Analyse de FOURIER +[ ( ) + ( )]

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1 Analyse de FOURIER I. Analyse de Fourier : Décomposition harmonique : toute fonction périodique (son musical) peut être décomposé en une somme (infinie) de fonctions sinus et cosinus. Un signal est la somme de plusieurs sinusoïdes d amplitude différentes, et décalées en phase, appelées : harmoniques ( ); la fréquence de chaque fonction est un multiple de la fondamentale ( ) = + [ ( ) + ( )] + [ ( ) + ( )] + +[ ( ) + ( )] Intérêt : il est plus facile de connaître les propriétés de la fonction résultante en analysant les propriétés de chacune des composantes ; de plus, connaître un nombre limité de composantes suffit à bien représenter (voire «reconstruire» : synthétiseur) le signal Analyse spectrale : il est utile de présenter les résultats de l Analyse de Fourier d une fonction périodique f(t) au moyen de son spectre ( ) qui est soit : un diagramme Fréquence-Amplitude : pour le spectre en amplitude (en abscisse les fréquences des différentes harmoniques, en ordonnée leur amplitude) 1

2 un diagramme Phase-Amplitude : pour le spectre de phase (en abscisse les fréquences des différentes harmoniques, en ordonnée leur phase à l origine décalage initial-) «Une fonction du temps peut être entièrement décrite par son spectre de fréquence et son spectre de phase (et son amplitude)» Intérêt : la conversion du signal dans le domaine des fréquences peut rendre l'interprétation des informations qu'il contient beaucoup plus aisée audition, spectrométrie RMN, -) 2

3 Timbre : pour un signal périodique, le spectre est discontinu (spectre discret), il est formé de «raies spectrales» ; l analyse spectrale permet de rendre compte immédiatement de la richesse en harmoniques d un son : notion de timbre. (Remarque : un son pur ne contient qu une seule raie : la fondamentale, et aucune harmonique ; sinon c est un son complexe) exemple : la fonction créneau/carré : Plus il y a d harmoniques impaires, plus ça ressemble à une fonction crêneau/carrée. Plus précisément, plus on met de fonctions cosinus avec des coefficients impairs, ou plus il y a de fonctions sinus avec des coefficients impairs, plus ça ressemble à une fonction créneau : Notons que l amplitude des harmoniques d une fonction carré décroît avec la fréquence : 3

4 II. Transformation de Fourier : La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non-périodiques (signaux non-musicaux, ex : bruits ). Elle permet alors également d associer à toute fonction son spectre en fréquences. En fait, une fonction non-périodique est assimilée à une fonction périodique de période infinie ( ) ; or, si T est très grande, l ensemble des fréquences est un ensemble qui couvre presque tout le spectre des fréquences le spectre discret passe en spectre continu : il faut passer à l intégrale : ( ) = ( ). La fonction f(t) est en général réelle sa T.F ( ) est en général complexe la fréquence fondamentale est nulle (alors qu un son «musical» est caractérisé par sa fondamentale ) le spectre est continu (alors qu un son «musical» a un spectre discret de fréquences) ; écart nulle entre les harmoniques a) La fonction porte : (modélise l apparition d un signal sur une durée finie ) La fonction porte dont l amplitude est définie sur ; vaut (attention ne représente pas une période) vaut : ( ) = La Transformée de Fourier d une fonction porte est une fonction sinus cardinal : ( ) ( ) = = ( ) 4

5 la fonction sinus cardinal est paire la fonction sinus cardinal s annule pour les valeurs entières de car : = ± l amplitude de ( ) est nulle lorsque ± : ( ) est maximale pour =0 ; sin (0) =1 ( ) = ( ) est nulle lorsque ± convolue de la fonction porte : la fonction sinus cardinal Relation entre largeur temporelle d une fonction et la largeur de son spectre : Largeur de la porte : Largeur à mi-hauteur du lobe central : 2/ (Rem : la largeur à mi-hauteur sert à rendre compte du plus ou moins grand étalement de la fonction ; caractérise le profil d une gaussienne ou une lorentzienne) Si la porte ( ) est très large (fonction qui dure «longtemps»), sera grand, et 2 sera petite : la largeur du spectre sera étroit «une fonction qui dure longtemps a un spectre étroit» 5

6 corollaire : si la porte ( ) est étroite (bruit bref), la largeur du lobe central sera grande, et le specte large «plus le son est bref, sec, plus il y a de fréquences excitées» Spectre bruit sec «la largeur de la bande de fréquences varie en sens inverse de la durée du son» Bruit blanc : à la limite, le son contient toutes les fréquences spectre continu, fondamentale nulle 6

7 b) La fonction impulsion exponentielle : La fonction exponentielle décroissante de constante de temps vaut : ( ) = <0 ( )=. La T.F d une fonction exponentielle est une distribution de Lorentz (lorentzienne). On ne peut représenter ( ) qui est complexe, mais pour le physicien, l étude la partie réelle de cette fonction [ ( )] - autrement appelée Intensité spectrale - suffira : [ ( )] est la graphe de l amplitude A selon la fréquence, et est un nombre réel : [ ( )] = + ( )² La largeur à mi-hauteur de la fonction lorentzienne vaut et varie donc en sens inverse la constante de temps 7

8 Relation entre et largeur à mi-hauteur : Si faible (décroissance rapide), est grande, et la largeur à mi-hauteur est grande fonction très étalée, grand nombre de fréquences excitées Si élevée (lente décroissance), est faible, et la largeur à mi-hauteur est étroite pic étroit, courbe peu étalée, faible nombre de fréquences dans le spectre III. Filtrage d un signal : Il existe donc deux représentations complémentaires d un signal : amplitude-temps f(t) et amplitudefréquence ( ). Il apparaît souvent que, dans les signaux issus du phénomène étudié, se soient greffés nombre d informations inutiles : les bruits. On cherchera donc à augmenter le rapport signal / bruit soit : en faisant un filtrage temporel permettant de ne prendre en compte que les instants où le signal utile existe en faisant un filtrage fréquentiel grâce à la TF permettant de sélectionner les bandes de fréquence occupées par le signal utile, et d en éliminer les bruits parasites. 8