1 Droite de régression de y en x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Droite de régression de y en x"

Transcription

1 CHU Amiens IFTLM 2ème année, UPJV IUP Santé Statistique Cours 2 Statistique descriptive à deux variables - Régression Le cours précédent traitait de la statistique descriptive univariée, c est-à-dire de la description d une série statistique selon un seul caractère (la taille par exemple). On veut maintenant étudier, visualiser et mesurer les liens éventuels existant entre deux variables : c est l objet de la statistique descriptive bivariée. On considère une population sur laquelle on étudie deux variables quantitatives X et Y. On étudiera donc des séries statistiques à deux variables ; autrement dit un couple de variables (X, Y ). On veut savoir si les deux variables sont liées par une liaison fonctionnelle du type Y = f(x)(c est-à-dire que l on peut prévoir les valeurs de Y à partir des valeurs de X), ou bien X = g(y ) (c est-à-dire que l on peut prévoir les valeurs de X à partir des valeurs de Y ). Précisons dès maintenant que l existence d une telle liaison entre les deux variables X et Y ne signifie pas obligatoirement un lien de cause à effet entre elles (expliquer). Exemple fondamental : Y = ax + b (liaison affine). Sur un échantillon de n individus extrait de la population, on observe n couples (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) de valeurs de X et Y. Représentation graphique : nuage de points Ces observations peuvent être représentées dans le plan. A chaque couple (x i, y i ), i = 1,..., n, on fait correspondre un point M i. On obtient un nuage de point. La forme du nuage obtenu peut indiquer le type de dépendance possible entre X et Y. Si les points sont plutôt alignés, on peut envisager une relation de type Y = ax + b (équation de droite). Si le nuage forme une parabole, on peut envisager une relation de type Y = ax 2 + bx + c, etc... On dit que l on cherche à ajuster une courbe au nuage de points. 1 Droite de régression de y en x On cherche à ajuster une droite d équation y = ax + b au nuage de points. En fait, on essaie de minimer les distances entre les points du nuage M i (x i, y i ) et les points correspondant sur la droite P i (x i, ax i + b). On trouve un unique couple (a, b) qui minimise cette distance. On ne détaillera pas les calculs pour obtenir a et b. La droite de régression de y en x a pour équation : D y/x : y = ax + b avec a = avec les notations suivantes pour les moments : moyennes : x = 1 n i=1 x i, ȳ = 1 n i=1 y i. cov(x, y) s 2 x et b = ȳ a x variances : s 2 x = 1 n i=1 (x i x) 2, s 2 y = 1 n i=1 (y i ȳ) 2. covariance : cov(x, y) = 1 n i=1 (x i x)(y i ȳ) = 1 n i=1 x iy i xȳ. Exemple On considère la série double statistique suivante : x i y i Le nuage de points correspondant est représenté sur le graphique ci-dessous.

2 La droite de régression de y en x a pour équation y = ax + b avec a = cov(x,y) et b = ȳ a x. s 2 x Il vaudra mieux utiliser une calculatrice ou un tableur pour obtenir les coefficients a et b plutôt que d effectuer les calculs suivants x i y i x i y i x 2 i On a x = 15 5 = 3, ȳ = = 7, cov(x, y) = = 4, s2 x = = 2. On en déduit a = 4 2 = 2 et b = = 1. La droite de régression de y en x a donc pour équation y = 2x + 1. On peut remarquer que cette droite passe par deux points du nuage : c est une coincidence! 2 Droite de regression de x en y On suit une démarche analogue à celle qui a donné la droite de régression de y en x, en échangeant le rôle de x et y. cov(x, y) D x/y : x = cy + d avec c = s 2 et d = x aȳ y On peut remarquer que les équations peuvent aussi s écrire D y/x : y ȳ = a(x x) D x/y : x x = c(y ȳ) Les droites D y/x et D x/y se coupent donc au point G( x, ȳ). Exemple Reprenons l exemple précédent. On a toujours x = 3, ȳ = 7, cov(x, y) = 4, s 2 x = 2 et a = 2.

3 On calcule s 2 y = = 9, 2, d où c = cov(x,y) = 4 s 2 x 9,2 = 1 2,3. La droite de régression de x en y a donc pour équation x x = c(y ȳ), soit x 3 = 1 2,3 (y 7), c est-à-dire y = 2, 3x + 0, 1. On retrouve également une équation de la droite de régression de y en x : y ȳ = a(x x), soit y 7 = 2(x 3), c est-à-dire y = 2x + 1. Les droites D y/x et D x/y se coupent au point G( x, ȳ) = G(3, 7). 3 Coefficient de corrélation linéaire entre x et y Le coefficient de corrélation linéaire est défini par : r x,y = cov(x,y) s xs y. Qualité de l ajustement On peut démontrer que rx,y 2 1. On peut aussi montrer que rx,y 2 = 1 si et seulement si pour tout i =,..., n, M i (x i, y i ) D y/x, c est-à-dire si et seulement si les points M i sont alignés sur D y/x. De façon générale, plus rx,y 2 est proche de 1, meilleur est l ajustement de la droite de régression au nuage de points. Le signe de r x,y (qui est le même que celui de a) indique le sens de la liaison (croissante si r x,y > 0, décroissante si r x,y < 0) entre X et Y. Partageant arbitrairement le plan en secteurs de 30, on obtient 5 zones permettant de définir une bonne, médiocre ou mauvaise corrélation entre X et Y. Sachant que cos 30 = 3 2 0, 866 et cos 60 = 1 2, ce critère graphique se traduit numériquement par : 3 si 2 r x,y 1, il existe une bonne corrélation linéaire entre X et Y. si 1 2 r x,y 3 2, la corrélation linéaire entre X et Y est médiocre. si 0 r x,y 1 2, la corrélation linéaire entre X et Y est mauvaise. Siginfication de r x,y La question se pose de savoir si une forte valeur de r x,y (en valeur absolue) ou de r 2 x,y prouve qu il y a une forte corrélation entre les deux caractères X et Y (par exemple lorsque l ajustement est bon) ou si elle est due au hasard de l échantillonage (par exemple lorsque n est petit). Pour obtenir une réponse, on peut utiliser des tests statistiques (voir statistique inductive). 4 Exercices Exercice 1 Dans la série statistique suivante, x représente le nombre de jours d exposition au soleil d une feuille et y le nombre de stomates aérifères au millimètre carré : x y

4 1. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x. 2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. Commenter le résultat. 3. Quel nombre de stomates peut-on prévoir après 30 jours d exposition au soleil? après 60 jours? Exercice 2 On sélectionne 12 personnes inscrites à un stage de formation. Avant le début de la formation, ces stagiaires subissent une épreuve A notée de A l issue du stage, une épreuve B identique à la première est aussi notée de Considérant les deux variables X =note de A et Y =note de B, on a obtenu les résultats suivants : stagiaire x i y i (a) Représenter ces résultats par un nuage de points. (b) Quelle courbe d ajustement ce nuage vous suggère-t-il? 2. A partir des résultats obtenus, on a déterminé la droite de régression de y en x, ainsi que le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. On a obtenu l équation y = 0, 180x + 11, 99 et r = 0, 101. Expliquer pourquoi l ajustement n est pas bon. 3. On décide d éliminer les stagiaires 11 et 12, et donc de ne tenir compte que des stagiaires 1 à 10. (a) Déterminer une équation de la droite de régression de y en x. (b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. Interpréter le résultat obtenu. Exercice 3 Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français : Année Rang de l année : x i Montant d achats en millions d euros : y i (a) Préciser la population, la(les) variable(s) étudiée(s) et la taille de l échantillon. (b) Donner une équation de la droite de régression de y en x. (c) Donner le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. Interpréter le résultat obtenu. (d) Quelle prévision du montant d achats peut-on faire pour l année 2005? Est-elle fiable? 2. On considère la nouvelle variable z = y. (a) Déterminer une équation de la droite de régression de z en x, ainsi que le coefficient de corrélation linéaire entre x et z. Interpréter le résultat obtenu. (b) En déduire une expression de y en fonction de x, puis une prévision du montant d achats pour l année A partir du tableau de données, le logiciel Excel propose un ajustement polynomial par l équation y = 130x x (a) S agit-il du même ajustement que celui obtenu dans le 2)? Expliquer cette situation. (b) Déduire de cet ajustement une prévision du montant d achats pour l année Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7700 millions d euros. Lequel des trois ajustements précédents vous paraît-il le plus conforme à la réalité? Justifier votre réponse.

5 Exercice 4 Le tableau ci-dessous donne l évolution, par période de 5 ans, de la population (en millions d habitants) de l Allemagne ; il s agit de la population globale des deux Allemagnes (RDA et RFA) de 1958 à 1973, puis de la population de l Allemagne réunifiée de 1993 à Année Rang de l année : x i Population : y i Représenter graphiquement la série statistique (x i, y i ). 2. On commence par chercher un ajustement affine. (a) Donner une équation de la droite de régression de y en x. Donner le coefficient de corrélation linéaire entre x et y. interpréter le résultat obtenu. (b) En déduire une estimation de la population de l Allemagne en L estimation est-elle fiable? 3. On cherche maintenant un ajustement de type logarithmique, autrement dit à modéliser le phénomène étudié par une relation du type y = a ln(x) + b. Pour cela, on considère la nouvelle variable z = ln(x). (a) Effectuer une régression permettant d obtenir les coefficients a et b. Préciser les variables considérées de donner le coefficient de corrélation linéaire correspondant. Interpréter le résultat obtenu. (b) En déduire une estimation de la population de l Allemagne en L estimation est-elle fiable? 4. Comparer les deux estimations des 2)b) et 3)b) et commenter les résultats obtenus. Lequel des deux ajustmements est le meilleur?

Ministère de la Jeunesse et des Sports Institut Royal de Formation des Cadres Département des Sciences de la Vie. A. Arfaoui

Ministère de la Jeunesse et des Sports Institut Royal de Formation des Cadres Département des Sciences de la Vie. A. Arfaoui Ministère de la Jeunesse et des Sports Institut Royal de Formation des Cadres Département des Sciences de la Vie A. Arfaoui PLA Définitions Paramètres marginaux Covariance Coefficient de Corrélation Coefficient

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC. 21 février 2013 MATHÉMATIQUES. Série : STG. DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures. Ce sujet comporte 6 pages, numérotées de 1 à 6

BACCALAURÉAT BLANC. 21 février 2013 MATHÉMATIQUES. Série : STG. DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures. Ce sujet comporte 6 pages, numérotées de 1 à 6 BACCALAURÉAT BLANC 21 février 2013 MATHÉMATIQUES Série : STG DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures Ce sujet comporte 6 pages, numérotées de 1 à 6 L utilisation d une calculatrice est autorisée, mais aucun prêt

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2010

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2010 Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2010 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Lors des journées «rouges» selon Bison Futé, l autoroute qui relie Paris à Marseille est surchargée. Il est donc conseillé

Plus en détail

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 21 avril 2010

Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 21 avril 2010 Baccalauréat STG Mercatique Pondichéry 21 avril 2010 La calculatrice (conforme à la circulaire N 99-186 du 16-11-99) est autorisée. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,

Plus en détail

CH VI Notion de fonctions : les fonctions linéaires et affines.

CH VI Notion de fonctions : les fonctions linéaires et affines. CH VI Notion de fonctions : les fonctions linéaires et affines. I) Activités : Activité 1 : Relier les points correspondants. [- ; 3] Ensemble des réels x tels que x [ ; + [ Ensemble des réels x tels que

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables ECE Lcée Carnot 5 janvier Aspect graphique Définition. Une fonction à deux variables est une application f : D R, où D est une sous-ensemble du plan R appelé domaine de définition

Plus en détail

Baccalauréat STG C.G.R.H. Polynésie 5 septembre 2013 Correction

Baccalauréat STG C.G.R.H. Polynésie 5 septembre 2013 Correction Baccalauréat STG C.G.R.H. Polynésie 5 septembre 2013 Correction EXERCICE 1 8 points La société Bonbon.com commercialise des confiseries. On utilise une feuille de calcul d un tableur pour observer l évolution

Plus en détail

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ

TRINÔME DU SECOND DEGRÉ TRINÔME DU SECOND DEGRÉ Définition On appelle fonction trinôme du second degré, toute fonction f définie sur IR qui, à x associe f(x) = ax 2 + bx + c, a, b et c étant trois réels avec a 0. Exemple Les

Plus en détail

Les paraboles. x ax 2 + bx + c.

Les paraboles. x ax 2 + bx + c. 1ES Résumé du cours sur le second degré. Les paraboles. On appelle fonction du second degré une fonction de la forme x ax 2 + bx + c. Bien sûr a doit être différent de 0 sinon ce n est pas une fonction

Plus en détail

Chapitre 4. Fonction exponentielle. 4.1 Activité. Sommaire

Chapitre 4. Fonction exponentielle. 4.1 Activité. Sommaire Chapitre 4 Fonction exponentielle Sommaire 4.1 Activité............................................. 37 4. Fonctions exponentielles de base q (q > 0)........................ 39 4..1 Définition.........................................

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Exercice 1 11 points Une entreprise fabrique un certain type d articles. Sa capacité maximale de production

Plus en détail

Bac Blanc de Mathématiques Correction Durée : 3 heures

Bac Blanc de Mathématiques Correction Durée : 3 heures Terminale STG Mercatique Jeudi 1 avril 2010 Bac Blanc de Mathématiques Correction Durée : 3 heures L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 6 pages. EXERCICE 1 3 points Cet eercice est

Plus en détail

On hachurera la partie du plan qui ne convient pas sans aucune justification.

On hachurera la partie du plan qui ne convient pas sans aucune justification. Exercice 1 (7 points) : PARTIE I En annexe 1, à rendre avec la copie, on a construit dans un repère orthonormal les droites D et D d équations respectives D : x + y = 6 et D : x + 2y = 8. Déterminer graphiquement

Plus en détail

Statistiques descriptives Variance et écart type

Statistiques descriptives Variance et écart type Statistiques descriptives Variance et écart type I) Rappel : la moyenne (caractéristique de position ) Définition Soit la série statistique définie dans le tableau suivant : Valeur... Effectif... Fréquences

Plus en détail

Ressources pour le lycée technologique

Ressources pour le lycée technologique éduscol Enseignement de mathématiques Classe de première STMG Ressources pour le lycée technologique Contexte pédagogique Objectifs Suites numériques Visualiser les situations exprimées à l aide de suites

Plus en détail

1 Introduction. 2 Fonctions linéaires, fonctions affines. 2.1 Définitions. Fonctions linéaires et fonctions affines Cours. Objectifs du chapitre

1 Introduction. 2 Fonctions linéaires, fonctions affines. 2.1 Définitions. Fonctions linéaires et fonctions affines Cours. Objectifs du chapitre Fonctions linéaires et fonctions affines Cours Objectifs du chapitre Connaitre le sens de variation d une fonction affine. Connaitre le signe d une fonction affine. 1 Introduction Activité 2 Fonctions

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Correction du baccalauréat STMG Centres étrangers 17 juin 2014

Correction du baccalauréat STMG Centres étrangers 17 juin 2014 orrection du baccalauréat STMG entres étrangers 17 juin 2014 EXERIE 1 4 points On considère une fonction f définie sur l intervalle [ 5 ; 3] dont la représentation graphique f est donnée ci-dessous. Soit

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série STG. Mercatique, Comptabilité

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL MATHÉMATIQUES. Série STG. Mercatique, Comptabilité BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session février 2009 MATHÉMATIQUES Série STG Mercatique, Comptabilité Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 3 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

MATHÉMATIQUES Série ST2S. Sciences et Technologies de la Santé et du Social

MATHÉMATIQUES Série ST2S. Sciences et Technologies de la Santé et du Social BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Session 2016 MATHÉMATIQUES Série ST2S Sciences et Technologies de la Santé et du Social Durée de l épreuve : 2 heures Coefficient : 3 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Ressources pour le lycée technologique

Ressources pour le lycée technologique éduscol Enseignement de mathématiques Classe de première STMG Ressources pour le lycée technologique Échantillonnage : couleur des yeux au Canada Contexte pédagogique Objectifs Obtenir un intervalle de

Plus en détail

Analyse des données - Logiciel R

Analyse des données - Logiciel R Université de Strasbourg Analyse des données Master de Sciences, Spécialité Statistique 2012/13 Master Actuariat Emmanuel Périnel Analyse des données - Logiciel R TP n 2. L Analyse en Composantes Principales

Plus en détail

Séminaire de Statistique

Séminaire de Statistique Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (1) Statistique descriptive «Uni & Bi-variée» R. Abdesselam - 2013/2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière

Plus en détail

Méthode des moindres carrés

Méthode des moindres carrés Chapitre 5 Méthode des moindres carrés Une situation courante en sciences biologiques est d avoir à sa disposition deux ensembles de données de taille n, {y 1,y 2,...,y n } et {x 1,x 2,...,x n }, obtenus

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane juin 2009

Baccalauréat ES Antilles Guyane juin 2009 Baccalauréat ES Antilles uyane juin 2009 EXERCICE PARTIE A : aucune justification n est demandée 4 points Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses

Plus en détail

COMMENT DOSER UN ACIDE OU UNE BASE?

COMMENT DOSER UN ACIDE OU UNE BASE? COMMENT DOSER UN ACIDE OU UNE BASE? Un dosage se définit d une part par la technique mise en jeu (mesure phmétrique, conductimétrique, spectrophotométrique, etc.), d autre part, par la méthode (par étalonnage,

Plus en détail

Arrondir à la troisième décimale

Arrondir à la troisième décimale Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des sciences Juridiques, Economiques et Sociales - Fès- Année Universitaire 2004/2005 Filière: Sciences Economiques et Gestion S2 Module: Méthodes quantitatives

Plus en détail

Chapitre 3. Les distributions à deux variables

Chapitre 3. Les distributions à deux variables Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles

Plus en détail

Annales de baccalauréat STG - Statistiques

Annales de baccalauréat STG - Statistiques Annales de baccalauréat STG - Statistiques Exercice 1 Pondichery - 2011 Voici la cote ARGUS d une voiture d occasion : Année de mise en circulation 2009 2008 2007 2006 2005 2004 Âge de la voiture en année

Plus en détail

ECGE 1224 - Statistiques en économie et gestion : TP 1

ECGE 1224 - Statistiques en économie et gestion : TP 1 ECGE 14 - Statistiques en économie et gestion : TP 1 Exercice 1 Un dé parfaitement équilibré est lancé. Soit X la variable aléatoire (v.a.) correspondant au résultat obtenu avec le dé. a) Justifer pourquoi

Plus en détail

Exercice 1 Aux quatre coins d une feuille de papier format A4, on découpe des carrés pour fabriquer une boîte : x

Exercice 1 Aux quatre coins d une feuille de papier format A4, on découpe des carrés pour fabriquer une boîte : x Exercice Aux quatre coins d une feuille de papier format A4, on découpe des carrés pour fabriquer une boîte : x A B E F H G D Le fond de la boîte est le rectangle EFGH. La feuille est au format A4, donc

Plus en détail

FONCTIONS (2) : FONCTIONS AFFINES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

FONCTIONS (2) : FONCTIONS AFFINES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES SYNTHESE ( THEME 9 ) FONCTIONS (2) : FONCTIONS AFFINES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES A - FONCTION AFFINE A : DEFINITION ET NOTATION a et b étant deux nombres fixés, on appelle fonction affine tout processus

Plus en détail

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES SUJET C12

BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES SUJET C12 Sujet C12 Page 1 sur 7 BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES SUJET C12 Ce document comprend : Pour l examinateur : - une fiche descriptive du sujet page 2/7 - une fiche concernant les logiciels

Plus en détail

LES FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES

LES FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES LES FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES I) Les fonctions linéaires : 1) Activité: 2) Définition : Une fonction linéaire f est une fonction définie par f(x) = ax ( ou f : x ax ) où a est un nombre réel et x

Plus en détail

Sommaire. Les pourcentages. Les suites. Statistiques. Les probabilités. Descriptif de l épreuve... Conseils pour l épreuve...

Sommaire. Les pourcentages. Les suites. Statistiques. Les probabilités. Descriptif de l épreuve... Conseils pour l épreuve... Sommaire Descriptif de l épreuve............................................. Conseils pour l épreuve............................................ Les pourcentages FICHES Pages 1 Pourcentage Proportions....................................7

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Série ST2S

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Série ST2S BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ST2S Durée de l épreuve : 2 heures Coefficient : 3 Une feuille de papier millimétré est fournie au candidat Les calculatrices électroniques de

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 MATHÉMATIQUES Série : ES DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures. COEFFICIENT : 5 Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5. Du papier millimétré est mis à la disposition des

Plus en détail

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet TD : Microéconomie de l incertain Emmanuel Duguet 2013-2014 Sommaire 1 Les loteries 2 2 Production en univers incertain 4 3 Prime de risque 6 3.1 Prime de risque et utilité CRRA.................. 6 3.2

Plus en détail

Présentation du programme de première STMG Académie de Créteil 05/04/12. Suites, algorithmique et dérivation

Présentation du programme de première STMG Académie de Créteil 05/04/12. Suites, algorithmique et dérivation Présentation du programme de première STMG Académie de Créteil 05/04/12 Suites, algorithmique et dérivation 1 SUITES Contenus Capacités attendues Commentaires Suites Modes de génération d'une suite numérique.

Plus en détail

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine.

1 C est quoi une fonction? 2. 2 Représentation graphique d une fonction. 6. 3 Fonction affine. 8. 4 Représentation graphique d une fonction affine. Sommaire 1 C est quoi une fonction? 2 2 Représentation graphique d une fonction. 6 3 Fonction affine. 8 4 Représentation graphique d une fonction affine. 10 5 Coefficient directeur d une fonction affine.

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information.

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG. Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE STG Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d Entreprise, Gestion des systèmes d information. SESSION 010 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Mercatique, comptabilité et finance

Plus en détail

Définitions Covariance Corrélation Meilleur prédicteur linéaire. Chapitre 5 Couple de variables aléatoires

Définitions Covariance Corrélation Meilleur prédicteur linéaire. Chapitre 5 Couple de variables aléatoires Chapitre 5 Couple de variables aléatoires Définitions 1 On appelle couple de variables aléatoires (discrètes) l application: Ω R ω (X (ω), Y (ω)) 2 La distribution d un couple de v.a. est définie par les

Plus en détail

Séquence 3. 1 ère partie : 2 e partie : Second degré. Probabilités (1) Séquence 3 MA12. Cned - Académie en ligne

Séquence 3. 1 ère partie : 2 e partie : Second degré. Probabilités (1) Séquence 3 MA12. Cned - Académie en ligne Séquence 3 1 ère partie : Second degré e partie : Probabilités (1) Séquence 3 MA1 1 1 ère partie Second degré Sommaire 1. Pré-requis. Forme canonique, étude d une fonction du second degré 3. Équation du

Plus en détail

Mathématiques en Terminale STG. David ROBERT

Mathématiques en Terminale STG. David ROBERT Mathématiques en Terminale STG David ROBERT 2008 2009 Sommaire 1 Optimisation à deux variables 1 1.1 Équations de droites................................................... 1 1.1.1 Activités......................................................

Plus en détail

Problème 4: Les diagrammes suivants représentent la distribution de 4 variables discrètes X1, X2, X3 et X4 :

Problème 4: Les diagrammes suivants représentent la distribution de 4 variables discrètes X1, X2, X3 et X4 : Cours 5-62-96 : Traitement et analyse des données Test autodiagnostique PARTIE 1 : Problème 1 : Pour chacune des distributions ci-dessous, identifier la population et la variable étudiée en précisant si

Plus en détail

Baccalauréat ES La Réunion 19 juin 2009

Baccalauréat ES La Réunion 19 juin 2009 Baccalauréat ES La Réunion 9 juin 9 EXERCICE points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. Aucune

Plus en détail

D après une idée originale dans «Les maths au quotidien» M.Colonval et A.Roumadni éd. Ellipses

D après une idée originale dans «Les maths au quotidien» M.Colonval et A.Roumadni éd. Ellipses LES ABEILLES D après une idée originale dans «Les maths au quotidien» M.Colonval et A.Roumadni éd. Ellipses 1. Présentation de la trame : Recherche et synthèse d infos Notion d optimisation Intérêt et

Plus en détail

(a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné.

(a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. Eercice / 5 points Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 0 % de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d emballage identique.

Plus en détail

2) Ecrire en utilisant la notation : 3+5+7+9+ 15+17

2) Ecrire en utilisant la notation : 3+5+7+9+ 15+17 STATISTIQUES A UNE VARIABLE EXERCICES CORRIGES Exercice n. Les 5 élèves d'une classe ont composé et le tableau ci-dessous donne la répartition des diverses notes. Recopier et compléter ce tableau en calculant

Plus en détail

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

521321 - Informatique 2. Tableur. Emploi usuel d un tableur 29.02.2008

521321 - Informatique 2. Tableur. Emploi usuel d un tableur 29.02.2008 521321 - Informatique 2 29.02.2008 Peter DAEHNE Emploi usuel d un tableur Autres emplois Simulation Peter DAEHNE -2- Emploi usuel d un tableur Créer des tableaux comprenant: des cellules contenant des

Plus en détail

Proposition de corrigé

Proposition de corrigé Externat Notre Dame Devoir Survéillé n 2 (1 ere ES/L) Samedi 14 décembre Durée : 3 h calculatrice autorisée - pas d échange de calculatrice ou de matériel Proposition de corrigé Dans tout ce devoir, la

Plus en détail

Bac ES La Réunion juin 2009

Bac ES La Réunion juin 2009 Bac ES La Réunion juin 2009 Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, trois réponses sont proposées. Une seule de ces

Plus en détail

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES

FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES Chapitre 3 FONCTIONS LINEAIRES ET FONCTIONS AFFINES Terminale BEP Objectifs (à la fin du chapitre, je dois être capable de ) : - Différencier fonction affine et linéaire. - Calculer une image. - Déterminer

Plus en détail

Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015

Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015 Durée : 4 heures Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015 Exercice 1 Commun à tous les candidats 5 points Dans l espace, on considère ( une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point

Plus en détail

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET DIPLÔME NATIONAL DU BREVET SESSION 2012 MATHÉMATIQUES SÉRIE COLLÈGE DURÉE DE L ÉPREUVE : 2 h 00 Coefficient 2 Le candidat répondra sur une copie Éducation Nationale. Ce sujet comporte 7 pages numérotées

Plus en détail

Extraits de l article à paraître : GALILÉE OU DESCARTES? ÉTUDE D UN SCÉNARIO D INTRODUCTION HISTORIQUE AU CALCUL DES PROBABILITÉS

Extraits de l article à paraître : GALILÉE OU DESCARTES? ÉTUDE D UN SCÉNARIO D INTRODUCTION HISTORIQUE AU CALCUL DES PROBABILITÉS Extraits de l article à paraître : GALILÉE OU DESCARTES? ÉTUDE D UN SCÉNARIO D INTRODUCTION HISTORIQUE AU CALCUL DES PROBABILITÉS Éric BUTZ IREM de la Réunion et lycée Lislet Geoffroy, Saint-Denis. Résumé

Plus en détail

Baccalauréat STG Mercatique Polynésie 8 juin 2012 Correction

Baccalauréat STG Mercatique Polynésie 8 juin 2012 Correction Baccalauréat SG Mercatique Polynésie 8 juin 2012 Correction La calculatrice (conforme à la circulaire N o 99-186 du 16-11-99) est autorisée. EXERCICE 1 4 points Cet exercice est un questionnaire à choix

Plus en détail

Fonctions exponentielles et logarithmes

Fonctions exponentielles et logarithmes Fonctions exponentielles et logarithmes Il s'agit de deux familles de fonctions étroitement liées, la première étendant à toutes les valeurs réelles la notion déjà connue de puissance. On en donne ici

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière PRO 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde PRO partie première PRO partie terminale PRO Sommaire

Plus en détail

Correction Bac, série STG CFE

Correction Bac, série STG CFE Correction Bac, série STG CFE juin 2011 Exercice n o 1 4 points 1. Pout tout nombre réel strictement positif, le nombre ln(7 a) est égal à ln(7) + ln(a) 2. Dans R, e x 5 = 0 e x = 5 x = ln(5) 3. Dans cette

Plus en détail

4. ASTUCES PRATIQUES À CONNAÎTRE POUR UTILISER EFFICACEMENT GOOGLE ANALYTICS

4. ASTUCES PRATIQUES À CONNAÎTRE POUR UTILISER EFFICACEMENT GOOGLE ANALYTICS Formations > Nouveau - Analysez votre trafic efficacement avec Google Analytics 4. ASTUCES PRATIQUES À CONNAÎTRE POUR UTILISER EFFICACEMENT GOOGLE ANALYTICS Maintenant que vous vous êtes familiarisé avec

Plus en détail

Série statistique double à l aide d un exemple

Série statistique double à l aide d un exemple Série statistique double à l aide d un exemple Série statistique double: exemple... 2 Série statistique double: questions posées... 3 Calcul de la covariance sur la base de l'exemple... 4 Calcul du coefficient

Plus en détail

Baccalauréat ST2S Métropole 17 juin 2014 Correction

Baccalauréat ST2S Métropole 17 juin 2014 Correction Baccalauréat ST2S Métropole 17 juin 2014 Correction EXERCICE 1 6 points On mesure la fréquence cardiaque d un athlète courant sur un tapis roulant dont la vitesse peut être modifiée. Les résultats sont

Plus en détail

Proportion. Évolution

Proportion. Évolution 1 Proportion. Évolution PROPORTION On considère un ensemble E contenant n éléments et A une partie de E contenant y éléments. La proportion p A des éléments de A par rapport à E est égale à : résumés de

Plus en détail

Statistiques - Alternance HSE

Statistiques - Alternance HSE Statistiques - Alternance HSE Anne Fredet, Jean-Marie Gourdon 8 janvier 2006 Table des matières 1 Statistique descriptive 2 1.1 Définitions............................. 2 1.2 Effectif, moyenne, médiane

Plus en détail

CHAPITRE 6 LES OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS. 6.1 QUATRE OPÉRATIONS (+,, x, ) SUR LES FONCTIONS

CHAPITRE 6 LES OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS. 6.1 QUATRE OPÉRATIONS (+,, x, ) SUR LES FONCTIONS CHAPITRE 6 LES OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS 6.1 QUATRE OPÉRATIONS (+,, x, ) SUR LES FONCTIONS On peut effectuer les quatre opérations de base sur des fonctions, c est-à-dire les additionner, les soustraire,

Plus en détail

L analyse en composantes principales en pratique

L analyse en composantes principales en pratique L analyse en composantes principales en pratique Après avoir vu sa formalisation mathématique dans le module précédent, on s intéresse ici à l utilisation pratique de l ACP. 1 Objectifs L objectif de l

Plus en détail

Second degré. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2008/2009

Second degré. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2008/2009 Second degré Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 008/009 Table des matières 1 Polynômes du second degré 1.1 Définition................................................. 1. Forme canonique.............................................

Plus en détail

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques SÉRIE ES ANNALES D EXERCICES REGROUPÉS PAR THÈME

mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques SÉRIE ES ANNALES D EXERCICES REGROUPÉS PAR THÈME mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques

Plus en détail

Mathématiques en Terminale STG. David ROBERT

Mathématiques en Terminale STG. David ROBERT Mathématiques en Terminale STG David ROBERT 2009 2010 Sommaire 1 Taux d évolution 1 1.1 Activités.......................................................... 1 1.2 Taux d évolution et coefficient multiplicateur

Plus en détail

Chapitre 1 GRAPHIQUES

Chapitre 1 GRAPHIQUES Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 1 GRAPHIQUES On entend souvent qu un schéma vaut mieux qu un long discours. Effectivement, lorsque l on

Plus en détail

Soit une suite. On dit qu elle est géométrique si, partant du

Soit une suite. On dit qu elle est géométrique si, partant du Suites géométriques I) Définition Soit est un nombre entier naturel. Soit une suite. On dit qu elle est géométrique si, partant du TERME INITIAL, pour passer d un terme au suivant, on MULTIPLIE toujours

Plus en détail

Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord

Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord Sujet de Bac 2010 Maths ES Obligatoire & Spécialité Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points Commun à tous les candidats On sait que la courbe C passe par les points A( 2; 0,5), B(0; 2), C(2; 4,5), D(4,5;

Plus en détail

Statistiques à deux variables Ajustements affines

Statistiques à deux variables Ajustements affines Statistiques à deux variables Ajustements affines Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2011/2012 Table des matières 1 Série statistique à deux variables 2 1.1 Définition Nuage de points......................................

Plus en détail

Série n 5 : Optimisation non linéaire

Série n 5 : Optimisation non linéaire Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Série n 5 : Optimisation

Plus en détail

Amérique du Sud, novembre 2006

Amérique du Sud, novembre 2006 Exercice 1 ( 5 points) Commun à tous les candidats Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s intéresse aux prises de sang effectuées dans

Plus en détail

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée

Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Fonctions Nombre Dérivé Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines

Plus en détail

Groupe : (h, k) ( 5, 12)

Groupe : (h, k) ( 5, 12) Fiche de soutien Les propriétés de la fonction racine carrée PROPRIÉTÉ FONCTION SOUS FORME CANONIQUE f(x) = a + k (ou f(x) = a 1 + k et a 1 = a ) EXEMPLE f(x) = 2 12 (ou f(x) = 6 12) Coordonnées du sommet

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Comptabilité et gestion des organisations

Brevet de technicien supérieur Comptabilité et gestion des organisations Comptabilité et gestion des organisations Lycée Cassini Exercice 1 11 points A. Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle [1 ; 14] par x+ 1 ln x f (x)=. x 1. a. Démontrer que. pour

Plus en détail

Correction. Mathématique Élémentaire. Test n 2 (26 septembre 2011) Question 1. Calculez. (a) (1 + i)(3 i) = 1 3 i 2 + 3i i = 4 + 2i.

Correction. Mathématique Élémentaire. Test n 2 (26 septembre 2011) Question 1. Calculez. (a) (1 + i)(3 i) = 1 3 i 2 + 3i i = 4 + 2i. Question 1. Calculez (a) (1 + i)(3 i) = 1 3 i + 3i i = 4 + i. (b) l inverse dans C de i : i 1 = i car ( i) i = i = 1. (c) l inverse dans C de ( i) : par une formule du cours, ( i) 1 = (d) 1 + 7i = 1 +

Plus en détail

Fonctions. Fonctions linéaires, affines et constantes

Fonctions. Fonctions linéaires, affines et constantes linéaires, affines et constantes 1. linéaires Comme il existe une infinité de fonctions différentes, on les classe par catégories. La première catégorie est constituée par les fonctions linéaires. Une

Plus en détail

Statistiques de groupe

Statistiques de groupe Système Méthodologique d Aide à la Réalisation de Tests Statistiques de groupe et analyse des questions de votre épreuve Une unité de soutien de l IFRES Université de Liège L analyse des statistiques de

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Dénombrement et probabilités Version du juillet 05 Enoncés Exercice - YouTube Sur YouTube, les vidéos sont identifiées à l aide d une chaîne

Plus en détail

EXAMEN INTRA (3/4), ACT 2121

EXAMEN INTRA (3/4), ACT 2121 EXAMEN INTRA (3/4), ACT 2121 ARTHUR CHARPENTIER Les calculatrices sont autorisées. Les documents sont en revanche interdits. Il y a 25 questions. Sur la feuille jointe, veuillez reporter vos réponses (une

Plus en détail

Ces activités peuvent nécessiter des adaptations avant d être utilisées auprès des élèves.

Ces activités peuvent nécessiter des adaptations avant d être utilisées auprès des élèves. Description des expériences Remarques : Ces activités peuvent nécessiter des adaptations avant d être utilisées auprès des élèves. Pour chaque expérience, l élève doit suivre un cadre spécifique d analyse.

Plus en détail

Le second degré. Table des matières

Le second degré. Table des matières Le second degré Table des matières 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré......................... 1. Quelques exemples de formes canoniques................. 1.3 Forme canonique

Plus en détail

Guide sur la création d un test autocorrigé

Guide sur la création d un test autocorrigé Guide sur la création d un test autocorrigé Une démarche simple et fonctionnelle de création d un test autocorrigé, composé de questions fréquemment utilisées. Mai 2011 Table des matières Page Réalisation

Plus en détail

Régression linéaire et corrélation

Régression linéaire et corrélation CHAPITRE 10 Régression linéaire et corrélation 1. Introduction Dans ce chapitre, nous regarderons comment vérifier si une variable à un influence sur une autre variable afin de prédire une des variables

Plus en détail

Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1

Institution Stanislas Brevet Blanc de Mathématiques Mai 2010 1 BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES Mai 2010 La calculatrice est autorisée. Le soin et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation. N candidat : Observations Présentation et rédaction :

Plus en détail

TP2 : ANALYSE DESCRIPTIVE MULTIVARIÉE

TP2 : ANALYSE DESCRIPTIVE MULTIVARIÉE Statistique Numérique et Analyse de Données Ecole des Ponts ParisTech, 2 ème année TP2 : ANALYSE DESCRIPTIVE MULTIVARIÉE Analyse des données de peintures de Rembrandt et de Van Gogh On se propose, à titre

Plus en détail

Tableur OpenOffice : Les Outils

Tableur OpenOffice : Les Outils 1. Environnement de travail Bouton système Nom du document Nom du logiciel Barre de menus Cases système du logiciel Cases système du fichier Zone de nom : elle contient l adresse du champ sélectionné Cellule

Plus en détail

Mathématiques pures 30. Notes à l intention des enseignants : Placements de croissance

Mathématiques pures 30. Notes à l intention des enseignants : Placements de croissance Mathématiques pures 30 Notes à l intention des enseignants : Placements de croissance Septembre 2005 Dans le présent document, le générique masculin est utilisé sans aucune discrimination et uniquement

Plus en détail

EQUATIONS, INEQUATIONS

EQUATIONS, INEQUATIONS 1 sur 13 EQUATIONS, INEQUATIONS I. Résolution d équations Activité conseillée p126 activité1 : Notion d équation et d inéquation Activité conseillée p60 activité1 : Notion d équation et d inéquation -p140

Plus en détail

Problèmes à propos des nombres entiers naturels

Problèmes à propos des nombres entiers naturels Problèmes à propos des nombres entiers naturels 1. On dispose d une grande feuille de papier, on la découpe en 4 morceaux, puis on déchire certains morceaux (au choix) en 4 et ainsi de suite. Peut-on obtenir

Plus en détail

Excel 2002 Avancé. Guide de formation avec exercices et cas pratiques. Patrick Morié, Bernard Boyer

Excel 2002 Avancé. Guide de formation avec exercices et cas pratiques. Patrick Morié, Bernard Boyer Excel 2002 Avancé Guide de formation avec exercices et cas pratiques Patrick Morié, Bernard Boyer Tsoft et Groupe Eyrolles, 2003 ISBN : 2-212-11238-6 5 - ANALYSE ET SIMULATION MODÈLE ITÉRATIF 1 - NOTION

Plus en détail

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction Baccalauréat STL Biotechnologies juin 014 Polynésie Correction EXERCICE 1 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire,

Plus en détail

Exemples d exercices de nature pédagogique pouvant être proposés lors de l épreuve d admissibilité de mathématiques au CAPLP externe Maths-Sciences.

Exemples d exercices de nature pédagogique pouvant être proposés lors de l épreuve d admissibilité de mathématiques au CAPLP externe Maths-Sciences. Exemples d exercices de nature pédagogique pouvant être proposés lors de l épreuve d admissibilité de mathématiques au CAPLP externe Maths-Sciences. Exemple 1 Voici une situation pouvant être utilisée

Plus en détail