Diplôme National du Brevet Brevet Blanc n 1

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1 Janvier 2011 Diplôme National du Brevet Brevet Blanc n 1 MATHÉMATIQUES Série Collège DURÉE DE L'ÉPREUVE : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé Le candidat remettra sa copie, accompagnée des documents fournis en annexe, au surveillant à la fin de l épreuve. Nature de l épreuve : écrite Coefficient : 2 Durée de l épreuve : 2 heures Notation sur 40 points I - Activités numériques II - Activités géométriques III - Problème Qualité de rédaction et présentation 12 points 12 points 12 points 4 points Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet. Le sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5. Brevet Blanc n 1 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 1/6

2 Activités numériques : ( 12 points ) Exercice 1 : 1. Déterminer le PGCD de 186 et 155 en détaillant la méthode utilisée. a b r D'après l'algorithme d'euclide, pgcd( 186 ; 155 ) = Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats. 3. Les colis sont constitués ainsi : Le nombre de pralines est le même dans chaque colis. Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis. Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés. a. Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser? Le nombre de colis doit diviser le nombre de pralines et le nombre de chocolats et doit être le plus grand possible. C'est donc pgcd( 186 ; 155 ) soit 31 colis. b. Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis? = 6 il y aura donc 6 chocolats par colis et = 5 donc 5 pralines par colis. Exercice 2 : On propose deux programmes de calcul : Programme A Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 3 Ajouter 7 Programme B Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 5 Retrancher 4 Multiplier par 2 1. On choisit 3 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 22. ( ) 2 = On choisit ( 2) comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A? = 1 3. a. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit ( 2)? On cherche x tel que 3x + 7 = 2 x = 9 3 = 3 b. Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0? On cherche x tel que ( 5x 4 ) 2 = 0 5x 4 = 0 x = 4 5 = 0,8 4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée. On cherche x tel que 3x + 7 = 2( 5x 4 ) 3x + 7 = 10x 8 7x = 15 x = 15 7 Brevet Blanc n 1 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 2/6

3 Exercice 3 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.). Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une seule réponse est exacte. Réponse A Réponse B Réponse C Quelle expression est égale à 6 si on ❶ choisit la valeur x = 1? 3x 2 6( x + 1 ) 5x Le développement de ❷ ( x + 3 )( 2x + 4 ) 2( 5x + 6 ) est : 2x 2 2x x x ❸ La factorisation de 9x 2 16 est : ( 3x 4 ) 2 ( 3x + 4 )( 3x 4 ) ( 3x + 4 ) 2 Le périmètre d'un carré d'aire 25 cm ❹ est : 100 cm 20 cm 6,25 cm ❺ = ❻ = ❼ Soustraire 3 à un nombre ou le diviser par 3 donne le même résultat. Quel est ce nombre? 4,5 0 6 La fonction f définie par f(x) = 2x + 3 est représentée par une ❽ droite qui coupe l'axe des ordonnées en : A( 1,5 ; 0 ) B( 0 ; 3 ) C( 0 ; 2 ) Exercice 1 : Activités géométriques : ( 12 points ) La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. L unité de longueur est le centimètre. Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH où H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC]. Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [GH] en K. On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK = x cm où x désigne un nombre positif. PARTIE 1 Dans cette partie, on se place dans le cas particulier ou BL = 4,8 cm et x = 1 cm. 1. Construire la figure en vraie grandeur. 2. Calculer l aire en cm 2 du triangle BLA. a( BLA ) = 1 2 BL AL = 1 4,8 6 = 14,4 cm On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles. Parmi les propriétés suivantes, choisir et recopier sur votre feuille celle(s) qui permette(nt) cette justification. a. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. b. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle alors elle est parallèle au troisième côté. c. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. d. La réciproque du théorème de Thalès. 4. Calculer la longueur HK. Les droites (BH) et (LK) sont sécantes en A. De plus, les droites (HK) et (BL) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès : AH AB = AK AL = HK AH soit BL AB = 1 6 = HK 4,8 d'où HK = 1 4,8 6 = 0,8 cm Brevet Blanc n 1 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 3/6

4 PARTIE 2 Dans cette partie, on se place dans le cas général où BL et x ne sont pas connus. 1. Exprimer la longueur KL en fonction de x. KL = AL AK = 6 x 2. On déplace le point K sur le segment [AL]. L utilisation d un tableur a permis d obtenir les longueurs KL et HG pour différentes valeurs de x. x 0,6 1,5 1,8 2,1 4,2 4,5 5,1 KL 5,4 4,5 4,2 3,9 1,8 1,5 0,9 HG 1,4 3,5 4,2 4,9 9,8 10,5 11,9 Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes : a. Quelles sont les longueurs KL et HG pour x égal à 4,5 cm? KL = 1,5 cm et HG = 10,5 cm b. Pour quelle valeur de x a-t-on l égalité KL = HG? Pour x = 1,8 3. Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère EFGH? EFGH est alors un rectangle ayant deux côtés consécutifs de même longueur. C'est donc un carré. Exercice 2 : À l intérieur d'une maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-contre : La figure n est pas aux bonnes dimensions. Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le point d intersection de cette perpendiculaire avec [EC]. Il a également tracé [AC]. Il a mesuré AB = 115 cm, BC = 80 cm, DC = 100 cm, ED=20 cm, AC = 140 cm et AF=28 cm. 1. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifier. Dans ABC, le plus grand côté est AC. AC 2 = = et AB 2 + BC 2 = = donc AC 2 AB 2 + BC 2 or si le triangle avait été rectangle, l'égalité aurait été vérifiée d'après le théorème de Pythagore donc ABC n'est pas rectangle. 2. Déterminer la mesure de l angle ACD. Dans ADC rectangle en D, cos ACD = DC AC soit cos ACD = A l'aide de la calculatrice et de la touche cos 1, on obtient : ACD 44,4 3. Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles? Justifier. Les points F, A, C d'une part et E, D, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. CA CF = = = 5 et CD 6 CE = = = 5 donc CA 6 CF = CD CE D'après la réciproque du théorème de Thalès, (AD) // (FE) Brevet Blanc n 1 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 4/6

5 Problèmes : ( 12 points ) Les deux parties sont indépendantes. Le document 2 présenté en annexe est à rendre avec la copie. PARTIE 1 M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis : 1. L entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe ( document 2 ). Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter. a. Quel serait le coût pour un volume de 20 m 3? 600 b. Le coût est-il proportionnel au volume transporté? Justifier. Oui car le coût est représenté par une droite passant par l'origine du repère. c. Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m 3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer g (x) en fonction de x. g est une fonction linéaire donc g(x) a une écriture de la forme g(x) = a x. On sait que g(20) = 600 donc a 20 = 600 soit a = 600 = 30 d'où g(x) = 30x L entreprise B lui a communiqué une formule : f (x) = 10x +800 où x est le volume ( en m 3 ) à transporter et f (x) le prix à payer (en ). a. Calculer f (80). Que signifie le résultat obtenu? f(80) = 1600 ce qui signifie que pour 80 m 3, l'entreprise B demande 1600 b. Déterminer par le calcul l antécédent de par la fonction f. On résout l'équation f(x) = x = x = 2700 x = = 270. Donc l'antécédent de 3500 par f est 270 c. Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique présenté en annexe ( document 2 ). f est une fonction affine donc elle est représentée par une droite. Pour x = 0, f(0) = 800 donc A( 0 ; 800 ) Pour x = 80, f(80) = 1600 donc B( 80 ; 1600 ) 3. M. Dubois estime à 60 m 3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents. D'après le graphique, pour 60 m 3, il paierait 1800 avec la société A et 1400 avec la société B. Il a donc intérêt à choisir la société B. 4. A partir de quel volume M. Dubois a-t-il intérêt à choisir la société B? Graphiquement, la société B est plus intéressante à partir de 40 m 3. PARTIE 2 1. Pour aller visiter le chantier de sa future maison, situé à 442 km de son actuel domicile, M. Dubois part de chez lui à 10 h 00 du matin. Il roule 2 h 30 min, fait une pause de 80 minutes, puis roule à nouveau 1 h 45 min avant d arriver au chantier. A quelle heure arrive-t-il au chantier? Justifier la réponse. 80 min 1 h 20 min 2 h 30 min + 1 h 20 min = 3 h 50 min 3 h 50 min + 1 h 45 min = 4 h 95 min = 5 h 35 min. M. Dubois arrive donc à 15 h 35 min 2. Le camion des déménageurs a mis 6 h 30 pour réaliser ce trajet. A quelle vitesse, en moyenne, a-t-il roulé? v = 442 = 68 km/h 6,5 Brevet Blanc n 1 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 5/6

6 ANNEXE Document 2 à rendre avec la copie Société B B A Brevet Blanc n 1 Mathématiques - Collège Bienvenu-Martin 6/6

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