86], chapitre VIII, paragraphe 2. L espérance conditionnelle de X sachant B apparaît alors comme la meilleure approximation de X au sens des moindres carrés par une variable aléatoire B-mesurable de carré intégrable. En particulier, si B est la tribu engendrée par une variable aléatoire ξ, l espérance conditionnelle EX B, qui est alors notée EX ξ, est la meilleure approximation de X par une fonction de ξ, puisque les variables aléatoires σξ-mesurables sont les fonctions mesurables de ξ. Noter que l on a en utilisant le théorème de Pythagore! EX B L 2 Ω X L 2 Ω. Remarque 2.4 On peut aussi définir EX B pour toute variable aléatoire X positive sans condition d intégrabilité. On a alors EXZ = E EX BZ, pour toute variable aléatoire Z B-mesurable positive et les règles de calcul sont essentiellement les mêmes que dans le cas intégrable cf. [DCD82], chapitre Calculs d espérances conditionnelles La proposition suivante est très souvent utilisée dans ce livre. Proposition 2.5 Soit X une variable aléatoire B-mesurable à valeurs dans E, E et soit Y est une variable aléatoire indépendante de B, à valeurs dans F, F. Pour toute fonction Φ borélienne, positive ou bornée sur E F, E F, la fonction ϕ définie par : est borélienne sur E, E et on a : x E ϕx = E Φx, Y E ΦX, Y B = ϕx p.s.. La signification de cette proposition est que, sous les hypothèses énoncées, on peut calculer E ΦX, Y B en faisant comme si X était une constante. Démonstration : Notons P Y la loi de Y. On a : ϕx = Φx, ydp Y y F et la mesurabilité de Φ résulte du théorème de Fubini. Soit maintenant Z une variable aléatoire B-mesurable positive par exemple Z = 1 B, avec B B. Si on note P X,Z la loi du couple X, Z, on a, en utilisant l indépendance de Y et du vecteur X, Z, E ΦX, YZ = Φx, yzdp X,Z x, zdp Y y = Φx, ydp Y y zdp X,Z x, z = ϕxzdp X,Z x, z = E ϕxz,

165 Ch.8 APPENDICE 165 ce qui entraîne le résultat annoncé. Remarque 2.6 Dans un cadre gaussien, le calcul d une espérance conditionnelle est particulièrement simple. En effet, si Y, X 1, X 2,..., X n est un vecteur gaussien à valeurs dans R n+1, l espérance conditionnelle Z = E Y X 1,..., X n est de la forme : Z = c + n c i X i, i=1 où les c i sont des constantes réelles. Cela signifie que la fonction des X i qui approche au mieux Y est une fonction affine et que l on peut calculer Z en projetant dans L 2 la variable aléatoire Y sur le sous-espace vectoriel linéairement engendré par la constante 1 et les X i cf. [Bou86], chapitre 8, paragraphe 5. 3 Théorème de séparation des convexes Dans ce paragraphe, nous donnons la version du théorème de séparation des convexes utilisée dans le chapitre 1. Pour plus de détails sur ces questions, on pourra consulter l annexe de [Min83]. On a tout d abord l énoncé suivant. Théorème 3.1 Soit C un convexe fermé ne contenant pas l origine. Il existe une forme linéaire ξ sur R n et α > tels que : x C ξx α. L hyperplan ξx = ne rencontre donc pas C. Démonstration : Soit λ un réel positif tel que la boule fermée Bλ centrée à l origine et de rayon λ rencontre C et soit x, réalisant le minimum de la fonction continue x x où est la norme euclidienne sur le compact C Bλ. On a immédiatement : x C x x. Le vecteur x n est autre que la projection de l origine sur le convexe fermé C. Soit maintenant x C, on a, pour tout t [, 1], x + tx x C, puisque C est convexe. En développant les deux membres de l inégalité x + tx x 2 x 2, et en notant x.x le produit scalaire de x et x, on obtient l inégalité x.x x 2 >, pour tout x C, ce qui donne immédiatement le résultat annoncé. Théorème 3.2 Soit K un convexe compact et soit V un sous-espace vectoriel de R n, disjoint de K. Il existe une forme linéaire ξ sur R n, vérifiant les deux conditions suivantes : 1. x K ξx >. 2. x V ξx =. Le sous-espace V est donc contenu dans un hyperplan qui ne rencontre pas K.

166 166 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Démonstration : L ensemble C = K V = {x R n y, z K V, x = y z} est convexe, fermé car V est fermé et K est compact et ne contient pas l origine. D après le théorème 3.1, on peut donc trouver une forme linéaire ξ sur R n et α > tels que : D où : x C ξx α. y K, z V ξy ξz α. 8.5 En fixant y et en appliquant 8.5 à λz, avec λ R, on obtient : z V y K ξy α, ce qui achève la démonstration. ξz =, puis

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168 168 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE [DCD82] [DCD83] D. Dacunha-Castelle et M. Duflo. Probabilités et statistiques, tome 1, Problèmes à temps fixe. Masson, D. Dacunha-Castelle et M. Duflo. Probabilités et statistiques, tome 2, Problèmes à temps mobile. Masson, [DMW9] R.C. Dalang, A. Morton, et W. Willinger. Equivalent martingale measures and noarbitrage in stochastic securities market models,. Stochastics and Stochastics Reports, 292 :185 22, 199. [DS94] F. Delbaen et W. Schachermayer. A general version of the fundamental theorem of asset pricing. Math. Ann., 3 :463 52, [Duf88] D. Duffie. Security Markets, Stochastic Models. Academic Press, [Fri75] [FS86] [FS91] A. Friedman. Stochastic Differential Equations and Applications. Academic Press, H. Föllmer et D. Sondermann. Hedging of non redundant contingent claims. Dans W.Hildebrand et A. Mas-Colell, editeurs, Contributions to Mathematical Economics in Honor of Gerard Debreu. North-Holland, Amsterdam, H. Föllmer et M. Schweizer. Hedging of contingent claims under incomplete information. Dans M.H.A. Davis et R.J. Elliott, editeurs, Applied Stochastic Analysis, volume 5 de Stochastics Monographs, pages Gordon and Breach, [Gar88] T. Gard. Introduction to Stochastic Differential Equation. Marcel Dekker, [GLT76] [GS8] [HJM87] [HK79] [HL86] [HL88] R. Glowinsky, J.L. Lions, et R. Trémolières. Analyse numérique des inéquations variationnelles. Dunod, I.I. Gihman et A.V. Skorohod. Introduction à la Théorie des Processus Aléatoires. Mir, 198. D. Heath, A. Jarrow, et A. Morton. Bond pricing and the term structure of interest rates. preprint, M.J. Harrison et D.M. Kreps. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets. J. of Economic Theory, 29 :381 48, T.S. Ho et S.B. Lee. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims. J. of Finance, 41 : , C.F. Huang et R.H. Litzenberger. Foundations for Financial Economics. North- Holland, New-York, [HP81] M.J. Harrison et S.R. Pliska. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading. Stochastic Processes and their Applications, 11 :215 26, [HP83] M.J. Harrison et S.R. Pliska. A stochastic calculus model of continuous trading : complete markets. Stochastic Processes and their Applications, 15 : , [IW81] N. Ikeda et S. Watanabe. Stochastic Differential Equations And Diffusion Processes. North-Holland, Tokyo, [Jam89] F. Jamshidian. An exact bond pricing formula. Journal of Finance, 44 :25 29, [JLL9] [Kar81] P. Jaillet, D. Lamberton, et B. Lapeyre. Variationnal inequalities and the pricing of american options. Acta Applicandae Mathematicae, 21 : , 199. N. El Karoui. Les aspects probabilistes du contrôle stochastique. Lecture Notes in Mathematics Springer, 876 :

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171 Index Actif à risques, 13 conditionnel, 19 financier, 13 sans risque, 13, 118 sous-jacent, 9 Adapté, 16 Algorithme de Brennan et Schwartz, 112, 156 de Cox Ross Rubinstein, 113, 157 Arbitrage, 1 Atome, 162 Bessel fonction de, 126 Calcul de Itô, 5 Call, 9 Complet, 2 Courbe des taux, 117, 127 Couverture, 1 absence de couverture parfaite, 148 d un call, 25 d un put américain, 36 des calls et des puts, 74, Décomposition de Doob, 3 Delta, 75 Echéance, 9 Enveloppe de Snell, 28 Equations aux dérivées partielles paraboliques, 95, 98 résolution numérique, 14 sur un ouvert borné, 11 Equations différentielles stochastiques, Espérance conditionnelle, 162 cas gaussien, 165 d une variable aléatoire positive, 164 et projection orthogonale, 164 par rapport à une variable aléatoire, 164 Filtration, 13, 4 naturelle, 4 Formule d intégration par parties, 53 Formule d Itô, 51 multidimensionnelle, 54 Formules de Black-Scholes, 73 Générateur infinitésimal, 19 Générateurs de nombres aléatoires, 15 Gamma, 75 Gaussienne, 161 gaussienne centrée réduite, 161 Girsanov théorème de, 7, 8 Inégalité de Doob, 44 Inéquation aux dérivées partielles, 18 en dimension finie, méthode numérique, 11 Inéquations aux dérivées partielles, 19 Intégrale stochastique, 45 Loi du chi-deux décentré, 125 exponentielle, 133, 134 gamma, 134 log-normale, 67 normale, 161 Méthode de Monte Carlo, 149 Méthodes numériques algorithme de Brennan et Schwartz, 112, 156 différences finies, 14 fonction de répartition d une loi gaussienne, 155 inéquation, 11 inéquation en dimension finie, 112 Méthode de Cox Ross Rubinstein, 113, 157 méthode de Gauss, 16 méthode de Mac Millan et de Barone-Adesi et Waley, 114 Marché complet, 2 non complet, 133, 148 viable,

172 172 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE Martingale, 16 à temps continu, 42 exponentielle, 42, 54 Théorème d arrêt, 43 Modèle avec sauts, simulation, 154 de Black-Scholes, 11, 54, simulation, 154 de courbe des taux, 127 de Cox-Ingersoll-Ross, de Cox-Ross-Rubinstein, 23 de taux d intérêt, de Vasicek, discret, 13 Mouvement brownien, 41 Simulation de processus, 153 Obligation, 117 Opérateur de Dynkin, 98 Option, 9 américaine, 9 asiatique, 19 européenne, 9, 19 simulable, 19, 71 Parité relation de parité call-put, 1, 24 Poissonprocessus de, 133 Prévisible, 13, 16 Pricing, 1 Prix critique, 8 d exercice, 1 d un call, 143 d un call américain, 34 d un call européen, 73, 77 d un put, 143 d un put américain, 35 d un put européen, 73 d un put perpétuel, 78 d une obligation, 119, 123, 126 d une option américaine, 22 d une option européenne, 21, 72, 143 d une option sur obligation, 121, 129 Probabilités équivalentes, 17, 69 Processus à temps continu, 39 d Ornstein-Ulhenbeck, 58 de Poisson, 133 mouvement brownien, 41 Processus d Itô, 5 Propriété de Markov, Put, 9 inéquation aux dérivées partielles, 19 perpétuel, 78 Radon-Nikodym théorème de, 69 Représentation des martingales, 7 Séparation des convexes, 165 Simulable, 19 Simulation de processus, 152 équations diff. stochastiques, 153 modèle avec sauts, 154 modèle de Black-Scholes, 154 mouvement brownien, 153 Simulation des variables aléatoires, 15 gaussienne, 151 variable exponentielle, 151 variable poissonienne, 151 vecteur gaussien, 152 Sous-tribu, 162 Sousmartingale, 16 Stratégie, 13 admissible, 15, 71, 12, 141 autofinancée, 14, 68, 12, 141 de consommation, 36, 76 Suite arrêtée, 27 Surmartingale, 16 Taux d intérêt forward, 127 Temps d arrêt, 27, 4 optimal, 3 temps d atteinte, 43 Théorème d arrêt, 43 Thêta, 75 Transformée de martingale, 16 Véga, 75 Valeur d un portefeuille, 14 Vente à découvert, 15 Viable, 17 Volatilité, 11, 74 implicite, 74