Sujet national, juin 2014, exercice 5

Transcription

1 Sujet 1 Sujet national, juin 2014, exercice 5 4 points Dans ce questionnaire à choix multiple, pour chaque question, des réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chacune des questions, écrire le numéro de la question et recopier la bonne réponse. Aucune justification n est attendue. 1 Quand on double le rayon d une boule, son volume est multiplié par : a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 Quel est l effet sur les volumes d un agrandissement de rapport 2? 2 Une vitesse égale à 36 km.h -1 correspond à : a) 10 m.s -1 b) 60 m.s -1 c) 100 m.s -1 d) 360 m.s -1 Exprimez 36 km en mètres et 1 h en secondes. 3 Quand on divise 525 par 5, on obtient : a) 21 5 b) 5 21 c) 21 d) 105 Rappelez-vous que pour tout nombre positif a et b (b non nul), a b = a b. 4 On donne : 1 To (téraoctet) = octets et 1 Go (gigaoctet) = 10 9 octets. On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun. Le nombre de dossiers obtenus est égal à : a) 25 b) c) d) 2, Commencez par exprimer 1,5 To en Go.

2 Sujet 1 Corrigé 1 Quand on double le rayon d une boule, son volume est multiplié par : d) 8 Quand on double le rayon d une boule, son volume est multiplié par 2 3 = 8. 2 Une vitesse égale à 36 km.h -1 correspond à : a) 10 m.s km.h -1 = 36 km m m = = = 10 m = 10 m.s h s s 1 s 3 Quand on divise 525 par 5, on obtient : c) = = = = On partage un disque dur de 1,5 To en dossiers de 60 Go chacun. Le nombre de dossiers obtenus est égal à : a) 25 1,5 To = 1, octets = 1, octets = Go = 25 donc le disque dur de 1,5 To est partagé en 25 dossiers de 60 Go chacun.

3 Sujet 2 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des quatre questions, écrire sur votre copie le numéro de la question et la lettre a), b) ou c) correspondant à la réponse choisie. 1 ( ) : 1 5 = a) 1 7 b) 25 7 c) 17 7 Rappelez-vous que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. 2 Le PGCD des nombres 84 et 133 est... a) 1 b) 7 c) 3 Vérifiez si 3 est un diviseur commun à 84 et 133 ou non, et faites de même pour 7. 3 Les solutions de l inéquation 3x sont les nombres x tels que... a) x 4 3 b) x = 4 3 c) x 4 3 N oubliez pas que lorsque l on multiplie (ou divise) les deux membres d une inégalité par un nombre strictement négatif, on change l ordre de l inégalité. 4 (1 + 2) 2 est égal à... a) 3 b) 3 2 c) Utilisez une identité remarquable.

4 Sujet 2 Corrigé 1 b) 25 7 ( ) : 1 5 = = = b) 7 La somme des chiffres de 133 est = 7 qui n est pas divisible par 3, donc 133 n est pas divisible par = 7 12 et 133 = 7 19 donc 7 est un diviseur commun à 84 et et 19 sont premiers entre eux donc 7 est le PGCD de 84 et a) x 4 3 3x est équivalent à 3x 9 5 = 4, puis à x c) Pour tous nombres a et b, on a l identité remarquable (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. On a donc : (1 + 2) 2 = ( 2) 2 = =

5 Sujet 3 Sujet Inde, avril 2014, exercice 2 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque affirmation, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Toute réponse exacte vaut 1 point. Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n enlève pas de point. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, recopiez la réponse exacte : a), b) ou c). 1 ( 5) 2 : a) n existe pas. b) est égal à 5. c) est égal à 5. Souvenez-vous de la définition de la racine carrée d un nombre positif. 2 Si deux surfaces ont la même aire, alors : a) elles sont superposables. b) elles ont le même périmètre. c) leurs périmètres ne sont pas forcément égaux. L aire et le périmètre d une surface sont-elles des grandeurs liées l une avec l autre? 3 Soit f la fonction définie par : f(x) = 3x (2x + 7) + (3x + 5) a) f est une fonction affine. b) f est une fonction linéaire. c) f n est pas une fonction affine. Développez l expression de f(x) pour qu elle soit écrit sous la forme f(x) = ax + b où a et b sont deux nombres. 4 Hicham a récupéré les résultats d une enquête sur les numéros qui sont sortis ces dernières années au Loto. Il souhaite jouer lors du prochain tirage. a) Il vaut mieux qu il joue les numéros qui sont souvent sortis. b) Il vaut mieux qu il joue les numéros qui ne sont pas souvent sortis. c) L enquête ne peut pas l aider. Les résultats des précédents tirages ont-ils une influence sur les suivants? 5 Une expression factorisée de (x 1) 2 16 est : a) (x + 3)(x 5) b) (x 4)(x + 4) c) x 2 2x 15 Pour factoriser cette expression, pensez à utiliser une identité remarquable.

6 Sujet 3 Corrigé 1 ( 5) 2 : c) est égal à 5. ( 5)2 = 25 = 5. ( 5)2 existe et est égal à 5. 2 Si deux surfaces ont la même aire, alors : c) leurs périmètres ne sont pas forcément égaux. Si deux surfaces ont la même aire alors leurs périmètres ne sont pas forcément égaux. Par exemple, un carré de 4 cm de côté et un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 2 cm ont pour aire 4 4 = 2 8 = 16 cm 2. Le périmètre du carré est 4 4 = 16 cm et le périmètre du rectangle est 2 (8 + 2) = 20 cm. 3 Soit f la fonction définie par : f(x) = 3x (2x + 7) + (3x + 5) a) f est une fonction affine. On a f(x) = 3x (2x + 7) + (3x + 5) = 3x 2x 7 + 3x + 5 = 4x 2 qui est l expression d une fonction affine. f est donc une fonction affine. 4 Hicham a récupéré les résultats d une enquête sur les numéros qui sont sortis ces dernières années au loto. Il souhaite jouer lors du prochain tirage. c) L enquête ne peut pas l aider. Les résultats des précédents tirages n ont pas d influence sur les suivants. L enquête ne peut donc pas aider Hicham à avoir une probabilité plus grande de gagner au Loto. 5 Une expression factorisée de (x 1) 2 16 est : c) x 2 2x 15 Pour tout nombre a et b, on a l identité remarquable (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab. On a donc : (x 1) 2 16 = x x = x 2 2x = x 2 2x 15.

7 Sujet 4 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 1 4 points Pour chacune des quatre questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte. Aucune justification n est attendue. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse rapporte 0 point. Reporter sur votre copie le numéro de la question et donner la bonne réponse. 1 L arbre ci-dessous est un arbre de probabilité. La probabilité manquante sous la tâche est : a) 7 9 b) 5 12 c) 5 9 Que pouvez-vous dire à propos de la somme de ces trois probabilités? 2 Dans une salle, il y a des tables à 3 pieds et à 4 pieds. Léa compte avec les yeux bandés 169 pieds. Son frère lui indique qu il y a 34 tables à 4 pieds. Sans enlever son bandeau, elle parvient à donner le nombre de tables à 3 pieds qui est de : a) 135 b) 11 c) 166 Commencez par calculer le nombre total de pieds des tables à 3 pieds à l aide d une différence, puis calculez le nombre de tables à 3 pieds % du volume d un iceberg est situé sous la surface de l eau. La hauteur totale d un iceberg dont la partie visible est 35 m est d environ : a) 350 m b) m c) 31,5 m Quel est le pourcentage du volume de l iceberg qui correspond la partie visible qui mesure 35 m? Déduisez-en le résultat.

8 Sujet 4 Énoncé 4 a le même périmètre que : a) b) c) Rappelez-vous que le périmètre d une figure est la longueur du contour de cette figure.

9 Sujet 4 Corrigé 1 La probabilité manquante sous la tâche est : c) 5 9 La somme des probabilités des branches issues d un même nœud est la somme 1. Donc la probabilité manquante est : = = Dans une salle, il y a des tables à 3 pieds et à 4 pieds. Léa compte avec les yeux bandés 169 pieds. Son frère lui indique qu il y a 34 tables à 4 pieds. Sans enlever son bandeau, elle parvient à donner le nombre de tables à 3 pieds qui est de : b) 11 Le nombre total de pieds des tables à 4 pieds est 34 4 = 136. Le nombre total de pieds des tables à 3 pieds est donc = 33. Finalement, le nombre de tables à 3 pieds est : 33 3 = % du volume d un iceberg est situé sous la surface de l eau. La hauteur totale d un iceberg dont la partie visible est 35 m est d environ : a) 350 m La partie visible de l iceberg qui mesure 35 m représente 100 % 90 % = 10 % de sa hauteur totale. La hauteur totale de l iceberg est donc de = 350 m. 4 a le même périmètre que : b)

10 Sujet 4 Corrigé Le périmètre d une figure est la longueur du contour de cette figure. La longueur du contour de la figure b) est la même que celle de la figure initiale. Elles ont donc le même périmètre.

11 Sujet 5 Centres étrangers, juin 2013, exercice 1 6 points Pour chacune des quatre questions suivantes, plusieurs propositions de réponse sont faites. Une seule des propositions est exacte. Aucune justification n est attendue. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse rapporte 0 point. Reporter sur votre copie le numéro de la question et donner la bonne réponse. 1 Les solutions de l équation (x + 7)(2x 7) = 0 sont : a) 7 et 3,5 b) 7 et 3,5 c) 7 et 5 Remarquez qu il s agit d une équation produit. 2 La (ou les) solution(s) de l inéquation 2(x + 7) 16 est (sont) : a) tous les nombres inférieurs ou égaux à 1 b) tous les nombres supérieurs ou égaux à 1 c) 1 N oubliez pas que lorsque l on multiplie (ou divise) les deux membres d une inégalité par un nombre négatif (ou strictement négatif), on change l ordre de l inégalité. 3 La forme développée de (7x 5) 2 est : a) 49x 2 25 b) 49x 2 70x + 25 c) 49x 2 70x 25 Pour développer cette expression, pensez à utiliser une identité remarquable. 4 La forme factorisée de 9 64x 2 est : a) 55x 2 b) (3 8x) 2 c) (3 8x) (3 + 8x) Pour factoriser cette expression, pensez à utiliser une identité remarquable.

12 Sujet 5 Énoncé 5 Dans le schéma ci-dessous, le liquide remplit-il à moitié le verre? a) Oui. b) Non, c est moins de la moitié. c) Non, c est plus de la moitié. Quel effet une réduction de rapport k a-t-elle sur les volumes? 6 Observer le schéma ci-dessous. La section KMEH du cube ABCDEFGH par un plan parallèle à une de ses arêtes est : a) un parallélogramme non rectangle ; b) un carré ; c) un rectangle. Que peut-on dire de la section d un cube par un plan parallèle à une de ses arêtes?

13 Sujet 5 Corrigé 1 Les solutions de l équation (x + 7)(2x 7) = 0 sont : a) 7 et 3,5 L équation (x + 7)(2x 7) = 0 est une équation produit. Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul, donc : (x + 7)(2x 7) = 0 est équivalent à x + 7 = 0 ou 2x 7 = 0, soit x = 7 ou 2x = 7, soit encore x = 7 ou x = 7 2 = 3,5. 2 La solution de l inéquation 2(x + 7) 16 est : b) tous les nombres supérieurs ou égaux à 1. 2(x + 7) 16 est équivalent à x (en divisant les deux membres par 2 qui est 2 strictement négatif). Comme 16 = 8, alors x 8 7, soit x La forme développée de (7x 5) 2 est : b) 49x 2 70x + 25 Pour tous nombres a et b, on a l identité remarquable (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. On a donc : (7x 5) 2 = (7x) x ( 5) soit (7x 5) 2 = 49x 2 70x La forme factorisée de 9 64x 2 est : c) (3 8x) (3 + 8x) Pour tous nombres a et b, on a l identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b). On a donc : 9 64x 2 = x 2 = 3 2 (8x) 2 soit 9 64x 2 = (3 8x)(3 + 8x). 5 Le liquide remplit-il à moitié le verre? b) Non, c est moins de la moitié. Pour passer du cône de révolution de hauteur h à celui de hauteur h, la réduction est de rapport Une réduction de rapport k multiplie les volumes par k 3 donc, ici, les volumes sont multipliés par ( 1 2 )3 = < 1 2 donc le liquide remplit moins de la moitié du verre. 6 La section KMEH du cube ABCDEFGH par un plan parallèle à une de ses arêtes est : c) un rectangle. La section KMEH du cube ABCDEFGH par un plan parallèle à une de ses arêtes est un rectangle. Ce n est pas un carré car, par exemple, HK KM.

14 Sujet 6 Sujet national, juin 2014, exercice 2 6 points Léa a besoin de nouveaux cahiers. Pour les acheter au meilleur prix, elle étudie les offres promotionnelles de trois magasins. Dans ces trois magasins, le modèle de cahier dont elle a besoin a le même prix avant promotion. Magasin A Magasin B Magasin C Cahier à l unité ou lot de 3 cahiers pour le prix de 2. Pour un cahier acheté, le deuxième à moitié prix. 30 % de réduction sur chaque cahier acheté. 1 Expliquer pourquoi le magasin C est plus intéressant si elle n achète qu un cahier. Pour ce cas, remarquez qu il n y a que dans le magasin C qu il y a une réduction. 2 Quel magasin doit-elle choisir si elle veut acheter : a) deux cahiers? Comparez le prix de 2 cahiers dans chaque magasin en fonction du prix du cahier avant promotion. b) trois cahiers? Comparez le prix de 3 cahiers dans chaque magasin en fonction du prix du cahier avant promotion. 3 La carte de fidélité du magasin C permet d obtenir 10 % de réduction sur le ticket de caisse, y compris sur les articles ayant déjà bénéficié d une première réduction. Léa possède cette carte de fidélité, elle l utilise pour acheter un cahier. Quel pourcentage de réduction totale va-t-elle obtenir? Calculez le coefficient multiplicateur associé à ces deux baisses successives et déduisez-en le pourcentage de réduction correspondant.

15 Sujet 6 Corrigé 1 Pour un cahier acheté, il n y a pas de réduction dans les magasins A et B : dans le magasin A, la réduction est à partir de 3 cahiers achetés et, dans le magasin B, la réduction est à partir de 2 cahiers achetés. Par contre, il y a une réduction dans le magasin C dès le premier cahier acheté. Une baisse de 30 % correspond au coefficient multiplicateur de 1 30 = 1 0,3 = 0,7 donc, 100 dans le magasin C, Léa paiera le cahier 0,7 fois son prix avant promotion. 2 a) Magasin A : Pour l achat de deux cahiers, il n y a pas de promotion, donc Léa les paie au prix de deux cahiers avant promotion. Magasin B : Pour l achat de deux cahiers, Léa paie le deuxième à moitié prix, donc Léa les paie au prix de 1,5 cahier avant promotion. Magasin C : Pour l achat de deux cahiers, il y a 30 % de réduction sur chacun, donc Léa les paie au prix de 2 0,7 = 1,4 cahier avant promotion. Pour l achat de deux cahiers, Léa doit choisir le magasin C. b) Magasin A : Pour l achat de trois cahiers, Léa les paie au prix de deux cahiers avant promotion. Magasin B : Pour l achat de trois cahiers, Léa paie le premier et le troisième au prix avant promotion et le deuxième à moitié prix. Léa les paie donc au prix de 2,5 cahiers avant promotion. Magasin C : Pour l achat de trois cahiers, il y a 30 % de réduction sur chacun, donc Léa les paie au prix de 3 0,7 = 2,1 cahiers avant promotion. Pour l achat de trois cahiers, Léa doit choisir le magasin A. 3 Une baisse de 30 % correspond au coefficient multiplicateur de 0,7 et une baisse de 10 % au coefficient multiplicateur de 1 10 = 1 0,1 = 0, Une baisse de 30 % suivie d une baisse de 10 % correspond donc au coefficient multiplicateur de 0,7 0,9 = 0,63. 0,63 = 1 0,37 = 1 37 qui correspond au coefficient multiplicateur d une baisse de 37 %. 100 Avec la carte de fidélité, le pourcentage de réduction totale dans le magasin C est de 37 %.

16 Sujet 7 Sujet national, juin 2014, exercice 3 5 points Voici un programme de calcul : 1 Montrer que si on choisit 8 comme nombre de départ, le programme donne 12 comme résultat. Dans ce programme de calcul, en prenant comme nombre de départ 8, le premier nombre à gauche est 8 6 = 2. 2 Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées. a) Le programme peut donner un résultat négatif. Pour montrer que cette proposition est vraie, il suffit de trouver un nombre de départ pour lequel c est le cas. b) Si on choisit 1 comme nombre de départ, le programme donne 33 comme résultat. 2 4 Rappelez-vous que pour a, b, c et d quatre nombres (b et d non nuls), a b c d = a c b d. c) Le programme donne 0 comme résultat pour exactement deux nombres. Utilisez la propriété suivante : un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs est nul. d) La fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme est une fonction linéaire. En notant x le nombre de départ, exprimez en fonction de x le résultat du programme. Pensez à développer et réduire cette expression.

17 Sujet 7 Corrigé 1 En effectuant ce programme de calcul avec 8 comme nombre de départ, on obtient les nombres 8 6 = 2 et 8 2 = 6, puis le nombre 2 6 = 12 comme résultat. 2 Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées. a) La proposition est vraie. En prenant un nombre de départ strictement compris entre 2 et 6, le résultat de ce programme de calcul est négatif. Par exemple, en prenant comme nombre de départ 4, on obtient les nombres 4 6 = 2 et 4 2 = 2, puis le nombre ( 2) 2 = 4 comme résultat. b) La proposition est vraie. En prenant 1 comme nombre de départ, on obtient les nombres 1 6 = 1 12 = 11 et = 1 4 = 3, puis le nombre ( 11) ( 3) = ( 11) ( 3) = 33 comme résultat c) La proposition est vraie. Un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs est nul. En notant x le nombre de départ, le résultat du programme est 0 si et seulement si x 6 = 0 ou x 2 = 0, donc si et seulement si x = 6 ou x = 2. Le programme donne donc 0 comme résultat pour exactement deux nombres. d) La proposition est fausse. En notant x le nombre de départ, on obtient les nombres x 6 et x 2, puis le nombre (x 6) (x 2) = x 2 2x 6x = x 2 8x La fonction qui, au nombre choisi au départ, associe le résultat du programme est x x 2 8x + 12 qui n est pas une fonction linéaire.

18 Sujet 8 Sujet national, juin 2014, exercice 7 7 points Un agriculteur produit des bottes de paille parallélépipédiques. Information 1 : Dimensions des bottes de paille : 90 cm 45 cm 35 cm. Information 2 : Le prix de la paille est de 40 par tonne. Information 3 : 1 m 3 de paille a une masse de 90 kg. 1 Justifier que le prix d une botte de paille est 0,51 (arrondi au centime). Calculez le volume d une botte de paille, puis sa masse et enfin son prix. 2 Marc veut refaire l isolation de la toiture d un bâtiment avec des bottes de paille parallélépipédiques. Le bâtiment est un prisme droit dont les dimensions sont données sur le schéma ci-dessous.

19 Sujet 8 Énoncé Il disposera les bottes de paille sur la surface correspondant à la zone grisée, pour créer une isolation de 35 cm d épaisseur. Pour calculer le nombre de bottes de paille qu il doit commander, il considère que les bottes sont disposées les unes contre les autres. Il ne tient pas compte de l épaisseur des planches entre lesquelles il insère les bottes. a) Combien de bottes devra-t-il commander? Il s agit tout d abord de calculer la longueur JF, puis de calculer le nombre de rectangles de 90 cm sur 45 cm que l on peut mettre dans le rectangle FGKJ. b) Quel est le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit? Utilisez les questions 1 et 2. a).

20 Sujet 8 Corrigé 1 À l aide de l information 1 : Le volume d une botte de paille est V = = cm 3 = 141,750 dm 3 = 0, m 3. À l aide de l information 3 : 1 m 3 de paille a une masse de 90 kg donc une botte de paille pèse 90 0, = 12,7575 kg. À l aide de l information 2 : Le prix de la botte de paille est de 40 par tonne (1 000 kg), donc le prix d une botte de paille est de 40 12,7575 = 510,3 = 0,51 au centime près a) Calculons la longueur JF. Le triangle FIJ est rectangle en I, donc d après le théorème de Pythagore : JF 2 = IJ 2 + IF 2 = (AJ IA) 2 + IF 2 = (7,7 5) 2 + 3,6 2 = 2, ,96 = 7, ,96 = 20,25. JF est un nombre positif car c est une distance donc JF = 20, 25 = 4,5 m. Dans la longueur JK = 15,3 m, il y a 15,3 = 17 fois la longueur 90 cm = 0,9 m. 0,9 Dans la longueur JF = 4,5 m, il y a 4,5 = 10 fois la longueur 45 cm = 0,45 m. 0,45 Finalement, Marc devra commander = 170 bottes de paille pour refaire son isolation. b) D après la question 1., chaque botte de paille coûte 0,51. D après la question 2. a), Marc a besoin de 170 bottes de paille pour refaire son isolation. Finalement, le coût de la paille nécessaire pour isoler le toit est 170 0,51 = 86,7.

21 Sujet 9 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 3 3 points L exercice suivant traite du thème «le canal du Midi» 1. Le vocabulaire spécifique est donné sur le schéma ci-dessous. 1 La longueur du canal du Midi est de 240 km de Toulouse à l étang de Thau et la vitesse des embarcations y est limitée à 8 km/h. Combien de temps, au moins, faut-il pour effectuer ce trajet en péniche sans faire de pause? Utilisez la formule v = d t avec les unités qui conviennent. 2 On assimilera une écluse à un pavé droit de 8,4 m de large, de 30 m de long et de 3 m de hauteur. Calculer le volume de cette écluse. Rappelez-vous que le volume d un parallélépipède rectangle de dimensions a, b et c est V = a b c. 3 Le prix hebdomadaire de la location d un bateau à moteur dépend de la période. Il est de 882 du 01/01/2014 au 28/04/2014. Il augmente de 27 % pour la période du 29/04/2014 au 12/05/2014. Calculer le prix de la location pour cette période. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 27 %? 1. Le canal du Midi est un canal qui rejoint l Atlantique à la Méditerranée.

22 Sujet 9 Corrigé 1 On a la formule v = d avec v exprimée en km/h, d en km et t en h. t On a donc t = d = 240 = 30 h. v 8 Le temps minimal qu il faut pour effectuer ce trajet en péniche sans faire de pause est 30 heures. 2 Le volume d un pavé de 8,4 m de large, 30 m de long et de 3 m de hauteur est : V = 8, = 756 m 3. Le volume de l écluse qui est assimilé à ce pavé est 756 m 3. 3 Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 27 % est = 1 + 0,27 = 1,27. Le prix de la location pour la période du 29/04/2014 au 12/05/2014 est : 1, = 1 122,68.

23 Sujet 10 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 7 5 points On étudie plus précisément le remplissage d une écluse pour faire passer une péniche de l amont vers l aval. Principe : il s agit de faire monter le niveau de l eau dans l écluse jusqu au niveau du canal en amont afin que l on puisse ensuite faire passer la péniche dans l écluse. Ensuite, l écluse se vide et le niveau descend à celui du canal en aval. La péniche peut sortir de l écluse et poursuivre dans le canal en aval. Toutes les mesures de longueur sont exprimées en mètres. On notera h la hauteur du niveau de l eau en amont et x la hauteur du niveau de l eau dans l écluse. Ces hauteurs sont mesurées à partir du radier (fond) de l écluse. (voir schéma ci-dessus.) Lorsque la péniche se présente à l écluse, on a : h = 4,3 m et x = 1,8 m. La vitesse de l eau s écoulant par la vantelle (vanne) est donnée par la formule suivante : v = 2g(h x) où g = 9,81 (accélération en mètre par seconde au carré notée m.s -2 ) et v est la vitesse (en mètre par seconde noté m.s -1 ) 1 Calculer l arrondi à l unité de la vitesse de l eau s écoulant par la vantelle à l instant de son ouverture. (On considère l ouverture comme étant instantanée.) Pour calculer v, remplacez g, h et x par les valeurs données dans l énoncé. 2 Pour quelle valeur de x, la vitesse d écoulement de l eau sera-t-elle nulle? Qu en déduit-on pour le niveau de l eau dans l écluse dans ce cas? Observez l expression de v pour savoir quand elle pourrait s annuler.

24 Sujet 10 Énoncé 3 Le graphique donné ci-dessous représente la vitesse d écoulement de l eau par la vantelle en fonction du niveau x de l eau dans l écluse. Déterminer, par lecture graphique, la vitesse d écoulement lorsque la hauteur de l eau dans l écluse est de 3,4 m. Il s agit de déterminer graphiquement l image de 3,4 par la fonction représentée. N oubliez pas ensuite l unité.

25 Sujet 10 Corrigé 1 La vitesse de l eau s écoulant par la vantelle à l instant de son ouverture est donnée par la formule v = 2g(h x) avec g = 9,81 m.s -2, h = 4,3 m et x = 1,8 m. On a donc : v = 2 9, 81 (4, 3 1, 8) = 2 9, 81 2, 5 = 49, 05 7 m.s -1 à l unité près. La vitesse de l eau s écoulant par la vantelle à l instant de son ouverture est proche de 7 m.s La vitesse d écoulement de l eau est donnée par la formule v = 2g(h x) où seule la valeur x varie. La vitesse sera nulle lorsque h x = 0, c est à dire x = h. Dans ce cas, le niveau de l eau dans l écluse sera le même que le niveau de l eau en amont, et la péniche pourra passer dans l écluse. 3 Graphiquement, lorsque la hauteur de l eau dans l écluse est de 3,4 m, la vitesse d écoulement est proche de 4,2 m.s -1 (noté aussi m/s).

26 Sujet 11 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 8 4 points L exercice suivant traite du thème «le canal du Midi» 1. Le vocabulaire spécifique est donné sur le schéma ci-dessous. Le débit moyen q d un fluide dépend de la vitesse moyenne v du fluide et de l aire de la section d écoulement d aire S. Il est donné par la formule suivante : q = S v où q est exprimé en m 3.s -1 ; S est exprimé en m 2 ; v est exprimé en m.s -1. Pour cette partie, on considérera que la vitesse moyenne d écoulement de l eau à travers la vantelle durant le remplissage est v = 2,8 m.s -1. La vantelle a la forme d un disque de rayon R = 30 cm. 1 Quelle est l aire exacte, en m 2, de la vantelle? L aire d un disque de rayon R est πr 2. Faites attention aux unités dans le calcul. 2 Déterminer le débit moyen arrondi au millième de cette vantelle durant le remplissage. Pour calculer q, remplacez S et v par les valeurs données dans l énoncé. 3 Pendant combien de secondes faudra-t-il patienter pour le remplissage d une écluse de capacité 756 m 3? Est-ce que l on attendra plus de 15 minutes? Rappelez-vous que la formule du débit est donnée par D = V t (m3.s -1 ) où V est le volume (m 3 ), t est le temps (s). 1. Le canal du Midi est un canal qui rejoint l Atlantique à la Méditerranée.

27 Sujet 11 Corrigé 1 L aire d un disque de rayon R est πr 2. La vantelle a la forme d un disque de rayon R = 30 cm = 0,3 m donc son aire exacte est S = π 0,3 2 = 0,09π m 2. 2 Le débit moyen arrondi au millième de cette vantelle durant le remplissage est donné par la formule q = S v avec S = 0,09π m 2 et v = 2,8 m.s -1. On a donc : q = 0,09π 2,8 = 0,252π 0,792 m 3.s -1 au millième près en utilisant la touche «π» de la calculatrice. 3 En notant t (en secondes) le temps qu il faudra pour remplir une écluse de 756 m 3, on a : 0, donc t 756 = 955 s à l unité près. t 0, s = s = 15 min 55 s. Le temps de remplissage d une écluse de capacité 756 m 3 est 15 min 55 s, donc il faudra attendre plus de 15 minutes.

28 Sujet 12 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 9 5 points Certaines écluses ont des portes dites «busquées», qui forment un angle pointé vers l amont de manière à résister à la pression de l eau. En vous appuyant sur le schéma ci-dessous, déterminer la longueur des portes au cm près. Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Pensez à utiliser les propriétés du triangle isocèle, puis une relation trigonométrique pour calculer la longueur AP d une porte busquée.

29 Sujet 12 Corrigé PA = PB donc le triangle APB est isocèle en P. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiatrice : on a donc AH = AB = 5,8 = 2,9 m. 2 2 On a PAH = = 35. Dans le triangle PAH rectangle en H, on a : cos( PAH) = AH AP donc AH AP = cos( PAH) puis 2,9 AP = et cos(35 ) AP 3,54 m au centimètre près. La longueur de chacune des deux portes dites «busquées» est de 3,54 m environ.

30 Sujet 13 Centres étrangers, juin 2014, exercice 4 5 points Paul en visite à Paris admire la Pyramide, réalisée en verre feuilleté au centre de la cour intérieure du Louvre. Cette pyramide régulière a : pour base un carré ABCD de côté 35 mètres ; pour hauteur le segment [SO] de longueur 22 mètres. Paul a tellement apprécié cette pyramide qu il achète comme souvenir de sa visite une lampe à huile dont le réservoir en verre est une réduction à l échelle 1 de la vraie pyramide. 500 Le mode d emploi de la lampe précise que, une fois allumée, elle brûle 4 cm 3 d huile par heure. Au bout de combien de temps ne restera-t-il plus d huile dans le réservoir? Arrondir à l unité d heures. Rappel : Volume d une pyramide = un tiers du produit de l aire de la base par la hauteur Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. Toute trace de recherche sera prise en compte lors de l évaluation même si le travail n est pas complètement abouti. Commencez par calculer le volume de la pyramide SABCD en m 3, puis calculez le volume de sa réduction à l échelle en cm3.

31 Sujet 13 Corrigé Le volume de la pyramide à base carrée SABCD est : V = A ABCD SO = = m Une réduction de rapport 1 1 multiplie les volumes par ( )3 = 1 Le volume de la lampe à huile qui est une réduction à l échelle donc : V = m V = V = V = cm V = cm V = cm V 71,9 cm 3 au dixième près dm cm3 1 = de la vraie pyramide est La lampe à huile brûle 4 cm 3 d huile par heure donc il ne restera plus d huile au bout d environ 71, h arrondi à l unité d heures près.

32 Sujet 14 Centres étrangers, juin 2014, exercice 5 3 points 1 Développer et réduire l expression : (2n + 5)(2n 5) où n est un nombre quelconque. Pensez à utiliser une identité remarquable. 2 En utilisant la question 1, calculer Utilsez le résultat de la question 1 avec une valeur particulière de n.

33 Sujet 14 Corrigé 1 On a l identité remarquable : (a b)(a + b) = a 2 b 2. Pour n un nombre quelconque, en prenant a = 2n et b = 5, on a : (2n + 5)(2n 5) = (2n) = 4n En remplaçant n par 100 dans la question 1, on a : ( )( ) = = = = =

34 Sujet 15 Centres étrangers, juin 2014, exercice 6 6 points Pour préparer son voyage à Marseille, Julien utilise un site Internet pour choisir le meilleur itinéraire. Voici le résultat de sa recherche : 1 Quelle vitesse moyenne, arrondie au km/h, cet itinéraire prévoit-il pour la portion de trajet sur autoroute? Utilisez la formule v = d t en écrivant t en heures décimales. 2 Sachant que la sécurité routière préconise au moins une pause de 10 à 20 minutes toutes les deux heures de conduite, quelle doit être la durée minimale que Julien doit prévoir pour son voyage? Demandez-vous combien de pauses Julien doit faire pendant les 8 h 47 min de trajet. 3 Pour cette question, faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. Toute trace de recherche sera prise en compte lors de l évaluation même si le travail n est pas complètement abouti. Sachant que le réservoir de sa voiture a une capacité de 60 L et qu un litre d essence coûte 1,42, peut-il faire le trajet avec un seul plein d essence en se fiant aux données du site Internet? Calculez le nombre de litres d essence nécessaires pour effectuer ce trajet.

35 Sujet 15 Corrigé 1 On a la formule v = d avec v exprimée en km/h, d en km et t en h. t d = 993 km et t = 8 h 31 min = 8 h + 31 h 8,52 h, donc : 60 v km/h au km/h près. 8,52 La vitesse moyenne de cet itinéraire pour la portion de trajet sur autoroute est de 117 km/h environ. 2 Pendant les 8 h 47 min de trajet, Julien doit faire une pause au bout de 2 h, 4 h, 6 h et 8 h de conduite. Il doit donc faire au moins 4 pauses de 10 minutes, soit 40 minutes de pause. Finalement, la durée minimale que Julien doit prévoir pour son voyage est 8 h 47 min + 40 min = 9 h 27 min. 3 Pour ce trajet, le coût du carburant est 89,44. Un litre d essence coûte 1,42 donc la voiture consommera 89,44 1,42 63 L pour ce trajet. La capacité du réservoir de cette voiture étant de 60 L, en se fiant aux données du site Internet, Julien ne peut pas faire le trajet avec un seul plein.

36 Sujet 16 Centres étrangers, juin 2014, exercice 7 7 points Il existe différentes unités de mesure de la température : en France on utilise le degré Celsius ( C), aux États-Unis on utilise le degré Fahrenheit ( F). Pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit, on multiplie le nombre de départ par 1,8 et on ajoute 32 au résultat. 1 Qu indiquerait un thermomètre en degrés Fahrenheit si on le plonge dans une casserole d eau qui gèle? On rappelle que l eau gèle à 0 C. Suivez le processus défini dans l énoncé pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit. 2 Qu indiquerait un thermomètre en degrés Celsius si on le plonge dans une casserole d eau portée à 212 F? Que se passe t-il? Notez x la température recherchée exprimée en degrés Celsius. Il s agit ensuite de résoudre une équation d inconnue x. 3 a) Si l on note x la température en degré Celsius et f(x) la température en degré Fahrenheit, exprimer f(x) en fonction de x. En notant x la température exprimée en degrés Celsius, déterminez l expression de la température exprimée en degrés Farenheit. b) Comment nomme-t-on ce type de fonction? Observez l expression de f(x). c) Quelle est l image de 5 par la fonction f? Il s agit de calculer f(5). d) Quel est l antécédent de 5 par la fonction f? Il s agit de calculer la valeur dont l image par f est 5. e) Traduire en terme de conversion de température la relation f(10) = 50. Relisez le processus défini dans l énoncé pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit.

37 Sujet 16 Corrigé 1 Si le thermomètre indique 0 C, il indiquerait 1, = = 32 F. Si on plonge le thermomètre dans une casserole d eau qui gèle, il indiquerait 32 F. 2 Si on note x la température (en C) correspondant à 212 F, on a : 1,8x + 32 = 212, soit 1,8x = = 180 puis x = 180 1,8 = 100. Si on plonge le thermomètre dans une casserole d eau portée à 212 F, le thermomètre indiquerait 100 C. À cette température, l eau bout. 3 a) D après l énoncé, on a f(x) = 1,8x b) f(x) s écrit sous la forme f(x) = ax + b où a et b sont deux nombres, et b est non nul. f est donc une fonction affine. c) f(5) = 1, = = 41. L image de 5 par la fonction f est 41. d) L antécédent de 5 par la fonction f est la valeur x telle que f(x) = 5. f(x) = 1,8x + 32 = 5 lorsque 1,8x = 5 32 = 27 donc x = 27 = 15. 1,8 L antécédent de 5 par la fonction f est 15. e) La relation f(10) = 50 signifie que lorsque la température est de 10 C, elle est de 50 F.

38 Sujet 17 Sujet Inde, avril 2014, exercice 1 6 points Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage dragées au chocolat et dragées aux amandes. 1 Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles. Chaque corbeille doit avoir la même composition. Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées? Déterminez les restes des divisions euclidiennes de par 20 et de par Emma et Arthur changent d avis et décident de proposer des petits ballotins 1 dont la composition est identique. Ils souhaitent qu il ne leur reste pas de dragées. a) Emma propose d en faire 90. Ceci convient-il? Justifier votre réponse. Il s agit de vérifier si 90 est un diviseur commun à et 3 731, ou non. b) Ils se mettent d accord pour faire un maximum de ballotins. Combien en feront-ils et quelle sera leur composition? Remarquez que le nombre maximal de ballotins qu il peut faire est le PGCD de et de 3 731, puis calculez ce nombre. 1. Un ballotin est un emballage pour confiseries, une boîte par exemple.

39 Sujet 17 Corrigé 1 La division euclidienne de par 20 est : = Arthur remplira donc 20 corbeilles composées chacune de 150 dragées au chocolat et il restera 3 dragées au chocolat non utilisées. La division euclidienne de par 20 est : = Arthur remplira donc 20 corbeilles composées chacune de 186 dragées aux amandes et il restera 11 dragées aux amandes non utilisées. Finalement, il restera 3 dragées au chocolat et 11 dragées aux amandes non utilisées. 2 a) La division euclidienne de par 90 est : = La division euclidienne de par 90 est : = Il suffit de remarquer que l un des deux restes des divisions euclidiennes est non nul pour affirmer que Emma ne pourra pas faire 90 ballotins de composition identique. b) Le nombre de ballotins qu Arthur peut faire et dont la répartition doit être identique est un diviseur commun à et Le nombre maximal de ballotins de même répartition qu Arthur peut faire est donc le PGCD de et Calculons le PGCD de et de en utilisant l algorithme d Euclide : = = = Le dernier reste non nul est 91, donc PGCD (3 003 ; 3 731) = 91. Le nombre maximal de ballotins qu Arthur peut faire est donc 91. Dans chacun des 91 ballotins identiques, il y aura = 33 dragées au chocolat et = 41 dragées aux amandes. 91 Remarque : à l aide de la question 2. a), on peut remarquer que 91 est un diviseur commun à et car = = et = = On peut ensuite remarquer que c est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres en montrant que 33 et 41 sont premiers entre eux.

40 Sujet 18 Sujet Inde, avril 2014, exercice 3 3 points «Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j enlève 21. J obtiens toujours un multiple de 10.» Est-ce vrai? Justifier. Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. Notez x la valeur de départ et déterminez l expression en fonction de x du résultat du programme de calcul.

41 Sujet 18 Corrigé Notons x la valeur de départ du programme de calcul. Si on lui ajoute 3, l expression devient x + 3. Si on multiplie le résultat par 7, l expression devient 7(x + 3). Si on ajoute le triple du nombre de départ, qui est 3x, l expression devient 7(x + 3) + 3x. Si on enlève ensuite 21, l expression devient 7(x + 3) + 3x 21. En développant cette dernière expression, on a : 7(x + 3) + 3x 21 = 7x x 21 = 7x x 21 = 10x qui est un multiple de 10. Finalement, quel que soit le nombre de départ de ce programme de calcul, le résultat est toujours un multiple de 10.

42 Sujet 19 Sujet national, juin 2013, exercice 5 7 points Pour réaliser un abri de jardin en parpaings, un bricoleur a besoin de 300 parpaings de dimensions 50 cm 20 cm 10 cm pesant chacun 10 kg. Il achète les parpaings dans un magasin situé à 10 km de sa maison. Pour les transporter, il loue au magasin un fourgon. Information 1. Caractéristiques du fourgon : 3 places assises ; dimensions du volume transportable (L l h) : 2,60 m 1,56 m 1,84 m ; charge pouvant être transportée : 1,7 tonne ; volume du réservoir : 80 L ; Diesel (consommation : 8 L aux 100 km).

43 Sujet 19 Énoncé Information 2. Tarifs de location du fourgon : Information 3. : 1 litre de carburant coûte 1,50. 1 Expliquer pourquoi il devra effectuer deux allers-retours pour transporter les 300 parpaings jusqu à sa maison. Pour pouvoir répondre, observez les caractéristiques du fourgon. 2 Quel sera le coût total du transport? Remarquez que le coût total du transport comprend le coût de la location du fourgon et le coût du carburant. 3 Les tarifs de location du fourgon sont-ils proportionnels à la distance maximale autorisée par jour? Pour pouvoir répondre, calculez des quotients et comparez-les.

44 Sujet 19 Corrigé 1 Le volume occupé par les 300 parpaings est : 0,5 0,2 0,1 300 = 3 m 3. Le volume transportable par le fourgon est : 2,6 1,56 1,84 = 7,46 m 3 arrondi au centième. Comme 3 < 7,46, le fourgon est donc assez grand pour contenir les 300 parpaings. Les 300 parpaings pèsent au total : = kg = 3 t. Le fourgon ne peut transporter que 1,7 t. Or 1,7 t < 3 t < 2 1,7 t = 3,4 t, donc les 300 parpaings doivent être transportés en deux allers-retours. Il devra donc effectuer deux allers-retours pour transporter les 300 parpaings jusqu à sa maison. 2 Le coût total du transport comprend le coût de la location du fourgon et le coût du carburant. Le bricoleur va faire deux allers-retours entre sa maison et le magasin, soit = 40 km. Pour cette distance, le tarif de location du fourgon sera de 55, car 40 km est strictement supérieur à 30 km et inférieur à 50 km (Information 2). D après les caractéristiques du fourgon (Information 1), il consomme 8 L aux 100 km, donc il consommera 8 40 = 3,2 L pour 40 km. 100 Un litre de carburant coûte 1,5 (information 3) donc le coût du carburant sera, pour faire 40 km, de : 3,2 1,5 = 4,8. Le coût total du transport sera de ,8 = 59,80 pour faire les deux allers-retours entre sa maison et le magasin = 1,6 et = 1,1. Or 1,6 1,1, donc les tarifs de location du fourgon ne sont pas proportionnels à la distance maximale autorisée par jour.

45 Sujet 20 Sujet national, juin 2013, exercice 7 4,5 points Chacune des trois affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse? On rappelle que les réponses doivent être justifiées. 1 Affirmation 1 : Dans un club sportif, les trois quarts des adhérents sont mineurs et le tiers des adhérents majeurs a plus de 25 ans. Un adhérent sur six a donc entre 18 ans et 25 ans. Commencez par calculer la fraction d adhérents qui sont majeurs, puis celle des adhérents majeurs qui ont entre 18 ans et 25 ans. 2 Affirmation 2 : Durant les soldes, si on baisse le prix d un article de 30 % puis de 20 %, au final le prix de l article a baissé de 50 %. Déterminez le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 30 %, ainsi que celui associé à une baisse de 20 %. 3 Affirmation 3 : Pour n importe quel nombre entier n, (n + 1) 2 (n 1) 2 est un multiple de 4. Utilisez deux identités remarquables pour développer l expression (n + 1) 2 (n 1) 2 pour tout nombre entier n.

46 Sujet 20 Corrigé 1 L affirmation est vraie. Les trois quarts des adhérents sont mineurs, donc un quart des adhérents sont majeurs (plus de 18 ans). Parmi ce quart d adhérents majeurs, le tiers a plus de 25 ans, donc les deux tiers ont entre 18 ans et 25 ans. Finalement, les deux tiers du quart des adhérents a entre 18 ans et 25 ans. Or, 2 1 = 2 1 = 1 = 1, donc un adhérent sur six a entre 18 ans et 25 ans L affirmation est fausse. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 30 % est 1 30 = 1 0,3 = 0,7 et celui 100 associé à une baisse de 20 % est 1 20 = 1 0,2 = 0, Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 30 % suivie d une baisse de 20 % est donc 0,7 0,8 = 0,56. Or, 0,56 = 1 0,44 = 1 44 donc la baisse globale est de 44 % L affirmation est vraie. On considère un nombre entier n. Pour tous les nombres a et b, on a les identités remarquables : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. Avec a = n et b = 1, on a : (n + 1) 2 (n 1) 2 = n n (n 2 2 n ) = n 2 + 2n + 1 (n 2 2n + 1) = n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n 1 = 4n qui est un multiple de 4 (pour toutes les valeurs du nombre entier n). Ainsi, pour n importe quel nombre entier n : (n + 1) 2 (n 1) 2 est un multiple de 4.

47 Sujet 21 Inde, avril 2013, exercice 1 6 points Pour chacune des quatre affirmations données ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. 1 Affirmation 1 : ( 5 1)( 5 + 1) est un nombre entier. Développez l expression en utilisant une identité remarquable. 2 Affirmation 2 : 4 n admet que deux diviseurs. Cherchez tous les diviseurs de 4 compris entre 1 et 4. 3 Affirmation 3 : Un cube, une pyramide à base carrée et un pavé droit totalisent 17 faces. Cherchez le nombre de faces d un cube, d une pyramide à basse carrée et d un pavé, puis additionnez ces nombres. 4 Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Que pouvez-vous dire à propos des quotients OA OB OC et OD?

48 Sujet 21 Corrigé 1 Cette affirmation est vraie. En utilisant l identité remarquable (a b)(a + b) = a 2 b 2 : ( 5 1)( 5 + 1) = ( 5) = 5 1 = 4 qui est un nombre entier. 2 L affirmation est fausse. 4 admet trois diviseurs : 1, 2 et 4. 3 L affirmation est vraie. Un cube a 6 faces : 3 paires de faces opposées. Une pyramide à base carrée a 5 faces : sa base carrée qui a quatre côtés et donc quatre autres faces triangulaires. Un pavé droit a 6 faces : 3 paires de faces opposées. Ces trois solides ont au total = 17 faces. 4 L affirmation est fausse. On a OA OC = 2,8 OB = 0,56 et 5 OD = 2 OA 0,57, donc OB 3,5 OC OD. Montrons «par l absurde» que les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles : Si les droites (AB) et (CD) étaient parallèles, on aurait OA OC Thalès appliqué aux triangles OAB et OCD. = OB OD, d après le théorème de Or OA OB donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. OC OD Remarque : ce raisonnement est appelé «contraposée du théorème de Thalès».

49 Sujet 22 Inde, avril 2013, exercice 3 6 points Le poids d un corps sur un astre dépend de la masse et de l accélération de la pesanteur. On peut montrer que la relation est P = mg : P est le poids (en newton) d un corps sur un astre (c est-à-dire la force que l astre exerce sur le corps) ; m la masse (en kg) de ce corps ; g l accélération de la pesanteur de cet astre. 1 Sur la Terre, l accélération de la pesanteur de la Terre g T est d environ 9,8. Calculer le poids (en newton) sur terre d un homme ayant une masse de 70 kg. Utilisez la relation P = mg avec les données de l énoncé. 2 Sur la Lune, la relation P = mg est toujours valable. On donne le tableau ci-dessous de correspondance poids-masse sur la Lune : Masse (kg) Poids (N) 5, , ,5 a) Est-ce que le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité? Montrez que l on peut passer des nombres de la première ligne du tableau aux nombres de la deuxième ligne en multipliant par un même nombre. b) Calculer l accélération de la pesanteur sur la Lune noté g L. Utilisez la relation P = mg et le tableau pour calculer g L. c) Est-il vrai que l on pèse environ 6 fois moins lourd sur la Lune que sur la Terre? Pour une personne de masse m donnée (en kg), calculez le quotient PT P L.

50 Sujet 22 Énoncé 3 Le dessin ci-dessous représente un cratère de la Lune. BCD et un triangle rectangle en D. a) Calculer la profondeur BD du cratère. Il vous faudra arrondir au dixième de km près. Pour calculer la profondeur BD du cratère, utilisez une relation trigonométrique dans le triangle BCD rectangle en D. b) On considère que la longueur CD représente 20 % du diamètre du cratère. Calculer la longueur AB du diamètre du cratère. Si la longueur CD représente 20 % du diamètre du cratère, inversement, que représente le diamètre du cratère par rapport à la longueur CD?

51 Sujet 22 Corrigé 1 On a la relation P = mg avec, ici, m = 70 kg et g = g T 9,8. On a donc P 70 9,8 686 N. Le poids sur terre d un homme ayant une masse de 70 kg est 686 N environ. 2 a) On a : 5,1 = 17 = 42,5 = 68 = 93,5 = 1, On peut donc passer des nombres de la première ligne du tableau aux nombres de la deuxième ligne en multipliant par un même nombre. Le tableau est donc un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité 1,7. b) On a la relation P = mg, soit g = P. m D après la question 2. a), g L = 1,7 qui est le coefficient de proportionnalité du tableau. c) Pour une personne de masse m donnée (en kg), on a : P T P L = mg T mg L = g T g L 9,8 6 (arrondi à l unité), soit P 1,7 T 6P L. On peut donc affirmer que l on pèse environ 6 fois moins lourd sur la Lune que sur la Terre. 3 a) Dans le triangle BCD rectangle en D, on a tan( BCD) = BD CD, soit : BD = CD tan( BCD), avec CD = 29 km et BCD = 4,3, donc : BD = 29 tan(4,3 ) BD 2,2 km (au dixième près). b) La longueur CD représente 20 % du diamètre AB du cratère donc le diamètre AB du cratère est cinq fois plus long que CD. 20 En effet, = On a donc AB = 5 CD = 5 29 = 145 km. La longueur AB du diamètre du cratère est 145 km.

52 Sujet 23 Inde, avril 2013, exercice 4 4 points On donne la feuille de calcul ci-dessous. La colonne B donne les valeurs de l expression 2x 2 3x 9 pour quelques valeurs de x de la colonne A. 1 Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, quelle valeur va-t-on obtenir dans la cellule B17? Remarquez qu il s agit de calculer l image de 6 par la fonction f définie par f(x) = 2x 2 3x 9. 2 À l aide du tableau ci-dessous, trouver 2 solutions de l équation 2x 2 3x 9 = 0. A B x 2x 2 3x 9 1 2, , , , , , , , Remarquez que les nombres à trouver sont dans la colonne A.

53 Sujet 23 Énoncé 3 L unité de longueur est le cm. Donner une valeur de x pour laquelle l aire du rectangle ci-dessous est égale à 5 cm 2. Justifier. Calculez l aire du rectangle ABCD en fonction de x, puis développez et réduisez cette expression. Lisez ensuite la ou les réponses dans la feuille de calcul du tableur, en vérifiant qu elles conviennent bien.

54 Sujet 23 Corrigé 1 Il s agit de calculer l image de 6 par la fonction f définie par f(x) = 2x 2 3x 9. On a f(6) = , ou encore f(x) = = 45. Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, on obtient la valeur 45 dans la cellule B17. 2 Les solutions de l équation 2x 2 3x 9 = 0 sont les nombres x de la colonne A dont l image par f (dans la colonne B) est 0. En lisant la feuille de calcul du tableur, on trouve 1,5 et 3. Les solutions de l équation 2x 2 3x 9 = 0 sont 1,5 et 3. 3 L aire du rectangle ABCD en fonction de x est (2x + 3)(x 3). En développant et en réduisant cette expression, on obtient : (2x + 3)(x 3) = 2x 2 6x + 3x 9 (2x + 3)(x 3) = 2x 2 3x 9 qui est l expression de la colonne B. En lisant la feuille de calcul du tableur, les valeurs de x pour lesquelles l image par f est 5 sont 2 et 3,5. Or, on doit avoir x 3 > 0, donc 2 est exclu et la seule valeur possible est 3,5. Une valeur de x pour laquelle l aire du rectangle ABCD est égale à 5 cm 2 est 3,5.

55 Sujet 24 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 2 4 points Arthur vide sa tirelire et constate qu il possède 21 billets. Il a des billets de 5 et des billets de 10 pour une somme totale de 125. Combien de billets de chaque sorte possède-t-il? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. Notez x le nombre de billets de 5 et y le nombre de billets de 10 et résolvez un système de deux équations à deux inconnues.

56 Sujet 24 Corrigé Notons x le nombre de billets de 5 et y le nombre de billets de 10. Arthur possède 21 billets donc x + y = 21. Avec les x billets de 5, il a la somme de 5x et avec les y billets de 10, il a la somme de 10y. La somme totale étant de 125, on a : 5x + 10y = 125. Il s agit donc de résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant : { x + y = 21 5x + 10y = 125 Résolvons ce système en utilisant la méthode par substitution. Le système devient : { { y = 21 x 5x + 10y = 125 en remplaçant y dans la deuxième équation par son expres- y = 21 x 5x + 10 (21 x) = 125 sion { dans la première, y = 21 x 5x x = 125 en exprimant y en fonction de x dans la première équation, en développant le premier membre de la deuxième équation, { y = 21 x en mettant les x d un côté du signe «=» et les nombres de 5x = = 85 l autre { dans la deuxième équation, y = 21 x en calculant x dans la deuxième équation, x = 85 = 17 { 5 x = 17 en calculant y qui est fonction de x. y = = 4 On a donc S = {(17 ; 4)}. Arthur a donc 17 billets de 5 et 4 billets de 10 dans sa tirelire.

57 Sujet 25 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 3 6 points Caroline souhaite s équiper pour faire du roller. Elle a le choix entre une paire de rollers gris à 87 et une paire de rollers noirs à 99. Elle doit aussi acheter un casque et hésite entre trois modèles qui coûtent respectivement 45, 22 et Si elle choisit son équipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilité pour que l ensemble lui coûte moins de 130? Construisez un arbre pondéré pour représenter cette situation (où les choix sont équiprobables). 2 Elle s aperçoit qu en achetant la paire de rollers noirs et le casque à 45, elle bénéficie d une réduction de 20 % sur l ensemble. a) Calculer le prix en euros et centimes de cet ensemble après réduction. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 20 %? b) Cela modifie-t-il la probabilité obtenue à la question 1? Justifier la réponse. Comparez le résultat de la question 2. b) à la somme de 130.

58 Sujet 25 Corrigé 1 On représente la situation à l aide de l arbre pondéré suivant : Chacun des 6 choix a la même probabilité d être choisi, donc cette probabilité est 1 6 (= ). On remarque que 4 des 6 ensembles possibles coûtent moins de130. La probabilité que l équipement lui coûte moins de 130 est donc de 4 6 = a) Le prix de l équipement composé de la paire de rollers noirs et du casque à 45 est de = 144 avant réduction. Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 20 % est 1 20 = 1 0,2 = 0, Après réduction, le prix de cet équipement est donc de : 144 0,8 = 115,20. b) Le prix de cet équipement est désormais inférieur à 130. La probabilité que l équipement lui coûte moins de 130 est donc maintenant de 5. 6

59 Sujet 26 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 4 5 points Flavien veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et dragées aux amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées au chocolat et aux amandes. 1 Peut-il faire 76 sachets? Justifier la réponse. 76 est-il un diviseur de 760 et de 1 045? 2 a) Quel nombre maximal de sachets peut-il réaliser? Remarquez que le nombre maximal de sachets qu il peut réaliser est le PGCD de 760 et de 1 045, puis calculez ce nombre. b) Combien de dragées de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet? Divisez le nombre total de dragées de chaque sorte par le nombre de sachets : vous obtiendrez le nombre de dragées de chaque sorte dans chaque sachet.

60 Sujet 26 Corrigé 1 76 est un diviseur de 760, mais pas de ( = 13,75). Flavien ne peut donc pas faire 76 sachets dont la répartition est identique. 2 a) Le nombre de sachets dont la répartition doit être identique est un diviseur commun à 760 et à Le nombre maximal de sachets dont la répartition est la même est donc le PGCD de 760 et de Calculons le PGCD de 760 et de en utilisant l algorithme d Euclide : = = = = Le dernier reste non nul est 95, donc PGCD (760 ; 1 045) = 95. Le nombre maximal de sachets que Flavien peut réaliser est 95. b) Dans chacun des 95 sachets identiques, il y aura 760 = 8 dragées au chocolat et = 11 dragées aux amandes. 95

61 Sujet 27 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 5 4 points Tom doit calculer 3,5 2. «Pas la peine de prendre la calculatrice, lui dit Julie, tu n as qu à effectuer le produit de 3 par 4 et rajouter 0,25.» 1 Effectuer le calcul proposé par Julie et vérifier que le résultat obtenu est bien le carré de 3,5. Vous devez trouver un résultat proche de Proposer une façon simple de calculer 7,5 2 et donner le résultat. Remarquez que 3 et 4 sont les entiers consécutifs qui encadrent 3,5 et utilisez la même méthode pour 7,5. 3 Julie propose la conjecture suivante : (n + 0,5) 2 = n(n + 1) + 0,25, où n est un nombre entier positif. Prouver que la conjecture de Julie est vraie (quel que soit le nombre n). Pensez à utiliser une identité remarquable.

62 Sujet 27 Corrigé 1 Le résultat du calcul proposé par Julie est : ,25 = 12,25. En posant le calcul ou en l effectuant à la calculatrice, on a bien 3,5 2 = 12,25. 2 En utilisant la même méthode (que l on va prouver à la question 3), on peut calculer ,25 = 56,25. Remarque : en effet, en posant le calcul ou en l effectuant à la calculatrice, on a bien 7,5 2 = 56,25. 3 On considère un nombre entier positif n. Pour tout nombre a et b, on a l identité remarquable (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Avec a = n et b = 0,5, on a : (n + 0,5) 2 = n n 0,5 + 0,5 2 (n + 0,5) 2 = n 2 + n + 0,25 = n(n + 1) + 0,25. L égalité est vraie pour tout nombre entier positif n, donc la conjecture de Julie est vraie pour tout nombre entier positif n. Remarque : on retrouve les égalités des questions 1 et 2 en prenant n = 3 et n = 7.

63 Sujet 28 Centres étrangers, juin 2013, exercice 4 7 points Le nombre d abonnés à une revue dépend du prix de la revue. Pour un prix x compris entre 0 et 20, le nombre d abonnés est donné par la fonction A telle que : A(x) = 50x La recette, c est-à-dire le montant perçu par l éditeur de cette revue, est donnée par la fonction R telle que : R(x) = 50x x.

64 Sujet 28 Énoncé 1 Le nombre d abonnés est-il proportionnel au prix de la revue? Justifier. Quel type de représentation graphique est associée à une situation de proportionnalité? 2 Vérifier, par le calcul, que A(10) = 750 et interprétez concrètement ce résultat. Le nombre 10 représente le prix en euros de la revue. Que représente le nombre 750 par rapport à la somme de 10? 3 La fonction R est-elle affine? Justifier. Pour répondre, observez la représentation graphique de la fonction R. 4 Déterminer graphiquement pour quel prix la recette de l éditeur est maximale. La recette de l éditeur est maximale lorsque la fonction R ext maximale. Cherchez le prix correspondant sur l axe des abscisses. 5 Déterminer graphiquement les antécédents de par R. Vous devez chercher les antécédents de par R sur l axe des abscisses. 6 Lorsque la revue coûte 5, déterminer le nombre d abonnés et la recette. Il s agit de calculer A(5) et R(5).

65 Sujet 28 Corrigé 1 Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l origine du repère (qui elle-même représente graphiquement une fonction linéaire). La représentation graphique de la fonction A, qui donne le nombre d abonnés en fonction du prix de la revue, est une droite mais elle ne passe pas par l origine du repère. Le nombre d abonnés n est donc pas proportionnel au prix de la revue. 2 A(x) = 50x pour 0 < x < 20, donc pour x = 10 : A(10) = = A(10) = 750. Lorsque la revue coûte 10, la revue compte 750 abonnés. 3 La représentation graphique d une fonction affine est une droite. La représentation graphique de la fonction R n est pas une droite, donc la fonction R n est pas affine. 4 Graphiquement, la recette de l éditeur est maximale pour x 12,5 (voir l illustration ci-dessous). 5 Graphiquement, les antécédents de par R sont x = 8 et x = 17 (voir l illustration ci-dessous). 6 Lorsque la revue coûte 5 euros, le nombre d abonnés est : A(5) = A(5) = = Lorsque la revue coûte 5 euros, la recette est : R(5) = R(5) = R(5) = =

66 Sujet 29 Centres étrangers, juin 2013, exercice 7 5 points On peut lire au sujet d un médicament : «Chez les enfants (12 mois à 17 ans), la posologie doit être établie en fonction de la surface corporelle du patient (voir formule de Mosteller). Une dose de charge unique de 70 mg par mètre carré (sans dépasser 70 mg par jour) devra être administrée.» Pour calculer la surface corporelle en m 2 on utilise la formule de Mosteller suivante : Surface corporelle en m 2 taille (en cm) masse (en kg) = On considère les informations ci-dessous : Patient Lou Joé Âge 5 ans 15 ans Taille (m) 1,05 1,50 Masse (kg) 17,5 50 Dose administrée 50 mg 100 mg 1 La posologie a-t-elle été respectée pour Joé? Justifier la réponse. Quelle est la dose administrée pour Joé? 2 Vérifier que la surface corporelle de Lou est d environ 0,71 m 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Calculer la surface corporelle de Lou à l aide de la formule et des données du tableau. 3 La posologie a-t-elle été respectée pour Lou? Justifier la réponse Calculez la masse de médicament par mètre carré de surface corporelle administrée à Lou. Pour cela, prenez la valeur exacte de la surface coroporelle calculée à la question.

67 Sujet 29 Corrigé 1 Pour Joé, la dose administrée est de 100 mg. Or, il ne faut pas dépasser 70 mg par jour, donc la posologie n a pas été respectée pour Joé. 2 La taille de Lou est de 105 cm et sa masse de 17,5 kg. À l aide de la formule donnée dans l énoncé, sa surface corporelle est : (au centième près). La surface corporelle de Lou est d environ 0,71 m , ,71 m 2 3 D une part, la masse de médicament par mètre carré de surface corporelle (la valeur exacte) administrée à Lou est : mg (à l unité près) , De plus 50 < 70 donc la posologie a été respectée pour Lou.

68 Sujet 30 Amérique du Sud, novembre 2013, exercice 3 7 points Un pâtissier a préparé 840 financiers 1 et macarons. Il souhaite faire des lots, tous identiques, en mélangeant financiers et macarons. Il veut utiliser tous les financiers et tous les macarons. 1 a) Sans faire de calcul, expliquer pourquoi les nombres 840 et ne sont pas premiers entre eux. Pensez à trouver un diviseur simple commun à 840 et b) Le pâtissier peut-il faire 21 lots? Si oui, calculer le nombre de financiers et le nombre de macarons dans chaque lot. Vérifiez si 21 est un diviseur commun à 840 et ou non. c) Quel est le nombre maximum de lots qu il peut faire? Quelle sera alors la composition de chacun des lots? Remarquez que le nombre maximal de lots qu il peut faire est le PGCD de 840 et de 1 176, puis calculez ce nombre. 2 Cette année, chaque lot de 5 financiers et 7 macarons est vendu 22,40. L année dernière, les lots, composés de 8 financiers et de 14 macarons étaient vendus 42. Sachant qu aucun prix n a changé entre les deux années, calculer le prix d un financier et d un macaron. Notez x le prix d un financier et y le prix d un macaron, puis résolvez un système de deux équations à deux inconnues. 1. Les financiers et les macarons sont des pâtisseries.

69 Sujet 30 Corrigé 1 a) Le chiffre des unités de 840 est 0 donc 840 est divisble par 2. De même, le chiffre des unités de est 6 donc est aussi divisble par 2. Finalement, 2 est un diviseur commun (différent de 1) à 840 et 1 176, donc ils ne sont pas premiers entre eux. b) 840 = 40 donc 21 est un diviseur de = 56 donc 21 est un diviseur de est donc un diviseur commun à 840 et 1 176, et le pâtissier peut faire 21 lots identiques. De plus, d après les calculs, le pâtissier peut faire 21 lots identiques composés chacuns de 40 financiers et 56 macarons. c) Le nombre de lots que le patissier peut faire, dont la répartition doit être identique, est un diviseur commun à 840 et à Le nombre maximal de lots qu il peut faire, dont la répartition est la même, est donc le PGCD de 840 et à Calculons le PGCD de 840 et de en utilisant l algorithme d Euclide : = = = Le dernier reste non nul est 168, donc PGCD (840 ; 1 176) = 168. Le nombre maximal de lots que le pâtissier peut faire est donc 168. Dans chacun des 168 lots identiques, il y aura = 5 financiers et = 7 macarons Notons x le prix (en euro) d un financier et y le prix (en euro) d un macaron. 5 financiers et 7 macarons coûtent 22,40 donc 5x + 7y = 22,40. 8 financiers et 14 macarons coûtent 42 donc 8x + 14y = 42. Il { s agit donc de résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant : 5x + 7y = 22, 40. 8x + 14y = 42 Résolvons ce système en utilisant la méthode par combinaison. Le { système devient : 10x + 14y = 44, 80 en multipliant par 2 les membres de la première ligne 8x + 14y = 42 { 2x = 2, 80 8x + 14y = 42 deuxième { ligne x = 2,80 = 1, x + 14y = 42 { x = 1, , y = 42 en remplaçant la première ligne par la différence entre la première et la en remplaçant x par sa valeur

70 Sujet 30 Corrigé { x = 1, 40 en mettant les y d un côté du signe «=» et les nombres 14y = 42 11, 20 = 30, 80 de { l autre dans la deuxième équation x = 1, 40 y = 30,80 = 2, On a donc S = (1,40 ; 2,20) Finalement, le prix d un financier est 1,40 et celui d un macaron 2,20.

71 Sujet 31 Sujet national, juin 2014, exercice 1 5 points Voici un octogone régulier ABCDEFGH. 1 Représenter un agrandissement de cet octogone en l inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm. Aucune justification n est attendue pour cette construction. Commencez par tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm, puis placez un point A sur ce cercle. Il s agit ensuite de trouver une méthode pour placer les autres points sur ce cercle, en commençant par le point B. 2 Démontrer que le triangle DAH est rectangle. Que pouvez-vous dire dire à propos du côté [DH] du triangle DAH? 3 Calculer la mesure de l angle BEH. Pensez à utiliser le théorème de l angle inscrit.

72 Sujet 31 Corrigé 1 On peut tout d abord remarquer que dans l octogone ABCDEFGH, ÂOB = = 45. Pour représenter l octogone ABCDEFGH en l inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm, vous pouvez successivement : tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm ; placer un point A sur ce cercle ; placer le point B sur le cercle en utilisant un rapporteur et le fait que ÂOB = 45 ; placer les points C et D sur le cercle en utilisant la même méthode ( BOC = 45 et ĈOD = 45 ) ; placer les points E, F, G, H, respectivement symétriques par rapport à O 1 des points A, B, C et D ; tracer les segments [AB], [BC], [CD], etc. Remarque : On peut aussi placer le point C sur le cercle en utilisant le compas et le fait que BC = BA. Puis le point D qui vérifie CD = CB. 2 Le point O est le milieu du segment [DH], donc [DH] est un diamètre du cercle de centre O et de rayon 3 cm. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté. Le triangle DAH est donc rectangle en A et son hypoténuse est le côté [DH]. 1. On a, par exemple, ÂOE = 4ÂOB = = = 180 qui est un angle plat.

73 Sujet 31 Corrigé 3 Pour le cercle de centre O, l angle inscrit BEH et l angle au centre BOH interceptent le même arc de cercle BH. D après le théorème de l angle inscrit, on a donc : BEH = BOH 2 BEH = 2 BOA 2 car BOA = ÂOH BEH = BOA BEH = 45 La mesure de l angle BEH est 45.

74 Sujet 32 Sujet national, juin 2014, exercice 6 6 points Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur vertical comme l illustre le dessin suivant : Pauline réalise le schéma ci-dessous (qui n est pas à l échelle) et relève les mesures suivantes : PA = 0,65 m, AC = QP = 5 m et CK = 0,58 m. P désigne le phare, assimilé à un point. Pour que l éclairage d une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l inclinaison du faisceau. Cette inclinaison correspond au rapport QK. Elle est correcte si ce rapport est QP compris entre 0,01 et 0, Vérifier que les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à 0,014. Remarquez que QK = QC CK. 2 Donner une mesure de l angle QPK correspondant à l inclinaison. On arrondira au dixième de degré. Utilisez une relation trigonométrique. 3 Quelle est la distance AS d éclairage de ses feux? Arrondir le résultat au mètre près. Pensez à utiliser le théorème de Thalès.

75 Sujet 32 Corrigé 1 D après les illustrations, on a : QK = QC CK = PA CK = 0,65 0,58 = 0,07. On a donc : QK QP = 0,07 = 0, Les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison égale à 0,014, donc l éclairage de sa voiture est conforme car 0,01 < 0,014 < 0, Dans le triangle QPK rectangle en Q, on a : tan( QPK) = QK = 0,014 d après la question 1. QP En utilisant la calculatrice : QPK = tan -1 (0,014) 0, 8 au dixième de degré près. 3 a) Méthode 1 : à l aide de l angle QPK Les droites (PQ) et (AS) sont parallèles. Les angles QPK = QPS et PSA sont donc alternes internes et égaux. Dans le triangle PAS rectangle en A, on a : tan ( PSA) = PA AS = 0,65 AS. Dans le triangle PQK rectangle en Q, on a : tan ( QPK) = QK = 0,014 d après la question 1. QP QPK = PSA donc tan ( PSA) = tan ( QPK), puis 0,65 AS près. = 0,014 et AS = 0,65 0, m au mètre b) Méthode 2 : à l aide du théorème de Thalès (configuration n 1) Dans le triangle PAS, K [PS], C [AS] et les droites (KC) et (PA) sont parallèles, donc d après le théorème de Thalès : SC SA = SK SP = KC SC, donc en particulier PA SA = CK PA. CK = 0,58, PA = 0,65 et, en notant SC = x, on a AS = x + 5. On a donc : x x+5 = 0,58 0,65 0,65x = 0,58(x + 5) 0,65x 0,58x = 0,58 5 = 2,9 0,07x = 2,9 x = 2,9 0,07 AS = x + 5 = 2,9 0, m au mètre près.

76 Sujet 32 Corrigé c) Méthode 3 : à l aide du théorème de Thalès (configuration n 2 dite «en papillon») K [PS], K [QC] et les droites (PQ) et (AS) sont parallèles, donc d après le théorème de Thalès : KQ KC = KP KS = PQ KQ, donc en particulier CS KC = PQ CS. KQ = 0,07, KC = 0,58, PQ = 5, donc : 0,07 0,58 = 5 CS CS = 5 0,58 0,07 = 2,9 0,07 puis AS = AC + CS = 2,9 0, m au mètre près. La distance AS d éclairage des feux de la voiture de Pauline est de 46 m environ.

77 Sujet 33 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 2 3 points L exercice suivant traite du thème «le canal du Midi» 1. Le vocabulaire spécifique est donné sur le schéma ci-dessous. Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches sont équipées de «boudins» de protection. Calculer le volume exact en cm 3 du «boudin» de protection ci-dessous, puis arrondir au centième. 1. Le canal du Midi est un canal qui rejoint l Atlantique à la Méditerranée.

78 Sujet 33 Énoncé C AC =16 cm A 50 cm Rappel : Volume d un cylindre de révolution : V = πr 2 h où h désigne la hauteur du cylindre et R le rayon de la base. Volume d une boule : V = 4 3 πr3 où R désigne le rayon de la boule. Remarquez que le «boudin» de protection est composé d un cylindre de diamètre 16 cm et de hauteur 50 cm et de deux demi-boules de diamètre 16 cm.

79 Sujet 33 Corrigé Le volume du cylindre de diamètre AC = 16 cm, donc de rayon 8 cm, et de hauteur 50 cm est : V 1 = π = π = 3 200π cm 3. Le volume des deux demi-boules de diamètre AC = 16 cm, donc de rayon 8 cm est : V 2 = 4 3 π 83 = 4 512π = 2 048π cm Le volume exact du «boudin» de protection est donc : V = V 1 + V 2 = 3 200π π = 9 600π π π = cm On a V ,76 cm 3 au centième près, en utilisant la touche «π» de la calculatrice.

80 Sujet 34 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 5 3 points L exercice suivant traite du thème «le canal du Midi» 1. Le vocabulaire spécifique est donné sur le schéma ci-dessous. Pour une bonne partie de pêche au bord du canal, il faut un siège pliant adapté! Nicolas est de taille moyenne et pour être bien assis, il est nécessaire que la hauteur de l assise du siège soit comprise entre 44 cm et 46 cm. Voici les dimensions d un siège pliable qu il a trouvé en vente sur Internet : longueur des pieds : 56 cm largeur de l assise : 34 cm profondeur de l assise : 31 cm 1. Le canal du Midi est un canal qui rejoint l Atlantique à la Méditerranée.

81 Sujet 34 Énoncé 31 cm B 34 cm A D C 56 cm H?? G E L angle ÂCE est droit et ABCD est rectangle. La hauteur de ce siège lui est-elle adaptée? Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la longueur CE.

82 Sujet 34 Corrigé Le quadrilatère ABCD est un rectangle donc AC = BD = 34 cm. Le triangle ACE est rectangle en C, donc d après le théorème de Pythagore : AE 2 = AC 2 + CE 2 soit CE 2 = AE 2 AC 2 = = = CE est un nombre positif car c est une distance, donc CE = ,50 cm au centième près. On a 44 CE 46 donc la hauteur de l assise du siège est adaptée pour Nicolas.

83 Sujet 35 Centres étrangers, juin 2014, exercice 2 3 points À Pise vers 1200 après J.-C. (problème attribué à Léonard de Pise, dit Fibonacci, mathématicien italien du Moyen-Âge). Une lance, longue de 20 pieds 1, est posée verticalement le long d une tour considérée comme perpendiculaire au sol. Si on éloigne l extrémité de la lance qui repose sur le sol de 12 pieds de la tour, de combien descend l autre extrémité de la lance le long du mur? Il s agit de mettre en équation (d inconnue h) le problème en utilisant le théorème de Pythagore. Il faudra écrire l équation sous la forme d une différence de deux carrés égale à 0 et utiliser une identité remarquable. 1. Un pied est une unité de mesure anglo-saxonne valant environ 30 cm.

84 Sujet 35 Corrigé Voici une représentation géométrique de la tour : Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : AC = 20 h ; AB = 12 ; BC = 20. D après le théorème de Pythagore, on a : BC 2 = AB 2 + AC = (20 h) 2 en remplaçant les distances par leur expression ou valeurs. (20 h) 2 = = 256 = 16 2 (20 h) = 0 (20 h 16)(20 h + 16) = 0 en utilisant l identité remarquable a 2 b 2 = (a b)(a + b). (4 h)(36 h) = 0 qui est une équation produit. 4 h = 0 ou 36 h = 0 car un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs est nul. h = 4 ou h = 36 La distance h est inférieure à 20, donc la seule solution qui convient est h = 4 pieds. La longueur d un pied est proche de 30 cm donc h 4 30 = 120 cm.

85 Sujet 36 Centres étrangers, juin 2014, exercice 3 6 points Attention les figures tracées ne respectent ni les mesures de longueur, ni les mesures d angle. Répondre par «vrai» ou «faux» ou «on ne peut pas savoir» à chacune des affirmations suivantes et expliquer votre choix. 1 Tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle. Tracez un cercle et un triangle inscrit dans ce cercle pour vérifier si cette propriété semble vraie ou non. 2 Si un point M appartient à la médiatrice d un segment [AB] alors le triangle AMB est isocèle. Quelle propriété vérifient les points M de la médiatrice du segment [AB]? 3 Dans le triangle ABC suivant, AB = 4 cm. Si vous souhaitez utiliser une propriété, vérifiez que les conditions sont remplies.

86 Sujet 36 Énoncé 4 Le quadrilatère ABCD ci-contre est un carré. Quel quadrilatère a quatre côtés égaux?

87 Sujet 36 Corrigé 1 Cette affirmation est fausse. La propriété qui est vraie est : tout triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre de ce cercle est rectangle. 2 Cette affirmation est vraie. Les points M de la médiatrice du segment [AB] vérifient MA = MB. Si un point M appartient à la médiatrice d un segment [AB], MA = MB donc le triangle AMB est isocèle (en M). 3 La réponse à cette affirmation est «on ne peut pas savoir», car aucune propriété ne permet de calculer AB. Remarque : Si le triangle ABC était rectangle en A, on aurait : cos(âbc) = BA BC BA = BC cos(âbc) BA = 8cos(60 ) BA = BA = 4 cm 4 Cette affirmation est vraie. ABCD a quatre côtés égaux donc c est un losange. ABCD a un angle droit et un losange qui a un angle droit est un carré. Le quadrilatèrte ABCD est donc un carré.

88 Sujet 37 Sujet Inde, avril 2014, exercice 4 7 points Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisés ci-dessous : le parcours ACDA ; le parcours AEFA. Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s approche le plus possible de 4 km. Pouvez-vous les aider à choisir le parcours? Justifier votre réponse. Attention : la figure proposée au conseil municipal n est pas à l échelle, mais les codages et les dimensions données sont correctes. Remarquez que le triangle AEF n est pas forcément rectangle, donc que l on ne peut pas utiliser les relations trigonométriques dans ce triangle.

89 Sujet 37 Corrigé Le parcours ACDA a pour longueur AC + CD + DA. Les longueurs AC = 1,4 km et CD = 1,05 km sont connues et il reste à calculer la longueur DA. Le triangle ACD est rectangle en C, donc d après le théorème de Pythagore : DA 2 = AC 2 + CD 2 = 1, ,05 2 = 1,96 + 1,1025 = 3,0625, donc DA = 3, 0625 = 1,75 km. Le parcours ACDA a donc pour longueur AC + CD + DA = 1,4 + 1,05 + 1,75 = 4,2 km. Le parcours AEFA a pour longueur AE + EF + AF. Les longueurs AE = 1,3 km et AF = 1,6 km sont connues et il reste à calculer la longueur EF. Dans le triangle AEF, E [AE], F [AF] et les droites (EF) et (E F ) sont parallèles. Donc, d après le théorème de Thalès : AE AE = AF AF = E F AE, donc en particulier EF AE = E F EF. AE = 0,5 km, AE = 1,3 km et E F = 0,4 km donc : 0,5 = 0,4 1,3 EF puis 0,5 EF = 1,3 0,4 = 0,52 et EF = 0,52 = 1,04 km. 0,5 Le parcours AEFA a donc pour longueur AE + EF + AF = 1,3 + 1,04 + 1,6 = 3,94 km. 4,2 4 = 0,2 > 0,06 = 4 3,94. Le parcours dont la longueur s approche le plus possible de 4 km est donc le parcours AEFA qui a pour longueur 3,94 km.

90 Sujet 38 Sujet Inde, avril 2014, exercice 5 8 points Pense-bête : toutes les formules données ci-dessous correspondent bien à des formules d aires ou de volumes. On ne sait pas à quoi elles correspondent, mais elles peuvent quand même être utiles pour résoudre l exercice ci-dessous. Voici une bouteille constituée d un cylindre et d un tronc de cône surmonté par un goulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsque elle est remplie jusqu au goulot. Les dimensions sont notées sur le schéma.

91 Sujet 38 Énoncé 1 Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille, puis en donner un arrondi au cm 3. Rappelez-vous de la formule donnant le volume d un cylindre en fonction du rayon R de sa base et de sa hauteur h. Faites attention car 10 cm est le diamètre de sa base et non son rayon. 2 Pour obtenir le tronc de cône, on a coupé un cône par un plan parallèle à la base passant par O. La hauteur SO du grand cône est de 6 cm et la hauteur SO du petit cône est égale à 2 cm. Le rayon de la base du grand cône est de 5 cm. a) Calculer le volume V 1 du grand cône de hauteur SO (donner la valeur exacte). Rappelez-vous que la formule donnant le volume d un cône en fonction du rayon R de sa base et de sa hauteur h est 1 3 /mathbbr2 h. b) Montrer que le volume V 2 du tronc de cône est égal à 1300π 27 cm3. En donner une valeur arrondie au cm 3. Commencez par calculer le volume du petit cône qui est une réduction du grand cône. Quel effet une réduction de rapport k a-t-elle sur les volumes? 3 Parmi les quatre graphiques ci-dessous, l un d entre eux représente le volume V(h) de la bouteille en fonction de la hauteur h de remplissage du bidon. Quel est ce graphique? Pourquoi les autres ne sont-ils pas convenables?

92 Sujet 38 Énoncé Graphique 1 Graphique 2

93 Sujet 38 Énoncé Graphique 3 Graphique 4 Imaginez le remplissage du bidon successivement dans chacun des trois solides.

94 Sujet 38 Corrigé 1 Le volume d un cylindre en fonction du rayon R de sa base et de sa hauteur h est πr 2 h. Ici, R = 10 = 5 cm et h = 15 cm donc le volume de ce cylindre est : 2 V = π = 25 15π = 375π cm 3 (arrondi à l unité). 2 a) Le volume d un cône en fonction du rayon R de sa base et de sa hauteur h est 1 3 /mathbbr2 h. Ici, R = 5 cm et h = SO = 6 cm donc le volume du grand cône est : V 1 = 1 3 π 52 6 = 6 3 π 52 = 2 25π = 50π cm 3. b) Calculons tout d abord le volume du petit cône qui est une réduction de rapport SO SO = 2 6 = 1 du grand cône. 3 Une réduction de rapport k = 1 multiplie les volumes par 3 k3 = ( 1 3 )3 = 1 = 1 donc le volume du petit est V1 27 = 50π 27 cm3. Le volume V 2 du tronc de cône est donc : V 2 = V 1 50π 27 V 2 = 50π 50π 27 V 2 = (1 1 ) 50π 27 V 2 = ( 27 1 ) 50π V 2 = 26 50π 27 V 2 = 26 50π 27 V 2 = 1 300π cm V cm 3 (arrondi à l unité). 3 Lorsque la valeur h de remplissage du bidon est comprise entre 0 et 15 cm, V(h) = πr 2 h qui est une fonction linéaire de variable h. La première portion de courbe est donc une droite passant par l origine du repère. Le graphique 4 est donc exclu. Ensuite, lorsque le remplissage du bidon se fait dans le tronc du cône, le remplissage se fait un peu moins vite puis, dans le goulot cylindrique, le remplissage se fait de nouveau un peu moins vite. Les pentes des portions de droite qui représentent le remplissage du bidon sont donc à chaque fois plus petite, tout en étant positive. Les graphiques 3 et 2 sont donc exclus. Le volume V(h) de la bouteille en fonction de la hauteur h de remplissage du bidon est donc représenté par le graphique 1.

95 Sujet 39 Sujet national, juin 2013, exercice 4 5 points Trois figures codées sont données ci-dessous. Elles ne sont pas dessinées en vraie grandeur. Pour chacune d elles, déterminer la mesure de l angle ÂBC. Figure 1 Utilisez une relation trigonométrique dans le triangle ABC rectangle en A. Figure 2 Commencez par déterminer la nature du triangle ABC. Figure 3 Déterminez sucessivement la mesure de l angle ÂOB, puis celle de l angle ÂBO et enfin celle de l angle ÂBC. Pour cela, remarquez que ABCDE est un polygone régulier à 5 côtés et que le triangle AOB est isocèle en O.

96 Sujet 39 Corrigé Figure 1 Dans le triangle ABC rectangle en A, on a AC = 3 cm, BC = 6 cm et : sin(âbc) = AC BC sin(âbc) = 3 6 = 0,5. À la calculatrice ou avec le tableau des valeurs remarquables du sinus : ÂBC = sin 1 (0,5) = 30. Dans la figure 1, la mesure de l angle ÂBC est égale à 30. Figure 2 ABC est un triangle inscrit dans un cercle dont le côté [AB] est un diamètre de ce cercle. Le triangle ABC est donc rectangle en C. La somme des angles d un triangle est 180, donc : ÂBC + BAC + ÂCB = 180 ÂBC = 180 BAC ÂCB ÂBC = (car BAC = 59 et ÂCB = 90 ) ÂBC = ÂBC = 31. Dans la figure 2, la mesure de l angle ÂBC est égale à 31. Figure 3 Dans le pentagone régulier ABCDE, l angle au centre ÂOB a pour mesure : ÂOB = = 72. Le triangle AOB est isocèle en O donc : ÂBO = BAO. La somme des angles d un triangle est 180, donc : ÂBO + BAO + ÂOB = 180 2ÂBO + 72 = 180 (car ÂOB = 72 ) 2ÂBO = = 108 ÂBO = = 54. Le pentagone étant régulier, les triangles AOB et BOC sont tous les deux isocèles en O et leurs dimensions sont identiques. On a donc : ĈBO = ÂBO et ÂBC = 2ÂBO = 108. Dans la figure 3, la mesure de l angle ÂBC est égale à 108.

97 Sujet 40 Sujet national, juin 2013, exercice 6 5,5 points Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane comme l illustre la photo ci-dessous. On admet qu un tas de sel a toujours la forme d un cône de révolution. 1 a) Pascal souhaite déterminer la hauteur d un cône de sel de diamètre 5 mètres. Il possède un bâton d une longueur de 1 mètre. Il effectue des mesures et réalise les deux schémas ci-dessous :

98 Sujet 40 Énoncé Démontrer que la hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50 mètres. Dans cette question, on n attend pas de démonstration rédigée. Il vous suffit d expliquer brièvement le raisonnement suivi et de présenter clairement les calculs. Utilisez le théorème de Thalès dans le triangle AOS. b) À l aide de la formule : V cône = π rayon2 hauteur 3 Déterminer, en m 3, le volume de sel contenu dans ce cône. Il vous faudra arrondir le résultat au m 3 près. Vous devez trouver pour V cône un volume qui est compris entre 15 et 20 m 3. 2 Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume m 3. Par mesure de sécurité, la hauteur d un tel cône de sel ne doit pas dépasser 6 mètres. Quel rayon faut-il prévoir au minimum pour la base? Il vous faut arrondir le résultat au décimètre près. Vous devez résoudre une équation du type x 2 = a > 0 où une seule solution convient.

99 Sujet 40 Corrigé 1 a) Calculons la hauteur OS de ce cône de sel en utilisant le théorème de Thalès. Dans le triangle AOS rectangle en O, on a B [OA], C [AS], et les droites (OS) et (BC) sont parallèles, car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AO). Donc, d après le théorème de Thalès : AB AO = BC SO. Avec AO = 3,2 m + 2,3 m + 5 m = 8 m, AB = 3,2 m et BC = 1 m, on a : 2 3,2 8 = 1 SO 3,2 SO = 1 8 = 8 (égalité des produits en croix) SO = 8 = 2,50 m. 3,2 La hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50 mètres. b) Le rayon et la hauteur de ce cône de sel sont 2,5 m. On a donc : V cône = π 2,52 2,5 3 = 15,625π 3 16 m 3 au m 3 près (en prenant π 3,14). Le volume de sel contenu dans ce cône est d environ 16 m 3 (au m 3 près). 2 Notons R le rayon minimum, en mètres, pour la base du cône de hauteur maximum 6 mètres et de volume m 3. On doit résoudre l équation d inconnue R : π R2 6 = On a donc R = = 500, puis R = 500 car R est positif. 6π π π 500 Finalement, R = 12,6 m au décimètre près (en prenant π 3,14). π Le rayon minimum qu il faut prévoir pour la base du cône de sel de volume m 3, et dont la hauteur ne doit pas dépasser 6 mètres, est d environ 12,6 m (au décimètre près).

100 Sujet 41 Inde, avril 2013, exercice 5 7 points Une pyramide régulière de sommet S a pour base le carré ABCD telle que son volume V est égal à 108 cm 3. Sa hauteur [SH] mesure 9 cm. Le volume d une pyramide est donné par la relation : Volume d une pyramide = aire de la base hauteur 3 1 a) Vérifier que l aire de ABCD est bien 36 cm 2. Pensez à utiliser la formule du volume d une pyramide, pour résoudre une équation d inconnue l aire du carré ABCD. b) En déduire la valeur de AB. Rappelez-vous de la formule donnant l aire d un carré en fonction de son côté. c) Montrer que le périmètre du triangle ABC est égal à cm. Attention, ne confondez pas la formule du périmètre d un triangle avec celle de son aire.

101 Sujet 41 Énoncé 2 SMNOP est une réduction de la pyramide SABCD. On obtient alors la pyramide SMNOP telle que l aire du carré MNOP soit égale à 4 cm 2. a) Calculer le volume de la pyramide SMNOP. Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Comparez les aires des carrés ABCD et MNOP, et déduisez-en le rapport de la réduction, puis le volume demandé. b) Élise pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3. Êtes-vous d accord avec elle? Quel effet une réduction de rapport k a-t-elle sur les longueurs?

102 Sujet 41 Corrigé 1 a) On a V SABCD = A ABCD SH. 3 Avec les valeurs numériques V SABCD = 108 cm 3 et SH = 9 cm, on a : 108 = A ABCD 9, soit 3 9 A ABCD = = 324, puis A ABCD = 324 = 36 9 cm2. L aire de ABCD est 36 cm 2. b) On a A ABCD = AB AB = AB 2. D après la question 1. a), on a A ABCD = AB 2 = 36 cm 2, soit AB = 36 = 6 cm car une distance est positive. La valeur de AB est 6 cm. c) Le périmètre du triangle ABC est : P ABC = AB + BC + AC. ABCD est un carré, donc AB = BC = 6 cm. Le triangle ABC est rectangle en B donc, d après le théorème de Pythagore : AC 2 = AB 2 + BC 2 = = = 72 AC = 72 = 36 2 = 6 2 cm car une distance est positive. On a donc P ABC = AB + BC + AC, soit P ABC = = cm. Le périmètre du triangle ABC est donc égal à cm. 2 a) Le carré MNOP est la réduction du carré ABCD et A MNOP = 4 = 36 = 1 A 9 9 ABCD. Or, une réduction de rapport k multiplie les aires des figures par k 2, donc k 2 = 1 = ( )2 et k = 1 car k > 0. 3 On en déduit que la réduction est une réduction de rapport k = 1. 3 Calculons le volume de la pyramide SMNOP. Une réduction de rapport k multiplie les volumes des solides par k 3 donc : V SMNOP = ( 1 3 )3 V SABCD = car V SABCD = 108 cm 3, soit V SMNOP = 108 = 4 27 cm3. Le volume de la pyramide SMNOP est 4 cm 3. b) On a P MNO = MN + NO + MO et P ABC = AB = BC + AC. Une réduction de rapport 1 multiplie les longueurs par 1 AB BC, donc MN =, NO = et MO = AC. 3 Finalement, P MNO = MN + NO + MO = AB + BC + AC = 1 P ABC. Élise a raison lorsqu elle pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il suffit de diviser le périmètre du triangle ABC par 3.

103 Sujet 42 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 6 4 points On dispose d un carré de métal de 40 cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipédique, on enlève à chaque coin un carré de côté x et on relève les bords par pliage. 1 Quelles sont les valeurs possibles de x? Déterminez un encadrement pour x en observant l illustration. 2 On donne x = 5 cm. Calculer le volume de la boîte. Le volume d un parallélépipède rectangle de dimensions a, b et c est V = a b c. 3 Le graphique suivant donne le volume de la boîte en fonction de la longueur x. Répondre aux questions à l aide du graphique. a) Pour quelle valeur de x le volume de la boîte est-il maximal? Vous devez chercher la valeur de x sur l axe des abscisses. b) On souhaite que le volume de la boîte soit cm 3. Quelles sont les valeurs possibles de x? Remarquez les valeurs possibles de x sont les antécédents de cm 3.

104 Sujet 42 Énoncé

105 Sujet 42 Corrigé 1 On a : 0 < x < 40 2 = 20. Les valeurs possibles de x sont les valeurs comprises (strictement) entre 0 et 20 cm. 2 Pour x = 5 cm, la base de cette boîte parallélépipédique est un carré de côté = 30 cm et sa hauteur est de 5 cm. Le volume d un parallélépipède rectangle de dimensions a, b et c est V = a b c donc, avec a = b = 30 cm et c = 5 cm, on a : V = = cm 3. Pour x = 5 cm, le volume de cette boîte parallélépipédique est cm 3. 3 a) Graphiquement, le volume de la boîte est maximum pour x 6,5 cm (voir l illustration ci-dessous). b) Il s agit de déterminer les antécédents de cm 3. Graphiquement, on observe qu il y a deux valeurs possibles pour x : x = 1,5 cm ou bien x = 14 cm (voir l illustration ci-dessous).

106 Sujet 43 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 7 5 points Le Pentagone est un bâtiment hébergeant le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme d un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma ci-contre. 1 Calculer la mesure de l angle ÂOB. Que mesurent les angles au centre dans un polygone régulier à n côtés? 2 La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. a) Justifier que (OM) est aussi la bissectrice de ÂOB et la médiatrice de [AB]. Montrez que le triangle AOB est isocèle en O. b) Prouver que [AM] mesure environ 140 m. Utilisez une relation trigonométrique dans le triangle AOM rectangle en M. c) En déduire une valeur approchée du périmètre du Pentagone. Rappelez-vous de la définition du périmètre d un polygone et remarquez qu ici le polygone est régulier.

107 Sujet 43 Corrigé 1 Dans un polygone régulier à n côtés, les angles au centre mesurent 360 n. Pour un pentagone régulier (n = 5), les angles au centre mesurent = 72. La mesure de l angle ÂOB est a) Le pentagone ABCDE de centre O est régulier, donc le triangle AOB est isocèle en O. La droite (OM), qui est la hauteur issue de O de ce triangle, est donc aussi la bissectrice de l angle ÂOB et la médiatrice du segment [AB]. b) Dans le triangle AOM rectangle en M, on a ÂOM = ÂOB = 72 = 36, AO = 140 m et : 2 2 sin(âom) = AM donc AM = AO sin(âom). AO Avec les valeurs numériques : AM = 238 sin(36 ) 140 m. c) Notons P le périmètre du pentagone régulier ABCDE. Le pentagone ABCDE étant régulier, on a : P = AB + BC + CD + DE + EA P= 5AB = 5 2 AM P m d après la question 2. b). Le périmètre du Pentagone est d environ m.

108 Sujet 44 Amérique du Nord, juin 2013, exercice 8 4 points Les longueurs sont données en centimètres. ABCD est un trapèze. 1 a) Donner une méthode permettant de calculer l aire du trapèze ABCD. Montrez que l on peut exprimer l aire du trapèze ABCD sous la forme d une différence. b) Calculer l aire de ABCD. Vous devez trouver une aire comprise entre 10et 20 cm 2. 2 Dans cette question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. L aire d un trapèze A est donnée par l une des formules suivantes. Retrouver la formule juste en expliquant votre choix. Vous pouvez par exemple utiliser le résultat de la question 1. b). A = (b,b)h 2 A = (b+b)h 2 A = 2(b + B)h

109 Sujet 44 Corrigé 1 a) Notons A R l aire du rectangle qui contient le trapèze ABCD, de longueur [CD] et de largeur 3 cm, A T l aire du triangle rectangle isocèle d hypoténuse [BC] et A T l aire du triangle rectangle d hypoténuse [AD] et A ABCD l aire du trapèze ABCD. On a : A ABCD = A R (A T + A T ). b) On a : A R = 3 CD = 3 7 = 21 cm 2 ; A T = 3 3 = 4,5 cm 2 ; 2 A T = 1 3 = 1,5 cm 2. 2 Donc A ABCD = A R (A T + A T ) A ABCD = 21 (4,5 + 1,5) = 21 6 = 15 cm 2. 2 Vous pouvez vérifier que seule la deuxième formule conviendrait pour la question 1, en prenant b = h = 3 cm et B = 7 cm : (b B)h = = 63 = 31, cm2. (b+b)h = (3+7) 3 = 30 = cm2. 2(b + B)h = 2 (3 + 7) 3 = 60 cm 2. Aussi, en construisant le parallélogramme de longueur de base B + b et de hauteur h suivant, on remarque que son aire vaut (B + b)h (aire d un parallélogramme), mais aussi 2A. On a donc 2A = (B + b)h soit A = (b+b)h 2.

110 Sujet 45 Centres étrangers, juin 2013, exercice 3 6 points On considère un triangle ABC isocèle en A tel que l angle BAC mesure 50 et AB est égal à 5 cm. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle, noté C, en un autre point M. 1 Quelle est la mesure de l angle BAM? Aucune justification ne vous est demandée. Que pouvez-vous dire de la droite (AM) par rapport au triangle ABC? 2 Quelle est la nature du triangle BAM? Justifier. Que pouvez-vous dire du côté [AM] du triangle BAM par rapport au cercle (C)? 3 Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixième de centimètre près. Utilisez une relation trigonométrique dans le triangle BAM, dont vous venez de préciser la nature dans la question 2. 4 La droite (BO) coupe le cercle C en un autre point K. Quelle est la mesure de l angle BKC? Justifiez. Remarquez que les angles inscrits dans le cercle (C) BKC et BAC interceptent le même arc.

111 Sujet 45 Corrigé 1 O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, donc la droite (AO) = (AM) est la médiatrice du triangle ABC. Le triangle ABC étant isocèle en A, la droite (AM) est aussi la bissectrice de l angle BAC. On a donc BAM = BAC = 50 = La mesure de l angle BAM est Le cercle C, qui est circonscrit au triangle BAM, a pour diamètre le côté [AM] de ce triangle. D après la réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle, le triangle BAM est rectangle en B. 3 Dans le triangle BAM rectangle en M, on a BAM = 25, AB = 5 cm et : cos( BAM) = AB AB donc AM = AM. cos( BAM) Avec les valeurs numériques : AM = 5 cos(25 ) 5,5 cm (au dixième de centimètre près). 4 Les angles BKC et BAC inscrits dans le cercle C interceptent le même arc AB. D après le théorème de l angle inscrit et son corollaire : BKC = BOC 2 = BAC = 50. La mesure de l angle BKC est 50.

112 Sujet 46 Centres étrangers, juin 2013, exercice 6 4 points Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. On considère la figure ci-dessus, qui n est pas en vraie grandeur : BCDE est un carré de 6 cm de côté ; les points A, B et C sont alignés et AB = 3 cm ; F est un point du segment [CD] ; la droite (AF) coupe le segment [BE] en M. Déterminer la longueur CF par calcul ou par construction pour que les longueurs BM et FD soient égales. Posez x = CF, puis exprimez FD en fonction de x. Supposez ensuite que BM = FD et appliquez le théorème de Thalès pour obtenir une équation que vous devrez résoudre.

113 Sujet 46 Corrigé En posant x = CF, on a FD = 6 x. Supposons que BM = FD = 6 x et déterminons une valeur de x. Dans le triangle ACF, B [AC], M [AF] et les droites (BM) et (CF) sont parallèles, donc d après le théorème de Thalès : AB AC = BM CF, soit 3 = 6 x, puis 3x = 9 (6 x). 9 x On a donc 3x = 54 9x, puis 3x + 9x = 54, soit 12x = 54 et x = 54 = 4,5 cm. 12 On vérifie que lorsque x = 4,5 cm, FD = 6 4,5 = 1,5 cm et que si AB AC = BM CF, soit 3 = BM puis 9 4,5 9 BM = 3 4,5 = 13,5, on a bien BM = 13,5 = 1,5 cm, donc FD = BM. 9 Pour que les longueurs BM et FD soient égales, il faut que CF = 4,5 cm (voir l illustration ci-dessous).

114 Sujet 47 Amérique du Sud, novembre 2013, exercice 2 4 points Jean-Michel est propriétaire d un champ, représenté par le triangle ABC ci-dessous. Il achète à son voisin le champ adjacent, représenté par le triangle ADC. On obtient ainsi un nouveau champ formé par le quadrilatère ABCD. Jean Michel sait que le périmètre de son champ ABC est de 154 mètres et que BC = 56 m. Son voisin l informe que le périmètre du champ ADC est de 144 mètres et que AC = 65 m. De plus, il sait que AD = 16 m. 1 a) Justifier que les longueurs AB et DC sont respectivement égales à 33 m et 63 m. Le périmètre d un triangle dont les côtés ont pour longueur a, b et c (exprimées dans la même unité) est P = a + b + c. b) Calculer le périmètre du champ ABCD. Le périmètre d un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés. 2 Démontrer que le triangle ADC est rectangle en D. On admet que le triangle ABC est rectangle en B. Utilisez la réciproque du théorème de Pythagore. 3 Calculer l aire du champ ABCD. L aire d un triangle rectangle de base B et de hauteur associée h (exprimée dans la même unité que B) est B h 2. 4 Jean-Michel veut clôturer son champ avec du grillage. Il se rend chez son commerçant habituel et tombe sur l annonce suivante : Grillage : 0,85 par mètre Combien va-t-il payer pour clôturer son champ? Pour calculer le prix de la clôture, ne confondez pas périmètre et aire.

115 Sujet 47 Corrigé 1 a) Le périmètre du triangle ABC est égal à AB + BC + CA mais aussi, d après l énoncé, à 154 mètres. On a BC = 56 m, AC = 65 m, donc : AB = 154 AB = 154 AB = AB = 33 m. Le périmètre du triangle ADC est égal à AD + DC + CA mais aussi, d après l énoncé, à 144 mètres. On a AD = 16 m, AC = 65 m, donc : 16 + DC + 65 = 144 DC + 81 = 144 DC = DC = 63 m. b) Le périmètre du champ ABCD est AB + BC + CD + DA = = 168 m d après la question 1. a). 2 Montrons que le triangle ADC est rectangle en D en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore. On a AD 2 + DC 2 = = = et AC 2 = 65 2 = AD 2 + DC 2 = AC 2 donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADC est rectangle en D. 3 L aire du champ ABCD est égale à la somme des aires des triangles ABC rectangle en B et ADC rectangle en D. A ABC = BA BC = = = 924 m A ADC = DA BDC = = = 504 m Finalement, l aire du champ ABCD est égale à = m 2. 4 Le grillage de la clôture coûte 0,85 par mètre et le périmètre champ ABCD est 168 m d après la question 1. b). Pour clôturer son champ, Jean-Michel va donc payer 0, = 142,80.

116 Sujet 48 Amérique du Sud, novembre 2013, exercice 5 7 points Un jeu est constitué des dix étiquettes suivantes toutes identiques au toucher qui sont mélangées dans un sac totalement opaque. Ce jeu est extrait de l ouvrage Géométrie à l École de François Boule (Savoir dire et savoir-faire, IREM de Bourgogne). 1 On choisit au hasard une étiquette parmi les dix. a) Quelle est la probabilité de tirer l étiquette «Diagonales égales»? Dans une situation d équiprobabilité, la probabilité d un événement A est : Nombre de cas favorables P(A) = Nombre de cas possibles. b) Quelle est la probabilité de tirer une étiquette sur laquelle est inscrit le mot «diagonales»? Comme précédement, dans une situation d équiprobabilité, la probabilité d un événement Nombre de cas favorables A est P(A) = Nombre de cas possibles. c) Quelle est la probabilité de tirer une étiquette qui porte à la fois le mot «côtés» et le mot «diagonales»? Notez bien que l étiquette doit porter les deux mots. 2 On choisit cette fois au hasard deux étiquettes parmi les dix et on doit essayer de dessiner un quadrilatère qui a ces deux propriétés. a) Madjid tire les deux étiquettes suivantes : Julie affirme que la figure obtenue est toujours un carré. Madjid a des doutes. Qui a raison? Justifier votre réponse. La question que vous devez vous poser est : un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur est-il un carré?

117 Sujet 48 Énoncé b) Julie tire les deux étiquettes suivantes : Quel type de figure Julie est-elle sûre d obtenir? Remarquez qu une des deux propriétés est plus précise que l autre : si un quadrilatère vérifie l une, il vérifiera l autre. 3 Lionel tire les deux étiquettes suivantes : Lionel est déçu. Expliquer pourquoi. Quelle type de figure Lionel peut-il obtenir?

118 Sujet 48 Corrigé 1 a) Il y a une étiquette «Diagonales égales» sur un total de dix étiquettes. La probabilité de tirer l étiquette «Diagonales égales» est donc 1 = 0,1. 10 b) Il y a trois étiquettes sur laquelle est inscrit le mot «diagonales» sur un total de dix étiquettes. La probabilité de tirer une étiquette sur laquelle est inscrit le mot «diagonales» est donc 3 10 = 0,3. c) En observant les étiquettes, aucune ne porte à la fois le mot «côtés» et le mot «diagonales». La probabilité de tirer une étiquette qui porte à la fois le mot «côtés» et le mot «diagonales» est donc 0 = a) Majid a raison : un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur n est pas toujours un carré. En effet, pour que ce soit toujours un carré, il faut qu en plus les diagonales se coupent en leur milieu. b) Si un quadrilatère a quatre côtés égaux, c est un losange, et il a nécessairement ses côtés opposés parallèles. Julie est donc sûre d obtenir un losange. 3 Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c est un rectangle. Mais un rectangle ne peut pas avoir deux côtés égaux seulement. Lionel est déçu, car aucun quadrilatère n a ces deux propriétés et donc il ne peut dessiner aucun quadrilatère.

119 Sujet 49 Amérique du Sud, novembre 2013, exercice 6 9 points Dans cet exercice, on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son périmètre soit égal à 31 cm. 1 a) Si un tel rectangle a pour longueur 10 cm, quelle est sa largeur? Le périmètre d un rectangle de longueur L et de largeur l (exprimées dans la même unité) est P = 2(L + l). b) Proposer une autre longueur et trouver la largeur correspondante. N oubliez pas que, par définition, la largeur du rectangle doit être inférieure à sa longueur. c) On appelle x la longueur AB. En utilisant le fait que le périmètre de ABCD est de 31 cm, exprimer la longueur BC en fonction de x. Suivez le même type de raisonnement qu à la question 1. a). Attention, AB n est pas forcément la largeur du rectangle ABCD. d) En déduire l aire du rectangle ABCD en fonction de x. L aire d un rectangle de longueur L et de largeur l (exprimées dans la même unité) est A = L l. 2 On considère la fonction f définie par f(x) = x(15,5 x). a) Calculer f(4). Pour calculer f(4), remplacez x par 4 dans l expression de f(x). b) Vérifier qu un antécédent de 52,5 est 5. La question consiste à vérifier que 5 est l antécédent de 52,5 et non à déterminer tous les antécédents de 52,5.

120 Sujet 49 Énoncé 3 Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l aire du rectangle ABCD en fonction de la valeur de x. À l aide de ce graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées. a) Quelle est l aire du rectangle ABCD lorsque x vaut 3 cm? Il s agit de déterminer graphiquement l image de 3 par la fonction f représentée. b) Pour quelles valeurs de x obtient-on une aire égale à 40 cm 2? Il s agit de déterminer graphiquement les deux antécédents de 40 par la fonction f représentée. c) Quelle est l aire maximale de ce rectangle? Pour quelle valeur de x est-elle obtenue? Il s agit de déterminer l ordonnée, puis l abscisse d un point particulier de la courbe. 4 Que peut-on dire du rectangle ABCD lorsqu AB vaut 7,75 cm? Lorsque AB = 7,75 cm, que vaut BC?

121 Sujet 49 Corrigé 1 a) Notons l la largeur du rectangle ABCD dont le périmètre est égal à 31 cm. D après la formule donnant le périmètre d un rectangle en fonction de sa longueur et de sa largeur, on a : 2 (10 + l) = l = 31 2l = = 11 l = 11 2 l = 5,5 cm. Si le rectangle ABCD a pour longueur 10 cm, sa largeur est de 5,5 cm. b) Les deux valeurs l et L que vous pouvez proposer sont telles que l L et 2(L + l) = 31. Par exemple, si L = 12,5 cm, l = 3 cm car 2 (12,5 + 3) = 2 15,5 = 31. Si vous en proposez d autres, vérifiez qu elles vérifient bien les deux conditions ci-dessus. c) On pose x = AB. D après la formule donnant le périmètre d un rectangle en fonction de sa longueur et de sa largeur qui peuvent être les longueurs de deux côtés successifs, on a : 2(AB + BC) = 31 2(x + BC) = 31 2x + 2BC = 31 2BC = 31 2x BC = 31 2x 2 BC = 15,5 x. Dans le rectangle ABCD, l expression de la longueur BC en fonction de x est BC = 15,5 x. d) D après la formule donnant l aire d un rectangle en fonction de sa longueur et de sa largeur qui peuvent être les longueurs de deux côtés successifs, on a : A = AB BC A = x (15 x) d après la question 1. c). L expression de l aire du rectangle ABCD en fonction de x est A = x (15 x). 2 a) La fonction f est définie par f(x) = x(15,5 x). On a donc : f(4) = 4 (15,5 4) = 4 11,5 = 46. b) Pour vérifier que 5 est un antécédent de 52,5, vérifions que l image de 5 est 52,5. f(5) = 5 (15,5 5) = 5 10,5 = 52,5 donc 5 est bien un antécédent de 52,5. Remarque : l autre antécédent de 52,5 est 10,5 car f(10,5) =10, 5 (15,5 10,5) = 10,5 5 = 52,5. 3 a) La valeur à déterminer est l image de 3 par la fonction f représentée graphiquement. Graphiquement, f(3) 37. Lorsque x vaut 3 cm, l aire du rectangle ABCD est d environ 37 cm 2. b) Les valeurs à déterminer sont les antécédents de 40 par la fonction f représentée graphiquement.

122 Sujet 49 Corrigé Graphiquement, les antécédents de 40 par cette fonction sont les valeurs x 1 3,3 et x 2 12,2. L aire du rectangle ABCD est égale à 40 cm 2 lorsque x prend les valeurs x 1 3,3 cm ou x 2 12,2 cm. c) Graphiquement, l aire maximale du rectangle ABCD est 60 cm 2 environ et elle est obtenue pour x 7,8 cm. Vous trouvez la réponse grâce à la lecture graphique ci-dessous, valable pour les questions a), b) et c). 4 D après la question 1. d), si x = AB = 7,75 cm, BC = 15,5 x = 15,5 7,75 = 7,75 = AB. Lorsque AB = 7,75 cm, le rectangle ABCD est donc un carré.

123 Sujet 50 Sujet national, juin 2014, exercice 4 3 points Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l expérience suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même probabilité d être tiré. 1 Le professeur, qui connaît la composition du sac, a simulé un grand nombre de fois l expérience avec un tableur. Il a représenté ci-dessous la fréquence d apparition des différentes couleurs en fonction du nombre de tirages. a) Quelle couleur est la plus présente dans le sac? Aucune justification n est attendue. Pour répondre, obervez le graphique. b) Le professeur a construit la feuille de calcul ci-dessous. Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule C2 avant de la recopier vers le bas?

124 Sujet 50 Énoncé A B C 1 Nombre de tirages Nombre de fois où un jeton rouge est apparu , , , , ,1 La formule de la fréquence est f = Nombre de cas favorables Nombre de cas total. 2 On sait que la probabilité de tirer un jeton rouge est de 1 5. Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac? La probabilité de tirer un jeton rouge est P = Nombre de jetons rouges Nombre total de jetons. Fréquence d apparition de la couleur rouge

125 Sujet 50 Corrigé 1 a) La couleur la plus présente dans le sac est le jaune, car c est la couleur pour laquelle la fréquence d apparition est la plus élevée. b) Le nombre de la cellule C2 est le quotient du nombre de la cellule B2 par celui de la cellule A2. Dans la cellule C2, on a donc saisi la formule «= B2/A2» et on l a recopié vers le bas. 2) En notant n le nombre de jetons rouges dans ce sac, on a : n = 1 donc 5n = 20, puis n = 20 = Dans ce sac, si la probabilité de tirer un jeton rouge est de 1, il y a 4 jetons rouges. 5

126 Sujet 51 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 4 3 points L exercice suivant traite du thème «le canal du Midi» 1. Le vocabulaire spécifique est donné sur le schéma ci-dessous. Durant un parcours sur le canal du Midi partant de l écluse de Rennevielle jusqu à l écluse de Gay, on a relevé les hauteurs de chaque écluse franchie depuis le départ dans la feuille de calcul donnée ci-dessous A Écluse hauteur (m) B de Renneville 2,44 C d Encassan 4,85 D d Emborrel 3,08 E de l Océan 2,62 F de la Méditerranée 2,58 G du Roc 5,58 H de Laurens 6,78 I de la Domergue 2,24 J de la Planque 2,63 K de Saint-Roch 9,42 L de Gay 5,23 M 1. Le canal du Midi est un canal qui rejoint l Atlantique à la Méditerranée.

127 Sujet 51 Énoncé Les hauteurs franchies de manière ascendante sont notées positivement, celles de manière descendante négativement. 1 Quelle formule doit-on saisir dans la cellule M5 pour obtenir la valeur du dénivelé du parcours? Remarquez que le nombre contenu dans la cellule M5 doit être la somme d autres nombres. Observez lesquels dans le tableur et donnez la formule correspondante. 2 Quelle est la valeur du dénivelé 2 du parcours? Il s agit de calculer la somme de la question 1. 3 Le parcours est-il, globalement, ascendant ou descendant? Quel est le signe de la valeur du dénivelé du parcours? 2. Le dénivelé du parcours représente la différence de niveau (hauteur) entre les écluses.

128 Sujet 51 Corrigé 1 Pour obtenir la valeur du dénivelé du parcours, on doit effectuer la somme des cellules B3 à L3. On doit donc saisir dans la cellule M5 la formule «= SOMME(B3 : L3)». 2 La valeur du dénivelé du parcours est : D = 2,44+4,85+3,08+2,62 2,58 5,58 6,78 2,24 2,63 9,42 5,23 = 21,47 1,95 m au centième près. 3 La valeur du nivelé du parcours est négative, donc le parcours est globalement descendant.

129 Sujet 52 Amérique du Nord, juin 2014, exercice 6 6 points Pendant le remplissage d une écluse, Jules et Paul, à bord de leur péniche, patientent en jouant aux dés. Ces dés sont équilibrés. Jules propose à Paul de jouer avec ces deux dés (un jaune et un rouge). Il lui explique la règle : Le gagnant est le premier à remporter un total de points. Si, lors d un lancer, un joueur fait deux «1», c est à dire une paire 1 de «1», il remporte points (et donc la partie). Si un joueur obtient une paire de 3 ou de 4 ou de 5 ou 6, il obtient 100 fois la valeur du dé soit = 300, ou... Si un joueur obtient un résultat autre qu une paire (par exemple 3 sur le dé jaune et 5 sur le dé rouge), il obtient 50 points. 1 Est-ce que, lors du jet d un dé, la probabilité d obtenir un «1» est la même que celle d obtenir un «5»? Expliquer. Remarquez que si les dés sont équilibrés, toutes les issues sont équiprobabes. 2 Jules lance en même temps un dé rouge et un dé jaune. Par exemple, il peut obtenir 3 au dé rouge et 4 au dé jaune, c est l une des issues possibles. Expliquer pourquoi le nombre d issues possibles quand il lance ses deux dés est de 36. Combien y-a-t-il d issues possibles pour le dé rouge, et pour le dé jaune? 3 Paul a déjà fait 2 lancers et a obtenu 650 points. Quelle est la probabilité qu il gagne la partie à son troisième lancer? Dans cette question, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même sur la copie une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Combien Paul doit-il obtenir de points au minimum pour gagner la partie à son troisième lancer? Cherchez les issues correspondantes, puis calculez la probabilité associée à l ensemble de ces issues. 1. On appelle une paire de 1 quand on obtient deux 1, une paire de 2 quand on obtient deux 2...

130 Sujet 52 Corrigé 1 Les dés sont équilibrés, donc toutes les issues sont équiprobables : P(«obtenir 1») = P(«obtenir 5») = Pour le dé rouge, il y a 6 issues possibles et, pour le dé jaune, 6 issues possibles aussi. Le nombre d issues possibles quand il lance ses deux dés est donc 6 6 = Pour que Paul gagne la partie à son troisième lancer, il doit obtenir au moins 350 points. Pour cela, il doit obtenir au troisième lancer : soit une paire de 1 (1 000 points) ; soit une paire de 4 (100 4 = 400 points) ; soit une paire de 5 (100 5 = 500 points) ; soit une paire de 6 (100 6 = 600 points). Il y a une issue possible seulement pour chacune des 4 paires qui conviennent. Il y a donc au total 4 issues qui conviennent sur les 36 possibles. La probabilité que Paul gagne la partie à son troisième lancer est 4 36 = 1 9.

131 Sujet 53 Centres étrangers, juin 2014, exercice 1 6 points Voici une feuille de calcul obtenue à l aide d un tableur. Dans cet exercice, on cherche à comprendre comment cette feuille a été remplie. A B C En observant les valeurs du tableau, proposer une formule à entrer dans la cellule C1, puis à recopier vers le bas. Que remarquez-vous à propos des nombres des cellules A1, B1 et C1? 2 Dans cette question, on laissera sur la copie toutes les traces de recherche. Elles seront valorisées. Le tableur fournit deux fonctions MAX et MIN. À partir de deux nombres, MAX renvoie la valeur la plus grande et MIN la plus petite (exemple : MAX(23 ; 12) = 23). Quelle formule a été entrée dans la cellule A2, puis recopiée vers le bas? Où retrouve-t-on les nombres des cellules B1 et C1, dans la colonne 2? Et les nombres des cellules B3 et C3, dans la colonne 4? 3 Que représente le nombre figurant dans la cellule C5, par rapport aux nombres 216 et 126? Remarquez que le nombre de la cellule C6 est 0. 4 La fraction 216 est-elle irréductible? Si ce n est pas le cas, la rendre irréductible en détaillant les 126 calculs. Pensez à utiliser la réponse à la question 3.

132 Sujet 53 Corrigé 1 Pour une ligne donnée, le nombre dans la cellule de la colonne C est la différence entre celui de la cellule A et celui de la cellule B. On doit donc entrer dans la cellule C1 la formule : «A1 B1». On recopie ensuite cette formule vers le bas pour obtenir les nombres des cellules C2 à C6. 2 Dans cette feuille de calcul, on peut remarquer que : Les nombres des cellules B1 et C1 se retrouvent dans les cellules A2 et B2 (dans le même ordre) ; Les nombres des cellules B2 et C2 se retrouvent dans les cellules A3 et B3 (dans le même ordre) ; Les nombres des cellules B3 et C3 se retrouvent dans les cellules A4 et B4 (dans l ordre inverse) ; Les nombres des cellules B4 et C4 se retrouvent dans les cellules A5 et B5 (dans le même ordre) ; Les nombres des cellules B5 et C5 se retrouvent dans les cellules A6 et B6 (dans le même ordre). On remarque donc que l on doit entrer dans la cellule A2 la formule : «MAX(B1 ; C1)». On recopie ensuite cette formule vers le bas pour obtenir les nombres des cellules A3 à A6. Remarque : on doit aussi entrer dans la cellule B2 la formule «MIN(B1 ; C1)» et la recopier vers le bas pour obtenir les nombres des cellules B3 à B6. 3 Le nombre figurant dans la cellule C5 est le PGCD des nombres 216 et 126, calculé par la méthode des soustractions successives. 4 D après la question 3, le PGCD de 216 et de 126 est 18 donc la fraction irréductible. On a : 216 = = 12 qui est irréductible n est pas

133 Sujet 54 Sujet Inde, avril 2014, exercice 6 7 points Voici le classement des médailles d or reçues par les participants aux Jeux Olympiques pour le cyclisme masculin. Bilan des médailles d or de 1896 à 2008 Nation Or Nation Or France 40 Russie 4 Italie 32 Suisse 3 Royaume-Uni 18 Suède 3 Pays-Bas 15 Tchécoslovaquie 2 États-Unis 14 Norvège 2 Australie 13 Canada 1 Allemagne 13 Afrique du Sud 1 Union soviétique 11 Nouvelle-Zélande 1 Belgique 6 Grèce 1 Danemark 6 Autriche 1 Allemagne de l Ouest 6 Estonie 1 Espagne 5 Lettonie 1 Allemagne de l Est 4 Argentine 1 Source :d après Wikipédia. 1 Voici un extrait du tableur. A B C D E F G H I J K L M N O Nombre de médailles d or Effectif Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule O2 pour obtenir le nombre total de pays ayant eu une médaille d or? Remarquez que le nombre de la case O2 est une somme. 2 a) Calculer la moyenne de cette série (arrondissez à l unité). Vous devez trouver une moyenne, arrondie à l unité, qui est comprise entre 7 et 10.

134 Sujet 54 Énoncé b) Déterminer la médiane de cette série. Rappelez-vous que la médiane d une série statistique est une valeur qui partage cette série en deux groupes d effectifs égaux : un groupe constitué de valeurs inférieures ou égales à la médiane ; un groupe constitué de valeurs supérieures ou égales à la médiane. c) En observant les valeurs prises par la série, donner un argument qui explique pourquoi les valeurs de la moyenne et de la médiane sont différentes. Remarquez que beaucoup de pays ont un nombre de médailles d or peu élevé. 3 Pour le cyclisme masculin, 70 % des pays médaillés ont obtenu au moins une médaille d or. Quel est le nombre de pays qui n ont obtenu que des médailles d argent ou de bronze (arrondir le résultat à l unité)? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l évaluation. Calculez tout d abord le nombre total de pays médaillés. Calculez ensuite le nombre de pays qui n ont obtenu que des médailles d argent ou de bronze.

135 Sujet 54 Corrigé 1 Le nombre de la case O2 est la somme des treize nombres de la case B2 à la case N2. Dans la cellule O2, pour obtenir le nombre total de pays ayant eu une médaille d or, on a donc écrit la formule «= SOMME(B2 :N2)». 2 a) En notant M la moyenne de cette série, on a : M = = à l unité près. La moyenne de cette série est 8, à l unité près. b) L effectif de cette série est = 13, donc la médiane de cette série est la moyenne du treizième et du quatorzième nombre 2 de médailles d or classés dans l ordre croissant. D après le tableau, le treizième et le quatorzième nombre de médailles d or classés dans l ordre croissant est 4. La médiane du nombre de médailles d or est donc 4. c) Le nombre de pays qui ont peu de médailles d or est elevé : il y a notamment 8 pays qui n ont gagné qu une seule médaille d or. Il est donc normal que la médiane de cette série soit plus petite que la moyenne pays correspondent aux 70 % de pays médaillés qui ont obtenu au moins une médaille d or. À l aide d un produit en croix, le nombre total de pays médaillés est donc à 70 l unité près. Le nombre de pays qui n ont obtenu que des médailles d argent ou de bronze est donc = 11.

136 Sujet 55 Sujet national, juin 2013, exercice 1 4 points Avec un logiciel : on a construit un carré ABCD, de côté 4 cm ; on a placé un point M mobile sur [AB] et construit le carré MNPQ comme visualisé sur la copie d écran ci-dessous ; on a représenté l aire du carré MNPQ en fonction de la longueur AM. On a obtenu le graphique ci-après.

137 Sujet 55 Énoncé En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Aucune justification n est attendue. 1 Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de AM, l aire de MNPQ est égale à 10 cm 2. Il s agit de déterminer graphiquement le ou les antécédent(s) de 10 par la fonction représentée. 2 Déterminer l aire de MNPQ lorsque AM est égale à 0,5 cm. Il s agit de déterminer graphiquement l image de 0,5 par la fonction représentée. 3 Pour quelle valeur de AM l aire de MNPQ est-elle minimale? Quelle est alors cette aire? Il s agit de déterminer l abscisse, puis l ordonnée d un point de la courbe.

138 Sujet 55 Corrigé 1 La valeur à déterminer est le ou les antécédent(s) de 10 par la fonction qui est représentée graphiquement. Graphiquement, les antécédents de 10 par cette fonction sont les valeurs x 1 = 1 et x 2 = 3. L aire de MNPQ est égale à 10 cm 2 lorsque AM = 1 cm ou AM = 3 cm. (Voir la figure ci-dessous.) 2 La valeur à déterminer est l image de 0,5 par la fonction représentée graphiquement. Graphiquement, l image de 0,5 est 12,5 environ. Lorsque AM = 0,5 cm, l aire de MNPQ est d environ 12,5 cm 2. (Voir la figure ci-dessous.) 3 Graphiquement, l aire de MNPQ est minimale lorsque AM = 2 cm et cette aire est alors de 8 cm 2. (Voir la figure ci-dessous.)

139 Sujet 56 Sujet national, juin 2013, exercice 2 4 points On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par une fonction affine f et par une autre fonction g. Une copie de l écran obtenu est donnée ci-dessous. 1 Quelle est l image de 3 par f? Déterminez la colonne et la ligne du nombre cherché. 2 Calculer f(7). Observez l expression de la valeur de la cellule C2 en fonction de C1 et utilisez le même procédé pour calculer f(7). 3 Donner l expression de f(x). Généralisez le procédé de la question 2 pour trouver l expression de f(x) en fonction de x. 4 On sait que g(x) = x Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules C3 : H3. Quelle est cette formule? Autrement écrit, g est la fonction x x

140 Sujet 56 Corrigé 1 L image de 3 par f est le nombre de la cellule B2 : f( 3) = L image du nombre de la cellule C1 par f est le nombre défini par l expression «5*C1 + 7». Donc, de même : f(7) = = = D après la question 2, la fonction f associe à un nombre x le nombre 5 x + 7. L expression de f(x) est donc : f(x) = 5 x On sait que g(x) = x donc g est la fonction x x La ligne des valeurs de x est la première ligne, donc la formule saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite est : «B1*B1 + 4».

141 Sujet 57 Sujet national, juin 2013, exercice 3 6 points Les informations suivantes concernent les salaires des hommes et des femmes d une même entreprise : Salaires des femmes : ; ; ; ; ; ; ; ; ; Salaires des hommes : Effectif total : 20 Moyenne : Étendue : Médiane : Les salaires des hommes sont tous différents. 1 Comparer le salaire moyen des hommes et celui des femmes. Calculez le salaire moyen des femmes de l entreprise et comparez-le à celui des hommes. 2 On tire au sort une personne dans l entreprise. Quelle est la probabilité que ce soit une femme? Commencez par déterminer le nombre de femmes et le nombre total de personnes de l entreprise. 3 Le plus bas salaire de l entreprise est de Quel salaire est le plus élevé? Utilisez l étendue des salaires des hommes, en expliquant votre raisonnement. 4 Dans cette entreprise, combien de personnes gagnent plus de 2000? Dans un premier temps, utilisez la médiane des salaires des hommes pour déterminer le nombre d hommes de l entreprise qui gagnent plus de

142 Sujet 57 Corrigé 1 Le salaire moyen des femmes de cette entreprise est : M = = = Le salaire moyen des hommes de cette entreprise est donc il est supérieur de 319 à celui des femmes. Le salaire moyen des hommes de cette entreprise est supérieur à celui des femmes. 2 Dans cette entreprise, il y a 10 femmes sur un total de = 30 personnes. La probabilité que la personne tirée au sort dans cette entreprise soit une femme est donc P = = Le salaire de ne figure pas dans les salaires des femmes de cette entreprise, donc c est celui d un homme. L étendue des salaires des hommes est donc le salaire le plus élevé parmi les hommes est de = En observant la liste des salaires des femmes de cette entreprise, tous inférieurs à 3 400, on en déduit que c est le salaire le plus élevé de l entreprise. Le salaire le plus élevé de cette entreprise est La médiane des salaires des hommes de cette entreprise est donc la moitié des 20 hommes, c est-à-dire 10 hommes, gagnent plus de car tous les salaires sont différents. Une seule femme gagne plus de donc, finalement, 11 personnes de cette entreprise gagnent plus de

143 Sujet 58 Centres étrangers, juin 2013, exercice 2 4 points On considère l expérience aléatoire suivante : on tire au hasard une carte dans un jeu bien mélangé de 32 cartes (il y a 4 «familles» cœur, trèfle, carreau et pique et on a 8 cœurs, 8 trèfles, 8 carreaux et 8 piques). On relève pour la carte tirée la «famille» (trèfle, carreau, cœur ou pique) puis on remet la carte dans le jeu et on mélange. On note A l événement «la carte tirée est un trèfle». 1 Quelle est la probabilité de l événement A? Combien y a-t-il de cartes trèfle et combien y a-t-il de cartes au total dans ce jeu? Déduisezen la probabilité recherchée. 2 On répète 24 fois l expérience aléatoire ci-dessus. La représentation graphique ci-dessous donne la répartition des couleurs obtenues lors des vingt-quatre premiers tirages : Calculer la fréquence d une carte de la «famille» cœur et d une carte de la «famille» trèfle? Lors de ces 24 tirages, combien de cartes de la «famille» cœur et combien de carte de la «famille» trèfle ont été tirées? Déduisez-en les fréquences recherchées. 3 On reproduit la même expérience qu à la question 2. Arthur mise sur une carte de la «famille» cœur et Julie mise sur d une carte de la «famille» trèfle. Est-ce que l un d entre eux a plus de chance que l autre de gagner? Pour répondre à la question, doit-on tenir compte des fréquences obtenues à la question 2 ou de probabilités?

144 Sujet 58 Corrigé 1 Dans ce jeu de 32 cartes, il y a 8 cartes de la «famille» trèfle. La probabilité de tirer une carte de la «famille» trèfle dans ce jeu est donc P (A) = 8 32 = Lors de ces 24 tirages, 6 cartes de la «famille» cœur ont été tirées. La fréquence d une carte de la «famille» cœur est donc f 1 = 6 24 = 1 4. Lors de ces 24 tirages, 8 cartes de la «famille» trèfle ont été tirées. La fréquence d une carte de la «famille» trèfle est donc f 2 = 8 24 = Arthur et Julie ont autant de chance de gagner, car la probabilité de tirer une carte de la «famille» cœur et celle de tirer une carte de la «famille» trèfle sont toutes les deux égales à 1 4. En effet, si on répète l expérience de la question 2, les résultats obtenus à cette question ne préjugent pas de ceux à venir lors d une nouvelle expérience : on doit se fier aux probabilités «théoriques».

145 Sujet 59 Centres étrangers, juin 2013, exercice 5 4 points On considère la série statistique donnant le SMIC 1 horaire brut en euros de 2001 à 2011 (Source : INSEE). Année SMIC , , , , , , , , , , ,67 1 Quelle est l étendue de cette série? Interpréter ce résultat. Rappelez-vous que l étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de cette série et la plus petite. 2 Quelle est la médiane? Rappelez-vous que la médiane d une série statistique est une valeur qui partage cette série en deux groupes d effectifs égaux : un groupe constitué de valeurs inférieures ou égales à la médiane ; un groupe constitué de valeurs supérieures ou égales à la médiane. 3 Paul remarque qu entre 2001 et 2002, l augmentation du SMIC horaire brut est de 16 centimes alors qu entre 2007 et 2008, elle est de 19 centimes. Il affirme que «le pourcentage d augmentation de 2007 à 2008 est supérieur à celui pratiqué entre 2001 et 2002». A-t-il raison? Calculez les pourcentages d augmentation entre 2001 et 2002, puis entre 2007 et 2008, et comparez ces deux valeurs. 1. SMIC : salaire minimum interprofessionnel de croissance.

146 Sujet 59 Corrigé 1 L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de cette série et la plus petite. Dans cette série statistique, la plus petite valeur est 6,67 (en 2001) et la plus grande est 9,40 (en 2011), donc l étendue est 9,40 6,67 = 2,73. Les valeurs allant croissantes, le SMIC horaire a augmenté de 2,73 entre 2001 et La série est composée de 11 valeurs, or 11 = 5, 5, donc la médiane est la sixième des 2 valeurs classées par ordre croissant. La sixième des valeurs classées par ordre croissant est la valeur du SMIC horaire en 2006, donc la médiane est 8,27. 3 Le pourcentage d augmentation entre 2001 et 2002 est : 6,83 6,67 6, ,40 % (au centième près). Le pourcentage d augmentation entre 2007 et 2008 est : 8,63 8,44 8, ,25 % (au centième près). Paul a tort, car le pourcentage d augmentation entre 2007 et 2008 est inférieur à celui pratiqué entre 2001 et 2002, même si l augmentation en valeur est supérieure.

147 Sujet 60 Inde, avril 2013, exercice 2 8 points Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux. Le professeur donne un protocole expérimental à suivre : mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre 20 C et 25 C ; arroser une fois par jour ; il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l évaporation de l eau. Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à 10 jours après la mise en germination. Taille en cm Effectif Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm? Additionnez le nombre de plantules qui ont une taille de 0, 8 et 12 cm 10 jours après la mise en germination. 2 Donner l étendue de cette série. Rappelez-vous que l étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de cette série et la plus petite. 3 Calculer la moyenne de cette série. Arrondir au dixième près. Vous devez trouver une moyenne, arrondie au dixième, qui est comprise entre 15 et 17 cm. 4 Déterminer la médiane de cette série et interpréter le résultat. Rappelez-vous que la médiane d une série statistique est une valeur qui partage cette série en deux groupes d effectifs égaux : un groupe constitué de valeurs inférieures ou égales à la médiane ; un groupe constitué de valeurs supérieures ou égales à la médiane. 5 On considère qu un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm. Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole? Calculez à l aide du tableau le nombre de plantules dont la taille 10 jours après la mise en germination est supérieure ou égale à 14 cm.

148 Sujet 60 Énoncé 6 Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le même protocole. Il a relevé la taille obtenue à 10 jours de germination. Prouver que, si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera pas. Rappelez-vous de la définition de la médiane lorsque l effectif de la série est impair. Étudiez ensuite plusieurs cas pour observer que la médiane ne change pas lorsque l on ajoute la donnée du professeur.

149 Sujet 60 Corrigé 1 D après le tableau, il y a 5 plantules qui ont une taille à 10 jours d au plus 12 cm. 2 La plus grande valeur de cette série statistique est 22 et la plus petite est 0. En notant e l étendue de cette série statistique, on a e = 22 0 = En notant M la moyenne de cette série, on a : M = = ,6 cm (arrondi au dixième près). 4 L effectif de cette série est 29 et 29 = 14,5, donc la médiane de cette série est la quinzième 2 des tailles classées dans l ordre croissant. D après le tableau, 13 tailles sont inférieures ou égales à 17 cm et 16 tailles sont inférieures ou égales à 18 cm, donc la médiane de cette série est 18 cm. Il y a autant de plantules dont la taille, 10 jours après la mise en germination, est inférieure ou égale à 18 cm que de plantules dont la taille, 10 jours après la mise en germination, est supérieure ou égale à 18 cm. 5 D après le tableau, le nombre de plantules dont la taille, 10 jours après la mise en germination, est supérieure ou égale à 14 cm est 24 (24 = 29 5). Le pourcentage d élèves qui a respecté le protocole est donc ,8 % (au dixième 29 près). 6 L effectif de la série est désormais = 15 donc la médiane de cette nouvelle série est la moyenne de la quinzième et de la 2 seizième des tailles classées par ordre croissant. Dans la première série statistique, 18 cm est la quatorzième, la quinzième et la seizième des tailles de plantules classées par ordre croissant. Dans la série statistique où l on a rajouté la donnée du professeur : si elle est strictement inférieur à 18 cm, la quinzième (qui était la quatorzième) et la seizième (qui était la quinzième) des tailles classées par ordre croissant sont toujours 18 cm ; si elle est égale à 18 cm, la quinzième et la seizième des tailles classées par ordre croissant sont toujours 18 cm ; si elle est strictement supérieure à 18 cm, la quinzième et la seizième des tailles classées par ordre croissant sont toujours 18 cm. Dans tous les cas, la quinzième et la seizième taille de plantules classées par ordre croissant sont toujours 18 cm. La médiane qui est la moyenne de ces deux tailles est donc toujours 18 cm. Finalement, si on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne change pas.

150 Sujet 61 Inde, avril 2013, exercice 6 6 points Lancé le 26 novembre 2011, le Rover Curiosity de la NASA est chargé d analyser la planète Mars, appelée aussi planète rouge. Il a atterri sur la planète rouge le 6 août 2012, parcourant ainsi une distance d environ 560 millions de km en 255 jours. 1 Quelle a été la durée en heures du vol? Vous devez trouver une durée de vol proche de h. 2 Calculer la vitesse moyenne du Rover en km/h. Il vous faut arrondir à la centaine près. Pour cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Utilisez la formule v = d t avec les unités qui conviennent. 3 Via le satellite Mars Odyssey, des images prises et envoyées par le Rover ont été retransmises au centre de la NASA. Les premières images ont été émises de Mars à 7 h 48 min le 6 août La distance parcourue par le signal a été de km à une vitesse moyenne de km/s environ (vitesse de la lumière). À quelle heure ces premières images sont-elles parvenues au centre de la NASA? Donner l arrondi à la minute près. Calculez le temps mis par le signal en secondes, en faisant attention aux unités, puis en minutes. Déduisez-en ensuite l heure à laquelle ces images sont parvenues au centre de la NASA.

151 Sujet 61 Corrigé 1 Le vol a duré 255 jours soit = h. 2 On a la formule v = d où v est exprimée en km/h, d en km et t en h. t d = km et, d après la question 1., t = h, donc on a : v = km/h (arrondi à la centaine près) La vitesse moyenne du Rover est km/h environ. 3 On a la formule v = d où v est exprimée en km/s, d en km et t en s, donc t = d. t v D après l énoncé, d = , soit d = km, et v = km/s, donc on a : t = 827 s t min. 60 Les premières images ont donc mis 14 minutes pour parvenir au centre de la NASA. Sachant que les premières images ont été émises de Mars à 7 h 48 min, elle sont parvenues au centre de la NASA à 8 h 02 min.

152 Sujet 62 Amérique du Sud, novembre 2013, exercice 1 6 points Voici trois documents : Document 1 Le salaire moyen brut 1 des Français s établissait en 2010 à par mois. Source : d après une étude publiée par l INSEE en juin Document 2 La population française est estimée en 2010 à 65 millions d habitants. Document 3 «Encore un peu moins d argent dans le porte-monnaie des Français en Le salaire médian brut est celui qui partage la population en deux parties égales, la moitié qui gagne plus, l autre moitié qui gagne moins ; il est égal à par mois. Le niveau de vie des français a baissé par rapport à D ailleurs, le taux de pauvreté enregistré en cette année 2010 est le plus haut jamais observé depuis Il concerne 8,6 millions de Français qui vivent donc en dessous du seuil de pauvreté évalué à 964 par mois.» Source : Extrait d un reportage diffusé sur BFM TV en septembre En France, le salaire que touche effectivement un employé est égal au salaire brut, diminué de 22 % et est appelé le salaire net. Montrer que le salaire net moyen que percevait un français en 2010 était de 2 155,92. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 22 %? 2 Expliquer à quoi correspond le salaire médian brut. Rappelez-vous que la médiane d une série statistique est une valeur qui partage cette série en deux groupes d effectifs égaux : un groupe constitué de valeurs inférieures ou égales à la médiane ; un groupe constitué de valeurs supérieures ou égales à la médiane. 1. Le salaire moyen brut est le salaire non soumis aux charges.

153 Sujet 62 Énoncé 3 Comparer le salaire médian brut et le salaire moyen brut des Français. Comment peut-on expliquer cette différence? Demandez-vous ce qui peut faire baisser le salaire médian brut. 4 Calculer le pourcentage de français qui vivaient en 2010 sous le seuil de pauvreté. Arrondir le résultat à l unité. Vous devez trouver un résultat compris entre 10 et 15 %.

154 Sujet 62 Corrigé 1 Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 22 % est = 1 0,22 = 0,78. Le salaire moyen brut des Français en 2010 est de et 0, = 2 155,92, donc : le salaire net moyen des Français en 2010 est de 2 155,92. 2 Par définition de la médiane d une série statistique, le salaire médian brut partage l ensemble des Français en deux groupes d effectifs égaux : un groupe a un salaire brut inférieur à ce salaire médian brut de ; un groupe a un salaire brut supérieur à ce salaire médian brut de ; 3 En 2010, le salaire médian brut des Français est de et le salaire moyen brut est de Le salaire moyen brut des Français est donc plus élevé que leur salaire médian brut. Le fait que de nombreux Français aient un petit salaire (proche du SMIC pour un travail à temps plein) fait baisser le salaire médian brut qui les partage en deux groupes de même effectif. Le fait qu un certain nombre de Français (beaucoup moins nombreux que ceux mentionnés ci-dessus) ait un salaire élevé maintient un salaire moyen brut assez élevé (et supérieur au salaire médian brut). 4 En 2010, 8,6 millions de Français vivaient sous le seuil de pauvreté sur un total de 65 millions de Français. Le pourcentage de français qui vivaient en 2010 sous le seuil de pauvreté est donc : 8, = = 13 % (à l unité près).

155 Sujet 63 Amérique du Sud, novembre 2013, exercice 4 3 points Dans cet exercice, si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche, elle sera prise en compte dans l évaluation. Le fleuve Amazone est celui qui possède le débit moyen le plus important au monde. Il est d environ m 3 /s. En France, un foyer de 3 personnes consomme en moyenne L d eau par mois. Donner un ordre de grandeur du nombre de ces foyers que pourrait alimenter ce fleuve en un an. Rappel : 1 L = 1 dm 3 et 1 m 3 = L Convertissez le débit du fleuve Amazone en m 3 /an et calculez la consommation en m 3 d un foyer de 3 personnes en un an.

156 Sujet 63 Corrigé Calculons le nombre de secondes dans une année que l on suppose composée de 365 jours : 1 an = 365 jours 1 an = heures car un jour fait 24 heures 1 an = heures 1 an = minutes car une heure fait 60 minutes 1 an = minutes 1 an = secondes car une minute fait 60 secondes 1 an = secondes Le débit du fleuve Amazone est donc : m 3 /s = m 3 /an = m 3 /an. Un foyer de 3 personnes consomme en moyenne L = dm 3 = 10 m 3 par mois, donc = 120 m 3 par an = foyers de 3 per- Le fleuve Amazone pourrait alimenter sonnes. Approximativement, le fleuve Amazone pourrait donc alimenter environ (50 milliards) de foyers de 3 personnes. Donc beaucoup plus qu il n en existe et que le nombre de personnes sur la Terre...