Les fractions dans un contexte de rapport, de taux et de proportion

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1 Les fractions dans un contexte de rapport, de taux et de proportion Un rapport est une relation entre deux grandeurs de même nature comparées l une avec l autre. Il s exprime à l aide d une représentation fractionnaire a b où b 0, de deux points ab : ou b 0 ou d un pourcentage. À cause de cette représentation, la fraction et le rapport peuvent facilement être confondus par l élève. Attention! Ce concept ne figure pas dans le curriculum de 6 e année. Il vous est présenté pour que vous développiez une meilleure compréhension des différentes représentations de fractions. Exemples à partir d un tout séparé en parties équivalentes Dans un contexte comme le partage d un tout en 5 parties équivalentes, les 2 parties jaunes représentent 2 parties sur 5 ou 2 5 qui est une fraction; les 3 parties vertes représentent 3 parties sur 5 ou 3 5, qui est une fraction. Ainsi, toutes les fractions sont des rapports entre le nombre de parties d un tout et le tout.

2 Les rapports 2 La comparaison des 2 parties jaunes aux 3 parties vertes est, qui est un rapport 3 entre les parties de couleurs distinctes; cette comparaison ne doit pas être considérée comme étant une fraction d un tout. Le rapport des 2 parties jaunes aux 3 parties vertes ne représente pas les «deux tiers» du tout. Exemple de rapport à partir d une situation de la vie En prévision d une compétition, 23 filles et 50 garçons se sont inscrits. On peut exprimer cette situation à l aide de différents rapports : Rapport des filles aux garçons Rapports des garçons aux filles 23 filles pour 50 garçons 50 garçons pour 23 filles 23 filles à 50 garçons 50 garçons à 23 filles 23 : 50 ou 46 : : 23 ou 100 : % environ 2,17 % Ces rapports ne sont pas des fractions d un tout. Par exemple, 23 pour 50 dans ce contexte-ci n est pas vingt-trois cinquantièmes. On dit que le rapport du nombre de filles au nombre de garçons est de : 23 à 50, 23 : 50, 23, 46 %. 50 On dit que le rapport du nombre de garçons au nombre de filles est de : 50 à 23, 50 : 23, 50, 2,17 %. 23 Dans les deux cas, la relation est la même. On peut l exprimer de deux façons : le rapport des filles aux garçons et celui des garçons aux filles.

3 Les taux Le rapport est parfois appelé un taux lorsque les grandeurs ou quantités sont de natures différentes. 14 km 7 heures est un taux. On peut aussi l exprimer sous forme d un taux unitaire (taux dont la deuxième valeur est 1). Par exemple 2 km 1 heure ou 2 km/h est un taux unitaire Les proportions La proportion exprime une égalité entre deux rapports. Par exemple : 2 4 = 5 10 est une proportion La proportion peut souvent être interprétée comme la représentation d une situation comme celle-ci : Si on achète 2 pizzas pour nourrir 5 personnes, chaque personne aura la même quantité de pizza que si on achète 4 pizzas pour nourrir 10 personnes. Ce sont des rapports équivalents et non des fractions équivalentes. L égalité entre ces deux rapports est la proportion.

4 Stratégies de résolution d une proportion Il est possible de résoudre une proportion concrètement sans utiliser l algorithme usuel. Par exemple : Sachant que 2 l de peinture sont nécessaires pour peindre 4 chaises de parterre, combien de litres de peinture sont nécessaires pour peindre 12 chaises identiques? 2 x La proportion qui représente cette = situation est : 1 re stratégie - matériel de manipulation (les réglettes) Donc, il faudra 6 l de peinture pour peindre 12 chaises de parterre. On peut aussi résoudre une proportion symboliquement. Voici 2 stratégies de résolution symbolique :

5 1 re stratégie - Produit croisé En mathématique, dans un contexte de rapport et proportion, le concept de produit croisé est très utile. Produit croisé Dans toute proportion, le produit des numérateurs avec les dénominateurs est toujours le même. OU a c Pour toute proportion =, ad = bc. b d 2 Donc, si on a = x, alors 2 X 12 = 4 X x. Si 4x = 24, l élève doit donc trouver quel nombre entier multiplié par 4 donne un produit de 24. La valeur de x est donc 6. Donc, il faudra 6 l de peinture pour peindre 12 chaises de parterre. 2 e stratégie - Isoler algébriquement l inconnue Lors de la résolution d équation, on doit isoler l inconnue pour en connaître la valeur. Dans une proportion telle 2 x = que, l élève doit isoler x en effectuant les mêmes opérations des deux côtés du signe = et ce, pour maintenir l égalité tout au long de la résolution. 1- En multipliant les deux côtés de la proportion par 12 (plus petit commun multiple de 4 et 12), il est possible d obtenir une proportion facile à simplifier et de créer une égalité entre l inconnue et un nombre entier.

6 2 x = x = x = 6 = x Donc, il faudra 6 l de peinture pour peindre 12 chaises de parterre. Erreur commune des élèves Attention! Dans une situation de résolution de problème à l aide de proportion, il faut toujours respecter l ordre des termes dans lequel les rapports sont écrits. Par exemple : Dans un camp de vacances, il y a habituellement 130 filles pour 200 garçons. Si le camp prévoit accueillir 195 filles cet été, combien y aura-t-il de garçons? Le rapport étant de 130 filles à 200 garçons, il faut respecter l ordre des données dans la proportion qui représente la situation. 130 filles 195 filles = ou = 200 garçons x garçons 200 x Le nombre de filles est le premier terme du rapport et le nombre de garçons est le deuxième terme du rapport. Cet ordre doit être respecté tout au long de la résolution du problème. Toutefois, le premier terme des 2 rapports peut être le nombre de garçons à condition qu il le reste tout au long de la résolution de la situation. Si l ordre des données de la proportion n est pas respecté (p. ex., garçons = filles ), filles garçons l équivalence entre les rapports n est pas respectée et la résolution de la proportion n est pas possible.

7 Exemple de proportion résolue par raisonnement proportionnel 20 sous-marins permettent de nourrir 24 personnes. Combien de sousmarins permettront de nourrir 30 personnes? Nombre de sous-marins Nombre de personnes Donc, il faut 25 sous-marins pour nourrir 30 personnes Attention! Dans un contexte de rapports, il ne faut pas confondre le raisonnement proportionnel et l addition de fractions. Raisonnement proportionnel utilisé ci-dessus fractions addition de = =